TEORIA DE GRAFOS
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José Javier García C. Matemática Discreta – IUTAI – PNFI Página1
MINISTERIO DE EDUCACION DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA AGRO-INDUSTRI AL SAN CRISTÓBAL-ESTADO TÁCHIRA
DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA – PNF INGENIERIA EN INF ORMATICA Matemática Aplicada – Módulo Matemática Discreta
UNIDAD III
TEORIA DE GRAFOS – TALLER UNIDAD III Grafo : Un grafo G, se define como un dibujo, imagen, gráfico. Es la representación gráfica de un conjunto de puntos (nodos o vértices), unidos por líneas (aristas) Tiene entonces dos partes: a.-Un conjunto V= V(G) cuyos elementos son los vértices del grafo G b.-Una colección E = E(G) de pares desordenados de vértices llamados aristas Se escribe entonces G(V,E) cuando se hace referencia a ambas partes de G Multígrafo: Un multigrado G= G(V,E) consiste también en un conjunto V de vértices y E de aristas excepto que E puede contener aristas múltiples, es decir, aristas que conectan a los mismos extremos o aristas cuyos extremos son el mismo vértice (bucles) Grafo trivial: aquel que solo tiene un vértice Grafo nulo: aquel que ni tiene vértices, ni tiene aristas
Figura 1 Descripción formal del grafo de la figura 1 Grafo G(V,E) donde V= {A,B,C,D} y E={e1, e2, e3, e4 e5} donde e1={A,B}, e2={B,C}, e3={C,D}, e4={A,C}, e5={B,D}.
figura 2
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¿La figura 2 es un grafo o multigrado? Es un multigrado ya que G tiene múltiples aristas que conectan a los vértices A,C y además un bucle e7. 1.- Describa formalmente el siguiente grafo de la figura 3
figura 3 2.-En el siguiente multigrado G (figura 4), halle:
figura 4
a.- el numero de aristas y vértices: b.- Si hay aristas múltiples o bucles diga cuales son:: 3.-Dibuje un diagrama para cada uno de los grafos siguientes G(V,E): a.- V={A,B,C,D} , E= [{A,B},{D,A},{C,A},{C,D}] b.- V= {a,b,c,d,e,f} E=[{a,d},{a,f},{b,c},{b,f},{c,e}]
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4.-Dibuje un diagrama para cada uno de los siguientes grafos G (V,E) , donde V= {P1,P2,P3,P4,P5}, y a.- E=[{P2,P4},{P2,P3},{P3,P5},{P5,P4}] b.- E=[{P1,P1},{P2,P3},{P2,P4},{P3,P2},{P4,P1},{P5,P4}] 5.-En el grafo anterior (el dibujado) ¿hay un vértice aislado? ¿Cuál? 6.-Determine SI cada uno de los multigrados siguientes G(V,E), es o no un grafo, donde V= {A,B,C,D} y a.- E= [{A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{C,D}] (Grafo) (Multígrafo) b.- E= [{A,B},{B,B},{A,D}] (Grafo) (Multígrafo) c.- E= [{A,B},{C,D},{A,B},{B,D}] (Grafo) (Multígrafo) d.- E= [{A,B},{B,C},{C,B},{B,B}] (Grafo) (Multígrafo) Nota: Recuerde que G(V,E) es un grafo si no tiene aristas múltiples o bucles. 7.-Describa formalmente el grafo que se muestra a continuación(figura 5):
figura 5 Adyacencia e incidencia en un grafo Suponga que e={u,v} es una arista de G, es decir, que u y v son extremos de e. entonces se dice que el vértice u es adyacente al vértice v, y que la arista e es incidente sobre u y sobre v.
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Grado de un vértice g(v) Es determinado por el numero de aristas que inciden en v, (el numero de aristas que tienen a v como extremo), se dice que el vértice v es par o impar según g(v) lo sea. Teorema A: La suma de los grados de los vértices de un grafo es igual a dos veces el número de aristas. Nota: El teorema se cumple en multigrados, y en caso de los bucles se contabilizan dobles. Del siguiente grafo (figura 6): a.-) descríbalo formalmente b.-) halle el grado y paridad de cada vértice c.-) verifique el teorema anterior
figura 6 Considere el multigrafo G donde V={A,B,C,D}, y E= [{A,C},{A,D},{B,B},{B,C},{C,A},{C,B},{D,B},{D,D}] a.-Halle el grado y la paridad de cada vertice en G b.-Verifique el teorema A Caminos, Conectividad Un camino α en G con origen v0 y destino vn es una secuencia alterna de vértices y aristas de la forma
v0, e1, v1, e2, v2,…,en-1, vn-1, en, vn,
donde cada nodo ei incide en los vértices vi-1 y vi. El numero n de aristas se denomina longitud de α, cuando no hay ambigüedad se denomina α por su secuencia de aristas α={e1, e2,…,en} o por su secuencia de vértices α ={v0, v1,…, vn} Camino simple y recorrido de un grafo Un camino α ={v0, v1,…, vn} es simple si todos los vértices son distintos. El camino es un recorrido si todas las aristas son distintas.
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Camino cerrado y ciclo Un camino α ={v0, v1,…, vn} es cerrado si Un camino v0=vn ,es decir si el origen(α) = destino(α). El camino α es un ciclo si esta cerrado y si todos sus vértices son distintos excepto v0=vn, . Un ciclo de longitud k se denomina k-ciclo. Por tanto un ciclo en un grafo debe tener una longitud mayor o igual a tres. En el grafo que se muestra a continuación (figura 7) sean los caminos siguientes en G:
figura 7 a.- α={e1,e4,e6,e5} b.- β={e2,e5,e3,e4,e6,e3,e1} Convierta cada secuencia de aristas en la correspondiente secuencia de vértices Res: α={A,B,Z,Y,X} β={A,X,Y,B,ZY,B,A} 8.-En el grafo G anterior (figura 7) halle: a.-todos los caminos simples desde el vertice A hasta el vertice Z b.-d(A,Z) c.-un k-ciclo para k=3,k=4,k=5 y k=6 9.-En el Siguiente grafo G (figura 8). Determine si cada una de las secuencias de aristas siguientes forman un camino
figura 8
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a.-({A,X},{X,B},{C,Y},{Y,X}) b.-({A,X},{X,Y},{Y,Z},{Z,A}) c.-({X,B},{B,Y},{Y,C}) d.-({B,Y},{X,Y},{A,X}) En el grafo anterior G, halle todos los caminos simples de A a C, y d(a,c) En el siguiente grafo G (figura 9). Determine si cada uno de los caminos siguientes, son caminos cerrados, caminos simples o ciclos.
figura 9 a.- (B,A,X,C,B) b.- (X,A,B,Y) c.- (B,X,Y,B) Grafos (multígrafos) Conexos Un grafo (multígrafo) es conexo si hay un camino entre dos cualesquiera de sus vértices Ejemplo:
figura 10
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10.-Los Grafos (a), (c) son conexos, b y d no son conexos. Considere los multígrafos de las siguientes figuras
figura 11a y 11b Determine: a.-¿Cuáles son conexos? b.- ¿Cuáles están libres de bucles? c.- ¿Cuáles son grafos? Subgrafos: Sea G un grafo. Entonces H es un subgrafo de G si V(H) V(G), es decir los
vértices de H son también los vértices de G y E(H) E(G)
Nota:En otras palabras, H(V', E') es un subgrafo de G(V, E) si V' V y E' E. Sea el grafo G = G( V, E) de la Figura 12 Determine si H( V’, E') es o no un subgrafo de G donde
figura 12 (a) V’ = {A, B, F} Y E' = [{A, B}, {A, F}], (b) V' = {B,C,D} y E' = [{B,C}, {B,D}],
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(c) V' = {A, B, C} Y E' = [{A, B}, {A, C}]. Recordando: H es un subgrafo de G si H es un grafo y sus vértices están contenidos en V y sus aristas están contenidas en E. Res: (a) No, el vértice F no es un vértice de G. (b) Sí. (c) No, puesto que {A, C} no es una arista de G. 11.-Sea el grafo G = G(V,E) de la Figura anterior. Detemiine si H = H( V',E') es un subgrafo de G en el que (a) V, = {A,B,D} y E' = [{A,B}, {A,D}]. (b) V, = {B} Y E' = Ǿ, el conjunto vacío. (e) V, = {A,B,C} y E' = [{A,B}, {B,C}, {B,D}]. Componente Conexos: Un componente conexo de G es un subgrafo de G que no está contenido en ningún subgrafo conexo más grande de G. Está claro que un componente conexo es todo el grafo definido por sus vértices; por tanto, se puede designar un componente conexo mediante la lista de sus vértices. Está también claro que G se puede particionar en sus componentes conexos. La siguiente Figura muestra un grafo con tres componentes conexos: {A, C, X}, {B} Y {Y, Z}.
figura 13
12.-Halle los componentes conexos de los siguientes grafos
figura 14 figura 15
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Subgrafo G - v (donde v es un vértice de G) EI G-v es un subgrafo de G obtenido borrando el vértice v del conjunto de vértices V(G) y borrando todas Ias aristas en E(G) que inciden sobre v. Alternativamente, G - v es el subgrafo completo de G, generado por los vértices restantes. Punto de corte para un grafo conexo G. Se dice que un vértice v es un punto de corte para G si G-v no es conexo. (De forma más general, v es un punto de corte para cualquier grafo G si G-v tiene más componentes conexos que G.)
figura 16 De la siguiente figura anterior hallar: a.-) G-A b.-) G-B c.-) G-C Res:
figura 17 13.-Del ejercicio anterior hallar: a.-) G-D b.-) G-E c.-) G-F d.-) El grafo tiene punto de corte
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14.-Del siguiente grafo hallar:
figura 18 a.-) G-A b.-) G-B c.-) G-C d.-) G-X e.-) G-Y f.-) G-Z g.-) ¿Tiene G algún tipo de corte? 15.-De los siguientes grafo determine los puntos de corte
figura 19 figura 20
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Subgrafo G - e (donde e es una arista de G) G - e es el grafo obtenido borrando e del conjunto de aristas de G; por tanto, V(G - e) = V (G) y E (G – e) = E (G)\{e}. Puente para un grafo conexo G. Una arista e es un puente de G si G - e es desconexo. (En general, e es un puente para cualquier grafo G si G tiene más componentes conexos que G.) Sea el siguiente Grafo G
figura 21
Hallar: a.-) G-{A ,B} b.-) G-{B, C} c.-) G-{B, D} d.-) G-{C, D} e.-) ¿Existe algún Puente? Res:
figura 22 (e) G tiene tres puentes {A, X}, {A, Z} e {Y, C}. Borrar cualquier otra arista de G no lo desconecta 16.-¿De la figura 8 tiene G algún puente? 17.- ¿De la figura 9 tiene G algún puente? 18.-¿De la figura 15 tiene G algún puente?
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MULTIGRAFOS Y GRAFOS RECORRIBLES
figura 23 figura 24
Se dice que un multígrafo G es recorrible si “se puede dibujar sin ninguna ruptura en la curva y sin repetir ninguna arista”, es decir, si hay un camino que incluye todos los vértices y usa cada arista exactamente una vez. Tal camino debe ser un recorrido (puesto que ninguna arista se usa dos veces) y se le denomina recorrido o circuito euleriano. Nota: Un grafo con mas de dos vértices impares no es recorrible Un grafo (multígrafo) G es un grafo euleriano si tiene un recorrido cerrado, denominado recorrido euleriano Claramente, un multígrafo recorrible debe ser conexo. La Figura 24 muestra un recorrido o circuito euleriano del multigrafo de la Figura 23. Problema de los puentes de Königsberg
figura 25 figura 26
La ciudad Prusiana de Königsberg incluía en el siglo dieciocho dos islas y siete puentes, como se muestra en la Figura 25. Pregunta: Comenzando y teminando en cualquier parte, ¿puede una persona atravesar la ciudad cruzando los siete puentes sin cruzar por ninguno dos veces? Los habitantes de Königsberg escribieron al famoso matemático suizo L. Euler para preguntárselo. Euler demostró en 1736 que ese paseo era imposible. Reemplazó las islas y los dos lados del río por puntos y los puentes por curvas, obteniendo así la Figura 26. No es difícil ver que el paseo por Königsberg sólo es posible si y sólo si el multigrafo de la Figura 26 tiene un circuito euleriano. Pero este multígrafo tiene cuatro vértices impares y, por tanto, no es euleriano.
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Por tanto, no se puede andar a través de Königsberg y cruzar cada puente exactamente una vez. Determine los grafos de la Figura 27 si son recorribles
a b c
figura 27
Res: (a) No, puesto que los cuatro vértices son de grado impar. (b) Sí, puesto que exactamente dos de sus vértices; B y C. son de grado impar (c) Sí, puesto que exactamente dos de sus vértices. son de grado impar. 19.-Determine cuáles de los grafos siguientes G son recorribles, donde: V(G)={A,B,C,D} y (a) E(C) = [{A,B}, {B,C}, {C,D}, {D,A}] (b) E(C) = [{A,B}, {A, C}, {B, C}, {B,D}, {C,D}, {D,A}] (e) E(C) = [{A, B}, {C, D}, {B, A}, {C, C}, {D, C}] 20.-Determine cuáles de los grafos de la Figura 28 son recorribles
a b c
Figura 28
21.-Halle un circuito Euleriano párale grafo de la figura 29
figura 29
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Grafo Hamiltoniano Es un grafo con un recorrido cerrado que incluye cada vértice exactamente una vez. Tal camino es un ciclo y se le denomina ciclo hamiltoniano. En un ciclo eleuriano se usa cada arista exactamente una vez, pero puede repetir vértices, mientras que en un ciclo hamiltoniano usa cada vértice exactamente una vez (excepto el primero y el ultimo) pero se puede saltar aristas. Ejemplo
a.-Hamiltoniano y no eleuriano b.-Eleuraiano y no hamiltoniano
figura 30 22.-Sea G un grafo conexo de tres vértices, Demuestre que G es recorrible 23.-Halle un camino recorrible α para el grafo G, donde: V(G)={A,B,C,D} y E(G)=[{A,C},{A,D},{B,C},{B,D},{C,D}]
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Arboles Grafo tipo árbol. Se denomina grafo árbol, aquel grafo que es conexo pero no tiene ciclos Ejemplo:
figura 31
ACTIVIDADES: Finalizada la lectura del material y una vez realizado los 23 ejercicios secuenciales planteados en el mismo, deberán reunirse en grupo y presentar los ejercicios en limpio. Dicha actividad será evaluada y forma parte del taller correspondiente a la Unidad III.
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BIBLIOGRAFIA Matemática Discreta – Seymour Lipschitz – Marc Lipson – Serie Shaum – Mc Graw Hill - 2004