TEORÍA DE CONJUNTOS

ESCUELA:

NOMBRES:

CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN - FIMA

Yofre Tene

BIMESTRE: Segundo

ABRIL AGOSTO 2011

RELACIONES

• Una relación R de un conjunto A con otro conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano axb.

• De manera general. Sean los conjuntos A1, A2, A3,…., An y R una relación entre todos ellos, entonces R⊆A1xA2xA3x….xAn

CÓMO SE RELACIONAN LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Sea A un conjunto. La relación estará definida por los pares ordenados (a, b) de elementos de A seleccionados bajo un criterio dado.Ejemplo:A = {1, 2, 3}, con R=“a>b”AxB={(1, 1), (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}R = {(2, 1), (3, 1)}

RELACIONES BINARIAS

Dado un conjunto A. Una relación binaria en A es un subconjunto de AxA. Esta relación generalmente viene representada por pares ordenados. También se suele llamar correspondencia de A en A.EjemploA = {1, 2}, donde “a=b”AxA={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}R={(1, 1), (2, 2)}

RELACIÓN INDUCIDA

Sea A = {2, 4, 6} con la relación definida por “a<b”.Luego AxA={(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}Entonces R={(2, 4), (2, 6), (4, 6)}.Luego definamos un conjunto B incluido en A. Es decir B={2, 6}.Luego BxB={(2, 2), (2, 6), (6, 6)}Entonces R|B={2, 6}

RELACIONES: D(a;R) I(a;R)

Sea A = {2, 4, 6, 8} con la relación definida por “a<b”.Entonces R={(2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8)}.Tomemos el elemento a=4.D(4, R) = {6, 8}I(4,R) = {2}

RELACIONES EQUIVALENCIA

Una relación de equivalencia es un tipo de relación binaria.Una relación de equivalencia E, definida en un conjunto A cumplirá tres propiedades:3.Reflexiva4.Simétrica5.Transitiva.

RELACIONES EQUIVALENCIA

Sea A = {L1, L2, L3}, donde Li representa a una recta del conjunto de rectas paralelas del plano cartesiano. Se define en A la relación dada por “a paralelo a b”.Verifiquemos si se trata de una relación de equivalencia:R = {(L1, L1), (L1, L2), (L1, L3), (L2, L1), (L2, L2), (L2, L3), (L3, L1), (L3, L2), (L3, L3)}

RELACIONES EQUIVALENCIA

1. ¿R será reflexiva?

La propiedad dice que aEa, para todo a que pertenezca a A.Efectivamente, por la porpiedad de paralelismo, L1||L1, L2||L2, L3||L3Concluimos que es reflexiva.

RELACIONES EQUIVALENCIA

Y

X

L1||L1

L1

RELACIONES EQUIVALENCIA

1. ¿R será simétrica? La propiedad dice que si a, b ∈ A son tales que aEb, entonces bEA.Nuevamente, apoyándonos en las definiciones de paralelismo diremos que si L1//L2, entonces L2//L1 ya que ninguna de ellas comparten puntos. Igual ocurrirá si tomamos cada par ordenado de la relación. Concluimos que es simétrica.

RELACIONES EQUIVALENCIA

Y

X

L1||L2L2||L1

L1

L2

RELACIONES EQUIVALENCIA

1. ¿R será Transitiva? La propiedad dice que si a, b ∈ A son tales que aEb, entonces bEA.Si L1//L2, y L2//L3 entonces L1//L3. Si tomamos cualquier trio de rectas tendremos el mismo caso. Concluimos que si es transitiva.

RELACIONES EQUIVALENCIA

Y

X

L1||L2L2||L3L1||L3

L1

L2

L3

RELACIONES DE ORDEN

Una relación es de orden si cumple tres propiedades:

3.Reflexiva.4.Antisimétrica.5.Transitiva.

A la relación de orden se la representa en el texto base por “≤”

RELACIONES DE ORDEN

Revisemos el ejemplo 1 del texto base:Si se toma el orden usual, significa que 0≤1≤2≤3≤4≤5≤6≤7…3.¿Será reflexiva?

La propiedad dice que x≤x, ∀∈NEntonces: 0≤0, 1≤1, 2≤2, …

Vemos que cualquier elemento de los naturales siempre será menor o igual a si mismo.

Concluimos que es reflexiva

RELACIONES DE ORDEN

2. ¿Será antisimétrica?La propiedad dice que si x≤y e y≤x, entonces x=ySolo se cumple cuando estamos hablando del mismo elemento.0 ≤ 0 0 ≤ 0; 1 ≤ 1, 1 ≤ 1;……….x y y x x y y x →x=y, →x=y Concluimos que es antisimétrica

RELACIONES DE ORDEN

2. ¿Será transitiva?La propiedad dice que si x≤y, y≤x entonces x≤ySi tomamos tres elementos de los naturales tomando en cuenta el orden usual, veremos que el primero que tomemos será menor o igual al siguiente y éste menor o igual al tercero:Ej. 1≤2≤3, entonces 1≤3Concluimos que es transitiva

RELACIONES DE ORDEN TOTAL

Su característica es que tomados dos elementos cualesquiera de su conjunto de definición siempre son comparables.

Del ejemplo anterior, tomando cualquier par de elementos de N, estos son comparables, es decir 2≤5, 30≤60, 1≤100, …

CONJUNTOS FINITOS

Ejemplo 1 del texto base, página 113.Tomemos n=5

012345

012345

f(x)=y

Como f(x) es inyectiva entonces {0, 1, 2, 3, 4, 5} es finito.

CONJUNTOS INFINITOS NUMERABLESEjemplo 2 del texto base, página 143.La aplicación sería algo como lo que se muestra a continuación:

.01-12-2.

12345.

f

CONJUNTOS INFINITOS NUMERABLES

Vemos que:2. A todos los elementos de dominio le

corresponde un solo elemento del codominio.

3. Todos los elementos de N son imagen de por lo menos un elemento de Z.

4. La aplicación es inyectiva.

Por lo tanto Z es un conjunto infinito numerable.

FIN

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