Trabajo Final de Metodos Numericos - Runge Kutta 4

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MÉTODOS MATEMÁTICOS Y NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA 1FECHA: MAYO 2011

SOLUCIÓN NUMÉRICA PÉNDULO ELÁSTICO OSCILANTE CON RUNGE KUTTA 4 ENMATLAB

Ccarita Cruz Fredy Alan, Hugo Reymundo AlvarezProfesor: Mgt. Roy Sánchez Gutiérrez

Pontificia Universidad Católica del Perú, Maestría en Ingeniería Mecánica, MétodosMatemáticos y Numéricos para Ingeniería

Lima: 27.05.2011

RESUMEN

En este estudio sobre péndulo elástico muelle-masa que se investiga. Con el fin de

resolver un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que se obtienen de la

aplicación de la segunda ley de newton que representan el fenómeno físico y que no es

posible determinar la solución por los métodos analíticos, considerando solucionarlo y

demostrar que si es posible con los métodos numéricos y en este caso utilizaremos el

método numérico de Runge Kutta 4 para sistemas con ayuda del software Matlab, se harála demostración para dos variaciones de longitud del péndulo y ver que eventos se

producen por estas variaciones, los resultados se compararan con otros trabajos para

verificar los mismo, al final quedamos conforme con el trabajo porque lo dicho

anteriormente ha podido ser demostrado.

Palabras claves: péndulo elástico, la oscilación no lineal, la técnica de simulación,

Matlab, Runge - Kutta

ABSTRACT

In this study of elastic spring-mass pendulum is investigated. In order to solve a system ofnonlinear differential equations obtained from the application of Newton's second law to

represent the physical phenomenon and it is not possible to determine the solution by

analytical methods, considering solutions and demonstrate that it is possible with

numerical methods and in this case we use the numerical method of Runge Kutta 4 for

systems using the Matlab software, will show for two variations of length of the pendulum

and see what events are produced by these variations, the results were compared with

other papers for the same in the end we were satisfied with the work because of the above

has been demonstrated

.

Keywords: elastic pendulum, nonlinear oscillation, the technique of simulation, Matlab,

Runge – Kutta 4

1. INTRODUCION

La aplicación de las ecuaciones

diferenciales dentro de la ingeniería

Mecanica para determinar las ecuaciones

que gobiernan los fenómenos físicos de

estudio son muchísimas por no decir

infinitas, pero la gran mayoría de estas no

tienen solución numérica es por esa razón

que se ha hecho necesario solucionar de




alguna manera estas ecuaciones

diferenciales, razón por la cual hoy en día

hay muchos métodos como el Método de

Elementos Finitos (FEM), Diferencias

Finitas (FDM), Método de Variación

Iteracional (VIM), Método de PerturbaciónHomotropica (HPM) etc etc, para nuestro

caso utilizaremos el método de Runge

Kutta 4 en Matlab.

2. ECUACIONES QUE GOBIERNAN ELSISTEMA

Aplicando la segunda ley de Newton y

trabajando en coordenadas cilíndricas(r,θ ) tendríamos lo siguiente:

Ahora podemos escribir

Σ : − sin = (1)

: = 2 ̇ + (2)

− sinθ = m 2 ̇ +

− = 2 ̇ +

= − − 2 ̇

=− − 2 ̇

(3)

Σ : cos − = (4)

: = − ( − ) (5)

= −̈ (6)

− [− ( − )] =

+ ( − ) = −̈

− ( − ) = −̈

=̈ + − ( − )

Figura 1 . Diagrama de cuerpo libre péndulo elástico en el punto 2




=̈ + − ( − ) (7)

De donde:

L : Longitud sin deformar.

r : Radio.: Velocidad radial.

: Asceleración radial.

: Posición angular.

: Velocidad Angular.

: Asceleración Angular.

k : Constante de Rigidez

m : Masa.

g : gravedad.

t : tiempo.

El sistema es conservador porque no hay

amortiguación. Por lo tanto la energía

total (energía cinética y energía potencial)

del sistema es siempre constante y el

tiempo invariante (holonómica).

Con el fin de investigar los

comportamientos de la elástica del

péndulo, algunos parámetros se deben

dar. Por esta razón, la frecuencia natural

del resorte y el péndulo respectivamente,

como sigue:

= = 12.64; = = 19.61

Por otra parte determinaremos una

constante:

= = = 0.35

3. SOLUCIÓN NUMÉRICA

Para la solución numérica con Runge

Kutta 4 para sistemas, debemos de utilizar

las ecuaciones (3) y (7), pero antes

debemos de trasformar estas ecuaciones

a un sistema de ecuaciones diferenciales:

Creación de la matriz μ

= ′ =

′ =

+ ( ) − ( − )

− 2−

( )

Para la solución de este problema

debemos de dar los siguientes datos:

g=9.80665 m/s2; k=40N/m; L=0.5m,

m=0.25Kg

Tendremos lo siguiente:

′

=

+ 9.80665 ( ) − 160 + 80

− 2−

9.80665 ( )

Con las siguientes condiciones iniciales:

=

0.50

30

=

Una vez reemplazado las variables ahora

debemos de utilizar el método de Runge

Kutta 4 para sistemas:

RUNGE-KUTTA 4 PARA SISTEMAS"POR FILAS" DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

Function A=rks4M(F,a,b,Za,M)

%Datos: F es la función vectorial, el

intervalo [a b]

%Za=[x1(a)...xn(a)] es la condición inicial y

M es el número de pasos.




%Resultados: T, vector de los nodos,

Z=[x1(t)... xn(t)],las aproximaciones

h=(b-a)/M;

T=zeros(1,M+1);

Z=zeros(M+1,length(Za));

T=a:h:b;

Z(1,:)=Za;for j=1:M

k1=h*feval(F,T(j),Z(j,:));

k2=h*feval(F,T(j)+h/2,Z(j,:)+k1/2);

k3=h*feval(F,T(j)+h/2,Z(j,:)+k2/2);

k4=h*feval(F,T(j)+h,Z(j,:)+k3);

Z(j+1,:)=Z(j,:)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

end

A=[T' Z];

End

Antes de ello debemos de definir lo

siguiente F,a,b,Za,M

F

function Z=Fs5(t,Z)

a=Z(1);

b=Z(2);

c=Z(3);

d=Z(4);

Z=[b a*d.^2+9.80665*cos(c)-160*a+80 d -

2*b*d./a-9.80665*sin(c)./a];

a=0 ; b=0.5 ; Za=

0.50

30

; M=100

Por lo tanto tendríamos:

A=rks4M('Fs5',0,0.5,[0.5 0 pi/3 0],100)

Que resulta:

A = t r0 0.5000 0 1.0472 0

0.0050 0.5001 0.0245 1.0470 -0.0849

0.0100 0.5002 0.0490 1.0463 -0.1697

0.0150 0.5006 0.0734 1.0453 -0.2542

0.0200 0.5010 0.0976 1.0438 -0.3384

0.0250 0.5015 0.1217 1.0419 -0.4221

0.0300 0.5022 0.1455 1.0396 -0.5051

0.0350 0.5030 0.1691 1.0369 -0.5875

0.0400 0.5039 0.1924 1.0337 -0.6690

0.0450 0.5049 0.2153 1.0302 -0.7495

0.0500 0.5060 0.2378 1.0262 -0.8291

0.0550 0.5073 0.2599 1.0219 -0.9075

0.0600 0.5086 0.2815 1.0171 -0.9847

0.0650 0.5101 0.3026 1.0120 -1.06050.0700 0.5117 0.3231 1.0065 -1.1351

0.0750 0.5133 0.3429 1.0007 -1.2081

0.0800 0.5151 0.3621 0.9945 -1.2797

0.0850 0.5169 0.3807 0.9879 -1.3498

0.0900 0.5189 0.3984 0.9810 -1.4182

0.0950 0.5209 0.4154 0.9737 -1.4850

0.1000 0.5230 0.4315 0.9661 -1.5502

0.1050 0.5252 0.4468 0.9582 -1.6137

0.1100 0.5275 0.4612 0.9500 -1.6755

0.1150 0.5299 0.4746 0.9415 -1.7356

0.1200 0.5323 0.4871 0.9326 -1.7940

0.1250 0.5347 0.4986 0.9235 -1.8508

0.1300 0.5372 0.5090 0.9141 -1.90580.1350 0.5398 0.5184 0.9045 -1.9592

0.1400 0.5424 0.5266 0.8945 -2.0110

0.1450 0.5451 0.5338 0.8844 -2.0612

0.1500 0.5478 0.5398 0.8739 -2.1098

0.1550 0.5505 0.5447 0.8633 -2.1569

0.1600 0.5532 0.5484 0.8524 -2.2025

0.1650 0.5560 0.5509 0.8412 -2.2467

0.1700 0.5587 0.5523 0.8299 -2.2895

0.1750 0.5615 0.5525 0.8183 -2.3310

0.1800 0.5642 0.5515 0.8066 -2.3712

0.1850 0.5670 0.5493 0.7946 -2.4101

0.1900 0.5697 0.5459 0.7825 -2.4479

0.1950 0.5724 0.5414 0.7702 -2.48460.2000 0.5751 0.5358 0.7576 -2.5202

0.2050 0.5778 0.5290 0.7450 -2.5548

0.2100 0.5804 0.5211 0.7321 -2.5885

0.2150 0.5830 0.5121 0.7191 -2.6213

0.2200 0.5855 0.5021 0.7059 -2.6533

0.2250 0.5880 0.4911 0.6925 -2.6845

0.2300 0.5905 0.4791 0.6790 -2.7149

0.2350 0.5928 0.4662 0.6654 -2.7447

0.2400 0.5951 0.4525 0.6516 -2.7739

0.2450 0.5973 0.4378 0.6377 -2.8025

0.2500 0.5995 0.4224 0.6236 -2.8306

0.2550 0.6016 0.4063 0.6094 -2.8582

0.2600 0.6036 0.3895 0.5950 -2.8853

0.2650 0.6055 0.3721 0.5805 -2.9120

0.2700 0.6073 0.3541 0.5659 -2.9383

0.2750 0.6090 0.3357 0.5511 -2.9643

0.2800 0.6106 0.3168 0.5362 -2.9900

0.2850 0.6122 0.2976 0.5212 -3.0153

0.2900 0.6136 0.2781 0.5061 -3.0404

0.2950 0.6149 0.2583 0.4908 -3.0653

0.3000 0.6162 0.2385 0.4754 -3.0899




0.3050 0.6173 0.2185 0.4599 -3.1142

0.3100 0.6184 0.1985 0.4443 -3.1383

0.3150 0.6193 0.1786 0.4285 -3.1622

0.3200 0.6202 0.1587 0.4127 -3.1859

0.3250 0.6209 0.1391 0.3967 -3.2093

0.3300 0.6216 0.1197 0.3806 -3.2325

0.3350 0.6221 0.1006 0.3644 -3.25550.3400 0.6226 0.0819 0.3480 -3.2782

0.3450 0.6229 0.0636 0.3316 -3.3006

0.3500 0.6232 0.0458 0.3150 -3.3227

0.3550 0.6234 0.0286 0.2983 -3.3444

0.3600 0.6235 0.0119 0.2816 -3.3658

0.3650 0.6235 -0.0041 0.2647 -3.3868

0.3700 0.6234 -0.0195 0.2477 -3.4074

0.3750 0.6233 -0.0342 0.2306 -3.4275

0.3800 0.6231 -0.0481 0.2134 -3.4471

0.3850 0.6228 -0.0612 0.1961 -3.4662

0.3900 0.6225 -0.0736 0.1788 -3.4846

0.3950 0.6221 -0.0851 0.1613 -3.5024

0.4000 0.6216 -0.0958 0.1437 -3.51950.4050 0.6211 -0.1057 0.1261 -3.5358

0.4100 0.6206 -0.1147 0.1084 -3.5514

0.4150 0.6200 -0.1229 0.0906 -3.5660

0.4200 0.6194 -0.1302 0.0727 -3.5798

0.4250 0.6187 -0.1367 0.0548 -3.5926

0.4300 0.6180 -0.1423 0.0368 -3.6043

0.4350 0.6173 -0.1472 0.0188 -3.6150

0.4400 0.6165 -0.1513 0.0007 -3.6245

0.4450 0.6158 -0.1546 -0.0175 -3.6329

0.4500 0.6150 -0.1572 -0.0357 -3.6400

0.4550 0.6142 -0.1591 -0.0539 -3.6458

0.4600 0.6134 -0.1603 -0.0721 -3.6502

0.4650 0.6126 -0.1610 -0.0904 -3.6533

0.4700 0.6118 -0.1611 -0.1087 -3.6550

0.4750 0.6110 -0.1606 -0.1269 -3.6552

0.4800 0.6102 -0.1597 -0.1452 -3.65390.4850 0.6094 -0.1584 -0.1635 -3.6510

0.4900 0.6086 -0.1568 -0.1817 -3.6466

0.4950 0.6078 -0.1548 -0.1999 -3.6407

0.5000 0.6070 -0.1526 -0.2181 -3.6331

>> plot(A(:,1),180*A(:,4)/pi,'r')

(Tiempo * Grados sexagecimales)

grid on

axis on

>> plot(A(:,1),A(:,2), 'r')

xlabel('tiempo')

ylabel('radio')

Figura 2 . Diagrama de Posición en función del tiempo – Péndulo Elástico




Si deseamos saber la posición de r

cuando el péndulo llega a 0°, se tendría lo

siguiente:

El tiempo que la masa del péndulo llega a

la posición:

Θ =0° t=0.44 s.

Figura 3. Diagrama de radio en función del tiempo – Péndulo Elástico.

Figura 4. Diagrama para determinar el tiempo cuando Θ =0°




4. CONCLUSIONES

En este trabajo, se pudo demostrar que si

es posible solucionar ecuaciones

diferenciales por métodos numéricos que

en este caso el Runge Kutta 4, aplicado al

péndulo elástico, también se demostró

que cuando se hace la variación de la

longitud “L”, la intensidad del movimientooscilatorio aumenta con una mayor

elongación de la cuerda elástica, dentro

del campo de las vibraciones este péndulo

se consideraría como un sistema con dos

grados de libertar clasificado como una

vibración libre debido por solo a la

presencia de las fuerzas gravitatorias y

elásticas,

5. REFERENCIAS

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Jorge Rodriguez Hernandez, 2010,

Dinamica, Cap II, Cap X

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Georgiou, I. T. 1999. On the global

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Girgin, Z. 2008. Combining differentialquadrature method with simulation

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Figura 5. Diagrama de comparación – para dos casos de L (L1=0.5m y L2=0.575m)

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