I.E.P “SEMINARIO DE SAN CARLOS Y SAN MARCELO”Prof. FERNÁNDEZ NÚÑEZ, Nicolás Santiago

TEORÍA DE CONJUNTOS Notación y Representación

A ={ a, e, i, o, u } ; B = { 1; 2; 3; …; 50 } ; C= { letras del alfabeto castellano }

Pertenencia y no pertenencia

A = { a, e, i, o, u } → e A ; d A

DETERMINACIÓNa) Por Extensión : A = { ciruela, mango, plátano, manzana } ; B = { a, b, c, … z }

b) Por Comprensión : R = { vocales del alfabeto castellano } R = { x / x es una vocal }

REPRESENTACIÓN GRÁFICAa) Diagrama de Venn-Euler

b) “ lineal : se da en la relación de inclusión

c) “ de Lewis Carroll : diagramas rectangulares que sirven para representar conjuntos que no tienen comunes .Ejemplo : En una reunión de 32 hombres y 28 mujeres , 15 hombres fuman y 20 mujeres no fuman . Representar gráficamente el conjunto descrito.

CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS

a) Según el número de elementos 1. Unitario2. Finito3. Infinito

b) Especiales 1. Vacío : 2. Universal : U3. Disjuntos : A y B son disjuntos ↔ { x / x A ^ x B }

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Relación de Inclusión : Se da a nivel de conjunto a conjunto. A B ↔ ( x A → x B )

También significa:- “ A está incluído en B”- “ A es subconjunto de B”-“ B contiene a A” : B A

b) Relación de Igualdad A = B ↔ ( A B ^ B A )

c) Conjuntos comparables A es comparable con B ↔ ( A B B A )

d) Subconjunto propio Un conjunto A se llama “subconjunto propio o parte propia de B” , si A B y al menos un elemento de B no está en A

e) Familia de conjuntos o conjunto de conjuntos Es aquel cuyos elementos a su vez son todos conjuntos . Ejemplo :

A = { { 2 }; { 2,3 } ; { 5, 6, 7 } ; { 8 } }

f) Conjunto Potencia : P ( A )

Dado el conjunto A, se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A, incluído el conjunto vacío y el propio conjunto A.

Ejemplo: Si A = { a, b, c} → P ( A ) = { , {a }, { b } , {c } , { a, b } , {a, c } , {b, c } , { a, b, c }} El número de elementos o subconjuntos de P(A) está dada por la fórmula : n [ P (A) ] = 2 n(A)

OPERACIONES CON CONJUNTOS

a) UNIÓN ó REUNIÓN : U

A U B = { x / x A x B } : son los elementos comunes y no comunes

i) Si los conjuntos se traslapan , entonces : n ( A U B ) = n (A) + n ( B ) – n (A B )

ii) Si los conjuntos son disjuntos : n ( A U B ) )= n ( A ) + n ( B )

iii) Para tres conjuntos :

n ( A U B U C ) = n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) – n ( A B ) - n ( A C ) - n ( B C ) + n ( A B C )

b) INTERSECCIÓN :

A B = { x / x A ^ x B } : son solo los elementos comunes

c) DIFERENCIA : “ – ”A – B = { x / x A ^ x B } : son sólo los elementos de A.

Observación: i) A – B B – A ; ii ) Si : A – B = A → A B =

d) DIFERENCIA SIMÉTRICA : ∆

A ∆ B = { x / x ( A – B ) U x ( B – A ) }

También : A ∆ B = { ( A U B ) – ( B A ) }

e) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO : Ac

Ac = U – A = { x / x U ^ x A }

LEYES DEL ÁLGBEBRA DE CONJUNTOS

a) Idempotencia i) A U A = A ; ii ) A A = A

b) Conmutativa i) A U B = B U A ; ii ) A B = B A

c) Asociativa i) ( A U B ) U C = A U ( B U C ) ; ii ) ( A B ) C = A ( B C )

d) Distributiva i) A U ( B C ) = ( A U B ) ( A U C ) ; ii) A ( B U C ) = ( A B ) U ( A C )

e) Leyes de De Morgan i) ( A U B ) c = A c B c ii) ( A C ) c = A c U B c

f) Del Complemento i) A U A c = U ; ii) A A c = ; iii) (A c ) c = A g ) De Identidad

i) A U U = U ; ii) A U = A ; iii) A U = A ; iv) A =

h) De Absorción i) A U (A B ) = A ; ii) A ( A U B ) = A ;

iii) A U ( A c B ) = AU B ; iv) A ( A c U B ) = A B

Leyes Auxiliares

i) A – B = A B c ; ii) ( U ) c = ; iii) ( ) c = U

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CONJUNTOS : PRÁCTICA N° l

1. De las siguientes expresiones , determinar cuál de ellas es falsa : a) { 2; 5; 3 } = { 3; 5; 2 } ; b) { 4 } { {4 }; 5 } ; c) { 3 } { 2; 3; 4 }

d) { 3; { 4 } ; 5 } ; e) { 3; { 4 } ; 2 }

2.Si A = { 2; 6; 12; 20; 30; 42; 56 }. Determinar el conjunto dado por comprensión :a) { x2 + 1 / x N ^ x 7 } ; b) { x2 + 1 / x N ^ x 6 }

c) { x ( x + 1) / x N ^ x 7 } ; d) { x2 + x / x N ^ 1 < x < 8 }

e) { x2 + x / x Z ^ x < 6 }

3. Si U = { Naturales }; A = { 2x / x N ^ x < 6 } ; B = { / x A }

C = { / y B }. ¿ Cuántos elementos tiene C? Rpta . 2

4. Si : A = { a, b } ; B = { 6 ; - 6 } , y; C = { a – b , a, b/ 2 } Hallar la suma de los elementos de A, si se sabe que los conjuntos B y C son iguales. Rpta. 18

5. Si “n” significa el número de elementos , siendo A y B dos conjuntos tales que : n ( A U B ) = 30 , n ( A – B ) = 12 , y; n ( B – A ) = 8 Hallar : 5 n ( A ) - 4 n ( B ) Rpta. 38 6. Si : A = { 2 x / x N ^ x < 15 } ; B = { 3 x / x N ^ x < 10 } ; C = { 5 x / x N ^ x < 6 }

¿ Cuántos elementos tiene ( A U C ) B ? Rpta. 5

7. Si : U = { x / x N ^ x 10 } ; A B = { 3; 9 } ; A C = { 9; 10 }

Además : ( A U B ) c = { 1; 2 } , y; ( A U B U C ) c = Hallar el conjunto A. Rpta . A = { 1; 2; 3; 9; 10 }

8. Si : U = { x / x N ^ x < 10 } , A = { y / y N ^ y 5 } ; B = { 1; ; 3; 5; 7; 8 }

C = { 2n / n N ^ x < 5 } , y ; M = : ( C U B ) c ( A – C ) c

Hallar la suma de los elementos de M. Rpta. 29

9. ¿ Cuál de las siguientes operaciones es equivalente a : A c – B c?

a) ( C B ) c ; b) Ac U B c ; c) ( A – B ) U ( B – A) ; d) ( A U B ) C ; e) B – A

10. Sea : U = { x / x N } , A = { x / x ( 11 – x ) = 30 } ; B = { x / 5 ( x2 + 4 ) = 29 x } C = { x / ( 3x2 - 22 x + 24 = 0 } , y las alternativas : I. A = B U C , II. B = A U C ; III. C = A U B ; IV. B = A – C ; V. C = A B¿ Cuántas son verdaderas? Rpta. 2

11. Sea = { a/ b / a N , b N ^ a < 4, b < 4 } ¿ Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto A? Rpta. 137

12. Si : A = { ( a2 + 1 ) , ( 3a – 1 ) } , y; B = { ( 3x + y ) , ( x – y + 8 ) } son conjuntos unitarios, entonces : ¿ Cuánto puede ser ( a + x + y )? Rpta : 5 ó 6.

13. Para a, b Z; F y G son conjuntos tales que G , F U G es un conjunto unitario: F = { ( a2 + 2 b ) , ( b2 + 1 ) } , F U G ={ ( a + 4 b ) , ( b + 1 – 3 a ) } Hallar : F G Rpta. 10

14. Si la unión del conjunto A con su respectivo conjunt6o potencia tiene 37 elementos , entonces se puede decir que : a) Es absurdo , b) A tiene 3 elementos , c) A tiene 5 elementos , d) A no está incluído en P(A) e) No se afirma nada .

15. El conjunto A tiene 3 elementos menos que el conjunto B, que por cierto tiene 7 168 subconjuntos más que A. ¿ Cuál es el máximo número de elementos de ( A U B )? Rpta. 23

16. Si : U = { números naturales } , A = { x / x 10 } , B = { y / y 8 } , C = { z / z 12 }

Hallar = ( C c A ) - ( A B c ) Rpta. { 8; 9; 10 }

17. ¿ Que expresión representa la parte sombreada? ________________________________ a) ( A U B ) – C ; b) C ( A B ) c

c) A B C ; d) ( A B ) - C A B

e) (A B) C c

________________________________________ _________________________________18. A B ¿ Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?

a) ( A B C ) - C c , b) [ B – ( A U C ) ] c C c) [ (A B ) – C ] U [ ( B C ) – A ]

d) ( A B C ) c A e) ) B - [ ( B – A ) U ( B - C ) ]

____________________________________

19. Sean A, B y C tres conjuntos contenidos en un Universo finito de 60 elementos. Si ( B - C ) U ( C – B ) tiene 40 elementos ; el conjunto A – ( B U C ) tiene 10 elementos; la intersección de los tres conjuntos tiene 5 elementos; el conjunto B C A c es vacío.

¿ Cuántos elementos tiene el conjunto A c B c C c ? Rpta. 5

20. Si : P U Q = { a, b, c, d } ; P – Q = { d, e } ; P Q = { c } Calcular : n ( Q – P ) + n ( Q ) Rpta. 5

21. Si : n ( A B ) = 2 , n ( A U B ) = 14 , n ( A - B ) 7 Hallar : n ( A ) – n ( B ) Rpta. 2

22. Dados los conjuntos : A = { x/ x N ^ 4 < x < 9 } ; B =

C = { 2x / x ( B – A ) }

Calcular la suma de los elementos de : A ∆ C Rpta. 18

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CONJUNTOS : PRÁCTICA N° 2 – PROBLEMAS

1. En un salón de clase de 65 alumnos, 45 son hombres; a 53 la biblioteca les prestó un libro de Química a cada uno y 8 mujeres tuvieron que comprar dicho libro.¿Cuántos hombres compraron el libro si todos los alumnos tenían libros? Rpta. 4

2. En un salón hay 72 alumnos que se preparan para postular a la U.N.T y/ o la UPAO. La cantidad de postulantes a la U.N.T. es el quíntuplo de quienes sólo postulan a la UPAO; la cantidad de los que exclusivamente postulan a la U.N.T. es el triple de los que postulan a la U.N.T y a la UPAO. ¿ Cuántos de los postulantes se presentarán a una Universidad? Rpta. 57

3. En un distrito se determinó que el 30% de la población no lee “La Industria”, que el 60% no lee “Satélite” y que el 40% lee “La Industria” o “Satélite” pero no ambas . Si 2 940 leen “La Industria” y “Satélite”.¿ Cuántas personas hay en la población? Rpta. 8 400

4. En una encuesta entre “t” personas, se encuentra que el 70% fuman “Hamilton”, y el 50% fuman “Premier”, y; 100 personas fuman las dos marcas. ¿ Entre cuántas personas se hizo la encuesta, si se sabe que todas las personas fuman por lo menos una de estas marcas?Rpta. 500

5. En un evento internacional el 60% de los participantes habla Inglés y el 25% habla Castellano. Si el 20% de los que hablan Inglés hablan también Castellano, y son 1 200 los que hablan sólo Inglés.¿ Cuántos no hablan ni Inglés ni Castellano? Rpta. 675

6. En una encuesta a “n” azafatas sobre habilidad de leer francés, español y alemán; 46 leen francés, 35 leen alemán, 27 leen español, 19 leen francés y alemán ; 8 leen francés y español, 10 leen español y alemán, y; 3 leen los tres idiomas.¿ Cuál es el valor de “n”? Rpta. 74

7. De 100 personas que leen por lo menos 2 de 3 revistas A, B y C; se observa que 40 leen las revistas A y B; 50 leen B y C ,y; 60 leen A y C ¿ Cuántas personas leen por lo menos las tres revistas? Rpta. 25

8. De un grupo de turistas que llegaron al Perú: 31 visitaron el Callao, 29 visitaron Trujillo, 34 visitaron el Cuzco; 38 visitaron sólo y nada más que l lugar; 22 visitaron exactamente 2 lugares.¿Cuántos visitaron los 3 lugares y cuántos eran en total? Rpta. 4 y 64

9. En la edición de un l9bro hay 120 ejemplares con fallas en el papel, fallas en la impresión y fallas en la encuadernación. Si se sabe que 68 libros tienen la lra falla , 32 tiene la 2da falla, 40 tiene sólo la lra falla, 5 tiene la lra y la 2da falla solamente, 17 tienen la 2da y la 3ra falla pero no la lra, y 4 ejemplares tienen las 3 fallas. a) ¿ Cuántos libros tienen sólo la 3ª falla? Rpta. 29b) ¿ “ “ “ la 3ra falla por lo menos? Rpta. 69

10. En un almuerzo de 120 personas se determinó que habían personas que tomaban gaseosas , otras agua mineral y otras bebidas alcohólicas. Si se sabe que 68 toman gaseosa, por lo menos 32 toman agua mineral, por lo menos 40 toman gaseosa solamente, 5 toman gaseosa y agua mineral pero no bebidas alcohólicas, 17 toman agua mineral y bebidas alcohólicas pero no gaseosa, y 4 toman las tres bebidas¿ Cuántas personas toman bebidas alcohólicas por lo menos? Rpta. 69

11. De un grupo de ingenieros, economistas y abogados:- 20 tiene dos profesiones, 12 de ellos son mujeres- Hay igual cantidad de ingenieros-economistas, economistas-abogados y solamente abogados, tanto en los hombreas como en las mujeres.- Hay tantos economistas hombres como mujeres ingenieros - Hay tantos ingenieros hombres como mujeres economistas- En total hay 22 economistas.¿ Cuántos hombres hay con sólo una profesión? Rpta. 14

12 .De un grupo de 70 mujeres: - 24 tiene ojos azules pero no tiene 15 años- 8 no tienen ojos negros ni azules y son mayores de 18 años- De las que no son mayores de 18 años, 14 no tiene ojos negros ni azules.¿ Cuántas quinceañeras tienen ojos azules, si ellas son la tercera parte de todas las que tiene ojos negros? Rpta. 6

13. Ciertos datos en un estudio de grupo de 1000 empleados de una fábrica de algodón referente a la raza, sexo y estado civil arrojaron los siguientes resultados: 322 son hombres, 470 son casados, hay 42 varones de color, 147 casados de color, 86 varones casados y 25 hombres casados de color¿ Cuántas mujeres son solteras? Rpta. 294

14. Sean A, B y C, incluidos en “S” tal que: n(A) = 44 , n(B) = 41 , n(C) = 45 , n ( A B C ) = 5 , n (S) = 100 , n [ A - ( B U C ) ] = 20

n [ B - ( A U C ) ] = 15 , n [ C - ( A U B ) ] = 20 , y; n [ ( A B ) – C ] = n [ ( A C ) – B ] + 1

Hallar : n [ ( B C ) – A ] Rpta . 11

15. Si el conjunto potencia de T posee 64 elementos. ¿ Cuál de los siguientes conjunto puede ser T? a) { x 3 / x N ^ x < 6 } ; b) { 1; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 7 } ; c) { x / x es una vocal }

d) { x Z / x4 = 16 x2 - 1 } ; e) N.A Rpta. ( a)

16. De un grupo de 100 alumnos , 49 no llevan el curso básico I y 53 llevan el curso de Física I . Si 27 no lleva ninguno de estos cursos.¿ Cuántos llevan uno y sólo uno de los cursos? Rpta. 42

17. En un salón de clase formado por 35 alumnos entre hombres y mujeres, 7 hombres aprobaron matemática, 6 hombres lenguaje, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los cursos, 3 aprobaron los dos cursos y 11 aprobaron sólo matemática. Si hay 16 hombres en el salón.¿ Cuántas mujeres aprobaron sólo lenguaje? Rpta. 14

18. En un colegio hay 58 profesores, de los cuales 38 enseñan matemática, 15 historia y 20 C.T.A. Si hay 3 profesores que enseñan los tres cursos.¿ Cuántos de ellos enseñan por lo menos 2 de los 3 cursos? Rpta. 12

19. De un grupo de 50 personas, se sabe que: - 6 mujeres tienen ojos negros- 17 mujeres no tienen ojos negros- 13 mujeres no tienen ojos azules- 10 hombres no tienen ojos negros- 13 personas tienen ojos azules.¿ Cuántos hombres no tienen ojos negros ni azules? Rpta. 7

20. 100 señoritas rindieron tres exámenes para ocupar una vacante en una institución en los puestos de mecanografía, taquigrafía y recepcionista. Según el examen de selección, 68 señoritas aprobaron el primer examen, 80 aprobaron el 2do examen, 64 el 3er examen ; 18 el primer y 2do examen solamente, 16 aprobaron el 2do y 3ro examen únicamente. Si se dio la orden de que se contrate a las señoritas que aprueben los tres exámenes.¿ Cuántas señoritas se pueden contratar , si además sólo 10 señoritas aprobaron el primer y tercer examen, y que todas aprobaron al menos un examen? Rpta. 34

21. De 500 postulantes a las Universidades A, B y C; 320 no se presentaron a A, 220 no se presentaron a C; 260 no se presentaron a B. Si los que postulan a una sola universidad son 320.¿ Cuántos postulan a las tres universidades?Rpta. 20

22. En una reunión de 100 personas, se sabe que 40 no tiene hijos, 60 son hombres, 25 personas casadas tienen hijos, hay 5 madres solteras.¿ Cuántos hombres son padres solteros? Rpta. 30

23. Entre los varones que se alojan en un hotel, 40 son peruanos y 60 ingenieros; de los primeros, los 3/ 4 tienen computadora; de los peruanos con computadora, la mitad son ingenieros; 5 de cada 6 ingenieros tienen computadora. ¿ Cuántos varones con computadora no son peruanos ni ingenieros, si en el hotel se alojan 85 personas con computadora? Rpta. 20