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Teoría de las redes.- Sirve para tratar problemas de carácter combinatorio que aparecen en dominios económicos, sociológicos o tecnológicos.

Es en la rama de la teoría de los conjuntos la que promete dar más frutos tanto para el matemático “puro” como para el ingeniero, el organizador , el biólogo, el psicólogo, el sociólogo.Puntos y arcos.- Consideremos un conjunto de puntos, de número finito o no, pero distintos y numerables, como los puntos A, B, C, D, E, F, G. En esa figura esos puntos llamados “vértices”, están unidos por líneas orientadas que llamaremos “arcos”. Representemos esto graficamente

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Podemos presentar estructuras muy diversas mediante una red, como por ejemplo: 1) Un sistema de caminos o calles. 2) Un sistema eléctrico. 3) Un grupo humano con relaciones psicosociales. 4)Circulación de información en un sistema.

A

B

C

F

GD

E

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Aplicación de un conjunto en sí mismo.- Veamos como se define una red. Empecemos por definir un conjunto de 7 puntos {A,B,C,D,E,F,G}. A cada uno de los objetos de este conjunto hacemos corresponder más objetos del mismo conjunto; llamando τ a la ley que realiza estas correspondencias, define una red para el conjunto y su ley de correspondencia.

Supongamos que en el conjunto de siete objetos la ley de correspondencia sea la siguiente: τ(Α)={B,D,E} τ(D)={D,E,F,G} τ(F)={C,F,G} τ(Β)={A,C} τ(E)={D,E} τ(G)= τ(C)={E}

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Τ(A)={B,E,D}

AB

CC

FG

ED

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Principales conceptos.- Conceptos orientados.- Camino.- Es una sucesión de arcos adyacentes que permiten pasar de un vértice a otro siguiendo los arcos.Circuito.- Es un camino en el cual el vértice inicial coincide con el final.Longitud de un camino o circuito.- es el número de arcos en el camino o circuito.Lazo.- Es un circuito de longitud 1. Red simétrica.- Si un vértice X está conectado a un vértice Y, entonces Y debe estar conectado con X.Red antisimétrica.- Si un vértice X está conectado a un vértice Y, entonces Y no debe estar conectado con X.Red fuertemente conectada.- Cualquiera que sean los vértices X e Y (X distinto de Y) considerados, existe un camino de X a Y.

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Conceptos sin orientación.- Arista.- Diremos que existe una arista entre 2 vértices X e Y si existe un arco de X a Y y/o de Y a X. Cadena.- Es una secuencia de aristas consecutivas.Ciclo.- Es una cadena cerrada.Red conectada.- Cualesquiera que sean los vértices X e Y considerados, existe una cadena entre X e Y.Red completa.- Cualesquiera sean los vértices X e Y considerados, existe una arista entre ellos.Red parcial y subred.-Red parcial.- Si en una red suprimimos uno o más arcos obtenemos una red parcial de la red de referencia.Subred.- Si en una red se suprimen uno o más puntos, así como los arcos que ahí llegan o de ahí parten, la red resultante es una subred de la red original.

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Camino Económico.- Acá se trata de minimizar los kilómetros a caminar cuando se quiere ir de un lugar a otro. Para ello vamos a usar el algoritmo de Ford.

A

B C

D E

F

7

74

3

5

2

8

9

6

8

Nótese que la unión de los nodos se hace con aristas que no tienen dirección. La dirección saldrá del proceso del algoritmo.

Colocamos en los vértices los siguientes valores: 0 en el A y en los demás, valores lo suficiente grandes como para superar los valores de las aristas; en este caso les damos a los demás el valor 100. Como es lógico se empieza por el vértice A y se analiza la diferencia entre los valores extremos de cada arco. Al relacionar B – A se ve que 100 – 0 = 100, como este valor es mayor que el valor del arco ( 7 ) se realiza la operación de darle al nodo B el valor 0 + 7 = 7. Entonces se tacha el 100 y se pone un 7. Luego se considera el arco A – D y por la misma razón se pone en el nodo D el valor 8. De la misma manera se considera el arco D – B y como de los 2 extremos el mayor es D se hace la diferencia 8 – 7 = 1 y como el valor es menor que el valor del arco ( 2 ) todo se deja como está. Actuando así se llega a la siguiente situación que se grafica.

9

0

100 / 7 100 / 16 / 13

100 / 8 100 / 19/ 11

100 / 17

7

9

2

8

5

3

4

7

6

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A partir de este gráfico se hace el siguiente razonamiento:Para cada arista se busca la diferencia entre el valor más grande y el menor tomando los extremos, si la diferencia es igual al valor original del arco, se marca más fuerte y se pone como una flecha en dirección del menor valor hacia el mayor. Volvamos a la figura anterior. Las rayas rojas indican los caminos más cortos desde A hasta cada una de las ciudades.

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Arbol de conexión.- Se sabe que existe un árbol cuando existen distintos arcos sin que se encuentre ningun ciclo. Este ejercicio tiene por objeto dada una red de arcos tratar de comunicar a todas las ciudades sin que se forme ciclo y al costo total mínimo.

Arbol de conexión.- Se sabe que existe un árbol cuando existen distintos arcos sin que se encuentre ningun ciclo. Este ejercicio tiene por objeto dada una red de arcos tratar de comunicar a todas las ciudades sin que se forme ciclo y al costo total mínimo.

A

B

C

D

E

F

7

89

4

3

6

10

2

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Se demuestra que si las ciudades son n el número de arcos necesarios son n – 1. para resolver el problema se usa la matriz de Kruskal que se hace así: A B C D E FA 8 7B 10 9C 6D 2 3E 4F

Como se ve es una media matriz en la cual se van buscando los valores de menor a mayor tratando de que no formen ciclo, haciendo el análisis en la figura.

Primero elegimos el 2 y lo marcamos en la matriz y en el gráfico, luego el 3, y siguiendo hasta tener 5 aristas que no formen ciclo.

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Se ve que el tercer valor 4 no se aceptó ya que formaba ciclo con los dos primeros y por ello se lo pasa de largo y no se lo tiene en cuenta. Se puede deducir fácilmente que si se comienza por el mayor valor y se va decreciendo se resolverá el problema pero con una idea de maximizar.Máximo flujo a traves de una red.- Para resolver este problema se usa el algoritmo de Ford-Fulkerson.

B

D E

F

7

7 4

3

5

2

8

9

6

4

2

2

2

2

2

2

2

4

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Mayor flujo a través de una red.-Para solucionar este tipo de problema se usa el algoritmo de Ford-Fulkerson. Este algoritmo está dividido en tres etapas a

saber:1.- Flujo compatible.- Es aquel flujo que es igual o menor que la

capacidad máxima del arco y que en cada nodo todo lo que entra es igual a todo lo que sale.

2.- Flujo completo.- se cumple cuando todos los caminos que van del comienzo al fin tienen por lo menos un arco saturado. Se dice que un arco está saturado cuando su flujo es igual a su capacidad

máxima.3.- Optimización.- Se busca algún camino entre alfa y beta con

alguna flecha de contramano. Se hace lo mismo que en la etapa anterior con la diferencia que el valor que se suma a los arcos en

mano se resta a los de contramano.