Teoria de Logaritmos
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7/16/2019 Teoria de Logaritmos
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-de-logaritmos 1/4
N a x N x
a
=⇔=og
...100102100log;82381
etcor ue porque ====
lnlo;logog10
N N N N ==
1.- DEFINICIÓNES.
Si a>0 y a≠1, se define el logaritmo en base a de un número N de la siguientemanera:
O sea, como el exponente al que hay que elevar "a" para obtener " N ".
Ejemplos:
Loslogaritmos más utilizados son los logaritmos decimales (de base 10) y los logaritmos
neperianos(de base el número e≅ 2'71828182....).Ambos tienen una notación especial:
Observación: Los logaritmos neperianos deben su nombre al matemáticoescocés John Neper (1550-1617) y fueron los primeros en ser utilizados. Al principio,
Neper llamó "números artificiales" a los exponentes, para más tarde decidirse por la palabra "logaritmo", compuesta por las palabras griegas logos (razón) y aritmos (números).
2.- PROPIEDADES.
2.1.- El logaritmo de la unidad es 0. O sea, loga1=02.2.- El logaritmo de la base es 1. O sea, logaa=1
2.3.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de losfactores. O sea, loga (N·M)=loga N + loga M
Demostración:
2.4.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos ellogaritmo del divisor. O sea, loga (N:M)=loga N - loga M
Demostración:
Logaritmos. Pág 1 de 4.
M N y x M N NM aSi
aaa M N
M a y M
N a x N
aaa
y x
y x y x
y
a
x
a
loglog)(log
·
log
log
+=+=⋅⇒=
==⋅⇒
=⇒=
=⇒=
+
+
M N y x M N M N aSi
aaa M N M a y M
N a x N
aaa
y x
y x y x
y
a
x
a
loglog):(log:
log
log
−=−=⇒=
=÷=÷⇒
=⇒=
=⇒=
−
−
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M
N N a M
a
loglog =
⋅3
54
2
353og
2.5.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por ellogaritmo de la base de la potencia. O sea, loga (NM)= M·loga N
Demostración:
2.6.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por elíndice de la raíz.
O sea,
Demostración: Basta con hacer notar que, por ejemplo,
Ejemplo: Sabiendo que log 2 = 0'3010, log 3=0'4771 y que log 35=1'5441,desarrolla y calcula el siguiente logaritmo:
3.- LOGARITMOS DECIMALES.Observación: Lo que viene a continuación es pura nostalgia!!
Los logaritmos decimales se pueden escribir como suma de dos números: lacaracterística y la mantisa.
La característica de un logaritmo decimal es el número entero inmediatamenteinferior o igual a dicho logaritmo.
Ejemplo 1: Tomemos cualquier número con 3 cifras enteras, p.e. 362.100≤ 362<1000 ⇒ log 100 ≤ log 362 < log 1000 ⇒ 2 ≤ log 362 <3 ⇒ la
característica del log 362 es 2.
Ejemplo 2: Tomemos ahora un número comprendido entre 0 y 1, p.e. 0'00027.0'0001≤ 0'00027< 0'001 ⇒ log 0'0001 ≤ log 0'00027 < log 0'001 ⇒ -4 ≤ log
0'00027 < -3 ⇒ la característica del log 0'00027 es -4.
Resumiendo:
• La característica del logaritmo decimal de un número mayor que 1 con ncifras enteras es (n-1).
Logaritmos. Pág 2 de 4.
N M M x N N aSiaa N N a x N
a
M
a
M M x
M x M x M x
a
loglog)(log
⋅=⋅=⇒=
==⇒=⇒=
⋅
⋅
3
log
log3
1
loglog3
133
13 N
N N N quelocon N N =⋅===
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5 2'673000137'0 ⋅= E
• La característica del logaritmo decimal de un número comprendido entre 0 y1 es (-n), siendo n el número de ceros que presenta la escritura decimal delnúmero (incluyendo al que precede a la coma decimal).
La mantisa de un logaritmo decimal es la diferencia entre el logaritmo y su
característica.Como la característica es siempre menor que el logaritmo → la mantisa es
siempre un número positivo menor que 1 (Ver Tablas).
Ejemplo 3: log 362 = 2'5587 (según tablas)Característica=2→ Mantisa= 2'5587-2=0'5587.
Ejemplo 4: log 0'00027 = -3'5686Característica=-4→ Mantisa= -3'5686-(-4) = 0'4314.
En los logaritmos de números menores que 1 se suele hacer lo siguiente:En lugar de escribir log 0'00027=-3'5686, se escribe log 0'00027=4'4314.4 indica que el signo menos solo afecta a la característica; en cambio , la mantisa
0'4314 es positiva.La razón de adoptar esta escritura es que las tablas de logaritmos solo
proporcionan la mantisa (siempre positiva) y no el logaritmo completo.
Propiedad de las mantisas (importante): La mantisa de log N es igual que lamantisa de log (N · 10m) siendo m un número entero cualquiera.
Según esta propiedad, conociendo log 362, también conocemos:* log 36200 =4'5587 (36200= 362 · 102)* log 3'62 =0'5587 (3'62= 362 · 10-2)* log 0'00362 =3'5587 (0'00362= 362 · 10-5)
Ejercicio 1: Utiliza logaritmos decimales (con tablas) para calcular el productoP=4729 · 1421.
Solución: Tomando logaritmos, tenemos log P = log 4729 + log 1421 = 3'6747+ 3'1526 = 6'8273.
P= [Número cuyo log vale 6'8273]=Antilog (6'8273)= 6.719.000 (7 cifras
enteras).
Ejercicio 2: Ídem, para calcular el cociente C= 6813 : 415.
Solución: log C = log 6813 – log 415 = 3'8332 – 2'6180 = 1'2152.C= [Número cuyo log vale 1'2152]=Antilog (1'2152)= 16'4 (2 cifras enteras).
Ejercicio 3: Ídem, para calcular el valor de la expresión
Solución: log E = log 0'000137 + ( log 673'2 ): 5 = 4'1367 + 2'8281 : 5 = -3'8633+0'5656 = -3'2977 = 4'7023.
E= [Número cuyo log vale 4'7023 ]=Antilog (4'7023)= 0'0005038 (nº menor que1 con 4 ceros delante de la primera cifra significativa, incluido el de la coma).
Logaritmos. Pág 3 de 4.
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a N
a
y x
alog
oglog
log=⇒=
4.- RELACIÓN ENTRE LOGARITMOS DE DISTINTAS BASES.
¿Qué relación hay entre el logaritmo de un número en una base "a" y sulogaritmo decimal ?
De otra manera, ¿qué relación hay entre loga N y log N ? Fácil.
Llamamos x= loga N ⇒ ax=Ny=log N ⇒ 10y=N
⇒ ax = 10y. Tomando ahora logaritmos decimales,
log ax = log 10y ⇒ x · log a = y ⇒
Luego, sabiendo calcular logaritmos decimales, sabemos calcular logaritmos en
cualquier base.Ejemplos:
5.- ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como
exponente. En las logarítmicas, la incógnita aparece afectada por algún logaritmo. No hay regla general para resolverlas; normalmente, conviene tener en cuenta:
1) Propiedades de potencias y logaritmos.2) Inyectividad de potencias y logaritmos; esto quiere decir que:
Si loga X=loga Y, entonces X=Y.3) Se puede despejar una incógnita que esté como exponente tomando
logaritmos.
Practicaremos con numerosos ejercicios (propuestos en la relación).
Logaritmos. Pág 4 de 4.
64'63010'0
2
2log
100log100log)1
2≅== 12'6
4771'0
9175'2
3log
827log827log)2
3≅==
36990'0
0969'2
5log
125log125log)3
5≅==