Captulo 8 Modelos de Lneas de Espera

Prof. Hctor Allende O.Departamento de InformticaUniversidad Santa Mara

IntroduccinUna lnea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho servicio.

Un sistema est formado por un conjunto de entidades que en paralelo proporcionan servicio a las transacciones que aleatoriamente ingresan al sistema

Ejemplos de Lneas de EsperaCajas en BancosTrfico en una Ciudad ( Terrestre o Areo)Redes de Comunicaciones y ComputadoresTareas en un ComputadorLneas de Produccin e InventarioTalleres de ReparacinHospitalesEstaciones de BomberosSistemas de Distribucin o LogsticosTrabajos o Tareas que tenemos que hacer

IntroduccinElementos de estudio de dichas lneas de espera sern entonces los tiempos asociados a cada uno de los procesos que se desarrollan y las llegadas de las transacciones al sistema.Debido a que las variables estn fuera del control del tomador de decisiones, ser necesario realizar el modelado utilizando procesos estocsticos.

Esquema Lneas de EsperaPoblacin o Fuente deEntrada deClientes alSistemaInstalacionesde ServicioSISTEMA de SERVICIOClientes Servidossalen del Sistemade Servicio y vuelven a laPoblacinAlgunos Clientespueden no entraral sistema deServicio

Clientes que entran al Sistema de Servicioy Esperan ser Atendidos

Definicin BsicaUna lnea de espera puede modelarse como un proceso estocstico en el cual la variable aleatoria se define como el nmero de transacciones en el sistema en un momento dado.El conjunto de valores que puede tomar dicha variable es { 0, 1, 2, 3, 4,.......,N } y cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia {P0, P1, P2... ........., PN }

Objetivo del EstudioDeterminar el nivel de servicio del sistema: Cantidad de entidades presenteVelocidad del Servicio en el sistema Interesa minimizar el costo total del sistemaLos costos de transacciones dan cuenta de la prdida por tiempo de espera o la prdida de clientes por abandono del sistema.Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los salarios, energa, mantencin, etc.

Objetivo del estudio Matemticamente :Min {Ct} = Ce S + C q LqdondeS = 1,2,3,4.........Lq= f {S,E(t),.......}Donde:S: Nmero de entidades que proporcionan servicio.E(t): tiempo promedio de Servicio.Lq: : Nmero de transacciones en espera.Ce : Costo de servicio por entidad - tiempo.Cq : Costo de servicio por transaccin - tiempo.Ct : Costo total por unidad de tiempo

Optimizacin de Costos

Lneas de EsperaLos modelos de LE nos permitirn estudiar este tipo de fenmeno y determinar (en algunos casos):Tiempo de Espera Promedio de los ClientesLargo Promedio de la LE Factor de Utilizacin de ServidoresDistribucin Tiempos de Espera (Difcil)Tiempos OciososEficiencia del SistemaPrdidas de Clientes

Poblacin: Fuente de Entradas Tamao : Infinito Finito Patrn de Llegadas : Tasa de Llegada Patrn de Salidas : Cliente Satisfecho Cliente vuelve a la l.e. Actitudes de los Clientes Cambios Renuncias Elusin Elementos Bsicos de Modelos de Espera

Estructura General Sistema EsperaSalida del SistemaEntrada al SistemaServidores en paraleloFuente detransaccionespotencialesFila

EstructuraLos elementos bsicos constituyentes de un sistema de espera son los siguientes:

Servidor Fila Transacciones Potenciales

ServidorRepresenta el mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado.

Sus principales caractersticas son:La Cantidad asignada a cada fila existente en el sistema.La distribucin de probabilidad del Tiempo de Atencin a las transacciones o (Velocidad de Servicio)

FilaEs el conjunto de transacciones que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema.

Sus principales caractersticas son:

Capacidad : es la cantidad mxima de transacciones que puede albergar cada fila existente en el sistema.De acuerdo a esto se clasifican en finitas o infinitas.Orden : es la forma como las transacciones son extradas de la fila para su atencin.Ejemplos: FIFO, prioridad, aleatorio, etc.Forma de salir : como sale de la filamediante el proceso de serviciomediante factores de abandono : insatisfaccin, desesperacin, etc.

Transacciones PotencialesRepresentan el nmero de clientes potenciales que podra requerir el servicio proporcionado por el sistema.

Sus principales caractersticas son:El Tamao del conjunto de potencial de clientes.La distribucin de probabilidad del Tiempo entre llegadas o tasa de entrada promedio.

NomenclaturaSnmero de servidoresnnmero de clientes en el sistemaNnmero mximo de clientes permitidos en el sistemanflujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistemancapacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistemaE(t)tiempo promedio de proceso por clienteV(t)varianza del tiempo de procesoE(a)tiempo promedio entre llegadasV(a)varianza del tiempo entre llegadaCoeficiente cuadrado de variacin del flujo de clientes que entran al sistema.Coeficiente cuadrado de variacin del tiempo de servicio. Coeficiente cuadrado de variacin del flujo de clientes que salen del sistema.

Nomenclaturapijprobabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado jdespus de un intervalo de tiempoPnprobabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistemaLnmero promedio de clientes en el sistemaLq nmero promedio de clientes en la filaWtiempo promedio de permanencia en el sistemaWq tiempo promedio de permanencia en la filautilizacin promedio del servicioCt costo total promedio del sistema de lneas de espera por unidad de tiempoCe costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempoCq costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

Clasificacin de Kendall y LeeKendall y Lee 1953Proponen un sistema de clasificacin para los sistemas de lneas de espera, el cual considera seis de las caractersticas mencionadas en la estructura de los modelos.El cual tiene el siguiente formato(a/b/c)(d/e/f)

Clasificacin de Kendall y LeeDondeadistribucin de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transaccionesbdistribuciones de probabilidad del tiempo de servicio. Smbolos utilizados en estos dos primeros campos son:D:constanteEk:distribucin Erlang con parmetro kG:cualquier tipo de distribucinGIdistribucin general independienteHdistribucin hiperexponencialMdistribucin exponencial

Clasificacin de Kendall y Leecnmero de servidoresdorden de atencin de los clientesSmbolos utilizados en este campo son:

FIFO : primeras entradas, primeros serviciosLIFO: ltimas entradas, primeros servicios SIRO: orden aleatorioPR:con base en prioridadesGD:en forma generalenmero mximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempofnmero de clientes potenciales del sistema de lneas de espera

EjemplosUn modelo(M/D/3)(FCFS/20/20) representa la clasificacin de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas, primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene slo 20 clientes potenciales, los cuales podran encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribucin exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los servidores ocupados, pasan a formarse de una fila comn.

Clasificacin de Kendall y LeeRespetando la clasificacin Kendall y Lee anterior, es posible agrupar los diferentes modelos de una manera donde los procesos Markovianos y los no Markovianos se separan claramente.Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita y modelos de capacidad Infinita.Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con cualquier tipo de distribucin.

Clasificacin de Kendall y Lee

Medidas de desempeoMedidas de desempeoUtilizacin de ServicioTasa de entrada PromedioNmero Promedio de Clientes en el sistemaNmero promedio de Clientes en la filaTiempo promedio de espera en el sistemaTiempo promedio de espera en la filaCoeficiente cuadrado de variacin

Ecuaciones GeneralesUtilizacin de ServicioTasa de entrada PromedioNmero Promedio de clientes en el sistema

Ecuaciones GeneralesNmero promedio de clientes en la filaTiempo Promedio de espera en el sistemaTiempo promedio de espera en la fila

Ecuaciones GeneralesCoeficiente cuadrado de variacinTiempo entre llegadasTiempo de servicioTiempo entre salidas del servicio

Procesos MarkovianosEl proceso estocstico asociado a una lnea de espera tiene la propiedad markoviana, es decir la probabilidad condicional de llegar a un estado futuro depende exclusivamente del estado actual en el que se encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de dicho sistema. Las probabilidades condicionales deben cumplir con

Procesos MarkovianosLas probabilidades de estado estacionario Pj representan el comportamiento probabilstico de cada estado del sistema a largo plazo y se calculan a partir de las probabilidades de transicin de un paso de acuerdo con las probabilidades de transicin de acuerdo con

Matriz de probabilidades a un paso

Procesos MarkovianosLa matriz probabilidades a un paso genera un sistema de ecuaciones con N+1 incgnitas, N+1 ecuaciones independientes y una ecuacin redundante que debe ser eliminada.

Matriz de probabilidadesLa solucin a este sistema de ecuaciones origina los valores de las probabilidades estacionarias independientes del estado en que se encuentra el sistema inicialmente.

Datos del ejemplo:Nmero total de observaciones del SM: 73Intervalo entre observacin: 5 MinutosTabla de relaciones existente entre datosEjemplo

La matriz anterior se explica como:De las 73 observaciones, en 10 de ellas el sistema estuvo en estado 0 y 5 minutos despus el sistema haba permanecido igual en 3 ocasiones, haba cambiado a estado 1 en 5 ocasiones, haba cambiado a estado 2 en 2 ocasiones, y no se obsevaron cambios a los estados 3 y 4.Ejemplo

EjemploCalculando la probabilidad condicional de estado presente i al estado futuro j, se obtiene la siguiente matriz a un paso:

EjemploDonde claramenteAplicando las ecuaciones de estado estacionario a la matriz de un paso, se obtienen las ecuaciones

EjemploResolviendo el sistema de ecuacionesNmero promedio de transacciones en la cola

Procesos MarkovianosCaracterstica principal:Distribucin de probabilidad que define la llegada y salida de transacciones del sistema: Poisson.Para un intervalo de tiempo t esta dado por:

Procesos MarkovianosCondiciones que se deben cumplir

Solamente puede ocurrir una llegada entre t y t.Solamente puede ocurrir una salida entre t y t.Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre t y t.Por lo que el cambio de estado de n a n+1 se lleva a cabo al ocurrir una llegada. Un cambio de estado de n a n-1 solo ocurre cuando se produce una salida.

Matriz de probabilidad a un pasoEstado Futuro 0 1 2 3 . . . N-1 N0 1 23 .N-1 NEstadoActual

Procesos MarkovianosLo cual conduce a:

Ecuaciones de BalanceDe la matriz se obtienen las ecuaciones de balance

Ecuaciones de BalanceSustituyendo se obtieneResolviendo el sistema

Ecuaciones de Balance*****GeneralizandoFinalmente se obtiene

Ejemplo Una sala de espera de un servicio de emergencia (SE) tiene capacidad para 3 pacientes. Los usuarios llegan con una tasa de 8 por hora, con distribucin de Poisson y son atendidos por una unidad de cuidados de emergencia (UCE) en 10 minutos con distribucin exponencial. Si alguien llega al SE, y esta lleno, se retira a otro servicio cercano.Analizar el desempeo del servicio de emergencia (M/M/1) (FIFO/4/)Si se aumenta a dos UCE, evale el mejoramiento del desempeo del sistema (M/M2) (FIFO/5/)