Teoria de Control, Modelado de Sistemas
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1 Teoría de control: Modelado de sistemas Carlos F. Aquino, Felipe M. Quintanilla Estudiantes de la Universidad Don Bosco, El Salvador. Email: [email protected], f.miguelquin tanilla@gmail. com Abstract — Se ha obtenido mediante métodos experimentales a partir de la respuesta de los diferentes sistemas (eléctrico, térmico e hidráulico) la función de transferencia de los mismos, usando el programa MATLAB y corroborando los resultados mediante la teoría asociada, se ha podido validar la veracidad de los resultados. Esto permite tener una idea de cómo mejorar los tiempos, la estabilidad y el error en estado estacionario en el control de las plantas en los sistemas antes mencionados. Términos Clave – Sistema de control automático, Función de transferencia, Lazo Abierto y Lazo Cerrado. I. I NTRODUCCI ÓN Para comenzar con el modelado de los sistemas es necesario conocerlos. A continuación en las fig.1, fig.2 y fig.3, se presentan los diagramas de bloques del sistema eléctrico, el sistema térmico y el sistema hidráulico respectivamente. Se nota que los sistemas a modelar constan básicamente de un amplificador de potencia, la planta y un transductor. El amplificador de potencia, es el actuador y permite la potencia necesaria para operar la planta (proporciona la corriente necesaria); este bloque no es necesario para el modelado, dado que la función de transferencia que se obtendrá mediante el mismo será: ⁄ . Por otra parte, el transductor actúa como una ganancia. De tal forma que para el modelado correcto de estos sistemas la planta es el bloque de mayor importancia. Otro detalle importante es que los tres sistemas están en lazo abierto y su funcionamiento depende exclusivament e del voltaje de referencia asignado. En las siguientes secciones se procederá al modelado de cada uno de estos sistemas a partir de lo observado mediante las experimentaciones realizadas, donde se graficó la respuesta del sistema ante una entrada escalón, en otras palabras, se obtendrá la función de transferencia de los sistemas (modelo matemático), mediante el análisis de su gráfica de respuesta en el tiempo. Fig. 1 Diagrama de bloques del sistema eléctrico . Fig. 2 Diagrama de blo ques del sistema térmico. Fig. 3 Diagrama de bloques del sistema hidráulico. II. SISTEMA ELÉCTRICO La gráfica de Vo vs t, se llevó a cabo usando el plotter Servogor 790 de Goerz; dicha gráfica es presentada en la fig.4. Fig. 4 Gráfica de la respuesta del sistema eléctrico en el tiempo. Escalas Y: 1V/cm y X: 1 s/cm Para este sistema, usando la poderosa herramienta matemática MATLAB, se llegó al siguiente resultado: . = 1.523×10 8 1000 2 2480147 (1)
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Teoría de control: Modelado de sistemas
Carlos F. Aquino, Felipe M. Quintanilla
Estudiantes de la Universidad Don Bosco, El Salvador.Email: [email protected], [email protected]
Abstract — Se ha obtenido mediante métodos
experimentales a partir de la respuesta de los diferentes sistemas
(eléctrico, térmico e hidráulico) la función de transferencia de
los mismos, usando el programa MATLAB y corroborando los
resultados mediante la teoría asociada, se ha podido validar la
veracidad de los resultados. Esto permite tener una idea de cómo
mejorar los tiempos, la estabilidad y el error en estado
estacionario en el control de las plantas en los sistemas antes
mencionados.
Términos Clave – Sistema de control automático, Función de
transferencia, Lazo Abierto y Lazo Cerrado.
I. I NTRODUCCIÓN
Para comenzar con el modelado de los sistemas esnecesario conocerlos. A continuación en las fig.1, fig.2 yfig.3, se presentan los diagramas de bloques del sistemaeléctrico, el sistema térmico y el sistema hidráulicorespectivamente.
Se nota que los sistemas a modelar constan básicamentede un amplificador de potencia, la planta y un transductor. Elamplificador de potencia, es el actuador y permite la potencia
necesaria para operar la planta (proporciona la corrientenecesaria); este bloque no es necesario para el modelado,dado que la función de transferencia que se obtendrá medianteel mismo será: ⁄ . Por otra parte, el transductoractúa como una ganancia. De tal forma que para el modeladocorrecto de estos sistemas la planta es el bloque de mayorimportancia.
Otro detalle importante es que los tres sistemas están enlazo abierto y su funcionamiento depende exclusivamente delvoltaje de referencia asignado.
En las siguientes secciones se procederá al modelado decada uno de estos sistemas a partir de lo observado mediantelas experimentaciones realizadas, donde se graficó la
respuesta del sistema ante una entrada escalón, en otras palabras, se obtendrá la función de transferencia de lossistemas (modelo matemático), mediante el análisis de sugráfica de respuesta en el tiempo.
Fig. 1 Diagrama de bloques del sistema eléctrico.
Fig. 2 Diagrama de bloques del sistema térmico.
Fig. 3 Diagrama de bloques del sistema hidráulico.
II. SISTEMA ELÉCTRICO
La gráfica de Vo vs t, se llevó a cabo usando el plotterServogor 790 de Goerz; dicha gráfica es presentada en lafig.4.
Fig. 4 Gráfica de la respuesta del sistema eléctrico en el tiempo. Escalas Y:1V/cm y X: 1 s/cm
Para este sistema, usando la poderosa herramientamatemática MATLAB, se llegó al siguiente resultado:
. = 1.523×108
100022480147 (1)
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Dicho resultado ha sido posible, al seguir el procedimiento listado a continuación:
a) Dentro del ambiente de MATLAB se han definidodos vectores: X (para el tiempo) y Y (para el voltaje).Los vectores contienen los pares ordenadoscorrespondientes a puntos tomados del gráfico de lafig. 4.
b) Se escribe el comando: cftool , para acceder a laherramienta de ajuste de curvas de MATLAB.
c) Con esta herramienta se escoge una funciónexponencial, dado que se sabe que la respuesta deeste tipo de sistemas incluye exponenciales.
d) Una vez escogida la curva que mejor se ajusta(exponencial) al grafico de la fig. 6, se toma nota dela función que ha sido computada por MATLAB.
e) Dicha función está en el dominio del tiempo, por loque se debe de sacar la transformada de Laplace (devuelta en la ventana de comandos de MATLAB).
El resultado obtenido mediante MATLAB tienecoherencia con la siguiente simplificación de la función detransferencia de un motor CD propuesta por [1]:
=
+ (2)
Ambas ecuaciones: (1) y (2), han quedado de segundogrado, con la excepción de un valor que dentro de la ecuación(1) puede considerarse despreciable. De esta forma se quedacomprobada la validez de la función de transferencia obtenidamediante MATLAB.
El uso de MATLAB, para este tipo de análisis, es de sumaayuda; dado que como menciona [2], la obtención de estasvariables requiere de instrumentos de medición muy precisosy varias muestras de datos para poder obtener unaaproximación que ha sido posible mediante la herramientainformática antes mencionada.
III. SISTEMA HIDRÁULICO
A partir de la gráfica de Vo vs t (f ig. 5) tomada al sistemahidráulico de la fig. 3. Y mediante el uso de MATLAB, se hallegado a la siguiente función de transferencia:
. = 2310(−12
250 ) (3)
Fig. 5 Gráfica de la respuesta del sistema hidráulico en el tiempo. EscalasY: 1V/cm y X: 1 s/cm
Como en el caso del sistema anterior se ha seguido el mismo procedimiento para poder llegar a la función de transferencia:ecuación (3).
Este resultado queda validado debido a que en la plantase presenta la situación mostrada en fig.6, donde solamentehay un tanque con un caudal de entrada y uno de salida, , y elnivel del agua permanece constante. Para este tipo de plantase genera siguiente ecuación:
Fig. 6 Planta del sistema hidráulico.
− =
=
(4)
Al obtener la transformada de Laplace de la ecuaciónanterior queda:
=
=
+
=
+
(5)
Una función de primer orden concordante con elresultado obtenido mediante MATLAB.
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IV. SISTEMA TÉRMICO
Para el sistema térmico, así como en los dos sistemasanteriores resulta fundamental el uso de la herramientaMATLAB para poder ajustar la curva de respuesta unafunción de acuerdo con la naturaleza del sistema. De estaforma para la respuesta obtenida y mostrada en la fig. 7, se haconseguido obtener la siguiente función de transferencia:
. = 6+9++
(6)
Fig. 7 Gráfica de la respuesta del sistema térmico en el tiempo. Escalas Y:1V/cm y X: 1 s/cm
Se ha seguido el procedimiento, descrito conanterioridad.
Al hacer un modelo teórico del sistema se presenta lasituación descrita a continuación:
= ̇ − ̇
= ̇ − (7)
Aplicando la transformada de Laplace:
= −
=
=
+ (8)
Se nota que el modelado teórico da una función de primerorden, mientras el modelado obtenido con MATLAB da un
resultado de una función de transferencia de segundo orden,sin embargo, esto es posible debido a que para el modeladoteórico se ha considerado un solo elemento calefactor, pero enrealidad dicha plante puede contar en su interior (no fue
posible desarmar la planta) con múltiples elementoscalefactores; razón por la cual puede justificar estadiscrepancia entre resultados teóricos y experimentales.
V. CONCLUSIÓN
Por medio de procedimientos experimentales es posiblellegar a una aproximación aceptable de la función detransferencia real de los sistemas que se encuentran bajoanálisis. Se pudo constatar lo anterior con la comparación delos resultados obtenidos y el análisis teórico de los sistemasanalizados. Este procedimiento tan útil en el campo practico,
posible gracias a la ayuda de herramientas como MATLAB.
VI. R EFERENCIAS
[1] Katsuhiko Ogata, Ingeniería de control moderna, 4ta ed., Prentice Hall,2002, pp. 141.
[2]
Fernando Solís Flores, Caracterización de un motor de corriente
directa, 2010. Disponible en: http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/handle/132.248.52.100/731?show=full
VII. BIOGRAFÍAS
Carlos Aquino, nació en Santa Tecla el 14 deDiciembre de 1992. Se graduó del ColegioSalesiano Santa Cecilia y siguió sus estudios en lacarrera de Ingeniería Mecatronica en laUniversidad Don Bosco, Soyapango, El Salvador.
Su experiencia laboral incluye elmantenimiento de UPS en el Ministerio deAgricultura y Ganadería (MAG), en El Salvador;Sus campos de interés de especialización incluyenla robótica y el mantenimiento de maquinaria.
Felipe Quintanilla, nació en San Salvador el 9 deJunio de 1990. Se graduó del Colegio Emiliani y
siguió sus estudios en la carrera de IngenieríaMecatronica en la Universidad Don Bosco,Soyapango, El Salvador.
Su experiencia laboral incluye el mantenimientoy reparación de bocinas y equipos afines en el tallerQuintanilla en San Salvador, El Salvador; Suscampos de interés de especialización incluyen lamanufactura y procesos de diseño más eficientes.
Recibió diplomado que acredita como susegundo idioma el inglés estadounidense.
