Teoria de Colas

5/10/2018 Teoria de Colas - slidepdf.com

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INSTITUTO TECNOLOGICOSUPERIOR DE ACAYUCAN

ITSA

INGENIERÍA INDUSTRIAL

TRABAJO: SISTEMAS DE COLAS Y SERVIDORES

QUE EXISTEN

ALUMNO:

MARCOS CHAGALA CRISTOBAL

MATRICULA:

080B0413

Grupo: (“704-B”)

ACAYUCAN, VER (03/OCTUBRE/2011)



INGENIERIA INDUSTRIAL Página 2

Introducción

Como todo ser humano parte de nuestra vida es esperar para recibir algún

servicio. Esperamos para realizar un trámite, hacemos cola para comprar las

tortillas, hacemos cola para entrar al cine. Más sin embargo no solo los seres

humanos vivimos la experiencia del fenómeno de espera, los productos o trabajosesperan a ser procesados en una máquina, los automóviles se detienen ante la luz

roja de los semáforos.

¿Por qué estudiar sistemas de cola?

El estudio de las líneas de espera trata de cuantificar el fenómeno de esperar

formando colas, mediante medidas representativas de eficiencia, como la longitud

promedio de la cola, el tiempo promedio de espera en ella, y la utilización

promedio de las instalaciones.

Modelo de formación de colas

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y lacapacidad del sistema para suministrarlo.

En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas ala espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a quelos medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda de servicio;en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga amedida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente,aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegadosanteriormente están siendo atendidos.

Objetivos

Los objetivos de la teoría de colas consisten en:

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el costedel mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de lacapacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideracionescuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de

espera.




Elementos de un modelo de cola

Los actores principales en una línea de espera o cola son el cliente y el servidor.

Los clientes se generan en una fuente. Al llegar a la instalación pueden recibir

servicio de inmediato, o esperar en una cola o línea de espera, si la instalación

está ocupada.

Desde el punto de vista del análisis de las colas, el proceso de llegada se

representa con el tiempo entre llegadas, de los clientes sucesivos, y el servicio se

describe con el tiempo de servicio por cada cliente.

El tamaño de la cola desempeña un papel en el análisis de las colas, y puede ser

finito, o puede ser infinito.

La disciplina de la cola, que representa el orden en el que se seleccionan los

clientes de una cola, es un factor importante en el análisis de los modelos de

colas.

El comportamiento de los clientes en espera juega un papel en el análisis de las

líneas de espera. Los clientes "humanos" se pueden saltar de una cola a otra,

tratando de reducir la espera. También pueden rehusar totalmente a la cola por

haber esperado demasiado.

El diseño de la instalación de servicio puede comprender servidores en paralelo

(ejemplo: funcionamiento de la oficina de correos ) . También los servidores

pueden ordenarse en serie (ejemplo: cuando los trabajos se procesan en

máquinas sucesivas) o bien pueden formar una red (ejemplo: los enrutadores enuna red de computadoras)

La fuente donde se generan los clientes puede setenta finita o infinita. Una fuente

finita limita a los clientes que llegan al servicio (ejemplo : las máquinas que piden

el servicio de mantenimiento). También, una fuente infinita es abundante por

siempre (ejemplo: las llamadas que llegan a una central telefónica)

Las variaciones de los elementos de un caso de colas dan lugar a diversos

modelos de cola.

Modelos de sistemas de colas

Papel de la distribución exponencial

En la mayor parte de los casos de colas, la llegada de los clientes se hace de una

forma totalmente aleatoria. Aleatoriedad quiere decir que la ocurrencia de un

evento no está influida por el tiempo que haya transcurrido desde la ocurrencia del

evento anterior.




Los tiempos aleatorios entre llegadas se describen en forma cuantitativa, en los

modelos de colas, la distribución exponencial, que se define como sigue:

F(t)=λeˆλt, t 0˃

Modelos con nacimientos y muertes puras

El modelo de nacimiento puro es aquel en el que solo se permiten llegadas y el

modelo de muertes puras sólo permite salidas. La distribución exponencial se usa

para describir el tiempo entre llegadas en el modelo de nacimiento puro, y el

tiempo entre salidas con el modelo de muerte pura.

Modelo de nacimientos puros

Se define

P0 (t)= probabilidad de que no haya llegadas durante un espacio de tiempo t como

el tiempo entre llegadas es exponencial y la frecuencia de llegadas es x clientes

por unidad de tiempo, entonces

P0(t)= P {tiempo entre llegadas ≥t}

=1-P{tiempo entre llegadas ≤t}

=1-(1-e^λt)

=e^λt

Para un intervalo suficientemente pequeño h>0 ,

Po(h)=e^-λt =1 -λh+ (λh) ^2 \ 2!-... =1 -λh +0(h^2)

La distribución exponencial se basa en la hipótesis que durante un tiempo

suficientemente pequeño h>0, puede presentarse cuando mucho una llegada. Asi

cuando h 0,

P1(h)=1-P0(h)≈λh

Este resultado indica que la probabilidad de una llegada durante h es directamente

proporcional a h, y que la frecuencia de llegadas λ es la constante deproporcionalidad.




Modelo de muertes puras

En los modelos de muertes puras, el sistema comienza con N clientes cuando el

tiempo es 0, y no se permiten más llegadas. Las salidas se hacen con la

frecuencia de m clientes por unidad de tiempo. para deducir las ecuaciones en

diferencias y diferenciales para la probabilidad Pn (t) de n clientes remanentes alas t unidades de tiempo, se seguirán los argumentos que se usaron en el modelo

de nacimientos puros. Entonces

PN(t+h)=PN(t)(1-μh)

Pn(t+h)=Pn(t)(1-μh)+ Pn+1(t) μh, 0<n<N

P0(t+h)=P0(t)(1)+P1(t) μh

Cuando h 0, se obtiene

P'N(t)= -μPN(t)

P'n(t)= -μPn(t)+ μPn+1(t),0<n<N

P'0(t)= μP1(t)

La solución de esas ecuaciones es la distribución truncada de poisson:

Pn(t)=( μt)^N-n e^-μt / (N-n)! , n=1,2,...N N

P0(t)= 1-Σ Pn(t)

N=1

Modelo generalizado de cola de Poisson

El desarrollo del modelo generalizado de cola se basa en el comportamiento a

largo plazo, o de estado estable, de la cola, que se alcanza después de que el

sistema ha estado funcionando durante un tiempo suficientemente largo. Esta

clase de análisis contrasta con el comportamiento transitorio que prevalece

durante el inicio del funcionamiento del sistema.

En el modelo generalizado supone que las frecuencias tanto de llegada como desalida dependen del estado, y eso quiere decir que dependen de la cantidad de

clientes en la instalación de servicio.




Se definirá lo siguiente:

N= cantidad de clientes en el sistema (en la cola y en el servicio)

λn = frecuencia de llegada cuando hay n clientes en el sistema

μn= frecuencia de salida cuando hay n clientes en e l sistema

Pn= probabilidad de estado estable de que haya n clientes en el sistema

El modelo generalizado define a Pn como función de λn y Pn. Después se usan

esas probabilidades para determinar las medidas de funcionamiento del sistema,

como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera y la utilización

promedio de la instalación.

Bajo condiciones de estado estable, para n>0, las tasas esperadas de flujo de

entrada y salida del estado n deben ser iguales. Con base en el hecho de que el

estado n sólo puede cambiar a los estados n-1 y n+1, se obtiene:

(tasa esperada de flujo hacia el estado n) =λn -1 Pn-1 + μn+1Pn+1

De igual manera,

(Tasa esperada de flujo que sale del estado n ) = (λn +μn )Pn

Al igualar las dos frecuencias se obtiene la siguiente ecuación de balance:

Xn-1Pn-1+mn+1pn+1= (λn+μn)Pn, n=1,2...

Las ecuaciones de balance se resuelven recursivamente en función de P0 como

sigue: para n =0

P1 = (λ0/m1)P0

Después, para n=1

λ0p0+ μ2P2 =(λ1+μ1)P1

Se sustituye P1=(λ0/μ0)P0 y se simplifica, para obtener

P2= (λ1λ0/μ2μ1)P0

Se puede demostrar por inducción que, en general

Pn=(λn-1λn-2...λ0/ μnμn-1...μ1)P0, n=1,2...




El valor P0 se determina con la ecuación

Σn=0 Pn=1 D

Notación Kendall

Por lo general, las tasas de llegada y de servicio no se conocen con certidumbre

sino que son de naturaleza estocástica o probabilística. Es decir los tiempos de

llegada y de servicio deben describirse a través de distribuciones de probabilidad y

las distribuciones de probabilidad que se elijan deben describir la forma en que e

comportan los tiempos de llegada o de servicio.

En teoría de líneas de espera o de colas se utilizan tres distribuciones de

probabilidad bastante comunes, están se mencionan a continuación:

Markov Determinística General

La distribución de Markov, en honor al matemático A.A. Markov quien identifico los

eventos "sin memoria", se utiliza para describir ocurrencias aleatorias, es decir,

aquellas de las que puede decirse que carecen de memoria acerca de los eventos

pasados.

Una distribución determinística es aquella en que los sucesos ocurren en forma

constante y sin cambio.

La distribución general sería cualquier otra distribución de probabilidad. Es posible

describir el patrón de llegadas por medio de una distribución de probabilidad y el

patrón de servicio a través de otra.

Para permitir un adecuado uso de los diversos sistemas de líneas de espera,

Kendall, matemático británico elaboro una notación abreviada para describir en

forma sucinta los parámetros de un sistema de este tipo. En la notación Kendall un

sistema de líneas de espera se designa como

A / B / C

En donde

A = se sustituye por la letra que denote la distribución de llegada.

B = se sustituye por la letra que denote la distribución de servicio.




C = se sustituye por el entero positivo que denote el número de canales de

servicio.

La notación Kendall también utiliza M = Markoviano, D = determinística, G =

General, por ejemplo un sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias,

servicio determinístico y tres canales de servicio se identificará en notaciónKendall como

M / D / 3

En todos los casos se supone que solo existe una sola línea de entrada.

Es evidente que existen otros atributos aparte de los que se analizaron antes y

que deben de tomarse en consideración como por ejemplo:

El tamaño de la población de los que provienen los elementos que ingresanal sistema de líneas de espera.

La forma en que las unidades llegan para ingresar al sistema de líneas deespera; por ejemplo, una por una o en forma de grupos.

Si las unidades rechazan o no debido a la longitud de la línea de espera yno ingresan al sistema.

Si las unidades se arrepienten y abandonan el sistema después de haberaguardado un tiempo en la fila.

Si existe o no espacio suficiente para que todas las unidades que lleganaguarden en la fila.

Los modelos de Líneas de espera que se analizarán son los siguientes:

Modelo M / M / 1

Modelo M / M / S

Modelo M / G / 1

Modelo M / D / 1

MODELO M / M / 1

Este sistema trata de una distribución de llegada Markoviano, tiempo de servicio

Markoviano, y un servidor.

http://mx.geocities.com/troyescvm/MM1.htm

http://mx.geocities.com/troyescvm/MMS.htm


http://mx.geocities.com/troyescvm/MG1.htm


http://mx.geocities.com/troyescvm/MD1.htm





http://mx.geocities.com/troyescvm/MM1.htm




Llegadas aleatorias (M / M / 1)

En las situaciones cotidianas es fácil encontrar ejemplos de llegadas aleatorias,

puesto que las llegadas serán aleatorias en cualquier caso en la que una de ellas

no afecte a las otras. Un ejemplo clásico de llegadas aleatorias son las llamadas

que arriban a un conmutador telefónico o un servicio de emergencia.

Se ha determinada que las ocurrencias aleatorias de un tipo especial pueden

describirse a través de una distribución discreta de probabilidad bien conocida, la

distribución de Poisson. Este tipo especial de llegadas aleatorias supone

características acerca de la corriente de entrada. En primer lugar, se supone que

las llegadas son por completo independientes entre sí y con respecto al estado del

sistema.

En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo especifico no

depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud

del intervalo. Se dicen que estas ocurrencias carecen de "memoria".

Si conocemos el número promedio de ocurrencias por periodo, podemos calcular

las probabilidades acerca del numero de eventos que ocurrirán en un periodo

determinado, utilizando las probabilidades conocidas de la distribución de Poisson.

En particular, existe un promedio de l llegadas en un periodo, T, la probabilidad de

n llegadas en el mismo periodo esta dado por:

P[n llegadas en le tiempo T] =

Por ejemplo si existe un promedio de 6 llegadas aleatorias por hora, la

probabilidad de que haya solo 3 llegadas durante una hora está dada por:

P[6 llegadas en le tiempo en una hora] = = 0.0892

Tiempo de servicio aleatorio (M / M / 1)

Al igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos de servicios

aleatorios, carentes de memoria, es suceso bastante común en las situaciones

cotidianas de líneas de espera. Y al igual que las llegadas aleatorias los tiempos

de servicio carentes de memoria se describen a través de una distribución de

probabilidad.




La diferencia entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicio aleatorios es

que estos se describen a través de una distribución continua en tanto que las

llegadas se describen a través de una distribución de Poisson, que es discreta. Si

la duración de los tiempos de servicio es aleatoria, la distribución exponencial

negativa describe ese tipo de servicio. Si la m es la tasa promedio de servicio

entonces la distribución está dada por:

F(t) = m e-m t

Es posible emplear esta fórmula para calcular la probabilidad de que el servicio

sea más prolongado que alguna duración especificada de tiempo T. En la

siguiente figura se representa es modelo.

Características de operación

Para calcular las características de operación de una cola M / M / 1, primero

debemos de observar que sí l = tasa promedio de llegadas y m = tasa promedio de

servicio, entonces l debe de ser menor que m. Si esto no ocurriera el promedio de

llegadas sería superior al número promedio que se atienden y el número de

unidades que están esperando se volvería infinitamente grande. Si hacemos que

r = l / m puede denominarse a r como factor de utilización. Este valor es la fracción

promedio de que el sistema este ocupado, también sería el número promedio de

unidades que están siendo atendidas en cualquier momento. En términos de

probabilidad tendríamos que:

Pw = probabilidad de que el sistema esté ocupado.

Entonces la probabilidad de que el sistema no esté trabajando, o esté vacío, P0,

puede obtenerse por medio de:

A partir de esto podemos obtener la probabilidad de que haya n unidades en el

sistema, Pn, mediante:




en donde n es cualquier entero no negativo. Este importante resultado nos

permite calcular las características de operación de las líneas de espera.

La primera característica de operación que calculamos es el número promedio de

unidades que se encuentran en el sistema, ya sea esperando o siendo atendidas.

Denominaremos a este número promedio de unidades promedio, L. Entoncestenemos que:

Con estos valores obtenidos podemos calcular el número promedio de unidades

que esperan ser atendidas, Lq. Dado que L es el número de unidades que están

esperando o están siendo atendidas, y r es el número promedio de unidades que

están siendo atendidas en algún momento dado entonces:

L = Lq + r

A partir de esto es fácil observar que

Lq = L - r

O también podríamos decir que

Ahora examinaremos el tiempo de espera. Utilizaremos W para representar el

tiempo promedio o esperado que una unidad se encuentra en el sistema. Para

encontrar W, observaremos que se L el número esperado de unidades de en le

sistema y l es el número promedio de unidades que llegan para ser atendidas por

periodo, entonces el tiempo promedio de cualquier unidad que llega debe estar en

le sistema está dado por:

W = tiempo promedio de una unidad en el sistema

De manera similar, el tiempo esperado o promedio que una unidad tiene que

esperar antes de ser atendida, Wq, esta dado por:




En la siguiente figura se representa este modelo.

Ejercicio.

A una línea de espera llegan 20 unidades por hora y el tiempo promedio de

servicio es de 30 unidades por hora, realizar un análisis de esta línea de espera.

Datos

l = 20 unidades por hora

m = 30 unidades por hora

Con los datos anteriores podemos calcular la probabilidad de que el sistema estéocupado:

Pw = 20 / 30 = 2 /3

r = Pw

Entonces la probabilidad de que el sistema no esté ocupado:

Po = 1 - r = 1 / 3

El número esperado de unidades en el sistema quedará definido por:

= 2 Unidades

El número esperado de unidades que esperan ser atendidas quedará definido

por:




Entonces en promedio habrá 4 / 3 de unidades esperando ser atendidas y 2 / 3 de

unidad siendo atendida.

de hora

W = 6 minutos

De manera similar, el tiempo promedio que una unidad espera para ser atendida

estará definido por:

de hora

Wq = 4 minutos

MODELO M / M / S

Este modelo supone llegadas y tiempos de servicio aleatorios para canales de

servicio múltiples, teniendo las mismas consideraciones que le modelo de canal

único de servicio (M / M / 1), excepto que ahora existe una sola fila de entrada que

alimenta los canales múltiples de servicio con iguales tasas de servicio.

El cálculo de las características de la línea de espera para el modelo M / M / S es

algo más complicado que los cálculos para el caso de canal único, y dado que

primordialmente nos interesa las implicaciones de estas características más que

las formulas necesarias para calcularlos, nos apoyaremos en el uso de tablas

elaboradas a partir de estas formulas para hacer los cálculos.

Características de operación.

En el modelo M / M / S, si m es la tasa promedio de servicio para cada uno de losS canales de servicio, entonces ya no se requiere que m > l, pero Sm debe ser

mayor que l para evitar una acumulación infinita de líneas de espera. En el caso

de M / M / S, la característica que se utilizará para hacer los demás cálculos es la

probabilidad de que el sistema esté ocupado. En otras palabras, la probabilidad es

que haya S o más unidades en el sistema. En este caso todos los canales de




servicio se estarán utilizando y por ello se dice que el sistema está ocupado. Esto

puede representar como:

P (Sistema ocupado) =

Y lo podemos calcular por medio de la siguiente ecuación:

P(Sistema ocupado) =

En donde Po estará representado por

Con las ecuaciones anteriores podemos calcular los demás datos que requiera el

sistema. En el modelo M / M / S, al igual que el modelo M / M / 1, se tiene que

L = Lq + r, pero aquí utilizaremos el valor P(sistema ocupado) para calcular Lq:

Lq = P(sistema ocupado) x

Ahora calcularemos el valor L

Lq = P(sistema ocupado) x

En el caso de M / M / S, al igual que en el modelo M / M / 1, W = L / l y Wq = Lq /

l, por ello se tiene que

En la siguiente figura se representa este modelo.




Ejercicio.

Para ejemplificar el modelo M / M / S, suponga que existen cinco canales de

servicio con tasas promedio de servicio m = 6 y una tasa de llegada de l = 24

unidades por hora, esto implica que S = 5.

Datos

m = 6

l = 24

S = 5

Entonces tenemos que

Nota: Para encontrar los valores de Po con una mayor rapidez nos podemos

auxiliar de la tabla que se anexa a este sistema, la cual nos proporciona este valor

teniendo como parámetros los valores de S y de r .

Considerando los valores obtenidos podemos calcular el valor de Po = 0.0130, la

probabilidad de que el sistema este ocupado será P(sistema ocupado) = 0.5547,

utilizando este valor obtenemos que:

Unidades

L = 2.2188 + 4 = 6.2188 unidades

Ahora el tiempo promedio en del sistema quedará definido de la siguiente forma:




MODELO M / G / 1

Descripción

Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los

tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un

canal de servicio y una línea de espera.

En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de

Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio nonecesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial

negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos

considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de

servicio general y un canal de servicio.

La razón por la que podemos considerar el caso M / G / 1 es que las formulas que

se utilizan para calcular sus características de operación son bastantes simples. Al

igual que en el caso M / M / S, no es posible calcular en forma directa el numero

esperado de unidades en el sistema (L). Para esto primero debe de calcularse el

número de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), y utilizar esteresultado para calcular el valor de L. Para calcular el valor de Lq debemos de

conocer el valor de la desviación (s ) estándar de la distribución que distingue los

tiempos de servicio. Si no se conoce la distribución de los tiempos de servicio no

es posible determinar las características de operación.

Ahora si conocemos la desviación estándar y la media de la distribución de los

tiempos de servicio, puede obtenerse fórmula para el valor de Lq a partir de la

siguiente ecuación:

Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente

ecuación:




Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1,

podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el

tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por

medio de las siguientes ecuaciones:

MODELO M / D / 1

Descripción

Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, tiempo de servicio constante,una línea de servicio y una línea de espera.

En este modelo los tiempos de servicio son determinísticos, este es un caso

especial de la situación M / G / 1 que se analizó con anterioridad, en donde la

desviación estándar es igual a cero. En este caso se puede conocer el número de

unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), a través de la siguiente

ecuación:

Todas las demás características de operación pueden determinarse a partir de

este valor. Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la

siguiente ecuación:

Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1,

podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el

tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar pormedio de las siguientes ecuaciones:




Tipos de servidores

Modelo de la Cola Infinita, Fuente Infinita y una Unidad de Servicio.

Para este modelo se considera lo siguiente:

1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidadde Poisson o de Markov.

2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria quesigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que lostiempos de servicios son independientes entre sí e independientes del procesode llegada.

3.- Sólo hay una unidad de servicio.

4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primeroen salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.

5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso haestado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de lascondiciones iniciales.

para n = 0,1,2,3,--.

para n = 1,2,3, --..

- Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:

- Probabilidad de encontrar el sistema vacio:

- Factor de utilización:

- Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:

http://www.monografias.com/trabajos12/elorigest/elorigest.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elorigest/elorigest.shtml




- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperado en la cola y/osiendo atendidos:

- Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:

- Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:

- Probabilidad de que el tiempo empleado (T) exceda a un valor particular t:

a) Incluyendo el tiempo de servicio.

b) Excluyendo el tiempo de servicio.

Modelo de la Cola Infinita, Fuente Infinita y una Unidad de ServicioMúltiple.

Para este modelo de considera lo siguiente:1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidadde Poisson o de Markov.

2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria quesigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que lostiempos de servicios son independientes entre sí e independiente del procesode llegada.

3.- Hay varias unidades de servicio.

4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero

en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso haestado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de lascondiciones iniciales.

para n = 0,1,2,3,--.

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml




S : número de unidades de servicio.





- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperado en la cola y/osiendo atendidos:



- Probabilidad de que el tiempo empleado (T) exceda a un valor particular t:

Incluyendo el tiempo de servicio.




Cuando debe sustituirse por &µ t.

Modelo de la Cola Finita, Fuente Infinita y una Unidad de Servicio.

Para este modelo de considera lo siguiente:



3.- Hay una unidad de servicio.



6.- No se permite que el número de clientes exceda un número especificado(M). A cualquier cliente que llega cuando la cola está llena se le niega laentrada al sistema y este cliente lo deja para siempre.

para n = 1,2,3,--.

M : número máximo de clientes en el sistema.







- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/oatendidos:




Modelo de la Cola Finita, Fuente Infinita y una Unidad de ServicioMúltiple.









5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha

estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de lascondiciones iniciales.


para n = 0,1,2,3,--.

M: número máximo de clientes en el sistema.





- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/oatendidos:






Modelo de la Cola Finita, Fuente Finita y una Unidad de Servicio.




3.- Hay una unidad de servicio.




para n = 1,2,3,--.








- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/osiendo atendidos:



Modelo de la Cola Finita, Fuente Finita y una Unidad de Servicio Múltiple.















- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/osiendo atendidos:






Un Servidor - Una Cola

Es el tipo más sencillo de estructura y existen fórmulas directas para resolver elproblema con distribución normal de patrones de llegada y de servicio. Cuando lasdistribuciones no son normales se resuelve con simulaciones (ejemplo: lavaderoautomático de autos, muelle de descarga de un solo lugar, etc.).

Múltiples Servidores (en paralelo) – Varias Colas

El problema con este formato es que las diferencias en el tiempo de servicio paracada cliente ocasionan un flujo o velocidad desigual en las colas. Como resultadode esto, algunos clientes son atendidos antes que otros que llegaron primero y

además producen cambios de una cola a otra (por ejemplo: las ventanillas de losbancos y las cajas de pago de los supermercados).

Múltiples Servidores (en paralelo) – Una ColaPara modificar una estructura de manera que se asegure el servicio por orden dellegada, es necesario formar una sola cola, de la cual, al quedar disponible unservidor se le asigna el siguiente cliente. El principal problema con esta estructuraes que requiere un estricto control de la cola para mantener el orden y dirigir a losclientes hacia los servidores disponibles. (Ejemplo: peluquería o una panadería endonde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando llega el turno).

Múltiples Servidores (en serie) –

Una Cola

Un factor crítico del caso de un solo canal con servicio en serie es la cantidad deelementos que se acumulan al frente de cada servicio, lo cual genera colas deespera separada. Un ejemplo es el lavado de un automóvil, donde se realizanvarios servicios (limpieza con aspiradora, remojo, lavado, enjuague, secado,estacionamiento) en una secuencia bastante uniforme.Por la variación inherente de los tiempos de servicio, la situación óptima paramaximizar el uso del servicio es permitir que se forme una cola de espera infinitafrente a cada servidor. La peor situación es aquella donde no se permiten colas ysólo puede estar un cliente.Este problema es común en muchos sistemas orientados a productos (líneas demontaje), en los sistemas orientados a procesos (talleres de trabajo,procesamiento órdenes por lotes), permite la utilización máxima del servidor aldejar que el inventario de artículos disponibles absorba la variación en tiempo dedesempeño.




Múltiples Servidores - Fases Múltiples

En este caso se sigue una secuencia de pasos específicos, como en el caso deadmisión de pacientes en un hospital (contacto inicial en el mostrador de admisión,llenar formularios, elaborar tarjetas de identificación, obtener la asignación de una

habitación, llevar al paciente a la habitación, etc.). Es posible procesar más de unpaciente a la vez, ya que generalmente existen varios servidores disponibles paraeste procedimiento.

Conclusión

La teoría de cola nos ayuda a medir el tiempo de eficacia y los tiempos de espera

que tienen que soportar los clientes para poder ser atendidos o recibir un servicio

así como, también es de gran utilidad para demostrar u obtener el tiempo que se

requiere para que un producto sea procesado de una estación de trabajo a otra.

La teoría de cola no es magia pues no resuelve todo ella, lo que la teoría de cola

nos proporciona son datos que nosotros debemos de utilizar para tomar

decisiones apropiadas tanto en la vida diaria o en un proceso industrial o de

manufactura.

Teoria de Colas

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