Contribuciones de euler a la teoría de números
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UNIVERSIDAD PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y TECNOLOGÍAS ESCUELA DE MATEMÁTICA CONTRIBUCIONES DE EULER A LA TEORÍA DE NÚMEROS ALBERTO R. SEGURA A. CED: 8-813-1358 TRABAJO DE GRADUACIÓN PARA OPTAR AL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMATICAS 2011
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UNIVERSIDAD PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y TECNOLOGÍAS
ESCUELA DE MATEMÁTICA
CONTRIBUCIONES DE EULER A LA TEORÍA DE NÚMEROS
ALBERTO R. SEGURA A.
CED: 8-813-1358
TRABAJO DE GRADUACIÓN PARA OPTAR AL TÍTULO DE
LICENCIADO EN MATEMATICAS
2011
DEDICATORIA
En especial a mis padres Gisela Alemán de Segura y Ricardo Segura por su apoyo incondicional, a todos mis hermanos por haber sido una gran motivación en mis estudios.
A mis amigos por brindarme sus consejos y a Lérida Linares por estar siempre a mi lado apoyándome
AGRADECIMIENTO
Primeramente a Dios por darme la oportunidad de estudiar y darme la capacidad de
realizar este trabajo, a mis padres, al Dr. Jaime Gutiérrez por su asesoramiento y
orientación , a todos los profesores del departamento que me impartieron clases, a mis
amistades y a todos aquellos que de alguna u otra forma han estado apoyándome en
este proceso académico.
INDICE
DEDICATORIA
AGRADECIMIENTO
INTRODUCCIÓN
CONTENIDO
Biografía de Euler
o Teoría de Números
o Contribuciones a la teoría de números
Contexto Histórico
o Historia
Desarrollo de las contribuciones de Euler a la teoría de números
o El pequeño teorema de Fermat
o Teorema de Euler
o Números perfectos
o Teorema de los números primos
o Suma de los Inversos de los Números Primos
o El Producto de Euler para la Función Zeta de Riemann.
o El teorema de Fermat sobre la Suma de Dos Cuadrados
o Teorema de los Cuatros Cuadrados
CONSLUSIÓN
BIBLIOGRAFÍA
INTRODUCCIÓN
Este trabajo tiene como propósito presentar los aportes, a la Teoría de Números, de
uno de los matemáticos más importante de todos los tiempos: Leonhard Euler. La vida
de este matemático suizo es tan inspiradora como la cantidad de contribuciones que
hizo a la Matemática.
El tema a desarrollar es: Contribuciones de Euler a la Teoría de Números.
El contenido de este trabajo está estructurado de la siguiente manera:
Un Contexto Histórico que trata de cómo Euler fue conocido en sus tiempos y
las contribuciones que hizo a las diferentes áreas de la matemáticas, física,
astronomía, música, entre otras.
La biografía de Leonard Euler
Desarrollo de las contribuciones de Euler a la teoría de números
Leonhard Euler
A finales del siglo XVII y a principios del
XVIII, Suiza fue el lugar de nacimiento de muchas de
las figuras más importantes de la matemática de la
época. Se puede mencionar la obra del clan de los
Bernoulli, así como la de Hermann, uno de sus
protegidos suizos, pero el matemático más destacado
que produjo Suiza durante esta época (o en cualquier
otra de la historia) fue Leonhard Euler.
Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza y murió el 18 de
septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Hijo de Paul Euler, un pastor
calvinista, y de Marguerite Brucker, hija de otro pastor.
Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos
los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes
descubrimientos en áreas tan diversas. También introdujo gran parte de la moderna
terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis
matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.
Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras
completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.
En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10
francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y
rusos.
Por su parte, Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli, famosa familia de
matemáticos entre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era ya
considerado el principal matemático europeo, y que ejercería una gran influencia
sobre el joven Leonhard.
A la edad de 13 años se matriculó en la Universidad de Basilea, y en 1723 recibiría el
título de maestro de Filosofía tras una disertación comparativa de las filosofías de
René Descartes e Isaac Newton. Por entonces, Euler recibía lecciones particulares de
Johann Bernoulli todos los sábados por la tarde, quien descubrió rápidamente el
increíble talento de su nuevo pupilo para las matemáticas.
En 1726 Euler finalizó su Doctorado con una tesis sobre la propagación del sonido
bajo el título De Sono y en 1727 participó en el concurso promovido por la Academia
de las Ciencias francesa por el cual se solicitaba a los concursantes que encontraran la
mejor forma posible de ubicar el mástil en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás
de Pierre Bouguer, que es conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más
adelante Euler conseguiría ganar ese premio hasta en doce ocasiones.
El 7 de enero de 1734 Euler contrajo matrimonio con KatharinaGsell, hija de un
pintor de la Academia. La joven pareja compró una casa al lado del río Neva y llegó a
concebir hasta trece hijos, si bien sólo cinco sobrevivieron hasta la edad adulta
Preocupado por los acontecimientos políticos que estaban teniendo lugar en Rusia,
Euler partió de San Petersburgo el 19 de junio de 1741 para aceptar un cargo en la
Academia de Berlín, cargo que le había sido ofrecido por Federico II el Grande, rey
de Prusia. Vivió veinticinco años en Berlín, en donde escribió más de 380 artículos.
También publicó aquí dos de sus principales obras: la Introductio in analysin
infinitorum, un texto sobre las funciones matemáticas publicado en 1748, y la
Institutiones calcul idifferentialis, publicada en 1755 y que versaba sobre el cálculo
diferencial.
Deterioro de la visión
La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el año 1735 Euler sufrió
una fiebre casi fatal, y tres años después de dicho acontecimiento quedó casi ciego de
su ojo derecho. Euler, sin embargo, prefería acusar de este hecho al trabajo de
cartografía que realizaba para la Academia de San Petersburgo
La vista de ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania, hasta el punto de
que Federico hacía referencia a él como el Cíclope. Euler más tarde sufrió cataratas en
su ojo sano, el izquierdo, lo que le dejó prácticamente ciego pocas semanas después
de su diagnóstico.
A pesar de ello, parece que sus problemas de visión no afectaron a su productividad
intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su
memoria fotográfica. Por ejemplo, Euler era capaz de repetir la Eneida de Virgilio
desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ningún momento, y en cada página de
la edición era capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última. También
se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6 potencias de los
primeros 100 números primos.
El 18 de septiembre de 1783 Euler falleció en la ciudad de San Petersburgo tras sufrir
un accidente cerebro vascular, y fue enterrado junto con su esposa en el Cementerio
Luterano ubicado en la isla de Vasilievsky. Sus restos fueron trasladados por los
soviéticos al Monasterio de Alejandro Nevski.
El matemático y filósofo francés Nicolas de Condorcet escribió su elogio funeral para
la Academia francesa.
…ilcessa de calculer et de vivre— … dejó de calcular y de vivir.
Teoría de números
El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian
Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran
parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los trabajos
de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este matemático francés
pero descartó también algunas de sus conjeturas.
Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del
análisis matemático.
Demostró el pequeño teorema de Fermat
Generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que se conoce como el
teorema de Euler
Definió la función φ de Euler
Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos
Y avanzó en la investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema
de los números primos.
Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al
hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números
primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de
Riemann.
Euler también demostró el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e
hizo importantes contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Joseph-
Louis de Lagrange.
En el año 1772, Euler demostró que 231 - 1 = 2.147.483.647 es un número primo de
Mersenne. Esta cifra permaneció como el número primo más grande conocido hasta el
año 1867.
Más adelante se estará describiendo el desarrollo de cada una de las contribuciones
mencionadas.
HISTORIA
Las contribuciones de Euler en teoría de números son sensacionales pero este no era
su único objetivo.
En Euler tenemos suficiente motivación para emprender cualquier aventura
Matemática, tanto en las Matemática elementales ligadas a la teoría de números, como
en las Matemática avanzadas en conexión con el análisis matemático o la topología.
En Teoría de Números encontramos fascinantes relaciones descubiertas por Euler.
Leonhard Euler es un matemático cuya vigencia parece no tener límite. Gauss
recomendaba a sus discípulos leer a los maestros, y nombraba al matemático suizo,
como uno de los grandes. Turgot, contralor general de Luis XVI, lo calificaba como el
“famoso Leonhard Euler” en 1774, cuando el matemático de sesenta y siete años y ya
ciego, estaba en el pináculo de su inagotable producción Matemática. Tanto escribió
de Matemática y ciencia, que la Academia de Ciencias de San Petersburgo, tuvo
material para seguir publicando su obra inédita, aun cincuenta años después de su
muerte. La producción de Euler es monumental.
Hasta hace unos años se seguía publicando su Opera Omnia, (más de ochenta
volúmenes). En 1910 el número de sus publicaciones alcanzo la cifra de 866,
incluyendo 25 volúmenes dedicados a áreas específicas que van desde algebra y
análisis, pasando por geometría, teoría de números, mecánica y óptica, hasta llegar a
la filosofía y a la música.
Basilea es la cuna de una pléyade de grandes matemáticos.
Basilea dio dos matemáticos, tan conocidos como Euler, pero si fueron muy
destacados: Nicolás Fuss (1755-1826) y Jacob Hermann (1678-1733). Fuss fue
secretario de Euler en San Petersburgo, por siete años, y en cierto modo coautor de
mucha de la producción matemática de Euler en ese período, puesto que ayudo a
preparar doscientos cincuenta de sus artículos para publicación, lo que es mucho
decir. La prestancia histórica de Basilea en el aspecto matemático, se reconoce al
descubrir que el famoso Premio Bordin de la Academia de Ciencias de París, fue
otorgado en veintiocho ocasiones a matemáticos de esa ciudad, entre ellos por
supuesto, a Euler en doce oportunidades.
Las matemáticas se enriquecieron con las contribuciones de Euler, no únicamente por
sus contenidos, sino también por su metodología y presentación.
Con pequeñas diferencias, los textos que Euler escribió, tienen la presentación que
hoy vemos en los libros donde aprendimos calculo, ecuaciones diferenciales o
inclusive algebra. Mucho de esto se debe a que Euler introdujo una simbología que
pasó a ser estándar en las matemáticas, como por ejemplo:
La constante
La famosa formula de Euler: e iπ +1 = 0.
Interpretación geométrica
e (de Euler) para designar la base de los logaritmos naturales,
f(x) para denotar una función.
sin x, cosxy tagx2, para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente,
La identidad trigonométrica e iθ= cosθ + isenθ
i para representar la unidad imaginaria. Esta notación la adopto Euler a partir
de 1777, pues en obras anteriores había empleado la letra i para representar un
número infinito.
Δ para el incremento de una función y
Σ para denotar suma,
entre otros muchos símbolos y denominaciones, que se usan todavía en la
literatura matemática actual.
Euler fue partícipe de una época heroica en el acontecer matemático del siglo de las
luces. Me refiero a la creación de dos grandes academias de ciencias: la Academia de
San Petersburgo y la Academia de Berlín, creadas en cierto modo, a imagen de las ya
reconocidas e influyentes, Academia de París y la Real Sociedad de Londres.
La herencia de Fermat es patente en Euler de la misma forma que Gauss heredó
problemas de Euler.
Por completar la genealogía aritmética colindante con los tiempos de Euler hay que
añadir los nombres de J.L. Lagrange y A.M. Legendre.
Podríamos continuar esta tabla hacia adelante hasta nuestros días con innumerables
ramificaciones, pero hacia atrás no hay tanto que decir.
Hasta en la faceta creadora Euler combinó la enseñanza con el descubrimiento. Sus
grandes tratados de 1748, 1755, y 1768 -70, sobre el cálculo (Introductio in analysin
infinitorum; Institutiones calculi differentialis; Institutiones calculí integralis) se
hicieron rápidamente clásicos, y continuaron, durante tres cuartos de siglo, inspirando
a los jóvenes que iban a ser grandes matemáticos. Pero fue en su obra sobre el cálculo
de variaciones (Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimi vepropietate
gaudentes,1744), donde Euler se reveló, por primera vez, como un matemático de
primera categoría.
Pocos han igualado o se han aproximado a Euler en la cantidad trabajos de
importancia esencial. Los que gustan de la aritmética, reconocerán a Euler, en el
análisis diofántico, méritos análogos a los que pueden atribuirse a Fermat y al mismo
Diofanto. Euler fue el primero, y posiblemente el más grande de los universalistas
matemáticos.
Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo,
trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y
otras áreas de la física.
Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del
mundo real a través del análisis matemático, en lo que se conoce como matemática
aplicada, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli,
las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π,
las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con
el Método de Fluxión de Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil la
aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier
antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del
cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.
En física y astronomía Euler ayudó a desarrollar la ecuación de la Curva elástica, que
se convirtió en el pilar de la ingeniería. Aparte de aplicar con éxito sus herramientas
analíticas a los problemas de mecánica clásica, Euler también las aplicó sobre los
problemas de los movimientos de los astros celestes. Su trabajo en astronomía fue
reconocido mediante varios Premios de la Academia de Francia a lo largo de su
carrera, y sus aportaciones en ese campo incluyen cuestiones como la determinación
con gran exactitud de las órbitas de los cometas y de otros cuerpos celestes,
incrementando el entendimiento de la naturaleza de los primeros, o el cálculo del
paralaje solar. Formula siete leyes o principios fundamentales sobre la estructura y
dinámica del Sistema Solar y afirma que los distintos cuerpos celestes y planetarios
rotan alrededor del Sol siguiendo una órbita de forma elíptica. Sus cálculos también
contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud más exactas para la navegación.
También publicó trabajos sobre el movimiento de la luna.
En el campo de la lógica, se atribuye a Euler el uso de curvas cerradas para ilustrar el
razonamiento silogístico (1768), las representaciones de este tipo reciben el nombre
de diagramas de Euler.
En 1736, Euler resolvió el problema conocido
como problema de los puentes de Königsberg.
La ciudad de Königsberg, en Prusia Oriental
(actualmente Kaliningrado, en Rusia),
estaba localizada en el río Pregel, e incluía
dos grandes islas que estaban conectadas entre ellas y con las dos riberas del río
mediante siete puentes. El problema consistía en decidir si era posible seguir un
camino que cruzase todos los puentes una sola vez y que finalizase llegando al punto
de partida. No lo hay, y Euler logró probarlo matemáticamente demostrando que no
existía un ciclo euleriano debido a que el número de puentes en más de dos bloques
era impar.
También escribió sobre música y sobre cartografía. En esta última se interesó cuando
fue designado director de la sección de geografía de la Academia de San Petersburgo
en 1735. Tenía la tarea específica de apoyar a Delisle para preparar un mapa de todo
el Imperio Ruso. El Atlas Ruso fue el resultado de esta colaboración y apareció en
1745 consistente de 20 mapas. Euler, en Berlín, señaló orgullosamente al momento de
su publicación, que esta obra puso a los rusos en una posición mucho más avanzada
que la de los alemanes en el arte de la cartografía.
Euler cuenta con una extensísima bibliografía, en este trabajo mencionare algunas de
sus obras más conocidas o importantes.
Mechanica, sive motus scientia analítica exposita (1736)
Tentamen novae theoriae musicae (1739)
Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741)
Methodus inveniendi líneas curvas maximi minimive proprietate gaudentes,
sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744).
Introductio in AnalysisInfinitorum (1748)
Institutiones Calculi Differentialis (1765)
Theoria motus corporum solidorum seu
Rigidorum (1765)
Institutiones Calculi Integralis (1768-1770)
Vollständige Anleitungzur Algebra (1770)
Lettres à une Princessed'Allemagne
(1768–1772).
EL PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT
Nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-
Lomagne, Francia, murió el 12 de enero de 1665 en
Castres, Francia. Asistió a la Universidad de Toulouse
durante la segunda mitad de la década de 1620. Fermat
tuvo una carrera apacible, caracterizada por un cuidado
ejemplar de hacer bien su tarea y, en sus momentos de
ocio, supo crearse ocupaciones literarias y apasionarse
por las matemáticas.
Fermat no era un matemático profesional, era magistrado. Tuvo la costumbre de no
publicar nada, sino que anotaba o hacía cálculos en los márgenes de los libros o
escribía casualmente sus descubrimientos en cartas a amigos. Tras dar detalles sobre
un descubrimiento termina diciendo "lo lamento, pero este margen es insuficiente
para dar los detalles de la demostración". De forma que la humanidad se quedó sin
saber cuál era la demostración.
El pequeño teorema de Fermat: Como era normal en Fermat, este teorema lo enunció
en una carta y tampoco incluyó demostración por temer que fuera demasiado larga.
El pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría de números
relacionado con la divisibilidad. Se formula de la siguiente manera:
Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a,
ap ≡ a (modp)
Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma: Si p es
un número primo, entonces, para cada número natural a coprimo con p, ap-1 ≡ 1
(modp)
Esto quiere decir que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se
le resta a, lo que queda es divisible por p. Su interés principal está en su aplicación al
problema de la primalidad y en criptografía.
Este teorema no tiene nada que ver con el legendario último teorema de Fermat, que
fue sólo una conjetura durante 350 años y finalmente fue demostrado por Andrew
Wiles en 1995.
Demostraciones del pequeño teorema de Fermat
Fermat estableció tal resultado en una carta a Frénicle de Bessy, pero como era
habitual en él, omitió la prueba del mismo:
Tout nombre premier mesure infailliblement une des
puissances -1 de quelqueprogression que ce soit, et
l’exposant de la dite puissanceestsous-multiple du
nombre premier donné -1. (...) Et
cettepropositionestgénéralementvraie en
toutesprogressions et en tous nombres premiers; de
quoi je vousenvoierois la démonstration, si je
n'appréhendoisd'êtretroplong.
Todo número primo mide una
de las potencias menos uno de
cualquier progresión en la que
el exponente es un múltiplo
del primo dado menos uno.
(...) Y esta proposición es
generalmente cierta para todas
las progresiones y todos los
números primos; le enviaría la
prueba, si no temiese que es
demasiado larga.
La primera demostración publicada se debe a Leonhard Euler en 1736 en un artículo
titulado Theorema tum Quorundam ad Números Primos Spectantium Demonstratio.
Daría otras dos demostraciones más a lo largo de su vida, aunque era la primera de
todas ellas la misma que había en un manuscrito personal de Gottfried Leibniz, escrito
sobre 1683 y que nunca llegó a publicar. Gauss publicaría otra prueba más en su libro
Disquisitiones arithmeticae en 1801. La prueba original de Euler (y Leibniz) es
sencilla, en términos de comprensión lógica, ya que sólo utiliza métodos elementales
que una persona con nociones básicas de álgebra puede entender. Su demostración se
basa en el principio de inducción, que consiste en demostrar que si cierta propiedad P
de los números naturales se cumple para n y también se cumple para n+1, entonces se
cumple para todo n. Es fácil ver que si se cumple para n, y para n+1, también se
cumple para n+2, n+3, etc. ya que, llamando como n1 a n+1, se cumple para n1 y n1+1,
por tanto, para n, n+1 y n+2, y así sucesivamente.
Para la demostración también se utiliza la propiedad de que si p es un número primo,
entonces el coeficiente binomial es divisible por p, para todo n, tal que 1≤ n <p.
Esto es así puesto que el coeficiente binomial se define como:
Donde el signo (!) corresponde al factorial de un número, que indica la multiplicación
de todos los números naturales menores o iguales a dicho número, por ejemplo,
p! = p·(p-1)·(p-2)·...·2·1. Puesto que en el denominador, los factoriales de los
números involucran números que son menores que el número primo p, éstos no
pueden contener p ni dividir al número primo p del numerador, así pues, el coeficiente
es divisible por p.
Dicho esto, la demostración consiste en los siguientes pasos:
Supongamos que
Utilizamos el binomio de Newton para expandir la potencia (n + 1)p:
Agrupando factores y reordenando la identidad:
Por hipótesis, hemos supuesto que np - n es divisible por p, y dado que todos
los términos del sumatorio del miembro de la derecha son divisibles por p,
tenemos que p divide a (n + 1)p - (n + 1).
Ahora bien, 1p - 1 es divisible por p, por lo tanto 2p - 2 también es divisible por
p, y así sucesivamente.
Ejemplos
A continuación se muestran algunos ejemplos del teorema:
53 − 5 = 120 es divisible por 3.
72 − 7 = 42 es divisible por 2.
25 − 2 = 30 es divisible por 5.
(−3)7 + 3 = − 2.184 es divisible por 7.
297 − 2 = 158.456.325.028.528.675.187.087.900.670 es divisible por 97.
Teorema Euler
En teoría de números el teorema de Euler, también conocido como teorema de Euler-
Fermat, es una generalización del pequeño teorema de Fermat, y como tal afirma una
proposición sobre la divisibilidad de los números enteros.
El teorema establece que: Si a y n son enteros primos relativos, entonces n divide al
entero aφ(n)- 1 sin embargo, es más común encontrarlo con notación moderna en la
siguiente forma:
Si a y n son enteros primos relativos, entonces aφ(n) ≡ 1 (modn), donde φ(n) es la
función φ de Euler.
Función φ de Euler
Si n es un número entero, la cantidad de enteros entre 1 y n que son primos relativos
con n se denota como φ(n):
Valor de n Coprimos con n entre 1 y n Función φ(n) φ(n) +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
1 1 1 0+ 1 1 2 2 4 2 6 4 6
2 1 1 10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
3 1,2 2 20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
4 1,3 2 30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
5 1,2,3,4 4 40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
6 1,5 2 50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
7 1,2,3,4,5,6 6 60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
8 1,3,5,7 4 70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
9 1,2,4,5,7,8 6 80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
10 1,3,7,9 4 90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60
A la función φ se le conoce como función φ de Euler. Tal función es multiplicativa: si
m y n son primos relativos, entonces
φ(mn)=φ(m)φ(n).
Podemos verificarlo con la tabla dada arriba:
φ(30) = φ(6)φ(5) =2·4 = 8
Congruencias
El otro concepto involucrado en el teorema de Euler es el de congruencia. En teoría de
números, se dice que dos números a, b son congruentes respecto a un módulo n,
cuando n divide al entero a-b. La congruencia de a, b respecto al módulo n se
simboliza como a ≡ b (modn).
La congruencia de números se comporta de manera similar a una igualdad
(formalmente, es una relación de equivalencia):
Si a ≡ b (modn) entonces: a + c ≡ b + c (modn) y ac ≡ bc (modn) para
cualquier entero c. Es decir, se puede sumar o multiplicar una misma cantidad
a ambos lados de una congruencia y se preserva la relación.
Si a ≡ b (modn) y b ≡ c (modn) entonces a ≡ c (modn). En otras palabras, la
relación es transitiva.
Un ejemplo sencillo para entender la aritmética con congruencias lo proporciona un
reloj de manecillas, ya que las horas en un reloj se comportan como congruencias
módulo 12. Por ejemplo, las 15 y las 3 horas son indicadas por la misma posición en
el reloj; esta equivalencia se escribiría como15 ≡ 3 (mod 12) y se obtiene de qué 12
divide a 15-3.
Si ahora el reloj marca las 5, dentro de 30 horas marcará las 11, porque 12 divide a
35-11 =24 y así: 5 + 30 = 35 ≡ 11 (mod 12).
Una particularidad de las congruencias, que la diferencia de la igualdad común es que,
aunque podemos sumar o multiplicar una misma cantidad a ambos lados de una
congruencia preservándola, no podemos hacer lo mismo con una división:
6 · 4 ≡ 3 · 4 (mod 6), pues 6 divide a 24 - 12; sin embargo no es cierto que 6 ≡
3 (mod 6).
Sin embargo, hay un caso especial en el que sí es posible efectuar tal cancelación:
cuando el factor y el módulo son primos relativos:
Dado que 5·4 ≡ 5·10 (mod 6) y el máximo común divisor de 5 y 6 es 1 (es
decir, son primos relativos), entonces podemos cancelar el 5 y obtener 4 ≡ 10
(mod 6).
Aplicación del teorema de Euler
Una aplicación del teorema de Euler es en la resolución de ecuaciones de
congruencia.
Por ejemplo, se desea encontrar todos los números x que satisfacen
5x ≡ 2 (mod 12)en otras palabras, todos los números que al multiplicarlos por
5, dejan residuo 2 en la división por 12. O de otra forma, todos los números x
tales que 12 divida a 5x-2.
El teorema de Euler dice que
5φ(12) = 54 ≡ 1 (mod 12)
por lo que, multiplicando ambos lados de la ecuación por 53.
53 · 5x ≡53·2 =250 ≡ 10 (mod 12)
54x ≡ 10 (mod 12)
x≡10 (mod 12)
Entonces, la conclusión es que, cualquier número que al dividirse por 12 tenga
residuo 10, será una solución de la ecuación. Se puede verificar con un ejemplo. Si se
divide 34 entre 12, el residuo es 10, por lo que x=34 debe funcionar como solución.
Para verificarlo, se divide 34·5=170 entre 12, obtenemos un cociente 14 y un residuo
2, como se esperaba.
Números Prefectos
Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores
propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es
aquel que es amigo de sí mismo.
Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 +
3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.
El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen
dados por la fórmula: 2n–1(2n – 1)
n = 2: 21 × (22 – 1) = 6
n = 3: 22 × (23 – 1) = 28
n = 5: 24 × (25 – 1) = 496
n = 7: 26 × (27 – 1) = 8128
Al darse cuenta que 2n – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que
la fórmula 2n–1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.
Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números
perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han
resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los
cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11,
el quinto número primo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por
tanto n = 11 no genera un número perfecto.
Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:
El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros
tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.
Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8.
El quinto número perfecto (33550336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera
suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero
también el sexto (8589869056) termina en 6. (El que la última cifra de un número
perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar.)
Es verdad que si 2n – 1 es un número primo, entonces 2n–1(2n – 1) es un número
perfecto, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números
primos generados por la fórmula 2n – 1 se los conoce como números primos de
Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne, quien estudió teoría de
números y números perfectos.
Posteriormente, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos
pares se generan a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides.
No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen
algunos resultados parciales al respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser
mayor que 10300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no
es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 107, dos de ellos deben
ser mayores que 10.000 y tres factores deben ser mayores que 100.
Otras propiedades de los números perfectos pares. Son números triangulares
Un número triangular es de la forma, donde «n» es un número
entero positivo cualquiera distinto de cero. Si partimos de la identidad
y distribuimos el producto del
lado derecho obtenemos:
La expresión 2p − 1 es un número primo de Mersenne y vemos que el término derecho
de la identidad adopta la forma correspondiente a la definición de número triangular.
Podemos afirmar que un número perfecto par es un número triangular y su orden es
un número primo de Mersenne.
Son números combinatorios o coeficientes del binomio
Como todos los números triangulares están en la tercera columna del triángulo de
Pascal y acabamos de ver que todo número perfecto par es un número triangular, los
números perfectos son también números combinatorios. , donde 2p es la potencia
correspondiente a un número primo de Mersenne aumentado en una unidad.
Son números hexagonales
Un número hexagonal es de la forma n(2n − 1) = 2n2 − n, para «n» un número entero
positivo cualquiera distinto de cero. Surge inmediatamente de la identidad,
llamando «n» al número 2p − 1.
Teorema de los Números Primos
Sea π(x) el número de primos que son menores o iguales que x. El teorema establece
que:
,donde ln (x) es el logaritmo neperiano de x
Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores
de x muy grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para valores de x
muy grandes es casi igual a 1.
Una mejor aproximación viene dada por el logaritmo integral:
,donde Li (x) es el logaritmo integral de x.
Historia
El teorema de los números primos fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en
1798 y la conjetura fue posteriormente refinada por Gauss con la expresión que
actualmente se asocia más frecuentemente al teorema. La demostración formal del
teorema la hicieron de forma independiente tanto Jacques Hadamard como Charles-
Jean de la Vallée Poussin en el año 1896. Ambas demostraciones se basaban en el
resultado de que la función zeta de Riemann ζ(z) no tiene ceros de la forma 1 + it con
t > 0. En realidad la demostración se hizo sobre una expresión algo más estricta de lo
que se indica en la definición anterior del teorema, siendo la expresión demostrada
por Hadamard y Poussin:
donde
.
Desde 1896 la expresión asociada al teorema de los números primos ha sido mejorada
sucesivamente, siendo la mejor aproximación actual la dada por:
donde O(f(x)) se define como la función asintótica a f(x) y A es una constante
indeterminada.
Para valores de x pequeños se había demostrado que π(x) < Li(x), lo que llevó a
conjeturar a varios matemáticos en la época de Gauss que Li(x) era una cota superior
estricta de π(x) No obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostró que dicha cota es
cruzada para valores de x suficientemente grandes. El primero de ellos se conoce
como primer número de Skewes, y actualmente se sabe que es inferior a 10317, aunque
se piensa que puede ser inferior incluso a 10176. En 1914 Littlewood amplió su
demostración con la inclusión de múltiples soluciones a la ecuación π(x) − Li(x) = 0.
Muchos de estos valores y hallazgos están asociados a la validez de la hipótesis de
Riemann.
Relación con la hipótesis de Riemann
Georg Friedrich Bernhard Riemann, nació en Breselenz, el 17
de septiembre de 1826, una aldea cercana a Dannenberg en
el Reino de Hanóver, actualmente parte de Alemania. Desde
pequeño demostró una fabulosa capacidad para el cálculo
unido a una timidez casi enfermiza. Durante sus estudios de
secundaria aprendía tan rápido que enseguida adelantaba a
todos sus profesores.
En 1859 formuló por primera vez la hipótesis de Riemann el cual es uno de los más
famosos e importantes problemas sin resolver de las matemáticas
Riemann dio sus primeras conferencias en 1854, en las cuales fundó el campo de la
geometría de Riemann. Lo promovieron a profesor extraordinario en la universidad
de Göttingen en 1857 y se hizo profesor ordinario en 1859.
Murió de tuberculosis en su tercer viaje a Italia en Selasca, el 20 de julio de
1866
Dada la conexión que hay entre la función zeta de Riemann ζ(s) y π(x), la hipótesis de
Riemann es muy importante en teoría de números, y por supuesto, en el teorema de
los números primos.
Si la hipótesis de Riemann se cumple, entonces el término error que aparece en el
teorema de los números primos puede acotarse de la mejor manera posible.
Concretamente, Helge von Koch demostró en 1901 que
si y sólo si la hipótesis de Riemann se cumple. Una variante refinada del resultado de
Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que la hipótesis de Riemann es
equivalente al siguiente resultado:
Aproximaciones para el enésimo número primo
Como consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión
asintótica para el enésimo número primo, denotado por pn:
Una aproximación mejor es:
Suma de los Inversos de los Números Primos
En el siglo III a. C., Euclides probó la existencia de infinitos números primos. En el
siglo XVIII, Leonhard Euler probó un resultado aún más profundo:
La suma de los recíprocos de todos los números primos diverge.
El teorema, es equivalente a probar que:
He aquí algunas de las pruebas de este resultado.
Primera prueba (Prueba original de Euler)
Para empezar, describiremos algunos de los pasos previos usados por Euler en su
prueba.
En primer lugar consideró la serie armónica :
Esta serie es claramente y por supuesto, también conocido por Euler.
Usando su fórmula del producto , mostró la existencia de infinitos números primos
como sigue:
Aquí, el producto es sobre todos los números primos, o dicho de otra manera, el
producto indexa a todos los números primos. De ahora en adelante, sin que se diga lo
contrario, la suma o producto sobre el conjunto de todos los números primos se
representa como p bajo el sumatorio o productorio.
Euler se dio cuenta de que si existía un número finito de primos, entonces el producto
de la derecha convergería claramente, contradiciendo la divergencia de la serie
armónica. En lenguaje moderno, se dice que la existencia de infinidad de números
primos está reflejada por el hecho de que la función zeta de Riemann tiene un polo
simple en s = 1.
Demostración
Euler, tomando el producto indicado arriba, llegó a una conclusión.
Tomó logaritmos naturales en ambos miembros de la igualdad, y utilizando las
propiedades de las series geométricas y que la serie de Taylor de log(1-x) es:
entonces:
para una constante C < 1. Puesto que la suma de los recíprocos de los primeros n
números enteros positivos es asintótica a log(n) se tiene:
que sustituyendo en la expresión de arriba y despreciando el valor de C cuando n se
acerca a infinito, Euler llegó a la conclusión de que:
Es también cierto que Euler comprendía que la suma de los recíprocos de todos los
números primos menores que n es asintótica a log (log(n)) cuando n se aproxima a
infinito, y de hecho este es el caso. Euler había llegado a esta conclusión por métodos
cuestionables.
Segunda prueba (Erdős)
Paul Erdős nació en Budapest (Imperio austrohúngaro),
el 26 de marzo de 1913, en el seno de una familia judía.
A la edad de 3 años ya sabía sumar y para los 4 ya
podía calcular cuántos segundos había vivido una
persona.
Fue un matemático húngaro inmensamente prolífico y
famoso por su excentricidad que,
con cientos de colaboradores, trabajó en problemas
sobre combinatoria, teoría de grafos, teoría de números, análisis clásico, teoría de
aproximación, teoría de conjuntos y probabilidad.
Erdős fue uno de los publicadores de artículos matemáticos más prolíficos de todos
los tiempos, únicamente superado por Leonhard Euler (Erdős publicó más artículos,
pero Euler publicó más páginas). Escribió aproximadamente 1.500 artículos en el
transcurso de su vida, colaborando con alrededor de 500 coautores. Él creía
firmemente en las matemáticas como una actividad social.
Paul Erdös murió en 1996 en Varsovia mientras participaba en un encuentro
matemático, como no podía ser de otra forma.
Una prueba elemental por reducción a lo absurdo fue descubierta por Paul Erdős y es
la siguiente:
Asuma que la suma de los recíprocos de todos los números primos converge:
Defina pi como el i -ésimo número primo.
Tenemos que:
Entonces existe un número entero positivo i tal que:
Defina Ni(x) como:
el número de enteros positivos menores que x que son divisibles únicamente por los i
primeros números primos, o dicho de otra forma, que están formados por factores
primos menores o iguales a pi. ( el símbolo # significa la cantidad de números que
cumplen la condición )
Cualquiera de esos números puede expresarse como:
concretamente como producto de un
cuadrado por un cuadrado libre. Hay 2i opciones distintas para la parte del cuadrado
libre y puesto que a lo sumo habrá √x para la parte cuadrática tenemos que:
El número de enteros divisibles por un primo p menores que x es , así que el
número de enteros menores que x que son divisibles por algún primo mayor que pi es
x - Ni(x), lo denotaremos como N*i(x) y está acotado por:
Dado que:
es suficiente con encontrar un x tal que Ni(x) x/2 para llegar a una contradicción ya
que N*i(x) es siempre menor que x/2. Si tomamos la desigualdad:
y considerando la cota máxima que es cuando Ni(x) = 2i√x:
Tercera prueba
He aquí otra prueba que da una menor estimación sobre la suma parcial, en particular,
muestra como la suma crece al menos tan rápido como
log(log(n)). La prueba es una adaptación de la idea de expansión del producto de
Euler. De aquí en adelante, una suma o producto sobre p siempre representa una suma
o producto sobre un conjunto de números primos específicos.
La prueba se basa en las siguientes cuatro desigualdades:
Cada número entero positivo i se puede escribir como producto de un
cuadrado por un número libre de cuadrados. Esto da la siguiente desigualdad.
Donde para cada número i entre 1 y n el producto contiene la parte del cuadrado libre
de i y la suma contiene la parte del cuadrado de i.
Una cota superior estimada para el logaritmo natural es:
Una cota inferior estimada para la función exponencial es:
El límite superior para las sumas parciales es:
Combinando todas las ecuaciones vemos que:
Dividiendo por 2 y tomando el logaritmo natural en ambos miembros nos queda que:
cuando n tiende a infinito obtenemos la misma conclusión que en las anteriores
pruebas.
Cuarta prueba
De la desigualdad de Dusart tenemos que:
entonces
aplicando el criterio integral a la serie de la izquierda vemos que ésta diverge
claramente.
El Producto de Euler para la Función Zeta de Riemann .
En 1737 Leonhard Euler probó un resultado que abrió las puertas de la moderna teoría
de números (teoría analítica de números) enunciando el siguiente teorema:
Si s > 1, entonces
Si se toma como variable s, esta serie o producto toma el nombre de función zeta de
Riemann y se denota como ζ(s). Nótese que el producto se extiende sobre todos los
números primos. A continuación se dan un par de pruebas sobre este resultado,
incluida la prueba original de Euler.
Prueba original de Euler
La prueba, escrita en 1737 y publicada en 1744, muestra una forma original de
obtener el producto, utilizando una cierta forma de cribado. Para su obtención
solamente se utilizan métodos elementales, con lo cual cualquier persona con
nociones básicas sobre álgebra puede entenderla.
Se escribe
S e m u l t i p l i c a a m b o s m i e m b r o s p o r
Restando la segunda serie a la primera, eliminaremos todos los términos que
son múltiplos de 2.
Si repetimos sobre el siguiente término, , obtenemos:
Restando de nuevo, obtenemos:
Podemos ver que la parte de la derecha se está cribando, repitiendo este
proceso indefinidamente:
Dividiendo ambas partes por todo el producto obtenido que multiplica a ζ(s)
obtenemos:
Esto puede escribirse de forma simplificada como producto sobre todos los números
primos p:
Para hacer rigurosa esta prueba, sólo es necesario observar que si s es un número
complejo tal que Re(s) > 1, el miembro de la derecha (el que se está cribando), tiende
a 1, lo cual se muestra inmediatamente de la convergencia de la serie de Dirichlet para
ζ(s).
Otra prueba
Esta prueba, más estricta, es la que se muestra a continuación:
Cada factor del producto (dado por un número primo p), puede ser escrito en
forma de serie geométrica así:
Si s> 1, entonces y la serie converge absolutamente, luego:
Así pues, se puede coger un número finito de factores, multiplicarlos todos
ellos y reagruparlos. Cogiendo todos los números primos p hasta un número
primo límite q, obtenemos que:
Donde σ es la parte real de
se extiende este producto parcial, se obtiene la suma correspondiente a los
términos donde n son números naturales que se pueden representar como
producto de números primos menores o iguales que q. La desigualdad resulta
del hecho de que sólo enteros mayores que q no pueden aparecer en la
expansión parcial del producto. Puesto que la diferencia entre el producto
parcial y ζ(s) tiende a 0 cuando σ > 1, obtenemos la convergencia en dicha
región.
El teorema de Fermat sobre la Suma de Dos Cuadrados
En teoría de números, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados establece
la relación que hay entre los números primos representables como suma de dos
cuadrados. En concreto, el teorema dice lo siguiente:
Un número primo p es expresable como suma de dos cuadrados si y sólo si p = 2 ó
p ≡ 1 (mod 4).
O sea, p = x2 + y2, donde x e y son números enteros si p = 4k + 1 para algún k entero, o
escrito en notación moderna, p ≡ 1 (mod 4)
El teorema es también conocido como lema de Thue, debido al matemático noruego
Axel Thue.
Fermat anunció su teorema en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre
de 1640, razón por la cual se le conoce también como Teorema de navidad de Fermat.
Como era habitual en Fermat, éste no dio ninguna demostración de su teorema y fue
Leonhard Euler, tras mucho esfuerzo, el primero que dio una demostración formal
basada en descenso infinito. Fue anunciada en una carta escrita a Christian Goldbach
el 12 de abril de 1749. Lagrange publicó una demostración en 1775 basada en su
estudio de formas cuadráticas. Esta demostración fue simplificada por Gauss en su
libro Disquisitiones arithmeticae. Dedekind dio otras dos demostraciones basadas en
la aritmética de los enteros gaussianos. Hay incluso una demostración elegante usando
el teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos.
Por ejemplo, los números primos 5, 13, 41, 61 son de la forma 4k + 1, y por el
teorema pueden ser escritos como suma de dos cuadrados de la siguiente manera:
Generalización
Fermat anunció otros resultados relacionados catorce años más tarde. Así, en una
carta escrita a su amigo Blaise Pascal el 25 de septiembre de 1654, anunciaba los
siguientes resultados para números primos mayores que 2:
Cada número primo, que es mayor en una unidad a un múltiplo de 3, está
compuesto por un cuadrado y el triple de otro cuadrado como 7, 13, 19, 31,
37, ...
Cada número primo, que es mayor que 1 o que 3 de un múltiplo de 8, está
compuesto por un cuadrado y el doble de otro cuadrado como 11, 17, 19, 41,
43, ...
Lo que en términos modernos viene a ser:
Teorema de los Cuatro Cuadrados
Joseph-Louis de Lagrange, nació el 25 de enero de 1736 en Turín y murió el 10 de abril de 1813 en París.Fue un matemático, físico y astrónomo italiano
que después vivió en Rusia y Francia. Fue
educado en la universidad de Turín y no fue
hasta los diecisiete años cuando mostró interés
por las matemáticas.
Su entusiasmo lo despertó la lectura de una obra del astrónomo Edmund Halley. Tras
un año de incesante trabajo era ya un matemático consumado.
Cuando tenía sólo diecinueve años envió una carta a Leonhard Euler en que resolvió
un problema, que había sido un asunto de discusión durante más de medio siglo,
mediante una nueva técnica: el cálculo de variaciones.
Algunos de sus artículos iniciales también tratan de cuestiones conectadas con el
abandonado pero singularmente fascinante tema de la teoría de números. Entre éstos
se encuentran los que tratan sobre lo siguiente:
Su prueba del teorema que cada entero positivo que no es un cuadrado puede
expresarse como la suma de dos, tres o cuatro cuadrados de enteros, 1770.
Su demostración del teorema de Wilson que dice que si n es un número
primo, entonces ( n - 1)! + 1 siempre es un múltiplo de n , (1771).
Sus artículos de 1773, 1775, y 1777, donde da las demostraciones de varios
resultados enunciadas por Fermat, y no demostrados previamente.
Y, por último, su método para determinar los factores de números de la forma
x2 + ay2.
El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, también conocido como la conjetura
de Bachet se demostró en 1770 por Joseph Louis Lagrange.
Dice que cada número entero positivo puede expresarse como la suma de cuatro
cuadrados de enteros. Por ejemplo,
31 = 5 2 + 2 2 + 1 2 + 1 2
310 = 17 2 + 4 2 + 2 2 + 1 2
Más formalmente, para cada entero positivo n, existen números enteros no negativos
a, b, c, d tales que:
n = a2 + b2 + c2 + d2
Adrien-Marie Legendre mejoró el teorema en 1798 demostrando que un entero
positivo puede expresarse como la suma de tres cuadrados si y sólo si no es de la
forma 4k (8 m + 7). Su prueba estaba incompleta, dejando un hueco que después llenó
Carl Friedrich Gauss.
En 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi encontró la fórmula exacta para el número total de
maneras en que un número entero positivo n dado puede representarse como la suma
de cuatro cuadrados. Este número es ocho veces la suma de los divisores de n si n es
impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par.
El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es un caso especial del teorema del
número poligonal de Fermat y del problema de Waring.
CONCLUSIÓN
Luego de realizado este trabajo llegamos a las siguientes conclusiones:
El aporte de Euler a la matemática es tan grande y tan profundo que
prácticamente no puede ser medido.
Hizo muchas aportaciones a la Teoría de Números
Sus problemas de visión no afectaron a su productividad intelectual
Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en
los trabajos de Pierre de Fermat.
El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de
Christian Goldbach
Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas
del mundo real a través del análisis matemático
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Funciones importantes en la teoría de números ( función de Mobius y función de Euler):
Tordecilla Batista, Ana Cecilia 2005
2. Teorema Euler-Fermat:José de los Santos Sánchez Sarta
2009
WEB BIBLIOGRÁFICAS
1. http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler
2. http://www.maa.org/news/howeulerdidit.html
3. http://www.astromia.com/biografias/euler.htm
