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UNIVERSIDAD DEL ZULIA

FACULTAD EXPERIMENTAL DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Enfoque Unidimensional de las Ternas

Pitagóricas

Jesús Varela

XXVII Jornadas Nacionales de Matemáticas

Barquisimeto, 28 al 31 de Julio de 2014

Enfoque Unidimensional de las Ternas Pitagóricas y

Algunas Aplicaciones

Resumen

Las ternas pitagóricas, es un tema abordado por primera

vez por el matemático griego Pitagora, al considerar

soluciones en enteros para la ecuación X2+y2=z2, aquí

tratamos familias de soluciones desde una perspectiva

monoparamétricas, es decir, familias de soluciones en

enteros que dependen de un solo parámetro, una

respuesta biparamétrica a este problema, se encuentra

publicado en el libro del Matemático Angel Oneto:

“Números, Anillos y Cuerpos”

Justificación A una terna de números naturales (a,b,c) que satisface la

ecuación a2+b2=c2, la llaman una terna pitagórica. Si además se

cumple que (a,b,c)=1, decimos que la terna pitagórica es primitiva

Para Ilustrar presentemos dos ejemplos de ternas pitagóricas:

(3,4,5) y (6,8,10), ambas satisfacen la relación pitagórica, la

diferencia entre ambas ternas: es que la segunda se obtiene de

la primera, al multiplicar por 2 todos los términos de la primera

terna, además, los términos de la primera son coprimos dos a

dos, así la primera es una terna pitagórica primitiva y la segunda

no lo es.

En los anales remotos del Hombre, se dice que en la Mesopotamia antigua,

entre 1900 y 1600 a. C., según la tablilla cuneiforme Plimpton 322, la forma

para hallar ternas pitagóricas, se regia por la formula: para p>q, a= p2-q2 ;

b=2pq y c= p2+q2, satisfaciéndose la igualdad a2+b2=c2. Un milenio después,

en el siglo VI a. C., Pitágoras propuso la formula a=2n+1, b=2n2+2n y

c=2n2+2n+1. En esta misma época Platón, propuso la formula a=2n, b=n2-1 y

c=n2+1, ambas propuestas satisfacen la igualdad a2+b2=c2. Como puede

notarse inmediatamente tanto la propuesta de Pitágoras y de Platón, aportan

métodos mono-paramétricos que agrupan familias numerables de ternas

pitagóricas. Posteriormente, en el siglo III, el matemático griego Diofanto,

aborda de nuevo el problema al considerar soluciones en enteros para la

ecuación X2+y2=z2, además, su formula propuesta rescata la mesopotámica.

Por todos es conocido el método biparamétrico de hallar

ternas pitagóricas primitivas, que se encuentra publicado en

el libro del Matemático Angel Oneto: “Números, Anillos y

Cuerpos” :

Teorema: La terna de números Naturales

(x,y,z) es pitagórica primitiva, si, y solo si,

existen números naturales u y v coprimos

y de distinta paridad, con u>v, tales que:

x=2uv; y= u2-v2; z= u2+v2

● Prueba:

● () Si (x,y,z) es una terna pitagórica primitiva, entonces x, y, z son coprimos dos a dos, pues cualquier factor de dos de ellos, por X2+y2=z2, debe ser un factor del tercero. En particular uno solo de ellos debe ser par, y los otros dos impares. Además z no debe ser par, porque de ser z=2a, x=2b+1 y y=2c+1, al reemplazar en X2+y2=z2, se llega a que 4 | 2, lo que es un absurdo. Luego el par debe ser x o y, por simetría podemos suponer que X=2a y por lo tanto:

z+y=2b y z-y=2c

Como y y z son impares y coprimos debe ser que b y c son

enteros y coprimos, y tomando en consideración el teorema

fundamental de la aritmética se tiene que b y c son

cuadrados, y por lo tanto existen enteros u y v tales u2=b y

v2=c, cumpliéndose con X= 2uv, y= u2-v2 y z=u2+v2 , con u y v

coprimos

● Prueba:

● () Por reemplazo directo se comprueba que

X2+y2=z2. Si p es un factor común de 2uv,

u2-v2 y u2+v2 , como p | 2uv, se tendrá que

p | 2, p | u o p | v, pero p no divide a 2, porque

p | u2-v2, que es impar, ya que u y v son de

distinta paridad. Además, de p | u, como

p | u2-v2,, se deduce que p | v, contradiciendo

que u y v son coprimos. Análogamente, si p | v

, se seguiría que p | u. por tanto x, y, z no tiene

factores primos comunes y (x,y,z) es una terna

pitagórica primitiva

Podemos construir la tabla siguiente:

U V X=2UV Y=U2-V2 Z=U2+V2

2 1 4 3 5

3 2 12 5 13

4 1 8 15 17

4 3 24 7 25

5 2 20 21 29

5 4 40 9 41

● Usando el tablero de ajedrez visualice 42+32 =52, motivando una

metodología para hallar ternas pitagórica primitivas a partir de los

números impares , siguiendo la regla:

X=s=2n-1 Y Z X2 Y2 Z2

1 0 1 1 0 1

3 4 5 9 16 25

5 12 13 25 144 169

7 24 25 49 576 625

9 40 41 81 1600 1681

11 60 61 121 3600 3721

13 84 85 169 7056 7225

15 112 113 225 12544 12769

17 144 145 289 20736 21025

19 180 181 361 32400 32761

2

1s Z;

2

1sY s;X

22

Proposición 1:

Existen infinitas ternas pitagóricas primitivas en N3

Prueba:

Sean Xn=2n-1, Yn=((Xn)2-1)/2 y Zn=((Xn)

2+1)/2

, vemos que se satisface (Xn)2+(Yn)

2=(Zn)2.

Además, Xn, Yn, Zn son coprimos dos a dos,

luego la terna (Xn,Yn,Zn) es Pitagórica

primitiva, y tenemos tantas como números

impares hay en N, por lo tanto hay infinitas

ternas pitagóricas en N3

Proposición 2:

Si (X,Y,Y+K) es una terna pitagorica primitiva,

entonces K divide a X2.

Prueba:

En efecto, si X2+y2=(Y+K)2, de donde

X2=K(2Y+K), luego K divide a X2

Proposición 3:

Si (X,Y,Y+K) es una terna pitagórica primitiva, y K

es primo, entonces K divide a X.

Prueba:

En efecto, si X2+y2=(Y+K)2, de donde

X2=K(2Y+K), luego K divide a X2, luego K divide a

X, por ser K primo.

Proposición 4:

Si (X,Y,Y+K) es una terna pitagórica primitiva,

entonces K es un cuadrado o es de la forma 2v2.

Prueba:

En efecto, si (X,Y,Y+K) es una terna pitagórica,

tenemos X2+y2=(Y+K)2, de donde X2=K(2Y+K),

luego K divide a X2, , por ser K coprimo con Y, en

virtud de ser (X,Y,Y+K) una terna primitiva y

considerando el teorema fundamental de la

aritmética, tenemos que K=v2, donde v divide a X

si K es impar, o si K es par debe ser K=2S y así

debe ser 2v2 .

Proposición 5:

Si p es primo impar, existe una familia infinita

de ternas pitagóricas de la forma:

Xn=pn, y

Prueba:

Vemos que se satisface (Xn)2+(Yn)

2=(Zn)2. Además,

Xn, Yn, Zn son coprimos dos a dos, luego la terna

(Xn,Yn,Zn) es Pitagórica primitiva, y tenemos tantas

como números hay en N.

2

1pY

2n

n

2

1pZ

2n

n

Contraejemplo: no existe una terna pitagórica

primitiva de la forma (6,x,y).

Prueba; En efecto, de existir tal terna, debe

suceder que 36=(y+x)(y-x), pero tanto x, como

y, son impares, luego las posibilidades se

reduce a que y+x=18 y y-x=2, lo que indica

que y=10, y esto es contradictorio. Por lo tanto

no existe tal terna.

222

1

ir1

zxs que talz),x,(s, forma la de spitagorica ternas

2

1)12)...(1(2 eexactamentexisten entonces impares,

primosson p números los donde , p...ps Si :6n Proposició r1

r

2

1)12)...(1(2

:es z)x,(s, forma la de spitagorica ternasde número el asiy

,2

1)12)...(1(2 fórmula lapor odeterminad está soluciones

de número el queconcluir podemos orio,contradict es sd caso

el que hecho ely naturales,son y x z porque ,d

sd que cuenta

en tomando, d

sx-zy d xzpor formados ecuaciones de

sistema losresolver que tenemos,s de ddivisor un doconsideran

x)-x)(z(zs donde de impar, zy par con x ,zxs

decir, es , primitiva pitagórica ternauna es z)x,(s,y impares,

primosson p números los donde , p...ps Si :Prueba

1

1

2

2

2

2222

ir1r1

r

r

222

1-r

ir1

zxs que talz),x,(s, forma la de mitiva

-pri spitagorica ternas2 eexactamentexisten entonces impares,

primosson p números los donde , p...ps Si :7n Proposició r1

d

s2

d

sd que doconsideran ,2

h

r es resolver a sistemas

de número el luego r,y 1 entreh variando,h

r es pedidacondición

lacon primos divisoresh poseen que divisores de número el así ,s

en tieneque exponente mismo al elevadosestar deben d de primos

factores los entonces 1,)d

sMCD(d,suceder debe que cuenta

en tomando, d

sx-zy d xzpor formados ecuaciones de

sistema losresolver que tenemos,s de ddivisor un doconsideran

x)-x)(z(zs donde de impar, zy par con x ,zxs

decir, es , primitiva pitagórica ternauna es z)x,(s,y impares,

primosson p números los donde , p...ps Si :Prueba

2r

r

0h

2

2

2

2

2222

ir1r1

22

2ser debe

primitivas spitagorica ternasde totalnúero el queser debe

1-rr

.zxs :satisfaga que z)x,(s, vas

-primiti spitagorica ternasexiste no entonces impares, primos

son p números los donde , p...p2s Si :8n Proposició

222

ir1r1

z)x,(s, tiva

-primi pitagórica ternauna existe no tantolopor impar, zser de

hecho el iendocontradicc par, es z decir, es b,az donde de

b),2(a2z luego aritmética la de lfundamenta emasegún teor

impares, by acon 2b,x-zy 2axz que doConsideran

x).-x)(z(zs donde de impares, zy con x ,zxs

decir, es primitiva, pitagórica ternauna es z)x,(s,y impares,

primosson p números los donde , p...p2s Si

:Prueba

2222

ir1r1

anterior la a analoga :Prueba

2 es z)x,(s, forma la de mitivas

-pri spitagorica ternasde número el entonces impares, primosson

p números losy 2 donde , p...p2s Si :9n Proposició

r

ir1r1

222

1

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r1

zxs que talz),x,(s, forma

la de spitagorica ternas2

1)12)...(1(2 mente

-exactaexisten entonces impares, primosson p números

losy 2 donde , p...p2s Si :10n Proposició r1

r

2

1)12)...(1(2 es

z)x,(s, forma la de primitivas spitagorica ternasde número el asiy

,2

1)12)...(1(2 fórmula lapor odeterminad

está soluciones de número el queconcluir debemos orio,contradict es

p...pd caso el que hecho dely naturales,son y x z porque ,d2

sd

con cumpla que , tengamosd divisores como , d2

sx-zy d2 xz

:forma la de ecuaciones de sistema antosresolver t que tenemos,2

s de dsor

-divi cada a doConsideran x).-x)(z(zs donde de impares, zy con x

,zxs decir, es primitiva, pitagórica ternauna es z)x,(s,y impares,

primosson p números losy 2 donde , p...p2s Si :Prueba

1

1

r1

2

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21-

2

2

222

ir1

r1

r1

r

r

Aplicaciones

Proposición #1:

Existen infinitos ceros en Z3, para el polinomio p(x,y,z)= X2+y2-z2

Proposición #2

El conjunto de puntos con coordenadas racionales en la circunferencia

unitaria, no es denso en ella

Proposición #3:

Los únicos puntos, de la circunferencia unitaria, con coordenadas

racionales están determinados por la sucesión: de ternas pitagóricas

ordenadas por el orden lexicográfico

Aplicaciones

1. Construcción de triángulos rectángulos de

lados enteros

2. Construcción de paralelepípedos de aristas

enteras

3. Hallar familias de pares (x,y) de norma entera

4. Hallar familias de números complejos de

módulo entero.

Referencias Bibliografica

1. GENTILE, E.: Aritmética elemental O.E.A., Washington, D.C. (1985)

2. LANG, S. : Algebra. Aguilar, Madrid (1971)

3. ONETO Á., Números, Anillos, y Cuerpos, Ediluz, Maracaibo (2001)

4. Varela J. “Lógica, Conjuntos y Aritméticas en los Enteros”, Trabajo de

Ascenso, Maracaibo (2000)

5. Vinogradov I. Fundamentos de la Teoría de los números, Editorial MIR,

Moscu, (1977)