Trabajo de computacion runge kutta francis francisco rafael luis

Universidad Centroccidental

Lisandro Alvarado

Decanato de Agronomía

Programa de Ingeniería Agroindustrial

Computación aplicada

BACHILLERES:

Mendoza Francis C.I 18.546.207

Álvarez Francisco C.I. 18.690.005

Alvarado Rafael C.I. 17.354.316

Flores Luis C.I. 18.923.287

INTRODUCION

Es importante conocer que el método de runge kutta es un método genérico de resolución

numérica de ecuaciones diferenciales, Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado

alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta. Este método surgió como

mejora del método de euler. El método de euler se puede considerar un método de runge

kutta de primer orden.

Método de Runge Kutta

Runge Kutta es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales que

surge como una mejora del método de Euler. El método de Euler se puede considerar como

un método de Runge Kutta de primer orden, el de Heun, es un método de Runge Kutta de

orden dos.

La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor,

que es también un método de un paso, es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo

de la función f(x, y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la

evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de

Runge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor.

El método de Runge-Kutta se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la

forma

Y es sumamente útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los

métodos convencionales (como separación de variables).

El Propósito de los Métodos Numéricos para Ec. Diferenciales es obtener una

solución aproximada a la solución real del Problema de Valor Inicial planteado, como se

puede observar en la siguiente gráfica:

Ecuaciones:

Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales el esquema del método de

Runge Kutta de 2do orden es:

Por otra parte, para la resolución de ec. Diferenciales ordinarias a través del método

de Runge Kutta de 3er orden, las ecuaciones a emplear son:

Aplicaciones:

El método de Runge Kutta se emplea para resolver ecuaciones diferenciales

ordinarias. Dichas ecuaciones son las que modelan la mayoría de situaciones que se pueden

presentar en un estudio, entre ellos tenemos los siguientes casos:

1. Crecimiento poblacional.

2. Estudio de fluidos.

3. Fuerzas elásticas.

4. Sistemas de masa variable.

5. Preparación de soluciones.

6. Cambios de temperatura.

En la Agroindustria:

Éstos son sólo ejemplos de la aplicación, no obstante en la industria y más

específicamente la agroindustria dichos casos son cotidianos, pues en el caso de

microbiología pudiese modelarse el crecimiento o decrecimiento de una población

bacteriana, los cambios de temperatura de una solución así como la cantidad de reactivo

necesario para la concentración de una solución, el estudio de las leyes de Newton, fluidos

Newtonianos y no-Newtonianos, estudios de velocidad de una máquina en un proceso,

entre otros.

hxx ii 1

De manera que los métodos de Runge-Kutta tanto de segundo como de tercer

orden tienen extenso uso en la agroindustria.

Algoritmos

Empleando como ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:

x(0)=2

y(0)=1

0≤t≤3

h=0,2

Para Runge Kutta de 2do orden, un ejemplo del algoritmo es:

%Metodo Runge-Kutta de 2doOrden

x=2;

y=1;

t=0;

tmax=3;

h=0.2;

iter=round((tmax-t)/h);

vectorx=x;

vectory=y;

vectort=t;

for i=1:iter

%calculo de las constantes de Runge-Kutta

K1x=(t^2+x)*h;

K1y=(-t^3)*h

F1=((t+h/2)^2+(x+K1x/2))*h;

F2=(-(t+h/2)^3)*h;

x=x+F1;

y=y+F2;

t=t+h;

vectorx=[vectorx x];

vectory=[vectory y];

vectort=[vectort t];

end

vectorx

vectory

vectort

subplot (1,2,1);

plot(vectort,vectorx,'y-o');

title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. t vs x');

xlabel('valores t');

ylabel('valores x');

subplot (1,2,2);

plot(vectort,vectory,'b-p');

title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. y vs t');


ylabel('valores y');

Para Runge Kutta de 3er orden, un ejemplo de algoritmo sería el siguiente:

Metodo Runge-Kutta de 3erOrden

x=2;

y=1;

t=0;

tmax=3;

h=0.2;

iter=round((tmax-t)/h);

vectorx=x;

vectory=y;

vectort=t;

for i=1:iteraciones


K1x=(t^2+x)*h;

K1y=(-t^3)*h;

K2x=((t+h/2)^2+(x+K1x/2))*h;

K2y=(-(t+h/2)^3)*h;

K3x=((t+h)^2+(x+2*K2x-K1x))*h;

K3y=(-(t+h)^3)*h;

x=x+(K1x+4*K2x+K3x)/6;

y=y+(K1y+4*K2y+K3y)/6;

t=t+h;




end

vectorx

vectory

vectort

subplot (1,2,1);

plot(vectort,vectorx,'y-o');

title('Metodo Runge-Kutta 3erOrden. x vs t');


ylabel('valores x');

subplot (1,2,2);

plot(vectort,vectory,'b-p');

title('Metodo Runge-Kutta 3erOrden. y vs t');



Ejercicios

Runge Kutta de 2do orden:

1. En un medio de cultivo a base de lactosa se comprobó que el crecimiento bacteriano

se modela en base al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

y(0)=2

z(0)=4

0≤x≤2

h= 0,01

Realice el estudio del crecimiento bacteriano en el cultivo empleando un h de 0,01.

Solución:

En las ecuaciones se observa que la variable x es independiente y que las variables y

y z son dependientes, por tanto, a la variable x se le aplicará la siguiente ecuación:

x1 = xo + h = 0 + 0,01 = 0,01

Para poder conocer el valor de y,z es necesario hallar las respectivas k1 para

cada variable:

k1y= h*F (x(o), y(o) , z(o))

k1z= h*G (x(o), y(o) , z(o))

-0,32

Entonces:

Empleando el mismo procedimiento se hallan la otra variable independiente:

Entonces, la tabla de resultados para éste caso es:

Iter. X Y z

0 0 2 4

1 0,01 2.049548124 3.8507008

El algoritmo para éste caso es:

%Metodo Runge-Kutta de 2doOrden

x=0;

y=2;

z=4;

xmax=2;

h=0.01;

iter=round((xmax-x)/h);

vectorx=x;

vectory=y;

vectorz=z;

for i=1:iter


K1y=(-2*y+5*exp(-x))*h;

K1z=((-y*z^2)/2)*h;

F1=(-2*(y+K1y/2)+5*exp(-(x+h/2)))*h;

F2=((-(y+K1y/2)*(z+K1z/2)^2)/2)*h;

x=x+h;

y=y+F1;

z=z+F2;



vectorz=[vectorz z];

end

vectorx

vectory

vectorz

figure

subplot (1,2,1);

plot(vectorx,vectory,'y-o');

title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. x vs y');

xlabel('valores x');


subplot (1,2,2);

plot(vectorx,vectory,'b-p');

title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. x vs z');


ylabel('valores z');

figure

plot(vectorx,vectory,'y-o');

hold on

plot(vectorx,vectorz,'b-p');


ylabel('valores y,z');

title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden.soluciones del sistema de

ecuaciones');

Y las soluciones del programa son:

vectorx =

Columns 1 through 7

0 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600

Columns 8 through 14

0.0700 0.0800 0.0900 0.1000 0.1100 0.1200 0.1300


0.1400 0.1500 0.1600 0.1700 0.1800 0.1900 0.2000


0.2100 0.2200 0.2300 0.2400 0.2500 0.2600 0.2700


0.2800 0.2900 0.3000 0.3100 0.3200 0.3300 0.3400


0.3500 0.3600 0.3700 0.3800 0.3900 0.4000 0.4100


0.4200 0.4300 0.4400 0.4500 0.4600 0.4700 0.4800


0.4900 0.5000 0.5100 0.5200 0.5300 0.5400 0.5500


0.5600 0.5700 0.5800 0.5900 0.6000 0.6100 0.6200


0.6300 0.6400 0.6500 0.6600 0.6700 0.6800 0.6900


0.7000 0.7100 0.7200 0.7300 0.7400 0.7500 0.7600


0.7700 0.7800 0.7900 0.8000 0.8100 0.8200 0.8300


0.8400 0.8500 0.8600 0.8700 0.8800 0.8900 0.9000


0.9100 0.9200 0.9300 0.9400 0.9500 0.9600 0.9700


0.9800 0.9900 1.0000 1.0100 1.0200 1.0300 1.0400


1.0500 1.0600 1.0700 1.0800 1.0900 1.1000 1.1100


1.1200 1.1300 1.1400 1.1500 1.1600 1.1700 1.1800


1.1900 1.2000 1.2100 1.2200 1.2300 1.2400 1.2500


1.2600 1.2700 1.2800 1.2900 1.3000 1.3100 1.3200


1.3300 1.3400 1.3500 1.3600 1.3700 1.3800 1.3900


1.4000 1.4100 1.4200 1.4300 1.4400 1.4500 1.4600


1.4700 1.4800 1.4900 1.5000 1.5100 1.5200 1.5300


1.5400 1.5500 1.5600 1.5700 1.5800 1.5900 1.6000


1.6100 1.6200 1.6300 1.6400 1.6500 1.6600 1.6700


1.6800 1.6900 1.7000 1.7100 1.7200 1.7300 1.7400


1.7500 1.7600 1.7700 1.7800 1.7900 1.8000 1.8100


1.8200 1.8300 1.8400 1.8500 1.8600 1.8700 1.8800


1.8900 1.9000 1.9100 1.9200 1.9300 1.9400 1.9500


1.9600 1.9700 1.9800 1.9900 2.0000

vectory =

Columns 1 through 7

2.0000 2.0097 2.0186 2.0269 2.0346 2.0416 2.0480


2.0539 2.0591 2.0638 2.0680 2.0716 2.0747 2.0773


2.0794 2.0811 2.0822 2.0830 2.0833 2.0832 2.0827


2.0817 2.0805 2.0788 2.0768 2.0744 2.0717 2.0686


2.0653 2.0616 2.0576 2.0534 2.0488 2.0440 2.0390


2.0336 2.0281 2.0223 2.0163 2.0100 2.0036 1.9969


1.9901 1.9830 1.9758 1.9684 1.9608 1.9531 1.9452


1.9372 1.9290 1.9207 1.9122 1.9036 1.8949 1.8861


1.8772 1.8681 1.8590 1.8498 1.8404 1.8310 1.8215


1.8120 1.8023 1.7926 1.7828 1.7730 1.7631 1.7531


1.7431 1.7330 1.7229 1.7128 1.7026 1.6924 1.6822


1.6719 1.6616 1.6513 1.6409 1.6306 1.6202 1.6098


1.5994 1.5890 1.5786 1.5682 1.5578 1.5473 1.5369


1.5265 1.5161 1.5057 1.4953 1.4850 1.4746 1.4643


1.4540 1.4437 1.4334 1.4231 1.4129 1.4027 1.3925


1.3823 1.3722 1.3621 1.3520 1.3419 1.3319 1.3220


1.3120 1.3021 1.2922 1.2824 1.2726 1.2628 1.2531


1.2434 1.2338 1.2242 1.2147 1.2051 1.1957 1.1863


1.1769 1.1675 1.1583 1.1490 1.1398 1.1307 1.1216


1.1125 1.1035 1.0946 1.0857 1.0768 1.0680 1.0593


1.0505 1.0419 1.0333 1.0247 1.0162 1.0078 0.9994


0.9910 0.9827 0.9745 0.9663 0.9581 0.9501 0.9420


0.9340 0.9261 0.9182 0.9104 0.9026 0.8949 0.8872


0.8796 0.8720 0.8645 0.8570 0.8496 0.8422 0.8349


0.8277 0.8205 0.8133 0.8062 0.7991 0.7921 0.7852


0.7783 0.7714 0.7646 0.7579 0.7512 0.7445 0.7379


0.7314 0.7249 0.7184 0.7120 0.7057 0.6994 0.6931


0.6869 0.6807 0.6746 0.6686 0.6625 0.6566 0.6506


0.6448 0.6389 0.6332 0.6274 0.6217

vectorz =

Columns 1 through 7

4.0000 3.8460 3.7027 3.5691 3.4444 3.3277 3.2183


3.1155 3.0189 2.9279 2.8420 2.7608 2.6840 2.6113


2.5424 2.4769 2.4147 2.3555 2.2991 2.2453 2.1941


2.1451 2.0983 2.0535 2.0106 1.9695 1.9301 1.8923


1.8560 1.8212 1.7876 1.7554 1.7244 1.6945 1.6657


1.6379 1.6111 1.5853 1.5603 1.5362 1.5129 1.4903


1.4685 1.4474 1.4270 1.4072 1.3880 1.3694 1.3513


1.3339 1.3169 1.3004 1.2844 1.2689 1.2537 1.2391


1.2248 1.2109 1.1974 1.1842 1.1715 1.1590 1.1469


1.1350 1.1235 1.1123 1.1013 1.0907 1.0802 1.0701


1.0602 1.0505 1.0410 1.0318 1.0228 1.0140 1.0054


0.9970 0.9888 0.9808 0.9729 0.9652 0.9577 0.9504


0.9432 0.9361 0.9292 0.9225 0.9159 0.9094 0.9031


0.8969 0.8908 0.8849 0.8790 0.8733 0.8677 0.8622


0.8568 0.8515 0.8463 0.8413 0.8363 0.8314 0.8266


0.8219 0.8172 0.8127 0.8082 0.8039 0.7996 0.7954


0.7912 0.7871 0.7831 0.7792 0.7754 0.7716 0.7678


0.7642 0.7606 0.7570 0.7536 0.7501 0.7468 0.7435


0.7402 0.7370 0.7339 0.7308 0.7277 0.7248 0.7218


0.7189 0.7161 0.7132 0.7105 0.7078 0.7051 0.7025


0.6999 0.6973 0.6948 0.6923 0.6899 0.6875 0.6851


0.6828 0.6805 0.6782 0.6760 0.6738 0.6717 0.6695


0.6674 0.6654 0.6633 0.6613 0.6594 0.6574 0.6555


0.6536 0.6517 0.6499 0.6481 0.6463 0.6445 0.6428


0.6411 0.6394 0.6377 0.6361 0.6345 0.6329 0.6313


0.6297 0.6282 0.6267 0.6252 0.6237 0.6223 0.6209


0.6194 0.6181 0.6167 0.6153 0.6140 0.6127 0.6114


0.6101 0.6088 0.6075 0.6063 0.6051 0.6039 0.6027


0.6015 0.6004 0.5992 0.5981 0.5970

Gráficamente las soluciones son:

Runge Kutta de 3er orden:

2. El caudal de una tubería de descarga de aguas residuales sufre modificaciones en el

tiempo, lo cual está basado en las siguientes ecuaciones:

w(0)=0

V(0)=2

0≤t≤3

h=0,3

Realice un estudio en el cual se observe gráficamente cómo es la modificación he

dicho caudal si se emplea un intervalo de 0,3 horas.

Solución:

Para este caso, la variable independiente es t, por tanto:

t1 = to + h = 0 + 0,3 = 0,3

Para hallar el valor de V y W es necesario buscar los K1, K2 y K3 de cada

variable con las siguientes ecuaciones:

k1w=hF*(ti,Vi,Wi)

k1w= 0,2*

k1w = -0,6

k1V=hG*(ti,Vi,Wi)

k1V= 0,2*

k1V = 0

k2W=hF

k2w = 0,3*(

k2w =-0,927

k2V= hG

k2V = 0,3*

k2V = 0,03375

k3w=h*F(t0+h, w0 + 2k2w-k1w, V0 +2k2V –k1V)

(0+0.3, 0+2*(-0,927)- (-0,6), 2+2*0,03375-0)

(0.3, -1.254, 2.0675)

k3w= 0,3 * (

k3w= -1,463916

k3V=h*G(t0+h, w0 + 2k2w-k1w, V0 +2k2V –k1V)

(0+0.3, 0+2*(-0,927)- (-0,6), 2+2*0,03375-0)

(0.3, -1.254, 2.0675)

k3V= 0,3 * (

k3V= -2,624294

Una vez halladas las respectivas k1, k2 y k3 por variable, se procederá a calcular

las variables independientes:

w1 = w0 + (k1w+4*k2w+k3w)/6

w1 = 0 + (-0,6+ 4*(-0,927)+ (-1,463916)/6

w1=-0,961986

V1 = V0 + (k1V+4*k2V+k3V)/6

V1 = 2+ (0+ 4*0,03375+ (-2,624294))/6

V1=1,585118

Construyendo una tabla de resultados:

Iter. T W V

0 0 0 2

1 0,3 -0,961986 1,585118

El algoritmo en Matlab es:

%Metodo Runge-Kutta de 3erOrden

t=0;

w=0;

v=2;

tmax=3;

h=0.3;

iteraciones=round((tmax-t)/h);

vectorw=w;

vectorv=v;

vectort=t;

for i=1:iteraciones


K1w=(w^2+2/v-v^2)*h;

K1v=(-w^3+t^2)*h;

K2w=((w+K1w/2)^2+(2/(v+K1v/2))-(v+K1v/2)^2)*h;

K2v=(-(w+K1w/2)^3+(t+h/2)^2)*h;

K3w=((w+2*K2w-K1w)^2+(2/(v+2*K2v-K1v))-(v+2*K2v-K1v)^2)*h;

K3v=(-(w+2*K2w-K1w)^3+(t+h)^2)*h;

w=w+(K1w+4*K2w+K3w)/6;

v=v+(K1v+4*K2v+K3v)/6;

t=t+h;

vectorw=[vectorw w];

vectorv=[vectorv v];


end

vectorw

vectorv

vectort

subplot (1,2,1);

plot(vectort,vectorw,'y-o');

title('Metodo Runge-Kutta 3erOrden. t vs w');


ylabel('valores w');

subplot (1,2,2);

plot(vectort,vectorv,'b-p');

title('Metodo Runge-Kutta 3erOrden. t vs v');


ylabel('valores v');

Las soluciones Gráficas son:

CONCLUCION

La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es

también un método de un paso, es que el métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la

función f(X, Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la

evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de

Runge-Kutta sea más simple que el uso de la serie de Taylor.

Este método es útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los métodos

convencionales (como separación de variables).

El algoritmo de Runge-Kutta es bastante simple, pero para describir con precisión.

Método de Runge-Kutta es un método más general e improvisada en

comparación con la del método de Euler.

BIBLOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta

http://www.scribd.com/doc/23245062/Metodo-de-Runge-Kutta

www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/.../r45643.DOC

John C. Butcher (2003). Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales

ordinarias.

http://mathworld.wolfram.com/Runge-KuttaMethod.html

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta

Trabajo de computacion runge kutta francis francisco rafael luis

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