Ternas Fermatianas

TERNAS FERMATIANAS

Maryi González

III [OTRAS ARITMÉTICAS]

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[TERNAS FERMATIANAS] III

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AGRADECIMIENTO

A Dios quien me ha dado la oportunidad de estudiar Matemática y quien me ha ayudado

a perseverar en esta hermosa carrera.

A mis padres, por el apoyo incondicional, por sus sabios consejos, y sobre todo porque

fueron ellos quienes me animaron a estudiar Matemática. Por su confianza en mí y por

la educación que me han dado.

A mi hermano, a mis amigos, a cada uno de los profesores que contribuyeron a mi

formación como estudiante.


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DEDICATORIA

A mis padres Benilda Pérez y Yobani González. En especial, dedico este trabajo a

Giovany González, mi hermano, que quiero mucho y que desde que nació siempre ha

estado conmigo.


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OBJETIVOS

Introducir el concepto de Terna Fermatiana en la Aritmética sin llevar.

Determinar las Ternas Fermatianas cuyas componentes poseen un solo dígito.


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INTRODUCCIÓN

Todo cuanto sabemos de Matemática lo debemos a esos grandes héroes de la Matemática

que la Historia memora por haber perseverado en la expansión del conocimiento

matemático, pero sobre todo por haber perseverado en la búsqueda de la verdad absoluta.

A fin de hacer Matemática, este trabajo desarrolla en “Otras Aritméticas” uno de los

problemas matemáticos que ha tardado más años en demostrarse, este es El Último

Teorema de Fermat.

¿Será cierto este teorema en estas “Otras Aritméticas”? o ¿Existirán ternas propias de estas

“Otras Aritméticas” que satisfagan la ecuación xn + y

n = z

n?

Este trabajo monográfico titulado Ternas Fermatianas da respuestas a estas preguntas y

otras más que serán respondidas a medida que vayamos profundizando en el tema. Ternas

Fermatianas es un concepto nuevo en Matemática, de hecho ha sido creado y utilizado

exclusivamente en este trabajo.


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“…adoré cada minuto de los primero siete años que trabajé en este problema por más duro que

haya sido. Hubo retrocesos, cosas que parecían ser irremontables pero estaba envuelto en una

clase de batalla privada y muy personal.”

ANDREW WILES

1. El Último Teorema de Fermat

Este teorema después de más de 350 años de intentos de demostración, fue demostrado el

19 de septiembre de 1994 por Andrew Wiles, un matemático británico.

Wiles demostró que es cierto que la ecuación xn

+ yn

= zn

no tiene soluciones enteras

distintas de cero para x, y y z cuando n > 2.

Antecedentes Históricos

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat, matemático francés, quien es conocido por muchos como el padre de la

Teoría de Números estuvo fuertemente influenciado por la Aritmética de Diofanto, una

obra muy influyente en el desarrollo de la Matemática.

Fermat poseía una copia de la traducción latina de la Aritmética de Diofanto; esta

traducción fue realizada por Claude Gaspard Bachet de Méziriac, matemático francés, en

el año 1621.

Cinco años después de que falleciera Fermat, Clément Samuel, su hijo, publicó este libro

con todas las anotaciones hechas por su padre. La anotación más famosa, hoy conocida

como el Último Teorema de Fermat, es esta: “No es posible expresar un cubo como la

suma de dos cubos o expresar una cuarta potencia como la suma de dos cuartas


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potencias o expresar, en general, cualquier potencia mayor de dos como la suma de dos

potencias iguales”.

En ese mismo margen del libro escribió: “para este hecho he encontrado una

demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que la demostración

quepa en él.”

Fermat aseguraba que tenía una demostración maravillosa para esa afirmación, pero

¿Cuál era? Nunca se encontró tal demostración. Fermat solo dejó la demostración para el

caso n= 4, y de lo otro solo aseguró tener una demostración maravillosa. Este hecho hizo

que los matemáticos se interesaran en el problema e intentaran demostrarlo.

En el año 1707, cien años después de haber aparecido tal conjetura, nace Leonard Euler,

suizo reconocido como uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. En el

año 1735, Euler demostró el Último Teorema de Fermat para el caso n=3; es decir

demostró que no existen ternas que satisfagan la ecuación: x3

+ y3

= z3.

Sophie Germain, espléndida mujer de ciencia que estudió Matemática a pesar de las

dificultades de la época, nació en el año 1776. Como la Matemática era su fascinación

también intentó demostrar el UTF pero tenía una ambición mayor, no quería demostrarlos

para casos particulares sino general. Sophie Germain desarrolló lo que hoy conocemos

como Teorema de Germain. Este teorema probó que el UTF era verdadero para cualquier

n que fuese un número primo menor que 100. Para ello, adoptó esta estrategia: si n es un

número primo y 2n+ 1 también lo es, entonces xn + y

n = z

n no tiene soluciones enteras no

triviales.

En el año 1752 nace Adrien-Marie Legendre y en el año 1805 nace Peter Gustav Lejeune

Dirichlet, ambos franceses. En el año 1825, Legendre con más de 70 años y Dirichlet,

con tan solo 20 años, demuestran el UTF para el caso n=5. Ambos de manera

independiente. Más tarde, en el año 1832, Dirichlet lo demuestra para el caso n=14.


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En 1795 nace otro francés que también se interesó por la resolución de ese problema y en

el año 1839, con 44 años, demuestra el UTF para el caso n=7.

Augustin Cauchy y Lamé Cauchy, en el año 1847, declararon haber tenido la

demostración del Último Teorema de Fermat. Ambos habían trabajado

independientemente y presentaron ante la Academia Francesa tales demostraciones pues

quien diera con ella sería premiado con una medalla de oro y 3000 francos, y obviamente

el reconocimiento de tal demostración que se había resistido por tantos años. Pero no

resultó así. Una vez más las demostraciones contenían errores y el problema seguía sin

resolverse. Esto aparentemente parecía fatal, pero no era así, Ernts Kummer utilizando

algunas técnicas probó que para algunos n hasta n=31, el Último Teorema de Fermat era

cierto.

Ya en el siglo XX, específicamente en el año 1983, Gerd Faltings, matemático alemán,

no demostró el teorema (conjetura en aquella época) pero hizo un aporte significativo

pues delimitaba el número de ternas que daban solución a la ecuación xn+ y

n=z

n.

Por lo que había demostrado que si la ecuación tenía solución, estas soluciones no eran

infinitas.

En el año 1988, Yoichi Miyaoka, matemático japonés, presentó una prueba del problema.

Otra vez tal prueba contenía errores, pero como siempre se había creado nuevas

herramientas matemáticas.

Finalmente, en el año 1954, dos jóvenes matemáticos: Goro Shimura y Yutaka Taniyama

plantean una conjetura definitiva en la prueba del UTF. Shimura y Taniyama estudiaron

un tópico conocido como Formas Modulares. La conjetura de Taniyama–Shimura

establece que cada curva elíptica puede asociarse unívocamente con un objeto

matemático denominado forma modular.


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La demostración de esta conjetura no pudo concluirse pese a que Yutaka Taniyama se

suicidó, pero afortunadamente para Wiles que desde que tenía 10 años su anhelado sueño

era demostrar este teorema, Gerhard Frey en 1984 conjeturó que si la ecuación xn+y

n=z

n

tenía solución entonces existía una curva elíptica de la forma y² = x(x - ap)(x + b

p) que no

era modular.

Por otra parte, Wiles trabajaba en la conjetura Taniyama - Shimura y mientras lo hacía,

en el año 1986, Kennet Ribet, precisa que tal curva elíptica enunciada por Frey no existía

si la conjetura Taniyama – Shimura era cierta.

Unos años más tarde, Wiles presenta su demostración de la conjetura Taniyama-Shimura,

que de ser aceptada por los expertos había demostrado el UTF, pero no sucedió así, tal

demostración contenía errores. Sin embargo, Wiles no se rindió y el 19 de septiembre de

1994 había derrotado un problema que se había resistido a los más grandes matemáticos

por más de tres siglos.

2. Otras Aritméticas

En esta sección definiremos dos nuevas Aritméticas, no inventadas sino definidas en los

artículos Carryless Arithmetic Mod 10 y Dismal Arithmetic. El primero publicado el 7

de julio de 2011 y el segundo, el 6 de julio de 2011.

Aritmética Sin Llevar

Definición de la Suma para números de un solo dígito

Cada vez que se suman dos números en esta Aritmética se suman como comúnmente lo

hacemos pero el resultado es módulo 10.

Es decir: Sea x, y números de un solo dígito entonces la suma de x + y = ( x+y) (mod 10).


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Ejemplos:

2 + 4 = 6 (mod 10) = 6

9 + 8 = 17 (mod 10) = 7

5 + 7 = 12 (mod 10) = 2

4 + 9 = 13 (mod 10) = 3

2 + 9 = 11 (mod 10) = 1

7 + 3 = 10 (mod 10) = 0

Definición del Producto para números de un solo dígito

Cada vez que se multiplican dos números en esta Aritmética se multiplican como

comúnmente lo hacemos pero el resultado, al igual que la suma, es módulo 10.

Es decir: Sea x, y números de un dígito entonces el producto de x*y = (x*y) (mod 10)

Ejemplos:

2 * 5 = 10 (mod 10) = 0

9 * 7 = 63 (mod 10) = 3

6 * 7 = 42 (mod 10) = 2

5 * 3 = 15 (mod 10) = 5

4 * 7 = 28 (mod 10) = 8

9 * 3 = 27 (mod 10) = 7

Potencias de números de un solo dígito

Ya definido el producto entre números de un dígito podemos deducir cómo son las

potencias de cualquier número. Será así: xn

= xn

(mod 10)

Ejemplos:

72

= 72 (mod 10) = 49 (mod 10) = 9

83

= 83 (mod 10) = 512 (mod10) = 2

35

= 35 (mod 10) = 243 (mod 10) = 3

22

= 22 (mod 10) = 4 (mod 10) = 4

54

= 54 (mod 10) = 5 (mod 10) = 5


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Aritmética Dismal

Definición de la Suma para números de un solo dígito

Cada vez que se suman dos números en esta Aritmética el resultado siempre es el mayor

de los dos.

Ejemplos:

5 + 7 = 7

8 + 1 = 8

0 + 9 = 9

9 + 8 = 9

3 + 2 = 3

Definición de la Producto para números de un solo dígito

Cada vez que se multiplican dos números en esta Aritmética el resultado siempre es el

menor de los dos.

Ejemplos:

5 * 7 = 5

8 * 1 = 1

0 * 9 = 0

9 * 8 = 8

3 * 2 = 2

Potencias de números de un solo dígito

Ya definido el producto entre números de un dígito podemos deducir cómo son las

potencias de cualquier número. Será así: xn

= x para todo x.

Ejemplos:

2 * 2 = 2 3* 3 = 3


71

3. El Último Teorema de Fermat y Ternas Fermatianas

De lo que hemos mencionado del Último Teorema de Fermat sabemos que cada intento

de demostración de este teorema expandió el conocimiento matemático. Por esta razón, y

con nuevas definiciones de suma y producto provistas por la Aritmética Sin Llevar y la

Aritmética Dismal nos preguntamos: ¿Será cierto este teorema en estas Aritméticas?

El Último Teorema de Fermat se enuncia de la siguiente manera:

La ecuación

xn

+ yn

= zn

No tiene soluciones enteras distintas de cero para x, y y z cuando n > 2.

Volvemos a plantearnos la pregunta: ¿Será cierto este teorema en la Aritmética Sin

Llevar? La respuesta es no. Pues sí existen ternas que satisfacen la ecuación xn

+ yn

= zn.

Ejemplos:

Para n= 3 (4, 5, 9) pues 43

+ 53

= 93

Para n= 4 (6, 5, 1) pues 64

+ 54

= 14

Para n= 5 (4, 1, 5) pues 45

+ 15

= 55

Estos ejemplos de ternas son suficientes para afirmar que el Último Teorema de Fermat

no es cierto en la Aritmética Sin Llevar.

Nos preguntamos ahora: ¿Será cierto este teorema en la Aritmética Dismal? La respuesta

es no. Pues para esta Aritmética también existen ternas que satisfacen la ecuación

xn

+ yn

= zn. Estas ternas son muy fáciles de conseguir pues las definiciones de las

operaciones de suma y producto en esta Aritmética induce a que generar estas ternas

resulten triviales.


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Ejemplos:

Para n = 3 (2, 3, 2)

Para n = 4 (4, 4 ,4)

Para n = 5 ( 2, 8, 8)

De manera general, para todo n (x, x, x) es una terna que satisface la

ecuación del Último Teorema de Fermat. Otras ternas son de la forma: (a, x, a) si x < a

o (a, x, x) si x > a.

Una vez que hemos verificado que el Último Teorema de Fermat es falso en ambas

Aritméticas, procedemos a definir qué es una Terna Fermatiana.

4. Definición de Ternas Fermatianas

Para definir Ternas Fermatianas consideramos la ecuación de Fermat xn+y

n=z

n donde

x,y,z son enteros positivos y n>2.

Una Terna de enteros no nulos (x, y, z) es Fermatiana si satisface la ecuación xn+y

n=z

n,

para algún n≥2.

¿Cuántas Ternas Fermatianas serán de un dígito en la Aritmética Sin Llevar?

Puesto que en la Aritmética Dismal es muy trivial entonces solo nos enfocaremos en dar

respuestas en la Aritmética Sin Llevar. Para ello procederemos a hacer un estudio del

comportamiento de sus potencias.


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Potencias en la Aritmética Sin Llevar para números de un dígito

Observaciones:

Potencias de 2

21

2

22

4

23

8

24

6

25

2

26

4

27

8

28

6

29

2

…

…

Potencias de 3

31

3

32

9

33

7

34

1

35

3

36

9

37

7

38

1

39

3

…

…

Potencias de 4

41

4

42

6

43

4

44

6

45

4

46

6

47

4

48

6

49

4 …

…

Potencias de 5

51

5

52

5

53

5

54

5

55

5

56

5

57

5

58

5

59

5

…

…

Potencias de 8

81

8

82

4

83

2

84

6

85

8

86

4

87

2

88

6

89

8

…

…

Potencias de 7

71

7

72

9

73

3

74

1

75

7

76

9

77

3

78

1

79

7

…

…

Potencias de 6

61

6

62

6

63

6

64

6

65

6

66

6

67

6

68

6

69

6

…

…

Potencias de 9

91

9

92

1

93

9

94

1

95

9

96

1

97

9

98

1

99

9

…

…


74

Las potencias en la Aritmética Sin Llevar para números de un dígito suelen repetirse cada

tantas veces. Por tanto, podemos decir que:

Las potencias de 1 es de ciclo 1.









Como el ciclo mayor de todas las potencias de un dígito es 4, entonces para generar todas

las ternas de un dígito será suficiente que tomemos las ternas que se generan para n=2,

n=3 y n=4.

Ternas para n=2

Aquí empezaremos a resumir el procedimiento que seguiremos para determinar todas las

ternas. Primero: sumaremos todas las potencias cuadradas,; luego, nos fijaremos si el

resultado de la suma es un número cuadrado en la Aritmética sin llevar.

Estos son los cuadrados de todas las potencias de un d:

12

22

32

42

52

62

72

82

92

1 4 9 6 5 6 9 4 1


75

Ahora sumaremos una a una cada potencia para saber cuál de estas sumas da un

cuadrado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

+ 1 4 9 6 5 6 9 4 1

1 1 2 5 0 7 6 7 0 5 2

2 4 5 8 3 0 9 0 3 8 5

3 9 0 3 8 5 4 5 8 3 0

4 6 7 0 5 2 1 2 5 0 7

5 5 6 9 4 1 0 1 4 9 6

6 6 7 0 5 2 1 2 5 0 7

7 9 0 3 8 5 4 5 8 3 0

8 4 5 8 3 0 9 0 3 8 5

9 1 2 5 0 7 6 7 0 5 2

En la segunda columna y la segunda fila se encuentran los cuadrados de todos los

números de un dígito. Luego sumamos unos con otros en la Aritmética Sin Llevar. Los

números marcados en negrita , resultantes de la suma, son cuadrados. De modo que las

ternas se forman así: la primera componente lo comprenden los números que están en la

primera columna; la segunda componente lo comprenden los números de la primera fila

de la tabla; y la tercera componente lo comprenden las potencias que al sumar la primera

y segunda componente resulte un cuadrado. Por ejemplo: observando la segunda columna

y la segunda fila, sumemos: 4 + 5 = 9. Esto es el resultado de sumar: 22 + 5

2= 3

2 o

22 + 5

2 = 7

2. Luego, las ternas serían (2, 5, 3), (2, 5, 7).

De esta misma manera se procederá para n=3 y n= 4. Utilizando el Software Mathematica

8 generaremos todas las ternas de un dígito que sean Fermatianas.


76

5. Programas para generar Ternas Fermatianas de un solo dígito de la

Aritmética Sin Llevar.

Primero incluimos las funciones que nos ayudarán a crear nuestro programa.

Función F10

Este programa exige un número de entrada de n cifras y lo transforma en un polinomio de

grado n-1.

Veamos cómo funciona. Introduciremos el número 456.

Función ProductoSinLlevar

Este programa exige dos números como parámetro de entrada y realiza el producto de

éstos en la Aritmética Sin Llevar.

Para crear esta segunda función hicimos uso de la Función F10 para transformar los

números en polinomios. Luego, la función propia de Mathematica 8, PolynomialMod


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luego de hacer el producto de los dos polinomios da como salida el polinomio resultante

con los coeficientes de cada término módulo 10.

Por ejemplo:

Después de esto, la función CoefficientList, también propia de Mathematica 8, da como

parámetros de salida sólo los coeficientes módulo 10. Tomando el ejemplo anterior sería:

{8, 4, 5, 4} Luego, se utiliza la función Reverse para que los términos se den

ordenadamente: {4, 5, 4, 8} Finalmente, se utiliza la función FromDigits que devuelve

una lista de números como un número. En nuestro caso será el producto de los dos

números dados. Es decir devolverá: 4548 que es el resultado de multiplicar 72 * 234 en la

Aritmética Sin Llevar.

Podemos verificarlo

Función PotenciaSinLlevar

Esta función exige dos parámetros de entrada un número y la potencia que se desea

calcular.

Para crear esta función hicimos uso de la función ProductoSinLlevar. El proceso es el

siguiente: con un For multiplicamos el número (primer parámetro de entrada) tantas

veces lo diga el segundo parámetro de entrada.


78

Función SumaSinLlevar

Esta función realiza la suma de dos números en la Aritmética Sin Llevar. Este programa

sigue el mismo procedimiento del Producto Sin Llevar.

Sumemos los números: 456 y 7643

Luego de haber introducido las funciones Potencia, Producto y Suma Sin Llevar,

procedemos a presentar el programa que genera las ternas Fermatianas.


79

En este programa se utiliza un contador y se crea una tabla cuyos elementos son listas

vacías. Esta tabla es de tamaño 729 debido a que estas representan las cantidades de ternas

Fermatianas posibles de existir. Posteriormente, se construye la siguiente matriz que

representa las potencias de los números de un dígito hasta el exponente 4.

Los otros dos ciclos anidados controlan las variaciones por columnas y por filas y

verifican si la terna correspondiente es Fermatiana. Se hace sumando elementos de una

misma columna y verificando si es número que pertenece a esa columna. Si lo es cuenta

como terna Fermatiana de lo contrario no.

En este programa la salida en cada una de las listas: los dos primeros elementos forman

ternas Fermatianas con cada uno de los restantes.


80

{{1, 2, 5}, {1, 5, 4, 6}, {1, 8, 5}, {2, 1, 5}, {2, 5, 3, 7}, {2, 9, 5}, {3, 4, 5}, {3, 5, 2, 8},

{3, 6, 5}, {4, 3, 5}, {4, 5, 1, 9}, {4, 7, 5}, {5, 1, 4, 6}, {5, 2, 3, 7}, {5, 3, 2, 8},

{5, 4, 1, 9}, {5, 6, 1, 9}, {5, 7, 2, 8}, {5, 8, 3, 7}, {5, 9, 4, 6}, {6, 3, 5}, {6, 5, 1, 9},

{6, 7, 5}, {7, 4, 5}, {7, 5, 2, 8}, {7, 6, 5}, {8, 1, 5}, {8, 5, 3, 7}, {8, 9, 5}, {9, 2, 5},

{9, 5, 4, 6}, {9, 8, 5}, {1, 1, 8}, {1, 2, 9}, {1, 3, 2}, {1, 4, 5}, {1, 5, 6}, {1, 6, 3},

{1, 7, 4}, {1, 8, 7}, {2, 1, 9}, {2, 2, 6}, {2, 3, 5}, {2, 4, 8}, {2, 5, 7}, {2, 6, 4}, {2, 7, 1},

{2, 9, 3}, {3, 1, 2}, {3, 2, 5}, {3, 3, 4}, {3, 4, 1}, {3, 5, 8}, {3, 6, 7}, {3, 8, 9}, {3, 9, 6},

{4, 1, 5}, {4, 2, 8}, {4, 3, 1}, {4, 4, 2}, {4, 5, 9}, {4, 7, 3}, {4, 8, 6}, {4, 9, 7}, {5, 1, 6},

{5, 2, 7}, {5, 3, 8}, {5, 4, 9}, {5, 6, 1}, {5, 7, 2}, {5, 8, 3}, {5, 9, 4}, {6, 1, 3}, {6, 2, 4},

{6, 3, 7}, {6, 5, 1}, {6, 6, 8}, {6, 7, 9}, {6, 8, 2}, {6, 9, 5}, {7, 1, 4}, {7, 2, 1}, {7, 4, 3},

{7, 5, 2}, {7, 6, 9}, {7, 7, 6}, {7, 8, 5}, {7, 9, 8}, {8, 1, 7}, {8, 3, 9}, {8, 4, 6}, {8, 5, 3},

{8, 6, 2}, {8, 7, 5}, {8, 8, 4}, {8, 9, 1}, {9, 2, 3}, {9, 3, 6}, {9, 4, 7}, {9, 5, 4}, {9, 6, 5},

{9, 7, 8}, {9, 8, 1}, {9, 9, 2}, {1, 5, 2, 4, 6, 8}, {2, 5, 1, 3, 7, 9}, {3, 5, 2, 4, 6, 8},

{4, 5, 1, 3, 7, 9}, {5, 1, 2, 4, 6, 8}, {5, 2, 1, 3, 7, 9}, {5, 3, 2, 4, 6, 8}, {5, 4, 1, 3, 7, 9},

{5, 6, 1, 3, 7, 9}, {5, 7, 2, 4, 6, 8}, {5, 8, 1, 3, 7, 9}, {5, 9, 2, 4, 6, 8}, {6, 5, 1, 3, 7, 9},

{7, 5, 2, 4, 6, 8}, {8, 5, 1, 3, 7, 9}, {9, 5, 2, 4, 6, 8}}

Procedemos a determinar el tamaño de la matriz FERMATIANAS.

120

Esta es una verificación:

En este caso las ternas serían: {9, 5, 2}, {9, 5, 4}, {9, 5, 6}, {9, 5, 8}.

Ahora, para poder obtener explícitamente las ternas inventamos la función Especial.


81

Función Especial

Esta función devuelve de una lista de números, ternas comprendidas por los dos

primeros términos de la lista y el tercer término es cada uno de los demás términos de la

lista.

Veamos un ejemplo:

De la misma manera podemos saber cuáles son las ternas Fermatianas según la posición

donde están almacenadas.

Ejemplo:

Función TFermatianas

En esta función aplicamos la función Especial para obtener explícitamente las Ternas

Fermatianas.


82

Estas son todas las Ternas Fermatianas de un solo dígito:

{{{1, 2, 5}}, {{1, 5, 4}, {1, 5, 6}}, {{1, 8, 5}}, {{2, 1, 5}}, {{2, 5, 3}, {2, 5, 7}},

{{2, 9,5}}, {{3, 4, 5}}, {{3, 5, 2}, {3, 5, 8}}, {{3, 6, 5}}, {{4, 3, 5}}, {{4, 5, 1},

{4, 5, 9}}, {{4, 7, 5}}, {{5, 1, 4}, {5, 1, 6}}, {{5, 2, 3}, {5, 2, 7}}, {{5, 3, 2}, {5, 3, 8}},

{{5, 4, 1}, {5, 4, 9}}, {{5, 6, 1}, {5, 6, 9}}, {{5, 7, 2}, {5, 7, 8}}, {{5, 8, 3}, {5, 8, 7}},

{{5, 9, 4}, {5, 9, 6}}, {{6, 3, 5}}, {{6, 5, 1}, {6, 5, 9}}, {{6, 7, 5}}, {{7, 4, 5}},

{{7, 5,2}, {7, 5, 8}}, {{7, 6, 5}}, {{8, 1, 5}}, {{8, 5, 3}, {8, 5, 7}}, {{8, 9, 5}},

{{9, 2, 5}}, {{9, 5, 4}, {9, 5, 6}}, {{9, 8, 5}}, {{1, 1, 8}}, {{1, 2, 9}}, {{1, 3, 2}},

{{1, 4, 5}}, {{1, 5, 6}}, {{1, 6, 3}}, {{1, 7, 4}}, {{1, 8, 7}}, {{2, 1, 9}}, {{2, 2, 6}},

{{2, 3, 5}}, {{2, 4, 8}}, {{2, 5, 7}}, {{2, 6, 4}}, {{2, 7, 1}}, {{2, 9, 3}}, {{3, 1, 2}},

{{3, 2, 5}}, {{3, 3, 4}}, {{3, 4, 1}}, {{3, 5, 8}}, {{3, 6, 7}}, {{3, 8, 9}}, {{3, 9, 6}},

{{4, 1, 5}}, {{4, 2, 8}}, {{4, 3, 1}}, {{4, 4, 2}}, {{4, 5, 9}}, {{4,7, 3}}, {{4, 8, 6}},

{{4, 9, 7}}, {{5, 1, 6}}, {{5, 2, 7}}, {{5, 3, 8}}, {{5, 4, 9}}, {{5, 6, 1}}, {{5, 7, 2}},

{{5, 8, 3}}, {{5, 9, 4}}, {{6, 1, 3}}, {{6, 2, 4}}, {{6, 3, 7}}, {{6, 5, 1}}, {{6, 6, 8}},

{{6, 7, 9}}, {{6, 8, 2}}, {{6, 9, 5}}, {{7, 1, 4}}, {{7, 2, 1}}, {{7, 4, 3}}, {{7, 5, 2}},

{{7, 6, 9}}, {{7, 7, 6}}, {{7, 8, 5}}, {{7, 9, 8}}, {{8, 1, 7}}, {{8, 3, 9}}, {{8, 4, 6}},

{{8, 5, 3}}, {{8, 6, 2}}, {{8, 7, 5}}, {{8, 8, 4}}, {{8, 9, 1}}, {{9, 2, 3}}, {{9, 3, 6}},

{{9, 4, 7}}, {{9, 5, 4}}, {{9, 6, 5}}, {{9, 7, 8}}, {{9, 8, 1}}, {{9, 9, 2}},

{{1, 5, 2}, {1, 5, 4}, {1, 5, 6}, {1, 5, 8}}, {{2, 5, 1}, {2, 5, 3}, {2, 5, 7}, {2, 5, 9}},

{{3, 5, 2}, {3, 5, 4}, {3, 5, 6}, {3, 5, 8}}, {{4, 5, 1}, {4, 5, 3}, {4, 5, 7}, {4, 5, 9}},

{{5, 1, 2}, {5, 1, 4}, {5, 1, 6}, {5, 1, 8}}, {{5, 2, 1}, {5, 2, 3}, {5, 2, 7}, {5, 2, 9}},

{{5, 3, 2}, {5, 3, 4}, {5, 3, 6}, {5, 3, 8}}, {{5, 4, 1}, {5, 4, 3}, {5, 4, 7}, {5, 4, 9}},

{{5, 6, 1}, {5, 6, 3}, {5, 6, 7}, {5, 6, 9}}, {{5, 7, 2}, {5, 7, 4}, {5, 7, 6}, {5, 7, 8}},

{{5, 8, 1}, {5, 8, 3}, {5, 8, 7}, {5, 8, 9}}, {{5, 9, 2}, {5, 9, 4}, {5, 9, 6}, {5, 9, 8}},

{{6, 5, 1}, {6, 5, 3}, {6, 5, 7}, {6, 5, 9}}, {{7, 5, 2}, {7, 5, 4}, {7, 5, 6}, {7, 5, 8}},

{{8, 5, 1}, {8, 5, 3}, {8, 5, 7}, {8, 5, 9}}, {{9, 5, 2}, {9, 5, 4}, {9, 5, 6}, {9, 5, 8}}}

Utilizando la función Length verificamos que hay 184 Ternas Fermatianas pero hay

repeticiones, entonces para eliminar tales repeticiones utilizamos la función


83

DeleteDuplicates y determinamos su tamaño. El tamaño es 136, luego existen 136 Ternas

Fermatianas de un dígito

Hay que señalar que existen ternas de más de un dígito. Ejemplo:

A modo de conjetura podemos decir que: Si x, y, z son números de un dígito que forman

una Terna Fermatiana para n, entonces los números de k dígitos xx…x, yy…y, zz…z

también forman una Terna Fermatiana para n.

6. Gráfica de las Ternas Fermatianas de un dígito

Utilizando la función ListPlot3D, propia de Mathematica 8, graficamos las Ternas

Fermatianas y se obtiene la siguiente imagen.


84

Una pequeña variación del programa nos permite incluir el exponente: la tercera

componente en cada lista es el exponente.

Veamos el resultado de ejecutar el programa.

{{1, 2, 2, 5}, {1, 5, 2, 4, 6}, {1, 8, 2, 5}, {2, 1, 2, 5}, {2, 5, 2, 3, 7}, {2, 9, 2, 5},

{3, 4, 2, 5}, {3, 5, 2, 2, 8}, {3, 6, 2, 5}, {4, 3, 2, 5}, {4, 5, 2, 1, 9}, {4, 7, 2, 5},

{5, 1, 2, 4, 6}, {5, 2, 2, 3, 7}, {5, 3, 2, 2, 8}, {5, 4, 2, 1, 9}, {5, 6, 2, 1, 9}, {5, 7, 2, 2, 8},

{5, 8, 2, 3, 7}, {5, 9, 2, 4, 6}, {6, 3, 2, 5}, {6, 5, 2, 1, 9}, {6, 7, 2, 5}, {7, 4, 2, 5},

{7, 5, 2, 2, 8}, {7, 6, 2, 5}, {8, 1, 2, 5}, {8, 5, 2, 3, 7}, {8, 9, 2, 5}, {9, 2, 2, 5},

{9, 5, 2, 4, 6}, {9, 8, 2, 5}, {1, 1, 3, 8}, {1, 2, 3, 9}, {1, 3, 3, 2}, {1, 4, 3, 5}, {1, 5, 3, 6},

{1, 6, 3, 3}, {1, 7, 3, 4}, {1, 8, 3, 7}, {2, 1, 3, 9}, {2, 2, 3, 6}, {2, 3, 3, 5}, {2, 4, 3, 8},

{2, 5, 3, 7}, {2, 6, 3, 4}, {2, 7, 3, 1}, {2, 9, 3, 3}, {3, 1, 3, 2}, {3, 2, 3, 5}, {3, 3, 3, 4},

{3, 4, 3, 1}, {3, 5, 3, 8}, {3, 6, 3, 7}, {3, 8, 3, 9}, {3, 9, 3, 6}, {4, 1, 3, 5}, {4, 2, 3, 8},


85

{4, 3, 3, 1}, {4, 4, 3, 2}, {4, 5, 3, 9}, {4, 7, 3, 3}, {4, 8, 3, 6}, {4, 9, 3, 7}, {5, 1, 3, 6},

{5, 2, 3, 7}, {5, 3, 3, 8}, {5, 4, 3, 9}, {5, 6, 3, 1}, {5, 7, 3, 2}, {5, 8, 3, 3}, {5, 9, 3, 4},

{6, 1, 3, 3}, {6, 2, 3, 4}, {6, 3, 3, 7}, {6, 5, 3, 1}, {6, 6, 3, 8}, {6, 7, 3, 9}, {6, 8, 3, 2},

{6, 9, 3, 5}, {7, 1, 3, 4}, {7, 2, 3, 1}, {7, 4, 3, 3}, {7, 5, 3, 2}, {7, 6, 3, 9}, {7, 7, 3, 6},

{7, 8, 3, 5}, {7, 9, 3, 8}, {8, 1, 3, 7}, {8, 3, 3, 9}, {8, 4, 3, 6}, {8, 5, 3, 3}, {8, 6, 3, 2},

{8, 7, 3, 5}, {8, 8, 3, 4}, {8, 9, 3, 1}, {9, 2, 3, 3}, {9, 3, 3, 6}, {9, 4, 3, 7}, {9, 5, 3, 4},

{9, 6, 3, 5}, {9, 7, 3, 8}, {9, 8, 3, 1}, {9, 9, 3, 2}, {1, 5, 4, 2, 4, 6, 8}, {2, 5, 4, 1, 3, 7, 9},

{3, 5, 4, 2, 4, 6, 8}, {4, 5, 4, 1, 3, 7, 9}, {5, 1, 4, 2, 4, 6, 8}, {5, 2, 4, 1, 3, 7, 9},

{5, 3, 4, 2, 4, 6, 8}, {5, 4, 4, 1, 3, 7, 9}, {5, 6, 4, 1, 3, 7, 9}, {5, 7, 4, 2, 4, 6, 8},

{5, 8, 4, 1, 3, 7, 9}, {5, 9, 4, 2, 4, 6, 8}, {6, 5, 4, 1, 3, 7, 9}, {7, 5, 4, 2, 4, 6, 8},

{8, 5, 4, 1, 3, 7, 9}, {9, 5, 4, 2, 4, 6, 8}}


86

CONCLUSIÓN

Después de haber realizado este trabajo de seminario siento satisfacción por lo mucho que

he aprendido y por hacer Matemática.

Hoy se cree que todo en Matemática está hecho y que ya no hay más por descubrir, es

decir, se piensa que no puede hacerse nada más. Sin embargo, hay hechos como éste que

confirman lo contrario.

Después de haber logrado mis dos objetivos en este trabajo de seminario me propongo

resumirlos.

Una Terna de enteros no nulos (x, y, z) es Fermatiana si satisface la ecuación xn+y

n=z

n,

para algún n≥2.

Ternas Fermatianas es un concepto nuevo y exclusivo de este seminario.

Encontrar todas las Ternas Fermatianas de un dígito y proponer una conjetura es un logro

muy satisfactorio. En fin, el total de estas ternas es 136 teniendo en cuenta que las ternas

(x, y, z) no es lo mismo a (y, x, z).


87

RECOMENDACIONES

Sugiero como nuevo trabajo de Seminario de Tesis encontrar todas las Ternas

Fermatianas de dos dígitos, tres dígitos, cuatro dígitos o de una cantidad de dígitos

específicos.

Por otra parte, demostrar la validez o falsedad de la conjetura explicada en este

trabajo.


88

BIBLIOGRAFÍA

DAVID APPLEGATE, MARC LEBRUN Y NEIL SLOANE. JULIO 7, 2011. Carryless

Arithmetic Mod 10.

Ternas Fermatianas

Education

Transcript of Ternas Fermatianas