UNIVERSIDAD AUTNOMA DE COAHUILA

FACULTAD DE SISTEMASTEMA: EULER Y RUNGE KUTTAMATERIA: MTODOS NUMRICOS MAESTRA: IRMA DELIA GARCA CALVILLO

ALUMNOS:CECILIA VIRGINIA RAMREZ LPEZHERIBERTO VARGAS MERCADOCARLOS SERNA MADRIGALOSCAR PREZ AGUIRRESolucin numrica De Ecuaciones DiferencialesMtodos Euler y Runge KuttaEstos mtodos numricos son comnmente usados para encontrar solucin a ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:

Ecuaciones Diferenciales OrdinariasConocidas como EDO son aquellas que contienen una funcin desconocida de una variable independiente y se relaciona con sus derivadas.

MTODO DE EULER La idea del mtodo de Euler est basada en el significado geomtrico de la derivada de una funcin en un punto dado. Supongamos que tuviramos la curva solucin de la ecuacin diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condicin inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto X1como una aproximacin al valor deseado Y(X1).

Frmula de aproximacin: Esta es la frmula de Euler que se usa para aproximar el valor de aplicndola sucesivamente desde hasta en pasos de longitud h.

Esta aproximacin puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeo. Pero si el valor de h es ms grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha frmula. Una forma de reducir el error y obtener un mtodo iterativo, es dividir la distancia en n partes iguales y obtener entonces la aproximacin en n pasos, aplicando la frmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a .

Ahora bien, sabemos que: Para obtener nicamente hay que pensar que ahora el papel de lo toma el punto , y por lo tanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que: MTODO DE EULER MEJORADO Este mtodo se basa en la misma idea del mtodo anterior, pero hace un refinamiento en la aproximacin, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La frmula es la siguiente: Donde:

EjemploCalcular la variacin de altura (h) de un tanque cilndrico de rea seccional (A) est lleno con un lquido de cierta densidad, donde el to=0 s su ho=3 m. Calcular que altura tendr el tanque despus de t=180s, dada la ecuacin diferencial para la velocidad en que se vaca dicho tanque.D= 1.5 m d(t)/d(h)=-.6 Q/Arh= 3 m d(t)/d(h)= -.6 As / 1.7671Q= .6 As g= 9.8 m/s2 d(t)/d(h)= -.6(78.5x10-4 m2) /1.7671As=78.5x10-4 m2/4 = 1.7671 d(t)/d(h)= -0.01180587 h1/2d(t)/d(h)= -.6 A / 1.7671

Hacemos cada una de las iteraciones para los resultados.

Resultados:

RUNGE-KUTTA

Mtodo numrico comnmente usado para encontrar solucin a ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:

EJEMPLOQU ALTURA TENDR EL TANQUE AL TRANSCURRIR 180 SEGUNDOS?

En el tanque cilndrico tenemos como lmite inicial que el tiempo es= 0 y se cuenta con una altura de 3 metros, y un dimetro de 1.5 metros se tiene que calcular el contenido del tanque cuando pasaron 180 segundos, donde el intervalo ser de [0,180], donde se dividi en 3 segmentos dado que realizaremos 3 iteraciones. En el problema se desea saber la altura de nuestro tanque cuando han transcurrido 180 segundos.

Ejercicios Elaborados en MatlabEuler

Cdigo

Condiciones inicialTiempo final= PITiempo inicial=0X(t)=0Iteraciones =7

Grafica

Como se puede ver la grfica aproximada est muy lejos de la real debido al nmero de iteraciones.

KuttaLa ecuacin diferencial que describe un oscilador armnico amortiguado y su solucin para unas condiciones iniciales fijadas esCdigo

Condiciones inicialesOsciladorFrecuencia angular, w0: 2Rozamiento, gamma: 0.5Posicin inicial, x0: 1.5Velocidad inicial, v0: 0Tiempo final, tf: 8Nmero de pasos, n: 40

Solo esta la primera iteracin debido a que son muchas.Grafica

Grafica zoom a este intervalo

ResultadoEs que es ms exacta por este mtodo y el nmero de iteraciones