LINEAS DE ESPERA; TEORIA DE COLAS ANTECEDENTES El tener que esperaren unacola es una experienciacotidiana que normalmente se considera desagradable. Es claro quese necesita algn tipo de balance o compromiso paraque el tiempo de espera no sea muy largo y el costo de servicio no sea muy alto. Una cola es una lnea de espera y la teora de colas es una coleccin de modelosmatemticos que describen sistemas de lneas de espera particulares o sistemas de colas. Objetivos de Aprendizaje 1. Losdostiposdecostosasociadosconlos sistemas de colasy cmo se calculan. 2. Ejemplostpicosdelasdiferentesestructurasde los sistemas de colas. 3. Las suposiciones ylasecuacionesparalostres modelosde sistemas de colas. 4. Dosformasdeaplicarlosmodelosdesistemas de colas para encontrar la capacidadde servicio. (a) cuandose conoceel coso de espera,y.(b) cuandonose conoce el costo de espera. 5. Comoidentificaruncomportamientotransitorio, de estado estable o explosivoen las colas. Objetivos de Aprendizaje El significadode los siguientes trminos: Sistema de colas.Capacidad de servicio. Teora de colas.Salidas. Llegadas.Caractersticas de operacin. Cola. Distribucin Poisson. Disciplina de la cola.Distribucin Exponencial. Costos de los Sistemas de Colas Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia, la cola y la instalacindeservicio.Lasllegadassonlas unidadesqueentranenelsistemapararecibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola; si no haylnea de espera se dice que lacola est vaca.Delacola,lasllegadasvanala instalacindeserviciodeacuerdoconla disciplina de la cola, es decir , de acuerdo con la reglaparadecidirculdelasllegadassirve despus PEPS. Sistemas de Colas GeneralesCola Mecanismo de servicio Llegadas Salidas Disciplinade la cola Sistemas de colas Costo deEspera Esperar es estar intil. Es desperdicio. Significa que algn recurso est inactivo cuando podra usarseen formams productiva (o agradable) en otra parte. De hecho, representa un costo de oportunidad. Cuando los camiones estn esperando intiles en una lnea de unmuellede carga y descarga, se pierde su productividad; es dinero que se va por el cao y que no puede recuperarse. Costo deEspera Costo total de espera =Cw L Cw: Costo deespera en dlares por llegada por unidad de tiempo L: longitudpromedio de la lnea Costo de Servicio Determinarelcostodeservicioesms sencillo,enconcepto,quedeterminarel costodeespera.Enlamayoradelas aplicaciones se tratar de comparar varias instalacionesdeservicio:doscajerasen unbancocontratres;unabrigadade cuatrocontraunadecinco;unacajaen una tienda contra dos. Sistema de Costo mnimo Tan indeseable como pueda ser la espera, puedesermenoscostosoque proporcionarunserviciomsrpido. Desde un punto de vista global,se quiere el sistema que comparado con los dems, tieneelcostototalmspequeo, incluyendoelcostodeservicioyelcosto de espera. Estructuras Tpicas Todoslosejemplosdelneasdeespera quesehanpresentadohastaaqu incluyenpersonas,perostenosiempre eselcaso.Lasllegadaspuedenser cartas,carros,incendios,ensambles intermedios en una fbrica, etc. Combinacin de los costos de servicio y de espera Costo Costo total del sistema Costo total de servicio Costo total de espera Tasa ptima de servicio Tasa de Servicio En la tabla se muestran ejemplos de varios sistemas de colas Situacin LlegadasColaMecanismo de servicio AeropuertoAvionesAviones en carreteoPista AeropuertoPasajerosSala de esperaAvinDepartamento de bomberos Alarmas de incendioIncendiosDepartamento de bomberos Compaa telefnicaNmeros marcadosLlamadasConmutador Lavado de carrosAutosAutos suciosMecanismo de lavado La corteCasosCasos atrasadosJuez PanaderaClientesClientes con nmerosVendedor Carga de camionesCamionesCamiones en esperaMuelle de carga Oficina de correosCartasBuznEmpleados por correos Crucero AutosAutos en lneaCrucero FbricaSubensambleInventario en procesoEstacin de trabajo Cartas de negocioNotasde dictadoCartas para mecanografas Secretara ReproduccinPedidos de copiasTrabajosCopiadoras HospitalPacientesPersonas enfermasHospital Cola Servidor Llegadas Salidas UNA LINEA, UN SOLO SERVIDOR Cola Servidor Llegadas Salidas Servidor Servidor UNA LINEA, MLTIPLES SERVIDORES Cola Servidor Llegadas Salidas Cola Servidor Cola Servidor VARIAS LINEAS, MLTIPLES SERVIDORES Llegadas ColaServidorColaServidor Salidas UNA LINEA, SERVIDORES SECUENCIALES Modelo de un servidor y una cola Este modelo puede aplicarse a personas esperando en una lnea para comprar boletos para el cine, a mecnicos que esperan obtener herramientas, en un expendio o trabajosde computadora que esperan tiempo de procesador. Es uno de los modelos ms antiguos, ms sencillos y ms comn de la teora de colas. Se harn las siguientes suposiciones: Llegadas Sesuponequelasllegadasentranalsistemademaneracompletamentealeatoria.Notienenhorario,esimpredecibleenqumomentollegarn,esto equivaleaafirmarqueelnmerodellegadasporunidaddetiempotieneuna distribucin Poisson. Elmodelotambinsuponequelasllegadasvienendeunapoblacininfinitay llegan una a la vez. Cola enestemodeloseconsideraqueeltamaodelacolaesinfinito.Ladisciplina delacolaesprimeroenllegar,primeroenserservidosinprioridades especiales. Tambin se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en la lnea o dejar la cola antes de ser servidas. Instalacin de servicio Sesuponequeunsoloservidorproporcionaelservicioquevara aleatoriamente.Enparticular,eltiempodeserviciosigueunadistribucinexponencial, SalidasNosepermitequelasunidadesquesalenvuelvanaentrardeinmediatoal sistema. Caractersticas de Operacin Enlamayoradelasaplicacionesdelneasdeespera,elestado estable es de primera importancia. Cola ) (2A S SALq=) (0A S SAALWq= =Longitudpromediodelalnea: Tiempo de espera promedio: Sistema Longitud promedio de la lnea: Tiempo de espera promedio: A SASAL Lq s= + =A S ALWss= =1Utilizacin de la instalacin: SAU =Probabilidad de que la lnea exceda a n:1) (+|.|

\|= >nsSAn L PDonde: A = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo), y S = tasa promedio de servicio (llegadas por unidad de tiempo). Un supermercado Imagnese un supermercado grande con muchas cajas de salida. Supngase que los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operacin. (Ntese que una familia junta de compras se trata como un cliente.) Si hay poco intercambio entre las lneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola lnea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora: Ejercicio 1 Encuntrese las caractersticas de operacin (Lq, Wq, Ls, Ws y U) para los siguientes sistemas: a) A= 5 unidades por hora; S=10 por hora, Calclese P(Ls > 1). b) A=10 unidades por hora; el tiempo de servicio promedio es 3 minutos por cliente. Calclese P(Ls > 1). Ejercicio 2 La naturaleza de los costos de servicio influye en el mtodo para encontrar el sistema de menor costo. Si el costo de servicio es una funcin lineal de la tasa de servicio, puede encontrarse una solucin general para la tasa ptima de servicio. Para aplicar una solucin general, se necesita una tasa de servicio que pueda variar de manera continua, lo cual muy pocas veces se cumple en la prctica. Evaluacin del sistema cuando se conoce el costo de espera Tamao de una brigada Se est estudiando un muelle de carga y descarga de camiones para aprender cmo debe formarse una brigada. El muelle tiene espacio slo para un camin, as es un sistema de un servidor. Pero el tiempo de carga o descarga puede reducirse aumentado el tamao de la brigada. Supngase que puede aplicarse el modelo de un servidor y una cola (llegada Poisson, tiempos de servicio exponenciales) y que la tasa promedio de servicio es un camin por hora para un cargador. Los cargadores adicionales aumentan la tasa de servicio proporcionalmente. Adems, supngase que los camiones llegan con una tasa de dos por hora en promedio y que el costo de espera es de $20 por hora por camin. Si se le paga $5 por hora a cada miembro de la brigada, cul es el mejor tamao de esta? Ejercicio 3 Restaurante de comida rpida Considrese un restaurante de comida rpida con un men limitado. El restaurante se est diseando para que todos los clientes se unan a una sola lnea para ser servidos. (Igual que en el supermercado, una orden es una llegada sin importar cuntas personas comparten esa orden.) Una persona tomar la orden y la servir. Con sus limitaciones, la tasa de servicio puede aumentarse agregando ms personal para preparar la comida y servir las rdenes. Esto constituye un sistema de un servidor y una lnea. Si las llegadas y las salidas son aleatorias, puede aplicarse el modelo de una cola. Supngase que la administracin quiere que el cliente promedio no espere ms de dos minutos antes que se tome su orden. Esto se expresa como: Wq= 2 minutos. Supngase tambin que la tasa mxima de llegadas es 30 rdenes por hora. Ejercicio 4 Este modelo es el mismo que el primero, excepto que se supone que el tiempo de servicio es exactamente el mismo para cada llegada en lugar de ser aleatorio. Todava se tiene una sola lnea, tamao de la cola infinito, disciplina de la cola como primero en llegar primero en ser servido y llegadas Poisson. Modelo de un servidor con tiempos de servicio constantes Las aplicaciones tpicas de este modelo pueden incluir un autolavado automtico, una estacin de trabajo en una pequea fbrica o una estacin de diagnstico de mantenimiento preventivo. En general, el servicio lo proporciona una mquina. Las caractersticas de operacin estn dadas por: En donde A=tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo) y S=tasa constante de servicio (llegadas por unidad de tiempo). SAUALA S SA SWSALA S SA S ALALA S SAWA S SALSSq Sqqq===+ =====) ( 22) ( 2) 2 () ( 2) ( 22Lavado automtico de autos Imagnese un lavado automtico de autos con una lnea de remolque, de manera que los autos se mueven a travs de la instalacin de lavado como en una lnea de ensamble. Una instalacin de este tipo tiene dos tiempos de servicio diferentes: el tiempo entre autos y el tiempo para completar un auto. Desde el punto de teora de colas, el tiempo entre autos establece el tiempo de servicio del sistema. Un auto cada cinco minutos da una tasa de 12 autos por hora. Sin embargo, el tiempo para procesar un auto es el tiempo que se debe esperar para entregar un auto limpio. La teora de colas no considera este tiempo. Supngase que el lavado de autos puede aceptar un auto cada cinco minutos y que la tasa promedio de llegadas es de nueve autos por hora (con distribucin Poisson). Ejercicio 5 Encuntrese las caractersticas de operacin para el modelo de tiempos de servicios constantes cuando: A=5 unidades por hora; S=10 unidades por hora A=9 unidades por hora; S=10 unidades por hora Ejercicio 6 Comparacin de tiempos de servicios exponenciales y constantes Las tasas de llegadas y de servicio que se usaron para el ejemplo del lavado de autos son las mismas que se usaron antes en el ejemplo del supermercado. Esto permitir una comparacin directa de los dos modelos de un servidor. Los resultados se resumen en la tabla siguiente. Ntese que el sistema de tiempos de servicio constantes tiene slo la mitad de la longitud de cola y del tiempo de espera de lo que tiene el sistema de tiempos de servicio variables. La longitud de la lnea y el tiempo de espera para todo el sistema tambin son menores; slo la utilizacin es la misma para ambos. Por qu un sistema con tiempos de servicio constantes da mucho mejores resultados que el de tiempos de servicio variables? Porque se ha eliminado parte de la aleatoriedad del sistema y con ella la posibilidad de tiempos de servicio muy largos. Tiempos de servicio exponencialesTiempos de servicio constantesColaLongitud promedio de la lnea2.251.125Tiempo promedio de espera15 min7.5 minSistemaLongitud promedio de la lnea31.875Tiempo promedio de espera20 min12.5 minUtilizacin75%75% Tiempos de servicio exponenciales Tiempos de servicio constantes Cola Longitud promedio de la lnea2.251.125 Tiempo promedio de espera15 min7.5 min Sistema Longitud promedio de la lnea31.875 Tiempo promedio de espera20 min12.5 min Utilizacin75%75% En muchas situaciones reales habr ms de un servidor disponible para atender las llegadas. Esto es tpico de los supermercados y los bancos. En estos ejemplos, existen lneas separadas para cada servidor formando un sistema de lneas mltiples y servidores mltiples. Modelos con servidores mltiples Suponiendo que las llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son exponenciales, hay una sola lnea, varios servidores y una cola infinita que opera con la disciplina de primero en ser servido. Las ecuaciones para las caractersticas de operacin se vuelven un poco ms complicadas. Sea: N= nmero de servidores A= tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo) S= tasa promedio de servicio por cada servidor (llegadas por unidad de tiempo) Entonces: NSLWSAL LALWSAN NPo S ALssq sqqNq=+ ==|.|

\| =+21)! 1 () / ( La cantidad Po es la probabilidad de que no haya llegadas en una unidad de tiempo, lo cual no lo hace ms fcil de calcular. En realidad para dos o tres servidores pueden combinarse y simplificar las dos ecuaciones para obtener, para N=2, =|.|

\|+|.|

\||.|

\|=100!1!11Nii NSAi A NSNSSANPUn ejemplo con costos de espera desconocidos Considrese la biblioteca de una universidad cuyo personal est tratando de decidir cuntas copiadoras debe instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cul es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener que esperar ms de dos minutos en promedio. Si el nmero promedio de copias que se hacen por usuario es cinco, cuntas copiadoras se deben instalar? Ejercicio 7 Aplquese el modelo de servidores mltiples para encontrar Lq, Wq, Ls, Ws y U para: dos servidores, cada uno con S=4 unidades por hora y una tasa de llegadas de seis unidades por hora Ejercicio 8 Considrese un pequeo expendio de helados en que sirven en el automvil con una ventanilla y dos meseras. stas pueden trabajar juntas en cada orden o pueden procesar las rdenes por separado. Cuando trabajan juntas forman un sistema de un servidor y una cola y pueden atender a 60 clientes en una hora. Cuando trabajan separadas forman un sistema de dos servidores y una cola en que cada servidor puede atender a 30 clientes por hora. Supngase que las llegadas son Poisson y los tiempos de servicio son exponenciales. Aplicando las ecuaciones que se dieron antes, se obtienen los resultados que se muestran en la tabla:Comparacin de un servidor rpido con dos servidores lentos Comparacin de dos servidores lentos con uno rpido

Dos servidores lentos Un servidor rpido Cola Longitud Promedio de espera1.071.33 Tiempo promedio de espera1,6 min2 min SistemaLongitud Promedio de la lnea2.42 Tiempo promedio de espera Utilizacin67%67%