Teoria y Problemas de Rectas y Planos Ccesa007

8/21/2019 Teoria y Problemas de Rectas y Planos Ccesa007

http://slidepdf.com/reader/full/teoria-y-problemas-de-rectas-y-planos-ccesa007 1/31

Facultad de Ingeniería Electrónica e Informática

Asignatura: Matemática Básica Prof. Demetrio Ccesa Rayme

Tema: Rectas y Planos

2.1. RECTAS EN EL ESPACIO

Una recta es un conjunto de puntos ,, de , tal que si existe un punto , ,

de y un vector no nulo = , , de de manera que:

= ,, / = a ;

2.2. Ecuación Vectorial de la Recta

Sea la Recta "" que pasa por el punto , , y que sea paralela a vector =, , , donde , y son los números directores.

Si ,, es un punto cualquiera de la Recta "", entonces el vector es paralelo al

vector , es decir:

//↔ ∃ / =

→ =

, ,

,,

0



Ccesa

∴ = / ; Ecuación Vectorial de la Recta ""

Observación: La Ecuación Vectorial de la Recta "" es:

=

/

Si: ↔ = ; ∀

2.3. Ecuaciones Paramétricas de la Recta en el Espacio

De la observación se tiene:

=

, , = , , , ,

, , = , , ↔

=

= Ecuaciones Paramétricas de la recta ""

=

2.4. Ecuación Simétrica de la Recta

Consideremos las Ecuaciones Paramétricas de la recta ""

=

=

=

Despejando " " de "" se tiene:

= − , = − , = − de donde:

− = − = − Ecuaciones Simétricas de ""

2.5. Rectas Paralelas y Ortogonales

Consideremos dos Rectas = / = { / }

La Recta y Recta son paralelas si y solo si sus vectores direcciones son paralelos, es decir:



Ccesa

∕∕ ↔ ∕∕

La Recta y La Recta son ortogonales si y solo si sus vectores direcciones son ortogonales;

es decir:

⊥ ↔ ⊥

Observaciones:

i. Si son paralelas //, entonces = ∨ ∩ = Φ

ii.

Si no son paralelas // , entonces ∩ ≠ Φ (rectas que se cruzan)∨ ∩ consiste en un solo punto.

2.6. Angulo entre dos rectas

Consideremos la ecuación de dos rectas

= / y

= { / }

El ángulo entre las rectas se define como el ángulo formado por sus vectores

direcciones , es decir:

≮ , = ≮ (, ) = , la cual es expresado por:

= .‖‖ ; 0 ≤ ≤

Ej. 1: Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los

puntos 2,4, 3 y 3,1,1 ¿En que punto corta esta recta al plano XY?

Solución:

Explícitamente nos dan ahora un vector paralelo a la recta, pero observamos que el vector con

representación es paralelo a la recta y

= = = 3,1,1 2,4,3 =1,5,4

Entonces los números directores son = 1 ; =5 ; = 4

Tomando el punto 2,4,3 como vemos que las ecuaciones paramétricas son: =

, , = 2,4,3 1,5,4

, , = 2 , 4 5 , 3 4

↔ = 2 ; = 4 5 , = 3 4

Y las ecuaciones simétricas son:

− = −− = +



Ccesa

La recta corta el plano cuando = 0, de modo que ponemos = 0 en las ecuaciones

simétricas y obtenemos:

−

=−

− =

↔−

=

y

−

− =

↔ 4 8 = 3 ; 4 16 = 15

→ 4 = 1 1 4 = 1

= =

Por lo que la recta intersecta al plano en el punto ; ; 0

Ej.2: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 1,2,3, que es perpendicular al

vector

= 6,2,3 y se corta con la recta:

: 13 = 12 = 35

Solución:

Sea : − = + = −− → = 1,1,3 3,2,5 /

Sea ∩ → ∧

Si

→ 1 3, 1 2 , 3 5 para algún

Luego = = = 1 3 , 1 2 , 3 5 1,2,3

= 2 3 , 3 2 , 6 5

Como: ⊥ → . = 0

→ 6,2,3. 2 3 , 3 2 , 6 5 = 0

1 2 1 8 6 4 1 8 1 5 = 0

2 9 = 0 → = 0



Ccesa

Luego: =2,3,6

∴ = 1,2,3 2,3,6/

2.7. Plano en el Espacio

2.8. Ecuación Vectorial del Plano

Consideremos un plano que pasa por el punto , , y que es paralelo a los vectores= , , y = , ,

Si → ∃, / = , luego se tiene:

= → = , ,

Luego = { / , }, que es la ecuación vectorial del plano

Observaciones:

1. De la ecuación vectorial del plano se obtiene la normal del plano que es una recta

perpendicular al plano: =

2. Si es una normal al plano = { / , } y si , , entonces es

ortogonal a =

3. Si es una normal al plano = { / , } y si = es

ortogonal a

→

=

Z

0

X

Y



Ccesa

4.

Si es una normal al plano = { / ,}, entonces ={ . = 0 ↔ . = 0} y es el único plano que pasa por con normal

2.9. Ecuaciones Paramétricas del Plano

Consideremos la ecuación vectorial del plano:

= { / , }

Si entonces = , donde , ; reemplazando por sus respectivas

componentes, se tiene:

, , = , , , , , ,

, , = (, , )

=

=

=

2.10. Ecuaciones canónica o estándar de un Plano en el Espacio

El plano que contiene el punto , , y tiene un vector normal =,, puede ser

representarse en forma canónica o estándar, por medio de la ecuación:

. =0 ↔ . = 0

↔ ,,. , , = 0

= 0

2.11. Ecuación General del Plano

Reagrupamos términos de la ecuación anterior se tiene:

= 0

= 0

∴ = 0

Ecuación general de un plano



Ccesa

2.12. Planos Paralelos y Ortogonales

Consideremos dos planos : = 0 y : = 0;

donde , , y = , , son sus normales respectivas.

El Plano es paralelo al plano si y sólo si sus normales son paralelas, es decir:

// ↔ //

Si

∕∕

→∃ ∕

= lo que quiere decir que los coeficientes de las ecuaciones

cartesianas de los planos deben ser proporcionales, es decir: = = =

Los planos : = 0 y : = 0 son ortogonales si

sus normales = , , y = , , son ortogonales, es decir:

⊥ ↔ ⊥ → . = 0



Ccesa

Ej.1: Encontrar una ecuación del plano que pase por los puntos 1,0, 1 y 2,1,3 y que

además es perpendicular al plano = ,, / 2 = 0

Solución:

Del grafico se tiene que: = = = 2,1,3 1,0,1 = 1,1,4

= = 1 1 41 1 1 = 1 41 1 1 41 1 1 11 1

=550 =5,5,0

Luego: = 5,5,0

Como: : . = 0 ↔ . = 0 ; = =1,0 ,1

↔ 5,5,0. [, , 1,0,1] = 0

↔ 5,5,0. 1 , , 1 = 0

↔ 5 5 5 0 1 = 0

↔ 5 5 = 5

↔ = 1

→ = 1

∴ : 1 = 0

Ej.2: Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto = 3,4, 5 y es paralelo a los dos

vectores

=3,1,1 y

= 1,2,1

Solución:

1,0, 1

2,1,3



Ccesa

Formula:

. = 0 donde

= =3,4,5

. = 0

= = 3 1 11 2 1 = 1 12 1 3 11 1 3 11 2

=147 = 1,4,7

→= 1,4,7

Luego:

. = 0

1,4,7. [, , 3,4,5] = 0

1,4,7. 3 , 4 , 5 = 0

1 3 4 4 7 5 = 0

3 4 1 6 7 3 5 = 0

4 7 1 6 = 0

∴ = 4 7 16 = 0

2.13. Angulo entre dos Planos



Ccesa

Dos planos distintos en el espacio tridimensional o son paralelas o se cortan en una recta. Si se

cortan, se puede determinar el ángulo 0 ≤ ≤ entre ellos a partir del ángulo entre sus

vectores normales.

Específicamente, si los vectores son normales a dos planos que se cortan, el ángulo"" entre los vectores normales es igual al ángulo entre los dos planos y está dado por:

= | . |‖ ‖. ‖ ‖

Ej. Hallar el ángulo entre los dos planos dados por:

: 2 = 0

: 2 3 2 = 0

Y hallar las ecuaciones paramétricas de su recta de intersección

Solución:

Los vectores normales a los planos son: = 1,2,1 ; = 2,3,2

Por consiguiente, el ángulo entre los dos planos está determinado como sigue:

= | . |‖ ‖. ‖ ‖ = |1,2,1.2,3,2|√ 6. √ 17 = |2 6 2|√ 102 = |6|√ 102 = 6√ 102 =0.59409

=0,59409; Esto implica que el ángulo ente los dos planos es =53.55°

La recta de intersección de los dos planos se puede hallar resolviendo simultáneamente las dos

ecuaciones lineales que representan a los planos. Una manera de hacer esto es multiplicar la

primera ecuación por 2 y sumar el resultado a la segunda ecuación.

2 22 3 2 = 0

2 4 2 = 02 3 2 = 0

7 4 = 0 → =

Sustituyendo = en una de las ecuaciones originales, se determina que: =

Finalmente, haciendo = , se obtiene las ecuaciones paramétricas:

= , = 4 , = 7



Ccesa

2.14. Trazado de Planos en el Espacio

Si un plano en el espacio corta uno de los planos coordenadas, a la recta de intersección se le

llama la traza del plano dado en el plano coordenado. Para dibujar un plano en el espacio, es útil

hallar sus puntos de intersección con los ejes coordenados y sus trazas en los planos

coordenados. Por ejemplo, considerar el plano dado por:

3 2 4 = 1 2 ; Ecuación del plano

Se puede hallar la traza , haciendo = 0 y dibujar la recta 3 2 = 1 2; traza , en el

plano

Esta recta corta el eje en 4,0,0 y el eje en 0,6,0

En la figura 1, se continúa en este proceso encontrando la traza y la traza , y sombreando

la región triangular que se encuentra en el primer octante.

TRAZA = 0

3 4 = 1 2

4,0,0

0,6,0

TRAZA = 0

3 2 = 1 2

0

0,0,3

0,6,0

4,0,0 TRAZA =0

2 4 = 1 2

0

0,0,3

0,6,0

4,0,0



Ccesa

TRAZAS DEL PLANO: 3 2 4 = 1 2

Figura 1

Si en una ecuación de un plano está ausente una variable, como en la ecuación

2 = 1, el

plano debe ser paralelo al eje correspondiente a la variable ausente, como se muestra en laFigura 2.

El plano 2 = 1 es paralelo al eye

Figura 2

Si en la ecuación de un plano faltan dos variables, éste es paralelo al plano coordenado

correspondiente a las variables ausentes, como se muestra en las figuras 3.1, 3.2 y 3.3

El plano = 0 es paralelo al plano

Figura 3.1

0

0,0,1

12 ,0,0

0

,0,0



Ccesa

El plano

= 0 es paralelo al plano

Figura 3.2

El plano = 0 es paralelo al plano

Figura 3.3

2.15. Teorema: Distancia de un Punto a un Plano

La distancia de un punto a un plano (no en el plano) es = = . ‖ ‖

0 0, , 0

0

0,0,

=



Ccesa

=

Del teorema anterior se puede determinar que la distancia del punto , , al plano dado

por = 0 es:

= | |√

Ej.1: Calcular la distancia del punto 1,5,4 al plano dado por 3 2 = 6

Solución:

Se sabe que =3,1,2 es normal al plano dado.

Para hallar un punto en el plano, se hace = 0 y = 0, y se obtiene el punto 2,0,0. El

vector que va de

a

está dado por:

= = 1,5,4 2,0,0 =1,5,4

Usando la fórmula para la distancia, se tiene:

= . ‖ ‖ = |1,5,4.3,1,2|√ 9 1 4 = | 3 5 8|√ 14 = |16|√ 14 = 16√ 14

∴ = 16√ 14 = 8√ 147

Ej. 2: Encontrar la distancia entre los dos planos paralelos dados por: 3 2 6 = 0 y6 2 4 4 = 0

Solución:

Figura 1

2,0,0

3

0

3 2 6 = 0

6 2 4 4 = 0



Ccesa

Los dos planos se muestran en la figura 1. Para hallar la distancia entre los planos, escogemos

cualquier punto de un plano y calculamos su distancia al otro plano.

En particular, ponemos = = 0 en la ecuación del primer plano obtenemos

3 6 = 0 ↔ = 2 y por ende,

2,0,0 es un punto de este plano.

Por la fórmula del teorema anterior, la distancia entre 2,0,0 y el plano6 2 4 4 = 0 es:

= |62 20 40 4| 6 2 4 = |1 2 4|√ 3 6 4 1 6 = |16|√ 56 = 27 √56

∴ = 27 √56 ≈2.14

2.16. Teorema: Distancia de un Punto a una Recta en el Espacio

La distancia de un punto a una recta en el espacio está dada por:

= ‖‖

Donde es un vector de dirección para la recta y es un punto sobre la recta.

Ej.: Hallar la distancia del punto 3,1,4 a la recta dada por = 2 3 ; = 2 ; =1 4

Solución:

Usando los números de dirección 3,2 4, se sabe que vector de dirección de la recta es:

=3,2,4 Vector de dirección de la recta.

Para determinar un punto en la recta, se hace = 0 y se obtiene =2,0,1 punto sobre

la recta.

Así: = = 3,1,4 2,0,1 =5,1,3 y se puede formar el producto vectorial.

=

RECTA



Ccesa

= 5 1 33 2 4 = 1 32 4 5 33 4 5 13 1

=2117 =2,11,7

Luego, aplicando el teorema, se tiene:

= ‖‖ = 2 11 7 3 2 4 = √ 4 1 2 1 4 9√ 9 4 1 6 = √ 174√ 29 = √ 6

∴ = √ 6

PROBLEMAS RESUELTOS

1.

Hallar las Ecuaciones Paramétricas y Simétricas de la Recta "" que pasa por el punto1,2,4 y es paralela a =2,4,4

Solución:

Para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta, se usan las coordenadas = 1 , = 2 , = 4, y los números de dirección = 2 , = 4, = 4 = , ,

=

1,2,4

2,4,4

= 1 2 = 2 4 = 4 4

Como , son todos diferentes de cero, un conjunto de ecuaciones simétricas es:− = + = −−

2. Hallar un conjunto de Ecuaciones Paramétricas de la Recta que pasa por los puntos

2,1,0 y 1,3,5

Solución:

Se empieza por usar los puntos 2,1,0 y 1,3,5 para hallar un vector de

dirección de la recta y que pasa por y , dado por:

= = = 1,3,5 2,1,0 = 3,2,5 = ,,

Usando los números de dirección = 3 , = 2 y = 5 junto con el punto 2,1,0 se obtiene las ecuaciones paramétricas

Ecuaciones Simétricas de ""

Ecuaciones paramétricas de ""



Ccesa

= , , = 2,1,0 3,2,5 = 2 3

= 1 2

= 5

3. Hallar la Ecuación de la Recta que intersecta en ángulo recto a la Recta = 1,2,3 2,1,1 / y pasa por el punto 2,0,1

Solución:

Sea ∧ → ∧

Si ; donde = 1 2 , 2 , 3

→ = 1 2 , 2 , 3

Además = = 1 2 , 2 , 3 2,0,1 = 1 2 , 2 , 2

Como: ⊥ → ⊥ ↔ . =0 → 1 2 , 2 , 2 . 2,1,1 = 0 → 2 4 2 2 = 0

6 = 2 → = 13

Luego: = 1 , 2 , 2 = , ,

= 13 1,7,5 ∴ = 2,0,1 1,7,5 /

4. Encontrar el punto de intersección de las Rectas

= 1,7,17 1,2,3 / ;

=−

= =

−

Solución:

Ecuaciones paramétricas de

""

=2,1,1

= 2,0,1



Ccesa

= 74 = 1 = 5 → = 7,0,0 4,1,5 /

Sea

∧ → ∧

Si → = 1 , 7 2 , 1 7 3 → = 1 , 7 2 , 1 7 3

Si → = 74,,5 → = 74,,5

Como ∧ → =

↔ 1 , 7 2 , 1 7 3 = 74,,5 → 1 = 7 4 , 7 2 = , 1 7 3 = 5

→ 1 = 7 47 2 → 1 = 7 2 8 8

→ 9 = 3 5 1 = 3 6

→ = − = 4 → = 4

1 7 3 = 5

1 7 34 =5

1 7 1 2 = 5 5 = 5 → = 1

Luego: = 1 , 7 2 , 1 7 3 = 1 4 , 7 8 , 1 7 1 2 ∴ = 3,1,5

5. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto 7,2,9 y es perpendicular

a las rectas:

: − = − = +

: + = − = −

Solución:

: − = − = + → = 2,0,3 2,2,3 /

: + = − = − → = 4,2,0 2,5,2 /

Sea "" la recta que pasa por 7,2,9

Luego la recta pedida es: = 7,2,9 . / , ahora determinamos el vector como ⊥ ∧ ⊥ , entonces:

= 2 2 32 5 2 = 2 35 2 2 32 2 2 22 5

=111014 =11,10,14



Ccesa

∴ = 7,2,9 11,10,14 /

6.

Hallar la ecuación vectorial de la recta que intersecta en ángulo recto a las rectas:

= 3,3,4 2,2,3 / y

= 1,6,1 1,2,0 /

Solución:

= 3,3,4 2,2,3 / = 3 2 , 3 2 , 3 2 , 4 3 → = 32, ,322,43

Sea = 1,6,1 1,2,0 / = 1 , 6 2 , 1 → = 1 , 6 2 , 1

Como , son puntos sobre la recta , entonces el vector dirección de la recta es= = = 1 , 6 2 , 1 3 2 , 3 2 , 4 3 = 2 2 , 3 2 2 , 5 3

Como ⊥ ∧ ⊥ ; entonces:

. 2,2,3 =0 → 2 2 , 3 2 2 , 5 3 . 2,2,3 = 0

→ 4 2 4 6 4 4 1 5 9 = 0

→ 2 1 7 = 1 3 … . Ψ

Y . 1,2,0 = 0 → 2 2 , 3 2 2 , 5 3 . 1,2,0 = 0 → 2 2 6 4 4 = 0 → 5 2 = 3 … . . Φ

De Ψ y Φ se tiene:217=135 5 2=32

1085=65

1 0 4 = 1 6

81=81



Ccesa

= 1

Reemplazando "" en Ψ ∶ 2 1 7 = 1 3

2 1 71 = 13

2 17 = 13 → 2 = 4 → = 2

Luego los puntos son:

= 3 2 , 3 2 , 4 3 = 1,1,1 = 1,1,1

Y = 1 2, 6 22, 1 = 1 2 , 6 4 , 1 =3,2,1

= = = 3,2,1 1,1,1 =2,1,2

Por lo tanto la ecuación de la recta pedida es: = 1,1,1 2,1,2 /

7. Halle las Ecuaciones Paramétricas y las Ecuaciones Simétricas de la Recta que pasa por

los puntos 2,4, 3 y 3,1,1. Además en qué punto corta esta Recta al Plano

Solución:

Explícitamente nos dan ahora un vector paralelo a la recta, pero observamos que el

vector con representación es paralelo a la recta = = = 3,1,1 2,4,3 = 1,5,4

Entonces, los números directores son = 1, = 5 , = 4

Tomando el punto 2,4,3 como , vemos que las ecuaciones paramétricas son: = , , = 2,4,3 1,5,4

= 2

= 4 5

= 3 4

Y las ecuaciones simétricas son:

− = −− = −

La recta corta al plano cuando = 0, de modo que ponemos = 0, en las

ecuaciones simétricas y obtenemos:

− = −− = ↔ − = → 4 8 = 3 → =

Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones simétricas



Ccesa

−− = → 4 1 6 = 1 5 → =

Por lo que la recta intersecta al plano en el punto , , 0

8.

Encuentra una ecuación del plano que pasa por el punto 2,4,1

Con vector normal =2,3,4 Encuentra los interceptos y traza el plano.

Solución:

Poniendo = 2 , = 3 , = 4 , =2, = 4 , = 1 en la ecuación = 0

2 2 3 4 4 1 = 0 2 4 3 1 2 4 4 = 0

2 3 4 = 1 2

Para hallar el punto de intersección con el eje , hacemos = = 0 2=12 → =6 → 6,0 ,0

Intersección con el eje ; hacemos = = 0 3 =12 → =4 → 0,4 ,0

Intersección con ele eje ; hacemos = = 0

4 = 1 2 → = 3 → 0,0,3

Esto permite trazar la parte del plano que se encuentra en el primer octante.

9. Encuentre una ecuación del plano que pasa por los puntos 1,3,2 ; 3,1,6 y5,2,0

Solución:

Los vectores correspondiente a son:

= = = 3,1,6 1,3,2 = 2,4,4

=0,4,0

0

0,0,3

6,0,0



Ccesa

= = = 5,2,0 1,3,2 = 4,1,2

Como están en el plano, su producto cruz es ortogonal al plano y se

puede tomar como el vector normal, Así:

= = 2 4 44 1 2 = 4 41 2 2 44 2 2 44 1

=122014 = 12,20,14

Y una ecuación de plano es: = 0

12 1 20 3 14 2 = 0

1 2 1 2 2 0 6 0 1 4 2 8 = 0 6 1 0 7 = 5 0

10. Halle el punto en el que la recta, con ecuaciones paramétricas = 2 3 , = 4

y = 5 , corta al plano 4 5 2 = 1 8

Solución:

Sustituimos las expresiones para , de las ecuaciones paramétricas en la ecuación

del plano:

42 3 54 25 = 18 8 1 2 2 0 1 0 2 = 1 8 1 0 = 2 0 → = 2

Por tanto, el punto de intersección corresponde al valor del parámetro = 2

Entonces

= 2 32 = 4 → = 4

= 42 = 8 → = 8 = 5 2 = 3 → = 3

Por lo tanto, el punto de intersección es 4,8,3

11. Encuentre las ecuaciones simétricas para la recta de intersección de estos dos planos:: = 1 : 2 3 = 1

Solución:

Primero necesitamos hallar un punto de



Ccesa

Por ejemplo, el punto donde la recta corta al plano si hacemos = 0 en las

ecuaciones de ambos planos. Esto da las ecuaciones: = 1 , 2 = 1 = 1 1

2 = 1

= 1

2 = 1 3 = 0 → = 0

Si = 0 → = 1

Por tanto, el punto 1,0,0 se encuentra en

Ahora observamos que, como se encuentra en ambos planos, es perpendicular a

ambos vectores normales. En consecuencia, un vector paralelo a está dado por el

producto cruz.

: = 1 → =1,1,1 : 2 3 = 1 → = 1,2,3

Luego:

= = 1 1 11 2 3

= 1 12 3 1 11 3 1 11 2

=523

Y así las ecuaciones simétricas de se escriben como: 15 = 2 = 3

12. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 3,4,1 y es ortogonal a los planos

: = 4 ; : = 6

Solución:

Sean : = 4 → = 1,1,0

Y : = 6 → = 1,0,1 : . =0 ↔ . = 0 Es el plano pedido, donde:

= 1 1 01 0 1

= 1 0

0 1 1 0

1 1 1 1

1 0



Ccesa

= = 1,1,1

Como :. = 0 ↔ 1,1,1. 3 , 4 , 1 = 0

↔ 3 4 1 = 0

↔ = 6 ∴ : = 6

13. Hallar la ecuación del plano que pasa:

a. Por el punto 2, 3,3 y es paralelo al plano

b.

Por el punto 1,2,4 y es paralelo al plano

c.

Por el punto

5,2,1 y es paralelo al plano

Solución:

La ecuación del plano es: : . = 0 … …

Por hallarse:

Por los datos del problema tenemos:

i. = 2,3,3

ii. La normal es paralelo al eje y por tanto podemos tomar: = 0,0,1 =

0

=0,0,1

,,

3,4,1



Ccesa

Al sustituir en obtenemos:

: 0,0,1. [, , 2,3,3] = 0

0,0,1. 2 , 3 , 3 = 0

3 = 0

La parte queda como ejercicio para el estudiante.

14.

Hallar la ecuación del plano que pasa:

a. Por el eje 0 y por el punto 4, 1,2

b. Por el eje 0 y por el punto 1,4,3

c. Por el eje 0 y por el punto 3,4,7

Solución:

La ecuación del plano es: : . = 0

Por determinar: =?

=?

Como pasa por el origen, entonces =0,0,0

Como la normal es perpendicular a los vectores:

0 = 0 = 4,1,2 0,0,0 =4,1,2

=1,0,0

= 1 0 04 1 2 = 0 01 2 1 04 2 1 04 1

=02 = 0,2,1 →=0,2,1

Al sustituir = 0,0,0,=0,2,1 en la ecuación del plano obtenemos:: . = 0 ↔ 0,2,1. [. . 0,0,0]

0



Ccesa

→ 0,2,1,, = 0

→ 2 = 0

∴ : 2 = 0

15.

Hallar la ecuación del plano que pasa:

a. Por los puntos 7,2, 3 y 5,6,4 y el paralelo al eje 0

b.

Por los puntos 2,1,1 y 3,1,2 y el paralelo al eje 0

c. Por los puntos 3,2,5 y 2,3,1 y el paralelo al eje 0

Solución:

Sea: : . = 0 la ecuación del plano

Por determinarse:

Podemos escoger a = ó

La normal será:

Si:

= ; = = = 5,6,4 7,2,3 = 2,4,1 → =

→= 1 0 02 4 1

= 0 04 1 1 02 1 1 02 4

Luego: =0,1,4

Ahora sustituir = 7,2,3 =0,1,4 en:

: . = 0 ↔ 0,1,4. [. . 7,2,3] = 0

→ 0,1,4. 7 , 2 , 3 = 0

→ 2 4 3 = 0

→ 2 4 1 2 = 0

∴ : 4 10 = 0

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.

Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto 2,3,5 y es perpendicular

al plano : 6 3 5 2 = 0

2.

Hallar la ecuación de una recta que pase por el punto 3,4,6 y es paralelo a losplanos: 2 = 4 ; 3 2 = 6



Ccesa

3. Hallar la distancia del punto 1,2,3 a la recta = − = +− =

4. Una recta es perpendicular al plano y contiene al punto 3,4,14. Hallar su

ecuación vectorial.

5.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 3,3,4 y es perpendicular a cadauna de la rectas; : + = −− = + : − = − = −−

6.

Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto1,2,4 y es paralela a =2,4,4

7.

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos2,1,0 y 1,3,5

8.

Hallar la ecuación de la recta que intersecta en ángulo recto a la recta =2,5,4 1,2,2 y que pasa por el punto 5,2,1

9. Encontrar un plano pasa por el punto 1,1,3 y es paralelo al plano:3 = 7

10. Hallar la ecuación general del plano que contiene a los puntos

2,1,1, 0,4,1 2,1,4

11. Hallar la ecuación del plano que pasa por los dos puntos = 1, 1, 2 y =3,1,1 y es perpendicular al plano 2 3 5 = 0

12. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto = 1,2,4 y es paralelo al plano

13. Hallar la ecuación del plano que pasa por el eje y por el punto =1,4,3

14. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos = 3, 2,5 y =2,3,1

15. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 1,1,1 y es paralelo a la recta: + = −− = +



Ccesa

16. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 1,2, 3 y es perpendicular a la

recta : − = +− = + ; : + = −− = +−

17. Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto

4,2,3 y es paralelo al plano

3 7 = 1 2

18. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: 1,2,3 y 2,1,4

19. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 3,1,2 y cuyos números

directores son [2,0,3]

20.

Calcular la distancia del punto 3, 2, 1 a la recta : = 1,3,2 1,2,3, ∈

21. Sean las rectas:: = 2,1,0 2,1,1 , ∈ : = 3,7,1 1,2,3 , ∈ : = 2 4, = 1 2, = 2 2

: 9

4 = 4 = 3

8

: = 3,4,0 4,2,2 , ∈ Determinar si son o no paralelos cada uno de los siguientes pares de rectas,

determinar sus intersecciones.

22. Hallar la ecuación de la recta que para por 3,1,2 e interseca y es

perpendicular a la recta : 1 = 2 = 1

23. Determinar la ecuación de la recta que pasa por 1,4,0 y es perpendicular a las

rectas.

: = 3 , = 4 , = 1

: 46 = 2 13 ∧ = 12

24. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de y corta bajo

un ángulo de 60° a la recta que pasa por los puntos , donde 2,4,0 ;0,0,2 ; 3,3,3 ; 1,3,3

25. Hallar un punto en la recta : = 2,11,14 2,4,5 , ∈ que equidista de

las rectas.

:

: = 1,7,0 0,0,1 ∈



Ccesa

26. Hallar las ecuaciones vectorial y paramétricas del plano que pasa por los puntos3,1,2 ; 1,1,2 y 2,0,3

27. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 2,3,5 y es ortogonal al

segmento

, donde

3,2,1 y

1,3,0

28. Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos , dados en el

problema anterior.

29. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta : = 1,2,2 0,3,1, ∈

y al punto 2,3,8

30.

Hallar la ecuación del plano que contiene al punto 2,6,1 y es paralelo al plano4 2 1 = 0

31. Hallar la distancia del punto 2,1,3 a la recta : 2 3 = 0 ; 2 1 = 0

32.

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos 2 4 = 0 , 2 3 9 = 0 y es paralelo a la recta cuyos números

directores son:

[1,3,1]

33.

Dadas las rectas : = 1,2,1 1,3,1 , ∈ ; : = 5,1,2 2,1,2, ∈ . Hallar las ecuaciones de dos planos paralelos de

modo que ⊂ de modo que ⊂ y ⊂

34. En cada uno de los siguientes ejercicios, es una recta y es un plano.

Determinar si es paralela o no al plano y hallar ∩

35. Por el punto

1, 0, 1 se traza una perpendicular al plano

: 2 7 = 0

si es el pie de dicha perpendicular, determinar un punto en la recta: = 1,1,0 0,1,5 , ∈ de modo que el volumen del tetraedro cuyos

vértices son , , es igual a 4. es el punto de intersección de la recta

con el plano

36. Calcular la distancia del punto 1,2,3 al plano: = 2,1,1 1,1,1 1,1,0 , , ∈

37. Encuentre la distancia entre los planos paralelos

: 2 2 5 = 0 y

∶ 3 6 6 7 = 0



Ccesa

38. La distancia del punto 1,0,2 a un plano es 1. Si el plano pasa por la intersección

de los planos 4 2 3 = 0 , 2 2 = 0 , hallar la ecuación del

plano.

39.

Se tiene el punto

3,2,1 y la recta

: = 2 = . Hallar las ecuaciones de

dos planos paralelos sabiendo que uno de ellos contiene a y el otro contiene a ,

la distancia entre dichos planos es √ 2

40. Hallar la ecuación de un plano que contiene a la recta : = 2 = 3 1, sabiendo

que dicho plano está a una distancia de unidades del origen de coordenadas.

41. Hallar el ángulo obtuso que forman los planos : 2 4 = 0 y

: 2 5 = 0

42. En los siguientes ejercicios, es una recta y es un plano. Determinar la proyección

de sobre

a) ∶ = 2,1,4 2,1,1 , ∈ , : 2 25 = 0

b) ∶ = 1,2,1 1,1,2 , ∈ , : 4 = 0

c) ∶ = 2,1,1 2, 1, 1 , ∈ , : 3 1 6 = 0

43. Hallar el ángulo que forman el plano : 2 5 = 0 con la recta

: = 2,3,5 1,1,2 ; ∈

44. Sea : 1 = 0 un plano. Hallar la ecuación de la recta que pasa por 0, 1, 0 de modo que: : = 0,1,0 0,0,1 , ∈

Sea la proyección de sobre . Se sabe que el ángulo entre es de 45°

45.

Hallar la distancia mínima entre las rectas:: = 1,1,4 0,1,3 , ∈ : = 4 , = 5 , = 3 2

46.

Por la recta : = 4,2,3 1,0,1 pasa un plano cuyas intersecciones con losplanos coordenados e forman ángulo de 60° . Hallar la ecuación del plano.

47. Sean ,, los vértices consecutivos de un cuadrado contenido en el plano: 2 2 10 = 0 . Si 2,9,12 y 2,11,8 son los extremos de una

de las diagonales del cuadrado, hallar las coordenadas de los vértices

48. Las intersecciones de una recta con los planos coordenados e están en el

primer octante. Si desde dichas intersecciones se trazan perpendiculares a los ejes

coordenados, quedan determinados los cuadrados y respectivamente. El área

es el cuádruple del área de

. Hallar la ecuación vectorial de la recta

si se

sabe que su distancia al origen es 18.



49. Una recta pasa por el punto 2, 2, 2 y es paralela al plano cuya ecuación es 2 4 4 = 0 , Hallar la ecuación vectorial de la recta si el área del triangulo es igual a √ 14 . O es el origen de coordenadas y es la intersección de

con el plano coordenado

50. Un plano pasa por el punto 2,0,0 y es paralelo a la recta: = 5,6,1 0,1,1 , ∈ . Dicho plano intersecta a los ejes e en

los puntos y respectivamente. Hallar la ecuación del plano sabiendo que el área

del triangulo es igual a (dos soluciones)

51.

Sean las : , : = 3 ; = 4. Hallar la longitud del menor segmento que

es paralelo al plano 2 2 = 0 y une a las rectas

52.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 3,4, 5 , corta a la recta: = 1,3,2 4,3,2 , ∈ y es perpendicular a la recta: − = + , = 5

La vida es como un eco; si no le gusta lo que recibe preste atención a lo que

emite.

Teoria y Problemas de Rectas y Planos Ccesa007

Documents

Transcript of Teoria y Problemas de Rectas y Planos Ccesa007