teorico electrostática 3.0 - Campus Virtual...

APUNTES SOBRE ELECTROSTÁTICA/

Vers ión 3 .0/

CÁTEDRA DE F ÍS ICA/

FFYB/

UBA/

C A T E D R A D E F I S I C A | F F Y B | U B A

A P U N T E S S O B R E E L E C T R O S T Á T I C A v 3 . 0 / F I S I C A

I n t r o d u c c i ó n a l e l e c t r o m a g n e t i s m o Los fenómenos electromagnéticos son fenómenos cotidianos cuyo estudio viene siendo llevado

a cabo desde la antigüedad. Diferentes teorías han sido postuladas para explicarlos, mas aún

diferentes concepciones del mundo han sido concebidas en función de las propuestas

explicativas que algunos científicos han hecho para los fenómenos electromagnéticos.

En este caso, y a modo de introducción al tema, analizaremos los dos modos de entender al

mundo que tuvieran lugar durante la modernidad: la confrontación de la teoría newtoniana de

acción a distancia vs la teoría clásica de campos.

La teoría clásica de campos, se la debemos a Faraday, a Maxwell y a sus seguidores. Esta teoría

y las que vinieron después ofrecían nuevas soluciones a un viejo problema que ya había sido

planteado en tiempos de los griegos o incluso antes:

¿cómo es que un cuerpo puede actuar sobre otro? Si bien

durante la modernidad hubo varias teorías disponibles

que intentaban dar cuenta de la acción de un cuerpo

sobre otro, la teoría que resultó exitosa en términos de

aceptación por la comunidad científica en ese momento

fue la newtoniana (finales del siglo XVII).

¿acción a distancia?

La teoría newtoniana1 establecía que los cuerpos están

formados por corpúsculos que actúan a distancia unos

sobre otros instantáneamente. La intensidad de la

interacción depende, según esta teoría, del inverso del

cuadrado de la distancia entre los cuerpos. Esta visión

del mundo introducida por las teorías newtonianas se

enmarca en lo que se conoce como mecanicismo o

mecánica clásica. Las leyes newtonianas se aplicaban por

ejemplo a la gravitación, una fuerza que Newton 1 Cuando nos referimos a “teoría newtoniana” o “visión newtoniana del mundo” seguimos el tratamiento abordado por William Berkson en Las teorías de los campos de fuerzas desde Faraday hasta Einstein (Ed. Alianza, 1981) y hacemos referencia a la cosmovisión extendida a principios del siglo XIX cuando las ideas de Newton se habían amplificado en manos de numerosos e importantes científicos de la época. Esta cosmovisión era atribuida a Newton, sin embargo hay que remarcar que Newton no ha dejado escrito en ninguno de sus trabajos una teoría completa y exenta de ambigüedades.

Issac Newton Para conocer mas sobre Newton: http://plato.stanford.edu/entries/newton/



suponía que existía entre todos los cuerpos, incluyendo los cuerpos celestes, los pequeños

cuerpos en la tierra y la tierra propiamente dicha. Aplicando esta ley, Newton pudo calcular el

movimiento de los planetas con gran aproximación y deducir leyes descubiertas por Kepler y

Galileo. La teoría newtoniana se mostró sorprendentemente superior, en cuanto a su capacidad

para predecir nuevos resultados, a cualquier otra teoría precedente en la historia del

pensamiento humano. Sin embargo esta teoría no explicaba todo los fenómenos conocidos, por

ejemplo, nada decía sobre otros fenómenos de acción de un cuerpo sobre otro como ser la

cohesión, las fuerzas eléctricas o magnéticas, o las reacciones químicas.

Los continuadores de Newton lograron luego extender su teoría a muchos de estos fenómenos

no alcanzados en primera instancia por la teoría newtoniana, sin embargo en el siglo XIX

empezaron a desarrollarse nuevas ideas en la física que ofrecieron una alternativa al punto de

vista mecánico. Estas ideas e investigaciones que permitieron desarrollar durante la

modernidad una imagen del mundo diferente a la concebida hasta ese momento, gestaron lo

que hoy se conoce como teorías de campos.

¿campos? En la historia de la física, el concepto de campo surge

como un intento de explicación de los fenómenos

electromagnéticos. Fue Faraday quien inició un

abordaje teórico de cuestiones empíricas del

electromagnetismo basado en el concepto de campo y

rechazando la idea de acción a distancia. Luego, fue

Maxwell quien diera cuerpo matemático a las

concepciones de Faraday y elaborara un programa de

investigación basado en suponer la existencia de

campos que dieran cuenta de la transmisión de

acciones electromagnéticas por el espacio y el tiempo.

Esta transmisión sería mediada por un campo y no

habría fuerza a distancia alguna involucrada.

Todas las teorías de campos, que comienzan con los

planteos de Faraday, comparten la idea de que la

acción de un cuerpo sobre otro que se encuentra a

cierta distancia ocurre vía algún medio como sustrato

de la interacción. En el caso de la propuesta de

Faraday este medio era simplemente la fuerza misma,

Michael Faraday (retratro realizado por Thomas Phillips, 1842). Para saber mas sobre Faraday: http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/136/htm/sec_4.htm



mientras que para otros científicos de la época el medio era una sustancia sólida o viscosa que

verificaba la ley de Newton y que se llamaba éter.

Laplace y otros, desarrollaron matemáticamente la teoría de Newton utilizando la idea de

campos de fuerzas, sin embargo utilizaban los campos como mero recurso matemático para

calcular la fuerza ejercida por una serie de cuerpos sobre un objeto de prueba, se suponía que

solo había fuerzas en puntos del espacio donde había materia. En cambio, la teorías de campos

sostenían que los campos de fuerzas, o el éter, existen incluso allí donde no hay materia.

El problema cuando dos teorías coexisten y tienen similar poder explicativo, reside en la

creencia o apoyo de la comunidad científica hacia alguna de ellas. Son la sociología de la ciencia

y la filosofía de la ciencia las disciplinas que estudian cómo es que las comunidades científicas

eligen apoyar a una u otra teoría. Muchas veces la batalla se da por la cantidad o calidad de

problemas que cada teoría logra resolver. Las teorías de campos predecían que todas las

acciones de un cuerpo sobre otro requerían de un cierto tiempo, mientras que las teorías de

acción a distancia se basaban en que la acción era instantánea. Así, el tiempo de propagación de

la acción de un cuerpo sobre otro fue, en este caso, una prueba sólida que utilizaron los

defensores de las teorías de campo para sostener que, tal como estas teorías señalan, los campos

existen realmente en lugares donde no hay materia. La teoría de campos alcanzó su éxito con el

descubrimiento hecho por Hertz sobre la transmisión de las ondas electromagnéticas. La

existencia de las ondas demostró que la

propagación de los efectos eléctricos y magnéticos

dura un cierto tiempo, tal como predecía la teoría

de campos.

En 1868, James Clerk Maxwell consolida la teoría

de campos eléctricos y magnéticos propuesta por

Faraday, expresándola en cuatro ecuaciones (las

llamadas Ecuaciones de Maxwell). Así, la

propuesta de Maxwell es la primera teoría donde la

idea de campo adquiere significación física y se

funda en la afirmación de la existencia e

interrelación entre campos eléctricos y magnéticos,

para cuyas interacciones existe una velocidad

límite de propagación, la velocidad de la luz. Por

este motivo el supuesto de una propagación

instantánea, tal como lo proponían las teorías

derivadas de la mecánica newtoniana, parecía no

ser correcto.

Albert Einstein (durante una conferencia en Viena en 1921). Para saber mas sobre Einstein http://plato.stanford.edu/entries/einstein-philscience/



Sin embargo, alcanzado el éxito de la teoría clásica de campos, aparecieron nuevas dificultades

que llevaron a la creación de dos nuevas teorías sobre las leyes básicas que gobiernan la acción

de un cuerpo sobre otro, la relatividad y la teoría cuántica.

La relatividad es una teoría de campos que cosechó su triunfo cuando se vio que la teoría

relativista de la gravitación propuesta por Albert Einstein superaba a la de Newton, pero al

mismo tiempo, esta teoría de campos se veía socavada por la recién estrenada teoría cuántica

que niega que la materia o la energía se distribuyan continuamente a través del espacio. Si bien

en este curso no abordaremos la teoría de la relatividad, si verán una introducción a la teoría

cuántica.

Según Einstein, la formulación de las ecuaciones de Maxwell es el acontecimiento mas

importante de la física desde el tiempo de Newton, no solo por la riqueza de su contenido sino

porque estas ecuaciones representan un modelo o patrón para un nuevo tipo de ley. Las

ecuaciones de Maxwell son leyes que representan la estructura de los campos. Einstein

considera que el pensamiento de Maxwell ha ido más allá de los resultados de los experimentos

de su época. El campo eléctrico y magnético, en una palabra el campo electromagnético, en la

teoría de Maxwell es algo real. El campo eléctrico es creado por un campo magnético variable

independientemente de la existencia de un conductor y se crea un campo magnético por un

campo eléctrico variable haya o no un polo magnético. Maxwell tiene una concepción del

campo como algo real, el campo electromagnético una vez creado existe, actúa y varía de

acuerdo a las leyes de Maxwell. Así, “las ecuaciones de Maxwell permiten seguir la historia del

campo, tal como las ecuaciones de la mecánica permiten seguir la historia de las partículas

materiales”2.

Einstein señala que el punto de vista mecánico intentaba reducir todos los fenómenos naturales

a fuerzas actuantes entre partículas materiales. Desde este punto de vista fue presentada la

primera e ingenua teoría de los fluidos eléctricos. Para los físicos de principios de siglo XIX solo

la sustancia y sus cambios eran lo real, no podía existir algo así como un campo allí donde no

había materia, es por ello que en la primera teoría sobre fenómenos eléctricos, la teoría de los

fluidos eléctricos, estos físicos trataban de describir la acción de dos cargas eléctricas por

conceptos que se referían directamente a esas dos cargas. En cambio, en las nuevas teorías de

campos, el campo adquirió primacía sobre la sustancia. Como dice Einstein: “el campo

electromagnético es para el físico moderno tan real como la silla sobre la cual se sienta”3.

2 La Física, aventura del pensamiento. Albert Einstein and Leopold Infeld. Losada, 1939, pp 130. 3 La Física, aventura del pensamiento. Albert Einstein and Leopold Infeld. Losada, 1939, pp 134.



teorías y mas teorías Las teorías nuevas muestran tanto los méritos como las limitaciones de las teorías anteriores, y

nos permiten enfocar los viejos conceptos desde un nivel diferente. De hecho, muchas veces es

complejo elucidar el significado de los términos empleados ya que tanto teorías nuevas como

viejas suelen compartir vocablos pero no necesariamente su sentido último. Por ejemplo, en la

teoría de Maxwell, se encuentra el concepto de carga eléctrica a pesar de que la carga es

considerada por esta teoría únicamente como fuente del campo eléctrico. Por otro lado, la ley de

Coulomb es válida y está contenida en las ecuaciones de Maxwell, de las que puede ser

deducida como una de tantas consecuencias, a pesar de que la concepción del mundo que

permitió llegar a la Ley de Coulomb es radicalmente diferente a la postulada por la teoría

maxwelliana, de hecho esta ley surge dentro del marco de su contemporánea mecánica

newtoniana. En estos casos en los que una teoría reemplaza a otra, sin duda, se puede aplicar la

vieja teoría cuando son investigados hechos que caen en la región de su validez, sin olvidar que

también estos fenómenos son interpretados por la teoría nueva y que la visión del mundo se ha

modificado.

Dice Einstein al respecto:

“nuestra única salida parece ser la de dar por sentado el hecho de que el espacio tiene la

propiedad física de transmitir ondas electromagnéticas y no preocuparnos demasiado del

significado de esta afirmación. Podemos aun usar la palabra éter, pero solo para expresar

esta propiedad del espacio. El vocablo éter ha cambiado muchas veces su significado

durante el desarrollo de la ciencia y ya no representa un medio formado por partículas”4.

Richard Feynman, el importante físico que llevó adelante gran parte de la teoría que sigue en la

historia del electromagnetismo a la teoría clásica de campos, la electrodinámica cuántica,

explica la siguiente analogía:

“Si estamos en una piscina y hay muy cerca un corcho flotando, podremos moverlo

directamente empujando el agua con otro corcho. Si ustedes miran solamente ambos

ochos, todo lo que verán es que uno se mueve inmediatamente en respuesta al

movimiento del otro (existe algún tipo de interacción entre ellos). Por cierto, lo que

realmente hacemos es perturbar el agua, el agua perturba entonteces al otro corcho.

4 La Física, aventura del pensamiento. Albert Einstein and Leopold Infeld. Losada, 1939, pp 135.



Podríamos establecer una ley: si usted empuja un poco el agua, un objeto próximo en el

agua se moverá. Si estuviera mas alejado el segundo corcho apenas de movería. Por otra

parte, si agitamos el corcho, un nuevo fenómeno estará implicado, se propagan ondas, y

así, por agitación hay una influencia de mucho mayor alcance, una influencia oscilatoria

que no puede ser comprendida a partir de la interacción directa. Por lo tanto la idea de

interacción directa debe reemplazarse por la existencia del agua, o en el caso eléctrico, por

lo que llamamos el campo electromagnético”5.

Es sabido que según la teoría de campos, el campo electromagnético puede transportar ondas.

Sin embargo, una vez descripta la idea de campo electromagnético como capaz de transportar

ondas, Feynman señala que “nos damos cuenta de que esta ondas se comportan realmente de

una manera extraña, que tiene apariencia muy poco ondulatoria!”. A frecuencias muy elevadas

estas ondas se comportan como partículas. Será la mecánica cuántica, descubierta poco después

de 1920, la teoría que explica este comportamiento.

En los años anteriores a 1920 la imagen del espacio como espacio tridimensional y del tiempo

como una cosa separada fue modificada por Einstein al plantear primero la existencia del

espacio-tiempo y luego de un espacio-tiempo curvo. Según Einstein, la gravitación sería una

modificación de este nuevo espacio-tiempo. Aquí también se ha abandonado el punto de vista

newtoniano entonces.

En la mecánica cuántica, no existe distinción entre onda y partícula, la mecánica cuántica unifica

la idea de campo y sus ondas y la de partícula todo en una. Es decir, surge un nuevo punto de

vista de la interacción electromagnética. Mas aun, aparece un nuevo tipo de partícula que se

suma a las conocidas (electrón, protón y neutrón) hasta el momento. Es el fotón. Este nuevo

punto de vista es la llamada electrodinámica cuántica. Esta teoría fundamental de la interacción

de luz y materia o campo eléctrico y cargas, es uno de los mayores éxitos hasta ahora en la

física. Esta teoría describe casi todos los fenómenos ordinarios, excepto la gravitación y los

procesos nucleares.

electricidad y magnetismo : dos caras de un mismo fenómeno Si bien en los próximos apartados, por cuestiones pragmáticas, analizaremos a la electrostática y

la magnetostática como fenómenos separados, es importante remarcar que el

electromagnetismo es un único fenómeno. Originalmente electricidad y magnetismo fueron

pensados como fuerzas separadas e independientes, esta visión ha cambiado desde la

5 Física Feynman. Feynman, Leighton, Sands. Addison Wesley Longman, México, 1998, 2-6.



publicación que Maxwell presentara en 1873, el Treatise on Electricity and Magnetism6, recogiendo

y analizando los experimentos llevados a cabo años

antes por Faraday. En esta publicación, se presentan

cuatro efectos resultantes de las interacciones eléctricas

y magnéticas, todos claramente probados

empíricamente y que serán tratados en estos y los

siguientes teóricos. Estos efectos pueden resumirse

como: i- las cargas eléctricas se atraen o repelen unas a

otras con una fuerza proporcional al cuadrado de la

distancia entre ellas, ii- los polos magnéticos se atraen o

se repelen unos a otros de manera similar y siempre

ocurren de a pares norte-sur, iii- una corriente eléctrica

en un cable crea un campo magnético circular alrededor

de dicho cable cuya dirección depende de la dirección

de la corriente, y iv- una corriente es inducida en una

espira de cable cuando este se mueve desde o hacia un

campo magnético, o cuando un magneto es movido

desde o hacia él, siendo la dirección de la corriente

dependiente de la dirección del movimiento.

Electricidad y magnetismo son dos caras de un único

fenómeno, sin embargo, por cuestiones pragmáticas que hacen al tratamiento de los fenómenos

desde la didáctica, se los suele abordar en una primera aproximación como elementos

conceptuales diferenciados (electrostática y magnetostática) para luego poder finalmente

comprender y abarcar la totalidad del fenómeno (electromagnetismo). Eso haremos en las

próximas páginas.

6 JC Maxwell, Treatise on Electricity and Magnetism, Oxford, 1873.

Portada del Tratado sobre la Electricidad y el Magnetismo de James Clerk Maxwell.



E l e c t r o s t á t i c a La electricidad es un fenómeno que nos acompaña una buena parte de nuestras vidas, la

iluminación, la sobrecarga de las nubes de tormenta, los crujidos de una chispa estática que se

libera al desplazar una silla sobre una alfombra. Los fenómenos eléctricos también están

involucrados en el movimiento de iones a través de una membrana biológica, en la transmisión

de las señales nerviosas, y en cuestiones centrales de la tecnología como por ejemplo en las

señales de un electrocardiograma. Los seres humanos tenemos como se ve, una relación íntima

con la electricidad, a tal punto que prácticamente es imposible separar la vida de ella.

Hoy día sabemos que en las interacciones eléctricas intervienen partículas que tienen una

propiedad conocida como carga eléctrica, atributo tan fundamental como la masa. Así, los

objetos con masa son acelerados por las fuerzas gravitatorias y los objetos con carga eléctrica

son acelerados por las fuerzas eléctricas. En los próximos apartados analizaremos las

interacciones que tienen lugar entre las cargas eléctricas cuando se hallan en reposo, las

llamadas interacciones electrostáticas. Estas interacciones tienen una importancia considerable

en química y en biología, así como en numerosas aplicaciones tecnológicas relacionadas con

estas disciplinas.

carga eléctrica

Como dijimos, la carga eléctrica es una propiedad de la

materia, al igual que la masa, tanto una como otra modifican

el espacio que las rodea. A diferencia de la interacción

gravitatoria que se da en un solo sentido (atracción), la

interacción eléctrica se puede dar en dos sentidos, atracción y

repulsión. Esto significa que dos trozos de materia se

comportarán distinto uno respecto del otro dependiendo de la

carga que presente cada uno de ellos. En el caso de la

interacción eléctrica, la atracción se dará entre dos cuerpos con

carga opuesta y lo contrario (repulsión) sucederá para cuerpos

con carga del mismo signo.

Ahora… ¿a qué nos referimos cuando decimos “carga del

mismo signo”? La materia está formada por protones, neutrones y electrones. Dos de estas tres

partículas tienen carga eléctrica, los protones y los electrones. Por convención el protón posee

carga positiva, mientras que el electrón tiene carga negativa quedando así constituidos los

Dos cargas de igual signo se repelen, dos cargas de signo diferente se atraen.



signos de las cargas. Con lo cual, dos cargas, ambas positivas o negativas, se repelen entre sí,

mientras que una carga positiva y una negativa se atraen. Actualmente sabemos que estas

cargas pueden estar relacionadas con partículas conocidas mas elementales, el protón y el

neutrón son combinaciones de quarks que tienen cargas equivalentes a 1/3 y 2/3 (positivas o

negativas) de la carga del electrón. La carga eléctrica fue descubierta en el 600 A.C. Al frotar ámbar con lana, se veía que el ámbar

atraía otros objetos. La palabra eléctrico se deriva de la palabra griega elektron que significa

ámbar.

Diferentes experimentos han mostrado que hay dos tipos de carga eléctrica, la que tiene la barra

de plástico que se frota contra la piel y la que hay en la barra de vidrio que se frota contra la

seda, como ejemplos históricos. Al momento de los primeros estudios sistemáticos sobre atracción y repulsión al frotar

diferentes elementos, ninguna de las partículas elementales antes mencionadas era conocida, y

en ese contexto se desarrolló lo que hoy conocemos como teoría ingenua de los fluidos eléctricos

y adjudicamos a Benjamín Franklin.

Benjamín Franklin experimentó con distintos materiales, y postuló la existencia de un fluido o

“fuego eléctrico” que se transmitía mediante la interacción de distintos objetos. Así explicó lo

que sucedía cuando frotaba una barra de cera con una tela tejida de lana, donde, si eran

aproximados estos objetos, se observaba una atracción entre ellos. Para Franklin esto se debía a

que una cierta cantidad de fluido eléctrico se transmitía de la barra de cera a la lana, quedando

esta última con un exceso de fluido. Esta desigualdad en la cantidad de fluido provocaba una

atracción entre los dos objetos, como consecuencia de la necesidad de restaurar el balance.

Sugirió llamar a estas dos clases de cargas negativa – cuando el fluido se encontraba en defecto-

En el sitio del proyecto PheT se puede ver y ejecutar esta simulación (http://phet.colorado.edu/en/simulation/balloons) que ayuda a comprender el traspaso de cargas entre materiales.



y positiva –cuando se encontraba en exceso-. Al realizar otros experimentos, observó que si se

enfrentan dos objetos con exceso de fluido (por ejemplo dos trapos de lana), se observaba una

repulsión entre los mismos, e interpretó este resultado bajo la mirada que dos cuerpos en estas

condiciones no podrían llegar un balance, y por lo tanto se producía una repulsión entre los

mismos. Lo mismo aplicaba a la situación de dos objetos con falta de fluido. Cuando acercaba

dos barras de cera, luego de haber sido frotadas con lana, estas se repelían entre sí. Es importante destacar que los estudios sobre las interacciones entre cargas eléctricas llevan

implícitos dos principios muy importantes: el principio de conservación de la carga (la suma

algebraica de todas las cargas eléctricas de cualquier sistema cerrado es constante) y el de la

unidad de carga (la magnitud de la carga del electrón o del protón es una unidad natural de

carga). No hay observaciones que den indicio experimental alguno de una violación al principio

de conservación de la carga y toda cantidad observable de carga eléctrica es siempre un

múltiplo entero de esta unidad básica, por lo que se dice que la carga esta cuantizada.

la ley de Coulomb Una vez conocidos los tipos de cargas eléctricas la pregunta que surge es ¿qué tipo de fuerza se

da entre ellas? Hoy día sabemos que una ley sencilla da cuenta de la fuerza electrostática que

puede darse al menos entre dos cargas puntuales. Esta es la llamada Ley de Coulomb,

publicada por Charles Augustin Coulomb en 1785. En la primer publicación Primeras memorias

sobre la electricidad y el magnetismo (en Historia de la Royal Academia de Ciencias paginas 569-

577) Coulomb analiza la repulsión entre esferas electrificadas con igual tipo de carga eléctrica y

encuentra que esta repulsión es proporcional al cuadrado de la distancia que separa a dichas

esferas. En las Segundas memorias sobre electricidad y magnetismo, Coulomb muestra que en caso

de que las esferas presenten cargas opuestas se evidencia una ley de atracción que depende del

cuadrado de la distancia entre las mismas.

Por supuesto no fue Coulomb el primero en realizar este tipo de experimentos, en la literatura

pueden encontrarse los antecedentes de los experimentos realizados por este investigador

francés.

Es importante destacar que el estudio realizado por Coulomb acerca de las fuerzas de

interacción de las partículas con carga eléctrica fue realizado bajo una “mirada newtoniana” del

mundo, mirada que como ya hemos explicado prevalecía en la época.

Los resultados que Coulomb encontró dieron cuenta de que: i- la fuerza eléctrica decae

proporcionalmente al cuadrado de la distancia (esto es depende de 1/r2) y ii- la fuerza eléctrica

depende de la cantidad de carga de cada cuerpo en estudio. Si juntamos estas dependencias que

la fuerza eléctrica parece tener tanto con la distancia que las cargas involucradas tienen entre sí



como con la magnitud de dichas cargas, se obtiene lo que hoy día se conoce como ley de

Coulomb:

La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas

puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia a que las separa.

Matemáticamente, dadas dos cargas 𝑞!y 𝑞! separadas una distancia 𝑟, la fuerza electrostática

involucrada es:

𝐹!,! = 𝑘!𝑞!𝑞!𝑟!

La dirección de las fuerzas que las dos cargas ejercen una sobre la otra siguen la línea que las

une. Si las cargas tienen igual signo, las fuerzas son de repulsión (A), mientras que si las cargas

tienen diferente signo, las fuerzas son de atracción (B).

Si bien esta ley tiene la misma forma

que la de gravitación, las

interacciones eléctricas y las

gravitatorias son fenómenos muy

diferentes. Si recordamos la ley de la

gravitación universal de Newton

veremos que la estructura de ley que

da cuenta acerca de la dependencia

de la fuerza gravitatoria con las masas

y la distancia que las separa es igual a

la ley de Coulomb.

Es importante destacar que dada la

primacía de la mecánica newtoniana

como modo de comprender al

mundo, remarcamos esta similitud,

sin embargo es probable que en la época durante la cual Newton publicara su trabajo titulado

Philosophiae Naturalis Principia Mathematia (conocido como “los principia”) las dependencias de

las fuerzas con cuadrados de distancias fueran algo de lo que varios físicos daban cuenta. De

A

B



todos modos no es tan central quién fuera el que anunciara este tipo de leyes por vez primera

sino rescatar que “el espíritu de época” era investigar al mundo de un modo tal que estas

regularidades se hacían evidentes. Lo extraordinario de Newton fue mostrar cómo “la ley de la

inversa del cuadrado con la distancia” para la atracción gravitatoria tenía conexiones

matemáticas fuertes con características medibles del movimiento de los planetas. Así, el apoyo

empírico de la propuesta teórica de Newton fue lo que hizo del sistema newtoniano una

herramienta científica tan poderosa. En el sistema internacional, SI, la carga se mide en coulombs (C). Un coulomb es la magnitud

(en valor absoluto) de la carga total de aproximadamente ¡6 x 1018 electrones o protones! La

constante 𝑘! es una constante de proporcionalidad, conocida como constante de Coulomb,

relacionada a las propiedades del espacio, cuyo valor numérico depende del sistema de

unidades que se utilice. En el SI, 𝑘! =!!!"

Nm2/C2 siendo 𝜀 una constante física llamada

permitividad eléctrica o constante dieléctrica. Esta constante expresa el comportamiento

eléctrico del medio, y en cierto sentido, es una medida del grado de permeabilidad de dicho

medio al campo eléctrico. Si el medio en cuestión es el espacio vacío la constante recibe el

nombre de permitividad del espacio vacío y vale ε!= 8.8542 x 10-12 C2/Nm2. Muchas veces la

permeabilidad de un material dado se expresa en relación a ε!, en estos casos se habla de

permitividad relativa ε! o constante dieléctrica.

La ley de Coulomb, describe solo la interacción de cargas puntuales. Cuando dos cargas ejercen

fuerzas simultáneamente sobre una tercera carga, la fuerza total que actúa sobre esa carga es la

suma vectorial de las fuerzas que las dos cargas ejercerían individualmente, esta propiedad se

conoce como principio de superposición de fuerzas.

Esto puede entenderse fácilmente con un ejemplo. Suponiendo la siguiente disposición de

cargas en el espacio:

Para analizar la fuerza que se ejerce sobre cada carga se debe tener en cuenta la acción de las

demás cargas presentes en el espacio. Se sabe, por lo explicado anteriormente, que la fuerza

eléctrica tiene una dirección que coincide con una línea que une ambas cargas (de centro a



centro) representadas con las líneas azules punteadas. El sentido dependerá de la naturaleza de

las cargas (si son positivas o negativas). Como se ve en el siguiente esquema, sobre cada carga

se ejercerán dos fuerzas que son consecuencia de las otras dos cargas presentes (son tres en

total). Sin embargo, para evaluar la fuerza neta se deben sumar vectorialmente dichas fuerzas.

Eso es lo que se encuentra representado con los vectores rojos del esquema.

Para la obtención de esa fuerza neta se requiere realizar una suma vectorial.

campo eléctrico y fuerzas eléctricas Es claro que dependiendo de qué teoría intente explicar el fenómeno eléctrico podremos decir

que las cargas interactúan a distancia (teoría newtoniana) o bien mediante la presencia de un

campo (propuesta de Faraday). En el abordaje didáctico que haremos aquí, vamos a posicionar

la comprensión de los fenómenos eléctricos en el marco de la teoría de campos.

¿A qué llamamos campo entonces? Podríamos decir, que al menos bajo la mirada de Maxwell,

el campo es el espacio modificado por la presencia de cargas, es un campo que existe y que

actúa.

Sin embargo, vamos a ampliar un poco la mirada y a presentar al campo una como

representación de fenómenos variados. Definiremos campo, mas generalmente, al espacio

modificado por algo, donde algo es aquello que genera una perturbación en el espacio y el

tiempo, ya sea una carga, una masa, una temperatura, etc. En función de la perturbación,

podemos hallar campos escalares y campos vectoriales. Matemáticamente, podemos pensar que

un campo escalar es una función que da un valor único de alguna variable para cada punto del



espacio, mientras que un campo vectorial, es una función que asigna un vector a alguna

variable para cada punto del espacio.

Un ejemplo de campo escalar podría ser un mapa de temperaturas, a cada punto del espacio se

le puede asignar un valor de temperatura determinado. En cambio, un ejemplo de campo

vectorial podría ser un mapa de vientos, a cada punto del espacio se le puede asignar un vector

que represente la magnitud y la dirección del viento en dicho punto.

El campo en el que centraremos nuestra atención en este fascículo es el campo eléctrico.

Apliquemos ahora el concepto de campo a la interacción que ocurre entre dos cargas eléctricas.

El campo eléctrico entonces daría cuenta de cómo una carga “se entera” de que hay otra carga

cerca o lo que es similar “siente” la presencia de la segunda.

En el marco de la teoría clásica de campos, si hay dos cargas en el espacio, se puede pensar que

una carga modifica las propiedades del espacio que la rodea, y de este modo la otra carga

“percibe” como se ha modificado el espacio donde se encuentra experimentando una fuerza. De

este modo se podría decir que la presencia de una carga en un punto dado del espacio, crea un

campo que es sentido por otras cargas presentes en dicho espacio. El efecto de este “sentir” es la

fuerza eléctrica misma.

Pero atención, ocurre lo mismo con la segunda carga, ya que como tal y por estar ubicada en

algún punto del espacio también modifica el espacio que la rodea.

Resumiendo, una carga eléctrica produce o causa un campo eléctrico, este campo tiene

determinada magnitud en un punto dado del espacio, si en ese punto se coloca alguna otra

carga eléctrica puntual, ésta sentirá el campo generado por la carga anterior. Diremos que la

segunda carga experimentará una fuerza eléctrica. Esta fuerza eléctrica puede ser descripta por

la Ley de Coulomb.

Según la teoría de campos, el campo eléctrico es el intermediario a través del cual una carga

comunica su presencia a otra. Dicho de otro modo, el campo ejerce fuerza neta sobre la segunda

carga. Pero, dicho campo no ejerce fuerza neta sobre la carga que lo creó. Otra forma de decir lo

mismo, la fuerza eléctrica sobre un cuerpo con carga eléctrica es ejercida por el campo eléctrico

creado por otros cuerpos con carga.

Para averiguar si existe un campo eléctrico en un punto del espacio se utiliza la llamada carga

de prueba (pequeña y positiva, tan pequeña que el campo que ella puede generar es

despreciable frente al campo a testear, y positiva por convención). Si una carga de prueba

experimenta una fuerza eléctrica en algún lugar del espacio, entonces allí existe un campo.

El campo, al igual que la fuerza eléctrica, es también es una magnitud vectorial. Y la intensidad

de campo en un punto se define como el cociente entre la fuerza que experimenta una carga de



prueba en dicho punto del espacio y el valor de la carga de prueba. Es decir, la intensidad de

campo eléctrico es la fuerza eléctrica por unidad de carga. El campo eléctrico se mide en

unidades de N/C para el SI.

De otro modo, también se puede decir que la fuerza eléctrica que siente una carga se puede

calcular como producto de la magnitud de dicha carga por la intensidad del campo eléctrico

que hay en el punto del espacio en que se encuentra la misma . Esto es, 𝐹 = 𝑞𝐸 .

Si la carga es positiva, la fuerza que la carga experimenta tiene el mismo sentido que el campo,

si la carga es negativa la fuerza y el campo tiene sentidos opuestos.

Se puede comparar esta ecuación con la de la fuerza gravitatoria, 𝐹 = 𝑚𝑔 , donde 𝑔 es la

aceleración de la gravedad. De este modo, y bajo la teoría de campos se puede interpretar a la

aceleración de la gravedad como un campo gravitatorio.

Las ecuaciones hasta aquí presentadas son siempre para cuerpos puntuales, si un cuerpo con

carga es muy grande, el campo que genera puede ser notoriamente diferente en términos de

magnitud y dirección en diferentes puntos del cuerpo. Y el cálculo puede ser muy complicado.

Para una carga puntual la intensidad de campo en un punto dado del espacio depende de la

magnitud de la carga que lo genera y de la distancia que existe entre esta carga y el punto en el

cual se evalúa dicho campo. Por supuesto también dependerá de la permitividad eléctrica del

espacio en cuestión. Con lo cual, la intensidad de campo en un punto está representada por la

siguiente ecuación:

𝐸 =1

4𝜋𝜀!𝑞𝑟!

Por definición el campo

que una carga puntual

genera apunta alejándose

de las cargas positivas y

acercándose a las cargas

negativas. O lo que es lo

mismo, las cargas positivas

son “fuentes” de campos

eléctricos y las cargas

negativas son

“sumideros”.

La carga positiva es una fuente de campo (los vectores campo eléctrico « salen » de ella), mientras que la carga negativa es un sumidero de campo (los vectores campo eléctrico « llegan » a ella). ¿Cómo se comportaría una carga de prueba en las cercanías de cada una de estas dos cargas ?



En la figura se muestran una carga positiva y una negativa acompañadas por el campo

eléctricos que genera. (no hay que olvidar que el campo es continuo, en este tipo de esquemas

gráficos se muestran por simplicidad vectores que representarían al campo en algunos puntos

del espacio).

líneas de campo eléctrico (también llamadas líneas de fuerza) Las líneas de campo son útiles para “visualizar” los campos eléctricos. Una línea de campo

eléctrico es una recta o curva imaginaria trazada de manera tal que siempre sea tangente a la

dirección del vector campo eléctrico en cada punto. Si bien en los esquemas que se encuentran

en libros de texto y en este fascículo sobre este tema aparecen en forma discreta y hasta

contable, esto también es parte de la representación, ya que el campo que pretenden representar

es continuo.

Cuando se pretende representar un campo (ya no necesariamente eléctrico, ya que este recurso

también suele ser usados para “mostrar” campos gravitatorios o magnéticos) mediante el uso

de líneas de campo se las debe dibujar y considerar de acuerdo a las siguientes reglas: i- la

dirección de la línea de campo en cada punto del espacio es tangente al campo en dicho punto,

En este esquema vemos dos puntos del espacio, a y b. En ese espacio hay un campo eléctrico generado por alguna carga que no está representada aquí. En los puntos a y b dibujamos los vectores campo eléctrico correspondientes y en gris se ve la línea de fuerza. La línea de fuerza es solo una representación del campo, no existe, sirve para “mostrar” un campo en un gráfico, y al representarla siempre se la dibuja tangente a los vectores campo eléctrico en cada punto.



ii- las líneas de campo jamás se cruzan, si lo hicieran significaría que en un punto del espacio

habría dos direcciones para el campo. En el caso particular de los campos eléctricos además

debe considerarse que: i- el número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud

del campo eléctrico en una dada región, ii- las líneas de campo deben comenzar en una carga

positiva (o en el infinito) y terminar en una carga negativa (o en el infinito) y iii- el número de

líneas que se originan en una carga positiva o terminan en una carga negativa debe ser

proporcional a la magnitud de la carga.

Es importante no confundir línea de fuerza con trayectoria de una partícula cargada en un

campo eléctrico, ya que dado que en cualquier punto de una línea de campo, el vector campo

eléctrico es tangente a ella, la fuerza, y por lo tanto, la aceleración de la partícula son tangentes a

la línea de campo también (mientras que la aceleración de una partícula en una trayectoria

curva no lo es).

Por otra parte es interesante considerar que el patrón de líneas de fuerza para un campo

complejo, es decir producido por un arreglo de cargas puede obtenerse considerando que el

mismo es simétrico y que: i- muy cerca de una carga, el campo que prevalece es el que genera

dicha carga, esto es, las líneas son radiales y esféricamente simétricas cerca de la carga en

cuestión y por otro, ii- que muy lejos del sistema de cargas, el patrón debe parecerse al de una

carga puntual de valor igual a la suma de las cargas del sistema, es decir, las líneas serán

radiales a menos que la sumatoria de cargas sea cero, iii- que existen puntos nulos por los que

no deben pasar líneas de campo, estos son los lugares en los que el valor del campo cero.

dipolos eléctricos Las cargas eléctricas

pueden adoptar

configuraciones

particulares entre todas las

posibles. Una

configuración que tiene

gran relevancia biológica

es la llamada dipolo

eléctrico.

Un dipolo es un arreglo de

dos cargas puntuales de

igual magnitud y signo

opuesto separadas una Representación de un dipolo eléctrico. En la figura se muestra un arreglo de dos cargas, una positiva y otra negativa de igual magnitud y las líneas de fuerza que representan al campo que este arreglo genera.



determinada distancia. Los dipolos son frecuentes en los sistemas físicos, químicos y/o

biológicos. La molécula de agua se comporta como un dipolo. Si bien esta molécula como un

todo es eléctricamente neutra, presenta una distribución de cargas particular que da lugar a la

formación de un dipolo. Muchas de las características tan particulares de la molécula de agua se

deben a su carácter de dipolo.

Un dipolo, por poseer carga, también es capaz de generar campo eléctrico. ¿Qué aspecto tendrá

el campo generado por un dipolo? Como en otros casos, podemos decir que en cada punto del

espacio el campo total será la suma vectorial de los campos generados por cada una de las

cargas individuales del dipolo (el cálculo, si bien factible, puede llegar a ser muy complicado,

pero al menos podemos graficar las líneas de fuerza para representarnos dicho campo). Hay

que tener presente que los esquemas que frecuentemente se encuentran representando las líneas

de campo de un dipolo eléctrico representan al campo que generaría dicho dipolo en ausencia

de toda otra carga en el espacio.

Ahora bien, ¿qué pasa cuando un dipolo eléctrico es colocado en un

campo eléctrico externo y uniforme?

En la figura se muestra un dipolo (con la distancia que separa a las

cargas del mismo llamada d) colocado en un campo eléctrico E, ¿qué

le ocurrirá a este dipolo? ¿sentirá al campo E? ¿se moverá? ¿rotará?.

Analicemos la situación (para ello consideremos que el dipolo no

genera un campo eléctrico tal que afecte o modifique al campo

externo E).

Lo que es seguro es que aparecerán fuerzas sobre las cargas del

dipolo, es decir, el dipolo “sentirá” al campo externo. Dado que

las cargas del dipolo son iguales en magnitud, pero una es

positiva y la otra negativa, las fuerzas eléctricas que el campo

ejercerá sobre cada carga serán de igual magnitud pero con

sentidos opuestos, con lo cual, la fuerza eléctrica neta sobre un

dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme es cero.

Ahora bien, para seguir analizando la situación, consideremos primero una magnitud que nos

dirá algo sobre el dipolo en cuestión, por ejemplo, que de algún modo cuantifique la magnitud

de las cargas del dipolo y la distancia que las separa. A esta magnitud utilizada para

caracterizar dipolos se la conoce como momento dipolar eléctrico (𝑝), y se calcula como el

producto de la carga 𝑞 por la separación 𝑑, tal que:



𝑝 = 𝑞𝑑

El momento dipolar es una cantidad vectorial cuya dirección sigue el eje del dipolo desde la

carga negativa hacia la positiva.

Volvamos a nuestro análisis sobre que pasa cuando un dipolo es colocado en medio de un

campo eléctrico uniforme. Habíamos dicho que sobre las cargas del dipolo aparecían dos

fuerzas iguales en magnitud pero de sentidos contrarios, de modo tal que la fuerza neta resulta

nula. Esto implica que el dipolo no se desplaza en el campo externo. Sin embargo, las fuerzas

aparecidas no se encuentran actuando sobre la misma recta, por lo que se genera sobre el dipolo

un torque o par de fuerzas7! Este torque puede calcularse como el producto vectorial entre la

fuerza eléctrica y la distancia que separa a las cargas. Pero resulta mas conveniente evaluarlo

como el producto vectorial entre el momento dipolar (que caracteriza al dipolo) y el campo al

cual está sometido.

Así, vemos que,

𝜏 = 𝑑 × 𝐹

O lo que es lo mismo,

𝜏 = 𝑑𝐹𝑠𝑒𝑛 𝜃 Considerando que 𝐹 = 𝑞𝐸,

𝜏 = 𝑑(𝑞𝐸)𝑠𝑒𝑛 𝜃

Y sabiendo que 𝑝 = 𝑞𝑑, luego, 𝜏 = 𝑝𝐸𝑠𝑒𝑛 𝜃

O, como producto vectorial,

𝜏 = 𝑝 × 𝐸

El ángulo en cuestión, 𝜃, es el que se forma entre las direcciones de

los vectores campo eléctrico y el momento dipolar, así aparece el

producto vectorial entre ellos, cuyo resultado es el momento de

torsión sobre el dipolo eléctrico.

7 Recordar que un torque es la tendencia de una fuerza a rotar un objeto sobre su eje. La magnitud del torque depende de la fuerza aplicada, de la longitud del brazo de palanca y del ángulo entre ambas, de manera que se puede calcular como el producto vectorial entre el vector fuerza y el vector desplazamiento. En el caso de un dipolo aparece específicamente un par de fuerzas, esto es un sistema formado por dos fuerzas de igual magnitud y paralelas, pero con diferente sentido, esto causa la rotación de dicho sistema.



Este momento de torsión es máximo cuando el momento dipolar y el campo eléctrico son

perpendiculares, y es cero si son paralelos (o antiparalelos). Este momento de torsión, por

supuesto tiene a hacer girar al dipolo para “alinearlo” con el campo eléctrico (como se muestra

en la figura).

conductores y dieléctrico Algunos materiales permiten que la carga eléctrica se mueva con facilidad en su interior,

recibiendo el nombre de conductores. Los metales son conductores por ejemplo. Aquellos

materiales que no permiten el movimiento de carga eléctrica con facilidad reciben, en cambio, el

nombre de aisladores, o dieléctricos. Podemos decir que un material se comportará como un

conductor si presenta cargas móviles, pero en cambio será un dieléctrico si sus cargas están fijas.

Abordemos algunas preguntas que frecuentemente surgen si indagamos mas profundamente

sobre el comportamiento de los materiales en tanto poseedores de carga.

¿Qué pasa en un material conductor en una situación electrostática, esto es, en ausencia de corriente

eléctrica? ¿Cómo es el campo en el interior de un conductor siendo que este por ser tal tiene cargas que

pueden moverse?

Pues, el campo en el interior de un material conductor es, en una situación electrostática,

siempre cero. Pensemos…, si hubiera campo eléctrico dentro del conductor, este campo

ejercería una fuerza sobre cada una de las cargas móviles de conductor, luego, estas se

moverían. Si se movieran cargas en el interior de un conductor, pues habría una corriente

eléctrica. Pero una situación electrostática es aquella en que las cargas no tienen movimiento

neto, por lo tanto se puede decir que en una situación electrostática el campo eléctrico en todos

los puntos dentro de un conductor es cero.

¿Qué ocurre cuando las cargas no están en el vacío?

En términos estrictos, las leyes hasta aquí presentadas solo se pueden aplicar a cargas puntuales

en el vacío ya que hemos considerado en las ecuaciones vista solo la constante dieléctrica del

vacío. Ahora bien, si hay materia en el espacio que separa las cargas estamos en presencia un

material formado por átomos y/o moléculas que si no están cargados en forma neta pueden

presentar dipolos o bien desarrollar momento dipolar cuanto este material es expuesto a un

campo eléctrico. Si estas cargas son móviles, el material es un conductor y debe ser consdierado

como tal…pero, ¿si sus cargas están fijas, afectan la interacción electrostática de las cargas en

estudio?

Si el medio a considerar es aire y se encuentra a presión atmosférica normal, la fuerza eléctrica

con respecto a su valor en el vacío sufre una modificación de solo una parte en 2000, con lo cual



su presencia podría considerarse despreciable. Sin embargo, ¿si el medio en el que están las

cargas actuando no es el vacío o el aire, qué ocurre?

Veamos, un medio no conductor que “ocupe” el espacio en el que se da un campo eléctrico

generado por presencia de cargas es un dieléctrico. Cuando un dieléctrico es colocado en un

campo eléctrico, las cargas no fluyen a través de este material (como lo harían a través de un

conductor, esto es, un material con electrones libres como puede ser un cable de metal), sino

que solamente sufren un pequeño desplazamiento de sus posiciones de equilibrio, este

desplazamiento pequeño de las cargas de un dieléctrico por la presencia de un campo eléctrico

se conoce como polarización. Debido a esta polarización las cargas positivas y negativas del

dieléctrico se orientan según el campo. Esto crea a su vez, un campo eléctrico interno que

compensa parcialmente el campo externo en la zona donde existe el dieléctrico (recordar el

principio de superposición!).

Hay dos tipos posibles de polarización de materiales dieléctricos según las características de

este material, la iónica y la dipolar. La polarización iónica es un tipo de polarización causada

por el desplazamiento relativo de iones positivos y negativos dentro del cristal iónico. La

polarización dipolar es una polarización que se da particularmente en moléculas polares y tiene

lugar en materiales que presentan dipolos permanentes, esto es, que aún en ausencia de campo

eléctrico externo son dipolos. Ahora bien, cuando estos materiales están en presencia de un

campo eléctrico externo, el dipolo se mantiene pero se reorienta.

En resumen, si las cargas se encuentran ubicadas en un medio diferente al vacío, la influencia

de este medio al comportamiento electrostático de dichas cargas deberá ser considerado, esto

puede hacerse utilizando una constante dieléctrica adecuada (que represente justamente dicha

influencia).

flujo eléctrico Hasta ahora vimos que dada una distribución de cargas podíamos saber cómo es el campo

generado por esta. Pero la cuestión podría invertirse. Esto es, dado un campo, ¿qué se puede

saber acerca de la distribución de cargas que lo genera?

Para abordar esta cuestión utilizaremos el concepto de flujo eléctrico. Se denomina flujo

eléctrico al campo eléctrico que “pasa a través” de un área determinada. Por supuesto

nuevamente estamos apelando a la imaginación para abordar un problema físico ya que el

campo eléctrico no pasa, literalmente hablando, a través de nada, sino que simplemente está allí

(es decir el campo eléctrico NO FLUYE!). Sin embargo, veremos enseguida que pensar al campo



de este modo resulta sumamente útil para comprender gran parte de los fenómenos

electrostáticos.

Si bien, como ya enfatizamos, los campos eléctricos no fluyen en el sentido literal del término

fluir, se utiliza generalmente la analogía entre campo eléctrico y fluidos que fluyen como

herramienta conceptual para “visualizar” al dicho campo.

Hagamos una pausa, y dediquémosnos unos minutos a ver como se puede, desde la física,

abordar el comportamiento de cualquier flujo.

Se dice que un flujo es un flujo divergente, cuando las partículas del mismo parecen divergir

desde el punto de creación, su fuente. En cambio llamamos flujo convergente, cuando las

partículas del mismo convergen hacia un sumidero.

En lenguaje de vectores, un campo, en tanto vector, puede definirse como :

𝑣 = 𝑣!𝚤 + 𝑣!𝚥 + 𝑣!𝑘

Existe el operador divergencia, que representa la derivada parcial, que en coordenadas

cartesianas se define así para un campo vectorial 𝑣:

∇ . 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝑑𝑣!𝑑𝑥

+ 𝑑𝑣!𝑑𝑦

+𝑑𝑣!𝑑𝑧

Esta derivada es muy útil, ya que si para un punto dado de un campo vectorial su divergencia

es mayor a cero se dice que dicho punto es una “fuente”, y si es menor a cero se dice que es un

“sumidero”.

Ahora bien, los campos vectoriales que representan por ejemplo el fluir de un líquido tienen por

supuesto interpretación física sencilla e inmediata, el líquido fluyendo, donde, el vector en cada

punto del fluido representa la dirección de movimiento de un elemento de dicho fluido. Sin

embargo, los campos como el eléctrico y el magnético que son representados por medio de

vectores no pueden recibir una interpretación física tan gráfica, ya que dichos campos no fluyen

como lo haría un líquido. Mas allá de esto, la analogía es útil y el lenguaje de los fluidos es

llevado al lenguaje de los campos eléctricos y magnéticos. En este sentido es que se habla de las

cargas positivas como fuentes de campo eléctrico y de las cargas negativas como sumideros de

campo eléctrico.

El flujo eléctrico puede interpretarse matemáticamente como el producto escalar entre el vector

área (siempre perpendicular a la superficie considerada) y el vector campo eléctrico que

representa al campo que “atraviesa” dicha superficie, como indica la ecuación siguiente:



Dado que es un producto escalar, el flujo será

mínimo cuando el vector área y el vector

campo eléctrico sean perpendiculares, y

máximo cuando dichos vectores sean

paralelos. En cualquier otro caso, el flujo

variará en función del ángulo entre ambos

vectores.

Ahora bien, imaginemos una superficie

cerrada en cuyo interior se encuentra una

carga eléctrica que genera un campo eléctrico.

Sin importar la forma de esta superficie, sin

duda estará “atravesada” por el campo

eléctrico. Así, se la puede dividir en infinitas

pequeñas áreas y por cada unidad de área se

puede calcular el flujo correspondiente. Este

flujo será entrante si la superficie encierra una

carga negativa y será saliente si, en cambio,

encierra una carga positiva. Luego,

integrando (hablamos de una integral de

superficie) se podrá conocer el flujo neto

total.

Al ser esta superficie una superficie cerrada es

de esperar que el flujo total en toda la superficie

sea directamente proporcional a la carga

encerrada e independientemente del tamaño de

la superficie que encierra dicha carga, ya que

todo el campo que esta carga genere (sea

entrante o saliente) debe “atravesar” la

superficie sin importar el tamaño de la misma.

Esto es lo que se conoce como Ley de Gauss.

Carl Friedrich Gauss Retratado por Christian Albrecht Jensen

Superficie cerrada donde ΔS representa una porción de área “atravesada” por el campo eléctrico E. Imagen bajo licencia Creative Commons tomada de Wikipedia.



ley de Gauss Esta ley fue descripta por Carl F. Gauss en 1835 y es una de las leyes de Maxwell, y como

expresamos en el apartado anterior, establece que,

el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada que encierre una carga o

ensamble de cargas es proporcional a la carga eléctrica total encerrada por dicha superficie

Si a este enunciado lo expresamos matemáticamente, resulta:

Donde Q es la carga encerrada. Como pueden observar esta ecuación habla de flujo eléctrico

pero a través de una superficie “gaussiana”, esto es una superficie cerrada (el círculo sobre el

símbolo de la integran denota justamente que se integra sobre una superficie cerrada).

Se puede demostrar que la ley de Gauss es totalmente equivalente (aunque mas general) a la ley

de Coulomb, solo expresa de modo diferente la relación entra carga eléctrica y campo eléctrico.

Así, la ley de Gauss es la respuesta a la pregunta que nos planteamos anteriormente, si se

conoce la configuración de campo eléctrico en una región del espacio, la ley de Gauss da una

relación entre dicho campo y la carga que lo genera.

Esta ley es muy útil para algunos casos de superficies especialmente elegidas donde la

integración es absolutamente sencilla.

energía potencial eléctrica Así como todo objeto tiene energía potencial gravitatoria por estar dentro de un campo

gravitatorio, toda carga tiene asociada energía potencial eléctrica, al encontrarse en un campo

eléctrico. Discutamos entonces, qué es la energía potencial eléctrica.

La energía potencial (eléctrica, gravitatoria, etc.) es entendida como la capacidad de un sistema

de hacer trabajo proveniente de su configuración espacial. Con configuración espacial, nos

referimos a todos los elementos con masa o elementos con carga (según el caso) que dispuestos

en el espacio den como resultado el campo que se ejerce sobre el objeto que estemos analizando.

Comencemos analizando la cuestión energética referida a una carga en un campo eléctrico. Si

tenemos una carga de prueba 𝑞, que colocamos en un campo eléctrico 𝐸, sabemos que la fuerza

eléctrica que esta carga siente va a ser 𝐹 = 𝑞𝐸. Es decir si colocamos una carga 𝑞 en un campo

𝐸, ésta sentirá una fuerza y comenzará a moverse (se acelerará). Podemos decir que el campo ha

realizado trabajo para mover a la carga.

Formalmente, vamos a describir al trabajo como:



Puede notarse que aquí tenemos un producto escalar entre vectores (fuerza y desplazamiento

infinitesimal), con lo cual es importante considerar el ángulo entre estos vectores a lo largo de la

trayectoria. El trabajo será máximo cuando los vectores fuerza y desplazamiento infinitesimal

sean paralelos y mínimo cuando sean perpendiculares.

En el caso hasta aquí planteado decimos que si dejamos una carga en un campo eléctrico la

carga se mueve porque el campo hace trabajo sobre ella. Este trabajo, por provenir de una

fuerza conservativa, se puede expresar en términos de energía potencial eléctrica, y esta energía

dependerá de la posición de la carga en el campo eléctrico. Es decir, cuando la carga está

colocada en un determinado punto del campo eléctrico, tiene energía potencial eléctrica que

podrá ser utilizada para moverse. Cuando lo haga la carga pasará de un estado de una

determinada energía potencial eléctrica a un estado con menor energía potencial eléctrica, ya

que el movimiento es espontáneo y por acción del campo eléctrico que ha ejercido sobre ella

una fuerza (conservativa).

Por lo tanto diremos que el trabajo realizado por el campo es igual a la disminución de energía

potencial:

𝑊! = −∆𝑈!

El trabajo se expresa como el negativo del cambio de energía potencial ya que como se ha dicho

antes, el campo hace un trabajo sobre la carga determinando su movimiento y de esta manera

disminuye su energía potencial, con lo cual si evaluamos la diferencia entre la energía potencial

final respecto de la inicial, obtendremos una clara disminución y la diferencia ∆𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 será negativa.

Otra forma de explicar el cambio de energía potencial es integrando la fuerza eléctrica desde el

punto a hasta el punto b

2

2 1

0

qq 4

1- - r

FdsUb

a∫ ∫==Δπε

O lo que es lo mismo:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=Δa

21r1 - 1 qq

41

bo rU

πε

∫∞

⋅=R

el drFW



Supongamos que se pretende mantener a una carga colocada en un campo eléctrico en un punto

determinado del espacio. Dado que el campo ejerce una fuerza eléctrica sobre la carga, para que

la carga no se mueva en dicho campo se deberá aplicar una fuerza externa de igual magnitud y

sentido contrario a la fuerza ejercida por el campo. En este caso diremos que esa fuerza externa

ejerce un trabajo sobre la carga.

Si, no solo mantenemos la carga quieta contrarrestando la fuerza que ejerce el campo, sino que

además aplicamos una fuerza externa capaz de mover a la carga (con velocidad constante) en

sentido opuesto al que la movería el campo, se estará realizando trabajo externo.

Se puede definir a la energía potencial eléctrica como el trabajo realizado por el campo eléctrico

sobre una carga que se mueve en dicho campo. Si la carga se mueve desde a hasta b, el trabajo

que el campo realiza sobre ella es 𝑊𝑎𝑏 = 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏.

Si 𝑈𝑎 es mayor que 𝑈𝑏, el campo realiza trabajo positivo sobre la carga cuando esta “cae” de un

punto de mayor energía potencial (𝑎) a uno de menor energía potencial (𝑏).

Ahora bien, esta misma situación puede ser evaluada desde otro punto de vista. Es decir, se

puede considerar cuánto trabajo se tendría que hacer para “subir” una carga desde 𝑏 hasta 𝑎

(un ejemplo de esto podría ser el acercar dos cargas positivas a pesar de la repulsión). Para

mover la partícula con carga habrá que ejercer una fuerza externa igual y opuesta a la fuerza del

campo eléctrico y realizar trabajo positivo. Entonces, podemos también definir a la energía

potencial, 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏, como el trabajo que debe realizar una fuerza externa para mover una carga

desde 𝑏 hasta 𝑎 contra la fuerza eléctrica. Como la fuerza externa es siempre contraria a la

fuerza eléctrica y el desplazamiento también ocurre en la dirección contraria, la definición de

energía potencial eléctrica es equivalente en ambos casos.

Así, si una carga se mueve desde un punto de determinada energía potencial a otro, el trabajo

externo necesario para mantener la configuración final de carga es igual a la energía potencial o

energía interna del sistema.

Por ejemplo, para dos cargas puntuales, 𝑞1 y 𝑞2, la energía potencial eléctrica será:

En general, la energía potencial se define con relación a un punto de referencia donde 𝑈 = 0. 𝑈

es cero cuando las cargas están separadas por una distancia infinita. Así, 𝑈 representa el trabajo

que el campo generado por una carga realiza sobre la otra carga, si ésta última se desplaza

desde una distancia inicial al infinito (donde la carga perdió toda su energía potencial). Si las

cargas tienen igual signo, la interacción es repulsiva, y el trabajo es positivo al igual que 𝑈. Si las

UR

qqWext ==1

4 0

21

πε



cargas tienen signos opuestos, la interacción es atractiva, el trabajo realizado es negativo y 𝑈 es

negativa.

Hasta aquí las ecuaciones antes mencionadas refieren a un solo par de cargas, 𝑞1 y 𝑞2, pero

¿qué ocurre si evaluamos un gran conjunto de cargas eléctricas ubicadas en el espacio en

términos de su energía potencial?

Si una carga de prueba se mueve en un campo generado por muchas cargas puntuales, el

trabajo que se realiza sobre dicha carga de prueba es la suma de las contribuciones de las cargas

individuales. Por ello podemos decir que la energía potencial eléctrica es el trabajo a realizar

para lograr un arreglo o ensamble de cargas. Dicho de otro modo, la energía potencial eléctrica

es el trabajo que requiere colocar cada carga en un lugar dado del espacio habiendo otras cargas

en otros lugares del espacio.

potencial eléctrico Así como el campo eléctrico describe la fuerza por unidad de carga que se ejerce sobre dicha

carga ubicada en ese campo, la energía potencial puede interpretarse “por unidad de carga”.

Este concepto es el de potencial eléctrico.

El potencial eléctrico es entonces, energía potencial eléctrica por unidad de carga:

El potencial se mide en voltios en el SI y equivale a 1 joule por coulomb.

En los circuitos eléctricos que verán en próximos teóricos aparece este concepto, pero se suele

denominar voltaje al potencial entre dos puntos.

El potencial 𝑉𝑎𝑏, esto es, el potencial en el punto 𝑎 con respecto al potencial en el punto 𝑏, es

igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando una unidad de carga se mueve de 𝑎 a 𝑏.

O bien, cambiando el punto de vista…El potencial de 𝑎 a 𝑏, 𝑉𝑎𝑏, es igual al trabajo externo que

es necesario realizar para mover una unidad de carga de 𝑏 a 𝑎 contra la fuerza eléctrica.

El potencial debido a una sola carga puntual estará dado por la siguiente ecuación, donde 𝑅 es

la distancia desde la carga 𝑄 hasta el punto en el que se evalúa el potencial.

Como se ve, al igual que el campo, el potencial NO depende de la carga de prueba, el concepto

de potencial eléctrico permite describir todo el espacio afectado eléctricamente por la presencia

0qUVp =

RQV04πε

=



de una carga que ha generado campo en término de cuanto trabajo habría que invertir para

colocar en ese punto del espacio una unidad de carga. En cambio, el concepto energía eléctrica

siempre involucra la presencia de mas de una carga y no habla de las características energéticas

del espacio antes de ensamblar dichas cargas.

Si 𝑄 es positiva el potencial es positivo en todo el espacio que la rodea, si 𝑄 es negativa produce

un potencial negativo en todos los puntos del espacio circundante. Se considera que 𝑉 es cero a

una distancia infinita de la carga puntual.

Ahora bien, es importante remarcar las siguientes relaciones:

Nótese la relación entre el potencial y el campo eléctrico!

Como vimos anteriormente, el campo eléctrico “sale” de cargas positivas y “entra” a cargas

negativas. Si una carga es positiva, V es positivo en cualquier punto del espacio ubicado a una

distancia finita de dicha carga. Si nos movemos alejándonos de la carga positiva en cuestión,

esto es, en la dirección del campo, nos estaremos moviendo hacia valores menores de potencial.

Es decir, cerca de la carga, V es grande y disminuye hacia donde apunta el campo.

Si la carga que genera el campo es negativa, el campo esta dirigido hacia la carga y el potencial

es negativo a cualquier distancia finita de dicha carga. Ahora, si nos movemos acercándonos a

la carga negativa, esto es, en la dirección del campo, el potencial disminuye, es cada vez mas

negativo.

Es decir, desplazarse en la dirección el campo significa avanzar hacia potenciales decrecientes,

moverse en contra de la dirección del campo, es avanzar hacia potenciales crecientes.

Dicho de otro modo, una carga de prueba (que por definición es positiva), experimenta una

fuerza eléctrica en la dirección del campo, siempre hacia valores mas pequeños de potencial.

Las cargas positivas tienen a “caer” desde altos potenciales a bajos potenciales, pero lo contrario

sucederá para una carga negativa.

superficies equipotenciales El potencial en diferentes puntos se puede representar utilizando las superficies

equipotenciales. Las superficies equipotenciales son una representación gráfica con respecto a

los potenciales tan útil como las líneas de fuerza lo son para interpretar y “visualizar” los

campos eléctricos.

rQdrEdr

qFV

rr

elr

04πε=⋅=⋅= ∫∫

∞∞



Las superficies equipotenciales son curvas de nivel similares a las que se utilizan para armar

mapas topográficos. Entonces, una superficie equipotencial, es una superficie tridimensional en

la que el potencial eléctrico no varía. Esto es, si se mueve una carga de prueba muy lentamente

de un punto a otro de una superficie equipotencial, la energía potencial eléctrica no cambia, esto

es, el campo eléctrico no realiza trabajo.

El vector campo eléctrico es siempre perpendicular a la superficie equipotencial, de modo tal

que la fuerza eléctrica sea perpendicular al desplazamiento.

Puntos de campo cero significan que si allí se encuentra una carga esta no sentirá fuerza alguna

y por lo tanto no se moverá. Sin embargo que el campo sea cero no implica que no se haya

realizado trabajo para llevar la carga hasta allí, con lo cual el potencial no tiene por qué ser cero.

Y al revés, zonas de potencial cero implican que no se ha hecho trabajo para colocar una carga

en dicho lugar (por ejemplo zonas intermedias entre cargas positivas y negativas de igual

magnitud), sin embargo, el campo en estas zonas puede ser importante, esto es, una carga

ubicada en este lugar claramente se moverá.

Como vimos hasta ahora, existe una muy cercana relación entre el campo eléctrico y el potencial

eléctrico. Si conocemos 𝐸 en diversos puntos, podemos conocer la diferencia de potencial

involucrada. Pero también conociendo 𝑉 se puede determinar el campo. De hecho, podemos

decir que el campo es el negativo del gradiente del potencial. En cada punto del espacio, el

gradiente de potencial (que es un vector) apunta en la dirección en la que 𝑉 aumenta con más

rapidez con un cambio de posición. Luego, la dirección de 𝐸 es la dirección en la que 𝑉

disminuye más rápidamente y siempre es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa

por el punto. Lo que es lo mismo decir, que moverse en la dirección del campo es moverse en la

dirección en que el potencial decrece, tal como se vio anteriormente.

Dicho de otro modo, si se conoce el potencial 𝑉 en función de las coordenadas espaciales, las

componentes del campo eléctrico en cualquier punto estarán dadas por las derivadas parciales

de 𝑉.

Electrostática de proteínas: una aplicación de la electrostática a cuestiones biológicas La electrostática tiene múltiples aplicaciones pero en este caso vamos a comentar una que es

interesante para estas disciplinas y que en los últimos años ha progresado de manera

importante: la electrostática del continuo aplicada a moléculas, particularmente proteicas.

No es nuevo en ciencia que ideas del mundo macroscópico se trasladen al mundo microscópico

de lo molecular. No siempre la extrapolación de las teorías al cambiar de escala es aplicable,



pero el caso de la electrostática parece funcionar bien para dar cuenta de algunas propiedades

de las moléculas.

Si bien los cálculos y las consideraciones electrostáticas de una macromolécula tan compleja

como puede ser una proteína sin duda requieren de la informática por su capacidad de cálculo,

involucran una física que no dista mucho de la vista en estas clases. Las interacciones

electrostáticas en las proteínas juegan un rol importante tanto en el plegado, en la estabilidad de

las conformaciones tridimensionales, como en la actividad biológica, capacidad de unión a

ligandos o las interacciones proteína-proteína.

Las ecuaciones que aquí hemos visto llevan a las ecuaciones de Maxwell, dos de las cuatro

ecuaciones de Maxwell refieren a la electrostática, y combinadas resultan en lo que se conoce

como ecuación de Posisson, que a su vez es el punto de partida para arribar a la ecuación de

Poisson-Boltzman (PB). La ecuación de PB es la ecuación actualmente utilizada para modelar

electrostáticamente interacciones en biomoléculas.

Le ecuación de Poission “muestra” una relación entre el potencial electrostático con la posición

y la distribución de carga que lo genera. Aquí no analizaremos matemáticamente como llegar a

la ecuación de Poisson pero la presentaremos:

Ya hemos visto al comienzo de este texto el concepto de divergencia, con lo cual la ecuación de

Poisson explica que la divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga.

Sabiendo a su vez que el campo eléctrico es el gradiente del potencial eléctrico, podremos

reemplazar campo eléctrico por gradiente de potencial en la ecuación anterior y reescribir,

O bien,

Quizás a primera vista asuste el aspecto de la ecuación, pero no hay que desesperar, la ecuación

de Poisson, como dijimos, representa la divergencia del gradiente de potencial, esto es “div

(grad V)” relacionándolo con la densidad de carga y con las características del medio.

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se puede definir también como

el flujo del campo vectorial por unidad de volumen.



La ecuación de Poisson es una ecuación que permite calcular la estructura electrostática de un

sistema dado de cargas. Si además, a este sistema que por ejemplo en nuestro caso sería una

proteína, incorporamos al solvente que lo rodea, se podrá evaluar a dicho sistema ubicado en

un determinado entorno, en cada punto del espacio. Esto es, en cada punto del espacio se

pueden evaluar una constante dieléctrica, una densidad de carga y la fuerza iónica, todos estos

serán parámetros de la ecuación PB (la hemos calculado para el vacío, con sus constante

dieléctrica pero ahora podemos incorporar el verdadero medio de las cargas de la molécula en

estudio).

La solución de la ecuación de PB considera que las proteínas tienen una constante dieléctrica

uniforme baja y están sumergidas en un solvente con una constante dieléctrica igual a la del

agua (cuyo valor es aproximadamente 80). Con estas

ecuaciones y la estructura conocida de una proteína

tanto en términos de composición aminoacídica

(estructura primaria) como conformacional

(estructura terciaria o cuaternaria) se la puede

“mapear” electrostáticamente.

El tipo de mapas electrostáticos que se obtiene son

del estilo de los mostrados en las siguientes figuras8

y permiten analizar, predecir, o justificar cuestiones

pertinentes a la funcionalidad biológica de las

proteínas estudiadas desde este punto de vista. En

estos mapas electrostáticos el color azul representa potenciales positivos, mientras que el rojo

representa potenciales negativos.

Por ejemplo, en la siguiente figura se muestra el mapa

de potencial electrostático calculado para una la

superficie de la molécula de una enzima a diferentes

pH. La flecha indica el sitio catalítico y puede verse

como este sitio cambia su perfil electrostático en

función del pH del medio en que se encuentra la

proteína, con lo cual se podría explicar el pH óptimo

de funcionamiento de esta enzima en término de

acceso de un sustrato a dicho sitio.

8 Imágenes tomadas del artículo: Neves-Petersen MT, Petersen SB. Protein electrostatics: a review of the equations and methods used to model electrostatic equations in biomolecules--applications in biotechnology. Biotechnol Annu Rev. 2003;9:315-95.

teorico electrostática 3.0 - Campus Virtual...

Documents

Transcript of teorico electrostática 3.0 - Campus Virtual...