Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

f homogénea f(αx,αy)=αⁿf(x,y)

así: f(x,y)=x²y-x³

f(αx,αy)=α²x²αy-α³x³

f(αx,αy)=α³⁽x²y-x³)

f(αx,αy)=α³ f(x,y)

∴homogenéa de grado 3

En f(x,y)=3x²y-2y²x-2x³

f(αx,αy)=3α²x²αy-2α²y²αx-2α³x³

f(αx,αy)=α³⁽3x²y-2y²x-2x³)

f(αx,αy)=α³ f(x,y)

∴homogenéa de grado 3

La expresión de una ecuación diferencial ordinaria homogénea: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (primer orden).

Se muestra que M y N ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas y de igual orden.

Siempre es mejor escribir que es M y que es N.

Ejemplo:

1.xln((y/x))dx+((y²)/x)arcsen((y/x))dy=0

M(x,y)= =xln((y/x))

M(αx,αy)=αxln(((αy)/(αx)))

M(αx,αy)=αM(x,y)

∴homogenéa de grado 1

N(x,y)=((y²)/x)arcsen((y/x))

N(αx,αy)=((α²y²)/(αx))arcsen(((αy)/(αx)))

N(αx,αy)=α((y²)/x)arcsen((y/x))

N(αx,αy)=αN(x,y)

∴homogenéa de grado 1

∴1 homogenéa de grado 1

2.f(x,y)=3x²y-2y²x+y³

.f(x,y)=x³(3(y/x)-2((y²)/(x²))+((y³)/(x³)))

.f(x,y)=x³(3(y/x)-2((y/x))²+((y/x))³)

Alternativa 1:

u=xy

dy=xdx+xdu

Alternativa 2:

.f(x,y)=y³(3((x²)/(y²))-2(x/y)+1)

v=(x/y)

x=vy

dx=vdy+ydv

Ejercicios

1.(x²+y²)dx+2xydy=0

M(x,y)= =(x²+y²)

M(αx,αy)=α²(x²+y²)

M(αx,αy)=α²M(x,y)

∴homogenéa de grado 2

N(x,y)=2xy

N(αx,αy)=α²2xy

N(αx,αy)=αN(x,y)

∴homogenéa de grado 2

∴1 homogenéa de grado 2

x²(1+((y²)/(x²)))dx+x²(2(y/x))dy=0

(1+((y²)/(x²)))dx+(2(y/x))dy=0

y=ux

dy=udx+xdu

(1+(((ux)²)/(x²)))dx+(2((ux)/x))dy=0

(1+u²)dx+(2u)(udx+xdu)=0

(1+u²+2u²)dx=-2uxdu

∫((dx)/x)=∫((-2udu)/(1+u³))

En esta parte es importante resaltar que siempre se da:

∫((dx)/x)

ahora continuamos con la resolución:

∫((dx)/x)=∫((-2udu)/(1+u³))

v=1+u³

dv=6udu

ln|x|=-(1/3)ln|1+3((y/x))²+c|; solución.

Ahora la reduciremos aún más:

-3ln|x|=1ln|1+3((y/x))²+c|

ln|x|⁻³=1ln|1+3((y/x))²+c|

x⁻³=(1+3((y/x))²)⋅c 1=x³(((x^{2+3y²})/(x²)))⋅c c=x³+3y²x