TEORÍA DE SEÑALES

Notas de clase.

Preparadas por Pedro Pablo Botero C.

Segundo semestre de 2003

Programa:

1. Caracterización de las señales y los sistemas en los dominios tiempo, frecuencia y

estadístico.

2. Modulación pulsada

3. Transmisión en banda base

4. Transmisión en banda pasante.

Bibliografía:

• Digital communications, fundamentals and applications. Sklar, Bernard. Ed. Prentice

Hall. 1988

• Sistemas de comunicación digitales y analógicos. Couch, Leon W. Ed. Prentice Hall.

Quinta edición, 1997.

• Introducción a los sistemas de comunicación. Stremler, Ferrel G. Ed. Addison Wesley.

Tercera edición, 1993.

• Transmisión de información, modulación y ruido. Scwartz, Mischa. Ed. Mc. Graw Hill.

Tercera edición, 1983.

• Sistemas de comunicación, Carlson, A. B. Ed. Mc. Graw Hill. Primera edición, 1980.

• Procesamiento de señales analógicas y digitales. Ambardar, Ashok. Ed. Thomson

learning. Segunda edición. 2002.

Introducción.

1.1. El sistema de comunicación

o El transmisor

o El receptor

o El canal

§ Distorsiones

• Atenuación

• Ganancia y retardos dependientes de la frecuencia

• Restricciones de ancho de banda

• Ruido

• Interferencias

o Diagrama completo de un sistema de comunicaciones digitales (Ver Sklar)

1.2. Relación de las diferentes asignaturas del área de comunicaciones

1.3. Objetivos del curso

1.4. Programa

1.5. Evaluación

Fin de la primera clase

1.6. El contenido de información de una señal

Para que una señal tenga información debe cumplir dos requisitos:

• La señal deber variar con el tiempo

• Estas variaciones deben ser impredecibles

Esto significa que el contenido de información de una señal esta relacionado directamente

con el número de estados distinguibles que ésta tenga y con la probabilidad de ocurrencia

de cada uno de ellos, de tal manera que los más probables tienen menor información que

los menos probables. Según lo anterior el contenido de información del i-ésimo estado con

probabilidad iP estará dado por:

( )ii PI /1log 2=

La información promedio de la señal (entropía) está dada por:

∑=i

ii IPH

Esto tiene aplicaciones en el diseño de códigos en donde se asignan los más largos a las

señales menos probables y los más cortos a las más probables.

Ej. : Código Morse.

1.7. Limitaciones fundamentales de los canales de comunicaciones

De los problemas que se presentan en la transmisión de información a través de un canal,

son el ruido y la limitación en la velocidad de variaciones de la energía los más importantes

en el sentido que nunca se pueden evitar. Esto puede analizarse de la siguiente manera:

Para obtener un uso eficiente del canal se quisiera transmitir cada vez más información a

través de él aumentando la velocidad de variación de la señal o aumentando el número de

estados distinguibles. Manteniendo fijo el número de estados distinguibles se podría

aumentar la velocidad de variación (por ejemplo enviando mas bits por segundo en el caso

de la transmisión digital), esto no puede hacerse de manera indefinida porque el canal es un

sistema físico que recibe energía, la almacena y posteriormente la entrega a la salida, lo que

toma un tiempo dependiente de las características propias del sistema. Si el tiempo mínimo

de variación de la señal es inferior al de respuesta del sistema, entonces este último termina

saturado e incapaz de responder a las variaciones de energía de entrada. Por el contrario si

se mantiene fija la velocidad de variación de la energía de la señal de entrada podría

incrementarse el número de niveles distinguibles, pero eso implicaría que la amplitud de la

señal crecería indefinidamente( con un incremento inmanejable de la potencia de la señal)

o por el contrario que los niveles estarían más juntos, lo que conduciría irremediablemente

a que se confundieran unos con otros en el proceso de decisión en el receptor a causa de la

presencia de ruido aditivo

2. Caracterización de las señales y los sistemas en los dominios tiempo, frecuencia y

estadístico

2.1. Introducción

2.2. Necesidad de caracterizar las señales y los sistemas en los distintos dominios

En el proceso de transmisión de la señal a través de un sistema de comunicaciones, aquella

sufre modificaciones en su forma que tratan de cambiar su contenido de información. Tales

variaciones pueden ser analizadas en el tiempo comparando la forma original de la señal

con la de salida. De este análisis es posible sacar algunas conclusiones en cuanto a las

modificaciones necesarias en la señal o en el sistema para lograr mejorar el proceso. Por

ejemplo se puede observar el cambio de pendiente de subida o el cambio de la duración

mínima de una señal y sacar conclusiones en cuanto a la velocidad de respuesta del sistema

y proceder a modificar el ancho de banda de la señal o del sistema. De manera similar se

podría con base en la pendiente máxima de subida de una señal pulsada o en su duración

mínima sacar conclusiones acerca de la velocidad mínima de respuesta de un sistema o

viceversa conociendo esta se podría saber cuales son los tiempos de subida o de duración

mínima apropiados de la señal (diseño de la señal). El problema radica en la gran

diversidad de formas que puede tomar la señal, aunque se trate de señales del mismo tipo y

además en que las modificaciones pueden no ser significativas aunque en apariencia lo

sean.

Por otro lado la señal y las modificaciones que sufre en su viaje por el sistema se pueden

analizar desde el punto de vista de la velocidad de variación de la energía o sea desde el

punto de vista del contenido espectral, con éste tipo de análisis se puede observar de

manera gráfica cuales son los rangos de variación de energía más importantes de la señal (o

sea cuales son las componentes que más aportan en la construcción de esta) o a cuales

rangos de variación responde más apropiadamente el sistema (filtro).

Adicionalmente la mayoría de las señales de interés son de naturaleza aleatoria y por tanto

solo es posible conocerlas con base en promedios, los cuales se calculan por medio de su

comportamiento estadístico determinado por su probabilidad de ocurrencia en el caso de

señales discretas o por medio de la función densidad de probabilidad en el caso de señales

continuas. Es necesario, entonces, hacer un repaso de algunos conceptos estadísticos.

2.3. Caracterización de las señales en el dominio tiempo:

La representación en el dominio del tiempo permite obtener una serie de parámetros de la

señal y de su relación con el sistema.

• Frecuencia, retardos (o desfases), ciclo de dureza, Amplitud, nivel DC, potencia,

energía,

• velocidad de variación, parecido (dependencia) de una señal con otra, relación

entrada salida de un sistema

• También se puede construir señales en términos de señales más simples sinusoidales

y determinar cuales son las componentes más importantes de la señal

• Instrumentos de medida y representación: El osciloscopio, el multímetro y el

vatímetro.

2.3.1. Promedios temporales:

Permiten calcular el valor medio, la cantidad de potencia o energía de una señal

determinística, su velocidad de variación, el parecido de una señal con otra.

2.3.1.1.Nivel DC

( )∫−

∞→=

2

2

1limT

TT

dttfT

f

Con este valor se puede calcular la potencia de la componente directa que se puede

considerar como un desperdicio desde el punto de vista que una señal DC no porta

información.

2.3.1.2.El valor cuadrático medio

( )∫−

∞→=

2

2

22 1lim

T

TT

f dttfT

Con este término se puede calcular la potencia eficaz de la señal conociendo el nivel de

carga sobre el que se aplica. Para simplificar el análisis en comunicaciones se asume un

nivel de 1 ohmio, lo que hace que la potencia eficaz y el cuadrático medio coincidan. La

raíz cuadrática media de este término se denomina valor rms

2.3.1.3.La energía de una señal

∫∞

∞−

= dttfE 2)(

Este parámetro permite determinar si una señal es de potencia o energía y por lo tanto el

tipo de representación a usar: La serie o la transformada de Fourier.

También permite determinar el tipo de correlación a usar en el caso de determinar la

dependencia de una señal con otra

La señal de potencia tiene energía infinita y la señal de energía tiene potencia media cero

2.3.2. La convolución

Permite conocer la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo ante cualquier

señal de entrada siempre y cuando se conozca su respuesta al impulso.

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−= τττ dtxhty

La otra alternativa de cálculo consiste en resolver la ecuación diferencial del sistema que

relaciona la entrada con la salida. Ambos cálculos son bastante laboriosos en la mayoría de

los casos además de asumir que el sistema es lineal e invariante en el tiempo lo que no es

cierto en la mayoría de los sistemas reales y no dan mucha información acerca de cómo

afecta el sistema a la señal.

Fin de la segunda clase 11/09/2003

2.3.3. La correlación:

Este promedio permite medir la dependencia de una señal con otra (correlación cruzada) o

de una señal consigo misma retrasada (lo que en definitiva permite medir la velocidad de

variación de la señal). Se define como la transformada inversa de la densidad espectral de

potencia de la señal. Tiene analogía con la medida de la dependencia lineal entre vectores

Repaso de conjunto base, producto escalar y dependencia lineal. Ortogonalidad, etc.

Dos señales son ortogonales todo el tiempo si su producto interno cumple lo siguiente:

( ) ( ) { mnkdtttnmn =

≠=∫ si mn si 0*φφ

Esto para el caso de que las señales sean de energía, para las de potencia el producto interno

debe cumplir con:

( ) ( ) { mnktdttT n

T

TmnT =

≠=∫−

∞→ si mn si 01lim

2

2

*φφ

En donde, en el primer caso, nk sería la energía de la señal o el cuadrático medio en el

segundo.

La correlación compara dos señales para medir su dependencia lineal al retrasar una con

respecto a la otra o una señal consigo misma retrasada lo que da una medida de su

variación. Su definición depende de si las señales son de potencia o son de energía.

Correlación para señales de energía;

( ) ( ) ( )dttytxrxy ∫∞

∞−

+= ττ *

Correlación para señales de potencia;

( ) ( ) ( )dttytxTT

r

T

Txy ∫

−

+∞→

=2

2

*1limττ

Ejemplos:

Calcular la correlación cruzada o la auto correlación de

• Dos señales continuas

• Un pulso

Fin tercera clase (16/09/2003)

• Una señal sinusoidal

• Un tren periódico de pulsos

Propiedades de la función de correlación

• Simetría

• Valor máximo y valor cuadrático medio

• Periodicidad

• Correlación de la suma de dos señales

Ejemplos:

• PSK

• FSK

• RADAR

Fin de la cuarta clase (18 de septiembre de 2003)

2.3.4. La serie y la transformada de Fourier

Se representan señales por medio de señales sinusoidales que tienen la característica

interesante de poseer una sola frecuencia. Por medio de esta representación se puede

conocer cuales de las frecuencias ( o velocidades de variación de la energía) son las que

más aportan en la construcción de la señal (Esto se caracteriza con el parámetro ancho de

banda de la señal). Al dibujar las amplitudes y fases de las distintas componentes

construimos lo que se denomina el espectro( de amplitud y de fase) de la señal.

Se requiere para la construcción del espectro (análisis) conocer la función matemática que

tiene la señal (señal determinística) o de un instrumento como el analizador de espectros

que permite dibujar una estimación espectral de la señal pues solo calcula el espectro

correspondiente a segmentos de esta ( lo que conduce al concepto de resolución y a la

relación inversa tiempo ancho de banda de resolución)

Con el análisis espectral es posible también conocer como cambia el sistema a la señal en el

sentido que modifica las distintas componentes de esta o lo que es lo mismo como es la

velocidad de respuesta del sistema ante las variaciones de energía a su entrada en el sentido

que produzca respuestas proporcionalmente distintas dependiendo de la frecuencia de las

componentes (respuesta en magnitud) o distintos retrasos (respuesta en fase) lo que

caracteriza la respuesta en frecuencia del sistema y conduce a un parámetro que mide el

rango espectral en donde el sistema trabaja bien (ancho de banda del sistema)

La representación de las señales por medio de la serie o la transformada de Fourier depende

de si la señal es periódica o no.

2.3.4.1.Representación de señales periódicas por medio de las series de

Fourier

Si ( )tx es una señal periódica real con periodo T , se puede representar por medio de

señales sinusoidales armónicas de frecuencia 0ωn con Tπω 2

0 = , de la siguiente manera:

( ) ∑∑∞

=

∞

=

++=1

01

00 cosn

nn

n tsennbtnaatx ωω

En donde:

( )∫−

=2

2

01

T

T

dttxT

a

0a Representa el nivel DC de la señal.

( ) ( )∫−

=2

2

cos2T

Ton dttntx

Ta ω

( ) ( )∫−

=2

2

2T

Ton dttnsentx

Tb ω

También se puede utilizar la serie exponencial compleja para representar señales reales o

complejas:

( ) tojn

nneCtx ω∑

∞

−∞=

=

En donde los coeficientes de la serie están dados por:

( ) dtetxT

C tojn

T

Tn

ω∫−

=2

2

1

La relación entre la serie trigonométrica y la serie exponencial compleja:

( )( )

( )nnn

nn

nn

bjaC

CbCa

*21

Im2Re2

−=

−==

Relación de PARSEVAL:

Permite calcular la potencia de una señal por medio de los coeficientes de la serie de

Fourier.

( ) ∑∑∑∫∞

=

∞

=

∞

−∞=−

++==∞→

=1

2

1

220

22

2

2lim

nn

nn

nn

T

T

baaCdttxT

P

Ejemplos:

• señal sinusoidal

• Tren periódico de impulsos

• Tren periódico de pulsos y su ancho de banda (Gráfico del tren periódico de pulsos

utilizando diferente número de frecuencias en Mathcad)

Fin quinta clase

Análisis, usando Mathcad, del contenido espectral de un tren periódico de pulsos en

función de la duración mínima de estos:

Definiciones: El pulso:

P( ),,,t A τ T ifA 0 t τ

if0 <τ t T

otherwise0 La frecuencia:

wo( )T.2 π

T

La potencia media del pulso:

Pt( ),,A T τ.A2 τ

T Los coeficientes de la serie de Fourier:

C( ),,,k A T τ .1T

d0

τt.P( ),,,t A τ T e

...j wo( )T k t

La potencia de cada armónico:

p( ),,,k A T τ ( )C( ),,,k A T τ2

La potencia hasta el k_esimo armónico:

suma( ),,,k A T τ .2

= 0

k

i

( )C( ),,,i A T τ2 ( )C( ),,,0 A T τ

2

El ancho de banda:

B( ),k T .k wo( )T

.2 π La señal generada con los armónicos significativos:

out( ),,,,t k A T τ

= k

k

i

.C( ),,,i A T τ e...j i wo( )T t

Análisis para un tren de pulsos de amplitud 5=A período 5=T y duración de pulso

5.2=τ : A 5 τ 2.5 T 5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

La frecuencia de la señal:

=wo( )T 1.257 La potencia media del pulso:

=Pt( ),,A T τ 12.5

Los coeficientes de la serie de Fourier y su respectivo aporte de potencia se muestran en la

siguiente tabla:

k Ck Pk

=M

0 1 2

01

23

4567

89

1011

12

-6 8.255 10-13 0-5 0.318i 0.101

-4 1.101 10-12 0-3 0.531i 0.281

-2 8.254 10-13 0-1 1.592i 2.5330 2.5 6.251 -1.592i 2.533

2 8.254 10-13 03 -0.531i 0.281

4 1.101 10-12 05 -0.318i 0.101

6 8.255 10-13 0

La potencia acumulada en los armónicos:

k ∑k

kP

=M1

0 1012345678910

0 6.251 11.3162 11.3163 11.8794 11.8795 12.0826 12.0827 12.1858 12.1859 12.24810 12.248

Pbw .0.9 Pt( ),,A T τ

=Pbw 11.25

Esto quiere decir que solo se requiere el nivel DC y el primer armónico para lograr el 90% de la potencia total, de tal manera que el ancho de banda que se necesita es:

=B( ),1 T 0.2 La señal Generada con los armónicos significativos:

0 5 10 15 20 25 302

0

2

4

6

Análisis para un tren de pulsos de amplitud 5=A período 5=T y duración de pulso

1=τ : A 5 τ 1 T 5 t ..,0 0.1 50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

La frecuencia de la señal:

=wo( )T 1.257 La potencia media del pulso:

=Pt( ),,A T τ 5

Los coeficientes de la serie de Fourier y la potencia de cada armónico:

k kC kP

=M

0 1 2

01234

567891011121314

1516171819

20

-10 4.402 10-13 0-9 -0.084+0.061i0.011-8 -0.058+0.18i 0.036-7 0.067+0.206i 0.047-6 0.126+0.092i 0.024

-5 3.302 10-13 0-4 -0.189+0.137i0.055-3 -0.156+0.48i 0.255-2 0.234+0.72i 0.573-1 0.757+0.55i 0.8750 1 11 0.757-0.55i 0.8752 0.234-0.72i 0.5733 -0.156-0.48i 0.2554 -0.189-0.137i 0.055

5 3.302 10-13 06 0.126-0.092i 0.0247 0.067-0.206i 0.0478 -0.058-0.18i 0.0369 -0.084-0.061i 0.011

10 4.402 10-13 0

Pbw .0.9 Pt( ),,A T τ

=Pbw 4.5

La potencia acumulada en los armónicos: k ∑

kkP

=M1

0 1012345678910

0 11 2.752 3.8963 4.4054 4.5145 4.5146 4.5637 4.6578 4.7289 4.7510 4.75

En este caso se requiere hasta el cuarto armónico para lograr el 90% de la potencia total. El ancho de banda:

=B( ),4 T 0.8 La señal Generada con los armónicos significativos:

0 5 10 15 20 255

0

5

10

Análisis para un tren de pulsos de amplitud 5=A período 5=T y duración de pulso 5.0=τ :

A 5 τ 0.5 T 5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

La frecuencia de la señal:

=wo( )T 1.257 La potencia media del pulso:

=Pt( ),,A T τ 2.5

Los coeficientes de la serie de Fourier y la potencia de cada armónico: k kC kP

=M

0 1 2

012345678910111213141516171819

20

-10 -6.761 10-10 0-9 -0.052+0.017i0.003-8 -0.095+0.069i0.014-7 -0.108+0.149i0.034-6 -0.078+0.24i 0.064-5 0.318i 0.101-4 0.117+0.36i 0.143-3 0.252+0.347i 0.184-2 0.378+0.275i 0.219-1 0.468+0.152i 0.2420 0.5 0.251 0.468-0.152i 0.2422 0.378-0.275i 0.2193 0.252-0.347i 0.1844 0.117-0.36i 0.1435 -0.318i 0.1016 -0.078-0.24i 0.0647 -0.108-0.149i 0.0348 -0.095-0.069i 0.0149 -0.052-0.017i 0.003

10 -6.761 10-10 0

La potencia acumulada en los armónicos: k ∑

kkP

=M1

0 1012345678910

0 0.251 0.7342 1.1713 1.544 1.8265 2.0296 2.1567 2.2248 2.2519 2.25710 2.257

Pbw .0.9 Pt( ),,A T τ

=Pbw 2.25 En este caso se requiere hasta el octavo armónico para lograr el 90% de la potencia total El ancho de banda:

=B( ),8 T 1.6 La señal Generada con los armónicos significativos:

0 5 10 15 20 25 302

0

2

4

6

De este ejemplo se puede concluir:

o Que el ancho de banda es función fundamentalmente de la duración mínima del

pulso y no de su frecuencia de repetición.

o Que el ancho de banda necesario para este tipo de señal estará en el intervalo

ττ1

21

≤≤ B

Este criterio se generaliza para señales de cualquier tipo tomando en cuenta la duración

mínima de sus pulsos.

• ANCHO DE BANDA EN TV

Se calcula bajo la suposición de que se envía un patrón de pulsos que generan en la pantalla

una imagen de puntos blancos y negros, hallando la duración mínima de cada pulso de tal

manera que los puntos generados se puedan distinguir a una distancia de visión normal lo

cuál significa que para una pantalla de 10 pulgadas (8 pulgadas de anchura y 6 pulgadas de

altura) los puntos deben tener las siguientes dimensiones:

Altura H=0.0121 pulgadas

Longitud L=0.0188 pulgadas.

La imagen completa se genera con un patrón de líneas horizontales que se construyen con

un barrido del haz electrónico de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo

simultáneamente en dos campos (conformado uno por las líneas pares y el otro por las

líneas impares) a una rata de 30 cuadros por segundo (60 campos por segundo).

En el retroceso del haz de derecha a izquierda y de abajo hacia arriba se apaga el haz pero

se da un tiempo de retroceso. Estos dos barridos se producen con señales diente de sierra

que tienen un tiempo de caída diferente de cero(tiempo de retroceso).

El número de líneas horizontales está dado por :

4950121.06

=

=hN

Se deja un tiempo de retroceso equivalente a 30 líneas horizontales de tal manera que el

número total de líneas es de 525.

La frecuencia horizontal:

Hz 15750525*30

==hf

El tiempo de línea:

s 63.5

s 15750

1

µ=

=hT

Se dejan 10 s µ para el retorno del haz, por lo que el tiempo de línea es de 53.5 s µ

El número de puntos por línea:

4250188.08

=

=pN

La duración del pulso que genera cada punto será entonces de:

s 125.0

4255.53

µ

τ

=

=

Por lo tanto el ancho de banda necesario es de :

Mhz 4 21

=

=τ

B

El canal completo ocupa un ancho de banda total de 6 MHz ya que se deja pasar una

porción (vestigio) de la banda inferior de la luminancia (1.25 MHz) y el espectro del audio

que está modulado en FM con un ancho de banda de 75 KHz. La información de color va

modulada en amplitud dentro del espectro de la luminancia de una manera tal que no se

interfiera con este.

Fin de la sexta clase

2.3.4.2.Representación de las señales no periódicas por medio de la

transformada de Fourier

Esta representación es válida para señales no periódicas de energía y se utiliza un conjunto

infinito continuo de exponenciales complejas.

( ) ( ) ωωπ

ω deXtx tj∫∞

∞−

=21

En donde la transformada de Fourier esta dada por:

( ) ( )∫∞

∞−

−= dtetxX tjωω

Ejemplo:

• Pulso

• Representación de señales periódicas.

Propiedades:

• Lineal

• Desplazamiento temporal

• Convolución

• Producto de señales

• Relación de PARSEVAL:

Permite calcular la energía de una señal por medio de su transformada de Fourier.

( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−

== ωωπ

dXdttxE 22

21

2.4. Caracterización de las señales en el dominio frecuencia

2.4.1. La densidad espectral

2.4.1.1.Densidad espectral de energía

Permite observar gráficamente el rango espectral más importante de la señal y determinar el

ancho de banda de esta. Consiste en el gráfico de la función

( ) ( ) 2ωω XS x =

En este caso se pierde la información de la fase y hace que no se pueda recuperar la función

a partir de esta.

Se puede determinar el ancho de banda de la señal calculando el área bajo la curva en

donde se encuentra un porcentaje elevado de la energía de la señal (90 – 95%)

Análisis espectral de un pulso usando mathcad :

P( ),,t A τ ifA τ

2t τ

2

otherwise0 La energía del pulso:

E( ),A τ dτ

2

τ

2t( )P( ),,t A τ

2

El espectro:

Pw( ),,w A τ dτ

2

τ

2t.P( ),,t A τ e

..j w t

La energía en un rango de frecuencias:

E1( ),,w1 A τ .1.2 π

dw1

w1w( )Pw( ),,w A τ

2

La señal reconstruida con un rango de frecuencias:

out( ),,,t wc A τ .1.2 π

dwc

wcw.Pw( ),,w A τ e

..j w t

Análisis de un pulso de amplitud 5=A y duración 1=τ : A 5 τ 1 t ..,5 4.99 5

6 4 2 0 2 4 60

2

4

6

P( ),,t A τ

t

La energía del pulso:

=E( ),A τ 25 La parte real del espectro:

10 5 0 5 105

0

5

Re( )Pw( ),,w A τ

w La parte imaginaria:

10 5 0 5 100.5

0

0.5

1

Im( )Pw( ),,w A τ

w

La energía contenida hasta la mitad del primer cruce por cero: w1 π

=E1( ),,w1 A τ 19.342 La energía contenida hasta el primer cruce por cero:

w2 .2 π

=E1( ),,w2 A τ 22.571 La energía contenida hasta el segundo cruce por cero: w3 .4 π

=E1( ),,w2 A τ 22.571 La señal reconstruida con el primer rango de frecuencias:

6 4 2 0 2 4 65

0

5

out( ),,,t w1 A τ

t La señal reconstruida con el segundo rango de frecuencias:

6 4 2 0 2 4 65

0

5

10

out( ),,,t w2 A τ

t La señal reconstruida con el tercer rango de frecuencias:

6 4 2 0 2 4 65

0

5

10

out( ),,,t w3 A τ

t Se concluye que el ancho de banda necesario depende de si se necesita reconstruir muy

bien el pulso (τ1

>>B Como es el caso en un sistema de radar para medida precisa de

tiempos) o si solo se necesita identificarlo (τ 2

1≈B como es el caso en la transmisión de

datos).

2.4.1.2.Densidad espectral de potencia

Si la señal tiene potencia media finita no tiene densidad espectral de energía sino de

potencia, la cual se calcula de la siguiente manera:

( )

( )∫

∫∞

∞−

∞

∞−

=

∞→=

∞→=

ωωπ

ωωπ

dS

dXTT

TTP

x

T

21

211lim

Ten Energíalim

2

En donde la densidad espectral de potencia está dada por:

( ) ( ) 21limωω Tx X

TTS

∞→=

En este caso se pierde la información de la fase por tanto no se pueda recuperar la función a

partir de esta densidad espectral.

Se puede determinar el ancho de banda de la señal calculando el área bajo la curva en

donde se encuentra un porcentaje elevado de la potencia de la señal (90 – 95%)

En el calculo de la potencia o de la energía de la señal a partir de las curvas de densidad

espectral es necesario utilizar tanto las frecuencias positivas del gráfico como las negativas

debido a que la representación de la señal se hace con base en exponenciales complejas que

tienen este tipo de frecuencias.

2.4.2. Relación entre la correlación y la densidad espectral

La densidad espectral y la auto correlación de una señal están relacionadas mediante la

transformada de Fourier así:

Para señales de energía:

( )( ) ( ) ωωπ

ω ωτ deFFF j∫∞

∞−

− = 221

21

( ) ( ) ωωωπ

ωτ deFF j∫∞

∞−

= *

21

( ) ( ) ( ) ωωπ

τω ddtetfF tj∫ ∫∞

∞−

+∞

∞−

= *

21

( ) ( ) ( ) dtdeFtf tj ωωπ

τω∫ ∫∞

∞−

+∞

∞−

=21*

( ) ( )dttftf∫∞

∞−

+= τ*

Para señales de potencia:

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )dttftfTT

dtdeFtfTT

ddtetfFTT

deFFTT

deT

FT

SxF

T

T

T

T

tjT

tj

T

TT

jTT

jT

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

−

−

+∞

∞−

∞

∞−

+

−

∞

∞−

∞

∞−

−

+∞→

=

∞→=

∞→=

∞→=

∞→=

2

2

*

2

2

*

2

2

*

*

21

1lim

211lim

211lim

211lim

lim21

τ

ωωπ

ωωπ

ωωωπ

ωω

πω

τω

τω

ωτ

ωτ

Ejemplos:

o Ruido blanco

o Ruido blanco de banda limitada