7/17/2019 Teorema de Euler

http://slidepdf.com/reader/full/teorema-de-euler-568d2de46de4d 1/9

Teorema de Euler

Para el teorema referido a las relaciones numéricas en un poliedro, véase Teorema de poliedros de Euler .

Para el teorema referido a las funciones homogéneas, véase Teorema de Euler sobrefunciones homogéneas.

Leonhard Euler (1707-1783).

En teoría de números el teorema de Euler , también conocido como teorema de Euler-Fermat, es uno reerente a números com!uestos an"lo#o al 1 !e$ue%o teorema de &ermat, 'como tal airma una !ro!osicin sobre la diisibilidad de los números enteros. El teorema

establece $ue*

Si y son enteros primos relativos, entonces divide al entero

Leonhard Euler (1736)

sin embar#o, es m"s común encontrarlo con notacin moderna en la si#uiente orma*

Si y son enteros primos relativos, entonces .

Leonhard Euler (1736)

donde es la uncin + de Euler 

Índice

  ocultar 

7/17/2019 Teorema de Euler

http://slidepdf.com/reader/full/teorema-de-euler-568d2de46de4d 2/9

• 1 &uncin + de Euler 

• /on#ruencias

• 3 rueba del teorema de Euler 

• 2elacin con el eorema de &ermat

• 4 2eerencias

o 4.1 5e !ueden consultar 

Funcin ! de Eulereditar 

 Artículo principal:*&uncin + de Eulalio

| Funcin ! de Eulalio"" 

5i es un número acío, la cantidad de retrasadas enteras entre ' $ue son !rimos

relatios con se denota como *

Valor

de

Coprimos con

entre y Función

1 1 1

2 1 1

3 1,2 2

4 1,3 2

5 1,2,3,4 4

6 1,5 2

7 1,2,3,4,5,6 6

8 1,3,5,7 4

+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

0+   1 1 2 2 4 2 6 4 6

10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18

20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28

30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24

40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42

50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58

60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44

70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78

7/17/2019 Teorema de Euler

http://slidepdf.com/reader/full/teorema-de-euler-568d2de46de4d 3/9

9 1,2,4,5,7,8 6

10 1,3,7,9 4

80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88

90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

 6 la uncin se le conoce como la funcin de Euler . al uncin es multiplicativa*si ' son !rimos relatios, entonces

.

odemos eriicarlo con la tabla dada arriba*

"on#ruenciaseditar 

 Artículo principal: /on#ruencia

El otro conce!to inolucrado en el teorema de Euler es elde con#ruencia. En teoría de números, se dice $ue dosnúmeros , son congruentes res!ecto a un mdulo  ,cuando diide al entero . La con#ruencia de, res!ecto al mdulo se simbolia

como

La con#ruencia de números se com!orta de manerasimilar a una i#ualdad (ormalmente, es una relacin dee$uialencia)*

•

5i entonces*

' !ara cual$uier entero . Esdecir, se !uede sumar o multi!licar una mismacantidad a ambos lados de una con#ruencia ' se!resera la relacin.

• 5i ' enton

ces . Es otras !alabras, larelacin, como toda relacin de e$uialencia, estransitia.

• /omo cual$uier otra relacin de e$uialencia,

si ,

entonces , es decir, la relacin

es simétrica. 6dem"s, !aratodo entero , es decir, la relacin es releia.

7/17/2019 Teorema de Euler

http://slidepdf.com/reader/full/teorema-de-euler-568d2de46de4d 4/9

9n e:em!lo sencillo !ara entender la aritmética concon#ruencias lo !ro!orciona un relo: de manecillas, 'a$ue las horas en un relo: se com!ortan comocon#ruencias mdulo 1. or e:em!lo, las 14 ' las 3horas son indicadas !or la misma !osicin en el relo:;esta e$uialencia se escribiría como

•

' se obtiene de $ue 1 diide a 14-3.

5i ahora el relo: marca las 4, dentro de 30 horas marcar"las 11, !or$ue 1 diide a 34-11 < ' así*

• .

9na !articularidad de las con#ruencias, $ue la dierenciade la i#ualdad común es $ue, aun$ue !odemos sumar omulti!licar una misma cantidad a ambos lados de una

con#ruencia !reser"ndola, no !odemos hacer lo mismocon una diisin*

• , !ues = diide a -1;

sin embar#o no es cierto $ue .

5in embar#o, ha' un caso es!ecial en el $ue sí es !osibleeectuar tal cancelacin* cuando el actor ' el mduloson !rimos relatios*

• >ado $ue ' el m"imo

común diisor de 4 ' = es 1 (es decir, son !rimosrelatios), entonces !odemos cancelar el 4 '

obtener .

odas estas !ro!iedades aritméticas se !ueden obtenercon sencille si se tiene en cuenta $ue las con#ruenciasson relaciones de diisibilidad.

$rue%a del teorema de Eulereditar 

La !rueba ori#inal del teorema de Euler, en notacinmoderna, se desarrolla en los si#uientes !asos.

asos !enerales "#emplo con n $ 8% a $ 3

Consideremos el conjunto P de los enteros

menores que n y coprimos con nConsideremos el conjunto P = 1,3,5,7!

7/17/2019 Teorema de Euler

http://slidepdf.com/reader/full/teorema-de-euler-568d2de46de4d 5/9

"ultipliquemos c#d# elemento del conjunto P por 

a p#r# $orm#r el conjunto %Construimos el conjunto % = 3,9,15,21!

&os elementos del conjunto % son con'ruentes #

los del elemento P (en di$erente orden)*

3+3 (mod 8), 9+1 (mod 8), 15+7 (mod 8), 21+5

(mod 8)

e# u el producto de los elementos de P, y se# v el

 producto de los elementos de %  u= 1-3-5-7 = 105, v=3-9-15-21=8505

&os n.meros u y v son con'ruentes pues sus

$#ctores son con'ruentes/ v+u (mod n)8505+105 (mod 8)

l entero v es i'u#l # u multiplic#do por a(n)/v=u·a(n)

= 3-9-15-21 = (3-1)(3-3)(3-5)(3-7) = 34- (1-3-5-7)= 3(8)-105

C#ncel#mos el $#ctor u en l# con'ruenci# v≡u 

(mod n)/ u·aφ(n) ≡u (mod n)3(8)-105+105 (mod 8)

Concluimos #φ( n )+1 (mod n) 3(8) +1 (mod 8)

Es im!ortante recalcar $ue la cancelacin slo es !osible

!uesto $ue u ' n son !rimos relatios. >e manera similar,el tercer !aso (los elementos de ? son con#ruentes a losde ) slo !uede obtenerse debido a$ue a ' n son !rimos relatios.

@tra manera de demostrar el teorema de Euler es erlocomo corolario del teorema de La#ran#e. Este teoremadice $ue si# es un #ru!o con $  elementos entonces a$ %e,siendo e el neutro del #ru!o #. En nuestro caso, el#ru!o # sería el de los enteros inertibles mdulo n; el

tama%o de este #ru!o es :ustamente .

>e hecho, la !rimera demostracin $ue se dio del

teorema de Euler !uede ada!tarse "cilmente !ara !robar el teorema de La#ran#e en el caso de los #ru!osabelianos.

9na a!licacin del teorema de Euler es en la resolucinde ecuaciones de con#ruencia.

or e:em!lo, se desea encontrar todos los números &  $uesatisacen

7/17/2019 Teorema de Euler

http://slidepdf.com/reader/full/teorema-de-euler-568d2de46de4d 6/9

en otras !alabras, todos los números $ue almulti!licarlos !or 4, de:an residuo en la diisin !or1. @ de otra orma, todos los números tales $ue1 diida a 4-.

El Teorema de Euler  dice $ue

!or lo $ue, multi!licando ambos lados de la

ecuacin !or *

Entonces, la conclusin es $ue, cual$uier

número $ue al diidirse !or 1 ten#a residuo10, ser" una solucin de la ecuacin. 5e!uede eriicar con un e:em!lo. 5i se diide3 entre 1, el residuo es 10, !or lo$ue debe uncionar como solucin.ara eriicarlo, se diide 3A4<170 entre 1,obtenemos un cociente 1 ' un residuo ,como se es!eraba.

&elacin con el Teorema deFermateditar 

 Artículo principal: e$ue%o teorema de &ermat

El eorema de Euler es una #eneraliacindel teorema de &ermat $ue establece*

Si es un n'mero primo y es un entero, entonces divide al n'mero

$ierre de Ferm

&ermat estableci tal resultado en una carta a&rénicle de Bess', !ero como era usual en él,omiti la !rueba del mismo*

out nomre premier mesure in$#illilement une des puiss#nces 1 de quelque pro'ression que ce soit, et

lepos#nt de l# dite puiss#nce est sousmultiple du

nomre premier donn 1* (***) t cette proposition est

'nr#lement r#ie en toutes pro'ressions et en tous

nomres premiers de quoi je ous enoierois l#

dmonstr#tion, si je n:#ppr;endois d:<tre trop lon'*

odo n.mero primo mide un# de l#s potenuno de cu#lquier pro'resin en l# que el e

un m.ltiplo del primo d#do menos uno* (*

 proposicin es 'ener#lmente ciert# p#r# to

 pro'resiones y todos los n.meros primos

l# prue#, si no temiese que es dem#si#do

ierre de &ermat

7/17/2019 Teorema de Euler

http://slidepdf.com/reader/full/teorema-de-euler-568d2de46de4d 7/9

Co ue sino hasta $ue Euler !rob suteorema, $ue $ued demostrado el resultadode &ermat, !ues es un corolario del teoremade Euler. En notacin de con#ruencias, elteorema de &ermat establece $ue

Si es un n'mero primo y es un entero no divisi%le por ,entonces .

$ierre de Ferm

En la airmacin ori#inal de &ermat, no sehace e!lícita la su!osicin de $ue 'son !rimos relatios. >ado $ue si es unnúmero !rimo, todos los

números son !rimosrelatios con , se cum!le

$ue ' !or tanto el teoremade &ermat es una consecuencia directa delteorema de Euler. or ésta ran al teoremade Euler se le conoce en ocasiones comoteorema de Euler-&ermat.

&e*erenciaseditar 

1. Doler arriba  Fones, Burton G.* Heoríade los númerosI Editorial &. rillas, 5,6.Jéico !"#. 4K

Se pueden consultar editar 

•  6ndres, Meor#e E. (1KK). 'umber

Theor( . >oer. 0-8=-=84-8.

• /ohn, Nare' (1K80). Advanced 'umber

Theor( . >oer. 0-8=-=03-O.

• ErdPs, aul; 5ur"n'i, Fanos(003). Topics in the theor( ofnumbers (a ed. edicin). Ce QorR*5!rin#er. 0-387-K430.

•  6mabda Ber#eron; >aid Ghite(17). Hranscri!cin de la carta de ierrede &ermat a &rénicle de Bess'.I (!d)./onsultado el de se!tiembre de 007.

/ate#orías* 

• eoremas de teoría de números

•  6ritmética modular 

7/17/2019 Teorema de Euler

http://slidepdf.com/reader/full/teorema-de-euler-568d2de46de4d 8/9

• eoremas e!nimos de las matem"ticas

Jenú de nae#acin• /rear una cuenta

•  6cceder 

•  6rtículo

• >iscusin

• Leer 

• Editar 

• Der historial

• ortada

• ortal de la comunidad

•  6ctualidad

•

/ambios recientes• "#inas nueas

• "#ina aleatoria

•  6'uda

• >onaciones

• Cotiicar un error Sm!rimirTe!ortar 

• /rear un libro

• >escar#ar como >&

• Dersin !ara im!rimir Nerramientas

• Lo $ue enlaa a$uí

• /ambios en enlaadas• 5ubir archio

• "#inas es!eciales

• Enlace !ermanente

• Snormacin de la !"#ina

• Elemento de GiRidata

• /itar esta !"#inaEn otros idiomas

•   العرب

• UVWXYZ[\X]

• U^W_XY[\`

• /atal

• etina

• >ansR

• >eutsch

• fgj

• En#lish

•   فسی

• 5uomi

• &rankais

Sr 

7/17/2019 Teorema de Euler

http://slidepdf.com/reader/full/teorema-de-euler-568d2de46de4d 9/9

• p

•   हनद 

• Ja#'ar 

• Bahasa Sndonesia

• qslensRa

• Staliano

•   日本語

• XXX

•   한국어

• vwx_wW

• Cederlands

• olsRi

• ortu#uys

• 2omzn{

• |Z[[\`}

• 5ensRa

• ~rRke

• •\YX€x[\X• i‚n# Diƒt

•   中文

Editar enlaces

• Esta !"#ina ue modiicada !or última e el K se!

014 a las 07*17.

• El teto est" dis!onible ba:o la Licencia /reatie

/ommons 6tribucin /om!artir S#ual  3.0; !odrían ser

a!licables cl"usulas adicionales. Léanse los términos de

uso!ara m"s inormacin.

GiRi!edia„ es una marca re#istrada de la &undacin

GiRimedia, Snc., una or#aniacin sin "nimo de lucro.

• /ontacto