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NÚMEROS PRIMOS

En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos

divisores distintos: él mismo y el 1. Los números primos se contraponen así a los compuestos, que

son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por

convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Los números primos menores que cien son los siguientes:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.1

La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo

impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo

par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por .

El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las

matemáticas que comprende el estudio de los números enteros. Los números primos están

presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de

Goldbach. La distribución de los números primos es un tema recurrente de investigación en la

teoría de números: si se consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos

aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien definidas.

Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia

Las muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de 20.000 años (anterior por

tanto a la aparición de la escritura) y que fue hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de

Braucourt,2 parecen aislar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos

interpretan este hecho como la prueba del conocimiento de los números primos. Con todo,

existen muy pocos hallazgos que permitan discernir los conocimientos que tenía realmente el

hombre de aquella época.3

Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo

en Mesopotamia a lo largo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y

atestiguan los conocimientos de la época. Los cálculos requerían conocer los inversos de los

naturales, que también se han hallado en tablillas.4 En el sistema sexagesimal que empleaban

los babilonios para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60 (números

regulares) se calculan fácilmente; por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por 150

(2·60+30) y correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babilonios

necesitaba una sólida comprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los

naturales.

En las matemáticas egipcias, el cálculo de fracciones requería conocimientos sobre las

operaciones, la división de naturales y la factorización. Los egipcios sólo operaban con las

llamadas fracciones egipcias, suma de fracciones unitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1,

2

como , por lo que las fracciones de numerador distinto de 1 se escribían como

suma de inversos de naturales, a ser posible sin repetición en lugar de .5 Es por

ello que, en cierta manera, tenían que conocer o intuir los números primos.6

Antigua Grecia

Un fragmento de los Elementos de Euclides encontrado en Oxirrinco.

La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor

del año 300 a. C. y se encuentra en losElementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los

números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define el máximo común divisor y

el mínimo común múltiplo y proporciona un método para determinarlos que hoy en día se conoce

como el algoritmo de Euclides. Los Elementos contienen asimismo el teorema fundamental de la

aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo de

Mersenne.

La criba de Eratóstenes, atribuida a Eratóstenes de Cirene, es un método sencillo que permite

encontrar números primos. Hoy en día, empero, los mayores números primos que se encuentran

con la ayuda de ordenadores emplean otros algoritmos más rápidos y complejos.

Matemáticas modernas

3

Pierre de Fermat.

Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances en el estudio de los números primos

hasta el siglo XVII. En 1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración) el pequeño

teorema de Fermat, posteriormente demostrado por Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes

se conociera un caso especial de dicho teorema en China.

Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1 eran primos (debido a lo cual se los

conoce como números de Fermat) y verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir, 216 + 1). Sin

embargo, el número de Fermat 232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), como

demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no se conoce ningún número de Fermat que sea

primo aparte de los que ya conocía el propio Fermat.

El monje francés Marin Mersenne investigó los números primos de la forma 2p − 1, con p primo. En

su honor, se los conoce comonúmeros de Mersenne.

En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentran muchos resultados que conciernen a

los números primos. Demostró ladivergencia de la serie , y en 1747

demostró que todos los números perfectos pares son de la forma 2p-1(2p - 1), donde el segundo

factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no existen números perfectos impares, pero

todavía es una cuestión abierta.

A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que,

cuando n tiende a infinito, el número de primos menores o iguales que n es asintótico a ,

donde ln(n) es el logaritmo natural de n. Las ideas que Bernhard Riemann plasmó en un trabajo de

4

1859 sobre la función zeta describieron el camino que conduciría a la demostración del teorema

de los números primos.Hadamard y De la Vallée-Poussin, cada uno por separado, dieron forma a

este esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.

Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por divisiones sucesivas, al menos no si

el número es relativamente grande.

Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o no

factorizando completamente el número siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso

se encuentra el test de Lucas-Lehmer, desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo caso se

encuentra el test de Pépin para los números de Fermat (1877). El caso general de test de

primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamente factorizado

se denomina test de Lucas.

Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización

parcial de p+1 o p-1. Ejemplos de de estos algoritmos son el test de Proth (desarrollado alrededor

de 1878) y el test de Pocklington (1914). En estos algoritmos se requiere que el producto de los

factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raíz cuadrada de p. Más recientemente, en

1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron el test BLS de primalidad que sólo requiere que

dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de p. El mejor método conocido de esta clase es

el test de Konyagin y Pomerance del año 1997, que requiere que dicho producto sea mayor

que p3/10.7 8

A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si

cualquier número es primo o no con complejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en

números de miles de dígitos, aunque son mucho más lentos que los métodos anteriores. Ejemplos

de estos algoritmos son el test APRT-CL (desarrollado en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely,

con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usan los factores de pm-1, donde

el exponente m depende del tamaño del número cuya primalidad se desea verificar, el test de

primalidad por curvas elípticas (desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A.

O. L. Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permite después

confirmar rápidamente si el número es primo o no. El desarrollo más reciente es el test de

primalidad AKS (2002), que si bien su complejidad es polinómica, para los números que puede

manejar la tecnología actual es el más lento de los tres.

Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada

fuera de la matemática pura.9 10 Esto cambió en los años 1970 con el desarrollo de la criptografía

de clave pública, en la que los números primos formaban la base de los primeros algoritmos, tales

como el algoritmo RSA.

Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda

de ordenadores. La búsqueda de números primos cada vez mayores ha suscitado interés incluso

fuera de la comunidad matemática. En los últimos años han ganado popularidad proyectos

5

de computación distribuida tales como el GIMPS, mientras los matemáticos siguen investigando

las propiedades de los números primos.

Primalidad del número 1

La cuestión acerca de si el número 1 debe o no considerarse primo está basada en la convención.

Ambas posturas tienen sus ventajas y sus inconvenientes. De hecho, hasta el siglo XIX, los

matemáticos en su mayoría lo consideraban primo. Muchos trabajos matemáticos siguen siendo

válidos a pesar de considerar el 1 como un número primo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel.

La lista de Derrick Norman Lehmer de números primos hasta el 10.006.721, reimpresa hasta el año

195611 empezaba con el 1 como primer número primo.12

Actualmente, la comunidad matemática se inclina por no considerar al 1 en la lista de los números

primos. Esta convención, por ejemplo, permite una formulación muy económica del teorema

fundamental de la aritmética: «todo número natural tiene una representación única como

producto de factores primos, salvo el orden».13 14 Además, los números primos tienen numerosas

propiedades de las que carece el 1, tales como la relación del número con el valor correspondiente

de la función φ de Euler o la función suma de divisores.15

Propiedades de los números primos

Teorema fundamental de la aritmética

Artículo principal: Teorema fundamental de la aritmética.

Esta ilustración muestra que el 11 es un número primo, pero el 12 no lo es.

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una

representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo

puede aparecer varias veces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.

Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se construye cualquier

número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y

6

cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto

por el orden de los factores.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los

números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teorema requeriría

aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy

utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y

la coprimalidad de dos o más números. Así,

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes

de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se

toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el

mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de

todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el

ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2.

Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor

primo común; es decir, si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así,

coprimo con cualquier número natural que no sea múltiplo de él mismo.

Otras propiedades

En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7

ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un

número finito acaban en una cifra que es coprima con la base.

De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o

bien 4n - 1. Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o

6n - 1.

Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab,

entonces p es divisor de a o de b.

Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1,

entonces ap - a es divisible por p.

Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en su representación

decimal, de periodo p − 1 o un divisor de p − 1. Esto se puede deducir directamente a

partir del pequeño teorema de Fermat. expresado en base q (en lugar de en base 10)

tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q.

7

Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es

divisible por n. Asimismo, un número natural n > 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es

divisible por n.

La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.

Primer teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, p primo y pn es la mayor potencia

de p que divide el orden de G. Entonces, existe un subgrupo de G de orden pn.

Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden

de G, entonces G contiene un elemento de orden p.

La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida

por concatenación de los números primos en el sistema decimal, es un número irracional.

El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da como una

continuación meromorfa de una función definida por un producto sobre el conjunto de

todos los primos para Re(s) > 1:

En la región donde es convergente, este producto indexado por los números primos se puede

calcular, obteniéndose diversos valores, algunos de ellos importantes en teoría de números. Los

dos primeros son:

(Correspondiente a la serie armónica, relacionado con la infinitud de

números primos).

(Correspondiente al problema de Basilea).

En general es un número racional cuando n es un número entero positivo par.

El anillo es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y

solo si φ(p) = p − 1.

Si p > 1, el polinomio x p-1+x p-2+ ··· + 1 es irreducible sobre si y sólo si p es primo.

8

Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la primera

especie Tn(x), dividido entre x, es irreducible en . Además, Tn(x) ≡ xn si y sólo si n es

primo.

Números primos y funciones aritméticas

Las funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de

números naturales, desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes

son las funciones multiplicativas, que son aquellas funciones f en las cuales, para cada par de

números coprimos (a,b) se tiene

.

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función φ de Euler, que a cada n asocia el

número de enteros positivos menores y coprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada n asocian

respectivamente el número de divisores de n y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones

en las potencias de números primos es

,

,

.

Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a

partir del valor que toman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número

natural n de factorización

se tiene que

con lo que se ha reconducido el problema de calcular f(n) al de calcular f sobre las potencias de los

números primos que dividen n, valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante

una fórmula general. Por ejemplo, para conocer el valor de la función φ sobre n=450=2·32·52 basta

con calcular

.

Características del conjunto de los números primos

Infinitud de los números primos

9

Véase también: Infinitud de los números primos.

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del

año 300 a. C. en el libro IX de su obra Elementos16 Una adaptación común de esta demostración

original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y

se considera el producto de todos ellos más uno, . Este

número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede

ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto

original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q.

Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la

diferencia , pero ningún número primo divide a 1, es

decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia

es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no

pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.

Si se toma como conjunto el de los n primeros números primos,

entonces , donde pn# es lo que se

llama primorial de pn. Un número primo de la forma pn# +1 se denomina número primo de

Euclides en honor al matemático griego. También se puede elaborar una demostración similar a la

de Euclides tomando el producto de un número dado de números primos menos uno, el lugar del

producto de esos números primos más uno. En ese sentido, se denomina número primo

primorial a un número primo de la forma pn# ± 1.

No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la

demostración anterior, todos los factores primos deberán ser mayores que n. Por ejemplo:

2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509

Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos

procedentes de áreas de las matemáticas tales como al álgebra conmutativa y

latopología.17 Algunas de estas demostraciones se basan en el uso de sucesiones infinitas con la

propiedad de que cada uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por lo que se crea

una biyección entre los términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los

primos.

Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, que deriva de la

demostración euclídea de la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se

define como el factor primo más pequeño de uno más el producto de todos los términos

anteriores. La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puesto que cada uno de sus

términos es igual a uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta

última sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los

10

demás, por lo que se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de

ellos, y el conjunto resultante será un conjunto infinito cuyos términos son todos primos.

Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos

Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue

descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que la serie

es divergente. Uno de los teoremas de Mertens concreta más, estableciendo que

18

donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0,

donde los valores de C y n0 no están especificados.19

Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:

En toda progresión

aritmética an = a + n·q, donde los

enteros positivos a, q ≥ 1 son primos

entre sí, existen infinitos términos que

son primos.

El postulado de Bertrand enuncia así:

Si n es un número natural mayor que 3,

entonces siempre existe un número

primo p tal que n < p < 2n- 2.

Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1,

entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en

una progresión geométrica de primer término entero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada

término de la progresión y el siguiente, se tiene al menos un número primo.

Frecuencia de los números primos

Véase también: Teorema de

los números primos.

11

Comparación entre las

funciones π(n) (azul), n /

ln n(verde) y Li(n) (rojo); se

puede ver que la

aproximación de π(n) con

Li(n) es mejor que la que

hay con

Una vez demostrado la

infinitud de los números

primos, cabe preguntarse cómo se distribuyen los primos entre los números naturales, es decir,

cuán frecuentes son y dónde se espera encontrar el n-ésimo número primo. Este estudio lo

iniciaron Gauss y Legendre de forma independiente a finales del siglo XVIII, para el cual

introdujeron lafunción enumerativa de los números primos π(n), y conjeturaron que su valor fuese

aproximadamente

.20

El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros resultados fueron

obtenidos entre 1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostró utilizando métodos

puramente aritméticos la existencia de dos constantes Ay B tales que

para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del cociente de

aquellas expresiones, éste debía ser 1.

10 4 −0,3 2,2 2,500

102 25 3,3 5,1 4,000

103 168 23 10 5,952

104 1.229 143 17 8,137

105 9.592 906 38 10,425

106 78.498 6.116 130 12,740

107 664.579 44.158 339 15,047

108 5.761.455 332.774 754 17,357

109 50.847.534 2.592.592 1.701 19,667

1010 455.052.511 20.758.029 3.104 21,975

... ... ... ... ...

12

Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896, independientemente el

uno del otro, usando métodos similares, basados en el uso de la función zeta de Riemann, que

había sido introducida por Bernhard Riemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 para

encontrar una demostración que usara sólo métodos elementales (es decir, sin usar el análisis

complejo). Esta demostración fue ideada por Selberg y Erdős. Actualmente, se conoce el teorema

como teorema de los números primos.

El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función logaritmo integral:

.

En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete aproximando de esta

forma es

para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo

largo de los años. Por otra parte, en 1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era

cierta, se tenía la siguiente estimación, más precisa:21

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo número primo,

queda bien aproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente mayor que este valor.

Diferencia entre dos primos consecutivos

Artículo principal: Diferencia entre dos números primos consecutivos.

Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalos entre dos

primos consecutivos. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser

siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un

número par y por tanto compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que

son gemelos, y con la salvedad del "triplete" formado por los números 3, 5 y 7, los números

gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre tres

números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto

compuesto. Los primeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y

(29, 31).

Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado

un número natural n, se denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los números

naturales comprendidos entre 1 y n. Los números

13

(n+1)!+2, (n+1)!+3,···,(n+1)!+n+1

son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por tanto, es

compuesto. La sucesión, que comprende n enteros consecutivos, no contiene ningún número

primo. Por ejemplo, si n=5, estos valores corresponden a:

6!+2=722=2·361

6!+3=723=3·241

6!+4=724=4·181

6!+5=725=5·145

6!+6=726=6·121

El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.22 De todas formas, el menor número primo que dista del

siguiente en n es generalmente mucho menor que el factorial, por ejemplo, el caso más pequeño

de dos primos consecutivos separados de ocho unidades es (89, 97), mientras que 8! es igual a

40.320.

La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos23 ha sido profusamente estudiada en

matemáticas, y alrededor de este concepto se han establecido muchas conjeturasque permanecen

sin resolver.

Conclusión

La distribución de todos los números primos comprendidos entre 1 y 76.800, de izquierda a

derecha y de arriba abajo. Cada pixel representa un número. Los píxeles negros representan

números primos; los blancos representan números no primos.

14

Imagen con 2310 columnas que conserva múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11 en las columnas respectivas.

Como cabe esperar, los números primos caerán en columnas concretas si los números están

ordenados de izquierda a derecha y el ancho es un múltiplo de un número primo. Sin embargo, los

números primos también quedan distribuidos de manera ordenada en construcciones espirales

como la espiral de Ulam, ya que tienden a concentrarse en algunas diagonales concretas y no en

otras.

El modelado de la distribución de los números primos es un tema de investigación recurrente

entre los teóricos de números. La primalidad de un número concreto es (hasta ahora)

impredecible a pesar de que existen leyes, como el teorema de los números primosy el postulado

de Bertrand, que gobiernan su distribución a gran escala. Leonhard Euler comentó:

Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar algún orden en la sucesión

de los números primos, y tenemos motivos para creer que es un misterio en el que la mente jamás

penetrará.24

En una conferencia de 1975, Don Zagier comentó:

Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que espero convencerles de

forma tan incontestable que quedarán permanentemente grabados en sus corazones. El primero

es que, a pesar de su definición simple y del papel que desempeñan como ladrillos con los que se

construyen los números naturales, los números primos crecen como malas hierbas entre los

números naturales, y no parecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede

predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún más asombroso, ya que dice justo lo

contrario: que los números primos muestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que

gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar.25

Encontrar números primos

Tests de primalidad

Véase también: Test de primalidad.

15

La criba de Eratóstenes fue concebida por Eratóstenes de Cirene, un matemático griego del siglo

III a. C. Es unalgoritmo sencillo que permite encontrar todos los números primos menores o

iguales que un número dado.

La criba de Eratóstenes es una manera sencilla de hallar todos los números primos menores o

iguales que un número dado. Se basa en confeccionar una lista de todos los números naturales

desde el 2 hasta ese número y tachar repetidamente los múltiplos de los números primos ya

descubiertos. La criba de Atkin, más moderna, tiene una mayor complejidad, pero si se optimiza

apropiadamente también es más rápida. También existe una reciente criba de Sundaram que

genera únicamente números compuestos, siendo los primos los números faltantes.

En la práctica, lo que se desea es determinar si un número dado es primo sin tener que

confeccionar una lista de números primos. Un método para determinar la primalidad de un

número es la división por tentativa, que consiste en dividir sucesivamente ese número entre los

números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Si alguna de las divisiones es exacta,

entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dado n menor o igual

que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que el

siguiente número primo, 11, ya es mayor que √120. Es el test de primalidad más sencillo, y

rápidamente pierde su utilidad a la hora de comprobar la primalidad de números grandes, ya que

el número de factores posibles crece demasiado rápido a medida que crece el número

potencialmente primo.

En efecto, el número de números primos menores que n es aproximadamente

.

De esta forma, para determinar la primalidad de n, el mayor factor primo que se necesita no es

mayor que √n, dejando el número de candidatos a factor primo en cerca de

16

.

Esta expresión crece cada vez más lentamente en función de n, pero, como los n grandes son de

interés, el número de candidatos también se hace grande: por ejemplo, para n = 1020 se tienen 450

millones de candidatos.

Asimismo, existen otros muchos tests de primalidad determinísticos que se basan en propiedades

que caracterizan a los números primos, pero su utilidad computacional depende mucho del test

usado. Por ejemplo, se podría emplear elteorema de Wilson para calcular la primalidad de un

número, pero tiene el inconveniente de requerir el cálculo de unfactorial, una operación

computacionalmente prohibitiva cuando se manejan números grandes. Aquí entre en juego

el tiempo de ejecución del algoritmo empleado, que se expresa en la notación de Landau. Para

poder determinar la primalidad de números cada vez más grandes (de miles de cifras) se buscan

aquellos algoritmos cuyo tiempo de ejecución crezca lo más lentamente posible, a ser posible, que

se pueda expresar como un polinomio. Si bien el test de primalidad AKS cumple con esta

condición, para el rango de números que se usa en la práctica este algoritmo es extremadamente

lento.

Por otra parte, a menudo basta con tener una respuesta más rápida con una

alta probabilidad (aunque no segura) de ser cierta. Se puede comprobar rápidamente la

primalidad de un número relativamente grande mediante tests de primalidad probabilísticos.

Estos tests suelen tomar un número aleatorio llamado "testigo" e introducirlo en una fórmula

junto con el número potencialmente primo n. Después de varias iteraciones, se resuelve que n es

"definitivamente compuesto" o bien "probablemente primo". Estos últimos números pueden ser

primos o bien pseudoprimos (números compuestos que pasan el test de primalidad). Algunos de

estos tests no son perfectos: puede haber números compuestos que el test considere

"probablemente primos" independientemente del testigo utilizado. Esos números reciben el

nombre de pseudoprimos absolutos para ese test. Por ejemplo, losnúmeros de Carmichael son

números compuestos, pero el test de Fermat los evalúa como probablemente primos. Sin

embargo, los tests probabilísticos más utilizados, como eltest de Miller-Rabin o el obsoleto test de

Solovay-Strassen, superado por el anterior, no tienen este inconveniente, aun siendo igualmente

tests probabilísticos.

Algunos tests probabilísticos podrían pasar a ser determinísticos y algunos tests pueden mejorar

su tiempo de ejecución si se verifican algunas hipótesis matemáticas. Por ejemplo, si se verifica

la hipótesis generalizada de Riemann, se puede emplear una versión determinística del test de

Miller-Rabin, y el test de primalidad por curvas elípticas podría mejorar notablemente su tiempo

de ejecución si se verificaran algunas hipótesis de teoría analítica de números.

Algoritmos de factorización

17

Un algoritmo de factorización es un algoritmo que separa uno a uno los factores primos de un

número. Los algoritmos de factorización pueden funcionar también a modo de tests de

primalidad, pero en general tienen un tiempo de ejecución menos ventajoso. Por ejemplo, se

puede modificar el algoritmo de división por tentativa de forma que no se detenga cuando se

obtenga una división exacta, sino que siga realizando nuevas divisiones, y no sobre el número

original, sino sobre el cociente obtenido. Después de la división por tentativa, los métodos más

antiguos que se conocen son el método de Fermat, que se basa en las diferencias

entre cuadrados y que es especialmente eficaz cuando n es el producto de dos números primos

próximos entre sí, y el método de Euler, que se basa en la representación de n como suma de dos

cuadrados de dos formas distintas.

Más recientemente, se han elaborado algoritmos basados en una gran variedad de técnicas, como

las fracciones continuas o las curvas elípticas, aunque algunos son mejoras de métodos anteriores

(la criba cuadrática, por ejemplo, se basa en una mejora del método de Fermat y posee

complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de n). Otros, como

el método rho de Pollard, son probabilísticos, y no garantizan hallar los divisores de un número

compuesto.

Hoy por hoy, el algoritmo determinístico más rápido de uso general es el general number field

sieve, que también posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras

de n.26 Se ha propuesto un algoritmo cuyo tiempo de ejecución es polinómico sobre el número de

cifras de n (el algoritmo de Shor), pero requiere ser ejecutado en un ordenador cuántico, ya que su

simulación en un ordenador normal requiere un tiempo exponencial. No se conocen algoritmos

para factorizar en una computadora tradicional en tiempo polinómico y tampoco se demostró que

esto sea imposible.

Fórmulas que sólo generan números primos

Véase también: Fórmula de los números primos.

A lo largo de la historia, se han buscado numerosas fórmulas para generar los números primos. El

nivel más alto de exigencia para una fórmula así sería que asociara a cada número natural n el n-

ésimo número primo. De forma más indulgente, se puede pedir una función f que asocie a cada

número natural n un número primo de tal forma que cada uno de los valores tomados sólo

aparezca una vez.

Además, se desea que la función se pueda calcular en la práctica.27 Por ejemplo, el teorema de

Wilson asegura que p es un número primo si y sólo si (p-1)!≡-1 (mod p). Otro ejemplo: la función

f(n) = 2 + ( 2(n!) mod (n+1)) genera todos los números primos, sólo los números primos, y sólo el

valor 2 se toma más de una vez. Sin embargo, ambas fórmulas se basan en el cálculo de un

factorial, lo que las hace computacionalmente inviables.

En la búsqueda de estas funciones, se han investigado notablemente las funciones polinómicas.

Cabe subrayar que ningún polinomio, aun en varias variables, toma sólo valores primos.28 Por

18

ejemplo, el polinomio en una variable f(n) = n² − n + 41 devuelve valores primos para n = 0,…, 40,

43, pero f(41) y f(42) son compuestos. Si el término constante vale cero, entonces el polinomio es

múltiplo de n, por lo que el polinomio es compuesto para valores compuestos de n. En caso

contrario, si c es el término constante, entonces f(cn) es múltiplo de c, por lo que si el polinomio

no es constante, necesariamente deberá incluir valores compuestos.

Sin embargo, hay polinomios en varias variables cuyos valores positivos (cuando las variables

recorren los números naturales) son precisamente los números primos. Un ejemplo es este

polinomio descubierto por Jones, Sato, Wada y Wiens en 1976:28

Al igual que ocurre con las fórmulas con factoriales, este polinomio no es práctico de calcular, ya

que, aunque los valores positivos que toma son todos primos, prácticamente no devuelve otra

cosa que valores negativos cuando se hacen variar las variables a a z de 0 a infinito.

Otro enfoque al problema de encontrar una función que sólo genere números primos viene dado a

partir del teorema de Mills, que indica que existe una constante θ tal que

es siempre un número primo, donde es la función piso.29 Todavía no se conoce ninguna fórmula

para calcular la constante de Mills, y las aproximaciones que se emplean en la actualidad se basa

en la sucesión de los así llamados números primos de Mills (los números primos generados

mediante esta fórmula), que no pueden ser obtenidos rigurosamente, sino sólo de manera

probabilística, suponiendo cierta la hipótesis de Riemann.

Clases de números primos

De mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más

rápidas de implementar, sobre todo si existe un algoritmo especializado que permita calcular

rápidamente la primalidad de los valores que van tomando. A partir de estas fórmulas se obtienen

subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de los números primos, que suelen recibir un

nombre colectivo.

19

Primos primoriales y primos factoriales

Véanse también: Número primo primorial y número primo factorial.

Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana de la

infinitud de los números primos, son los de la forma p = n# ± 1 para algún número natural n,

donde n# es igual al producto 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de todos los primos ≤ n. Asimismo, un número

primo se dice primo factorial si es de la forma n! ± 1. Los primeros primos factoriales son:

n! − 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …30

n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …31

Números primos de Fermat

Véase también: Número de Fermat.

Construcción de un pentágonoregular. 5 es un número primo de Fermat.

Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonos regulares con regla y compás, son

los números de la forma , con n natural. Los únicos números primos de Fermat

que se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propio Fermat, correspondientes

a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valores de n entre 5 y 32 estos números son compuestos.32

Para determinar su primalidad, existe un test especializado cuyo tiempo de ejecución es

polinómico: el test de Pépin. Sin embargo, los propios números de Fermat crecen tan rápidamente

que sólo se lo ha podido aplicar para valores de n pequeños. En 1999 se lo aplicó para n = 24. Para

determinar el carácter de otros números de Fermat mayores se utiliza el método de divisiones

sucesivas y de esa manera a fecha dejunio de 2009 se conocen 241 números de Fermat

compuestos, aunque en la mayoría de los casos se desconozca su factorización completa.32

Números primos de Mersenne

Véase también: Número primo de Mersenne.

20

Los números de Mersenne son los de forma Mp = 2p – 1, donde p es primo.33 Los mayores números

primos conocidos son generalmente de esta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz,

el test de Lucas-Lehmer, para determinar si un número de Mersenne es primo o no.

Actualmente, el mayor número primo que se conoce es M43.112.609 = 243.112.609 - 1, que tiene

12.978.189 cifras en el sistema decimal. Se trata cronológicamente del 45º número primo de

Mersenne conocido y su descubrimiento se anunció el 23 de agosto de 2008 gracias al proyecto

de computación distribuida «Great Internet Mersenne Prime Search» (GIMPS). Desde entonces, se

han descubierto otros dos números primos de Mersenne, pero son menores que el 45º.34 35

Otras clases de números primos

Existen literalmente decenas de apellidos que se pueden añadir al concepto de número primo para

referirse a un subconjunto que cumple alguna propiedad concreta. Por ejemplo, los números

primos pitagóricos son los que se pueden expresar en la forma 4n+1. Dicho de otra forma, se trata

de los números primos cuyo resto al dividirlos entre 4 es 1. Otro ejemplo es el de los números

primos de Wieferich, que son aquellos números primos p tales que p2 divide a 2p-1 - 1.

Algunas de estas propiedades se refieren a una relación concreta con otro número primo:

Números primos gemelos: p y p+2 lo son si son los dos primos.

Número primo de Sophie Germain: dado p primo, es de Sophie Germain si 2p + 1 también

es primo. Una sucesión de números p1,p2,p3,··· ,pn todos ellos primos, tales quepi+1=2pi+1

para todo i ∈ {1,2,···,n-1 }, se denomina cadena (completa) de Cunningham de primera

especie, y cumple por definición que cada uno de los términos, salvo el último, es un

número primo de Sophie Germain. Se cree que para todo n natural existen infinitas

cadenas de Cunningham de longitud n,36 aunque hasta la fecha nadie ha proporcionado

prueba de que dicha afirmación sea cierta.

Número primo de Wagstaff: p lo es si , donde q es otro número primo.37 38

También se les da nombres especiales a algunas clases de primos que dependen de la base de

numeración empleada o de la forma de escribir los dígitos, y no de una fórmula matemática. Es el

caso de los números somirp (primos al revés), que son aquellos números primos tales que el

número obtenido al invertir el orden de sus cifras también es primo. También es el caso de

los números primos repunit, que son aquellos números primos que son concatenación de unos. Si,

en lugar de considerarse el sistema de numeración decimal se considera el binario, se obtiene otro

conjunto distinto de números primos repunit que, además, coincide con el de los números primos

de Mersenne. Finalmente, losnúmeros primos triádicos son aquellos números que son

primos, capicúas y simétricos respecto de una recta horizontal.

El que se le dé un nombre a una clase de números primos con una definición precisa no significa

que se conozca algún número primo que sea de esa clase. Por ejemplo, no se conoce hasta el

21

momento ningún número primo de Wall-Sun-Sun, pero su relevancia radica en que en 1992, antes

de la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, se descubrió que la falsedad del

teorema para un número primo p dado implicaba que p era un número primo de Wall-Sun-Sun.

Esto hizo que, durante un tiempo, la búsqueda de números primos de esta clase fuera también la

búsqueda de un contraejemplo del último teorema de Fermat.39

Conjeturas

Existen numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son

problemas bien antiguos, y una de las más significativas es la hipótesis de Riemann, varias veces

mencionada en este artículo como una conjetura que, de ser cierta, permitiría conocer numerosos

resultados relevantes en diversos campos de las matemáticas.

Hipótesis de Riemann

Véase también: Hipótesis de Riemann.

Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha

(2013), sigue sin resolverse, es necesario entender la función zeta de Riemann. Sea un número

complejo con parte real mayor que 1. Entonces,

La segunda igualdad es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética, y muestra

que la función zeta está íntimamente relacionada con los números primos.

Existen dos tipos de ceros de la función zeta, es decir, valores s para los cuales ζ(s) = 0: los triviales,

que son s=-2, s=-4, s=-6, etc. (los enteros pares negativos) y los no triviales, que son aquellos ceros

que no se encuentran en el eje real. Lo que indica la hipótesis de Riemann es que la parte real de

todos los ceros no triviales es igual a 1/2.

La veracidad de la hipótesis implica una profunda conexión con los números primos, en esencia,

en el caso de verificarse, dice que los números primos están distribuidos de la forma más regular

posible. Desde un punto de vista «físico», dice grosso modo que las irregularidades en la

distribución de los números primos sólo proceden de ruido aleatorio. Desde un punto de vista

matemático, dice que la distribución asintótica de los números primos (según el teorema de los

números primos, la proporción de primos menores que nes ) también es cierta para

intervalos mucho menores, con un error de aproximadamente la raíz cuadrada de n (para

intervalos próximos a n). Está ampliamente extendido en la comunidad matemática que la

hipótesis sea cierta. En concreto, la presunción más simple es que los números primos no deberían

tener irregularidades significativas en su distribución sin una buena razón.40

Otras conjeturas

22

Infinitud de ciertos tipos de números primos

Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se

conjetura que hay infinitos números primos de Fibonacci41 e infinitos primos de Mersenne, pero

sólo un número finito de primos de Fermat.42 No se sabe si hay infinitos números primos de

Euclides.

Distribución de los números primos

También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la

distribución de los números primos. Así, la conjetura de los números primos gemelosenuncia que

hay infinitos números primos gemelos, que son pares de primos cuya diferencia es de 2.

La conjetura de Polignac es una versión más general y más fuerte de la anterior, ya que enuncia

que, para cada entero positivo n, hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en 2n. A

su vez, una versión más débil de la conjetura de Polignac dice que todo número par es la

diferencia de dos números primos.

Asimismo, se conjetura la infinidad de los primos de la forma n2 + 1. Según la conjetura de Brocard,

entre los cuadrados de primos consecutivos mayores que 2 existen siempre al menos cuatro

números primos. La conjetura de Legendre establece que, para cada n natural, existe un número

primo entre n2 y (n+1)2. Finalmente, la conjetura de Cramér, cuya veracidad implicaría la de

Legendre, dice que:

Teoría aditiva de números

Otras conjeturas relacionan algunas propiedades aditivas de los números con los números primos.

Así, la conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma

de dos números primos, aunque también existe una versión más débil de la misma conjetura

según la cual todo número impar mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números

primos. El matemático chino Chen Jingrun demostró, en 1966, que en efecto, todo número par

suficientemente grande puede expresarse como suma de dos primos o como la suma de un primo

y de un número que es el producto de dos primos. ("semi-primo").43

Los cuatro problemas de Landau

En 1912, Landau estableció en el Quinto Congreso Internacional de Matemáticos de Cambridge

una lista de cuatro de los problemas ya mencionados sobre números primos, que se conocen

como los problemas de Landau. Ninguno de ellos está resuelto hasta la fecha. Se trata de la

conjetura de Goldbach, la de los números primos gemelos, la de Legendre y la de los primos de la

forma n2 + 1.44

Generalización del concepto de número primo

23

El concepto de número primo es tan importante que se ha visto generalizado de varias maneras en

diversas ramas de las matemáticas.

Elementos primos en un anillo

Representación de los primos gaussianos de norma menor o igual a 500. Los primos gaussianos

son, por definición, los enteros gaussianos que son primos.

Se pueden definir los elementos primos y los elementos irreducibles en cualquier dominio de

integridad.45 En cualquier dominio de factorización única, como por ejemplo, el anillo de los

enteros, el conjunto de elementos primos equivale al conjunto de los elementos irreducibles, que

en es {…, −11, −7, −5, −3, −2, 2, 3, 5, 7, 11, …}.

Considérense por ejemplo los enteros gaussianos , es decir, los números complejos de la

forma a+bi con a, b ∈ . Este es un dominio de integración, y sus elementos primos son

los primos gaussianos. Cabe destacar que el 2 no es un primo gaussiano, porque admite

factorización como producto de los primos gaussianos (1+i) y (1-i). Sin embargo, el elemento 3 sí

es primo en los enteros gaussianos. En general, los primos racionales (es decir, los elementos

primos del anillo ) de la forma 4k+3 son primos gaussianos, pero no lo son aquellos de la forma

4k+1.

Ideales primos

En teoría de anillos, un ideal I es un subconjunto de un anillo A tal que

si i, j ∈ I, entonces la suma i + j pertenece a I

y si x ∈ A, i ∈ I, entonces los productos a × i, i × a pertenecen a I.

Un ideal primo se define entonces como un ideal que cumple también que:

24

para cualquier par de elementos a, b del anillo A tales que su producto a × b pertenece a I,

entonces, al menos uno de los dos elementos, a o b, está en I.

I no es el anillo A entero.

Los ideales primos son una herramienta relevante en álgebra conmutativa, teoría algebraica de

números y geometría algebraica. Los ideales primos del anillo de enteros son los ideales (0), (2),

(3), (5), (7), (11), …

Un problema central en teoría algebraica de números es la manera en que se factorizan los ideales

primos cuando se ven sometidos a una extensión de cuerpos. En el ejemplo de los enteros

gaussianos, (2) se ramifica en potencia de un primo (ya que y generan el mismo

ideal primo), los ideales primos de la forma son inertes(mantienen su primalidad) y los

de la forma pasan a ser producto de dos ideales primos distintos.

Primos en teoría de la valoración

En teoría algebraica de números surge otra generalización más. Dado un cuerpo , reciben el

nombre de valoraciones sobre determinadas funciones de en . Cada una de estas

valoraciones genera una topología sobre , y se dice que dos valoraciones son equivalentes si

generan la misma topología. Un primo de es una clase de equivalenciade valoraciones. Con

esta definición, los primos del cuerpo de los números racionales quedan representados por la

función valor absoluto así como por las valoraciones p-ádicassobre para cada número primo p.

Nudos primos

En teoría de nudos, un nudo primo es un nudo no trivial que no se puede descomponer en dos

nudos más pequeños. De forma más precisa, se trata de un nudo que no se puede escribir

como suma conexa de dos nudos no triviales.

En 1949 Horst Schubert demostró un teorema de factorización análogo al teorema fundamental

de la aritmética, que asegura que cada nudo se puede obtener de forma única como suma conexa

de nudos primos.46 Por este motivo, los nudos primos desempeñan un papel central en la teoría de

nudos: una clasificación de los nudos ha sido desde finales del siglo XIX el tema central de la teoría.

Algunos nudos primos.

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