Teora de Conjuntos NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO Un conjunto es la reunin en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relacin de pertenencia aA.En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota az A. Ejemplos de conjuntos:

o : el conjunto vaco, que carece de elementos. oN: el conjunto de los nmeros naturales. oZ: el conjunto de los nmeros enteros. oQ : el conjunto de los nmeros racionales. oR: el conjunto de los nmeros reales. oC: el conjunto de los nmeros complejos. Se puede definir un conjunto: opor extensin, enumerando todos y cada uno de sus elementos. opor comprensin, diciendo cul es la propiedad que los caracteriza. Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensin,o su propiedad caracterstica, si se define por comprensin. Por ejemplo: oA := {1,2,3, ... ,n} oB := {p Z | p es par} Se dice que A est contenido en B (tambin que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),y se denota A _ B, si todo elemento de A lo es tambin de B, es decir, aA aB.Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultneamente A _ B y B _ A;esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o tambin la misma propiedad caracterstica).Para cualquier conjunto A se verifica que _ A y A _ A;B _ A es un subconjunto propio de A si A = y B = A.El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota (A).Entonces, la relacin B _ A es equivalente a decir B (A). Ejemplos: Si A = {a,b} entonces (A) = { ,{a},{b},A}.Si aA entonces {a} (A). Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto AB := {aA | a z B}.Asimismo, se llama diferencia simtrica entre A y B al conjunto A A B := (AB) BA)Si A (U), a la diferencia UA se le llama complementario de A respecto de U,y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).Es fcil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica: o ' = U . oU ' = . o(A')' = A . oA _ B B' _ A' . oSi A = { xU | p(x) es una proposicin verdadera} entonces A' = { xU | p(x) es una proposicin falsa}. Se llama unin de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,es decir: AB := { x | xA v xB}.Se llama interseccin de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,es decir: A B := {x | xA xB}.Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fcil ver que AB = A B'.En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unin e interseccin) verifican las siguientes propiedades : PROPIEDADESUNIONINTERSECCION 1.- IdempotenciaAA = AA A = A 2.- ConmutativaAB = BAA B = B A 3.- AsociativaA( BC ) = ( AB )CA ( B C ) = ( A B ) C 4.- AbsorcinA( A B ) = AA ( AB ) = A 5.- DistributivaA( B C ) = ( AB ) ( AC )A ( BC ) = ( A B )( A 6.- ComplementariedadAA' = UA A' = Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unin e interseccin tenga una estructura de lgebra de Boole.Adems de stas, se verifican tambin las siguientes propiedades: oA = A , A = ( elemento nulo ). oAU = U , A U = A ( elemento universal ). o( AB )' = A' B' , ( A B )' = A'B' ( leyes de Morgan ). Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados: A v B := { (a,b) : aA bB} Dos pares (a,b) y (c,d) de A v B son iguales si a = c y b = d; anlogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica A v B = C v D ( A = C B = D ) Se llama grafo relativo a A v B a todo subconjunto G _ A v B.Dado un grafo G relativo a A v B, se llama proyeccin de G sobre A al conjunto ProyAG := { aA : (a,b)G, n bB} Anlogamente se define la proyeccin ProyBG de G sobre B.Por ltimo, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos.Si para cada elemento i de un conjunto (de ndices ) I se tiene un conjunto Ai , entonces se define el conjunto { Ai : iI }y se denomina familia de conjuntos indicada por I. Tambin se suele denotar por { Ai } iI .De forma anloga se define una familia de elementos ( ai ) iI .Dada una familia de conjuntos { Ai } iI se definen:

o i I Ai := { a : aAi , n iI } o iI Ai := { a : aAi , V iI } o iI Ai := { (ai) : aiAi , V iI } Las propiedades de la unin e interseccin siguen siendo vlidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan : (iI Ai )' = iI A'i ,(iI Ai )' = iI A'i DIAGRAMAS DE VENNLos conjuntos de suelen representar grficamente mediante "diagramas de Venn", con una lnea que encierra a sus elementos.As, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar grficamente con el fin de obtener una idea ms intuitiva.A _ B AB A B AB A A B RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL Existe una relacin muy estrecha entre la Teora de Conjuntos y la Lgica Proposicional.Para mostrar dicha relacin, denotemos por letras maysculas A,B ... los conjuntos ypor las correspondientes minsculas a,b ... sus propiedades caractersticas(es decir, la proposicin lgica que caracteriza a los elementos de cada conjunto);entonces se tiene la siguiente correspondencia: conjuntosA _ BA = BABA BA'ABA A B proposicionesa ba ba v ba ba'a b'a v b Adems, el conjunto vaco se corresponde con una contradiccin y el conjunto universal con una tautologa.Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en trminos de lgicaproposicional y viceversa; a modo de ejemplo: A( A B ) = Aa v ( b c ) a A( B C ) = ( AB ) ( AC ) a v ( b c ) ( a v b ) ( a v c ) ( AB )' = A' B'( a v b )' a' b' PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORESLos smbolos V (cuantificador universal) y n (cuantificador existencial) se utilizan en Matemticas paraenunciar proposiciones logicas relativas a objetos matemticos.Sea A un conjunto y p(x) una proposicin o propiedad que hace referencia a un elemento x.(1) Cuantificador universal : La expresinV xA p(x)se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposicin{ xA : p(x) } = A(2) Cuantificador existencial : La expresinn xA | p(x)se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la proposicin{ xA : p(x) } = La negacin de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la proposicin p(x)y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa.As, la negacin de la proposicin "V xA p(x)" es "n xA | p(x)' ", mientras quela negacin de "n xA | p(x)" es "V xA p(x)' " http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/conjuntos.pdf Monografias | Conceptos Bsicos de Teora de Conjuntos Conceptos Bsicos de Teora de Conjuntos Resumen: Introduccin al concepto de Teora de Conjuntos. Conceptos bsicos de la Teora de Conjuntos. Colecciones: Clases y Conjuntos. El Conjunto Universo Local. Publicacin enviada por Mtro. Jos Alfredo Amor

3200 /$ Gratis 21Nova Casino 1000 /$ Gratis EuroGrand 2400 /$ Gratis Europa Casino Temario.yIntroduccin al concepto de Teora de Conjuntos. yConceptos bsicos de la Teora de Conjuntos.yColecciones: Clases y Conjuntos.yEl Conjunto Universo Local. Introduccin al concepto de Teora de Conjuntos. La Teora de Conjuntos es una teora matemtica, que estudia bsicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, as como a los problemas relacionados con estos. Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teora de Conjuntos quedan descritos as:1.Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teora de Conjuntos.2.Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teora de Conjuntos.3.Los nicos objetos de la Teora de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.

La importancia de la Teora de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la matemtica, salvo la Teora de Categorias. Por ejemplo, con la Teora de Conjuntos se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades: par ordenado, relacin, funcin, particin, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, etc. Conceptos bsicos de la Teora de Conjuntos. Son dos los conceptos bsicos de la Teora de Conjuntos:1.Conjunto: Coleccin de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada. Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto. Por coleccin entenderemos a una agrupacin que est determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso. Todo conjunto es una coleccin de objetos, pero no toda coleccin de objetos es un conjunto. Esta afirmacin ser demostrada ms adelante. 3000 /$ Gratis Casino Tropez 400 /$ Gratis Casino Swiss 300 /$ Gratis Casino King 4000 /$ Gratis Las Vegas 500 /$ Gratis Party Casino 200 /$ Gratis Lucky Ace 2.Relacin de Pertenencia: El ser elemento de es una relacin binaria o de dos argumentos entre dos objetos de la Teora de Conjuntos. Esta relacin va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto.

Colecciones: Clases y Conjuntos. Como se mencion anteriormente, una coleccin est determinada por una propiedad P formulada en un lenguaje preciso. Una clase es una coleccin, cuyos objetos son los objetos de la Teora de Conjuntos que cumplen la propiedad P que caracteriza a la coleccin. Las colecciones llamadas clases, son colecciones de objetos de la Teora de Conjuntos, y pueden ser o no conjuntos en el siguiente sentido: Todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto. Proposicin. La clase de todos los objetos x tales que cumplen la propiedad "x no pertenece a x", no es un conjunto. Prueba. Supongamos que dicha clase s fuera un conjunto y llammosle R. Entonces: 1.Si R no pertenece a R, R cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R pertenece a R.2.Si R pertenece a R, entonces R no cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R no pertenece a R. As pues, hemos mostrado que: si R no pertenece a R, entonces R pertenece a R; y si R pertenece a R, entonces R no pertenece a R. Pero como R pertenece a R o R no pertenece a R, entonces necesariamente se cumple que R pertenece a R y que R no pertenece a R, lo cual es absurdo. En conclusin, no es posible que dicha clase sea un conjunto.

Si una clase no es un conjunto le llamaremos clase no conjunto o clase propia, y no es un objeto de estudio de la Teora de Conjuntos. Por lo anterior, la clase de todos los objetos x tales que x no pertenece a x, es una clase propia. Y se le conoce a dicha proposicin como la Paradoja de Russell. El Conjunto Universo Local. En la Teora de Conjuntos, se tiene como referencia, explcita o implcitamente, un universo local; es decir, un marco de referencia dentro del cual se trabaja. Este universo local o del discurso debe de ser un conjunto, quedando muy claro este concepto, ya que no se le debe confundir con la coleccin de todos los conjuntos, que es una coleccin que no es un conjunto, sino una clase propia; por lo tanto, aunque no existe el conjunto de todos los conjuntos, si existir en casi cada caso particular, un conjunto que tenga a todos los conjuntos de inters del discurso. yAxioma de Separacin o de Comprehensin. Si A es un conjunto cualquiera y P es una propiedad acerca de conjuntos, la coleccin de elementos de A que tienen la propiedad P, es un conjunto. Ms precisamente, para toda propiedad P formulada en el lenguaje de la Teora de Conjuntos lo siguiente es cierto: Para todo conjunto A, existe un conjunto B cuyos elementos son exactamente los elementos z de A tales que z cumple la propiedad P. Teorema. Para todo conjunto, hay un conjunto que no le pertenece. Prueba. Sea A un conjunto cualquiera. Sea D el conjunto de las y que pertenecen al conjunto A, tales que cumplen la propiedad "y no pertenece a y". De lo anterior, por el axioma de separacin, se sigue que D es un conjunto y que es subconjunto de A. Se afirma que D no pertenece al conjunto A, pues suponiendo que D pertenece al conjunto A entonces se tiene que:1.Si D no pertenece a D, entonces D pertenece a D, por cumplir la propiedad que caracteriza a D y por la suposicin de que D pertenece al conjunto A.2.Si D pertenece a D, entonces D cumple la propiedad, por lo tanto, D no pertenece a D. Las dos conclusiones anteriores juntas, implican que D pertenece a D y que D no pertenece a D, y esto es absurdo. Por lo tanto, se tiene que D no pertenece al conjunto A. As pues, dado cualquier conjunto A, hay un conjunto D tal que D no pertece al conjunto A. Corolario. Ningn conjunto puede tener como elementos suyos, a todos los conjuntos. http://www.ilustrados.com/publicaciones/EpZElAkFkADxLLOHfF.php Diagrama de Venn Un diagrama donde los conjuntos estn representados como simples figuras geomtricas, con el traslape y la similitud de conjuntos representada por intersecciones y uniones de las figuras. (cf Bsqueda en Internet y Discusin sobre Operaciones de conjuntos). Diagrama de Venn que permite entender la relacin entre dos conjuntos (seres vivos bpedos y seres vivos que vuelan). Un Diagrama de Venn de tres conjuntos tiene 7 reas diferenciadas. En el siguiente ejemplo se comparan tres conjuntos: aves, seres vivos que nadan y seres vivos que vuelan; el diagrama permite visualizar fcilmente los elementos de cada conjunto que comparten propiedades. Los diagramas de Venn tienen varios usos en educacin. Ejemplos de los anterior son: en la rama de las matemticas conocida como teora de conjuntos; su uso como herramienta de sntesis, para ayudar a los estudiantes a comparar y contrastar dos o tres conjuntos, uso este en el que como ya se dijo, se incluyen dentro de cada componente, las caractersticas exclusivas y, en las intersecciones, las comunes. http://www.eduteka.org/glosario/tiki-index.php?page=Diagrama%20de%20Venn