Teoria de Colas
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TEORIA DE COLAS
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INTRODUCCIN
El origen de la Teora de Colas fue en el ao en 1909 por Agner Krarup Erlang para analizar el congestin de trafico telefnico con el objetivo de cumplir las
demandas que se requiera en el servicio.
Esta teora se utiliza en la actualidad en diferente casos de situaciones.
Una cola es una lnea de espera y la teora de colas es una operacin matemtica que describe sistema
Soluciona problemas de congestin llegada - partida
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DEFINICIN Es el estudio matemtico del comportamiento de lnea de espera
Esta se presenta cuantos x (personas, clientes, operarios, maquinas) van
llegar al lugar demandando un servicio el cual tiene la capacidad y cantidad
de capacidad de atender o servir a dicho elemento.
Si el servidor tiene la capacidad menor de atencin entonces se genera la
demanda
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LA LNEA DE ESPERA
Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda de
servicio y la capacidad de suministrarlo
Los modelos de lneas de espera son de gran utilidad
Los anlisis de costo se relaciona
La longitud de la lnea de espera El promedio de tiempo de espera
Los anlisis de colas ayudan a entender de estos sistemas de
servicio (por ejemplo la reparacin de una maquina)
Para la longitud y promedio se utilizara dos distribuciones de
probabilidades.
Distribucin poisson para un canal en general
Distribucin exponencial para varios canales
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COSTOS ASOCIADOS A UN SISTEMA DE COLAS
Existe dos tipos de costos
Costo asociados al tiempo de espera Costos asociados a la capacidad de servicio El objetivo debe existir un equilibrio en los costo de servicio y el tiempo de
espera
Las colas deben ser muy cortas para evitar perdidas de tiempo
Se debe contemplar tener una longitud de espera razonable que sea
balanceada para obtener ahorros en tiempo .
COSTO DE SERVICIO VS NIVEL DE SERVICIO
Los costos de servicio se incrementa si se mejora nivel de servicio . Los administradores de ciertos centro de servicio pueden variar su
capacidad teniendo personal o maquinas adicionales que son asignados a
incrementar la atencin .
Cuando el servicio mejora disminuye el costo de tiempo perdido en las lneas de espera.
Estos costos pueden reflejar perdida de productividad de los operarios que estn esperando que compongan sus equipos. (causa de mal servicio)
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OBJETIVO DE LA TEORA DE COLAS
Identificar el nivel ptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global
Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificacin de la capacidad del sistema tendran
Establecer un balance equilibrado (ptimo) entre las consideraciones cuantitativas de costo y servicio.
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TIPOS DE COLAS
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CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA
TEORIA DE COLAS
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LINEAS DE ESPERA
CARACTERISTICAS:
Una cola de espera est compuesta de tres elementos
arribos o ingreso al sistema disciplina en la cola servicio Estos tres componentes tienen ciertas caractersticas que deben ser examinadas antes de desarrollar al aspecto matemtico de los modelos de cola.
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CARACTERISTICAS
A. DE ARRIBO B. PATRON DE ARRIBOS
La fuente de ingreso, que genera los clientes para el servicio tiene tres caractersticas.
Tamao de la poblacin que arriba
Patrn de llegada de cola Comportamiento de las llegadas
Los clientes arriban a ser aprendidos de una manera programada se considera que los operarios son aleatorios cuando estos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente.
Frecuentemente en problemas de colas, el nmero de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la distribucin de poisson que es una distribucin discreta de probabilidad
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TAMAO DE POBLACION
FINITA INFINITA
Cuando se tiene muy pocos servidores y el servidor es restringido tenemos con los profesionales mdicos consultorio mdico hasta en obras existe esos casos.
Cuando el nmero de clientes en un momento dado es una pequea parte de los arribos potenciales. Para propsitos prcticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehculos que se acerca a una caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de futbol.
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SISTEMAS DE COLAS: LA COLA
El nmero de clientes en la cola es el nmero de clientes que esperan el servicio
El nmero de clientes en el sistema es el nmero de clientes que esperan en la cola ms el nmero de clientes que actualmente reciben el servicio
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SISTEMAS DE COLAS: LA COLA
La capacidad de la cola es el nmero mximo de clientes que pueden estar en la cola
Generalmente se supone que la cola es infinita
Aunque tambin la cola puede ser finita
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SISTEMAS DE COLAS: LA COLA
La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los miembros de la cola para comenzar el servicio
La ms comn es PEPS: primero en llegar, primero en servicio
Puede darse: seleccin aleatoria, prioridades, UEPS, entre otras.
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SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO
El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores mltiples
El tiempo de servicio vara de cliente a cliente
El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ()
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SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO
El tiempo esperado de servicio equivale a 1/
Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos
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SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO
Es necesario seleccionar una distribucin de probabilidad para los tiempos de servicio
Hay dos distribuciones que representaran puntos extremos:
La distribucin exponencial (=media) Tiempos de servicio constantes (=0)
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SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO
Una distribucin intermedia es la distribucin Erlang
Esta distribucin posee un parmetro de forma k que determina su desviacin estndar:
mediak
1
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SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO
Si k = 1, entonces la distribucin Erlang es igual a la exponencial
Si k = , entonces la distribucin Erlang es igual a la distribucin degenerada con tiempos constantes
La forma de la distribucin Erlang vara de acuerdo con k
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SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO
Media Tiempo 0
P(t) k =
k = 1 k = 2
k = 8
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Sistemas de colas: Las llegadas - Distribucin de Poisson
Es una distribucin discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrn de las llegadas a un sistema de colas
Para tasas medias de llegadas pequeas es asimtrica y se hace ms simtrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas
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Sistemas de colas: Las llegadas - Distribucin de Poisson
Su forma algebraica es:
Donde: P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo : tasa media de llegadas e = 2,7182818
!)(
k
ekP
k
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Sistemas de colas: Las llegadas - Distribucin de Poisson
Llegadas por unidad de tiempo 0
P
-
Medidas del desempeo del sistema de colas: frmulas
generales
qs
qq
ss
qs
LL
WL
WL
WW1
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Medidas del desempeo del sistema de colas: ejemplo
Suponga una estacin de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola
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La tasa media de llegadas es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto
La tasa media de servicio es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto
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clientesWL
clientesWL
WW
W
qq
ss
qs
q
25.2375.0
3475.0
min41
13
1
min3
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Modelos de una cola y un servidor
M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales
M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribucin general de tiempos de servicio
M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribucin degenerada de tiempos de servicio
M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribucin Erlang de tiempos de servicio
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TEORIA DE COLAS Modelo A: M/M/1
Asumimos que existen las siguientes condiciones: 1. Los clientes son servidos con una poltica PEPS y cada arribo
espera a ser servido sin importar la longitud de la lnea o cola.
2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo.
3. Los arribos son descritos mediante la distribucin de probabilidad de Poisson y proceden de una poblacin muy grande o infinita.
4. Los tiempos de servicio varan de cliente a cliente y son independientes entre s, pero su rata promedio es conocida.
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TEORIA DE COLAS Modelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1)
Los servicios se los hace de acuerdo a la poltica primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma rata.
Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1) Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en
lugar de exponencialmente distribudos. Cuando los clientes son atendidos o equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado.
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RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS
MODELO NOMBRE N DE CANAL
ES
N DE FASES
PATRN DE
ARRIBO
PATRN DE
SERVICIO
TAMAO DE LA POBLACIN
DISCIPLINA DE COLA
A SIMPLE M/M/1
UNO UNA POISSON EXPONENCIAL
INFINITA PEPS
B MULTI- CANAL
M/M/S
MULTI
CANAL
UNA POISSON
EXPONENCIAL
INFINITA PEPS
C SERVICIO CONSTANTE (M/D/1)
UNO UNA POISSON CONSTANTE
INFINITA PEPS
D POBLACION LIMITADA
UNO UNA POISSON EXPONENCIAL
FINITA PEPS
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I.G. Andrade D.
I.O. II - I.S. - U.D.A. 34
FRMULAS PARA COLAS MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1
1
servicio) de tiempo espera de (tiempo
sistema elen permanece unidad una que promedio Tiempo
sistema deln utilizaci deFactor
sistema elen (clientes) unidades de promedio Nmero
sistema elen unidades de nmero
tiempode perodopor servidos cosas o gente de promedio Nmero
tiempode perodopor arribos de promedio Nmero
S
S
SS
W
W
LL
n
-
FRMULAS PARA COLAS MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1
1
2
sistema elen estn unidades k"" de ms que de adProbabilid
11
vaca)est servicio de unidad (la sistema elen unidades cero de adProbabilid
11
sistema elen estn clientes "n" que de adProbabilid
cola laen espera unidad una que promedio Tiempo
cola laen unidades de promedio Nmero
k
kn
kn
o
o
n
n
n
n
Sq
Sq
P
P
P
P
P
P
WW
LL
-
La Distribucin Exponencial
La distribucin de Poisson describe las llegadas por unidad
de tiempo y la
distribucin exponencial estudia el tiempo entre cada una de
estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo
entre ellas es exponencial
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La distribucin de Poisson es discreta, mientras que la distribucin exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qu ser un nmero entero. Esta distribucin se usa mucho para
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describir el tiempo entre eventos, especficamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Un ejemplo tpico puede ser el tiempo que un mdico dedica a un paciente.
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Distribucin Exponencial La distribucin exponencial tiene como variable aleatoria el
tiempo transcurrido entre dos sucesos o su duracin.
Es til para describir situaciones, como el tiempo de servicio en un auto lavado, el tiempo de espera en un servicio de atencin telefnica, etc.
Como caracterstica importante, se dice que la distribucin exponencial no tiene memoria. El tiempo necesario para que se complete una tarea es independiente del tiempo transcurrido hasta ese momento.
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Distribucin Exponencial La probabilidad de X est dada por la frmula:
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La Distribucin de probabilidad se obtiene:
Donde: X=Tiempo entre eventos. = Promedio de eventos por unidad de tiempo. e=2.71828
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Ejemplo Distribucin Exponencial El tiempo que transcurre antes de que una
persona sea atendida en el llenado de su volquete de arena tiene una distribucin exponencial con una media de 4 minutos. Cul es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos?
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Solucin: El operador atiende en promedio 1 volquete cada 4 minutos,
Hay un 52.76% de probabilidad que el cliente sea atendido antes de 3 minutos.
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BIBLIOGRAFA
Mtodos cuantitativos para la toma de decisiones. Daniel Serra de La
Figuera. Universidad Pompeu Fabra (Espaa).
http://www.econ.upf.es/~serra/libro.htm
Teora de Colas. Ninoscka Zencovich B. Universidad Arturo Prat Sede
Victoria (Chile).
http://www.unapvic.cl/teoriadecision/administracion/Unidad5.html
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/garduno_a_f/capitulo2
.pdf