Teoria de Maquinas - Tema 2 - Cinematica de Mecanismos

Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica

TEORÍA DE MÁQUINAS

2.- CINEMÁTICA DE MECANISMOS

Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 2

Cinemática de máquinas

Capítulo II: CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE LOS MECANISMOS Y MÁQUINAS

Tema 2.- Cinemática de los mecanismos

Lección 2.- Estudio cinemático de mecanismos

Apartado 1.- Introducción.Apartado 2.- Mecanismos planos. Concepto de CIR.Apartado 3.- Técnicas de determinación de velocidades.Apartado 4.- Velocidades relativas. Estudio del mecanismo de corredera.


Cinemática de máquinasLección 3.- Estudio cinemático de mecanismos. Velocidades.

Apartado 1.- Velocidad de cambio de polo. Determinación de trayectorias (base, ruleta).Apartado 2.- Fórmula de Euler-Savary.Apartado 3.- Aplicación al cuadrilatero articulado.Apartado 4.- CIR relativos. Teorema de Kennedy.

Lección 4.- Estudio cinemático de mecanismos. Aceleraciones.Apartado 1.- Aceleración en mecanismos planos. Polo de aceleraciones.Apartado 2.- Técnicas gráficas de determinación de aceleraciones.Apartado 3.- Aplicación al cuadrilatero articulado. Cínema de aceleraciones.Apartado 4.- Estudio del mecanismo biela-manivela. Mecanismo céntrico.


Cinemática de máquinas. Objetivos

Estudio cinemático: determinación deTrayectoriasVelocidadesAceleraciones

Métodos analíticos y gráficosPares elementales

RotaciónTraslación


Rotaciones (Vectores deslizantes)

Vectores deslizantes FUERZAVectores deslizantes ROTACIÓN

(Resultante de las fuerzas, Momento de las fuerzas)(Rotación, Momento de la rotación)

Velocidad

Reducción del sistema de vectores deslizantes en un punto dado.

NOTA: los vectoresdeslizantes se aplicansobre un sólido rígido


Fuerzas (Vectores deslizantes)

Vectores deslizantes FUERZALa reducción del sistema de vectoresDeslizantes FUERZA en un punto cualquiera P,consiste en :

Posicionar el vector Resultante de las Fuerzas,en dicho punto P.Posicionar el vector Suma de los Momentos delas fuerzas respecto a dicho punto P.


Reducción sistema de fuerzas en un punto

En el punto de contacto PEl sólido rígido superiorActúa mediante un sistemaEquivalente de vectores, Consistente en:- una resultante de las fuerzasActuantes.- un momento suma de los momentos de cada una de lasfuerzas en el punto P.



Vectores deslizantes ROTACIÓNLa reducción del sistema de vectores deslizantesROTACIÓN en un punto cualquiera P, consiste en :

Posicionar el vector Resultante de las Rotaciones, en dicho punto P.

Y

Posicionar el vector Suma de los Momentos de las rotaciones respecto a dicho punto P. (VELOCIDAD DE P)



El sólido rígido afectado por un sistema de rotaciones, puede representarse por el esquema de la figura.Cada bastidor está bajo el efecto de una rotación.Estando todos los ejes de rotación decada bastidor apoyados en el siguiente.Cualquier punto P del sólido rígido estáafectado por una rotación suma de lasde cada bastidor.Cualquier punto P del sólido rígido estáafectado por el momento suma de todaslas rotaciones, es decir su velocidad. w4

SÓLIDO RÍGIDOw1

w3

w2


Movimiento general de un sólido rígido

El sistema de referencia (SF) es fijo

P 0V V OPω= + ∧


Movimiento general en el plano

P 0V V OPω= + ∧

IV 0=

P IV V I P= + ∧ω

Sólido rígido


Cinemática

Ecuaciones Mecánica(dado un SF, SM)

Relaciones vectoriales(A, B Є a un sólido rígido SR)

(Dado un SF, y un SM asociado al SR)

ABS ARR REL

ABS ARR REL

ABS ARR REL COR IOLIS

r =r +r

v =v +v

a a a a= + +

REL

REL COR IOLIS

REL REL COR IOLIS

A AB B

A AB B

A AB B

r =r +r

v =v +v +

+

v

+

0 0

+

v 0, ,

a a

a

a aa

a =

=

= =


Ecuaciones Mecánica(dado un SF, SM)

Relaciones vectoriales(A, B Є a un sólido rígido SR)

(Dado un SF, y un SM asociado a un punto del SR y // al SF)

ABS ARR REL

ABS ARR REL

ABS ARR REL COR IOLIS

r =r +r

v =v +v

a a a a= + +

COR IOLIS

COR IOLI

A AB B

A B AB

A

AB

S

B

r =r +r

v =v + +

+

0 2

v

+

+ +

( )

, v 0

AB

AB AB

rel

a

a a

a

a

rdr rdt

ω

ω ω

ω ω

ω

=

=

×

× × ×

= × =

Cinemática


Cinemática de un eslabónPegados al eslabón en estudio en el punto

C y paralelos al sistema fijo en todo momento

31M(absoluto)

Movimiento absoluto del eslabón 3

respecto a los ejes fijos ligados al

eslabón 1

3CM(relativos)

Rotación alrededor

de C

Movimiento absoluto del eslabón 3

respecto a los ejes fijos ligados al

eslabón 3C1M Movimiento del punto C del

eslabón 3 respecto a los ejes fijos ligados al eslabón 1(arrastre)

31 3C C1v v v= +

Rotación de 3 sobre C

Velocidad de un punto genérico del eslabón 3


Aceleración en un eslabón (I)

Si localizamos los ejes móviles pegados a un punto C del propio eslabón, y mantenemos el SM

31 3C C1a a a 0= + +

TIERRA

≡ eslabón

paralelo al SF

31 3 1 COR IOLISa a a aC C= + +

Interpretación:

31

CORIOLIS SM 3C

a ROT TRAS

a 2 V 0

= +

= ⋅ ∧ ≡ω

0


Aceleración en un eslabón (II)

≡ eslabón

31 32 21 COR IOLISa a a a= + +

ABS ARR REL COR IOLISa a a a= + +

ABS ARR RELv v v= +


Técnicas de determinación de velocidades

1. Método de proyección o componente axial

2. Método de las velocidades giradas

3. Cinema de velocidades

4. Método de las velocidades relativas


1. Método de proyección

AB

A,B

AB v 0cte= ⇒ =

SF

A BAB AB

v v=

Dado y la dirección de conocemosAv Bv ⇒ Bv


2. Método de las velocidades giradas (I)

Técnica gráfica de cálculo de velocidades

Datos: Incógnita:CC, v y A Av

Cinema de velocidades de

ABC (abc)Eslabón

ESLABONω

1. Giramos 90º sentido obtenemos C’

2. Obtenemos A’, siendo

3. Giramos 90º en sentido contrario a el segmento obteniendo

ESLABON CvωCA || C'A'

ESLABONω A A'

Av


2. Método de las velocidades giradas (II)

A

N

v A'

N' N'' v NN''

→

→ → ≡

Cálculo de A

M

v A'

M ' M '' v MM''

→

→ → ≡

Cálculo de Nv Mv

Cínema de velocidades de los

eslabones:

2

4

O A oa

O B ob

AB ab

→

→

→


3. Cínema de velocidades (I)

Sea un eslabón y su CIR en un instante dado.

Luego el vector velocidad se obtiene girando el vector posición 90º en el sentido de la rotación del eslabón y haciendo una expansión o contracción de factor ω.Si lo realizamos para todos los puntos eslabón se obtendrá, posicionando los vectores velocidad en el CIR, el cinema de velocidades (puntos homólogos de los del eslabón).

Ppr

CIR ω

P ∈ eslabón: P P

P P

v r

1

v r

si

k

ω

ω

= ∧

=

= ∧Vector unitario ⊥ al planok

Peslabón PcínemaHOMOLOGÍA

90º ω


3. Cinema de velocidades (II)

Ejemplo de trazado del cinema de velocidades del mecanismo articulado plano para cada eslabón


4. Método de velocidades relativas

Sean Eslabón

A AB B

A, B

v v v

∈

= +

Rotación de B sobre A

Traslación de B

A

B

Av

Bv

Av

BvABv

AB


Cinema de velocidades del eslabón BCD

Eslabón (4)

(1)(2)

Cinema del punto

auxiliar x

Datos:Técnica del punto auxiliar: obtención de la , a partir del esquema de velocidades del eslabón (4)

Encontrar tal que

Localizar un punto de 4, por ejemplo C con velocidad de dirección conocida, de modo que

esté localizado de manera que

Av

xv

X XB BB BA A

X XB BA A

v v vv v v

v v v v

⎧ = +⎪= + ⎨= + +⎪⎩

X (4)∈XB BAv || v BAX≡

X (4)∈

XC Cv || v


Velocidades relativas. Mecanismo de corredera

Eslabón (deslizadera) (4)

Análisis del punto C

Conocido el centro de curvatura de la guía por donde se desliza el eslabón (4), podemos sustituir el mecanismo por el cuadrilátero articulado:

en C se hace el cálculo de

3 3 2 2C C C Cv v v= +

3 2(C C )y

2 0 3O ,C ,C,O

0Cv3 3 0 0C C C Cv v v= +

Dir.

Dir. Dir. Tg. guía

Dato


Polo de velocidades de un eslabónCIR del eslabón (3). es un punto móvil

Eslabón biela

CIR permanentes

CIR del eslabón (2). Es un punto fijo

CIR del eslabón (4). Es un punto fijo

3P

Lugar geométrico de los puntos de la biela posicionados en el sistema fijo a tierra

Lugar geométrico de los puntos de la biela posicionados en el sistema móvil de la biela

fC

mC

describe la curva polar

La rodadura de la curva sobre la define el movimiento del eslabón

fC mC


Curvas polares

Velocidad de cambio de polo

tangente a la curva polar (PROPIEDAD)

u⇒

eslabón

t

3P

tCIRen

⎧≡ ⎨⎩

t t

3P

t tCIR

en+∆

⎧≡ ⎨ + ∆⎩

t t t

t

P Plimt+∆

∆ →∞ ∆

Detalle:

P mC

fC CIR del eslabón (3)

a d

b d

u u u

u u'

= + =

= +

Componentes de Euler-Savary


Fórmula de Euler-Savary (I)

ρA

A

ACC

CIR

Av

Au

La componente de la velocidad de cambio de polo en la dirección paralela a la velocidad de un punto cualquiera del eslabón en estudio guarda relación con la velocidad del punto según las distancias del punto y del CIR al centro de curvatura de la trayectoria desarrollada por el punto.Sea A el punto perteneciente al eslabónSea ρA el centro de curvatura de A

A

A

CA

CA

ACvICu

=


Fórmula de Euler-Savary (II)

Relaciona:

u, , v,CIRρ

Velocidad de cambio de polo:

i i'

B B B A A AAB B A

d CIR CIRut

dS d dS dv vdt dt dt dt

ρ α ρ ατ τ

=∆

⋅ ⋅= = ⋅ = = ⋅

τ Vector unitario tangente

i B

i A

CIR ,B C B B

ACIR ,A C A

dS C d

dS C d

α τ

α τ

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

Componentes deVectores paralelos a

i i'CIR CIR

A BdS ,dS

i A

i B

CIR ,A C iA A A

A

CIR ,B C iB B B

B

dS C CIRPROY. u dS u v

dt

dS C CIRPROY. u dS u v

dt

= = = ⋅ρ

= = = ⋅ρ


Velocidad de cambio de polo

Velocidad del punto A de la

biela 3

Velocidad del punto

B de la biela 3

I13

Obtención gráfica. Aplicación a la biela 3 de un cuadrilátero articulado de la Fórmula de Euler-Savary

A A 3 A, v , CIR uρ ⇒

B B 3 B, v , CIR uρ ⇒

A du u (u )= + ⊥

B du u ' (u ' )= + ⊥

Velocidad cambio de

polo


Teorema de Kennedy (I)

CIR relativo es el punto en el que la velocidad relativa entre dos eslabones dados se anula

Sea un mecanismo articulado plano:

Sean 3 los eslabones: A, B, C.Los 3 CIR relativos 2 a 2 ESTÁN ALINEADOS

A|B B|ACIR CIR=

AB BC CAI , I , I Alineados⇒

Teorema de los tres centros o teorema de

Kennedy

I13

I24 I21 I14

I23

I34


Teorema de Kennedy (II)

Sean: A, B, C los eslabones

Sea ∆ el CIR relativo de A|B

Sea � el CIR relativo de A|C

Sea O el CIR relativo de C|B

A AO |B O |Cv v rad= ≡ α = π

Al calcular las velocidades relativas respecto al eslabón B o C, se observa que son iguales, pues O es un punto CIR relativo

∆ �

Oα Para que sean iguales

los tres CIR relativos ∆, �, O deben estar alineados

A AO |B O |Cv , v


Cálculo de los CIR relativos usando el teorema de Kennedy

( )N N 1N eslabones (CIR relativos)

2⋅ −

⇒

1. Se calculan los CIR absolutos (N,1).

2. Se calculan los CIR relativos en las articulaciones (N,N-1).

3. Se calculan los CIR relativos en las deslizaderas

4. Se aplica el teorema de Kennedy

( )guia⊥ →∞


Escalas gráficas

Escala de longitudes

Escala de velocidades

Escala de aceleraciones

cos⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦cm grafi

cmrealα

coscm graficm seg realβ ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦2βγα

=


Cálculo de la aceleración en puntos pertenecientesa un mismo eslabón (mismo SM)

B A BA

B A BA

B A BA

r r r

v v v

a a a

= +

= +

= +

ddt

ddt

Si A, B Є pieza sólido rígido

AB cte≡ B rota sobre A

BA

BA

BA

r

v

a

Posición de B respecto de A

velocidad de B respecto de A

aceleración de B respecto de A


Posición, velocidad y aceleración de arrastre

P, se mueve respecto al sistema móvilEl sistema móvil está parametrizado por la posición del origen del sistema móvil (O) y el vector de rotación ( ω ) del triedro móvil respecto al triedro fijo.

M

M

M

r

v

a

Posición relativa

velocidad relativa

aceleración relativa

SF

SMO

ω ( )

arr 0

arr 0 M

arr 0 M M

r r

v v r

a a r r

=

= +ω∧

= +α ∧ +ω∧ ω∧

Posición, velocidad y aceleración de arrastre


Estudio de la aceleración (I)

Pto A Є eslabón iPto B Є eslabón iPto C Є eslabón i+1

SM pegado al eslabón i que rota con ωirespecto al SF

SF

SMA B

Ci

i+1

C CA A

C CA A

C CA A CORIOLIS

C i 1, r r r

v v v

a a a a

∈ + = +

= +

= + +

B BA A

B BA A

B BA A

B i, r r r

v v v

a a a

∈ = +

= +

= +

B rota sobre A con ωi

C rota sobre A con ωi

C CA arr CORIOLISa a a a= + +

Rotación SM


Estudio de la aceleración (II)

Caso de movimiento circular

Aceleración de los puntos A y B Є pieza

2t na a= ρ⋅α = ω ⋅ρ

ddtω

cte

B A BAv v v= +

B A BAa a a= +

A

B

Av

BAω

Rotación sobre A

Rotaciónarrastre

CORIOLIS

arr

a 0

v 0

=

=


Ejemplos: Manivela

A Oa a=

A A

AO

C AO t n

a

C O a a a

+

≡ ⇒ = +

AO AOAO t na a a= +

Coincide el CIR = O

Coincide el polo = O de aceleraciones

En general, los puntos del sólido con velocidad nula (CIR) y aceleración nula (polo de aceleraciones) son distintos

CIR Poloaceleraciones≠


Aceleración del polo del cinema de velocidades

I I ' I ''

a a

0

→ →

≠

A

I

POLO VELOCIDAD

A I AIa a a= +

I no es un punto singular en cuanto a

aceleraciones

{ }A B BA Aa a a , ,a= + ω α


Polo de aceleraciones (I)

A I AI Ia a a (a 0 en general); A, I CIR= + ≠ ≡

A B BAa a a ; A, B= +

P A Pa 0 a a∃ = → = APa+

A APa a= Modelo de comportamiento del eslabón en el

instante t en cuanto a

aceleraciones XPa

P POLO DE ACELERACIONES≡

Si conocemos P, el cuerpo se comporta como un sólido rígido en rotación pura en ese instante


Polo de aceleraciones (II)

A

B

Aa

Ba

θ

θ

Polo aceleración

( )PP eslabon a 0∈ ≡ =

A AP

B BP

a a

a a

=

=

APa Aceleración relativa de A alrededor de P, con ω y αdel eslabón

eslabón

(A, B,C) (a, b,c)→

Cinema de aceleraciones


Aceleración normal

Construcción gráfica del vector aceleración normal relacionado con una rotación (pura)

Centro de

rotación

Teorema del cateto Teorema de la altura

ch

m n

2h m n= ⋅( )2c m m n= ⋅ +


Obtención de la aceleración

Obtención de la aceleración de un punto cualquiera del eslabón a partir de la aceleración en A:

B B|A Aa a a= + donde se obtiene la aceleración a partir de la cinemática relativa de B respecto de A


ejemplo

Datos: es decir, conocemos la secuencia gráfica sería:

1. Obtención gráfica de2. Cinema del eslabón 23. Obtención gráfica de4. Obtención gráfica de a partir de

y 5. Obtención gráfica de

AA tv ,a2 2,ω α

Ana

B|AnaAa

Ana Ata

Bna


ejemplo

AA tdatos v , aCinema de

velocidades del eslabón 3

Cinema de velocidades del

eslabón 5

Obtenemos conjuntamente con y tenemos el cinema de

aceleraciones del eslabón 3 y obtenemos

BaAa

Ca


Análisis de aceleraciones (I)

En piezas articuladas

En piezas con contacto deslizante

P1 2

articulación

P 1 o 2∈ (1) ( 2)

(1) ( 2)

P P

P P

a a

v v

=

=

12

3

SM P 1, 2∈Se conoce la dirección de la

velocidad relativa

(1) ( 2)

(1) ( 2)

P P

P P

v v

a a

≠

≠


Análisis de aceleraciones (II)

(3)Av (1)Av(SM )Av

Considero y enclavo en él el A 1∈ ( )1 1SM ,ω α

(abs ) (arr ) ( rel )SM

(3) (1) (SM )

A A A

A A A

v v v

v v v

= +

= +

1

13 2


Cálculo de aceleraciones (III)

dir arrn

dir arrt

SM

Cálculo de Aa3 A AA O n ta a a a (1)= + +

A A

2A

n t 33

va a dir O AO A

= ⊥

A arr rel cora a a a (2)= + +

1arr Oa a=arr arrn t

rel 1

cor 1 r 1 r

a a

comosi A 1

a || O P

a 2 v ( O P y v )

+ +

∈

= ⋅ω ∧ ⊥ ⊥


Cálculo de aceleraciones (IV)

(1) (2) (3) (4) (5)→ → → →Secuencia de cálculo

o

(1)(2)

(3)

(4)

(5)

arrna

Ana Ata

cora

arrta

rel 1dir a || O P

1|| O P

3|| O A

Atdir a

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