Reo;.la Mexicana de Fsica 42, No. 3 (1996) .88-.97

Termodinmica y epistemologa

M.A. MARTNEZ NEGRETEDepartamento de Fsica, Facultad de CienciasUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

04510 Mxico, D.F., MxicoRecibido el 13 de noviembre de Hl95; aceptado el 15 de enero de 1996

RESUMEN. Se describe la organizacin de la exposicin de un curso de termodinmica en el nivelde licenciatura desde una perspectiva epistemolgica. Cada uno de los axiomas o postulados de latermodinmica son expuestos para demostrar la existencia de variables de estado, que representanpropiedades objetivas de un sistema termodinmico cualquiera. Se muestra as que son propiedadesintrnsecas de un sistema (que no dependen del sujeto ni de sus instrumentos de medicin) la tem-peratura, la energa interna y la entropa. A partir de estas variables se objetivan otras derivadas,como la funcin de Gibbs Y, por tanto, las constantes de reaccin en la qumica.

ABSTRACT. It is described the organization oC an undergraduate course on thermod)'namics accor-ding with an epistemological perspective. Each one oC the axioms or postulates oC thermodynamicsare explained to show the existence o state variables as objective properties o any system. Thisway arises as intrinsic properties o an)' system (non depending 011 individuals nor on measuringinstruments) their temperaturel internal energy amI entrapy. Prom these variables anather derivedvariables result intrinsic, like the Gibbs' functian and the rclated constants af reactian in chcmistry.

PACS: OJ.40.Gm 0J.70.+w 05.70.-a

1. INTRODUCCIN

La exposicin de un curso de termodinmica puede desarrollarse de varias maneras, segnel enfoque. En un planteamiento histrico se puede enfatizar la aparicin de los conceptos(temperatura, energa, entropa, calores especficos, conslantes de reaccin, etc.) comosurgieron asociados, sobre todo, al desarrollo de los motores trmicos, la climatologa ylas reacciones qumicas. En un enfoque axiomtico se hace abstraccin de todo aspectode la disciplina, para centrarla en ella misma; los conceptos bsicos, los axiomas que losrelacionan y las leyes que de ellos se ded ucell se preselltall formalmente haciendo casoomiso de su gnesis.

En la perspectiva epistemolgica que aqu se describe, los axiomas o postulados seutilizan para deducir formalmente de ellos la existencia de las variables termodinmicasbsicas, que son propiedades illtrnsecas de los sistemas. As, del axioma cero o de transi-tividad se deduce matemticamente que la temperatura (T) es Ulla propiedad objetiva delsistema fsico y que, por tanto, no depende del sujeto ni de sus instrumentos de medicin.De los axiomas primero y segundo se deduce la existencia de la energa interna (U) yla entropa (5), como propiedades propias de los sistemas termodinmicos, y Se detectatambin la objetividad del cero n origen de la temperatura. El t"rccr axioma cnlmina la

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deduccin objetiva de 5 y U, al precisar el carcter "universal", "absoluto" u objetivo delcero en la escala de medicin de cada una de estas variables.

El planteamiento epistemolgico de la termodinmica puede hacerse en el nivel mediosuperior, pues las matemticas ms elevadas que se requieren son el clculo. Y, si se tratade exhibir la relacin entre la fsica y otras disciplinas, la conexin con la filosofa quedaas manifiesta.

2. EL PRINCIPIO DE OBJETIVIDAD (PO)

Cualquier teora fsica debe referirse a los objetos fsicos, pero no a los sujetos que lospiensan ni a los aparatos de medicin que los detectan, ni tampoco debe referirse a lainteraccin entre el sujeto y los objetos de estudio (fieL [9), pg. 85). El contenido de estaafirmacin es lo que podra llamarse el principio de objetividad, el cual es un elementobsico de la ciencia caracterizada como "occidental".

Por "objeto" (O) se entiende, en primera instaucia, lo que no es el sujeto (5) que inves-tiga. Se trata de una porcin aislada, con fronteras definidas por el tipo de interaccionesenergticas o de otro tipo, que O mantiene con otros objetos o con el resto del universo.O es lo que comlnmente se llama el "sistema fsico" de estudio.

Parte de las discusiones sobre el PO radican en la definicin de 5 y de O. En algunasteoras fsicas, como la mecnica cuntica, unos autores dejan fuera de 5 a los aparatos dedeteccin y medicin de O (para decir, por ejemplo en la escuela de Copenhague, que elelectrn es una onda si se lo observa a travs de un cristal, o una partcula si se lo detectaen una pantalla fluorescente); otros investigadores mantienen que la teora se refiere nadams a un O que no incluye a los aparatos de obsermcin (por ejemplo la escuela estadsticarealista, segln la cual el electrn siempre es una partcula, pase a travs de un cristal ointerfiera con una pantalla fluorescente). La primera versin conduce a la suposicin deque un electrn puede deslocalizarse al pasar por el cristal, iuteractuando despus consigomismo eu la pantalla detectora, para dar el conocido patrn de interferencia. Por lo contra-rio, la segunda versin iudica que el electrn mantiene su identidad en todo el camino quelo lleva hasta la pantalla; la interferencia se produce porque cada electrn, o un conjuntoestadstico de ellos, obedecen en su movimiento a una ecuacin de onda. Adicionalmente,en la primera versin se presenta el problema un tanto cuanto "misterioso" del "colapsode la funcin de onda '''' (y aun del electrn mismo, si se acepta que ,, lo representa),pnes la partcula extendida como una onda en el cristal, debe despus colapsarse en unpunto de la pantalla f1uoresceute. Este problema "misterioso" no existe obviamente en lasegunda versin de la mecnica cuntica.

En la mecnica clsica, paradigma de la ciencia "occidental" que se permea hasta otrasciencias (como la economa), 5 contiene a los aparatos de medicin. Situacin contrariadebe considerarse en la sociologa. En la termodinmica, como veremos en breve, 5 puedeinterpretarse como compuesto por el sujeto y sus aparatos experimentales.

Las consecuencias matemticas de los axiomas son las leyes particulares de la teorafsica que, a su \"('z(y ste es otro supuesto hsico), tienen un contenido objetivo (derivadode la objetividad de los axiomas). Es decir, se asume que la manipulacin matemtica delos axiomas tiene un correlato ontolgico, de tal manera que las consecuencias deben

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referirse a O y su comportamiento experimental. Este notable hecho est detrs de lasrazones que llevaron a Max Planck a dedicarse a la ciencia (Ref. [8]).

Los axiomas juegan el papel principal en una teora, para que sta cumpla con el PO.Aspectos importantes a resaltar de los axiomas son:

1. Su objetividad no es derivada, como la de las leyes, sino que se "decreta" por unS (que puede ser un ente individual o social) en un enunciado que es postulatorio sobreO. Por eso a los axiomas a veces se les llama "postulados". Como es S el que predicaalgo absoluto sobre O, queda claro que los axiomas dependen de S (lo cual explica sudiversidad en el tiempo histrico).

2. La objetividad de los axiomas se juzga mediante la confrontacin entre las leyesderivadas y la formalizacin de los resultados experimentales. La falta de acuerdo entreambos no necesariamente conduce al reemplazo de los axiomas (Ref. IS]), pero es unproblema que con el paso del tiempo coustituye un criterio inevitable en la reformulacinde una teora fsica.

Cuando las leyes derivadas de los axiomas conducen a resultados comprobables objeti-vamente, se dice que la teora "predice" nuevos hechos experimentales o el comportamientode la naturaleza.

3. Consecuencias especiales del poder predictivo de los axiomas son la existencia devariables de estado, distintivas de la teora fsica en consideracin. Para la termodinmicaellas son T, U y S.

4. Como consecuencia de la interrelacin entre S y O se va modificando la definicinde O. (Un ejemplo interesante ocurre cuando, por violacin del axioma cero de la termo-dinmica, el S tiene que redefinir la nocin de "pared diatrmica", para tomar en cuentaotras formas de interaccin no consideradas originalmente (Ref. [lO])).

3. AXIOMAS y VARIABLES DE ESTAllO EN TERMODINMICA

3.1. El axioma cero o de tmnsitividad

En la Ref. [1]' por ejemplo, se formula el axioma cero (AO) como sigue: "dos sistemasen equilibrio diatrmico con un tercero estn en equilibrio diatrmico entre sr'. Se so-brentiende que la transitividad de la relacin "equilibrio diatrmico con" se postula comovlida para todo individuo, instrumeutos de medicin y cualesquiera tres sistemas fsicos.

De AO se deduce en la Ref. [11 (pgs. 6-8), la existencia de la temperatura como pro-piedad intrnseca (lase "objetiva") de los sistemas en equilibrio. Como ni el individuo nilos aparatos de medicin aparecen en la deduccin de la existencia de T, queda implcitala objetividad de T frente a un S que incluye sus instrumentos de medicin.

En la Ref. [2] (pg. 11), se demuestra tambin de AO que la forma de las isotermas(esencialmente la ecuacin de estado, en caso de expresin analtica) de \111 sistema fsicocualquiera no dependen del sistema estudar (termmetro) empleado para determinarlasni, por supuesto, del individuo que realiza las mediciones. Se trata del mismo S que en elprrafo anterior.

Esta apreciacin de S permite la comprensin coherente del conocido hecho (Ref. [1],pg. 18), de que los termmetros de gas dan lecturas diferentes para la T de un sistema,

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en tanto que los valores medidos convergen a uno solo cuando la densidad tiende a cero(aproximacin del gas perfecto). Es decir, el S compuesto del cientfico y un conjuntode termmetros de gases muy diluidos, al dar la misma lectura para la temperatura delsistema, satisfacen el criterio de objetividad ("aquello que es independiente de S") y, portanto, tales termmetros leen la temperatura objetiva, T.

Adems, el axioma segundo (A2) contiene (del corolario del teorema de Carnot Q2fQ =T2fT) la posibilidad de construccin de un termmetro universal formado por un motorde Carnot, el cual resulta capaz de medir la temperatura intrnseca, objetiva, de todosistema fsico termodinmico. Este "termmetro universal de Carnot" cumple de manerams general que ningn otro la definicin de objetividad, pues (recurdese) el termmetroforma parte de S y puede estar construdo con cualquier substancia de trabajo.

Cuando la substancia de trabajo de un termmetro de Carnot es un gas muy diluido(perfecto), entonces ambos termmetros dan obviamente la misma lectura de la tempe-ratura del sistema. Es decir, un termmetro de Carnot de gas ideal es un caso particulardel termmetro universal de Carnot y, por esto mismo, las lecturas de los termmetros degas muy diluido a volumen constante coinciden con la temperatura absoluta de Kelvin.

Ahora bien, si la temperatura T determinada por un termmetro de Carnot es "la"temperatura de un sistema, ello quiere decir que la escala de medicin debe empezar enun cero absoluto u objetivo. La evidencia del cero absoluto no surge del AO. Pero se tieneel antecedente de que los gases muy diluidos no pueden bajar del lmite T = -273.15C,puesto que en tal caso su volumen alcanzara valores negativos (lo que es objetivamenteimposible) .

Lo anterior se puede ver con ms detalle de lo siguiente. Se sabe que el valor delcoeficiente f3 de dilatacin volumtrica (a p constante) de todos los gases muy diluidostiene el mismo valor:

f3=2-([>.V) =_1_oC-!Vo [>.t p 273.15 '

siendo Vo el volumen a t = OC. Despejando V, queda

V = Vo(l + f3t), (1)de donde se concluye que t tiene que ser igualo mayor que -1jf3 = -273.15C, de locontrario se alcanzaran volmenes nulos o negativos.

La existencia de un cero objetivo o "absoluto" en la temperatura tiene el mismo sentidoque la objetividad del cero en la escala de medicin de longitudes: no tienen significadofsico las longitudes negativas y, por eso, todas las cintas mtricas y reglas empiezan encero. En termodinmica hay una escala de temperaturas que empieza en cero absoluto (lade Kelvin); pero en cualquier otra, como la centgrada, debe existir un valor crtico queno se puede objetivamente rebasar (t = -273.15C).

En la mecnica clsica parece tambin necesitarse de un axioma cero o de transitivi-dad, para poder definir objetivamente la masa de manera no tautolgica con la densidad(Ref. [3], p. 92). Ya puestos en el camino, podra preguntarse si el axioma de transitividades necesario en toda teora fsica, para deducir de l la existencia objetiva de una de lasvariables distintivas de tal teora (como son la masa y la temperatura en la mecnica y latermodinmica, respectivamente).

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3.2. El axioma primero (Al) o de la conservacin de la energa

En la Ref. 11], se postula la validez universal del axioma adiabtico: "el trabajo adiabticoes independiente de la trayectoria, para todo sistema termodinmico". De aqu se deducela existencia objetiva de la energa interna U del sistema, pues por conocido teorema declculo tJ.U = - Wad (en la convencin de signos que pone un signo negativo al trabajorealizado sobre el sistema). Cuando el mismo trayecto se realiza sin condiciones adiabti-cas, el cambio en U ya no es igual al trabajo adiabtico; el postulado de conservacin dela energa permite deducir la existencia de otra forma de energa, el calor Q, que es porello igual a la diferencia detectada. Completo, el axioma primero (Al) queda como

tJ.U = Q - w. (2)

De (2) o de tJ.U = -IV ad se ve que U queda indefinida por una constante aditiva. Ladeterminacin total de U requiere de la objetivacin de su valor en el origen objetivo dela variable distintiva de la termodinmica, que es la temperatura T. Es decir, hay que darel valor de U en T = O K, que se puede llamar Uo. El valor de Uo no se deduce de losaxiomas AO y AL

3.3. El axioma segundo (A2) o del ine,'emento de la entropa

El A2 postula como universalmente vlido que un sistema aislado con diferencias internasde temperatura evoluciona espontneamente al estado de equilibrio. Del A2 se desprendeque existe otra propiedad intrnseca de los sistemas, la entropa, tal que para un pequeocambio reversible de estado vale que

dS = Q.T

(3)

Esta ecuacin difereucial de primer orden determina a S hasta una constante aditivaSo, por lo que, al igual que con el caso de U y Al, la objetivacin de S no es completapor A2. El valor de So tiene que objetivarse mediante un postulado extra, referido a suvalor en el origen de T, es decir So = S(T = OK).

Los axiomas Al y A2 no determinan los orgenes de U y S, pero en cambio fijan el origende T en OK, como valor lmite que no puede pasarse por ningln O. Esto es as porque enO K una isoterma coincide con una adiabtica y sera posible redncir un ciclo de Carnot auna especie de tringulo formado por una isoterma y dos adiabticas que se cortan. Comose puede demostrar (aunque en la Ref. [21(pgs. 48-52), se presentan serias objeciones), unmotor trabajando con este ciclo violara el A2 en la formulacin de Planck ("es imposiblela operacin de un motor que, funcionando en ciclos, convierta ntegramente calor entrabajo"). En el siglo pasado se introdujo la notacin de cero "absoluto", para el valorde T que ningln sistema puede rebasar hacia abajo. (Epistemolgicamente "absoluto"o ""universal"es equivalente por definicin con el concepto de "objetivo" 1 como se vienereiteradamente insistiendo aqu).

En este contexto de relacin entre axiomas y objetivacin de variables bsicas termo-dinmicas, puede hacerse la pregunta: cul es la relevancia del A3? (La pregunta no es

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ociosa, a juzgar al menos por la opinin dada en la Ref. [12] (pg. 123): "The third lawhas no special significance ... ").

4. EL AXIOMA TERCERO (A3) O DEL ORIGEN DE S y U

De las diferentes formulaciones del A3, el que se adeca perfectamente para el presenteenfoque epistemolgico es el enunciado de Planck: "en el cero absoluto las entropas detodas las substancias tienen el mismo valor igual a cero". En frmula

Si,O = O, para toda substancia i en OK, (4)

es decir, el valor Ou origen de S es independiente del sistema fsico, correspondiendo, portanto, a la definicin de lo que es "objetivo". Igual que sucede con las longitudes y latemperatura, cualquier escala de medicin de S debe contener un cero absoluto.

El A3 elimina la indeterminacin de la constante arbitraria implcita en la Ec. (3), conlo cual desaparece este ltimo subjetivismo de la entropa.

Y, claro, queda la ltima pregunta: est U definida realmente hasta una constantearbitraria?, tiene U un origen objetivo? cmo se fija?, requiere de la postulacin de unaxioma extra para la termodinmica?, no es demasiado engorro un postulado adicional,slo para completar el criterio epistemolgico?

En pocos textos de termodinmica se hacen afirmaciones tocantes a las preguntas an-teriores; entre ellos se encuentran Fermi (Ref. [7] pg. 23): "This additive constant (de laenerga interna) affects the final results of the calculations only when chemical transfor-mations 01' changes of states of aggregation of the substances are involved... In all othercases, one may place the additive constant equal to zero"; o Kirillin el al. (Ref. [4]pg. 45):"El valor absoluto de la energa interna tiene importaucia en la termodinmica qumicapara el clculo de las reacciones. En cambio, en la inmensa mayora de las aplicacionestcnicas de la termodinmica lo que tiene importancia no es el valor absoluto de U, sinolas variaciones que experimenta esta magnitud en los diversos procesos termodinmicos ...De aqu se deduce que el punto de referencia para medir la energa interna puede tomarsearbitrariamente (esta afirmacin es justa para las substancias puras Y para las mezclas desubstancias que no reaccionan qumicamente entre s)".

Corno se aprecia de las citas anteriores, las respuestas a las preguntas formuladas alinicio del presente captulo provienen del estudio de los cambios de fases y las reaccionesqumicas. Precisamente el anlisis de estas ltimas propici las formulaciones originalesdel A3 (vese Ref. [4], cap. 15 o Ref. [11], cap. 10).

En la Ref. [4] (pg. 562), se describe la forma general de una reaccin qumica como

en donde los diferentes 11 y v' se refieren a los ('oeficientes estequiomtricos de los r reactivosA y los p productos A' de la reaccin, respectivamente; v y v', a su vez, son proporcionalesa las concentraciones e y e' de reactivos y productos.

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La tarea central de la termoqumica es el clculo objetivo de las concentraciones deequilibrio para cualquier reaccin, pues slo de esta manera se pueden construr reactoresqumicos reales. El problema radica en que las concentraciones dependen de los valores de51 y U de los reactivos y de 52 y U2 de los productos, de manera que si las entropas y lasenergas internas (de hecho, sus diferencias) no se objetivan, entonces las concentracionesseran arbitrarias o subjetivas. En el ejemplo de gases perfectos reaccionando

(5)

en donde G; y H; (i = 1,2) son las funciones de Gibbs y las entalpas para reactivosy productos, m es la masa molecular de la mezcla y [(e es la constante de reaccin enequilibrio (la que depende de las concentraciones finales respectivas). En general,

IV' , V' v'In [(e = C~l + c2' + ... + c~' - (c 1+ c2 ' + ... + c~ '). (6)

Las concentraciones quedan determinadas por las Ecs. (5) y (6) cuando se especifican losvalores absolutos de G1 y G2. Los valores reales de las entropas se fijan por 51,0 = 52,0 = O,que es la condicin (4) aplicada a cada substancia en el cero absoluto.

Queda ahora en la Ec. (5) el problema de la utilizaciu de entalpas reales u objetivas.Para un gas perfecto la entalpa slo depende de T, H = H(T), por lo que la cuestin sepuede tratar como sigue (Ref. [4]' pg. 589): H(T) = [Cp dT + Ho, con Ho = H(T =OK); el primer trmino integral es la entalpa absoluta H(T).

Entonces,

con Qp,o = Hz,o - H,o, Qp,T y Qp,o son los efectos calorficos de la reaccin a T y OK, entanto que H y H; son las entalpas absolutas, respectivamente. Los efectos calorficos soncantidades que tienen un significado real por cuanto se pueden medir experimentalmente;Qp,o es la energa qumica de formacin a O J( de las substancias que aparecen en lareaccin.

Finalmente, se tiene que

(7)

en trminos de puras cantidades objetivas.La Ec. (7) describe no slo reacciones qumicas, sino tambin cambios de fase y procesos

no qumicos como la ionizacin atmica, trtese o no de gases ideales (vese en la Ref. [7]'pgs. 152-155, el ejemplo clarificantc de la iouizacin del sodio, Na).

Ahora bien, a la vista de la Ec. (7) cabe una reinterpretacin un tanto cuanto formal:si en ella las entalpas que aparecen son las absolutas, entonces puede decirse que

H,O = 112,0 = O, (8)

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o bien que

U,O = U2,O = O, (9)puesto que en O K el prod ucto p V es cero.

Cuando las condiciones del proceso ocurren a T y V constantes entonces a Qv,o selo puede identificar con la energa real de formacin de los compuestos. Un interesanteejemplo es la ecuacin de Saha, que describe la disociacin del sodio, En este caso (Ref. [7J,pg. 153) Qv,o resulta ser la energa de ionizacin de los tomos en una mol de sodio.

Las Ecs. (8) y(9) contestan las preguntas que se hicieron al inicio del presente captulo,respecto al valor de la contante arbitraria Uo. Tal vez se las podra considerar como uncomplemento del A3, En cualquier caso, son necesarias para que la formulacin de latermodinmica satisfaga a plenitud el PO, Ntese, sin embargo, que la Ec. (9) no tiene elsignificado fundamental que tiene la Ec. (4), pues no se puede afirmar que la energa decualquier sistema sea cero en O K; la Ec. (9) resulta aqu ms bien como consecuencia dereferir las entalpas al cero absoluto en la Ec. (7), lo cual provoca la aparicin del trminoQp,o o Qv,o, segln el caso, Como se vio, ambas cantidades son reales, en el sentido en quelo son Q y IV para hacer objetivo el valor de J.U en la Ec. (2).

5. CONCLUSIONES y COMENTARIOS

La exigencia de que la termodinmica cumpla con el PO conduce a la concepcin de losaxiomas como deductores de propiedades objetivas ("intrnsecas", "absolutas", "reales"),bsicas, de los sistemas termodinmicos: T, U, S. De estas variables se infiere la obje-tividad de otras variables derivadas, como son los potenciales termodinmicos: entalpa(H = U+pV), energa libre de Helmholtz (F = U-TS) y funcin de Gibbs (G = H -TS).

Sin la certeza de la objetividad de las variables anteriores no podra saberse que se pue-den construir termmetros que miden "la" temperatura de un cuerpo fsico, ni calormetrosque miden "el" calor de combustin de substancias a travs de los cambios reales de laenerga interna de un sistema en combustin, ni reactores qumicos que determinan "las"concentraciones de las reacciones en equilibrio,

Cieltamente termmetros, calormetros y reactores se han construido antes de (o si-multneamente con) la formulacin axiomtica de la termodinmica y su relacin con elprincipio de objetividad.

Pero pinsese en la pregunta: qu significado tienen las lccturas de, por ejemplo, lostermmetros de gases no diluidos, antes de saber que existe "la" temperatura del sistemaque estn midiendo? Y luego, al observar que las medidas de todos los gases convergencuando se hacen a muy baja densidad, cmo interpretar este resultado en trminos dela lectura de "la" temperatura del sistema? Es claro, entonces, que el PO y la definicinde objetividad aqu adoptada juegan un papel ordenador de las experiencias; permitenidentificar a esa lectura lnica de los termmetros con la temperatura real del sistema.

De igual manera, pinsese en la pregunta aparentemente fantasiosa: se puede gobernara voluntad la constante de reaccin /\c de ulla reaccin qumica, fijando al antojo losorgenes de G (o sea. de S y U)? Si as fucra, la produccin de la industria qumica sera

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tan arbitraria como la voluntad de los individuos. Por lo contrario, el PO, el A3 (4) Y suampliacin (9) demuestran que la contruccin de reactores qumicos tiene que obedecerleyes objetivas naturales, deducidas de axiomas de validez universal.

En el principio de toda teora fsica est, desde luego, el acto postulatorio, "libre",del sujeto sobre la conducta que todo objeto O debe cumplir. Se trata de los axiomaspredicados por S sobre O. Los axiomas pueden reformularse, sobre todo a travs de lasconfrontaciones entre sus leyes derivadas y las expresones tericas correspondientes de lasmediciones experimentales. En el proceso de confrontacin (que se da en los laboratoriose histricamente) se transforman tanto los objetos corno los sujetos. Por esto, el cono-cimiento cientfico es una interrelacin permanente entre S y O. Recalcar esta dinmicapuede contribur a que el estudiante afine su formacin corno cientfico y asimile mejor losconceptos de la teora fsica.

Una ltima observacin respecto a los lmites de validez de la termodinmica ma-croscpica axiomtica as expuesta. El A2 puede en principio violarse debido a fluctuacio-nes (aun las clsicas), en tanto que algo semejante sucede con el A3 si el estado del sistemaen O K es degenerado. Ahora bien, dado que las condiciones en que tales lmites puedenencontrarse son en general remotas, no parece que la teora macroscpica tenga que refor-mularse drsticamente. Ms bien podra uno adherirse a la opinin de Einstein, (Ref. [41,pg. 580): "Una teora impresiona tanto ms, cuanto ms simples son sus premisas, msdiversas las materias que liga y ms amplio su campo de aplicacin. De aqu la profundaimpresin que en m produjo la termodinmica clsica. sta es la nica teora fsica decontenido general con respecto a la cual estoy convencido de que, dentro de los lmitesde aplicacin de sus conceptos fundamentales, nunca ser refutada (para conocimientoespecial de los escpticos por principio)".

Parece factible someter las consideraciones anteriores a estudiantes de nivel igualo mselevado que los del sistema de enseanza media superior. Es posible que tal presentacincontribuya al esclarecimiento de los conceptos bsicos de la termodinmica, para que suaprendizaje sea significativo (Ref. [G]). En todo caso, se trata de una hiptesis de trabajo,a ser comprobada en la prctica de la docencia.

AGRADECIMIENTOS

Agradezco los comentarios y sugerencias del Ivl. en C. Ignacio Campos Flores y la ayudaeditorial del Fs. Csar Zepeda.

REFERENCIAS

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