Teoria de Colas

5 FENOMENOS DE ESPERA 5.1 Introducción

Las líneas de espera son fenómenos muy comunes y que se observan en diversas actividades: la gente que va a un banco a cambiar un cheque, los clientes que van a pagar la mercancía que han comprado, las órdenes que llegan para ser procesadas a través de deferentes procesos, los conductores que llegan a una estación de servicio para tanguear sus autos, etc.. Para que exista una cola sólo se requiere que las llegadas y/o los servicios ocurran a intervalos irregulares. El proceso básico que se asume al formular un modelo de colas es el siguiente: Las unidades que requieren servicio llegan al sistema. Estas unidades entran al sistema y se unen a la "cola". En ciertos puntos en el tiempo, un elemento de la cola es seleccionado para recibir servicio, mediante alguna regla conocida como "la disciplina de la cola". Luego el “mecanismo de servicio" del sistema realiza a la unidad escogida el servicio requerido. La figura 5.1 representa esquemáticamente un proceso de espera. Fuente Centro de espera Centro de servicio

Figura 5.1 Un sistema de colas. El gráfico representa un sistema que consta de: • Un centro de servicio con tres estaciones • Una cola que alimenta las tres estaciones • Dos fuentes suministradoras de clientes • El flujo entre la fuente y la facilidad de servicio marca el proceso de llegadas. 5.2 Características de los sistemas de colas 5.2.1 Componentes de los sistemas de colas Un sistema de espera tiene cuatro características: el proceso de llegadas, el mecanismo de servicio, la disciplina de la cola y el número de colas.

Los clientes ò el proceso de llegadas El proceso de la demanda de servicios o de llegada de los clientes es, en general, un proceso estocástico y se describe en términos de la distribución de probabilidad del intervalo entre llegadas. Los factores que se necesitan para especificar el proceso de llegadas son: • La fuente de llegadas • El tipo de llegadas • Los tiempos entre llegadas.

Fuente 1

Fuente 2

B. Calderón. “Procesos Estocásticos. Fenómenos de espera” 2

Algunos tipos de llegadas pueden ser: a) Llegadas poissonianas, según las cuales el número de clientes que llegan a requerir servicio

es un proceso de Poisson, o equivalentemente, el tiempo entre llegadas de clientes sucesivos es exponencial.

b) Llegadas regulares, a intervalos constantes. c) Llegadas en grupo. d) Llegadas regulares con impuntualidad. e) Llegadas en tiempos discretos. f) Llegadas no estacionarias. Se presenta cuando la tasa de llegada no es constante, sino que

depende del instante de tiempo considerado g) Llegadas que siguen una distribución general. h) Otros aspectos relacionados con las llegadas son:

• Los clientes se desaniman según el tamaño de la cola. • La fuente generadora de clientes puede ser infinita, y las llegadas suelen ser

independientes del tamaño de la fuente. • La fuente puede ser finita y las llegadas dependen del número actual de individuos en la

fuente. • Pueden llegar diferentes clases de clientes.

Las entidades que llegan al sistema de colas (llamadas unidades, órdenes, trabajos o clientes) poseen ciertas características que afectan al sistema de algún modo. Estas características pueden ser: • Distribución de las llegadas o del tiempo entre llegadas. Es generalmente un proceso

estocástico que gobierna el número de llegadas al sistema. • Prioridad. Es alguna medida relativa del valor o importancia que tiene una unidad para el

sistema, comparada con las otras unidades. Generalmente indica que tan rápido se va a mover una unidad a lo largo del sistema.

• Impaciencia. Este factor indica cuanto tiempo puede permanecer una unidad en el sistema sin ser atendida. La impaciencia puede describirse mediante las siguientes condiciones (i) Cuando una unidad rehúsa entrar a la cola porque es muy larga, (ii) cuando una unidad deja la cola después de esperar cierto período de tiempo y (iii) cuando una unidad deja una cola para pasar a otra.

• Otra característica que pueden tener las unidades es el tiempo que se van a gastar en la facilidad de servicio o tiempo de procesamiento (por ejemplo, órdenes de producción). Sin embargo, en la mayoría de los sistemas de colas este tiempo depende directamente de la facilidad de servicio.

• Llegadas en lotes, cuando una llegada al sistema puede consistir de varias unidades. Es frecuente encontrar situaciones reales en que las llegadas no son estacionarias, pero se puede admitir que la tasa de llegada sea constante durante el intervalo de tiempo que sirve de base para estudiar el proceso de colas. Desde el punto de vista analítico, mas no de la simulación, es necesario suponer que la tasa de llegadas sea estacionaria. El mecanismo de servicio Las principales características del mecanismo de servicio son: a) Número de estaciones de servicio y configuración de las mismas (serie o paralelo). b) Número de clientes que pueden ser atendidos en un instante cualquiera. c) La duración del servicio. La duración de un servicio es, en general, una variable aleatoria y

se especifica de acuerdo con una distribución de probabilidad. Los tipos de servicio más comunes son: • Distribución exponencial. • Distribución erlang • Distribución gama • Servicio constante


• Tiempo de servicio correlacionado con otros aspectos del sistema. Por ejemplo: servicio acelerado de acuerdo al número de personas que haya esperando.

La facilidad que sirve para atender las unidades puede tener varias características de interés. • El proceso de servicio, esto es, la distribución de la duración de los servicios. Generalmente

es un proceso estocástico cuya variación es inherente a la facilidad. Comúnmente se asignan los valores a los tiempos de servicio a medida que las unidades llegan a la facilidad, aunque puede suceder que estos tiempos se asignen cuando las unidades entran al sistema (órdenes de producción).

• Configuración del sistema. Cuando existen varias estaciones para prestar servicio, éstas pueden estar en paralelo (cuando todas prestan el mismo servicio, y una unidad pasa solamente por una estación) o en serie (cuando una unidad debe pasar por todas las estaciones) o puede haber una combinación serie paralelo.

• Disciplina del servicio. Esta característica indica si se puede o no interrumpir un servicio una vez este ha comenzado. Esta disciplina esta íntimamente ligada con la prioridad o importancia de las unidades, o con la necesidad del servicio de las unidades. Las unidades de mayor prioridad pueden exigir que la facilidad detenga su proceso actual para atenderlas.

• El sistema puede atender también en lotes a varias unidades simultáneamente. La disciplina de la cola La disciplina de espera es el conjunto de reglas que especifican el orden de atención a las unidades. Los casos más comunes pueden ser: a) Disciplina FIFO o PEPS (Primeros el entrar, primero en salir). La primera unidad que llega,

será la primera en ser atendida. Es el caso más general de selección de la unidad que pasa al servicio.

b) Disciplina LIFO o UEPS (Últimos en entrar, primeros en salir). Los últimos clientes en llegar, serán los primeros en ser atendidos.

c) Selección aleatoria de la unidad a ser atendida. d) Selección de acuerdo con la importancia del cliente, es decir, de acuerdo con la prioridad del

cliente. La línea de espera puede tener las siguientes características: • Longitud. Es decir, el número máximo de unidades que pueden esperar en frente de una

estación. • Número de colas. Cuando hay varias estaciones en paralelo puede existir una cola única que

alimente todas las estaciones o puede existir una cola para cada estación. Además, en este último caso, cada unidad que llega puede escoger la cola en la cual esperará - la más corta, la más rápida, etc. Cuando las estaciones que prestan el servicio están ordenadas en serie, debe existir una cola para cada estación.

• La disciplina de la cola, la cual indica el método de ordenar las unidades en la cola y escoger la próxima que va a ser atendida. Existen varias posibilidades para escoger la disciplina de la cola De acuerdo al orden de llegada, o la que tenga la menor fecha de entrega, la que vaya a permanecer el tiempo mínimo en el servicio o hacer la selección en forma aleatoria.

El número de colas Cuando las estaciones de servicio están organizadas en serie, en general existe una cola en frente de cada estación. Cuando las estaciones de servicio están organizadas en paralelo, puede existir una cola para cada estación o puede existir una sola cola que alimente todas las estaciones. Además, el tamaño de cada una de las colas puede ser diferente.. Desde el punto de vista analítico, se supone que sólo existe una cola para todas las estaciones.


5.2.2 Objetivos El objetivo que se persigue al estudiar un sistema de colas puede ser muy variado. Generalmente se pretende definir cual debe ser la mejor configuración de tal forma que se minimice el costo de operación del sistema, o cual puede ser el costo de operación para una configuración dada. Entre las diferentes medidas que se pueden obtener para analizar el comportamiento de un sistema de colas están las siguientes: a) Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema y la distribución de frecuencia del

tiempo de permanencia en el sistema. b) Utilización de las estaciones de servicio. c) Número medio de unidades en el sistema y distribución del número de unidades del sistema. d) Tiempo medio que permanece una unidad en cada una de las colas y su distribución. e) Número medio de unidades en cada una de las colas y su distribución. f) Tiempo de inactividad de las estaciones de servicio, o porcentaje de utilización Los fenómenos de espera pueden estudiarse analíticamente o mediante la simulación. Sin embargo, sólo existen soluciones analíticas para unos casos particulares, generalmente cuando las llegadas y los servicios son exponenciales, y el sistema no es muy complejo. La simulación, por el contrario puede usarse para resolver cualquier problema de colas, por complejo que sea, no importa cual sea la distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo de servicio. 5.2.3 Variables que deben considerarse al formular un modelo de colas

En todo modelo hay tres tipos de variables que deben considerarse: Variables exógenas, de estado y endógenas. Con relación a los modelos de colas, cada una de estas categorías puede incluir las siguientes variables a) Variables exógenas o de entrada al sistema: Entre estas variables se encuentran las

siguientes:

• Tiempo entre llegadas al sistema. • Tiempo de servicio en las diferentes estaciones. • Prioridad de los clientes • Número de estaciones de servicio • Tasa de llegada de clientes al sistema • Tasa de servicio de las diferentes estaciones o servidores • Costos de prestación del servicio por unidad de tiempo • Costo de espera o de inactividad por cliente

b. Variables de estado:

• Tiempo que una orden cualquiera permanece en una cola. • Tiempo que una estación esta inactiva, esperando la llegada de un cliente. • Número de unidades en el sistema en cualquier instante. • Número de unidades en la cada cola. • Número de estaciones inactivas en cualquier instante. • Número de órdenes recibiendo servicio en un instante cualquiera. • Tiempo de permanencia de un cliente en el sistema

c. Variables endógenas:

• Número medio unidades en el sistema. • Número medio de unidades en cada una de las colas. • Número medio de unidades recibiendo servicio. • Número medio de estaciones inactivas. • Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema. • Tiempo medio que una unidad permanece en cada una de las colas.


5.2.4 Clasificación de los modelos de colas Existe una clasificación estándar para identificar los modelos de colas, según sus características o propiedades. Esta clasificación se aplica a modelos de servicio único prestado por una o varias estaciones. Los modelos se identifican mediante la siguiente convención, en letras:

Clasificación de Kendall: A/B/C: (D/E/F)

donde las letras o campos se usan según la siguiente convención: A = En esta campo se coloca la distribución del tiempo entre llegadas B = En este campo se especifica la distribución del tiempo de servicio C = Se usa para identificar el número de estaciones de servicio, en paralelo D = En este campo se especifica la prioridad del sistema. Por defecto se supone que es FIFO. E =Indica la capacidad de sistema (Por defecto ise supone que es limitada) F = Tamaño de la fuente (Por defecto se asume que es ilimitada) Para especificar la distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo se servicio se usa la siguiente convención:

• M = Distribución exponencial • G = Distribución general • Ek = Distribución de Erlang • D = Distribución constante

A veces la clasificación es simplemente A/B/C, y si es del caso se especifica con palabras alguna otra propiedad del sistema. Ejemplo: M/M/5: (FIFO/∞/∞) Ejemplo: M/M/1: (FIFO/10/∞) Ejemplo: M/M/s: (FIFO/M/M) Ejemplo: M/G/1 A continuación se analizan diferentes modelos que son útiles para simular los fenómenos de espera. Sin embargo, previamente es necesario definir algunos parámetros y variables usados en los diferentes modelos, y las relaciones que son válidas para todos los modelos de canales en paralelo. 5.2.5 Parámetros, variables y relaciones básicas Parámetros Los principales parámetros usados en los modelos de colas son los siguientes

• S = Número de servidores o estaciones de servicio, en paralelo • λ = Tasa media de llegada de clientes al sistema • µ = Tasa media de servicio por estación • m = Tamaño de la fuente (número máximo de clientes que pueden llegar al sistema) • N = Capacidad del sistema (número máximo de clientes que pueden haber en el

sistema en cualquier instante) Variables de estado Las principales variables de estados usadas son:

• X(t) = n = Número de clientes que hay en el sistema en cualquier instante • v = Número de clientes que hay en la cola en cualquier instante. Se supone que existe

una cola que alimenta todas las estaciones de servicio • a = Número de clientes que están recibiendo servicio en cualquier instante. También es

equivalente al número de servidores ocupados


• r = Número de servidores inactivos • Pn(t) = Probabilidad de que haya n personas en el sistema en el tiempo t

Medidas de congestión Se denominan medidas de congestión aquellas medias o indicadores que reflejan el comportamiento general del sistema a largo plazo, o en régimen permanente. Se refieren, por lo general, a las variables endógenas o de salida del sistema

• Pn = Probabilidad, a largo plazo, de que haya n personas en el sistema

• L = Número esperado de clientes en el sistema

• Lq = Número esperado de clientes en la cola

• W = Tiempo esperado de permanencia de un cliente en el sistema

• Wq = Tiempo medio de espera de un cliente antes de ser atendido (tiempo de permanencia en la cola)

• Wq/Wq>0 = Tiempo medio de espera de un cliente en la cola, cuando tiene que esperar.

• a = Número medio de clientes que reciben servicio

• = Número medio de servidores ocupados

• r = Número de servidores inactivos

• P(Wq>0) = Probabilidad de que un cliente tenga que esperar Relaciones básicas La variable de estado más importante es el número de clientes que hay en el sistema (n), ya que a partir de ésta se pueden derivar todas las demás, como se muestra a continuación. Número de clientes en la cola (V)

≥−<

=snsisn

snsiV

0

Número de clientes que están recibiendo servicio (a)

≥<

=snsis

snsina

Número de estaciones o servidores inactivos (r)

≥<−

=snsi

snsinsr

0

Además, dado que el número de clientes que hay en el sistema debe estar o recibiendo servicio o esperando ser atendidos, se debe cumplir que

n = v + a

Usando las relaciones anteriores y la definición de valor esperado, se tienen las siguientes expresiones:

∑

∑

∞

=

∞

=

−=

=

snnq

0nn

PL

P

)sn(

nL


∑∑∑∑

∑

−

=

−

=

∞

=

−

=

−

=

−+=+=

−=

1n

0nn

1s

0nn

snn

1s

0nn

1s

0nn

)1(snsna

)ns(r

PPPP

P

P(Wq>0) = P(n≥s) = Probabilidad de esperar = ∑∑−

=

∞

=

−=1

0

1s

nn

snn PP

Igualmente se debe cumplir que avn +=

Otras relaciones (Fórmulas de Litlle) Las siguientes expresiones, cuya demostración en forma heurística se hará posteriormente, son válidas para todos los modelos de colas, si se calcula adecuadamente la tasa efectiva λef como la tasa media de entrada de clientes al sistema.

µλ

λ

λ

efa

W qefqL

WefL

=

=

=

A continuación se analizan diferentes modelos que son útiles para analizar analíticamente los fenómenos de espera. 5.2.6 Función de costos. Costos a considerar Como ya se mencionó, el objetivo que se persigue al estudiar un sistema de colas puede ser muy variado. Generalmente se pretende definir cual debe ser la mejor configuración de tal forma que se minimice el costo de operación del sistema, o cual puede ser el costo de operación para una configuración dada. Por lo tanto, al realizar el análisis de los fenómenos de espera, es necesario considerar los diferentes costos involucrados en estos sistema, los cuales se resumen en:: a) Costos de prestación del servicio Este costo se puede referir al costo ocasionado por cada servidor por unidad de tiempo (Co), o al costo marginal de incrementar la tasa de servicio por unidad de tiempo Cu. En el primer caso para encontrar el costo total, el costo unitario se multiplica por el número de servidores (s), mientras que en el segundo caso se multiplica por la tasa de servicio (µ)

Co = Costo por servidor/tiempo Cu = Costo de incrementar la tasa de servicio

b) Costo de espera o de inactividad por cliente Este costo se refiere a lo que le cuesta a un cliente esperar mientras se lo atiende. En algunos casos este costo lo sufre directamente el sistema (tiempo de inactividad de las máquinas, tiempo ocioso de los empleados esperando las herramientas de trabajo), y en otros casos el sistema no asume directamente este costo, sino que lo sufre directamente el cliente, pero a la larga, su efecto se notará sobre el sistema, ya que si el sistema no reduce estos costos de inactividad de los clientes, éstos preferirán ir a otros sitios, y por lo tanto la demanda del sistema decaerá. Este costo lo denotaremos por Ci, y en general se puede aplicar o al número medio de unidades que esperan ser atendidas o al número medio de unidades en el sistema, dependiendo de los


elementos tendidos en cuenta la realizar su estimación.

Ci = Costo de inactividad por cliente por unidad de tiempo c) Costo total por unidad de tiempo. Corresponde a la suma de los costos de operación y de inactividad. Se podría formular como:

CT(s) = sCo + Ci L

CT(µ) = uCu +Ci L

5.3 Sistema de colas con varias estaciones de servicio en paralelo La figura 5.2 ilustra esquemáticamente un sistema de colas cuando existen varias estaciones idénticas que prestan el mismo servicio. Las unidades llegan al sistema, por lo general en forma aleatoria, entran si hay espacio disponible, esperan en una cola, si es del caso, antes de recibir el servicio, luego pasan al servicio y finalmente abandonan el sistema. Por lo general el tiempo de llegada y el tiempo de servicio son aleatorios. Si cuando el cliente llega hay una estación vacía o inactiva, pasa inmediatamente al servicio y es atendida, en caso contrario la unidad que llega se coloca en la cola y espera mientras llega su turno para ser atendida. Cuando una estación o servidor finaliza un servicio, y hay varias unidades esperando ser atendidas, la elección de la próxima unidad que va a recibir servicio puede realizarse de varias maneras, de acuerdo al orden de llegada, es decir, los primeros que llegan pueden ser los primeros en salir, o también puede usarse alguna otra disciplina, como la prioridad o la selección aleatoria.

Llegada Línea de espera Centro de servicio

Figura 5.2 Un sistema de estaciones en paralelo 5.3.1 Modelo M/M/s (abierto) o M/M/s (FIFO/∞∞∞∞/∞∞∞∞) Las principales suposiciones de este modelo son las siguientes: • Las llegadas siguen un proceso de Poisson con tasa λ, es decir, el tiempo entre llegadas de

dos clientes sucesivos es exponencial una media de 1/λ • Existen s servidores idénticos, con una tasa de servicio µ, y los tiempos de servicio son

exponenciales • Existe una cola que alimenta los s servidores • La fuente de donde provienen los clientes es infinita • El sistema tiene una capacidad ilimitada para atender los clientes • La disciplina de la cola es FIFO, es decir, se atiende los clientes de acuerdo al orden de

llegada.

5.3.1.1. Formulación del modelo Si analizamos las suposiciones del modelo, vemos que se ajusta a un “Proceso de nacimiento y muerte” ya que las llegadas al sistema (nacimientos) son exponenciales con tasa λ, y el tiempo entre salidas (muertes) también es exponencial, con las siguientes tasas:

s

2

1


sns

snn

n

n

n

≥=<=≥=

,

,

0,

µµµ

λλ

Para el cálculo de la tasa de salida (tasa de muerte) debe tenerse en cuenta que el próximo tiempo de salida está dado por el menor de los tiempos de servicio de los servidores que están ocupados atendiendo clientes. Como cada tiempo de servicio es exponencial con tasa µ, entonces el tiempo ente salidas del sistema es también exponencial con una tasa igual al número de servidores ocupados multiplicado por la tasa de servicio de cada servidor (µ). Si el número de clientes que hay en el sistema n es inferior al número de servidores s, entonces el número de servidores ocupados será n y el sistema atenderá todos los clientes con una tasa total nµ, pero si el número de clientes del sistema es mayor o igual al número de servidores, entonces el sistema atenderá s clientes con una tasa total sµ. Cálculo de las probabilidades límites Como se trata de un proceso de nacimiento y muerte, se pueden usar las ecuaciones respectivas dadas por

PPn

nn 0

1

2

1

1

0 ...µλ

µλ

µλ −=

la cual se descompone de la siguiente manera: a) Para n < s

( )

( )0)npara(válida,P0!n

λ/ nP0nµ

λ...µ2

λ

µ

λPn

P02

λ/ 2P0µ2

λ

µ

λP2,P0

µ

λP1

=µ

==

µ===

b) Para n ≥ s

( ) ( ) ( )sµ

λφdonde,P0φ sn

s!

λ/ sP0sλ/ sn

s!

λ/ s

P0sµ

λ...

sµ

λ

sµ

λ...µ2

λ

µ

λPn

=−µ=µ −µ

=

=

Como los Pn forman una distribución de probabilidad se debe cumplir que 10

=∑∞

=nnP

∑ φ

µλ

∑ +

µλ

∑ ∑ φ

µλ

∑

µλ

∞

=

−−

==

+==

−

∞

=

∞

=

−−

=

sn

sns1s

0n

n

!s

1

!n

11

!s1

!n1

P

PPP

1

0

0n sn0

sns

1s

0n0

n

n


1s

si,

s1s

0n

n

11

!s1

!n1

P

1

0 <µλ=φ

−

==

φ−

µλ

∑ +

µλ

−

Por lo tanto, existen las probabilidades límites si ϕ=λ/(sµ)<11, es decir si λ que es la tasa media de llegada al sistema es menor que (sµ), que representa la tasa máxima de salida o de servicio; en caso contrario no existirá un régimen estable o permanente ya que el sistema sería “explosivo” porque llegarían más clientes que lo que el sistema estaría en capacidad de atender. La relación ϕ=λ/(sµ) recibe el nombre de “intensidad de tráfico”. En resumen, se tiene que:

( )

( )

1sµ

λφ

sn,P0φ sns!

λ/µ s

P sn0,n!

λ/µ n

Pn

<=

≥−

<=

( ) ( )

φ−∑ +−

==

−

1

1

!sλ/µ

!nλ/µ

Ps1s

0n

n1

0

5.3.1.2. Medidas de desempeño del sistema (Medidas de congestión) A partir de P0 se pueden calcular las demás probabilidades, y con ellas, las principales medidas del sistema. Sin embargo, para el modelo M/M/s abierto se pueden calcular analíticamente las diferentes variables endógenas del sistema . A continuación se realiza su cálculo. a) Número medio de clientes en la cola Lq Representa el número esperado de clientes que hay en la cola esperando recibir servicio, y está definido como:

φµλφµλφ

1

00)(

!!)()(

)/()/( −−∞

=

−∞

=

∞

=∑∑∑ −=−=−=

sn

sn

s

sn

sn

s

snnq

snss

snsn PPPL

1 Recorderis: La serie geométrica toma los siguientes valores, dependiendo del valor de ρ:

1ρ,ρ1

1

0jρ j

1ρ,1)(MM

0jρ j1;ρ,

ρ1

ρ 1M1M

0jρ j

<−

=∑∞

=

=+=∑=

≠−

+−=∑

=


Como se puede observar, el término φ 1)(

−−∞

=∑ −

sn

sn

sn se puede representar como la derivada

de la siguiente expresión φ sn

sn

−∞

=∑ con respecto a ϕ. Es decir,

)1(2

1 1

1

1)(

φφφ φφφ −

∑∑ =

−==−

−∞

=

−−∞

= d

d

d

dsn

sn

sn

sn

sn

Por lo tanto se tiene que

PLs

s

q 02

)1()/(

!φ

φµλ

−=

b) Número medio de servidores inactivos Está dado por:

∑−

=

−=1

0

)(s

nnPnsr

Como n< s, se aplica la expresión correspondiente de Pn, y se obtiene

Ps

n

n

nnsr

0

1

0 !)(

)/(∑

−

=

−=µλ

Desarrollando la suma y simplificando la del extremo derecho se obtiene

∑ ∑

∑ ∑

−

=

−

=

−

=

−

=

−−=

−=

1

0

1

100

1

0

1

100

)!1(!

!!

)/()/(

)/()/(

s

n

ns

n

n

s

n

ns

n

n

nns

nn

nsr

PP

PP

µλµλ

µλµλ

Realizando la suma del extremo derecho hasta n (sumando y restando el término en n) se tiene

)!1()!1(

)/(!

)/()/()/(0

1

0

1

100 −

+−

−= ∑ ∑−

=

−

= snnsr

ss

n

ns

n

n

PPPµλµλµλ

µλ

Realizando el cambio de variable j = n -1 para la segunda sumatoria se tiene

)!1(!

)/(!

)/()/()/(0

1

0

1

000 −

+−= ∑ ∑−

=

−

= sjnsr

ss

n

js

j

n

PPPµλµλµλ

µλ

Como se puede apreciar, los términos correspondientes a las dos sumatorias son los mismos (lo único que cambia es el índice de la sumatoria), y sacando esta sumatoria como factor común en los dos términos que las contienen se tiene:


)!1(

}/´{!

)/()/(0

1

00 −

+−= ∑−

= ss

nr

ss

n

n

PPµλµλ

µλ

En la expresión anterior, sacando como factor común (s - λ/µ) se obtiene

−+−=

−−+−=

∑

∑

−

=

−

=

}/1{!´

!}/{

}/{)!1(´

!}/{

)/()/(

)/()/(

1

00

1

00

µλµλ

µλµλ

µλµλ

µλµλ

ssnsr

ssnsr

ss

n

n

ss

n

n

P

P

El término dentro del paréntesis es igual a 1/P0, por lo cual el número medio de servidores inactivos se expresa como

µλ /−= sr

c) Número medio de servidores ocupados Como ya se mencionó corresponde también al “número medio de clientes en servicio”, y se calcula como el número total de servidores menos el número esperado de servidores inactivos, es decir:

µλµλ /}/{ =−−=−= ssrsa

d) Número medio de clientes en el sistema L El número medio de clientes en el sistema puede calcularse como el número medio de clientes en la cola más el número medio de clientes que reciben servicio, a saber:

µλφ

φµλ

+=−

+= PaLLs

q

s

02

)1()/(

!

e) Tiempos de espera Función de densidad del tiempo de espera. Suponga que cuando un cliente llega encuentra que ya hay n clientes en el sistema. Si denotamos por Wq/n el tiempo de espera en la cola del cliente dado que ya hay n clientes en sistema cuando llega, y por f(wq/n) la función de densidad condicional del tiempo de espera, dado que hay n clientes en el sistema, se tiene que este nuevo cliente no espera (tiempo de espera es cero) si el número de clientes que hay en el sistema en el momento de entrar es menor que s (n < s), y si el número de clientes que hay en el sistema en el momento de entrar es mayor o igual a s (n ≥ s), le toca esperar a que el sistema atienda n – s + 1 clientes antes de que pueda ser atendido. Es decir:

Llegada cliente nuevo n - s clientes esperando s clientes en servicio

n

s

2

1


≥+++<

=+−

snsi

snsin

TTTWsn

q121

0/

Cuando el nuevo cliente llega al sistema, el tiempo que aún le falta a cada cliente que está recibiendo servicio es exponencial con tasa µ, (por la propiedad de pérdida de memoria), y el tiempo de servicio de los clientes que están en la cola es también exponencial tasa µ. Ahora bien, el sistema atiende a una tasa sµ o también, el tiempo para que un cliente termine de ser atendido y salga del sistema corresponde al mínimo de los tiempos de servicio de los que están siendo atendidos, es decir, es igual a mínimo(X1, X2, ...,Xs) = mínimo (de los tiempos de servicio), que sigue una distribución exponencial con parámetro sµ. Por lo tanto, y según la disciplina de la cola que es FIFO, Wq/n corresponde a la suma de n – s +1 variables exponenciales con parámetro sµ, suma que sigue una distribución Erlang con parámetros sµ y n – s +1 ⇒ Wq/n → Erlang (sµ, n-s+1)

<

≥−=

−

−

snsi

snsisn

qwsnfws

ew

sn

s

q

q

0

,)!()/()( µµµ

La función conjunta de densidad del tiempo de espera Wq y del número de clientes n -f(wq,n)- se puede calcular usando las fórmulas de probabilidad condicional, y está dada por:

f(wq, n) = f(wq/n)Pn

Como hay que esperar cuando n ≥ s, y reemplazando Pn por la expresión adecuada se tiene

( )

µλ=ϕ−

λµ=

−

µϕµ=

−−

µ=

−µ−

−µ−

−

µ−

µλ

µλ

µ

s/queya,)!sn(

)(

s!

ws

)!sn(

)s(

s!

ws

P0φ snµ

λ s

s!

1

)!sn(

qws)n,(f

sn

q

s

0

s

sn

q

s

0

s

sn

s

q

w)/(Pe

w)/(Pe

)ws(ew

q

q

q

La función de densidad marginal del tiempo de espera f(wq) se calcula evaluando la sumatoria de f(wq,n) para todos los valores de n, a saber:

eP

eP

ePe

wPeww

w

wswws

sn

wsnff

q

qq

q

q

s

s

ss

sss

sn

sn

q

ss

snqq

)1(0

)/1(00

0

)!1(s

s!s!

)!(

)(

s!),()(

)/(

)/()/(

)/(

ϕµ

µλµλµ

µ

µλ

µλµλ

µλ

µ

µµ

λµ

−−

−−−

∞

=

−−∞

=

−=

==

−== ∑∑

ya que la sumatoria corresponde al término eλwq.


Función de impaciencia P(Wq > w0) Se denomina función de impaciencia a la probabilidad de que un cliente que llegue tenga que esperar una cantidad de tiempo determinada (de w0 o más)

eP

eP

eP

eP

wW

wwsu

wdww

wdwwP

s

s

s

s

q

s

s

q

s

s

qqq

00

00

)1(0)1(0

)1(0)1(0

0

)1(s!)1()!1(s

)!1(s)!1(s)(

)/()/(

)/()/(

ϕµϕµ

ϕµϕµ

ϕϕµ

µµ

µλµλ

µλµλ

−−−−

∞ −−∞ −−

−=

−−=

−=

−=> ∫∫

Probabilidad de esperar P(Wq > 0) Representa la probabilidad de que un cliente que llegue al sistema tenga que esperar y se calcula reemplazando w0 en la expresión anterior por cero.

)1(s!)0(

)/(0

ϕµλ

−=>

s

q

PWP

Un cliente que llega tiene que esperar si en el momento de su llegada hay s o más clientes en el sistema (todos los servidores están ocupados), por lo tanto, la probabilidad de esperar también se calcula como la probabilidad e que el número de clientes en el sistema sea mayor o igual que s.

)1(s!s!s!)()0(

)/()/()/( 000

ϕµλϕµλϕµλ

−===≥=> ∑∑

∞

=

−∞

=

−s

sn

sn

s

sn

sn

s

q

PPPW snPP

Probabilidad de no esperar

)1(s!1

!)()0(

)/()/( 01

0

0

ϕµλµλ

−−==<== ∑

−

=

ss

n

n

q

PPW n

snPP

Tiempo medio de espera en la cola E(Wq)

2

00

)1(0

)1(s!)1(

1

)1(

1

)!1(s

)!1(s)()(

)/()/(

)/(00

ϕµϕϕµ

µ

µλµλ

µλ ϕµ

−=

−−−=

−== ∫∫

∞ −−∞

ssusu

wdwq

w

wdwwfWE

ss

q

ss

qqqq

PP

ewPW

q

El tiempo medio de espera en la cola por lo general se denota por Wq Función de densidad del tiempo de espera en la cola dado que el cliente tiene que esperar f(wq/wq>0) Simplemente se calcula usando la definición de probabilidad condicional, como


e

PeP

www

ww

ws

w

P

ff

q

q

s

s

ss

q

qq

qq

)1(

0

)1(0

)1(

)1(s!

)!1(s)0(

)0,()0/(

)/()/(

ϕµ

ϕµ

ϕµ

ϕ

µ

µλµλ

−−

−−

−=

−

−=

>

>=>

Por lo tanto, la distribución condicional del tiempo de espera dado que hay que esperar se distribuye exponencialmente con parámetro (tasa ) sµ(1 - ϕ) Tiempo medio de espera en la cola dado que hay que esperar E(Wq/ Wq>0)

)1(

1)0/(

ϕµ −=>

sE ww qq

Tiempo medio de permanencia en el sistema E(W) Se lo calcula como el tiempo medio de permanencia en la cola más el tiempo medio en el sistema

µϕµµ

µλ 1

)1(s!

1)()(

2

0 )/(+

−=+=

sWEWE

s

q

P

El tiempo medio de permanencia en el sistema por lo general se denota por W 5.3.1.3. Fórmula de Little Las fórmulas de Little proporcionan una forma más sencilla de calcular algunas variables endógenas del sistema (tiempos medios en la cola y en el sistema, número medio de servidores ocupados), definiendo adecuadamente la tasa efectiva de entrada al sistema, de acuerdo con la situación analizada. Cálculo del ttiempo medio de espera y en el sistema W y Wq Sea θ un período de tiempo suficientemente grande. Considere los siguientes aspectos

a) Tasa media de llegada sistema por unidad de tiempo = λ b) Tasa efectiva de entrada al sistema/tiempo =λef= λ c) Total de entradas al sistema durante el tiempo θ = θ λef d) Tiempo de permanencia en el sistema por unidad = W e) Tiempo total gastado en el sistema por todas las unidades = θ λef W f) Número medio de unidades en el en sistema = L g) Tiempo total gastado en el sistema por todas las unidades = θ L (θLq)

Como e) y g) son iguales se tiene que

θ λef W = θ L ⇒ L = λef W ⇒ W = L/λef

Para el caso del tiempo medio en la cola, basta con sustituir el tiempo medio en el sistema (W) por el tiempo medio en la cola (Wq), y el número medio de unidades en el sistema (L) por el número medio de unidades en la cola (Lq) para obtener la siguiente expresión:

θ λef Wq = θ Lq ⇒ Lq = λef Wq ⇒ Wq = Lq/λef


Cálculo de número medio de clientes en el servicio Sea θ un período de tiempo suficientemente grande. Sean

a) Tasa media de llegada al sistema por unidad de tiempo = λ b) Tasa efectiva de entrada al sistema por unidad de tiempo = λef= λ c) Número total de entradas al sistema durante el tiempo θ = θ λef d) Número medio de estaciones ocupadas = a e) Tasa media global de servicio del sistema = aµ f) Número medio unidades atendidas durante el tiempo θ = aµθ

Como el “número medio de unidades atendidas” durante el tiempo θ debe ser igual en el largo plazo al “Número medio de unidades que entran” al sistema, entonces se tiene que ( c ) = ( f )

a µ θ = θ λef ⇒ a = λef / µ= λ / µ

En resumen, para le modelo M/M s abierto, se tiene que

µλ

µλ

λλ

λλ

==

==

==

efa

W qW qefqL

WWefL

5.3.2 Modelo M/M/1 (abierto) o M/M/1 (FIFO/∞∞∞∞/∞∞∞∞) Las principales suposiciones de este modelo son las siguientes: • Las llegadas siguen un proceso de Poisson con tasa λ, es decir, el tiempo entre llegadas de

dos clientes sucesivos es exponencial una media de 1/λ • Existe un solo servidor idénticos, con una tasa de servicio µ, y tiempos de servicio

exponenciales • Existe una cola que alimenta al servidor • La fuente de donde provienen los clientes es infinita • El sistema tiene una capacidad ilimitada para atender los clientes • La disciplina de la cola es FIFO, es decir, se atiende los clientes de acuerdo al orden de

llegada.

5.3.2.1. Formulación del modelo Este es un caso particular del modelo que acabamos de desarrollar, para s = 1, Por lo tanto, todas las expresiones desarrolladas son aplicables, sin embargo, algunas fórmulas se pueden simplificar. A continuación presentaremos la forma final que toman las principales fórmulas. De nuevo vemos que se trata de un “Proceso de nacimiento y muerte” ya que las llegadas al sistema (nacimientos) son exponenciales con tasa λ, y el tiempo entre salidas (muertes) también es exponencial, con las siguientes tasas: λn = λ, n ≥0 µn = µ n ≥1 5.3.2.2. Cálculo de las probabilidades límites y medidas de desempeño Como se trata de un proceso de nacimiento y muerte, se pueden usar las ecuaciones respectivas dadas por


PPn

nn 0

1

2

1

1

0 ...µλ

µλ

µλ −=

la cual se descompone de la siguiente manera:

( )( ) 0)npara(válida,

µ

λφ,P0φnP0µ

λ nP0µ

λ...µ

λ

µ

λPn

P0µ

λ 2P0µ

λ

µ

λP2

P0µ

λP1

=====

==

=

donde


=∑∞

=nnP

0),1(

11

1,1

1

0

0

00

0 00

≥−=⇒

−=−=

<=−

===== ∑∑ ∑∞

=

∞

=

∞

=

n

si

n

n

n

n

n n

n

n

P

P

PPPP

φ

µλφ

µλφ

φ

ϕ

φφ

Por lo tanto, existen las probabilidades límites si ϕ = λ / µ < 1, es decir si λ que es la tasa media de llegada al sistema es menor que µ, que representa la tasa media de salida o de servicio; en caso contrario no existirá un régimen estable o permanente ya que el sistema sería “explosivo” porque llegarían más clientes que lo que el sistema estaría en capacidad de atender. Número medio de clientes en la cola Lq

)()1()1()1()/( 22

202)1(

!1! λµλ

φϕ

φϕ

φµλ

µϕφφ

−−−−==−== PL

s

s

q

Número medio de servidores inactivos

ϕµλ −=−= 1/sr

Número medio de servidores ocupados

ϕµλµλ ==−−=−= /}/{ ssrsa

Número medio de clientes en el sistema L El número medio de clientes en el sistema puede calcularse como el número medio de clientes en la cola más el número medio de clientes que reciben servicio, a saber:


λµλ

φϕ

φϕ

φµλ

ϕµλφ

−−−−+= ==+=+=

)1()1()1()/(

2

02!

PaLLs

q

s

Función de densidad del tiempo de espera.

ew wf q

q

)1()1()(ϕµϕµϕ −−−=

Función de impaciencia P(Wq > w0)

eeP

wW wwsu

Ps

s

q00

)1()1(0

0 )1()!1(s)(

)/( ϕµϕµ ϕϕ

µ µλ −−−− =−−

=>

Probabilidad de esperar P(Wq > 0)

ϕϕµλ

=−

=>)1(s!

)0()/(0

s

q

PWP

Probabilidad de no esperar

ϕµλ

−==<== ∑−

=1

!)()0(

1

0

0 )/(s

n

n

q nsnPP

PW

Tiempo medio de espera en la cola E(Wq)

)(

)(λµµ

λλ −

=== LqWqE W q

Función de densidad del tiempo de espera en la cola dado que el cliente tiene que esperar f(wq/wq>0)

eww wf q

qq

)1()1()0/(

ϕµϕµ −−−=>

Tiempo medio de espera en la cola dado que hay que esperar E(Wq/ Wq>0)

)(

1

)1(

1)0/(

λµϕµ −=

−=>ww qq

E

Tiempo medio de permanencia en el sistema E(W) Se lo calcula como el tiempo medio de permanencia en la cola más el tiempo medio en el sistema

)(

11

)(

1)()(

λµµλµµλ

µλ −=+

−=+== qWE

LWE

La tabla No 1 al final del documento presenta un resumen de las principales fórmulas para los modelos M/M/s y M/M/1 abiertos Ejemplo 1. Los clientes de un supermercado llegan a las cajas registradoras con una frecuencia promedio de 20 por hora, siguiendo una distribución de Poisson. El tiempo que un cliente gasta en cada caja se distribuye exponencialmente con una media de 10 minutos. Si el criterio del


supermercado es tal que se permita a un cliente esperar en la cola un promedio de 5 minutos, determine el número de cajas registradoras que se requieren. Solución. De acuerdo con la información disponible tenemos un modelo M/M/s (abierto), con los siguientes parámetros: λ = 20 clientes/hora

1/µ = 10 minutos/cliente ⇒ µ = 0.10clientes/minuto = 6 clientes/hora El objetivo es determinar cuantas cajas registradoras (s) se deben instalar de tal forma que el tiempo promedio de espera en la cola (Wq) sea menor o igual a 5 minutos. El número de cajas registradoras (s) debe ser tal que el sistema tenga un régimen estable, para lo cual se requiere que ϕ = λ / (sµ) sea menor de uno lo cual implica que s > λ / µ. Para nuestro caso se tiene que s>20/6 = 3.33, es decir, s ≥ 4. Por lo cual se deben ensayar valores de s iguales o superiores a 4, hasta encontrar el primer valor para el cual el tiempo medio de espera sea de cinco minutos o menos. Las fórmulas a emplear serían

PWss

s

q 02

)1()/(

! φµλ

µ −= y

−

∑ +

−

==

−

φµλ

µλ

11

!1

!11

0

1

0

ss

n

n

snP

Para s = 4 se tiene:

02131.09259.42

1

)24/201(

1

!4

)6/20(4

!3

)6/20(3

2

)6/20(2

1

)6/20(1

1

0 ===−

++++

−

=

P

utoshorasqW min84.9164.02)24/201)(6)(4(!4

)02131.0(4)6/20(==

−=

Como el tiempo de espera es superior a 5 minutos, se deben ensayar s = 5. La tabla siguiente resume los resultados para s = 4 y s = 5.

Número de cajas registradoras S = 4 S = 5 P0 0.02131 0.0318 Número medio de clientes en la cola Lq 3.2886 0.6533 Tiempo medio de espera Wq (horas) 0.164 0.0327 Tiempo medio de espera Wq (minutos) 9.87 1.96

Como para s = 5 el tiempo de espera es inferior a cinco minutos, entonces la solución es instalar cinco cajas registradoras. Ejemplo 2. Se va a contratar un mecánico para que repare unas máquinas que se descomponen a una tasa promedio de tres por hora. Las descomposturas se distribuyen en el tiempo de una manera que puede considerarse como Poisson. El tiempo no productivo de una máquina cualquiera se considera que le cuesta a la empresa $25 por hora. La compañía ha limitado la decisión a uno de 2 mecánicos, uno lento pero barato, el otro rápido pero caro. El primero de ellos pide $15 por hora; a cambio dará servicio a las máquinas descompuestas, de manera exponencial, a una tasa media de cuatro por hora. El segundo pide $25 por hora y compondrá las máquinas de manera exponencial a una tasa de seis por hora. Cuál de los mecánicos debe contratarse?. Dé toda la información que considere necesaria. Solución. De acuerdo con la situación planteada tenemos que escoger entre dos sistemas


alternativos de un servidor cada uno, y la decisión se basará en aquella alternativa que proporcione el mínimo costo esperado por hora. Cada alternativa es un sistema M/M/1 abierto. La función de costos está dada por

CT(alternativa) = sCo + Ci L

Donde s = 1 representa el número de mecánicos, Co representa el costo por mecánico por hora, y Ci es el costo de inactividad (tiempo no productivo) por máquina por hora, y se aplica al número medio de máquinas inactivas L, ya que una máquina está en estado no productivo tanto cuando está esperando ser reparada como cuando está siendo reparada. Información general: λ = 3 máquinas/hora, Ci = $25/máquina-hora Alternativa A (mecánico lento):

µ = 4 máquinas/hora, Co = $15/mecánico-hora L = λ / (µ - λ) = 3/(4 - 3) = 3 máquinas⇒ Costo (A) = 15 + 25 x 3 = $90/hora Alternativa B (mecánico rápido):

µ = 6 máquinas/hora, Co = $25/mecánico-hora L = λ / (µ - λ) = 3/(6 - 3) = 1 máquina⇒ Costo (B) = 25 + 25 x 1 = $50/hora Por lo tanto la administración deberá contratar al mecánico rápido, ya que garantiza un menor costo esperado por hora. Ejemplo 3. El administrador de un supermercado puede emplear a María o a Carmen. María quien presta servicio a una tasa exponencial de 20 clientes por hora, puede ser contratada a un costo de $12. por hora. Carmen quien da el servicio a una tasa exponencial de 30 clientes por hora, puede ser contratada a un costo de $ C por hora. La administración estima que, en promedio el tiempo del consumidor vale $4 por hora y que debe tenerse en cuenta en el modelo. Si los consumidores llegan a una tasa Poisson de 10 por hora, entonces: a) Cuál es el costo promedio si se contrata a María? b) Cuál es el costo promedio si se contrata a Carmen? c) Cuál es el valor máximo por hora que puede pagarse a Carmen? Solución. Se deja como problema propuesto. Ejemplo 4. Un problema de optimización. Los trabajos llegan a un taller de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 80 trabajos por semana. Una máquina automática representa el cuello de botella del taller. Se estima que un aumento unitario en la tasa de producción de la máquina costará US$ 250 por semana. Los trabajos demorados normalmente dan como resultado la pérdida de clientes, y se estima un costo de 500 dólares por trabajo por semana. Determine la tasa de producción óptima de la máquina con base en la información dada. Solución. El objetivo del problema es determinar cual debe ser la tasa de servicio del sistema µ tal que se minimice el costo total de de producción más el costo por pérdida de los clientes,dado por

CT(µ) = µCo + Ci L

Como se trata de un modelo M/M/1 abierto, el número medio de clientes en el sistema L está dado por L = λ/(µ-λ), por lo tanto la función costos queda definida como:

λ−µ

λ+µ==µ io

CC(CT

Como la tasa de servicio es una variable continua, para encontrar el valor de µ que minimice el costo total, se puede derivar la expresión del costo total con respecto a µ, igualar a cero y despejar el valor de µ.


o

i2

io C

C0

)(

CC

d

)(dCT λ±λ=µ⇒=λ−µ

λ−=µ

µ

Como para que el sistema tenga un régimen estable se requiere µ > λ, entonces la tasa çoptima de servicio estará dada por:

o

i*

C

Cλ+λ=µ

Para verificar que el valor anterior corresponda a un mínimo, se encuentra la segunda derivada, se reemplaza el valor de µ por el valor óptimo y se verifica que la segunda derivada sea positiva.

o

i3

i2

2

C

C0

)(

C2

d

)(CTd λ±λ=µ⇒=λ−µ

λ=µ

µ

Reemplazando el valor óptimo de µ se obtiene que

0C

C/C2

d

)(CTd2/3

o

ii2

2

>

λλ=µ

µ

lo cual compraba que el valor hallado de µ efectivamente corresponde a un mínimo. Para nuestro caso tenemos que: λ = 80 trabajos/semana, Co = $250/trabajo-semana, Ci = $500/trabajo-semana

6.92250

)500(8080* =+=µ

Ejemplo 4. Un problema de optimización numérica (Métodos de búsqueda) .En las instalaciones de un almacén de herramientas, las solicitudes de cambio de herramientas ocurre de acuerdo con una distribución de Poisson, con una media de 17.5 solicitudes por hora. Cada empleado puede manejar un promedio de 10 solicitudes por hora. El costo de contratar un nuevo empleado para las instalaciones es de US $12 por hora. El costo de pérdida de producción por máquina es aproximadamente US $50 por hora. Determine el número óptimo de empleados para las instalaciones. 5.4 Modelos de capacidad finita La principal diferencia con los modelos analizados anteriormente estriba en que el sistema tiene una capacidad finita K, por lo tanto, si un cliente llega y encuentra que en el sistema ya hay K clientes, entonces no puede entrar al sistema. 5.4.1 Modelo M/M/s capacidad finita (K) - Modelo M/M/s (FIFO/K/∞∞∞∞) La suposición adicional con respecto al modelo M/M/s (abierto) analizado previamente es que la siguiente: • El sistema tiene una capacidad limitada K para atender los clientes • Existen s servidores idénticos, con una tasa de servicio µ, y tiempos de servicio

exponenciales.

5.4.1.1. Formulación del modelo Analizadas las suposiciones del modelo, vemos que se ajusta a un “Proceso de nacimiento y


muerte” con las siguientes tasas. Cálculo de la tasa de nacimiento (tasa de entrada) λλλλn Si cuando un cliente llega al sistema encuentra que aún existe espacio (n < K) entonces el cliente entra al sistema, pero si el sistema se encuentra lleno (n = K) entonces abandona el sistema y desiste de entrar. λn = λ si n < K = 0 si n = k Cálculo de la tasa de muerte (tasa de salida) µµµµn Si el número de clientes que hay en el sistema n es inferior al número de servidores s, entonces el sistema atenderá todos los clientes con una tasa total nµ, pero si el número de clientes del sistema es mayor o igual al número de servidores, entonces el sistema sólo podrá atender s clientes con una tasa total sµ. µn = n µ si n < s s µ si s ≤ n ≤ K Por lo tanto, la diferencia básica con el modelo M/M/s abierto está en que el número máximo de clientes en el sistema es K (se supone que K ≥ s), por lo tanto las probabilidades estarán limitadas a este valor. Cálculo de las probabilidades límites Como se trata de un proceso de nacimiento y muerte, se pueden usar las ecuaciones respectivas dadas por

PPn

nn 0

1

2

1

1

0 ...µλ

µλ

µλ −=

la cual se descompone de la siguiente manera: a) Para n ≤ s

0)npara(válida,P0µ

λn

n!

1P0nµ

λ...µ2

λ

µ

λPn

P0µ

λ2

2

1P0µ2

λ

µ

λP2,P0

µ

λP1

===

===

b) Para s ≤ n ≤ K

sµ

λφdonde,P0φ sn

µ

λs

s!

1P0sµ

λsn

µ

λs

s!

1

P0sµ

λ...

sµ

λ

sµ

λ...µ2

λ

µ

λPn

=−=−

=

=


=∑∞

=nnP


∑ φ

µλ

∑ +

µλ

∑ ∑ φ

µλ

∑

µλ

=

−−

==

+==

−

= =

−−

=

K

sn

sns1s

0n

n

!s

1

!n

11

!s1

!n1

P

PPP

1

0

K

0n

K

sn0

sns

1s

0n0

n

n

1s

,

s1s

0n

n

1s

,1sKs1s

0n

n

)1sK(!s

1!n

1

11

!s1

!n1

P

1

1

0

=µλ=ϕ

−

==

≠µλ=ϕ

+−−

==

+−

µλ

∑ +

µλ

φ−φ−

µλ

∑ +

µλ

−

−

Cuando la capacidad es finita, siempre existen las probabilidades límites, aunque el número medio de clientes que lleguen al sistema sea mayor que el número medio de clientes que el sistema está en capacidad de atender, ya que el sistema limita el número de clientes que pueden entrar, y que por lo tanto serán atendidos. 5.4.1.2. Medidas de congestión Número medio de clientes en la cola Lq Está definido como:

φµλφµλφ

1

00)(

!!)()(

)/()/( −−

=

−

==∑∑∑ −=−=−=

snK

sn

s

snK

sn

sK

snnq

snss

snsn PPPL

Como se puede observar, el término φ 1)(

−−

=∑ −

snK

sn

sn se puede representar como la derivada

de la siguiente φ snK

sn

−

=∑ con respecto a ϕ. Es decir,

)1( 2

sK)1sK(1sK)sK(1

)1( 2)1)(1sK1()1(sK)1sK)(1(

1

1sK1

d

dsnK

snd

d1snK

sn)sn(

φ−

φ −+−−φ +−−+=

φ−

−φ +−−−−φ −+−φ−=

φ−φ +−−

φ=φ −∑

=φ=φ −−∑

=−


( )φ −+−−φ +−−+φφ−

µλ=⇒ sK)1sK(1sK)sK(1P0)1( 2!s

)/( sLq

Probabilidad de entrar al sistema Un nuevo cliente entra al sistema si éste no se encuentra lleno, es decir, si el número de clientes que hay en el sistema en el momento de su llegada es inferior a su capacidad (n < K). Por lo tanto

∑−

=

−==<=1

0

1)()(K

nkn PPKnPentrarP

La probabilidad de no entrar es la probabilidad de que el sistema se encuentre lleno, es decir

PPsK

s

k sKnPentrarnoP

0!)()(

)/( ϕµλ −====

Tasa efectiva de entrada al sistema = λλλλef La tasa de llegada de clientes al sistema es λ, sin embargo no todos pueden entrar al sistema; sólo entran aquellos clientes que encuentran espacio disponible. Recordemos que λn representa la tasa a la cual se incrementa el número de clientes del sistema (tasa de entrada), y está dada por:

λn = λ si n < K

= 0 si n = k

Entonces la tasa media de entrada al sistema o tasa efectiva está dada por:

)1(01

0

1

00PPPPP k

K

nnnn

K

nn

K

nnef

−==+== ∑∑∑−

=

−

==

λλλλλ

Una breve explicación de la fórmula anterior es la siguiente: La proporción clientes que entran al sistema es 1 - PK, por lo tanto la tasa efectiva de entrada al sistema es la tasa de llegada λ multiplicada por la proporción de clientes que logran entrar al sistema dada por 1 - PK, es decir la tasa efectiva de entrada es λef =λ (1 – PK) Número medio de clientes en servicio Se puede calcular usando la fórmula de Little, trabajando con la tasa efectiva, como:

µ

)1(

µ

λefa PK−

==λ


µλ−=−= /sasr ef

Número medio de clientes en el sistema

aLqL +=


Tiempo medio de permanencia en la cola y en el sistema Se puede calcular usando la fórmula de Little, trabajando con la tasa efectiva, como

)Pλ(1qW

qWλefq

L

)Pλ(1

L

λef

LWWλefL

K

LK

q

−=⇒=

−==⇒=

5.4.2 Modelo M/M/1 capacidad finita (K) - Modelo M/M/1 (FIFO/K/∞∞∞∞) Este es un caso particular del modelo que acabamos de desarrollar, para s = 1. Por lo tanto, todas las expresiones desarrolladas son aplicables, sin embargo, algunas fórmulas se pueden simplificar. A continuación presentaremos la forma final que toman las principales fórmulas 5.4.2.1. Formulación del modelo Se trata de un “Proceso de nacimiento y muerte” con las siguientes tasas: λn = λ si n <K 0 si n =K µn = µ 1 ≤ n ≤ K Cálculo de las probabilidades límites Como se trata de un proceso de nacimiento y muerte, se pueden usar las ecuaciones respectivas dadas por

PPn

nn 0

1

2

1

1

0 ...µλ

µλ

µλ −=

la cual se descompone de la siguiente manera:

( )0Pn

Para)

µ

λφ,P0φnP0µ

λ n

P0µ

λ...µ

λ

µ

λ...µ

λ

µ

λPn

nParaa)

=>

===

=

<

Knb

donde

K

Como los Pn forman una distribución de probabilidad se debe cumplir que 1K

0nnP =∑

=

1si)1K(

1si1

11

P

PPPP

0

1K

0

K

0n

n0

K

0n

K

0n0

nn

=µλ=ϕ+=

≠µλ=ϕ

φ−−

==== φ∑ φ∑ ∑ φ

+

== =


1si1K

1

1si1

11K0P

=µλ=ϕ

+=

≠µλ=ϕ

−φ−=

φ +

Para que existan las probabilidades límites no se requiere que λ/µ sea menor que uno. 5.4.2.2. Medidas de desempeño del sistema a) Número medio de clientes en la cola Lq

( )φφφ

φ 1)1(10)1( 2

2 −−−+−

= KKKKPLq

b) Número medio de clientes en servicio

µ

)1(

µ

λefa PK−

==λ

c) Número medio de servidores inactivos

µλ /1 efasr −=−=

d) Número medio de clientes en el sistema

aLqL +=

e) Tiempo medio de permanencia en la cola y en el sistema Se puede calcular usando la fórmula de Little, trabajando con la tasa efectiva, como

)Pλ(1qW

qWλefq

L

)Pλ(1

L

λef

LWWλefL

K

LK

q

−=⇒=

−==⇒=

La tabla No 3 al final del documento presenta un resumen de las principales fórmulas para los modelos M/M/s y M/M/1 con capacidad finita (K) Ejemplo. Una pequeña barbería operada por un solo peluquero tiene una capacidad para dos personas. Los consumidores llegan a una tasa Poisson de 3/hora y los tiempos de servicio son variables aleatorias exponenciales con media de 1/4 de hora. Cual es: a) El número medio de personas en la barbería? b) La proporción de clientes que entran a la barbería? c) El tiempo promedio gastado en la barbería por cada cliente que entra? d) En cuánto se incrementarían sus entradas brutas por día si i) el peluquero trabajara un 50%

más rápido, ii) si la capacidad de la barbería fuera de 3? Ejemplo. El gerente de una emisora local está planeando un programa telefónico especial de cinco días para la recolección de fondos para una causa especial, y desea determinar el tipo de sistema telefónico que debe alquilar para recibir las promesas de donaciones. Para ello ha recibido seis cotizaciones diferentes que proporcionan 15 o 20 líneas telefónica, con diferentes


opciones de líneas de espera. Además, de campañas anteriores se ha estimado que cada donación es de US 450, y que un 80% de los contribuyentes potenciales que no logran comunicarse, vuelven a llamar posteriormente. Se ha estimado que el proceso de llamadas es Poisson con una tasa de 150 llamadas por hora, y la tasa de servicio por línea telefónica es de 12 llamadas / hora. Cuál sistema se debe alquilar?

Sistema Número de teléfonos Llamadas en espera Costo total (US$/día) 1 15 0 150 2 20 0 220 3 15 5 180 4 20 5 264 5 15 10 225 6 20 10 330

5.5 Modelos de fuente finita Existen algunas situaciones en las cuales el número de elementos que hay en la fuente que suministra los clientes para el sistema de colas es limitada, y por lo tanto, el número de clientes que pueden estar solicitado servicio en cualquier instante también lo es. Además, la tasa a la cual los clientes llegan a solicitar servicio depende de cuantos elementos haya en la fuente. Es decir, si en la fuente hay muchos elementos, entonces la tasa a la cual los clientes llegan al sistema será mayor que si en la fuente sólo quedaran unos pocos elementos. Un caso típico de este sistema es un taller que tiene varias máquinas idénticas que fallan de vez en cuando y requieren servicio de uno o varios mecánicos disponibles para estas eventualidades. Otro caso puede ser el de una sala de computadores que presta servicio a un grupo de estudiantes, y que está a cargo de un monitor encargado de resolver las dudas que los estudiantes tengan, 5.5.1 Modelo M/M/s Fuente finita (N) ó Modelo M/M/s: (FIFO/N/N) La suposición básica adicional que se tiene en este modelo con relación a los anteriores es que la fuente de donde provienen los clientes es limitada, es decir, el número máximo de clientes que puede haber en el sistema es finito (N). Como ya se mencionó., un caso típico es un taller que tiene N máquinas idénticas que requieren servicio de vez en cuando, y existen s mecánicos para prestarles el servicio requerido. Las suposiciones básicas del modelo son: • Fuente de donde provienen los clientes es finita, de un tamaño N, lo cual implica que el

número de clientes (máquinas) en el sistema está limitado a N. • El tiempo entre requerimientos de servicio por cada cliente (máquina) es exponencial con

tasa λ. • Existen s servidores idénticos (mecánicos) para atender los clientes (máquinas) que llegan

al sistema • El tiempo de servicio de cada clientes exponencial con media 1/µ. • Existe una sola cola que alimenta los s servidores • La disciplina de la cola FIFO, según el orden de llegada al sistema. La figura siguiente ilustra esquemáticamente el sistema Población Cola Servicio

2

s

2

1

4

1

3

N-n


5.5.1.1. Formulación del modelo Si n representa el número de unidades que hay en el sistema, entonces N - n representa el número de unidades que permanecen en la fuente. Si el tiempo que cada unidad tarda en requiere servicio es exponencial con tasa λ, y si en la fuente hay N – n unidades, entonces el tiempo del próximo requerimiento de servicio será el mínimo entre los tiempos de requerimientos de servicio de las N – n unidades, y este tiempo es exponencial con tasa (n – n)λ

Tiempo de próxima llegada = mínimo (T1, T2,...,TN-s) → Exp{(N-n)λ}

Por lo tanto, este modelo se puede representar como un proceso de nacimiento y muerte” con las siguientes tasas: λn = (N-n)λ si 0 ≤ n < N

= 0 si n = N

µn = n µ si n < s

= s µ si s ≤ n ≤ N Cálculo de las probabilidades límites Como se trata de un proceso de nacimiento y muerte, se pueden usar las ecuaciones respectivas dadas por

PPn

nn 0

1

2

1

1

0 ...µλ

µλ

µλ −=

que para esta situación podemos rescribir como

1,,...,,1,0,...,0

1

2

1

1

00

==== − CCPCP conNndonde

n

nnnn µ

λµλ

µλ

a) Para n < s

µλ+−

−=µ

λ+−−=

=µ

λ+−−=

µµλ+−λ−

µλ=

µλ−==

µλ−=

µλ−

µλ=

µλ

µλ=

=µλ=⇒=

µλ=

µλ=

µλ=

n

)1nN(1nC

n

)1nN(1nCCndonde

PCPn

)1nN(1nCP

n...2

)1nN..()1N(NPn

2

)1N(CC,PCP

2

)1N(CP

2

)1N(NP

1C,N

CCPCPN

CPN

P

0n00

12020101

0

2

12

001010001

01

b) Para s ≤ n ≤ N

nn0PCP

s...s...2

)1nN..()1sN..()1N(NPn =

µµµλ+−λ+−λ−

µλ=


µλ=φφ+−=

µλ+−=

=µ

λ+−=

−−

−

sdonde,)1sN(C

s

)1nN(CCdonde

PnCPs

)1nN(CnP

1n1nn

001n

En resumen se tiene que

≤≤+−

<≤

+−−=

==

− NnsnNC

snn

nNn

CC n

CPCP

n

nn

,)1(

1,)1(

1

1,

1

00

φµλ

Todos los valores de las constantes Cn son numéricos. Como los Pn forman una distribución de probabilidad, entonces se tiene

∑∑ ∑=

=⇒==

−

= =

N

nnCPPCP

N

n

N

nnn

01

1

00 0

0

5.5.1.2. Medidas de desempeño del sistema Número medio de clientes en el sistema L

∑=

=N

nnPnL

0

Número medio de clientes en la cola Lq

∑=

−=N

snnq PL sn )(


∑−

=

−=1

0

)(s

nnPnsr

Número medio de clientes en servicio

rssnsnan

nn

s

nn

N

snn

s

nn PPPP −=−+=+= ∑∑∑∑

−

=

−

==

−

=

1

0

1

0

1

0

)1(

Número medio de unidades en la fuente = )( LN −

Tasa efectiva de llegada de clientes al sistema Como ya se explicó la tasa de llegada de clientes al sistema está dada por:

λn = (N-n)λ si 0 ≤ n < N = 0 si n = N Por lo tanto la tasa media de entrada al sistema o tasa efectiva está dada por:


)LN(nN)nN( PPPP n

N

0n

N

0nnn

N

0nn

N

0nnef

−λ=λ+λ=λ−== ∑∑∑∑λλ====

Tiempos medios de permanencia en la cola y en el sistema

λλ

λλ

)(

)(

LN

Lq

ef

LqWq

LN

L

ef

LW

−==

−==

5.5.2 Modelo M/M/1 Fuente finita (N) ó Modelo M/M/1: (FIFO/N/N) Suposiciones: • Fuente finita (N) ⇒ Número limitado de clientes • Tiempo de llegada/cliente es exponencial con tasa λ • Existen un solo servidor • Tiempo de servicio exponencial con una tasa µ • Existe una cola que alimenta los s servidores • Disciplina de la cola Fifo 5.5.2.1. Formulación del modelo Al igual que el modelo anterior es un proceso de nacimiento y muerte con λn = (N-n)λ si 0 ≤ n < N

= 0 si n = N

µn = µ si n ≤ s Cálculo de las probabilidades límites Como se trata de un proceso de nacimiento y muerte, se pueden usar las ecuaciones respectivas dadas por

1,,...,,1,0,...,...0

1

2

1

1

000

1

2

1

1

0 ===== −− CCPCPP conNndonde

n

nnn

n

nn µ

λµλ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλφφ

µλ

µλ

µµλλ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

=+−−=+−−=

=+−−=+−−=

−==−=−==

==⇒====

,)1(1

)1(1

)1(1...

)1..()1(

)1(,

)1()1(

1,

000

12020101

0

2

1

2

001010001

01

nNn

CnN

nCCndonde

PCPnN

nCP

nNNNPn

NCCPCP

NCP

NNP

CN

CCPCPN

CPN

P

n

Todos los valores de las constantes Cn son numéricos. Como los Pn forman una distribución de probabilidad, entonces se tiene


∑∑ ∑=

=⇒==

−

= =

N

nnCPPCP

N

n

N

nnn

01

1

00 0

0

Número medio de clientes en la cola Lq

+−−=−=∑= φ

φ1)(1N))( P0

1

N

nnq PL sn

5.5.2.2. Medidas de desempeño del sistema Número medio de servidores inactivos

0

1

0

)( Pnsrs

nnP =−=∑

−

=

Número medio de clientes en servicio

011 Pra −=−=

Número medio de clientes en el sistema L

−−=+==∑

= φ

P1Naq 0

0

LnLN

nnP

Número medio de unidades en la fuente = )( LN −

Tasa efectiva de llegada de clientes al sistema

λλ )( LNef −=

Tiempos medios de permanencia en la cola y en el sistema

λµλλ

λµλλ

11

1

1

)(

1

1.

1

)(

0

0

−

−

−=

−==

−−

=−

==

P

M

LN

Lq

ef

LqWq

P

M

LN

L

ef

LW

Ejemplo. Un mecánico atiende cuatro máquinas. Para cada máquina el tiempo medio entre requerimientos de servicio es 10 horas y se supone que tiene una distribución exponencial. El tiempo de reparación tiende a seguir la misma distribución y tiene un tiempo medio de dos horas. Cuando una máquina se daña, el tiempo perdido tiene un valor de $30 por hora. El servicio del mecánico cuesta $100 diarios. a) Cuál es el número esperado de máquinas en operación? b) Cuál es el costo promedio por día? c) Qué es preferible: Tener dos mecánicos de tal forma que cada uno atienda dos máquinas o

tener uno solo como ocurre actualmente? Solución. Problema. Se están considerando dos mecánicos para atender 6 máquinas en un taller. Al primer mecánico se le pagan $900 por hora y puede reparar máquinas a razón de 6 por hora. Al


segundo mecánico se le pagan $ 1500 la hora y repara, en promedio 9 máquinas por hora. Se estima que el tiempo que está parada la máquina cuesta $ 2400 la hora. Suponiendo que las máquinas se descomponen según una distribución de Poisson a una tasa de 5 por hora, y el tiempo de reparación es exponencial, cual mecánico debe contratarse?

Solución. En este caso tenemos dos alternativas de las cuales debemos seleccionar la mejor. Cada una de las alternativas puede representase mediante un modelo M/M/1 fuente finita, con un tamaño de la población de 6. El criterio para escoger la mejor alternativa será el costo de operación esperado por hora que está dado por: Costo (alternativa) = Co + Ci L Donde Co representa el costo por mecánico por hora, y Ci es el costo de inactividad (costo por parada) por máquina por hora, y se aplica al número medio de máquinas inactivas L, ya que una máquina está en estado no productivo tanto cuando está esperando ser reparada como cuando está siendo reparada. Los parámetros básicos son los siguientes:

N = 6, λ = 5 fallas/hora, Ci = $2,400/máquina-hora

Como se trata de n modelo M/M/1 fuente finita, la fórmula básica a utilizar es la siguiente:

1,,)1(1 00

==+−−== CnNn

CCndondePCPn n µλφφ

Mecánico 1: Tasa de reparación = µ = 6 máquinas/hora, Co = $900/hora, ϕ = λ/µ = 5/6 = 0.833 C0 = 1 C1 = 1 x (6 – 1 + 1) (5/6) = 5 C2 = 5 x (6 – 1 + 1) (5/6) = 20.83 C3 = 20.83 x (6 – 1 + 1) (5/6) = 69.44 C4 = 29.44 x (6 – 1 + 1) (5/6) = 173.61 C5 = 173.61 x (6 – 1 + 1) (5/6) = 289.35 C6 = 289.35 x (6 – 1 + 1) (5/6) = 241.13

0012.037.800/137.800 0

6

0

==⇒=∑=

Pn

nC

P0 = 0.0062 P1 = 5 x 0.0012 = 0.0062 P2 = 20.83 x 0.0012 = 0.0260 P3 = 69.44 x 0.0012 = 0.0868 P4 = 173.61 x 0.0012 = 0.2169 P5 = 289.35 x 0.0012 0 0.3615 P6 = 241.13 x 0.0012 = 3013

Número medio de máquinas inactivas = ∑=

=6

0nnnPL

8015.43013.63615.052169.040868.03026.020062.0.010012.0.00 =++++++= xxxxxxxL Costo (alternativa 1 ) = 900 + 2400 x 4.8015 = $12,423.6/hora Como se observa, la probabilidad de que el sistema se encuentre vacío (sin máquinas para reparar es prácticamente cero, el número medio de máquinas dañadas es 4.8 (un 80% del total de las máquinas) y la probabilidad de que todas las máquinas estén dañadas es de de 0.3013,


es decir, un30.13% del tiempo, todas las máquinas están inactivas. El mecánico sólo está inactivo un 0.12% del tiempo. Mecánico 2: Tasa de reparación = µ = 9 máquinas/hora, Co = $1,500/hora, ϕ = λ/µ = 5/9 = 0.555 C0 = 1 C1 = 1 x (6 – 1 + 1) (5/9) = 3.333 C2 = 3.333 x (6 – 1 + 1) (5/9) = 9.2593 C3 = 9.2593 x (6 – 1 + 1) (5/9) = 20.5761 C4 = 20.5761 x (6 – 1 + 1) (5/9) = 34.2936 C5 = 34.2936 x (6 – 1 + 1) (5/9) = 38.1039 C6 = 21.1689 x (6 – 1 + 1) (5/9) = 21.1689

0078.07351.127/17351.127 0

6

0

==⇒=∑=

Pn

nC

P0 = 0.0078 P1 = 3.333 x 0.0078 = 0.0261 P2 = 9.2593 x 0.0078 = 0.0725 P3 = 20.5761 x 0.0078 = 0.1611 P4 = 34.2936 x 0.0078 = 0.2685 P5 = 38.1039 x 0.0078 = 0.2983 P6 = 21.1689 x 0.0078 = 0.1657 L = 0 x 0,0078 + 1 x 0,0261+2 x 0,0725+3 x 0,1611+4 x 0,2685+5 x 0,2983+6 x 0,1657 = 4,2141 Costo (alternativa 2) = 1,500 + 2,400 x 4.2141 = $11613,8/hora La alternativa de mínimo costo es la número 2, sin embargo, la situación no es la mejor, ya que el número medio de máquinas inactivas es alto, un 16.57% del tiempo todas las máquinas están inactivas, y el mecánico está ocupado un 99.22% del tiempo. Cuál será el número de mecánicos que deben asignarse a este taller de tal forma que se minimice el costo esperado de operación por hora? Problema Un taller utiliza 10 máquinas idénticas. La utilidad por máquina es US 4.00 por hora de operación. Cada máquina se descompone, en promedio, cada 20 horas, y el tiempo entre fallas es exponencial. Una persona puede reparar una máquina, en promedio, en cuatro horas, pero el tiempo real de reparación varía según una distribución exponencial. El salario del mecánico es de US $6.00 por hora. Se pide determinar: a. La utilidad promedia cuando se emplean tres mecánicos. b. Como criterio de selección de una alternativa, se usará aquella para la cual el número medio

de máquinas descompuestas sea menor de 4.0. Considera Usted que tres mecánicos sea el número óptimo bajo este criterio?. Explique claramente su respuesta.

c. Como otro criterio para escoger la mejor alternativa, se especifica que el tiempo de espera promedio para empezar a reparar una máquina debe ser menor de 4.0 horas. Considera Usted que tres mecánicos sea el número óptimo bajo este criterio?. Explique claramente su respuesta.

Solución. Analizando el problema vemos que se trata de un modelo de colas M/M/3 fuente finita de tamaño 10 o un modelo M/M/3:FIFO/10/10), con los siguientes parámetros: Tamaño de la fuente = 10


Tasa de falla = λ = 1/20 = 0.05 fallas/hora Tasa de reparación o de servicio = µ = 1/4 =0.25 máquinas-hora Utilidad unitaria = $4/máquina-hora Costo de operación = $6/mecánico-hora Distribuciones exponenciales para tiempo entre fallas y tiempo de servicio La utilidad promedio por hora Utilidad(s) = Utilidad unitaria x Número medio de máquinas en funcionamiento - Costo por mecánico x Número de mecánicos UP(s) = 4 (N – n) – 6 s Como es un modelo M/M/s fuente finita, P0 se calcula usando las siguientes fórmulas:

ϕ+−=≤≤µλ+−=<

µλ=ϕ==

−

−

)1nM(,MnsPara)b

n)1nM(,snPara)a

s/1,

CC

CC

CPCP

1nn

1nn

00nn

Para N = 10, s = 3, λ/µ = 0.05/0.25 = 0.20, ϕ = λ/sµ = 0.05/(3*0.25) = 0.06667 C0 = 1 C1 = 1x (10 – 1 + 1) x 0.20/1 = 2.0 C2 = 2.0 x (10 – 2 +1) x 0.2/2 = 1.8 C3 = 1.8 x (10 – 3 +1) x 0.06667 = 0.96 C4 = 0.96 x (10 – 4 +1) x 0.06667 =0.448 C5 = 0.448 x (10 – 5 +1) x 0.06667 =0.1792 C6 = 0.1792 x (10 – 6 +1) x 0.06667 = 0.05973 C7 = 0.05973 x (10 – 7 +1) x 0.06667 = 0,01593 C8 = 0.01593 x (10 – 8 +1) x 0.06667 = 0.00319 C9 = 0.00319 x (10 – 7 +1) x 0.06667 = 0.00042 C10 = 0.000319 x (10 – 7 +1) x 0.06667 = 0,000028

1546.04666498.6/14666498.6 0

10

0

==⇒=∑=

Pn

nC

P0 = 0.1546 P1 = 2.0 x 0.1546 = 0.30929 P2 = 1.8 x 0.1546 =0.27836 P3 = 0.96 x 0.1546 = 0.14846 P4 = 0.448 x 0.1546 = 0.06928 P5 = 0.1792 x 0.1546 = 0.02771 P6 = 0.05973 x 0.1546 = 0.00924 P7 = 0,01593 x 0.1546 = 0.00246 P8 = 0.00319 x 0.1546 = 0.00049 P9 = 0.00042 x 0.1546 = 0.00007 P10 = 0,000028 x 0.1546 = 0.000004

Número medio de máquinas inactivas = ∑=

=10

0nnnPL

8043.1...02771.0x506928.0x414846.0x327836.0*230929.0x11546.0x0L =++++++=

Número medio de máquinas en funcionamiento = 1957.88043.110 =−=− LN

Tasa efectiva de llegada = λef = (N – L )λ=8.1957 x 0.05 = 0,4098 Utilidad esperada UP(3) = 4 x 8.1957 – 6 x 3 = $14.7828/hora


La utilidad esperada por hora es de US 14.7828 Aunque para responder la primera pregunta no se requieren las siguientes variables, se calcularán para que sirvan como punto de análisis, y para los resultados posteriores.

Número medio de máquinas en reparación ∑−

=−+∑

−

==

1

0)1(

1

0

n

nPns

s

nPnna

[ ] 6391.1)27836.030929.01546.01(327836.0*230929.011546.00 =++−+++= xxxa

Número medio de máquinas que esperan reparación

1652.06391.18043.1 =−=−= aLLq

Tiempo medio de permanencia en el sistema W = L/λef = 1.8043/0.409785 = 4.4030 horas Tiempo medio de permanencia en la cola Wq = L/λef = 0.1652/0.409785 = 0.4030 horas El número medio de máquinas en reparación también se pudo haber calculado usando la fórmula de Little como

6392.125.0/4098.0/ === µλ efa

Para la pregunta b) se especifica que el criterio de selección de una alternativa, será aquella para la cual el número medio de máquinas descompuestas sea menor de 4.0. Se considera que tres mecánicos sea el número óptimo bajo este criterio?. Aunque con tres mecánicos se cumple el criterio ya que L = 1.8043 es menor que 4, no se puede afirmar que ésta sea la solución óptima ya que puede suceder que con un numero menor de mecánicos también se cumpla el criterio, con lo cual se obtendría un menor costo y una mayor utilidad. En este caso, se tomaría como solución óptima el número menor de mecánicos que cumpla que el número medio de máquinas inactivas sea menor o igual a cuatro. (ver tabla al final del problema) Para la pregunta c) se especifica que el criterio para escoger la mejor alternativa será la que tenga un tiempo de espera promedio para empezar a reparar una máquina menor de 4.0 horas. ¿Considera Usted que tres mecánicos sea el número óptimo bajo este criterio? De nuevo, aunque con tres mecánicos se cumple el criterio ya que Wq = 0.4030 horas es menor que 4 horas, no se puede afirmar que ésta sea la solución óptima ya que puede suceder que con un numero menor de mecánicos también se cumpla el criterio, con lo cual se obtendría un menor costo y una mayor utilidad. En este caso, se tomaría como solución óptima el número menor de mecánicos que cumpla que el tiempo medio de espera sea menor o igual a cuatro. (ver tabla al final del problema La siguiente tabla presenta los resultados para diferentes números de mecánicos 5.6 Modelos de colas con prioridades 5.7 Modelos de colas usando WINQSB 5.8 Estimación de parámetros. Pruebas de Bondad de ajuste 5.9 Simulación de un sistema de una cola usando el enfoque de flujo


Taller de 10 máquinas y s mecánicos Análisis de diferentes alternativas

Número de mecánicos

s = 3 s = 4 s = 2 S = 1

N Cn Pn Cn Pn Cn Pn Cn Pn

0 1,0000 0,1546 1,0000 0,1606 1,0000 0,1202 1,0000 0,0184

1 2,0000 0,3093 2,0000 0,3211 2,0000 0,2404 2,0000 0,0368

2 1,8000 0,2784 1,8000 0,2890 1,8000 0,2163 3,6000 0,0662

3 0,9600 0,1485 0,9600 0,1541 1,4400 0,1731 5,7600 0,1059

4 0,4480 0,0693 0,3360 0,0540 1,0080 0,1211 8,0640 0,1483

5 0,1792 0,0277 0,1008 0,0162 0,6048 0,0727 9,6768 0,1779

6 0,0597 0,0092 0,0252 0,0040 0,3024 0,0363 9,6768 0,1779

7 0,0159 0,0025 0,0050 0,0008 0,1210 0,0145 7,7414 0,1423

8 0,0032 0,0005 0,0008 0,0001 0,0363 0,0044 4,6449 0,0854

9 0,0004 0,0001 0,0001 0,0000 0,0073 0,0009 1,8579 0,0342

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0007 0,0001 0,3716 0,0068

Totales 6,4665 1,0000 6,2279 1,0000 8,3204 1,0000 54,3934 1,0000 Número medio de máquinas inactivas L

1,8043 1,6894 2,4037 5,0919

Número medio de máquinas en espera Lq

0,1652 0,0273 0,8845 4,1103

Utilidad promedio 14,7828 9,2425 18,3851 13,6323 Tiempo medio de inactividad W (horas) 4,4030 4,0656 6,3287 20,7492

Tiempo medio de espera Wq (horas)

0,4030 0,0656 2,3287 16,7492

5.10 Problemas 1) Un laboratorio de enseñanza tiene 15 computadores para prácticas de docencia. Los

alumnos que utilizan dichas máquinas descubren que requieren periódicamente que el supervisor del laboratorio responda a preguntas, efectúe ajustes menores en los computadores, etc. Los tiempos entre solicitudes de ayuda por parte de cada estudiante siguen una distribución exponencial con una media de 30 minutos. El tiempo que requiere el supervisor para responder a dichas peticiones de ayuda siguen también una distribución exponencial con una media de dos minutos.

a) Calcule las principales medidas de desempeño del sistema. b) Determine el efecto de contratar un ayudante que pueda responder a las peticiones de

ayuda en la misma forma que lo hace el supervisor. 2) Los trabajos llegan a una estación de procesamiento por medio de una correa transportadora

a una tasa de una cada 4 minutos. La estación de servicio trabaja con una tasa exponencial, con parámetro µ. Encuentre el valor µ que minimice la probabilidad de tener una cola de longitud superior a tres. El sistema incurre en un costo de $ 1.000 por cada unidad que esté en la cola por encima de tres. El costo por día de prestar el servicio en la estación depende de µ. La relación del costo es Cs = 20.000µ, donde Cs = costo por día. Determine el valor óptimo de µ, suponiendo 8 horas por turno.

3) Un mecánico atiende cuatro máquinas. Para cada máquina el tiempo medio entre

requerimientos de servicio es 10 horas y se supone que tiene una distribución exponencial.


El tiempo de reparación tiende a seguir la misma distribución y tiene un tiempo medio de dos horas. Cuando una máquina se daña, el tiempo perdido tiene un valor de $ 30 por hora. El servicio del mecánico cuesta $ 100 diarios.

a) Cuál es el número esperado de máquinas en operación?. b) Cuál es el costo promedio por día?. c) Cuál es preferible: tener dos mecánicos de tal forma que cada uno atienda dos

máquinas, o tener uno solo como ocurre actualmente?. 4) Un camión de reparaciones a domicilio y su mecánico atienden máquinas agrícolas. El

tiempo promedio de viaje más servicio es de dos horas/máquina. El tiempo promedio de requerimiento de servicio es de 4 días (exponenciales). Cuando se requiere servicio, el costo ocasionado por la reparación de las máquinas es $ 1.000/hora. El mecánico y el camión tiene un costo de $ 320/hora. Cuántas máquinas agrícolas debe atender para minimizar los costos?.

Determine además: a) Tiempo de inutilización por máquina. b) Distribución del número de máquinas dañadas. c) Distribución del tiempo de inactividad de las máquinas.

5) Los clientes llegan a un banco a una tasa Poisson de 20 por hora. La ventanilla del banco

tiene un tiempo de servicio exponencial con un tiempo medio de dos minutos. El 20% de los clientes son clientes especiales, que deben ser atendidos inmediatamente llegan, si la ventanilla está desocupada, o una vez finalice el servicio de la persona que está siendo atendida cuando ese cliente especial llegue:

a) Cuál es el tiempo medio de permanencia en el sistema y en la cola de un cliente

especial?. b) Cuál es el tiempo medio de permanencia en el sistema y en la cola un cliente normal? c) Qué porcentaje de tiempo está ocioso el cajero? d) Cuál es la distribución del número de clientes del sistema? e) Cuál es el tiempo medio de permanencia de un cliente en el sistema?

6) Un aeropuerto puede atender tres aviones en dos minutos, ya sea que despeguen o

aterricen. si esta tasa tiene una distribución de Poisson, cuál es el tiempo medio entre llegadas (de aterrizaje o despegue) para asegurar que el tiempo medio de espera sea 5 minutos o menos? Suponga una distribución exponencial del tiempo entre llegadas. Dé, además, toda la información que pueda ser de alguna utilidad.

7) Los clientes llegan a una estación de servicio a hacer lubricar sus carros. Si no hay espacios

para parquear, los carros que llegan se van a otra estación. Una vez que el cliente ha encontrado un espacio libre, deja el carro hasta que sea lubricado

Si el cliente no ha regresado aún cuando se termina de lubricar el carro, éste es llevado a

un parqueadero cercano. Los clientes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson a una tasa media de 32 por día. El tiempo requerido para atender un carro tiene una distribución exponencial donde la tasa media es de 40 por día. La utilidad por cada carro atendido es $ 80. El costo capitalizado de la tierra para cada espacio para un carro es aproximadamente $ 32 por día. Cuántos espacios deberían asignarse, incluyendo el designado para el gato hidráulico de tal forma que se maximice la utilidad neta esperada?

8) Una estación de gasolina abre diariamente a las 7:00 AM y cierra a las 7:00 PM. A los

empleados que atienden esta gasolinera se paga generalmente $ 30.000 al día (12 horas). La llegada de los automóviles que solicitan servicio sigue una distribución de Poisson, con una llegada media igual a 10 autos por hora. El tiempo de servicio por carro está distribuido en forma exponencial con un tiempo esperado de servicio igual a 5 minutos. Cuando excede de 3 el número de automóviles que esperan el servicio, entonces los clientes disgustados abandonan la gasolinera sin esperar el servicio. Determine el número óptimo de operarios que se deben contratar en la estación de gasolina, sabiendo que las ganancias que deja cada automóvil servido son de $ 2.50.


9) Los clientes de un supermercado llegan a las cajas registradoras con una frecuencia promedio de 20 clientes pro hora, siguiendo una distribución de Poisson. El tiempo que un cliente tarda en cada caja se encuentra distribuido en forma exponencial con un valor esperado de 10 minutos. Si el criterio de la tienda es tal que permite a un cliente esperar en una cola un promedio de 5 minutos en cada caja, estime el número de cajas registradoras que se requieren. Estime el tiempo de ocio de cada caja registradora.

10) Determine la mejor política de asignación para 21 máquinas, donde se cumple que la tasa de

fallas por máquina es λ = 0.4 por hora y cada operario en promedio repara µ = 4 máquinas por hora. Una de las políticas es la asignación colectiva (21 máquinas y 3 operarios) y la otra es el asignación individual (7 máquinas por operario). El costo por hora de máquina inactiva es de $120. y el del operario inactivo es de $20.

11) Reconsidere el problema anterior. Cuál es el número óptimo de operación que hay que

asignar a las 21 máquinas, si el costo por máquina inactiva es de $180. por hora y el costo por operario inactivo es $20./hora

12) Actualmente se están desarrollando planes para una nueva fábrica. A un departamento de

producción le han sido asignado cierto número de máquinas automáticas, y se desea determinar cuántas máquinas deberían asignarse a cada operario para que las atienda. Para este análisis se posee la siguiente información

El tiempo de operación de cada máquina (tiempo entre la terminación de un servicio y el requerimiento del mismo) tiene una duración exponencial con una media de 120 minutos. El tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con una media de 6 minutos. El costo neto para la compañía de cada operario es $15 por hora. Se estima que el costo ocasionado por la inactividad de las máquinas (sea esperando servicio o siendo atendidas) le cuesta a la compañía $150 la hora. Cada operario debe atender sus propias máquinas y no puede recibir ni prestar ayuda a los demás.

13) En una fábrica se ha estudio el número óptimo de empleados que hay que colocar en las

ventanillas de los diversos almacenes encargados de proporcionar herramientas a los obreros. En uno de esos almacenes el estudio se inició con la determinación de las características de las llegadas de los obreros y se recogió información acerca del número de obreros que llegaban cada 10 minutos. Esa información está en la Tabla I.

También se recogió información acerca del tiempo gastado por cada almacenista, atendiendo a los obreros que llegaban por herramientas, información que aparece en la Tabla II. Cuántos almacenistas debe contratarse si se tiene la siguiente información: El salario de cada almacenista es $15 por hora, y cada hora de inactividad de un operario le cuesta a la empresa $30.

14) La ventanilla de un banco tiene un tiempo medio de 2 minutos y los clientes llegan a una

tasa de 20 por hora. Suponiendo que los clientes representan tasas con una distribución de Poisson:

a) Qué porcentaje del tiempo estará ocioso el cajero ? b) Una vez llega cuánto tiempo gasta un cliente esperando en la línea y en ser atendido ? c) Qué fracción de clientes debe esperar en la línea?

15) Una planta de procesamiento puede manejar un promedio de 25 unidades/hora, aunque los

tiempos varían debido a la condición del material que llega. La tasa de llegada y la tasa de servicio pueden aproximarse mediante una distribución de Poisson. Cuántas unidades por hora se deben asignar para hacer que el tiempo medio del sistema no sea mayor que 4 minutos?

16) Una mecanógrafa copia una carta en un tiempo promedio de 8 minutos. Realmente este

tiempo varía y está distribuido exponencialmente. Si ella necesita el 40 por ciento del tiempo para otras actividades, cuántas cartas diarias se espera que ella escriba?


Tabla I Tabla II Estudio de las llegadas Estudio de la duración de los servicios Número de llegadas Intervalos en segundos Frecuencia por cada 10 minutos. Frecuencia 4 1 0 15 187 5 1 15 30 160 6 0 30 45 140 7 1 45 60 115 8 2 60 25 90 9 2 75 90 74 10 3 90 105 54 11 5 105 120 50 12 6 120 135 42 13 8 135 150 33 14 11 150 135 25 15 12 165 180 19 16 14 180 195 17 17 11 195 210 15 18 7 210 225 13 19 5 225 240 9 20 4 255 270 7 21 3 270 285 6 22 2 285 300 4 23 1 Mas de 300 2 24 1 25 1

17) Las unidades que requieren atención llegan a una tasa de 10 por hora. Se pueden comprar dos tipos de unidades de servicio. El tipo A puede atender 6 por hora (serían necesarias dos); el tipo B tiene una tasa de servicio de 12 por hora. Comparar el tiempo esperado en el sistema y el número esperado en el sistema para las dos alternativas.

18) El proceso de descarga de camiones se realiza por medio de una pala. El tiempo medio

entre llegadas es 30 minutos y tiene distribución exponencial. La tasa de descarga es de tres camiones por hora. El costo de la pala y el operario es de $7 por hora. El costo de tiempo ocioso de un camión y su conductor es de $10 por hora. ¿Cuántas palas deben usarse?

19) Una oficina tiene una sola línea telefónica. Actualmente se hacen llamadas (que entran o

salen) a una tasa de 10 por hora. La llamada media requiere 3 minutos. Cuál es la probabilidad de que cuando se haga una llamada la línea esté ocupada ?. Si esta probabilidad es 0.10 o menor, cuantas líneas se requieren?

20) Una unidad de servicio tiene una tasa media de 10 artículos por hora. Estos artículos llegan

a una tasa de 7 por hora. a) Si ambas tasas se aproximan a una distribución de Poisson, determinar la probabilidad

de 0, 1, 2 y 3 unidades en el sistema. b) Si una unidad que llega no debe encontrar más que tres unidades en el sistema con una

probabilidad de 0.2, Cuál debe ser la tasa de servicio?

21) Un operario tiene tres máquinas. Cuando las máquinas requieren atención él las detiene y hace las modificaciones necesarias. Estas modificaciones toman un tiempo de 10 minutos y tienen una distribución exponencial. El tiempo medio entre requerimientos de servicio para cualquier máquina es 2 horas. Cuál es la utilización del equipo?

22) En un taller, la práctica presente es acumular un mínimo de cuatro piezas mal ensambladas

para volver a armarlas. Si en promedio salen dos piezas mal ensambladas por hora, cuál es el tiempo medio entre tandas de piezas para volver a armar? Suponer que la tasa de


acumulación tiene una distribución de Poisson.

23) En una oficina una mecanógrafa atiende los trabajos de tres personas. Un trabajo promedio de mecanografía requiere 30 minutos y estos varían según una distribución exponencial. Una persona produce un trabajo de mecanografía aproximadamente cada 3 horas. Cuál es el valor estimado del tiempo que debe esperar un trabajo que llega para ser comenzado?

24) El concreto para ser vertido es transportado en carretillas por obreros. Un obrero supervisa

el vaciado y se asegura de que queda bien asentado y pulido. El costo de un supervisor es de $8 por hora; los obreros cuestan $5 por hora. Para efectos de cálculo, se supone que una determinada carretilla se entrega cada 15 minutos y que la distribución de este tiempo es exponencial. El supervisor requiere un promedio de 6 minutos para manipular una carga de cemento. Si este tiempo también tiene una distribución exponencial, cuántos obreros deben emplearse?

25) Se reciben pagos con tarjetas de crédito a una tasa de 800 por día con una variación que

aproximadamente es Poisson. Una persona puede procesar aproximadamente 300 tarjetas en un día de 8 horas. Hacer una representación gráfica del tiempo medio entre llegadas y procesamiento completo, en función del número de personas utilizadas.

26) Un empleado atiende los clientes que llegan a una estación de servicio. El tiempo de servicio

está distribuido exponencialmente con una media de 6 minutos. Cuando hay más de un automóvil en espera de servicio, otro mecánico llega a ayudar. Si la tasa de llegada de clientes es seis por hora; cuál es la probabilidad de que se requiera un empleado adicional?

27) Un parque de recreación tiene una rampa para botes. Se requieren aproximadamente 7

minutos para lanzar o retirar del agua un bote. Este tiempo se supone aleatorio y distribuido exponencialmente. Durante los períodos ocupados, los botes llegan para ser lanzados o retirados a una tasa de cinco por hora (con distribución de Poisson). Cuál es el tiempo esperado del sistema? Cuántas rampas son necesarias para hacer este tiempo igual o menor que 20 minutos?

28) El administrador de una oficina desea determinar cuántas líneas telefónicas debe tener. La

llamada promedio requiere 3 minutos y tiene distribución de Poisson. Sus primeros cálculos suponían una población infinita de clientes, pero ahora él se ha dado cuenta de que cuando una persona está hablando, disminuye la probabilidad de otra llamada. Hay diez personas que requieren servicio telefónico con un tiempo medio entre requerimientos de 1 hora. Si la probabilidad de hallar todas las líneas ocupadas cuando se necesita una llamada es 0,10 o menos. Cuántas líneas telefónicas se necesitan

29) En una instalación de servicio la atención se ofrece en tres etapas consecutivas. El tiempo

de servicio en cada etapa es exponencial con media de 10 minutos. Un nuevo cliente debe esperar hasta que el que está en servicio pase por la etapa 3. Los clientes llegan a la estación de servicio de acuerdo con un proceso de poisson con una tasa media de uno por hora. Determine el número esperado de clientes en espera en la etapa uno y el tiempo promedio que se gasta esperando servicio y en el sistema.

30) Un vendedor atiende el mostrador en una tienda de helados. Los clientes llegan de acuerdo

con el proceso poissoniano, con una tasa media de llegadas de 30 por hora. Se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO, y debido a la calidad del helado, aceptan esperar si es necesario. Aparentemente el tiempo de servicio por cliente se distribuye exponencialmente, con una media de 1 ½ minutos. Determínense: a) El número promedio de clientes en espera se servicio. b) La cantidad de tiempo de espera por el servicio que un cliente debería estimar. c) La probabilidad de que un cliente tenga que permanecer más de quince minutos en la

línea de espera. d) La probabilidad de que el dependiente este ocioso.

Solución: 2.25; 4.5 minutos; 0.062; 0.25 respectivamente.

31) Un peluquero atiende el solo un negocio. No acepta citas, pero atiende a los clientes conformen llegan. Debido al prestigio del peluquero, los clientes están dispuestos a esperar


por el servicio una vez que llegan; las llegadas siguen un patrón poissoniano, con una tasa media de llegadas de dos por hora. Aparentemente el tiempo de servicio del peluquero se distribuye exponencialmente, con una media de 20 minutos. Determínense: a) El número esperado de clientes en la peluquería. b) El número esperado de clientes que esperan el servicio. c) El tiempo promedio que un cliente permanece en la peluquería. d) La probabilidad de que un cliente permanezca más del tiempo promedio en la

peluquería. Solución: 2 clientes; 1.33 clientes; 1 hora; 0.368 respectivamente.

32) Aparentemente el patrón de llegada de automóviles a la fila única de una ventanilla bancaria

de atención a automóviles es un proceso poissoniano, con una tasa media de uno por minuto. Aparentemente los tiempos de servicio del cajero se distribuyen exponencialmente, con una media de 45 segundos. Considerando que un auto que llega esperará tanto como sea necesario. Determínense: a) El número esperado de autos en espera de servicio. b) El tiempo promedio que un automóvil espera el servicio. c) El tiempo promedio que un automóvil permanece en el sistema. d) La probabilidad de que haya automóviles esperando en la calle, si en los terrenos del

banco puede haber un máximo de 5 automóviles. Solución: 2.25 clientes; 2.25 minutos; 3 minutos; 0.178 respectivamente.

33) En un aeropuerto de una sola pista, un promedio de una avión cada 5 minutos solicita

permiso para aterrizar; aparentemente la distribución real es poissoniana. Los aeroplanos reciben permiso para aterrizar de acuerdo al orden de llegada, quedando en espera aquellos a los que no se les pueda dar permiso de inmediato debido al trafico. El tiempo que toma al controlador de trafico ayudar a que un aeroplano aterrice, varia de acuerdo con la experiencia del piloto; se distribuye exponencialmente, con una media de 3 minutos. Determínense: a) El número promedio de aeroplanos en espera. b) El número promedio de aeroplanos que han pedido permiso para aterrizar, pero que aun

se encuentran en movimiento. c) La probabilidad de que un aeroplano que llega este en tierra menos de 10 minutos,

después de pedir por primera vez permiso para aterrizar. d) La probabilidad de que haya más de tres aeroplanos esperando servicio.

Solución: 0.9 aeroplanos; 1.5; 0.7364; 0.07776 respectivamente.

34) Unas mecanógrafa recibe trabajo de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa promedio de cuatro trabajos por hora. Los trabajos se mecanografían de acuerdo al orden de llegada, y el trabajo promedio requiere de 12 minutos de tiempo de la mecanógrafa; aparentemente el tiempo real del trabajo se distribuye exponencialmente alrededor de este media. Determínense: a) La probabilidad de que un trabajo quede concluido en menos de 45 minutos después de

su llegada. b) La probabilidad de que la mecanógrafa concluya todos los trabajos al final del día. c) La probabilidad de que el trabajo le lleve a la mecanógrafa menos de 12 minutos.

Solución: 0.528; 0.2; 0.632 respectivamente.

35) Conforme los mecánicos necesitan partes para los autos que están reparando en un taller, se dirigen al departamento de refacciones del taller y solicitan el material necesario. El dependiente único del departamento de refacciones atiende a los mecánicos de acuerdo al orden de llegadas. Los mecánicos llegan siguiendo un proceso poissoniano con una tasa media de 35 por hora y esperan su turno siempre que el dependiente este ocupado con alguien mas. En promedio, el dependiente de refacciones tarda 1 minuto para atender a un mecánico, con el tiempo real de servicio distribuido exponencialmente alrededor de esta media. ¿Cuál es el costo esperado por hora para el taller por hacer que los mecánicos obtengan las refacciones, si a un mecánico se le pagan $12 por hora?. Solución: US $16.80.

36) Los autobuses llegan a ciertas instalaciones de servicio de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 10 por día. Las instalaciones pueden dar servicio a uno por uno, el


tiempo de servicio se distribuye exponencialmente alrededor de una media de 1/12 día. A la compañía de autobuses de cuesta $200 diarios operar las instalaciones de servicio y $50 por cada día que un autobús permanece en las instalaciones. Comprando un equipo más moderno, la compañía de autobuses puede disminuir el tiempo medio de servicio a 1/15 por día, pero esto aumentaría los costos diarios de operación de las instalaciones de servicio a $245. ¿Resulta conveniente desde le punto de vista económico hacer este cambio? Solución: si con un ahorro esperado de US $105.

37) Los trabajos llegan a una estación de inspección de acuerdo a un proceso poissoniano, con

una tasa media de dos por hora, y son inspeccionados de uno en uno siguiendo un orden tipo FIFO. El ingeniero de control de calidad inspecciona y realiza ajustes menores, si esto es todo lo necesario para que un trabajo termine esta fase. El tiempo total de servicio por trabajo aparentemente se distribuye exponencialmente, con una media de 25 minutos. Los trabajos que llegan pero no pueden ser inspeccionados de inmediato por el ingeniero, deben almacenarse hasta que el ingeniero pueda encargarse de ellos. Cada trabajo requiere 10 pie2 de espacio mientras esta almacenado. ¿Cuánto espacio deberá proporcionarse, si el objetivo es tener suficiente espacio de almacenamiento dentro de la sección de control de calidad el 90% del tiempo?. Solución: 110 pies2.

38) Determínese el efecto sobre L, Lq y W al duplicar λ y µ en un sistema M/M/I

39) Encuéntrese la probabilidad condicional que se haya n≥2 clientes en un sistema M/M/I, dado que existe una línea de espera.

Solución: ( )µλ=ϕϕ−ϕ − con12n

40) Una pastelería tiene dos dependientes, cada uno de ellos es capaz de atender 30 clientes por

hora, con los tiempos reales distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan a la pastelería de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 40 por hora. Determínense: a) La fracción de tiempo que un cierto dependiente está ocioso. b) La probabilidad de que haya más de dos clientes esperando servicio en un momento

dado. Solución: 1/3, 64/405;

41) Una estación ferroviaria suburbana tiene cinco teléfonos públicos. Durante las horas de más

movimiento en la tarde, las personas que desean hacer llamadas llegan a las casetas telefónicas siguiendo un proceso poissoniano, a una tasa de 100 personas por hora. La duración promedio de una llamada es de 2 minutos, con la duración real distribuida exponencialmente. Determínense: a) La cantidad de tiempo estimada que un individuo deberá esperar para hacer uso de un

teléfono, una vez llega a las casetas. b) La probabilidad de que esta espera dure más de un minuto. c) El número esperado de personas que hacen uso o esperan el teléfono.

Solución: 23.5 seg. ; 0.142; 3.987.

42) Un pequeño banco tiene dos cajeros, uno para depósitos y otro para retiros. El tiempo de servicio para cada cajero se distribuye exponencialmente, con una media de 1 minuto. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 40 por hora; se considera que las personas que vienen a realizar depósitos y retiros, constituyen procesos poissonianos diferentes, cada uno con una tasa media de 20 por hora, y que ningún cliente realiza tanto un deposito como un retiro. El banco esta considerando cambiar al arreglo actual para permitir que cada cajero se encargue tanto de depósitos como de retiros. El banco esperaría que el tiempo medio de servicio de cada cajero aumentara a 1.2 minutos, pero desea que el nuevo arreglo impida que se formen largas líneas frente a un cajero, mientras que el otro permanece ocioso, situación que se presenta de tiempo en tiempo bajo el actual arreglo. Analícense ambos arreglos en lo que respecta al tiempo promedio ocioso de un cajero y al número estimado de clientes esperados en el banco en cualquier momento dado.


Solución: %60t9524.0n,%17.16t1n 010 ==== &

43) Un cirujano contrata un servicio de recados para manejar sus llamadas telefónicas. El servicio de recados es atendido por un operador y tiene capacidad para conservar en espera dos llamadas si el operador está ocupado con otra. Si las tres líneas están ocupadas (una por el operador y dos por las llamadas en espera), quien realiza una llamada recibe una señal de ocupado. El cirujano recibe llamadas de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 20 por hora. Una vez que se logra contacto con el operador, la duración de una llamada se distribuye exponencialmente, con una duración media de 1 minuto. Determínense: a) La probabilidad de que una persona que realiza una llamada reciba la señal de ocupado. b) La probabilidad de que una persona que llama, permanezca en espera. c) La probabilidad de que una persona que llama, hable de inmediato con el operador.

Solución: 0.025; 0.3; 0.675.

44) Un restaurante de comida china para llevar tiene espacio para máximo cinco clientes. Durante los meses de invierno, sucede que cuando los clientes llegan y el restaurante está lleno, prácticamente ninguno espera por la fría temperatura exterior y se van a otro establecimiento. Los clientes llegan de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 15 por hora. El restaurante atiende clientes a una tasa promedio de 15 por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. El restaurante es atendido solo por su propietario, quien se ocupa de los clientes de acuerdo al orden en que llegan. Determínense: a) El número promedio de clientes en el restaurante en cualquier momento dado. b) El tiempo estimado que un cliente deberá esperar el servicio. c) La tasa esperada a la cual se pierden ingresos debido al espacio limitado del restaurante,

si la cuenta promedio es de $10.00. Solución: 2.5 clientes; 8 minutos; US $ 25/hora.

45) Una compañía de autobuses envía sus vehículos a sus instalaciones de servicio para su

mantenimiento de rutina cada 25 000 millas. Las instalaciones de servicio están abiertas las 24 horas del día y las atiende una sola cuadrilla capaz de trabajar en un autobús por vez. El tiempo que toma dar servicio a un autobús se distribuye exponencialmente, con una media de 4 horas. Los autobuses llegan a las instalaciones siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 4 horas. Sin embargo, los conductores tiene instrucciones de no entrar a las instalaciones si ya hay ahí cuatro o más autobuses, en cuyo caso regresan con el despachador para recibir nuevas instrucciones. Determínense: a) El tiempo esperado que un autobús pasa en las instalaciones de servicio, cuando se

queda ahí. b) La pérdida diaria en dinero para la compañía de autobuses debido a las limitaciones de

las instalaciones de servicio, si el costo de enviar un autobús a las instalaciones y que regrese sin servicio es de $80. Solución: 13 horas, 4 minutos; US $ 495.48

46) La compañía de autobuses descrita en el problema anterior está considerando aumentar su

cuadrilla de servicio a dos grupos igualmente eficientes. El costo diario de la cuadrilla adicional seria de $300. ¿Es convencional tal expansión). Solución: No, el nuevo costo $213.33 más los $300 de la cuadrilla.

47) La sección de maternidad de un hospital tiene cinco salas para atender a las pacientes.

Estas llegan al hospital de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 12 por día y se les asigna una sala si hay alguna disponible; de otro modo, se las envía a otro hospital. En promedio, una paciente ocupa la sala durante 6 horas, aparentemente el tiempo real se distribuye exponencialmente alrededor de esta media. Determínense: a) La tasa promedio de ocupación de las salas (esto es, el porcentaje de salas en uso a

largo plazo). b) La tasa promedio a la cual las pacientes de maternidad son enviadas a otros hospitales.

Solución: 53%, 1.32 madres / día.


48) Una tienda tiene dos dependientes, cada uno de ellos es capaz de atender a los clientes a una tasa promedio de 60 por hora; los tiempos reales se servicio se distribuyen exponencialmente. La capacidad de la tienda es de cinco clientes, no permitiéndose la espera en el exterior. Los clientes llegan a la tienda de acuerdo con un proceso poissoniano, con una tasa promedio de llegadas que depende del número de personas que está en la tienda, de la manera siguiente:

Número en la tienda 0 1 2 3 4 5 Tasa promedio de llegadas /hora 100 110 120 140 170 200

Determínense:

a) El número esperado de clientes simultáneos en la tienda. b) El tiempo estimado que un cliente deberá esperar por el servicio. c) La tasa estimada a la cual se pierden los clientes, debido a los limitado de las

instalaciones. Solución: 2.9 clientes; 46.4 seg.; 50.4 clientes / hora.

49) Una estación de lavado de automóviles tiene espacio solo para tres unidades en espera y

tiene dos líneas para el lavado. Cada línea puede aceptar sólo un automóvil cada vez. Estos llegan de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 20 por hora, pero se les niega la entrada siempre que el lavado este lleno. El lavado y la limpieza se realizan manualmente y parecen seguir una distribución exponencial. Bajo las condiciones normales, cada línea da servicio a un automóvil durante un promedio de 5 minutos. Sin embargo, cuando dos o más automóviles están esperando por el servicio, el procedimiento de lavado se acelera, reduciendo el tiempo promedio de servicio a 4 minutos. Determínense: (a) El número esperado de automóviles en el lugar. (b) El tiempo estimado que un automóvil permanece en el sitio si no se le niega la entrada.

Solución: 2.089 autos; 6 minutos 48 seg..

50) Los clientes llegan a una pequeña tienda de manjares delicados siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 30 por hora. En el establecimiento caben cuando más cuatro clientes; siempre que está lleno, los clientes que llegan no pueden entrar y se pierde su compra. El propietario de la tienda es el único que atiende, y su tiempo de servicio se distribuye exponencialmente siempre que haya sólo un cliente en la tienda, con tiempo promedio de servicio de 5 minutos. Sin embargo, el propietario se vuelve más eficiente conforme la tienda se llena, disminuyendo su plática con los clientes y disminuyendo por tanto el tiempo promedio de servicio en 1 minuto por cada cliente que este formado esperando servicio. Determínense: a) El número estimado de personas que estarán simultáneamente en la tienda (sin incluir la

propietario) b) El tiempo promedio de servicio por parte del propietario.

Solución: 2.77; 2.94 minutos.

51) Determínense las probabilidades de estado estable para un sistema M/M/1 con rechazo, si hay 20% de probabilidad de rechazo siempre que haya uno o más clientes en el sistema.

Solución: ( ) 01

0 **8.02.018.01

PPP nnn ϕ

ϕϕ −=∧

+−=

52) Resuelva el problema 51 si la probabilidad de un cliente efectué un rechazo es de n)2/1(1− , cuando el estado del sistema es n = 0, 1,2, 3

Solución: 1.53; 4.72 minutos.

53) Interprete la ecuación 1n1nnn PP −−λ=µ en términos de las tasas de transición.

54) Para un sistema M/M/s/K, deduzca que ( )∑−

=−−+=

1

0

s

nnq PnssLL


55) Un sistema M/M/∞ es un proceso de líneas de espera con un patrón poissoniano de llegadas, con tasa media λ , con una cantidad suficiente de servidores para atender a todos los clientes que llegan al sistema. Los servidores tiene tiempos idénticos de servicio distribuidos exponencialmente e independientes, con parámetro µ , y capacidad infinita. Tal

modelo se aplica a menudo a establecimientos de autoservicio. Demuestre que para un sistema M/M/ ∞ , las probabilidades de estado estable constituye una distribución de Poisson,

con un parámetro µλ≅ϕ / . Determínense después qWWL ,, y qL .

56) En un curso de cableado eléctrico por correspondencia, se acepta a los estudiantes tan pronto como se inscriben y después concluyen el curso a su propio ritmo. Aparentemente los tiempos para terminar el curso siguen una distribución exponencial, con una media de 7 semanas. Determínese: a) El número de estudiantes que se esperan estén inscritos simultáneamente en el curso. b) La probabilidad de que un estudiante tarde más de 7 semanas en concluir el curso.

(Consejo: Use los resultados del problema anterior. Solución: 350; 0.368.

57) Una compañía que tiene siete delicadas máquinas que frecuentemente se descomponen,

emplea a dos personas de servicio con la única tarea de repararlas. Cada persona de servicio puede reparar una máquina en 2 horas promedio, con el tiempo actual de servicio distribuido exponencialmente alrededor de esta media. Una máquina reparada funciona 12 horas en promedio exponencial antes de descomponerse de nuevo. Determínese: a) Número de máquinas en operación. b) % de tiempo fuera de servicio.

Solución: 5.87; 16%.


Tabla No 1. Teoría de Colas. Modelos exponenciales (abiertos)

Medida M/M/1 M/M/s Pn ( )

µλρ

ρρρ

=

−= 10nPn

µs

λρ

sn,!s

Pρ sn)µ/λ( s

sn,!n

P)µ/λ( n

=

≥−

<

0

0

P0

ρ−/

∑−

= −+

−1s

0n )ρ1(!s)µ/λ( s

!n)µ/λ( n 1

Lq

)(1

22

λµµρλρ

−=

−

)ρ1( 2!s

P0ρ)µ/λ( s

−

r 1 -ρ = 1 - λ/µ s - λ/µ

a ρ = λ/µ λ/µ

L

λµλ

ρρ

−=

−1

)1( 2!

0)/(

ρ

ρµλ

−s

Ps+ λ/µ

)(wqf e w)1( q)1( ρ−µ−ρ−µρ

e wq)1(s)!1s(

)/( sP0 ρ−µ−−

µλµ

)( 0wW qP > e w0)1( ρ−µ−ρ

e w0)1(s)1(!s

)/( sP0 ρ−µ−ρ−µλ

P(n≥s) = P(wq>0)

ρ

)1(!

)/(0ρµλ

−s

sP

)0/(f ww qq >

e

ew)(

w)1(

q

q

)(

)1(

λ−µ−

ρ−µ−

λ−µ

ρ−µ

e

ew

w

q

q

s

s

s

s

)(

)1(

)(

)1(

λµ

ρµ

λµ

ρµ−−

−−

−

−

W q

)()1(

2

λµµλ

ρλρ

−=

−

λρ

ρµλ

)1( 2!

0)/(

−s

Ps

0/ >WW qq

λµ −1

λµ −s

1

W sW =

µ+=

λ=

λ−µ1L1

Wq

λρ−

ρµλ

)1( 2!s

P0)/( s+1/µ

=raLqL ,,, Número medio de: Unidades en el sistema, en la cola, en el servicio (o estaciones

ocupadas) y estaciones inactivas, respectivamente. WW q , = Tiempos medios de permanencia

en la cola y en el sistema, respectivamente. ND = No Disponible


Tabla No 2. Teoría de Colas. Modelos exponenciales Fuente finita

Medida M/M/s Fuente Finita M/M/1 Fuente Finita Pn

)1nM(C 1nCn

MnsPara)b

n

)1nM(C 1nCn

snPara)a

s/,1C0,CnP0

+−ρ−=≤≤

µλ+−

−=

<µλ=ρ=

µλ=ρ

+−ρ==

− )1nM(

1

CCC

PC

1nn

0

0n

P0

∑=

−M

0nnC

1

∑=

−M

0nnC

1

Lq ∑=

−M

snnP)sn( ρ

ρ+−− 1)1(M P0

r

∑−

=−

1s

0nnP)ns(

P0

a

µλ−=− )LM(

rs 1 – P0

L aLq+

∑=

M

0nnPn

ρPM 01−

−

)(wqf ND ND

)( 0wW qP > ND ND

P(n≥s) = P(wq>0) ∑

−

=−

1s

0nnP1

1 – P0

)0/(f ww qq > ND ND

W q

λ− )LM(

Lq

λ−

−

−µ1

11

M1

P0

0/ >WW qq

)sn(P

Wq

≥

PW

0

q

1−

W sW =

λ− )LM(

L

λ−

−µ1

1

M1

P0

=raLqL ,,, Número medio de: Unidades en el sistema, en la cola, en el servicio (o estaciones

ocupadas) y estaciones inactivas, respectivamente. WW q , = Tiempos medios de permanencia

en la cola y en el sistema, respectivamente. ND = No Disponible


Tabla No 3. Teoría de Colas. Modelos exponenciales de capacidad finita

Medida M/M/1 M/M/s

Pn ρρρ +−

ρ−=1N

n0

n

1

1P

0 ≤ n ≤ N ρ =λ/µ Nns,

!s

s

s,sn

!n

,

P)/(

P)/(

0

sn

0n

≤≤

µλ=ρ<

ρµλ

µλ

−

P0 ρ +−

ρ−1N

1

1 { }

ρ∑−

= ρ−

+−−µλ

+µλ

−1s

0n )1(!s

1sN1)/(

s

!n

)/(n

1

VLq=

ρ−

ρ−−

−ρ−

−

ρ−

ρ1N

)1)(1N(

1N1

)1(2

P02

ρρ

−ρ−−

−−

−

ρ−

ρµλ

sN)1)(sN(

sN1

)1(2

!s

P0)/(s

r ρ −−

ρ−=P 1N01

1 as−

a µ−λ )1( PN

µλ )1( PN−

nL=

ρρ+

+

−

+−

ρ−ρ

1N

1N

1

)1N(

1

)1(a

PLL

Nqq −µ

λ+=+

P(n≥s) = P(wq>0)

1 – P0 { }

)1(!s

1sN1)/( sP0ρ−

ρ +−−µλ

W q λ)1( P

L

N

q

−

λ− )1( PL

N

q

0/ >W qW q

PW

0

q

1−

)sn(P

Wq

≥

W sW = λ− )1(

L

PN

λ− )1(

L

PN

=r,a,Lq,L Número medio de: Unidades en el sistema, en la cola, en el servicio (o estaciones

ocupadas) y estaciones inactivas, respectivamente. W,Wq = Tiempos medios de permanencia

en la cola y en el sistema, respectivamente. N (K) = Capacidad del sistema. ND = No Disponible.


Tabla No 4. Teoría de Colas. Modelos no exponenciales, y modelos exponenciales con prioridad

Medida M/G/1 M/Ek/1 M/D/1

Pn ND ND ND

P0

1 - ρ

µλ=ρ

1 - ρ

µλ=ρ

1 - ρ

µλ=ρ

VLq=

)1(2

222

ρ−+ ρσλ

)(k2

k1 2

λ−µµ+ λ

)1(2

2

ρ−ρ

r P0=1 - ρ P0 P0 a ρ 1 - P0 1 - P0

nL= aLq+

λW λW

P(n≥s) = P(wq>0)

1 - ρ 1 – P0 1 – P0

W q λLq

)(k2

k1

λ−µµλ+

λLq

0/ >W qW q

ρ−1

Wq

PW

0

q

1−

PW

0

q

1−

W sW = µ

+=λ

1LWq

µ+ 1

Wq µ

+ 1Wq

Modelos con prioridades: 1) Modelos con prioridades relativas M/M/s 2) Modelo con prioridades absolutas M/M/1

PpA BB

Wpp

p ,...,2,1,1

.

1

1=+=

− µ Pp

BBW

ppp ,...,2,1,

/1

1==

−

µ

µs!j

λµs!kA

1s

0j

j

sρ

ρ+

−= ∑−

= λ ppp WL = , ∑

==

P

ii

1λλ

B0 = 1, ∑=

=P

ii

1λλ , Pp

su

p

ii

pB ,...,2,1,1 1 =−=∑=

λ

=r,a,Lq,L Número medio de: Unidades en el sistema, en la cola, en el servicio (o estaciones

ocupadas) y estaciones inactivas, respectivamente. W,Wq = Tiempos medios de permanencia

en la cola y en el sistema, respectivamente. N (K) = Capacidad del sistema. ND = No Disponible.

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