Teora de ConjuntosNocin Intuitiva De ConjuntoUn conjunto es la reunin en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relacin de pertenencia a A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A. Ejemplos de conjuntos: : el conjunto vaco, que carece de elementos. N: el conjunto de los nmeros naturales. Z: el conjunto de los nmeros enteros. Q : el conjunto de los nmeros racionales. R: el conjunto de los nmeros reales. C: el conjunto de los nmeros complejos.Se puede definir un conjunto: por extensin, enumerando todos y cada uno de sus elementos. por comprensin, diciendo cul es la propiedad que los caracteriza.Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensin, o su propiedad caracterstica, si se define por comprensin. Por ejemplo:A := {1,2,3, ... ,n}B := {p Z | p es par}Se dice que A est contenido en B (tambin que A es unsubconjuntode B o que A es una parte de B),y se denota A B, si todo elemento de A lo es tambin de B, es decir, aAa B.Dos conjuntos A y B se diceniguales, y se denota A = B, si simultneamente AB y BA;esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o tambin la misma propiedad caracterstica).Para cualquier conjunto A se verifica queA y AA;BA es unsubconjunto propiode A si Ay BA.El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llamapartesde A, y se denota(A).Entonces, la relacin BA es equivalente a decir B (A).Ejemplos:Si A = {a,b} entonces(A) = {,{a},{b},A}.Si aA entonces {a}(A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,se suele considerar a dicho U comoconjunto universalo de referencia.OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSDados dos conjuntos A y B, se llamadiferenciaal conjunto AB := {aA | aB}.Asimismo, se llamadiferencia simtricaentre A y B al conjunto AB := (AB)ASi A(U), a la diferencia UA se le llamacomplementariode A respecto de U,y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).Es fcil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica: ' = U . U ' =. (A')' = A . ABB'A' . Si A = { xU | p(x) es una proposicin verdadera} entonces A' = { xU | p(x) es una proposicin falsa}.Se llamauninde dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,es decir: AB := { x | xAxB}.Se llamainterseccinde dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,es decir: AB := {x | xAxB}.Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fcil ver que AB = AB'.En este caso, la llamadasoperaciones booleanas(unin e interseccin) verifican las siguientespropiedades:

PROPIEDADESUNIONINTERSECCION

1.- IdempotenciaAA = AAA = A

2.- ConmutativaAB = BAAB = BA

3.- AsociativaA( BC ) = ( AB )CA( BC ) = ( AB )C

4.- AbsorcinA( AB ) = AA( AB ) = A

5.- DistributivaA( BC ) = ( AB )( AC )A( BC ) = ( AB )( AC )

6.- ComplementariedadAA' = UAA' =

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unin e interseccin tenga una estructura de lgebra de Boole.Adems de stas, se verifican tambin las siguientes propiedades: A= A , A=(elemento nulo). AU = U , AU = A (elemento universal). ( AB )' = A'B' , ( AB )' = A'B' (leyes de Morgan).Dados dos conjuntos A y B, se define elproducto cartesianode ambos como el conjunto de pares ordenados:AB := { (a,b) : aAbB}

Dos pares (a,b) y (c,d) de AB sonigualessi a = c y b = d; anlogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verificaAB = CD( A = CB = D )

Se llamagraforelativo a AB a todo subconjunto GAB.Dado un grafo G relativo a AB, se llamaproyeccinde G sobre A al conjuntoProyAG := { aA : (a,b)G,bB}

Anlogamente se define la proyeccin ProyBG de G sobre B.Por ltimo, los conceptos anteriores puedengeneralizarse a familias de conjuntos.Si para cada elemento i de un conjunto (dendices) I se tiene un conjunto Ai, entonces se define el conjunto { Ai: iI }y se denominafamilia de conjuntosindicada por I. Tambin se suele denotar por { Ai}iI.De forma anloga se define unafamilia de elementos( ai)iI.Dada una familia de conjuntos { Ai}iIse definen: iIAi:= { a : aAi,iI } iIAi:= { a : aAi,iI } iIAi:= { (ai) : aiAi,iI }Las propiedades de la unin e interseccin siguen siendo vlidas para familias de conjuntos, y en particular lasleyes de Morgan:(iIAi)' =iIA'i , (iIAi)' =iIA'i

Diagrama de VennLosdiagramas de Vennson esquemas usados en lateora de conjuntos, tema de inters en matemtica,lgica de clasesy razonamiento diagramtico. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de lneas cerradas. La lnea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideracin, el conjunto universal U.IntroduccinCon los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de interseccin, inclusin y disyuncin sin cambiar la posicin relativa de los conjuntosInterseccinDado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por sus lneas lmite se superponen. El conjunto de los elementos que pertenecen simultneamente a otros dos es la interseccin de ambos.1A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}B = {1; 3; 5; 15}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}

A = {x | x es divisor natural de 12}B = {x | x es divisor natural de 15}U = {x | x es natural menor o igual que 16}

InclusinSi todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de otro, se dice que el primero es un subconjunto del segundo o que est incluido en el segundo.1 En los diagramas de Venn, todas las regiones de superposicin posibles deben ser representadas. Y, cuando hay regiones que no contienen elementos (regiones vacas), la situacin se indica anulndolas (con un color de fondo distinto).A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}B = {1; 2; 3; 6}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

A = {x | x es divisor natural de 12}B = {x | x es divisor natural de 6}U = {x | x es natural menor o igual que 12}

DisyuncinCuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la regin de superposicin queda vaca.

A = {2; 4; 6; 8}B = {1; 3; 5; 7; 9}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

A = {x | x es par y de una cifra}B = {x | x es impar y de una cifra}U = {x | x es natural menor o igual que 10}

EjemplosSuponga que R es el conjunto de todos los reptiles, S es el conjunto de todas las criaturas que viven en el mar, y M es el conjunto de todos los mamferos. Obtenemos el diagrama de Venn:

La regin marcada RS es la interseccin de R y S; el conjunto de reptiles que viven en el mar. Similarmente SM es el conjunto de mamferos que viven en el mar. Ya que no hay tal cosa como un animal que es tanto reptil como mamfero, la interseccin RM est vaca (las regiones R y M no se cruzan una con otra).Enseguida mostramos algunos ejemplos de animales en cada categora del diagrama de Venn.