TEORÍA DE LA DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE Maestría en Riesgo Financiero.

TEORÍA DE LA DECISIÓN TEORÍA DE LA DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBREBAJO INCERTIDUMBRE

Maestría en Riesgo FinancieroMaestría en Riesgo Financiero

22ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

Pérdida de oportunidad e Pérdida de oportunidad e información perfectainformación perfecta

Con la ayuda de la matriz de pérdida de Con la ayuda de la matriz de pérdida de oportunidad y criterio de Bayes, se establece la oportunidad y criterio de Bayes, se establece la máxima cantidad que el decisor podría pagar máxima cantidad que el decisor podría pagar por una información 100% confiable, que le por una información 100% confiable, que le permita seleccionar la mejor acción de las que permita seleccionar la mejor acción de las que tiene a su disposición. Al igual que en los temas tiene a su disposición. Al igual que en los temas anteriores se asumirá que el decisor dispone de anteriores se asumirá que el decisor dispone de las acciones alas acciones a11, a, a22,…, a,…, ann y que se pueden y que se pueden presentar los eventos: presentar los eventos: θθ11, , θθ2 ,2 , …, …, θθmm



Pérdida de oportunidadPérdida de oportunidad

La pérdida de oportunidad, se define para cada La pérdida de oportunidad, se define para cada evento o estado de la naturaleza como la evento o estado de la naturaleza como la diferencia en el pago, entre la mejor acción y la diferencia en el pago, entre la mejor acción y la acción escogida. El pago es cero cuando se acción escogida. El pago es cero cuando se adopta la decisión óptima.adopta la decisión óptima.Cuando los pagos indican ganancias, la pérdida Cuando los pagos indican ganancias, la pérdida de oportunidad es la ganancia a la cual renuncia de oportunidad es la ganancia a la cual renuncia el decisor por no adoptar la acción óptima y el decisor por no adoptar la acción óptima y cuando los pagos representan costos, la pérdida cuando los pagos representan costos, la pérdida de oportunidad es la cantidad que deja de ahorrar de oportunidad es la cantidad que deja de ahorrar el decisor al no adoptar la acción óptima.el decisor al no adoptar la acción óptima.



Las pérdidas de oportunidad son calculadas, Las pérdidas de oportunidad son calculadas, determinando primero los mejores resultados para determinando primero los mejores resultados para cada evento; esto es, el pago óptimo de cada fila de cada evento; esto es, el pago óptimo de cada fila de la matriz de pagos. Luego, los pagos en cada fila la matriz de pagos. Luego, los pagos en cada fila son restados de los óptimos por filas, si los pagos son restados de los óptimos por filas, si los pagos indican ganancias, mientras que si los pagos indican ganancias, mientras que si los pagos indican costos, el pago óptimo se resta a cada pago indican costos, el pago óptimo se resta a cada pago de la fila. En otras palabras, si de la fila. En otras palabras, si l*l*(a(ak k ,,θθrr) representa ) representa el pago óptimo cuando ocurre el evento el pago óptimo cuando ocurre el evento θθr r y ay akk es la es la acción que da lugar a este pago óptimo, entonces la acción que da lugar a este pago óptimo, entonces la pérdida de oportunidad cuando el decisor adopta la pérdida de oportunidad cuando el decisor adopta la acción aacción ajj y se presenta el evento y se presenta el evento θθrr, viene dada por, viene dada por



llpp(a(aj j ,,θθrr)= )= l*l*(a(ak k ,,θθrr)- )- ll(a(aj j ,,θθrr), j=1,…,n), j=1,…,n

Cuando los pagos indican Cuando los pagos indican ganancias y porganancias y por

llpp(a(aj j ,,θθrr)= )= ll(a(aj j ,,θθrr)- )- l*l*(a(ak k ,,θθrr), j=1,…,n), j=1,…,n

Cuando sucede lo contrario.Cuando sucede lo contrario.



EjemploEjemplo

Un fabricante de juguetes dispone de tres Un fabricante de juguetes dispone de tres mecanismos par elaborar una nueva mecanismos par elaborar una nueva muñeca. En la siguiente tabla se muestran muñeca. En la siguiente tabla se muestran las ganancias que obtiene el fabricante las ganancias que obtiene el fabricante cuando escoge cualesquiera de los cuando escoge cualesquiera de los mecanismos y los niveles de demanda mecanismos y los niveles de demanda que puede tener la nueva muñeca.que puede tener la nueva muñeca.



Tabla de ganancias para el fabricante de juguetesTabla de ganancias para el fabricante de juguetes

MecanismosMecanismos

DemandaDemanda aa11 aa22 aa33

θθ11 :Escasa :Escasa 3030 -20-20 -120-120

θθ22:Moderada:Moderada 350350 400400 350350

θθ33:Elevada:Elevada 500500 640640 700700



Tabla de pérdidas de oportunidad para el Tabla de pérdidas de oportunidad para el fabricante de juguetesfabricante de juguetes

MecanismosMecanismos

DemandaDemanda aa11 aa22 aa33

θθ11 :Escasa :Escasa 00 5050 150150

θθ22:Moderada:Moderada 5050 00 5050

θθ33:Elevada:Elevada 200200 6060 00



Pago esperado con información Pago esperado con información perfectaperfecta

Ahora consideraremos el caso en que se puede Ahora consideraremos el caso en que se puede adquirir información perfecta acerca del estado adquirir información perfecta acerca del estado de la naturaleza con el fin de seleccionar una de la naturaleza con el fin de seleccionar una acción en el futuro.acción en el futuro.Usando esta información se podría garantizar la Usando esta información se podría garantizar la escogencia de la acción que produzca el pago escogencia de la acción que produzca el pago óptimo para cualquier evento que se presente.óptimo para cualquier evento que se presente.Como deseamos investigar la importancia de tal Como deseamos investigar la importancia de tal información antes de obtenerla, determinamos información antes de obtenerla, determinamos el “Pago esperado con Información Perfecta” el “Pago esperado con Información Perfecta” (PEIP).(PEIP).



Suponemos que la información es 100% Suponemos que la información es 100% confiable y hallamos el pago óptimo confiable y hallamos el pago óptimo l*l*(a,(a,θθ)) para para

cada valor decada valor de θθ. En esta forma, el Pago . En esta forma, el Pago Esperado con Información Perfecta se define de Esperado con Información Perfecta se define de la siguiente manera:la siguiente manera:

(PEIP)=E(PEIP)=Eθθ[[l*l*(a,(a,θθ))]]

Se observa así que el pago esperado con Se observa así que el pago esperado con información perfecta es el pago promedio que información perfecta es el pago promedio que puede anticiparse con el mejor conocimiento puede anticiparse con el mejor conocimiento posibleposible



EjemploEjemplo

Supongamos que la demanda de la nueva Supongamos que la demanda de la nueva muñeca que elabora el fabricante de juguetes del muñeca que elabora el fabricante de juguetes del ejemplo anterior tiene la siguiente distribución de ejemplo anterior tiene la siguiente distribución de probabilidad: probabilidad:

P(P(θθ==θθ11)=0.10, P()=0.10, P(θθ==θθ22)=0.60 y P()=0.60 y P(θθ==θθ33)=0.30.)=0.30.

Calcule la ganancia que él espera conseguir Calcule la ganancia que él espera conseguir cuando dispone de una información 100% cuando dispone de una información 100% confiable sobre la demanda.confiable sobre la demanda.¿Qué puede concluir usted en el caso del ¿Qué puede concluir usted en el caso del ejemplo del llenado de frascos?ejemplo del llenado de frascos?



Regla de decisión de Bayes y Regla de decisión de Bayes y pérdida de oportunidadpérdida de oportunidad

Dado que la pérdida de oportunidad es un Dado que la pérdida de oportunidad es un resultado numérico, podemos calcular el resultado numérico, podemos calcular el valor esperado de la pérdida de valor esperado de la pérdida de oportunidad para cada acción. La pérdida oportunidad para cada acción. La pérdida esperada de oportunidad cuando el esperada de oportunidad cuando el decisor adopta la acción adecisor adopta la acción ajj, indicada por , indicada por llpp*(a*(ajj), se evalúa respecto con la ), se evalúa respecto con la distribución a priori definida sobre los distribución a priori definida sobre los estados posibles de la naturaleza, es estados posibles de la naturaleza, es decir:decir:



llpp*(a*(ajj)=E)=Eθθ[|[|l*l*(a(ak k ,,θθ)- )- ll(a(aj j ,,θθ))|]; j=1,…,n|]; j=1,…,n

Donde Donde l*l*(a(ak k ,,θθ) señala el pago óptimo cuando se ) señala el pago óptimo cuando se

presenta el estado de la naturaleza presenta el estado de la naturaleza θθ y a y akk es la es la

acción que da lugar a este pago óptimo.acción que da lugar a este pago óptimo.

La meta del decisor consiste entonces en La meta del decisor consiste entonces en seleccionar la acción con la mínima pérdida seleccionar la acción con la mínima pérdida esperada de oportunidad; esto es, él debe esperada de oportunidad; esto es, él debe seleccionar la acción aseleccionar la acción ahh para la cual para la cual

llpp*(a*(ahh)=mín l)=mín lpp(a(ajj))

11≤≤jj≤≤nn



EjemploEjemplo

En el ejercicio del fabricante de juguetes, En el ejercicio del fabricante de juguetes, teniendo en cuenta la distribución de la teniendo en cuenta la distribución de la demanda de la nueva muñeca, calcule la demanda de la nueva muñeca, calcule la pérdida esperada de oportunidad.pérdida esperada de oportunidad.

Determine la acción a elegirse.(mínima Determine la acción a elegirse.(mínima pérdida de oportunidad esperada)pérdida de oportunidad esperada)



Valor esperado de la información Valor esperado de la información perfectaperfecta

Al analizar un problema de decisión empleando Al analizar un problema de decisión empleando la pérdidas de oportunidad, la pérdida esperada la pérdidas de oportunidad, la pérdida esperada mínima no sólo señala la mejor acción para el mínima no sólo señala la mejor acción para el decisor sino que , su valor también representa la decisor sino que , su valor también representa la cantidad que él “sacrifica” por no tener cantidad que él “sacrifica” por no tener información perfecta, sobre cuál evento ocurrirá. información perfecta, sobre cuál evento ocurrirá. Esta pérdida mínima se conoce con el nombre Esta pérdida mínima se conoce con el nombre de “de “costo de la incertidumbrecosto de la incertidumbre” o “” o “el valor el valor esperado de la información perfecta”esperado de la información perfecta” (VEIP) (VEIP)



De esta manera, se tiene que De esta manera, se tiene que (VEIP)=mín E(VEIP)=mín Eθθ[|[|l*l*(a(ak k ,,θθ)- )- ll(a(aj j ,,θθ))|]|] 11≤≤jj≤≤nn

Aunque sabemos que en la práctica no existe Aunque sabemos que en la práctica no existe información 100% confiable, prestamos atención información 100% confiable, prestamos atención al valor esperado de la información perfecta al valor esperado de la información perfecta porque nos ayuda a establecer un límite sobre porque nos ayuda a establecer un límite sobre la importancia de la información, es decir, el la importancia de la información, es decir, el valor esperado de la información perfecta valor esperado de la información perfecta representa la mayor cantidad de dinero que el representa la mayor cantidad de dinero que el decisor estaría dispuesto a pagar, con el fin de decisor estaría dispuesto a pagar, con el fin de obtener una información 100% confiable.obtener una información 100% confiable.



El valor esperado de la información perfecta también El valor esperado de la información perfecta también puede establecerse utilizando el criterio de Bayes. puede establecerse utilizando el criterio de Bayes. Recordemos que la regla de decisión de Bayes conduce Recordemos que la regla de decisión de Bayes conduce a la escogencia de una acción particular que optimiza el a la escogencia de una acción particular que optimiza el pago esperado sin tener en cuenta cualquier información pago esperado sin tener en cuenta cualquier información adicional. En lo sucesivo nos referiremos a ese pago adicional. En lo sucesivo nos referiremos a ese pago como el “Pago esperado bajo incertidumbre” (PEBI), como el “Pago esperado bajo incertidumbre” (PEBI), entonces tenemos que entonces tenemos que

PEBI= PEBI= Optimo EOptimo Eθθ [l[l(a(aj j ,,θθ)])] 11≤≤jj≤≤nnCuando los pagos indican ganancias la fórmula de (VEIP) Cuando los pagos indican ganancias la fórmula de (VEIP)

puede escribirse de la siguiente manera:puede escribirse de la siguiente manera:



(VEIP)=mín {E(VEIP)=mín {Eθθ[[l*l*(a(ak k ,,θθ)]- E)]- Eθθ [ [ll(a(aj j ,,θθ)])]}}

11≤≤jj≤≤nn

Por lo que se tiene que Por lo que se tiene que

(VEIP)=(PEIP)-(PEBI)(VEIP)=(PEIP)-(PEBI)

Con un razonamiento similar se deduce que en el Con un razonamiento similar se deduce que en el caso en que los pagos indican costos se tienecaso en que los pagos indican costos se tiene

(VEIP)=(PEBI)-(PEIP)(VEIP)=(PEBI)-(PEIP)

Encuentre VEIP para el caso del fabricante de Encuentre VEIP para el caso del fabricante de juguetes.juguetes.



ConclusionesConclusiones

El valor esperado de la información El valor esperado de la información perfecta representa la mayor cantidad de perfecta representa la mayor cantidad de dinero que el fabricante estaría dispuesto dinero que el fabricante estaría dispuesto a pagar para conseguir una información a pagar para conseguir una información perfecta. Esto es si desea contratar un perfecta. Esto es si desea contratar un estudio de mercadeo para predecir la estudio de mercadeo para predecir la demanda, ésta no debe sobrepasar el demanda, ésta no debe sobrepasar el precio de 23, caso contrario no debe precio de 23, caso contrario no debe ordenarlo.ordenarlo.

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