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TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMTICAS I 1 Bach. 1

TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES

10.1 LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENMENOS REALES

Las funciones describen fenmenos cotidianos, econmicos, psicolgicos, cientficos,Tales funciones se obtienen experimentalmente, mediante observacin. Despus seidealizan y sirven de modelos para las grandes familias de funciones.

FUNCIONES LINEALES

Las funciones lineales se describen con ecuaciones de primer grado, y = mx + n, y serepresentan mediante rectas.

Ejemplos: Presin a distintas profundidades en el mar, longitud de un muelle del que secuelgan distintas pesas,

FUNCIONES CUADRTICAS

Ecuacin: y = ax2 + bx + c. Se representar mediante parbolas.

Ejemplos: Distancia recorrido por un coche desde que pisa el freno hasta que para,altura que alcanza un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba,

FUNCIONES RADICALES

Las funciones y = kx se representan mediante medias parbolas con el eje paralelo aleje X.

Ejemplos: El periodo de un pndulo T es funcin de su longitud,

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FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Su expresin analtica es y =x

k. Su representacin grfica son hiprbolas con las

asntotas paralelas a los ejes coordenados.

Ejemplos: Aumento producido por una cierta lupa,..

OTROS TIPOS DE FUNCIONES

Funciones exponenciales y logartmicas (ms adelante).

Otras funciones no siguen un modelo fijo. Por ejemplo: El punto de fusin de unaaleacin depende de las proporciones en que intervienen cada uno de sus componentes.

10.2 CONCEPTO DE FUNCIN

DEFINICIN : f es una funcin de R en R si a cada nmero real, x Dom, le hacecorresponder un nico nmero real, f(x):

Lo denotamos por : f : Dom -----> Rx -----> y = f(x)

El conjunto Dom de los valores que puede tomar la variable independiente, x, sellama dominio de definicin de la funcin.

El conjunto de los valores que toma la funcin se llama recorrido.

Puesto que tanto la variable x como la funcin f(x) toman valores reales, estas

funciones se llaman funciones reales de variable real.

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RAZONES POR LAS QUE EL DOMINO DE DEFINICIN PUEDERESTRINGIRSE :

- Imposible de realizar alguna operacin con ciertos valores de x: denominadores quese anulan, races cuadradas de nmeros negativos,....

- Contexto real del que se ha extrado la funcin: Edad de una persona,- Por voluntad de quien propone la funcin: Nmero menor que 7,...CLCULO DEL DOMINIO :

POLINOMIOS: El dominio de un polinomio es todo R : f (x) = P(x) D(f) = R FUNCIONES RACIONALES: El dominio de las funciones racionales es todo Rmenos los puntos donde se anula el denominador:

f (x) = P(x) / Q(x) D(f) = { x R / Q(x) 0} = R - { x R / Q(x) = 0}

FUNCIONES RADICALESf(x) = ( )n P x Si n es impar D(f) = R

Si n es par D(f) = { x R / P(x) 0} = R - {x R / P(x) < 0}

FUNCIONES EXPONENCIALESf(x) = aP(x) D(f) = R

FUNCIONES LOGARTMICASf(x) = loga P(x) D(f) = { x R / P(x) > 0} = R - {x R / P(x) 0}

FUNCIONES TRIGONOMTRICASf1(x) = sen P(x), f2(x) = cos P(x) D(f1) = D(f2) = REl resto (tangente, secante,.) ponerlas como cociente y estudiar su dominio

como una funcin racional (denominador diferente de cero).

10.3 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Se calcula su dominio y se hace una tabla de valores para cada trozo(los valores de latabla en cada trozo depender del tipo de funcin).

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10.4 DOS FUNCIONES INTERESANTES

FUNCIN PARTE ENTERA :

Se llama parte entera de un nmero x al mayor nmero entero menor o igual a x. Apartir de eso, definimos la funcin para entera de x, Ent(x), que hace corresponder acada nmero x su parte entera.

FUNCIN PARTE DECIMAL :

La parte decimal o mantisa de un nmero x es Mant(x) = x Ent(x). A partir de eso,definimos la funcin parte decimal de x, Mant(x) que hace corresponder a cadanmero x su parte decimal.

10.5 VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIN

El valor absoluto de un nmero x coincide con x si es positivo o nulo, o con su opuestosi es negativo: |x| =

1 creciente ; si a < 1 decreciente

Curvatura :si a > 1 concava; si a < 1 convexa

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Notas:- En matemticas superiores la funcin y = log e x es muy importante. Se le llama

logaritmo neperiano y se designa por y = ln x o y = Lx. Es la funcin inversa de laexponencial de base e : y = ex

- En las calculadoras cientficas suele haber dos teclas, log y ln con las que seobtienen valores de las funciones y = log x y = ln x, respectivamente.La funcin logartmica como modelo: En psicologa tiene gran importancia para elestudio de las percepciones.

10.11 LAS FUNCIONES ARCO

La funcin arcoseno : Arcsen es una funcin definida en [-1,1] y que toma valores en[-/2,/2] tal que : arcsen a = b sen b = a

Es una funcin creciente

Verifica: sen (arcsen x) = x arcsen (sen x) = x

La funcin arcocoseno : Arccos es una funcin definida en [-1,1] y que toma valoresen [-/2,/2] tal que : arccos a = b cos b = a

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Es una funcin decreciente

Verifica: cos (arccos x) = x arccos (cos x) = x

La funcin arcotangente : Arctag es una funcin definida en R y que toma valores en

(-/2,/2) tal que : arctag a = b tag b = a

Es una funcin creciente

Verifica: tag (arctag x) = x arctag (tag x) = x