INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Y SOLUCIÓN NUMÉRICA

DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

PRESENTADO POR:

PROFESOR:

LUIS GOMEZ MONGUA

UNIVERSIDAD DE SUCRE

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA CIVIL

METODOS NUMERICOS

04 DE DICIEMBRE DEL 2013

TRABAJO DE METODOS NUMERICOS

Considere la siguiente situación

1. Obtenga una solución numérica mediante el método de Euler, con h=0.1

implementando Excel.

Como h=0.1, entonces las iteraciones necesarias para hallar los valores de son:

X0 0

X1 0,1

X2 0,2

X3 0,3

X4 0,4

X5 0,5

METODO DE EULER

Iteración i=0

Iteración i=1

Realizando el mismo proceso para las demás iteración, se obtuvieron los

resultados mostrados en la siguiente tabla.

Y0 1

Y1 1,02

Y2 1,061616

Y3 1,12923771

Y4 1,23125194

Y5 1,38285007

La solución exacta de la ecuación diferencial ordinaria es: y esta

arroja los valores de , los cuales se muestran en la siguiente tabla mostrando

también los errores obtenidos en cada punto.

Por M. de Euler Ec. Exacta Error

1 1 0

1,02 1,01010101 0,00989899

1,061616 1,041666667 0,019949333

1,129237712 1,098901099 0,030336613

1,231251937 1,19047619 0,040775746

1,38285007 1,333333333 0,049516737

Graficando los valores obtenidos tanto por el método de Euler como por la

ecuación exacta se obtienen las siguientes gráficas.

2. Obtenga una solución numérica mediante el método de Euler modificado, con

h=0.1 implementando Excel.

METODO DE EULER MODIFICADO

Primera iteración

Los demás resultados se presentan en la siguiente tabla, tanto los valores de K

como los resultados finales de y & el respectivo error.

CACULOS DE LOS COEFICIENTES K

VALORES OBTENIDOS DE Y

i K1 K2

Y0 1

i=0 0 0,2

Y1 1,01

i=1 0,20402 0,424691313

Y2 1,04143557

i=2 0,43383521 0,706099471

Y3 1,0984323

i=3 0,72393211 1,096665902

Y4 1,1894622

i=4 1,13185626 1,69689136

Y5 1,33089958

i=5 1,7712937 2,728981581

Por M. Euler Mod. Ec. Exacta Error

1 1 0

1,01 1,01010101 0,00010101

1,041435566 1,041666667 0,000231101

1,0984323 1,098901099 0,000468799

1,189462201 1,19047619 0,00101399

1,330899582 1,333333333 0,002433752

3. Obtenga una solución numérica mediante el método de Runge Kutta de cuarto

orden con h=0.1 implementando Excel.

METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN

Donde

Primera Iteración

Los resultados para las demás iteraciones se presentan en las siguientes tablas.

i K1 K2 K3 K4

i=0 0 0,1 0,1010025 0,204060503

i=1 0,20406084 0,31230616 0,31562824 0,434025485

i=2 0,43402806 0,56537619 0,57238133 0,724555508

i=3 0,72455135 0,90196337 0,91611545 1,133857977

i=4 1,13379049 1,39988438 1,42991143 1,778140231

i=5 1,77778705 2,22499998 2,29551415 2,931143523

Por M. de Euler Ec. Exacta Error

1 1 0

1,010101092 1,01010101 8,16158E-08

1,04166701 1,04166667 3,4377E-07

1,098901987 1,0989011 8,8845E-07

1,190478104 1,19047619 1,91306E-06

1,333336809 1,33333333 3,476E-06

Graficando los valores obtenidos por medio del método de Runge Kutta y los de

la ecuación exacta se logran observar que las gráficas son muy parecidas, como

se logra apreciar en la siguiente gráfica.

4. Para cada conjunto de puntos obtenidos en 1,2 y 3 construya los respectivos

polinomios de interpolación de LaGrange en Excel y grafíquelos utilizando graph

Para el método de EULER tenemos

X Y

0 1

0.1 1.02

0.2 1.061616

0.3 1.12923771

0.4 1.23125194

0.5 1.38285007

Las parejas ordenadas son:

El polinomio de Lagrange es:

.

Graficándolo en graph con la ecuación solución se tiene que:

Para el método de EULER MODIFICADO tenemos

X Y

0 1

0.1 1.01

0.2 1.04143557

0.3 1.0984323

0.4 1.1894622

0.5 1.33089958

Las parejas ordenadas son:

Los valores de son los mismos calculados para el método de euler, lo único

que cambia son los valores de y.

El polinomio de Lagrange es:

.

Graficándolo en graph con la ecuación solución se tiene que:

Para el método de RUNGE KUTTA DE ORDEN 4 (RK4) tenemos

X Y

0 1

0.1 1,010101092

0.2 1,04166701

0.3 1,098901987

0.4 1,190478104

0.5 1,333336809

Los valores de son los mismos calculados para el método de Euler y Euler

Modificado, lo único que cambia son los valores de y.

El polinomio de LaGrange es:

.

Graficando el polinomio observamos que es muy parecido a la de la función

exacta.

5. ¿Cuál método numérico genera la solución más cercana a la solución exacta?

Respondiendo a la pregunta podemos ver que la grafica que más se asemeja a la

solución exacta tanto en Excel como en el graph, es la solución que proporciona el

método de RUNGE KUTTA DE ORDEN 4 O RK4.

Este resultado era el que esperábamos, debido a que el método de RUNGE

KUTTA es una mejora del método de Euler, razón por la cual se concluye que el

método más exacto para estimar ecuaciones diferenciales ordinarias es el método

de RUNGE KUTTA.