TEORIA DE CONJUNTOS ( I Bimestre Abril Agosto 2011)

TEORÍA DE CONJUNTOS

ESCUELA:

NOMBRES:

CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

Yofre Tene

BIMESTRE: Primero

MENCIÓN FISICO MATEMÁTICAS

CONTEXTUALIZACIÓN

• Materia de primer ciclo de créditos de la carrera de CCEE-FIMA

• 5 créditos• Contine 4 unidades (2 por bimestre)• Evaluación a distancia automática

(Envío solo por el EVA, no por el centro universitario)

MATEMÁTICAS



Estudia básicamente las propiedades y relaciones entre

conjuntos


Estudia básicamente las propiedades y relaciones entre

conjuntos

Rama de las

b c

d f

k h

j g

CONJUNTOAgrupación de objetos bien definida.

No repetidos.

No necesariamente ordenados.

a

e

i

a

e

i

AA

UU

1 53

0 92

6 8

SUBCONJUNTOS

A B

AA

BB

Si todo elemento de A es elemento de B entonces

1 53

0 92

6 8

SUBCONJUNTOS

A B

AA

BB

Si todo elemento de A es elemento de B entonces

Nota: Si A B y B A A=B

S={nx+(n+1)y: x, y Z}=Z, n número entero

Demostración utilizando inclusión:

1. La suma o producto de dos números enteros nos da como resultado otro número entero.

2. Tomemos un elemento de S al que llamaremos z, el cual será igual a nx+(n+1)y. Entonces, nx es un número entero, n+1 es número entero. Luego, (n+1)y es número entero. Finalmente nx+(n+1)y es entero, lo cual es igual a z. Si z es entero, entonces pertenece a Z. Por lo tanto S Z

3. Debemos poder escribir todo entero como nx+(n+1)y. Tomemos x=-1 e y=1, reemplazando en nx+(n+1)y tenemos 1=n(-1)+(n+1)1. Por cada elemento z que pertenece a Z, multiplicando z(1)=n(-z)+(n+1)z, z=z, que termina siendo un elemento de S pues z y –z son enteros. Por lo tanto Z S.

Sabemos que S=Z si y solo si S Z y Z S

Unión

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Intersección

Complemento

Diferencia

Producto cartesiano

PRODUCTO CARTESIANO

OPERACIONES CON CONJUNTOS

abc

abc

123

123

A B AxB = {(a,1), (a,b),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}

Elementos x de A

Elementos y de B

AxB = {(x,y): xA e yB}

CORRESPONDENCIA

246

246

345

345

A B “Regla” = a>b, aA y bB

“Regla” que asigna ciertos elementos de un primer conjunto, A, otros elementos determinados de un segundo conjunto B

Una correspondencia de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto arbitrario del producto cartesiano de AxB

AxB = {(2,3),(2,4),(2,5),(4,3),(4,4),(4,5),(6,3),(6,4),(6,5)}Correspondencia a>b = {(4,3), (6,3),(6,4),(6,5)}Correspondencia a>b AxB.

APLICACIÓN

123-1

123-1

149

16

149

16

A B“Regla”: y=x2

Caso particular de correspondencia. A cada elemento del conjunto de partida le corresponde un único elemento en el conjunto de llegada.

A cada elemento de A le corresponde un único elemento de B

ff

Sea fAxB una correspondencia de A en B. f es una aplicación de A en B si para cada elemento x de A existe un único elemento y de B tal que (x, y) f

TIPOS DE APLICACIÓN

Inyectivas. Uno a uno

Sobreyectivas. Todos los elementos del conjunto de llegada son imagen de algún elemento del conjunto de partida

Biyectivas. Si son inyectivas y sobreyectiva.

APLICACIONES INYECTIVAS

123

123

018

27

018

27

A B Sea f una aplicación de A en B. f es inyectiva si para cada par de elementos x, t de A, sus imágenes f(x) y f(t) son también elementos diferentes de B.

f

f(x)=x3

AxB = {(1,0),(1,1),(1,8),(1,27),(2,0),(2,1),(2,8),(2,27),(3,0),(3,1),(3,8),(3,27)}

f = {(1,1),(2,8),(3,27)}

Tomando x=1 y t=2 de A; f(1) f(2)



APLICACIONES INYECTIVASSea f una aplicación de A en B. f es inyectiva si para cada par de elementos x, t de A, sus imágenes f(x) y f(t) son también elementos diferentes de B.

f(x)=x3 definida en R

Si tomamos dos elementos x1 y x2 de R y si f es inyectiva entonces f(x1)=f(x2), es decir x1 y x2 es el mismo elemento.

1.f(x1)=f(x2)

2.f(x1) = x13

3.f(x2) = x23

4.x13 = x2

3

5.x1 = x2

APLICACIONES SOBREYECTIVAS

012

012

123

123

A B Sea f una aplicación de A en B. f es sobreyectiva, cuando cada elemento y de B es la imagen mediante f de algún elemento x de A, es decir Im(f)=B

f

f(x)=x+1

AxB = {(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

f = {(0,1),(1,2),(2,3)}

Todos los elementos de B son imagen de un elemento de A

APLICACIONES SOBREYECTIVASSea f una aplicación de A en B. f es sobreyectiva, cuando cada elemento y de B es la imagen mediante f de algún elemento x de A, es decir Im(f)=B

f(x)=x+1 definida en R. Debemos determinar que para todo x0 de R existe un y0 que pertenece a R tal que f(x0)=y0.

1.y0=x0 + 1

2.x0 = y0 – 1

3.f(x0) = y0

4.f(x0) = x0+1

5.f(x0) = y0 – 1 + 1

6.f(x0) = y0

APLICACIONES BIYECTIVAS

024

024

012

012

A B Sea f una aplicación de A en B. f es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva

f

f(x)=x/2

AxB = {(0,0),(0,1),(0,2),(2,0),(2,1),(2,2),(4,0),(4,1),(4,2)}

f = {(0,0),(2,1),(4,2)}

Todos los elementos de A tienen un sola imagen en B

Todos los elementos de B son imagen de un elemento de A

COMPOSICIÓN DE APLICACIONESSea f una aplicación de A en B y g una aplicación de B en C, entonces es posible encontrar una aplicación h de A en C.

h(x) = g(f(x)), Para todo x que pertenece a A

f gA B C

x f(x) g(f(x)) = h(x)

COMPOSICIÓN DE APLICACIONES

(gof)(x)=g(f(x))=g(x/2)=x3/8

Sea f(x)=x/2 y g(x)=x3 definidas en los N pares.

Para el diagrama tomaré algunos elementos en los que están definidas f y g

210-1.

210-1.

11/20

-1/2.

11/20

-1/2.

11/80

-1/8.

11/80

-1/8.

f g

gof

AB C

Mayo 2011Consultas ingresando al EVA en

www.utpl.edu.ecTelf. 072570275 Ext. 2347

Gracias

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