Teoría de Fourier

El análisis matemático de los métodos de modulación y de multicanalización de la

señales utilizada en los sistemas de comunicaciones supone portadora de forma de

onda senoidal y señales de información. Esto simplifica el análisis y hace predecible

la operación; sin embargo, en el mundo real no todas las señales de información son

senoidales. En general las señales de información son señales de voz y de vida más

compleja y en esencia están compuestas de ondas senoidales de forma de muchas

frecuencias y amplitudes. Las señales de información pueden tomar un número

infinito de formas, incluyendo ondas rectangulares (por ejemplo, pulsos digitales),

ondas triangulares, ondas de diente de sierra y otras forma no senoidales.

Estas señales requieren un enfoque no senoidal para determinar las características y

el desempeño de cualquier circuito o sistema de comunicación.

Uno de los métodos más utilizados para hacerlo es el análisis de Fourier, que

proporciona una forma de analizar con todo detalle el contenido de la mayoría de las

señales no senoidales más compleja.

Concepto Básico de la Teoría de Fourier

En la figura 2-69-a muestra una forma básica de onda senoidal con sus dimensiones

más importante y la ecuación que la representa. En la figura se representa una onda

coseno básica; donde podemos observar que la coseno tiene la misma forma que la

onda senoidal pero se encuentra adelantada a ésta en 90º. Una armónica es una

senoidal cuya frecuencia es algún múltiplo entre la onda senoidal fundamental; por

ejemplo la tercera armónica de una onda senoidal de 6KHz. La figura 2-70 nos

muestra las primera cuatro armónicas de una onda senoidal fundamental.

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La Teoría de Fourier establece que podemos tomar una forma de onda no senoidal y

dividirla en componentes individuales de onda senoidal o cosenoidal armónicamente

relacionados.

Un ejemplo clásico podemos observarlo en la figura 2-71 en una onda cuadrada, la

cual es una señal rectangular con semiciclos positivo y negativo de igual duración.

En la onda cuadrada de corriente alterna de la figura tiene a t1 y t2 iguales, D1 de

50%, o sea, la relación de la duración del semiciclo positivo t1, al periodo t

expresada en porcentaje D = x 100

El analizas de Fourier señala que la onda cuadrada consta de una onda senoidal en la

frecuencia fundamental de la onda cuadrada, más un número infinito de armónico

impares; por ejemplo, si la frecuencia fundamental de la onda cuadrada es 1KHz, la

onda cuadrada puede ser sintetizada sumando la onda senoidal de 1KHz y onda

senoidales armónicas de 3KHz, 5KHz, 7KHz, 9KHz, etc.

En la figura 2-72 se muestra como hacer esto la onda senoidales deben ser de

amplitud y fase correctas con relación entre ella. En este caso la onda senoidal

fundamental tiene un valor de 20 V picos a pico (un pico de 10 V).

Cuando se suman los valores instantáneos de la onda senoidal, el resultado se

aproxima a una onda cuadrada. En la figura 2-12-a se suman la fundamental y la

tercera armónica; observe la forma de la onda compuesta con la tercera y la quinta

armónica añadidas, como en la figura 2-72-b.

Mientras más armónicas superiores se agregan, más se aproxima la onda compuesta

a una onda cuadrada perfecta. La figura 2-73 muestra como se vería con 20

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armónicas impares sumadas a la fundamental y el resultado se aproxima mucho a la

onda cuadrada.

Esto quiere decir que una onda cuadrada debe analizarse como una colección de

onda senoidales relacionada armónicamente en vez de cómo una onda cuadrada

individual.

Podemos confirmar esto desarrollando un análisis matemático de Fourier sobre la

onda cuadrada; el resultado es la ecuación siguiente, expresando el voltaje en

función del tiempo.

F (t) =

donde el factor es un multiplicador para todos los términos y V es el voltaje

pico de la onda cuadrada. El primer término es la onda senoidal fundamental y lo

términos sucesivos son la tercera, quinta, séptima, armónicas. Los términos también

tienen un factor de amplitud. En este caso también la amplitud es una función de la

armónica; por ejemplo; la tercera armónica tiene una amplitud que es un tercio de la

amplitud fundamental, y así de manera sucesiva.

La expresión también podría ser reescrita con F = . Si la onda cuadrada es

corriente directa en vez de corriente alterna, como muestra la figura 2-71 b, la

expresión de Fourier tiene una componente de CD.

Tenemos la siguiente ecuación para corriente directa.

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F

En esta ecuación es componente de cd, el valor promedio de onda cuadrada.

También es la línea básica sobre la que viajan ondas senoidales fundamentales y

armónicas.

La formula general para la ecuación de Fourier de una forma de onda es:

F (t) = +

donde n es impar

Ejemplo:

Una forma de onda cuadrada tiene un voltaje pico de 3V y una frecuencia de 48

KHz.

Encuentre: a) La frecuencia de la quinta armónica.

b) El valor rms de la quinta armónica.

Utilice la formula 2-74-a.

a) 5 x 48 KHz = 240 KHz.

b) Aisle en la formula la expresión para la quinta armónica, la cual es 1/5 sen 2

(5/T) t y multiplique por el factor de amplitud 4V/ . El valor pico de la

quinta armónica VP es

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VP =

rms = 0.707 x valor pico.

Vrms = 0.707 VP = 0.707 (0.76) =0.537 V.

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