Teoria de Conjuntos2

Capítulo 1

Teoría de conjuntos

1.1. ConjuntosCasi todos los objetos matemáticos son ante todo conjuntos, independientemente de otra pro-

piedad adicional que posean. Por consiguiente, la teoría de los conjuntos es, en cierto sentido, labase sobre la cual se construye toda la matemática. A pesar de esto, la teoría de los conjuntos, seaprende, y se usa fácilmente.

Definición 1.1 ConjuntoUn conjunto es cualquier colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros delconjunto.

Se usan letras mayúsculas como A, B, C, ..., para indicar conjuntos y letras minúsculas comoa, b, c, ..., para indicar miembros o elementos de los conjuntos.

Ejemplo 1.1 Son ejemplos de conjuntos, los siguientes:a. Las letras de alfabeto.b. Los números pares.c. Los miembros de un equipo de fútbol.

A continuación se enuncian las siguientes condiciones para definir un conjunto:1. Los elementos que forman el conjunto han de ser entes bien definidos.2. Para cada uno de estos elementos no hay otra alternativa que la de pertenecer o no al conjunto.3. Para cada par de elementos a considerar no hay otra alternativa que la de estar formado o nopor elementos distintos.

1.1.1. Formas de expresar un conjuntoHay dos caminos para definir o determinar un conjunto, métodos que los lógicos designan por

extensión y por comprensión.

Por extensión

Para expresar que el conjunto S consta de los elementos a, b, c, escribiremos S = {a, b, c}, conello damos la extensión del conjunto S al enunciar cada uno de los elementos que lo componen. Esdecir, se declara individualmente todos los elementos del conjunto.

1

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS 2

Por comprensión

Por otra parte, los conjuntos infinitos sólo pueden definirse por comprensión, es decir, dandoun criterio que permita reconocer para cada ente arbitrario, si pertenece o no al conjunto. Es decir,se declara una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

1.2. Conjuntos finitos e infinitos

1.2.1. Conjunto finitoDefinición 1.2 Conjunto finitoAquel conjunto que consta de cierto número de elementos distintos cuyo proceso de conteo tienelímite, se denomina conjunto finito.

Ejemplo 1.2 SeaA = {x/x = provincias de Ecuador}

Que se lee ¨A es el conjunto de las x, tales que x son las provincias de Ecuador¨. A es un conjuntofinito porque si es posible contar todas las provincias de Ecuador.

1.2.2. Conjunto infinitoDefinición 1.3 Conjunto infinitoAquel conjunto que consta de un número indeterminado de elementos distintos, se denomina con-junto infinito.

Ejemplo 1.3 SeaA = {z/z = arena en el mar}

Que se lee ¨A es el conjunto de las z, tales que z son los granos de arena en el mar¨. A es unconjunto infinito porque no se puede contar el número de granos de arena, es infinito.

1.2.3. Noción de pertenenciaSe indica el hecho de que x es un elemento del conjunto A escribiendo x ∈ A y se indica el

hecho de que x no es un elemento del conjunto A escribiendo x /∈ A.

Ejemplo 1.4 Sea A = {1, 3, 5, 7}. Entonces 1 ∈ A, 3 ∈ A pero 2 /∈ A.

Ejemplo 1.5 Si S = {x/x es un número natural menor que 4}, es el conjunto {1, 2, 3} des-crito anteriormente, enlistando sus elementos.

Ejemplo 1.6 Sea S = {x/x es un número real y x2 = −1}, dado que el cuadrado de unnúmero real x es siempre positivo.

1.2.4. Igualdad de conjuntosDefinición 1.4 Igualdad de conjuntosLos conjuntos son totalmente determinados cuando se conocen todos sus miembros. Así pues, sedice que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y se escribe A = B.

Ejemplo 1.7 Si A = {1, 2, 3} y B = {x/x es un número natural y x2 < 16}, entonces A = B.


1.2.5. Conjuntos vacíoDefinición 1.5 Conjunto vacíoCuando la condición impuesta es contradictoria, no existe ningún elemento que la cumpla, se diceque define un conjunto vacío, que suele simbolizarse por �.

Ejemplo 1.8 Son vacíos los conjuntos siguientes: triángulos equiláteros rectángulos; númerosprimos pares mayores que 2.

1.2.6. Conjunto unitarioDefinición 1.6 Conjunto unitarioUn conjunto que tiene un único elemento, se denomina conjunto unitario.

Ejemplo 1.9 Sea

A = {Los meses del año, cuyo nombre empieza con F}

1.2.7. Conjunto universalDefinición 1.7 Conjunto universalEl conjunto que contiene a todos los elementos de otros conjuntos, se denomina conjunto universalo referencial. Se denota con la letra U.

Ejemplo 1.10 SeaA = {Todos los números}

Este es un conjunto universal, porque contiene todos los números de los conjuntos R, N, Z, C, ....

1.2.8. SubconjuntoDefinición 1.8 SubconjuntoSi todos los elementos de A son también elementos de B, esto es si cuando x ∈ A, entonces x ∈ B,decimos que A es un subconjunto de B o que A está contenido en B y se escribe A ⊆ B. Si A noes un subconjunto de B, se escribe A B.

Los conjuntos A y B son iguales si y solamente si B está incluido en A y A está incluido en B.

El conjunto vacío � se considera subconjunto de todo conjunto.

Si A no es subconjunto de B, entonces hay por lo menos un elemento de A que no pertenece aB.


Subconjunto propio e impropio

Definición 1.9 Subconjunto propio e impropioSi A ⊂ U y A 6= �, A 6= U , el conjunto A se denomina subconjunto propio del conjunto U . Lossubconjuntos � y U del conjunto U reciben el nombre de impropios.

Es decir, dado A ⊂ B, entonces el subconjunto A es subconjunto propio del conjunto B, si porlo menos un elemento del conjunto B no es elemento del conjunto A. Pero si todos los elementosde A son iguales a los elementos de B, ya no es un subconjunto, en este caso los conjuntos soniguales.

Ejemplo 1.11 Se tiene que Z+ ⊆ Z. Además, si Q indica el conjunto de todos los númerosracionales, entonces Z ⊆ Q.

Ejemplo 1.12 Determine si la proposición 2 ⊂ A = {−2, 2, 5} es verdadera o falsa.SoluciónEs falsa pues 2 ∈ A como elemento, pero no como subconjunto.

Ejemplo 1.13 Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 5}, C = {1, 2, 3, 4, 5}. Entonces B ⊆ A,B ⊆ C, C ⊆ A. Sin embargo A B, A B, C B.

Definición 1.10 Subconjunto de sí mismoSi A es cualquier conjunto, entonces A ⊆ A. Esto es, cualquier conjunto es subconjunto de símismo.

Sea A un conjunto y sea S = {A, {A}}, por tanto, puesto que A y {A} son elementos de S,tenemos que A ∈ S y {A} ∈ S. De esto se sigue que {A} ⊆ S y {{A}} ⊆ S. Sin embargo, no esverdad que A ⊆ S.

Dado que una implicación es verdadera si la hipótesis es falsa, se sigue que � ⊆ A.

Ejemplo 1.14 Dados los conjuntos A, B, C, demuestre las siguientes expresiones:1. Si A ⊆ B, B ⊆ C, entonces A ⊆ C;2. Si A ⊂ B, B ⊆ C, entonces A ⊂ C;3. Si A ⊆ B, B ⊂ C, entonces A ⊂ C;4. Si A ⊂ B, B ⊂ C, entonces A ⊂ C.SoluciónProcederemos a demostrar cada uno de los literales de forma minuciosa:1. Sea x ∈ A. Como A ⊆ B, x ∈ B. Entonces con B ⊆ C, x ∈ C. De ahí que x ∈ A entoncesx ∈ C y A ⊆ C.2. Sea x ∈ A. A ⊂ B entonces x ∈ B. B ⊆ C entonces x ∈ C. De ahí que A ⊆ C. Como A ⊂ B,existe y ∈ B, donde y /∈ A. Con B ⊆ C, y ∈ C. En consecuencia, A ⊆ C e y ∈ C, con y /∈ A, demodo que A ⊂ C.3. Si x ∈ A, entonces A ⊆ B entonces x ∈ B y B ⊂ C entonces x ∈ C. De ahí que A ⊆ C. ComoB ⊂ C, existe y ∈ C con y /∈ B. Además, A ⊆ B e y /∈ B entonces y /∈ A. En consecuencia, A ⊆ Ce y ∈ C con y /∈ A entonces A ⊂ C.4. Como A ⊂ B, resulta que A ⊆ B. Entonces, el resultado se obtiene de 3).

Ejemplo 1.15 Para cualquier conjunto A, � ⊆ A; � ⊂ A si A 6= �.SoluciónSi el primer resultado no es verdadero, entonces � ⊆ A, de modo que hay un elemento x deluniverso con x ∈ �, pero x /∈ A. Pero x ∈ � es imposible. Además, si A 6= �, entonces hay unelemento a ∈ A y a /∈ �, de modo que � ⊂ A.


1.2.9. Conjunto de partesDefinición 1.11 Conjunto de partesTodo conjunto integrado por la totalidad de subconjuntos que se puede formar a partir de un con-junto dado, se denomina conjunto de partes y se denota P(A).

Ejemplo 1.16 Indique todos los subconjuntos del conjunto de tres elementos {a, b, c}.SoluciónEl conjunto de tres elementos tiene los subconjuntos impropios � y {a, b, c} y los subconjuntospropios: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}.

1.2.10. Conjunto potenciaDefinición 1.12 Conjunto potenciaSi A es un conjunto, entonces al conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama conjuntopotencia de A. Tienen la misma connotación del connunto de conjuntos.

Es decir, el conjunto potencia es el número de subconjuntos que se puede formar con elementosdel conjunto, incluyendo el vacío. Se calcula con PA = 2n, donde n es el número de elementos delconjunto A o ¨cardinalidad del conjunto A¨.

Ejemplo 1.17 Indique el número de subconjuntos o conjunto potencia del conjunto {a, b, c, d}.SoluciónAquí n = 4, por consiguiente

PA = 24 = 16.

1.3. Operaciones con conjuntos

1.3.1. Unión de conjuntosMientras que en aritmética se realiza operaciones de suma, resta y multiplicación, en el ca-

so de conjuntos se realiza operaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos, con uncomportamiento similar al de la aritmética.

Definición 1.13 Unión de conjuntosSi A y B son conjuntos, se define su unión como el conjunto que tiene todos los elementos quepertenecen a A o a B y se indica como

A ∪B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Es decir, la unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen al conjunto A, al conjunto B o a ambos conjuntos. En la unión de conjuntos no serepiten los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

Obsérvese que x ∈ A ∪B si x ∈ A o x ∈ B o x pertenece a ambos conjuntos.

Ejemplo 1.18 Sean A = {a, b, c, e, f} y B = {b, d, r, s}. Puesto que A∪B consta de todos loselementos que pertenecen tanto a A como a B, entonces A ∪B = {a, b, c, d, e, f, r, s}.

Se puede ilustrar la unión de dos conjuntos con un diagrama de Venn como sigue. Si A y B sonlos conjuntos dados en la figura, entonces A ∪B es el conjunto de puntos en la región sombreada.


1.3.2. Propiedades de la unión de conjuntosLas operaciones con conjuntos que se acaban de definir satisfacen muchas propiedades algebrai-

cas; algunas de éstas se parecen a las propiedades algebraicas que se satisfacen en el sistema de losnúmeros reales.

A continuación, damos las propiedades más importantes sobre las operaciones de conjuntos:

1. Propiedad conmutativa: Es decir, el orden de los conjuntos no altera la unión.

A ∪B = B ∪A.

2. Propiedad asociativa: Si son más de dos conjuntos los que se unen, pueden asociarse demanera libre.

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C.

3. Propiedad de idempotencia:A ∪A = A.

4. Propiedad del conjunto universal:

A ∪ U = U.

5. Propiedad del conjunto vacío:A ∪ � = A.

1.3.3. Intersección de conjuntosDefinición 1.14 Intersección de conjuntosSi A y B son conjuntos, su intersección se define como el conjunto que contiene a todos loselementos que pertenecen tanto a A como a B y se indica como

A ∩B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Es decir, la intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos comunes a A y B. Esposible ilustrar la intersección de dos conjuntos por el diagrama de Venn como sigue. Si A y B sonlos conjuntos dados en la figura, entonces A ∩B es el conjunto de puntos en la región sombreada.


Ejemplo 1.19 Sean A = {a, b, c, e, f}, B = {b, e, f, r, s} y C = {a, t, u, v}. Los elementos b,e y f , son los únicos que pertenecen a A y B por lo cual A ∩ B = {b, e, f}. De igual manera,A ∩ C = {a}. No existen elementos que pertenezcan tanto a A como a B, por lo cual B ∩ C = �.

1.3.4. Propiedades de la intersección conjuntosA continuación, damos las propiedades más importantes sobre intersección de conjuntos:

1. Propiedad conmutativa: Es decir, el orden de los conjuntos no altera la intersección.

A ∩B = B ∩A.

2. Propiedad asociativa: Es posible cambiar el orden de asociación y no se altera el resultado.

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.

3. Propiedad distributiva:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C);

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

4. Propiedad de idempotencia:A ∩A = A.

5. Propiedad del conjunto universal:

A ∩ U = A.

6. Propiedad del conjunto vacío:A ∩ � = �.

Ejemplo 1.20 Pruebe o refute las siguientes relaciones para los conjuntos A, B ⊆ U :a) P (A ∪B) = P (A) ∪ P (B); b) P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B).SoluciónSea U = {1, 2, 3}, A = {1}, B = {2}, entonces:a) {1, 2} ∈ P (A ∪B), pero {1, 2} /∈ P (A) ∪ P (B).b) C ∈ P (A∩B)↔ C ⊆ A∩B ↔ C ⊆ A∧C ⊆ B ↔ C ∈ P (A)∧C ∈ P (B)↔ C ∈ P (A)∩P (B),de modo que P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B).

Ejemplo 1.21 Demuestre que

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

SoluciónDaremos una demostración de que los conjuntos son subconjuntos uno del otro. Consideremosprimero x ∈ A ∩ (B ∪ C). Entonces x está en A necesariamente.También x está en B ∪ C. Así que, o bien x ∈ B, en cuyo caso x ∈ A ∩ B, o x ∈ C, en tal casox ∈ A ∩ C. En cualquiera de los dos casos tenemos que x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Esto muestra queA∩ (B ∪C) ⊆ (A∩B)∪ (A∩C). Consideremos ahora y ∈ (A∩B)∪ (A∩C). Entonces y ∈ A∩Bo y ∈ A ∩ C y consideramos los dos casos por separado. Si y ∈ A ∩ B, entonces y ∈ A y y ∈ B,luego y ∈ B ∪ C y por lo tanto y ∈ A ∩ (B ∪ C). Análogamente si y ∈ A ∩ C entonces y ∈ A yy ∈ C, por lo tanto y ∈ B ∪C y por eso y ∈ A ∩ (B ∪C). Así, en ambos casos, y ∈ A ∩ (B ∪C) yhemos demostrado que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C). Acabamos de demostrar la contencióncontraria, por lo que los dos conjuntos son iguales.


Ejemplo 1.22 Pruébense o refútense las siguientes relaciones:

1. Para conjuntos A, B, C ⊆ U , A ∩ C = B ∩ C ⇒ A = B.

2. Para conjuntos A, B, C ⊆ U , A ∪ C = B ∪ C ⇒ A = B.

3. Para conjuntos A, B, C ⊆ U , A ∩ C = B ∩ C, A ∪ C = B ∪ C ⇒ A = B.

Solución

1. Sea U = {1, 2, 3}, A = {1}, B = {2}, C = {3}. Entonces A∩C = B ∩C = �, pero A 6= B.

2. Para U = {1, 2}, A = {1}, B = {2}, C = U , A ∪ C = B ∪ C, pero A 6= B.

3. x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ C ⇒ x ∈ B ∪ C. Si x ∈ B, entonces A ⊆ B. Si x ∈ C, entoncesx ∈ A∩C = B∩C y x ∈ B. En ambos casos, A ⊆ B. Así mismo, y ∈ B ⇒ y ∈ B∪C = A∪C,de modo que y ∈ A o y ∈ C. Si y ∈ C, entonces y ∈ B∩C = A∩C. En cualquier caso, y ∈ Ay B ⊆ A. De ahí que A = B.

Definición 1.15 Conjuntos disjuntosA dos conjuntos que no tienen elementos comunes, se les llama conjuntos disjuntos.

La siguiente figura ilustra un diagrama de Venn con dos conjuntos disjuntos.

Las operaciones unión e intersección pueden generalizarse para tres o más conjuntos. Así pues,

A ∪B ∪ C = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C}

A ∩B ∩ C = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}La región sombreada en la segunda figura es la unión de los conjuntos A, B y C, la región

sombreada en la tercera figura es la intersección de los conjuntos A, B y C.

En general, si A1, A2, ..., An son subconjuntos de U , entonces A1∪A2∪ ...∪An se indica como⋃ni=1 Ai, y A1 ∩A2 ∩ ... ∩An se indica

⋂ni=1 Ai.

Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 3, 8, 9}, C = {1, 3, 6, 8}. Entonces A∩B ∩C es el conjunto deelementos que pertenecen a A, B y C. Por tanto A ∩B ∩ C = {1, 3}.

1.3.5. Diferencia de conjuntosDefinición 1.16 Diferencia de conjuntosSi A y B son conjuntos, se define la diferencia del conjunto A menos el conjunto B, el conjuntoformado por elementos del conjunto A que no son elementos del conjunto B y se indica

A−B = {x/x ∈ A ∧ x /∈ B}.


La diferencia también se denota A\B.

Ejemplo 1.23 Sea A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}. Entonces A−B = {a} y B −A = {d, e}.

Si A y B son los conjuntos en la figura, entonces A − B y B − A son los conjuntos de puntosen las regiones sombreadas.

Ejemplo 1.24 Para conjuntos cualesquiera A, B y C se cumple que

(A ∪B)− C = (A− C) ∪ (B − C).

SoluciónSe tiene que demostrar la igualdad de dos conjuntos A = B si y sólo si se cumple que A ⊆ B yB ⊆ A.1) Veamos que (A ∪B)− C ⊆ (A− C) ∪ (B − C) se cumple.Sea x un elemento cualquiera de (A ∪ B)− C, es decir x ∈ (A ∪ B) y x /∈ C ó (x ∈ A ó x ∈ B) yx /∈ C. Deben analizarse por separados dos casos según la inferencia a partir de una alternativa.Caso 1: Tenemos que x ∈ A y x /∈ C. Entonces x ∈ A − C, de lo que resulta a su vez quex ∈ (A− C) ∪ (B − C).Caso 2: Tenemos que x ∈ B y x /∈ C. Entonces x ∈ B − C, de lo que resulta a su vez quex ∈ (A−C)∪ (B−C). De x ∈ (A∪B)−C → x ∈ (A−C)∪ (B−C), resulta, según la inferenciade para todo, la tesis 1).2) Veamos también que (A− C) ∪ (B − C) ⊆ (A ∪B)− C se cumple.Sea x un elemento cualquiera de (A − C) ∪ (B − C), es decir, x ∈ (A − C) ó x ∈ (B − C). Aquítambién tienen que analizarse dos casos según la inferencia a partir de una alternativa.Caso 1: Tenemos que x ∈ (A − C). Entonces x ∈ A y x /∈ C, de lo cual resulta a su vez quex ∈ (A ∪B) y x ∈ C, es decir, x ∈ (A ∪B)− C.Caso 2: Tenemos que x ∈ (B − C). Entonces x ∈ B y x /∈ C, de lo cual resulta, de la mismaforma, que x ∈ (A ∪B) y x /∈ C, es decir, x ∈ (A ∪B)− C.De x ∈ (A−C)∪ (B−C) → x ∈ (A∪B)−C. Resulta finalmente la tesis 2). De 1) y 2) resulta,que el la identidad es verdadera.

1.3.6. Complemento de un conjuntoDefinición 1.17 ComplementoSi U es un conjunto universal y contiene a A, entonces a U − A se le llama complemento de A yse indica

A = {x ∈ U/x /∈ A}.

Ejemplo 1.25 Sea A = {x/x es un número entero y x ≥ 4}. Entonces A = {x/x es un número entero y x <4}.


Si A es el conjunto en la figura, su complemento es la región sombreada.

Ejemplo 1.26 Demostrar que (A ∪B) ∩A ⊆ B.SoluciónUtilizando las reglas del álgebra de conjuntos, obtenemos lo siguiente:

(A ∪B) ∩A = A ∩ (A ∪B) = (A ∩A) ∪ (A ∩B)

= (A ∩A) ∪ (A ∩B) = � ∪ (A ∩B)

= (A ∩B) ∪ � = A ∩B.

Ahora es claro que A ∩B ⊆ B, ya que x ∈ A ∩B implica que x está en B.

1.3.7. Propiedades del complemento de un conjuntoA continuación, damos las propiedades más importantes sobre el complemento de un conjunto:

1. (A) = A;

2. A ∪A = U ;

3. A ∩A = �;

4. � = U ;

5. U = �;

6. A ∪B = A ∩B;

7. A ∩B = A ∪B.

Ejemplo 1.27 Las siguientes proposiciones son equivalentes para los conjuntos A, B ⊆ U :a) A ⊆ B; b) A ∪B = B; c) A ∩B = A; d) B ⊆ A.SoluciónPara probar este problema, se demuestra que a)⇒ b), b)⇒ c), c)⇒ d) y d)⇒ a).a) ⇒ ): Si A, B son conjuntos cualesquiera, entonces B ⊆ A ∪B. Para la inclusión opuesta, six ∈ A ∪ B, entonces x ∈ A o x ∈ B, pero como A ⊆ B, en ambos casos se tiene x ∈ B; de modoque A ∪B ⊆ B y resulta la igualdad.b) ⇒ c): Dados los conjuntos A, B, siempre se tiene A∩B ⊆ A. Para la inclusión opuesta, seay ∈ A. Si se tiene A ∪ B = B, y ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B ⇒ y ∈ B ⇒ y ∈ A ∩ B, entoncesA ⊆ A ∩B y se concluye que A = A ∩B.c) ⇒ d): z ∈ B ⇒ z /∈ B ⇒ z /∈ A ∩ B, pues A ∩ B ⊆ B. Con A ∩ B = A,z /∈ A ∩B ⇒ z /∈ A ⇒ x ∈ A, de modo que B ⊆ A.d) ⇒ a): Por último, w ∈ A ⇒ w /∈ A y como B ⊆ A, w /∈ A ⇒ w /∈ B. Entoncesw /∈ B ⇒ w ∈ B y A ⊆ B.

Ejemplo 1.28 Demuestre lo siguiente:a) (A ∪B) ⊆ A ∩B; b) A ∩B ⊆ A ∪B.Solucióna) Para demostrar que (A ∪B ⊆ A ∩ B, consideramos un elemento x en (A ∪B. Entoncesx /∈ A ∪ B. En particular, x /∈ A, por lo que tenemos que x ∈ A. Análogamente, x /∈ B y por lotanto x ∈ B. De aquí tenemos que x ∈ A∩B. Hemos demostrado que (A ∪B implica que x ∈ A∩By por lo tanto (A ∪B ⊆ A ∩B.b) Para demostrar la inclusión contraria A ∩ B ⊆ (A ∪B, consideramos x en A ∩ B. Entoncesx ∈ A y por lo tanto x /∈ A. También x ∈ B y por lo tanto x /∈ B. Dado que x /∈ A y x /∈ B,concluimos que x /∈ A ∪B, es decir, x ∈ (A ∪B). En consecuencia A ∩B ⊆ (A ∪B.


Ejemplo 1.29 Simplifique la expresión (A ∪B) ∩ C ∪B.Solución

(A ∪B) ∩ C ∪B = (A ∪B) ∩ C ∩B

= ((A ∪B) ∩ C) ∩B

= (A ∪B) ∩ (C ∩B)

= (A ∪B) ∩ (B ∩ C)

= [(A ∪B) ∩B] ∩ C

= B ∩ C.

1.3.8. Diferencia simétricaDefinición 1.18 Diferencia simétricaSi A y B son dos conjuntos, se define su diferencia simétrica como el conjunto de todos los ele-mentos que pertenezcan a A o B, pero no a ambos y se indica como

A ∆ B = {x ∈ U / (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ A)}.

Es decir, Para dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica es lo que queda de ambos conjuntosdespués de eliminar los elementos de su intersección.

Ejemplo 1.30 Sea A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f, g}. Entonces A ∆ B = {b, d, e, f, g}.

Si A y B son como se indica en la figura, su diferencia simétrica es la región sombreada. Esfácil ver que

A ∆ B = (A−B) ∪ (B −A).

Ejemplo 1.31 Si A, B ⊆ U , si, y sólo si, A ∪B = A ∆ B, A y B son disjuntos.SoluciónSe comienza con A, B disjuntos. Si x ∈ A ∪ B, entonces x ∈ A o x ∈ B (o ambos). Pero como Ay B son disjuntos, x /∈ A ∩ B, de modo que x ∈ A ∆ B. Por tanto, como x ∈ A ∪ B implica quex ∈ A ∆ B, resulta A ∪B ⊆ A ∆ B.Para la inclusión opuesta, si y ∈ A ∆ B, entonces y ∈ A o y ∈ B. (Aunque y /∈ A ∩ B, que no seutiliza aquí.) De modo que y ∈ A ∪B. Por tanto, A ∆ B ⊆ A ∪B y resulta que A ∆ B = A ∪B.A la inversa, si A ∪B = A ∆ B y A ∩B = �, sea x ∈ A ∩B. Entonces, x ∈ A y x ∈ B, de modoque x ∈ A ∪ B. Sin embargo, x /∈ A ∆ B, lo cual contradice la igualdad de conjuntos dada. Enconsecuencia, A y B son disjuntos.

Ejemplo 1.32 Por la observación hecha en el ejemplo anterior, resulta

A ∆ B = {x/x ∈ A ∪B, x /∈ A ∩B} = (A ∪B)− (A ∩B) = (A ∪B) ∩A ∩B


de modo que

A ∆ B = (A ∪B) ∩ (A ∪B)

= (A ∪B) ∪ (A ∩B)

= (A ∪B) ∪ (A ∩B)

= (A ∩B) ∪ (A ∪B)

= (A ∩B) ∪ (A ∩B)

=[(A ∩B) ∪A

]∩[(A ∩B) ∪B

]=

[(A ∪A) ∩ (B ∪A)

]∩[(A ∪B) ∩ (B ∪B)

]=

[U ∩ (B ∪A)

]∩[(A ∪B) ∩ U

]= (B ∪A) ∩ (A ∪B)

= (A ∪B) ∩ (A ∪B)

= (A ∪B) ∩ (A ∩B)

= A ∆ B

= (A ∪B) ∩ (A ∪B)

= (A ∪B) ∩ (A ∩B)

= A ∆ B.

1.3.9. CardinalidadSupóngase ahora que A y B son subconjuntos finitos del conjunto universal U . Se usa frecuen-

temente la fórmula |A ∪ B|, para la cardinalidad de la unión. Si A y B son disjuntos, esto es, siA∩B = �, entonces cada elemento de A∪B aparece en A o en B pero no en ambos; por lo tanto,|A ∪B| = |A|+ |B|. Si A y B se sobreponen como lo muestra la figura, entonces A ∩B pertenecea ambos conjuntos y la suma |A| + |B| incluye el número de elementos en A ∩ B dos veces. Paracorregir esta duplicación, se restará |A ∩ B|. Por consiguiente, se tiene el principio de adición: SiA y B son conjuntos finitos, entonces

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

Esta situación para tres conjuntos es más complicada. Se expondrá el principio de adición paratres conjuntos: Sean A, B y C conjuntos finitos. Entonces

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |B ∩ C| − |A ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|.

Ejemplo 1.33 Una compañía de computación necesita contratar a 25 programadores para ta-reas de programación de sistemas y a 40 para programación de aplicación. De estos empleados, seespera que 10 realicen tareas de dos tipos. ¿Cuántos programadores deberán contratar?SoluciónA es el número de programadores de sistema empleados y B el número de programadores de apli-caciones. Tenemos |A| = 25, |B| = 40 y |A ∩ B| = 10. Así pues, el número que debemos empleares

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B| = 25 + 40− 10 = 25.

Ejemplo 1.34 Se hace una encuesta de los medios de transporte urbano más comunes. A cadapersona se le pregunta si el bus urbano, el trolebús o el automóvil es el medio más usado para ir altrabajo. Se permite más de una respuesta. El resultado de la encuesta se da a continuación:


a) 30 personas escogieron el bus urbano;b) 35 personas escogieron el trolebús;c) 100 personas escogieron el automóvil;d) 15 personas escogieron el bus urbano y el trolebús;e) 15 personas escogieron el bus urbano y el automóvil;f) 20 personas escogieron el bus trolebús y el automóvil;g) 5 personas escogieron los tres medios de transporte.¿Cuántas personas respondieron a la encuesta?SoluciónSean A, B y C los conjuntos de las personas que escogieron bus urbano, trolebús y automóvilrespectivamente. Se sabe que |A| = 30, |B| = 35, |C| = 100, |A ∩ B| = 15, |A ∩ C| = 15,|B ∩ C| = 20, entonces

|A ∪B ∪ C| = (30 + 35 + 100)− (15 + 15 + 20) + 5 = 120.

Ejemplo 1.35 Una compañía de fertilizantes anuncia su fertilizante CC en la revista Guía.La firma entrevistó a 100 compradores de fertilizantes en forma casual. Estas entrevistas revelaronque 25 personas usan CC, 20 personas leen Guía y 5 personas leen Guía y compran CC:a) ¿Cuántas personas no leen Guía?b) ¿Cuántas personas o leen Guía o compran CC?c) ¿Qué porcentaje de las personas que leen Guía compran CC?d) ¿Puede la compañía concluir que anunciar en Guía le incrementará las ventas?SoluciónAntes de comenzar a responder cualquier pregunta dibujemos un diagrama de Venn para organizarla información disponible. Definamos A y B así: A = conjunto de personas que compran CC y B= conjunto de personas que leen Guía. Si C es un conjunto, entonces n(C) indica el número deelementos que éste contiene. En términos de esta notación, tenemos que n(A) = 25, n(B) = 20,n(A ∩B) = 5, n(U) = 100.Inicialmente sólo tenemos elementos para una región básica denominada A ∩B. Colocamos inme-diatamente 5 en esta región. Ahora A es la unión de los dos conjuntos A ∩ B y A − B. Puestoque el disco que representa a A tiene 25 elementos y hay 5 elementos en una parte, entonces debehaber 20 elementos en la otra. Así n(A ∩B) = 20. En forma similar n(B −A) = 20− 5 = 15.Puesto que n(U) = 100 y U es la unión de conjuntos disjuntos A ∩ B, A − B, B − A y A ∪B,tenemos

100 = n(U) = 20 + 5 + 15 + n(A ∪B).

Podemos concluir que n(A ∪B) = 100− 40 = 60.Ahora regresemos a las preguntas:a) n(B) = 60 + 20 = 80;b) n(A ∪B) = 20 + 5 + 15 = 40;c) Si 5 personas de las 20 que leen Guía también compran CC, la fracción de aquellas es 1

4 ;d) La fracción de la muestra de 100 compradores de fertilizantes que compran CC es 25

100 = 14 .

Los resultados indican que ésta fracción no cambia por anunciar en Guía.

Ejemplo 1.36 En una clase de 50 alumnos de primer nivel de universidad, 30 estudian álge-bra, 25 analítica y 10 álgebra y analítica. ¿Cuántos alumnos estudian una de las dos materias?SoluciónSea U la clase de 50 alumnos, A el subconjunto de los que estudian álgebra y B el de los queestudian analítica. Para responder a la pregunta, se necesita |A ∪ B|. En la figura los númerosde las regiones se obtienen de la información: |A| = 30, |B| = 25, |A ∩ B| = 10. Por tanto,|A∪B| = 45 6= |A|+ |B| pues |A|+ |B| cuenta dos veces a los alumnos de A∩B. Para evitar esta


sobre cuenta se resta |A ∩B| de |A|+ |B| y se obtiene la fórmula correcta:

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

1.4. Tarea1. Sea A = {1, 2, 4, a, b, c}. Responda si lo siguiente es verdadero o falso:

a) 2 ∈ A; b) 3 ∈ A; c) c /∈ A; d) � ∈ A; e) � /∈ A; f) a ∈ A.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

2. Sea A = {x/x es un número real y x < 6}. Responda si lo siguiente es verdadero o falso:a) 3 ∈ A; b) 6 ∈ A; c) 5 /∈ A; d) 8 /∈ A; e) −8 ∈ A; f) 3, 4 /∈ A.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

3. Escriba el conjunto en la forma {x/P (x)}, donde P (x) es una propiedad que los elementosdel conjunto tienen en común:a) {2, 4, 6, 8, 10}; b) {a, e, o, i, u}; c) {1, 4, 9, 16, 25, 36}; d) {−2,−1, 0, 1, 2}.Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

4. Dados los conjuntos

U = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, A = {−2, 1, 3, 5}, B = {−1, 0, 3, 4}

determine cada una de las siguientes relaciones:a) A ∩B; b) A ∩B; c) A ∪B; d) A ∪B; e) A ∩B; f) A ∩B.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

5. Demuestre lo siguiente:a) A ⊆ A ∪B; b) A ∩B ⊆ A; c) A−A = �; d) A−B = A ∩B;e) A− (A−B) ⊆ B; f) Si C ⊆ A y C ⊆ B, entonces C ⊆ A ∪B;g) Si A ⊆ C y B ⊆ C, entonces A ∪B ⊆ C.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) .

6. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es igual a A?a) {4, 1, 2, 3, 5}; b) {2, 3, 4}; c) {1, 2, 3, 4, 5, 6};d) {x/x es un entero y x2 ≤ 25}; e) {x/x es un entero positivo y x ≤ 5};f) {x/x es un número racional positivo y x ≤ 5}.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

7. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es vacío?a) {x/x es un número real y x2 − 1 = 0}; b) {x/x es un número real y x2 + 1 = 0};c) {x/x es un número real y x2 = −9}; d) {x/x es un número real y x = 2x + 1};e) {x/x es un número real y x = x− 1}.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

8. Sea A = {1, 2, 5, 8, 11}. Responda si lo siguiente es verdadero o falso:a) {5, 1} ⊆ A; b) {8, 1} ∈ A; c) {1, 6} A; d) {1, 8, 2, 11, 5} A;e) � ⊆ A;f) {2} ⊆ A; g) {3} /∈ A; h) A ⊆ {11, 2, 5, 1, 8, 4}.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) .


9. Sea A = {x/x es un entero y x2 < 16}. Responda si lo siguiente es verdadero o falso:a) {0, 1, 2, 3} ⊆ A; b) � ⊆ A; c) {−3,−2,−1} ⊆ A; d) A ⊆ {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3};e) {x/x es un entero y |x| < 4} ⊆ A.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

10. Sea A = {1, 2, 3, ..., 15}:a) ¿Cuántos subconjuntos de A contienen todos los enteros impares de A?b) ¿Cuántos subconjuntos de A contienen exactamente tres enteros impares?c) ¿Cuántos subconjuntos de A de ocho elementos contienen exactamente tres enterosimpares?Resp: a) ; b) ; c) .

11. Si A = {1, 2}, encuentre P (A).Resp: .

12. Demuestre que A = B si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A.Resp: .


U = {a, b, c, d, e, f, g, h, k}, A = {a, b, c, g}, B = {d, e, f, g}

C = {a, c, f}, D = {f, h, k}.

Obtenga:

a) A ∪B;b) B ∪ C;c) A ∩ C;d) B ∩D;e) A−B;f) A;g) A ∆ B;

h) A ∆ C;i) A ∪D;j) B ∪D;k) C ∩D;l) A ∩ (B ∪ C);m) B − C;n) C −B;

o) B;p) C ∆ D;q) A ∪B;r) A ∩B ∩ C;s) A ∩D;t) (A ∪B) ∩ C;u) A ∪B ∪ C;

v) A ∩B;w) C ∪D;x) C ∪D;y) C ∩D;z) C ∩ �.

Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l); m) ; n) ; o) ; p) ; q) ; r) ; s) ; t) ; u) ; v) ; w) ; x) ;y) ; z) .

14. En una encuesta hecha a 120 personas se encontró que a 71 personas les gusta escucharmúsica clásica, a 80 personas les gusta escuchar música nacional, y que a 42 de ellas lesgustaba ambos tipos de música:a) ¿A cuántas personas, de las encuestadas, les gusta la música clásica, pero no la músicanacional?b) A cuántas personas no les gusta ninguna de las dos?Resp: a) 29 personas; b) 11 personas.

15. En un zoológico hay 80 animales de 11 meses de nacidos. A tal edad se les enseñan dosaspectos: ambientación y a cambio de alimentación. Hay 40 animales ambientándose, 30 cam-biando su alimentación y 20 aprendiendo ambas cosas:a) Cuántos animales se ambientan, pero no cambian su alimentación?b) Cuántos cambian su alimentacion, sin cambiar su ambiente?


c) Cuántos animales cambian su alimentación o su ambiente?Resp: a) 20 animales se ambientan sin cambiar su alimentación; b) 10 cambian sualimentación sin cambiar su ambientación; c) 50 animales cambian su alimentaci;on o suambiente.

16. En un grupo de 90 alimentos, 36 productos contienen azúcar, 32 tienen ácido cítrico y 32conservador; 6 productos contienen a la vez, azúcar, ácido cítrico y conservador; 12 contienenácido cítrico y azúcar, 10 contienen conservador y azúcar, y finalmente 8 contienen ácidocítrico y conservador:a) ¿Cuántos productos contienen exclusivamente ácido cítrico?b) ¿Cuántos sólo azúcar?c) ¿Cuántos contienen sólo conservador?d) ¿Cuántos de los productos contienen ácido cítrico y conservador, pero no azúcar?e) ¿Cuántos productos no contienen ninguna de las sustancias mencionadas?Resp: a) 18; b) 20; c) 20; d) 2; e) 14.

17. En un restaurant de 900 comidas servidas durante cierto día laboral se obtuvo la siguienteinformación:370 incluyeron filete de pescado;290 incluyeron carne asada;214 incluyeron tinga de pollo30 incluyeron filete y carne asada;40 incluyeron filete y tinga;20 incluyeron carne asada y tinga;20 incluyeron filete, carne asada y tinga.a) ¿Cuántas comidas llevaron exclusivamente filete?b) ¿Cuántas comidas llevaron exclusivamente carne asada?c) ¿Cuántas no llevaron ninguno de los tres?d) ¿Cuántas llevaron filete o carne asada, pero no tinga?Resp: a) 320 comidas llevaron sólo filete; b) 260 tienen sólo carne asada; c) 96comidas llevaron ninguno de los tres; d) 590 comidas que llevaron filete o carne asada,pero no tinga.

18. En una encuesta a 40 personas sobre sus deportes olímpicos preferidos, se encontró quea 20 les gusta la gimnasia, a 20 la natación y a 12 el ciclismo. A 5 de estas personas lesgustan simultáneamente los tres deportes, a 8 la gimnassia y la natación, a 7 la gimnassia yel ciclismo, y a 6 la natación y el ciclismo:a) ¿A cuántas personas les gusta la natación y el ciclismo pero, no la gimnassia?b) ¿A cuántas les gusta la gimnassia o el ciclismo, pero no la natación?c) ¿A cuántas les gusta uno o dos de estos deportes, pero no los tres conjuntamente?Resp: a) 1; b) 16; c) 31.

19. Se interrogó a 300 jóvenes acerca de la adicción al tabaco, alcohol, drogas o alguna com-binación de éstas. Se encontró que 122 lo eran al alcohol, 212 al tabaco y 97 a las drogas, 67eran adictos tanto al alcohol como al tabaco, 50 al alcohol y a las drogas, 44 al tabaco y alas drogas, y solamente 7 lo eran a los tres tipos:a) ¿Cuántos son adictos al alcohol pero no al tabaco?


b) ¿Cuántos son adictos al alcohol y las drogas, pero no al tabaco?c) ¿Cuántos son adictos al tabaco o a las drogas, pero no al alcohol?Resp: a) 11 jóvenes; b) 24 jóvenes; c) 64 jóvenes.

20. En una encuesta aplicada a 260 estudiantes de preparatoria se obtuvieron los siguientesdatos:64 toman un curso de matemáticas94 toman un curso de computación58 toman un curso de administración28 toman cursos de matemáticas y administración26 toman cursos de matemáticas y computación22 toman cursos de administración y computación14 toman los tres cursos.a) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta no toman ninguno de los tres cursos?b) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta toman sólo el curso de computación?Resp: a) ; b) .

21. Una encuesta aplicada a 500 televidentes produce la siguiente información:285 ven programas cómicos195 ven programas deportivos115 ven programas culturales45 ven programas cómicos70 ven programas deportivos50 ven programas culturales50 no ven ningún programa.a) ¿Cuántos entrevistados ven los tres tipos de programas?b) ¿Cuántos entrevistados ven sólo uno de los tres?Resp: a) ; b) .

22. ¿Cuándo es A−B = B −A? Explique.Resp: .

23. SeanU = {1, 2, 3, ..., 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 8},

C = {1, 2, 3, 5, 7}, D = {2, 4, 6, 8}.

Determine las relaciones:

a) (A ∪B) ∩ C;b) A ∪ (B ∩ C);c) C ∪D;

d) C ∩D;e) (A ∪B)− C;f) A ∪ (B − C);

g) (B − C)−D;h) B − (C −D);i) (A ∪B)− (C ∩D).

Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) .

24. En cada parte, encuentre el conjunto con el menor número de elementos posible, quecontenga a los conjuntos dados como subconjuntos:a) {a, b, c}, {a, d, e, f}, {b, c, e, g}; b) {1, 2}, {1, 3},�; c) {1, a}, {2, b}.Resp: a) ; b) ; c) .



U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 4, 6, 8}, B = {2, 4, 5, 9}

C = {x/x es un número entero y x2 ≤ 16}, D = {7, 8}.

Obtenga:

a) A−B;b) B −A;c) A;d) A ∆ B;e) A ∪D;f) B ∪ C;

g) A ∩D;h) B ∩ C;i) C −D;j) C;k) C ∆ D;l) B ∆ C;

m) A ∪B ∪ C;n) B ∪ C ∪D;o) A ∩B ∩ C;p) A ∪A;q) A ∪A;r) A ∩A;

s) A ∪B;t) A ∩B;u) A ∩ (B ∪ C);v) (A ∪B) ∩D;w) B ∩ C ∩D;x) A ∩ (C ∪D).

Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l); m) ; n) ; o) ; p) ; q) ; r) ; s) ; t) ; u) ; v) ; w) ; x) .


U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, c, f, g}, B = {a, e}, C = {b, h}.

Obtenga:

a) A;b) B;c) A ∪B;

d) A ∩B;e) C;f) A−B;

g) A ∩B;h) B ∪ C;i) A ∪A;

j) C ∩ C;k) A ∆ B;l) B ∆ C.

Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l) .

27. Dados los conjuntos U = R, A = {x/x es una solución de x2 − 1 = 0}, B = {−1, 4}.Obtenga:a) A; b) B; c) A ∪B; d) A ∩B.Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

28. Suponga que A y B son subconjuntos de un conjunto universal U con n(U) = 100. En-cuentre el número de elementos en cada una de las regiones básicas del diagrama de Venn si:a) n(A) = 40, n(B) = 70 y n(A ∩B) = 20;b) n(A) = 30, n(B) = 60 y n(A ∪B) = 85;c) n(A) = 35, n(A ∩B) = 5 y n(A ∪B) = 32;d) n(B −A) = 20, n(B) = 30 y n(A ∪B).Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

29. Una encuesta de 1.000 personas mayores de 40 años reveló que 312 fumaban, 80 teníancáncer y 660 ni fumaban ni tenían cáncer. Dibuje un diagrama de Venn para responder estaspreguntas:a) ¿Cuántas personas de las encuestadas fumaban y tenían cáncer?;b) ¿Qué porcentaje de fumadores tenían cáncer?c) ¿Puede la encuesta indicar que fumar produce cáncer?Resp: a) ; b) ; c) .


30. Considere los siguientes conjuntos:

A = {2, 4, 5, 7}, B = {x/x ∈ Z y x es un cuadrado perfecto}

C = {x/x ∈ Z y x2 = 4}, D = {−1,−2, 0}.

¿Cuáles pares de conjuntos son disjuntos?Resp: .

31. Se dan los conjuntos A, B y C. Con ayuda de las operaciones de unión e intersecciónescriba un conjunto que conste de los elementos pertenecientes:a) A los tres conjuntos; b) Por lo menos a dos de dichos conjuntos;c) Por lo menos a un conjunto.Resp: a) ; b) ; c) .

32. Suponga que A y B son subconjuntos de un conjunto universal U con n(U) = 100. En-cuentre el número de elementos en cada una de las regiones básicas del diagrama de Venn si:a) n(A) = 40, n(B) = 70 y n(A ∩B) = 20;b) n(A) = 30, n(B) = 60 y n(A ∪B) = 85;c) n(A) = 35, n(A ∩B) = 5 y n(A ∪B) = 32;d) n(B −A) = 20, n(B) = 30 y n(A ∪B) = 47.Resp: a) ; b) ; c) ; d) .


U = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, A = {−2, 1, 3, 5}, B = {−1, 0, 3, 4}.

Determine cada una de las siguientes relaciones:a) A∩B; b) A∩B; c) A∩B; d) A ∩B; e) A∪B; f) A∪B.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

34. Verifique que |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B| dados los conjuntos:a) A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6, 8};b) A = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, c, f, g, h, i, r};c) A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8, 9};d) A = {x/x es un número entero positivo < 8};B = {x/x es un número entero tal que 2 ≤ x ≤ 5};e) A = {a, b, c, d, e}, B = {f, g, r, s, t, u};f) A = {x/x es un número entero positivo y x2 ≤ 16},B = {x/x es un número entero negativo y x2 ≤ 25}.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

35. Si A y B son conjuntos disjuntos tales que |A ∪B| = |A|, ¿qué se puede decir de B?Resp: .

36. Calcule la diferencia simétrica A ∆ B si:a) A = {1, 3, 4, 6, 9} y B = {1, 2, 3, 7}; b) A = {1, 3, 4, 6, 9} y B = {2, 5};c) A = {1, 3, 4, 6, 9} y B = {3, 6, 9}.Resp: a) ; b) ; c) .

37. Determine A−B:a) A = {1, 3, 5, 7}, B = {5, 9, 11, 13};b) A = {−1, 0, 1, 4, 6, 7, 9, 11}, B = {2, 4, 6, 8, 10};c) A = {1, 2, 3, 4}, B = {6, 8, 10, 12};


d) A = {4, 6, 8}, B = {2, 4, 6, 8, 10}.Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

38. Una encuesta de 200 obreras mayores de 30 años revela que 60 tienen grado preuniversitario,80 ganan más de $ 4.000 al año y 30 tienen grado preuniversitario y ganan más de $ 4.000 alaño. Dibuje un diagrama de Venn para responder estas preguntas:a) ¿Cuántas mujeres ni tienen grado preuniversitario ni ganan más de $ 4.000 al año?b) ¿Qué porcentaje de las mujeres que tienen grado preuniversitario ganan más de $ 4.000al año?c) Indican los resultados de la encuesta que las mujeres con grado preuniversitario tienenmayores probabilidades de mejorar sus ingresos?Resp: a) ; b) ; c) .

39. Una encuesta de 1.000 personas mayores de 40 años reveló que 312 fumaban, 80 teníancáncer y 660 ni fumaban ni tenían cáncer. Dibuje un diagrama de Venn para responder estaspreguntas:a) ¿Cuántas personas de las encuestadas fumaban y tenían cáncer?b) ¿Qué porcentaje de fumadores tenían cáncer?c) ¿Puede la encuesta indicar que fumar produce cáncer?Resp: a) ; b) ; c) .

40. Considere los conjuntos

A = {(x, y) ∈ R2/2x− y = 4}; B = {(x, y) ∈ R2/x+ 3y = 9}; C = {(x, y) ∈ R2/y = 2x}.

Encuentre lo siguiente:a) A ∩B; b) A ∩ C; c) B ∩ C; d) A ∪ C.Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

41. Demuestre las siguientes proposiciones. Supóngase un universo U :a) Si A ⊆ B, C ⊆ D, entonces A ∩ C ⊆ B ∩D y A ∪ C ⊆ B ∪D;b) A ⊆ B si, y sólo si, A ∩B = �;c) A ⊆ B si, y sólo si, A ∪B = U .Resp: a) ; b) ; c) .

42. Demuestre que la igualdad A − (B − C) = (A − B) ∪ C es cierta cuando y sólo cuandoA ⊃ C.Resp: .

43. Demuestre las igualdades:

a) A− (A−B) = A ∪B;b) A ∪ (B − C) ⊃ (A ∪B)− C;c) (A−B)− C = A− (B ∪ C);

d) (A−B) ∩ C = (A ∩ C)− (B ∩ C);e) (A−B)∪ (B −A) = (A∪B)− (A∩B);f) (A ∪ C)−B ⊂ (A−B) ∪ C.

Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

44. Demuestre que la inclusión A−B ⊂ C es cierta cuando y sólo cuando A ⊂ B ∪ C.Resp: .

45. Determine en qué razón (X ⊂ Y,X ⊃ Y,X = Y ) se encuentran los conjuntos X e Y si:a) X = A ∪ (B − C), Y = (A ∪B)− (A ∪ C);b) X = (A ∩B)− C, Y = (A− C) ∩ (B − C);


c) X = A− (B ∪ C), Y = (A−B) ∪ (A− C).Resp: a) ; b) ; c) .

46. Sean

A = {x ∈ N/2 < x ≤ 6}, B = {x ∈ N/1 < x < 4}, C = {x ∈ N/x2 − 4 = 0}.

¿De qué elementos constan los conjuntos:a) B ∪ C; b) A ∩B ∩ C; c) A ∪B ∪ C; d) (A ∩B) ∪ (B ∪ C).Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

47. Los conjuntos A y B están compuestos, respectivamente, de los elementos a = 4n + 2,b = 3n, n ∈ N. Hallar A ∩B.Resp: .

48. Suponga que el conjunto A contiene n elementos, el conjunto B, m elementos y la inter-sección A ∩B, k elementos. Hallar el número de elementos de A ∩B.Resp: .

49. Sea que A ⊂ N y cada elemento de A es un número múltiplo bien a 2, o bien a 3, o bien a 5.Hallar el número de elementos del conjunto A si entre ellos tenemos: 70 números múltiplos a2; 60 números múltiplos a 3; 80 números múltiplos a 5; 32 números múltiplos a 6; 35 númerosmúltiplos a 10; 38 números múltiplos a 15; 20 números múltiplos a 30.Resp: .

50. Considere los siguientes conjuntos:

A = {2, 4, 5, 7}, B = {x/x ∈ Z y x es un cuadrado perfecto},

C = {x/x ∈ Zyx2 = 4}, D = {−1,−2, 0}.

¿Cuáles pares de conjuntos son disjuntos?Resp: .

51. Se dan los conjuntos A, B y C. Con ayuda de las operaciones de unión e intersecciónescriba un conjunto que conste de los elementos pertenecientes:a) A los tres conjuntos; b) Por lo menos a dos de dichos conjuntos;c) Por lo menos a un conjunto.Resp: a) ; b) ; c) .

52. ¿Si A ∪B = A ∪ C, deberá ser B = C? Explique.Resp: .

53. ¿Si A ∩B = A ∩ C, deberá ser B = C? Explique.Resp: .

54. Demostrar que:a) (A ∪B) ∩ (A ∪B) ∩ (A ∪B) ∩ (A ∪B) = �;b) (A ∩B) ∪ (A ∩B) ∪ (A ∩B) ∪ (A ∩B) = U ;c) A ∪B = (A ∩B) ∪ (A ∩B) ∪ (A ∩B).Resp: a) ; b) ; c) .

55. Demuestre que las igualdades A ∪ B = B y A ∩ B = A son ciertas cuando y sólo cuandoA ⊂ B.Resp: .


56. Demuestre que el resultado es siempre cierto o bien dé un ejemplo específico para demostrarque no lo es:a) Si A ∩X = B ∩X, entonces A = B; b) Si A ∪X = B ∪X, entonces A = B;c) Si A−B = C −B, entonces A = C; d) Si A−B = A− C, entonces A = C;e) (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪B)− (A ∪B).Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

57. Determine si la relación es o no correcta:a) (A ∩B) ∪ (C ∩D) = [(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)] ∩ [(A ∩B) ∪D];b) A ∩ (B ∪ C) = A ∪ (B ∩ C);c) (A ∩B ∩ C) ∪D = [(A ∩B) ∪D] ∩ [(A ∩B) ∪ C];d) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

58. Para los conjuntos A, B, C ⊆ U , y mediante diagramas de Venn, analice la veracidad ofalsedad de las siguientes relaciones:a) A ∆ (B ∩ C) = (A ∆ B) ∩ (A ∆ C); b) A ∩ (B ∆ C) = (A ∩B) ∆ (A ∩ C);c) A ∆ (B ∪ C) = (A ∆ B) ∪ (A ∆ C); d) A ∪ (B ∆ C) = (A ∪B) ∆ (A ∪ C);e) A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C); f) A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C);g) A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) .

59. Sean A y B subconjuntos tomados al azar del conjunto U . Demuestre las igualdades:a) A−B = A∪B; b) (A∩B)∪(A∩B) = A∪B; c) (A∪B)∩(A∪B) = A∪B.Resp: a) ; b) ; c) .

60. Sea A ⊂ U , B ⊂ U . Hallar el conjunto X ⊂ U verdaderas y cuáles falsas. Para las falsas,proporcione un ejemplo en el que la afirmación no se cumpla:a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ C para todo conjunto A, B, C;b) A ∪B ⊆ A ∩B implica que A = B;c) (A ∩ �) ∪B = B para todo conjunto A, B;d) A ∩ (� ∪B) = A siempre que A ⊆ B;e) A ∩B = A ∪B para todo conjunto A, B.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

61. Hallar los subconjuntos A y B del conjunto U si se sabe que para todo conjunto X ⊂ Ues cierta la igualdad X ∩A = X ∪B.Resp: .

62. A ∪ B = U equivale a A ⊂ B y a A ⊃ B. Igualmente, A ∩ B = � equivale a A ⊃ B ya A ⊂ B. Demostrar que A ⊂ B, es equivalente a A ∩ B = � y a A ∪ B = U . IgualmenteA ⊃ B, equivale a A ∩B = � y a A ∪B = U . En particular, resulta B ⊂ X ⊂ A si y sólo si(X ∩A) ∪ (B ∩X) = � o (X ∪A) ∩ (B ∪X) = U .Resp: .

63. Demuestre las siguientes relaciones:

a) Si A = B y B = C, entonces A = C;b) Si A = B, entonces A ∩X = B ∩X;c) Si A = B, entonces A ∪X = B ∪X;d) Si A = B, entonces A = B;e) Si A ⊂ B, entonces A ∪B = B;

f) Si A ⊂ B, entonces A ∩B = A;g) Si A ⊂ B, entonces B ⊂ A;h) Si A ⊂ B, entonces A−B = �;i) Si A ∩B = �, entonces B −A = B.


Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) .

64. Demuestre que la igualdad A − (B − C) = (A − B) ∪ C es cierta cuando y sólo cuandoA ⊃ C.Resp: .

65. Para cualquier conjunto A, ¿qué es A ∆ A?¿qué es A ∆ �?Resp: .

66. Utilizando las leyes de la teoría de conjuntos, simplifique las siguientes relaciones:

a) A ∪B ∪ (A ∩B ∩ C);b) (A ∩B) ∪ (A ∩B ∩ C ∩D) ∪ (A ∩B);

c) (A−B) ∪ (A ∩B);d) A ∩ (B −A).

Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

67. Demuestre las igualdades:

a) A− (A−B) = A ∩B;b) (A−B)− C = A− (B ∪ C);

c) (A−B)∪ (B −A) = (A∪B)− (A∩B);d) (A−B) ∩ C = (A ∩ C)− (B ∩ C).

Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

68. Demuestre lo siguiente:a) A ∩ (B ∆ C) = (A ∩B) ∆ (A ∩ C);b) A ∆ B ⊆ (A ∆ C) ∪ (B ∆ C);c) (A ∩B ∩ C) = A ∪B ∪ C;d) A ∩B ⊆ A y A ⊆ A ∪B para todo conjunto A, B;e) Si A ⊆ B y A ⊆ C, entonces A ⊆ B ∩ C;f) Si A ⊆ C y B ⊆ C, entonces A ∪B ⊆ C;g) A ⊆ B si y sólo si B ⊆ A;h) A ⊆ B si y sólo si A ∪B = B.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) .

69. Demuestre o refute lo siguiente:a) A ∩B = A ∩ C implica B = C;b) A ∪B = A ∪ C implica B = C;c) A ∩B = A ∩ C y A ∪B = A ∪ C implica B = C;d) A ∪B ⊆ A ∩B implica A = B;e) A ∆ B = A ∆ C implica B = C.Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

70. Demuestre que el complemento relativo no es conmutativo; es decir, A − B = B − A nosiempre es verdadero.Resp: .

71. Demuestre que el complemento relativo no es asociativo; es decir, (A−B)−C = A−(B−C)no siempre es verdadero.Resp: .

72. Demuestre que (A−B)− C ⊆ A− (B − C) para todo conjunto A, B, C.Resp: .


73. Demuestre las inclusiones:a) A ∪ (B − C) ⊃ (A ∪B)− C; b) (A ∪ C)−B ⊂ (A−B) ∪ C.Resp: a) ; b) .

74. Sean los conjuntos

A = {x ∈ N/2 < x ≤ 6}, B = {x ∈ N/1 < x < 4}, C = {x ∈ N/x2 − 4 = 0}

¿De qué elementos constan los conjuntos:a) B ∪ C; b) A ∩B ∩ C; c) A ∪B ∪ C; d) (A ∩B) ∪ (B ∪ C).Resp: a) ; b) ; c) ; d) .

75. Suponga que el conjunto A contiene n elementos, el conjunto B, m elementos y la inter-sección A ∩B, k elementos. Hallar el número de elementos de A ∪B.Resp: .

76. Sea que A ⊂ N y cada elemento de A es un número múltiplo bien a 2, o bien a 3, o bien a 5.Hallar el número de elementos del conjunto A si entre ellos tenemos: 70 números múltiplos a2; 60 números múltiplos a 3; 80 números múltiplos a 5; 32 números múltiplos a 6; 35 númerosmúltiplos a 10; 38 números múltiplos a 15; 20 números múltiplos a 30.Resp: .

77. Sean A y B subconjuntos tomados al azar del conjunto U . Demuestre las igualdades:a) (A∪B)∩ (A∪B) = A∪B; b) (A∩B)∪ (A∩B) = A∪B; c) A−B = A∪B.Resp: a) ; b) ; c) .

78. Para los conjuntos A, B, C ⊆ U , y mediante diagramas de Venn, analice la veracidad ofalsedad de las siguientes relaciones:

a) A ∆ (B ∩ C) = (A ∆ B) ∩ (A ∆ C);b) A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C);c) A ∆ (B ∪ C) = (A ∆ B) ∪ (A ∆ C);d) A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C);

e) A ∩ (B ∆ C) = (A ∩B) ∆ (A ∩ C);f) A ∪ (B ∆ C) = (A ∪B) ∆ (A ∪ C);g) A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C.

Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) .

Teoria de Conjuntos2

Documents

Transcript of Teoria de Conjuntos2