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“Modelación y simulación de inmunoterapias para el tratamiento de

la leucemia”

Tesis

Para obtener el grado de:

Maestría en Ciencias de la Computación

Presenta:

Lic. Jareth León Santiago

Directores de Tesis:

Dra. Erandi Castillo Montiel Dr. Juan Carlos Chimal Eguía

Ciudad de México, Mayo de 2019.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN COMPUTACIÓN

Resumen

El cancer es uno de los retos mas grandes que enfrenta la ciencia medica en esta

epoca. La Agencia Internacional para la investigacion del Cancer (IARC) estima que

para 2030 el ındice global para nuevos casos de cancer crezca a 21.7 millones y 13

millones de muertes por este padecimiento debido al crecimiento y envejecimiento de

la poblacion.

Mientras tanto, muchos de los tratamientos medicos utilizados para tratar el cancer

son obsoletos o en muchos casos no son efectivos para erradicar esta enfermedad, de-

bido a la gran cantidad de efectos secundarios que conllevan. Por lo que los biologos

y medicos propusieron utilizar el propio sistema inmune para pelear contra el cancer.

Esta propuesta resulto en muchas terapias que son conocidas como inmunoterapias,

y que se basan en el principio de utilizar las partes fundamentales del sistema in-

mune como las celulas T, celulas NK, celulas dendrıticas y algunas citocinas con el

proposito de combatir cierto tipo de canceres.

Tal es el caso de la terapia con celulas T-CAR, esta consiste en utilizar los linfocitos

T autologos del cuerpo y modificarlos con la habilidad de detectar y destruir las

celulas malignas mediante una combinacion de la especificidad monoclonal de un

anticuerpo y sus capacidades de memoria y citotoxicidad.

Para avanzar en la investigacion de los tratamientos contra el cancer y otros males

fue indispensable que la biologıa se uniera con las matematicas y la computacion con

el fin de mejorar los resultados y reducir los tiempos de experimentacion. Pero lo

mas destacado es que la union de estas disciplinas marcan el comienzo de una nue-

va, conocida como Biologıa Matematica. El desarrollo de esta ciencia mejora a cada

rama de la ciencia involucrada de forma individual, por ejemplo haciendo que las

matematicas y la computacion evolucionen con el fin de resolver problemas biologi-

1

2

cos.

En este trabajo tratamos la leucemia linfoblastica aguda de tipo B (LLA-B) utili-

zando la terapia con celulas T-CAR aplicada a un paciente, con el fin de entender

y tratar de simular la dinamica entre la inmunoterapia y las celulas tumorales para

el mismo. Para esto, se construyo un modelo matematico basado en un sistema de

ecuaciones diferenciales ordinarias, que involucran a tres poblaciones celulares di-

ferentes, las celulas tumorales, las celulas T auxiliares y las celulas T citotoxicas,

ademas agregamos dos tipos de citocinas IL-2 e IL-10. Despues resolvimos el sistema

de ecuaciones utilizando un metodo numerico llamado Runge-Kutta de cuarto orden.

El metodo fue programado en MatLab y los resultados se presentan en el capıtulo

5, en la discusion de los resultados, fue necesario comparar estos mismos respecto a

los datos que se tenıan de un ensayo clınico. En este ensayo se aplica la terapia con

celulas T-CAR a adultos jovenes y ninos de entre 1-30 anos, los cuales presentaban

LLA-B o linfoma no hodgkiniano, con la finalidad de estudiar los efectos y la eficacia

de la terapia con T-CAR en los seres humanos.

Los resultados obtenidos muestran que la terapia con celulas T-CAR es efectiva para

el paciente en el combate de la leucemia linfoblastica aguda, ya que se observa la

expansion y permanencia de las celulas T-CAR a lo largo de un ano. Es decir, estas

celulas continuan creciendo en el cuerpo por mas de 28 dıas mientras que la poblacion

de celulas cancerosas disminuye en el lapso en que se lleva a cabo el ensayo clınico.

Abstract

Cancer is one of the biggest challenges the medical science has to face in this time.

The International Agency for Research on Cancer (IARC) states that by 2030, the

global index is expected to grow to 21.7 million new cases of cancer and 13 million

deaths due to the growth and aging of the population.

Meanwhile, most of the medical treatments used to treat cancer are obsolete in

many cases, due to the many secondary effects that can be presented, furthermore,

besides many occasions, they do not have any effect over the disease.

So the biologist and physicians came out with the idea to use the immune system

to fight back against cancer. This results in many therapies called immunotherapies,

these processes use the fundamental pieces of the immune system like T lymphocytes,

Nk cells, dendritic cells and some cytokines to fight a certain type of cancer.

Such is the case of T-CAR cell therapy. The therapy consists of using the auto-

logous T cells of the body and modify the patient’s cells with the ability to detect

and destroy malignant cells by combining the specificity of a monoclonal antibody

with the cytotoxic and memory capabilities of endogenous T cells.

In order to go forward in the investigation to treat cancer and other sufferings,

biology has formed a relationship with mathematics and computer science to improve

the results, making the experimentation phase quicker. But most importantly, the

union of these three disciplines makes a new one call Mathematical Biology. The

developing of Mathematical Biology improves every discipline that is contained in

here in an individual way, making computer science and maths evolve in order to

solve the biological problems.

In this work, we treat B-cell acute lymphoblastic leukemia (ALL-B) using T-

CAR cell therapy in order to understand and try to simulate the dynamics between

3

4

immunotherapy and tumor cells for a pacient. A mathematical model was built

with a system of ordinary differential equations that involves three different cell

populations, ALL-cells, helper T cells, and cytotoxic T cells, also we had to add

two types of cytokines, IL-2 and IL-10. Later we solve the system using a numerical

method called Runge-Kutta of 4th order.

The Runge-Kutta method is programmed in MatLab, and the results are shown

in chapter 4, meanwhile in the discussion of the results was necessary to compare

these with respect to the data that was available in a clinical trial. In this trial,

T-CAR therapy was applied to young adults and children between 1 and 30 years of

age, who presented B-ALL or non-Hodgkin’s lymphoma, in order to study the effects

and efficacy of therapy with T-CAR on the human body.

The results that were obtained show that the T-CAR cell therapy is effective in

the pacient we study against the acute linfoblastic leukemia, we observed that the

T-CAR cells expand and stay for a year. The cells continue to grow for more than

28 days, meanwhile the cancer cell population decreases during the period in which

the trial is carried out.

Agradecimientos

A mi mama, por su apoyo y amor incondicional.

A Gabriel, por la paciencia y el amor que me tiene.

A todos los Leon, especialmente a Angeles y Elfego.

A mis amigas Patrick, Ana, Marcela y Gemma. A mis amigos Yair, Julio,

Victor, Jose, Marco, Gael, Horacio, Pedro, Gonzalo, Josue. Porque siempre

estan dispuestos a ayudarme.

A Marce, Diego y Keila.

A mi directores de tesis, la Dra. Erandi Castillo Montiel y el Dr. Juan Carlos

Chimal Eguıa.

A mis sinodales, la Dra. Nareli Cruz, el Dr. Marco Ibarra, el M. en C. German

Tellez y el Dr. Sergio Suarez.

A Hanya Trujillo, porque siempre nos ayuda a realizar nuestros tramites con

una sonrisa.

A mi alma mater, la Escuela Superior de Fısica y Matematicas, porque no solo

me formaron en la ciencia sino tambien como persona.

Al Instituto Politecnico Nacional, al Centro de Investigacion en Computacion

y a CONACyT por todo el apoyo economico y academico.

5

Indice general

1. Introduccion 11

1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Marco Teorico 20

2.1. Cancer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Leucemia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2. Leucemia Linfoblastica Aguda (LLA) . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Sistema Inmune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1. Respuesta Inmune Adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Terapias Inmulogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1. Terapia con Celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2. Proceso de la terapia con celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . 31

2.4. Modelacion Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Modelos de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.1. Modelo Logıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5.2. Michaelis-Menten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Modelo 39

3.1. Ensayo clınico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2. Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6

Indice general 7

3.2.1. Ecuaciones para las citocinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.2. Ecuaciones para las poblaciones celulares . . . . . . . . . . . . 45

4. Resultados 48

4.0.1. Condiciones iniciales y tamanos de pasos . . . . . . . . . . . . 56

5. Conclusiones 69

5.1. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Indice de figuras

2.1. Desarrollo de una celula sanguınea [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Respuesta Innata y Adaptativa [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Tipos de Respuesta Adaptativa [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Tipos de Linfocitos [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5. Estructura de un Receptor de Antıgeno Quimerico (CAR) [3]. . . . . 29

2.6. Proceso de la Terapia con celulas T-CAR [3]. . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7. Proceso de la Terapia con celulas T-CAR a nivel celular [3]. . . . . . 34

3.1. Interaccion entre las celulas TH , TC y C. . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2. Crecimiento de las citocinas respecto al tiempo [4]. . . . . . . . . . . 44

4.1. Concentracion de IL-2 contra tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2. Concentracion de IL-10 contra tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3. Densidad de celulas cancerıgenas C contra tiempo . . . . . . . . . . . 52

4.4. Densidad de celulas T auxiliares TH contra tiempo . . . . . . . . . . . 53

4.5. Densidad de celulas T citotoxicas TC contra tiempo . . . . . . . . . . 54

4.6. Densidad de celulas T axuliares TH durante un ano . . . . . . . . . . 55

4.7. Densidad de celulas T citotoxicas TC durante un ano . . . . . . . . . 55

4.8. Densidad de celulas T auxiliares TH con una dosis inicial de 250 000

celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.10. Densidad de celulas T auxiliares TH con una dosis inicial de 2 000 000

celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8

Indice de figuras 9


celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.12. Densidad de celulas T citotoxicas TC con una dosis inicial de 250 000

celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


000 celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


000 celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


000 celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


000 celulas T-CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


celulas T-CAR y un tamano de paso h = 0,0005 . . . . . . . . . . . . 67


celulas T-CAR y un tamano de paso h = 0,0005 . . . . . . . . . . . . 68

Indice de cuadros

2.1. Origen y funciones de las citocinas involucradas en la terapia con

celulas T-CAR [2, 5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1. Caracterısticas demograficas, respuesta y toxicidad del paciente 11. M:

masculino, C: quimioterapia, R: radioterapia, CR: respuesta completa,

MRD Neg: negativo para enfermedad residual mınima [4]. . . . . . . . 41

3.2. Valores para las constantes de las funciones que modelan las interlu-

cinas obtenidas mediante el ajuste hecho en OriginLab R©. . . . . . . . 45

4.1. Parametros utilizados para resolver el sistema de ecuaciones. . . . . . 51

10

Capıtulo 1

Introduccion

El cancer es un grupo de enfermedades caracterizadas por un crecimiento des-

controlado de celulas anormales. Despues de un cuarto de siglo de avances en la

investigacion del cancer se ha generado conocimiento suficiente para llegar a la con-

clusion que el cancer es una enfermedad que involucra cambios en el genoma. Dentro

de la comunidad cientıfica se ha discutido que la investigacion en los tratamientos y

el origen de este mal continuara por mucho tiempo mas de la misma forma en la que

se ha estudiado por mucho tiempo, anadiendo mas complejidad al problema inicial.

Se prevee que la investigacion sobre el cancer se convierta en una ciencia mas formal,

para esto es necesario hacer uso de otras ramas de la ciencia como la computacion

y las matematicas [6]. Para darnos una idea de que tan necesario es el estudio y la

investigacion de esta enfermedad se presentan algunos datos que dan un panorama

de como afecta a la poblacion mundial este mal.

De acuerdo a las estimaciones de la Agencia Internacional para la investigacion so-

bre el Cancer, IARC por sus siglas en ingles, en 2012 se contabilizaron 14.1 millon

de nuevos casos de cancer y 8.2 millones de muertes debido a esta enfermedad a

nivel mundial. Durante 2012, en centroamerica se registraron 197 600 nuevos casos

de cancer, mientras que 110 700 personas fallecieron debido a este padecimiento [7].

Mientras que en Mexico, durante en perıodo de 2011 a 2016, 2 de cada 100 000 habi-

tantes de 0 a 17 anos fallecen anualmente por un tumor en organos hematopoyeticos.

Entre los jovenes de 18 a 29 anos, mueren 3 de cada 100 000 hombres contra 2 de

cada 100 000 mujeres por canceres en la sangre. En la poblacion menor de 20 anos,

11

Capıtulo 1. Introduccion 12

los tipos de cancer que mas afectan a los organos hemotopoyeticos (medula osea,

bazo y timo) son causados en su mayorıa por leucemia. Afecta mas a los hombres

que a las mujeres. Del total de egresos hospitalarios por cancer que resultan mortales,

el grupo de edad mas vulnerable es el de los jovenes de 15 a 19 anos con 59 % en los

hombres y 40 % en las mujeres [8].

Existen varios factores que pueden causar cancer, hay de dos tipos: externo e in-

terno. En el caso de los factores externos encontramos el estilo de vida e infecciones;

mientras que los internos son debidos a la genetica. Ademas, pueden llegar a pasar

muchos anos entre la exposicion a factores externos y la deteccion del cancer [6].

Existen varios tratamientos, como la cirugıa, la radiacion, quimioterapia, terapia

con hormonas, terapia inmune, y terapias dirigidas (drogas que interfieren con el

crecimiento celular cancerıgeno utilizando como objetivos moleculas especıficas). Sin

embargo, los tratamientos tradicionales como la cirugıa y la radiacion tienen efectos

secundarios como la perdida de cabello, perdida de peso, deprimen al sistema inmu-

ne, y algunos efectos secundarios a largo plazo son cardiopatıas o danos a nervios,

ası como problemas de fertibilidad [9].

Por otra parte, ha habido numerosos intentos por parte de los investigadores, du-

rante decadas, para aprovechar al sistema inmune como herramienta para destruir

el cancer. Algunos avances en el campo de la inmunologıa han producido resultados

que nos llevan a un mejor entendimiento de como trabajan las defensas en el cuerpo

humano. La terapia con anticuerpos monoclonales, radioinmunoterapia y las vacu-

nas contra el cancer son algunos tipos de inmunoterapias. Estas terapias resultan

generalmente en efectos secundarios menos severos a corto plazo que la quimiote-

rapia [10]. Las inmunoterapias a diferencia de las terapias comunes le dan soporte

al sistema inmune en la lucha contra el cancer, mientras que las terapias tradicio-

nales terminan ocasionando la muerte de las celulas inmunologicas. El potencial de

las inmunoterapias para tratar el cancer es de gran alcance debido a que con estas

terapias pueden tratarse canceres que antes se consideraban intratables, esto ayuda

al paciente a tal grado que su vida puede llegar a prolongarse, es por eso que las

inmunoterapias son un objeto de estudio significativo al ayudar a la ciencia medica

a alcanzar esta meta [11].

En el caso de la terapia con celulas T-CAR (Receptor de Antıgeno Quimerico por


sus siglas en ingles), se encarga de equipar al paciente con celulas T que tienen la

habilidad de detectar y destruir celulas malignas mediante la combinacion de la espe-

cificidad de un anticuerpo monoclonal con las capacidades citotoxicas y de memoria

de las celulas T endogenas. Esta terapia es usada para el tratamiento de tumores en

celulas B. Multiples pruebas clınicas han sido hechas para distintos tipos de tumo-

res, incluyendo la leucemia linfoblastica aguda de celulas B (B-LLA), los linfomas de

Hodgkin y no Hodgkin, la leucemia linfocıtica cronica, la leucemia mieloide aguda y

el mieloma multiple [12].

Sin embargo, se siguen realizando estudios para evaluar la seguridad y eficacia,

ademas de efectos secundarios que la implementacion de esta terapia pudiera lle-

var a cabo. Para ayudar en la investigacion de las terapias inmunologicas, la biologıa

y la medicina se han hecho de otras herramientas como lo son las matematicas y la

computacion, las cuales han permitido obtener un mayor conocimiento del desarrollo,

crecimiento y expansion del cancer, esto gracias a la creacion de modelos matemati-

cos que simulan el comportamiento de algunos procesos del cancer que pueden llegar

a ser muy complejos [13].

1.1. Planteamiento del problema

La leucemia es un tipo de cancer que se presenta en la sangre y la medula osea,

existen distintos tipos de leucemia, como la leucemia linfoblastica aguda (LLA). En

adultos, la LLA es un cancer que afecta a la medula osea haciendo que crezca en gran

cantidad el numero de linfocitos, ademas esta leucemia puede afectar otras celulas

como los globulos rojos, globulos blancos y las plaquetas.

Segun el Insituto Nacional del Cancer (NIH), se estima que para 2018 se den 60

300 nuevos casos de leucemia (de todos los tipos) en Estados Unidos, mientras que

se estiman 24 370 muertes debidas a este padecimiento. Para la LLA, se estiman 5

960 nuevos casos y 1 470 muertes, es decir, 9.9 % de los casos nuevos de leucemia son

del tipo LLA y se espera que el 6.1 % de las muertes sean debidas a este mal [14].

Algunos tratamientos para la LLA son: quimioterapia, radioterapia, quimiotera-

pia con transplante de celulas madre y terapia dirigida. Otros tratamientos que han

sido probados en ensayos clınicos son las terapias biologicas y las inmunoterapias, en


el caso de la leucemia se ha probado con la terapia con celulas T-CAR. Esta terapia

amplifica la habilidad que tiene el sistema inmune humano para detectar y destruir

las celulas cancerosas, para que esto ocurra, las celulas citotoxicas T deben reconocer

primero a las celulas cancerosas como peligrosas. Por lo que las celulas T deben ser

activadas, proliferar y matar efectivamente a las celulas cancerosas.

Los CARs son receptores de la superficie celular disenados geneticamente para

equipar a las celulas T con la habilidad de unirse a los antıgenos encontrados en las

celulas tumorosas [12].

Los modelos matematicos, cuyo rol es describir, cuantificar y predecir el compor-

tamiento de los fenomenos que se estudian, pueden descifrar sistemas complejos como

la interaccion entre la respuesta inmune, el crecimiento tumoral y la inmunoterapia

[15]. En este trabajo sea plantea el estudio de la inmunterapia con celulas T-CAR

en un paciente para combatir la leucemia linfoblastica aguda de tipo B (LLA-B) .

Se construye un modelo matematico con ecuaciones diferenciales ordinarias conside-

rando la intervencion de dos tipos de citocinas que interceden en la dinamica entre

las poblaciones celulares, las funciones de las citocinas fueron obtenidas de los datos

experimentales del paciente en cuestion, con el fin de comparar los resultados arroja-

dos por el modelo con los resultados obtenidos en el ensayo clınico al que se sometio

esta persona, en este ensayo se experimentaron con celulas T-CAR en pacientes con

LLA-B.

1.2. Objetivos

El objetivo de este trabajo de tesis es simular la dinamica entre la leucemia y

la terapia con Celulas T-CAR, mediante un modelo matematico, con la finalidad de

conocer la efectividad de esta inmunoterapia mediante la simulacion del modelo en

contra de la leucemia.

1.2.1. Objetivos especıficos

Desarrollar un sistema de ecuaciones diferenciales que modelan la interaccion

entre la leucemia y la terapia aplicada.


Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales mediante un metodo numerico.

Comparar los resultados que arroja el modelo con los obtenidos en el ensayo

clınico al que fue sometido el paciente.

1.3. Estado del arte

Gracias a la union entre la biologıa, las matematicas y la computacion se han

podido resolver problemas biologicos que necesitaban recursos materiales y de tiempo

que a veces no eran accesibles, por ejemplo a traves de la biologıa matematica se

espera poder encontrar la secuencia de ADN que mejor se ajuste a una coleccion de

fragmentos de la misma[16].

Sin embargo, la implementacion de esta nueva ciencia ha hecho posible que se

estudien tratamientos contra el cancer que podrıan ayudar a mejorar la calidad de

vida de los pacientes reduciendo los efectos secundarios o realizando tratamientos que

esten mejor dirigidos hacia objetivos especıficos. Tal es el caso de las inmunoterapias,

que tienen como fundamento utilizar el propio sistema inmune para luchar contra el

cancer.

En este trabajo abordamos la terapia con celulas T-CAR cuando es aplicada

para contrarestar la leucemia linfoblastica aguda de tipo B que sufre una persona

que fue reclutada para un ensayo clınico donde se experimentaban los resultados con

la terapia misma. Para esto construımos un modelo matematico con un sistema de

ecuaciones diferenciales ordinarias con el objetivo de estudiar la interaccion entre las

celulas T-CAR y las celulas cancerosas, con el fin de comprobar que la terapia puede

reducir la cantidad de celulas cancerosas. Para esto fue necesario indagar sobre el

tipo de modelos de crecimiento utilizados para este tipo de tratamientos. Para esto

fue necesario realizar una busqueda exahustiva de modelos previos que tuvieran

el objetivo de simular el comportamiento entre las celulas T-CAR y la leucemia

linfoblastica aguda de tipo B.

A continuacion presentamos un breve de resumen de los artıculos que nos fueron

de utilidad para construir el modelo, ademas de que este esfuerzo por recopilar mo-

delos nos ayudo a saber si existıan trabajos previos acerca del tema escogido para

este trabajo.


En el artıculo A mathematical model of tumor-immune interactions de Robertson-

Tessi et al [17] desarrolla un modelo matematico donde integra mecanismos prima-

rios de supresion involucrados en la respuesta de las celulas T, ademas cuantifica

la importancia de los diferentes efectos supresivos de las etapas de crecimiento de

los tumores. Obtuvieron que la interlucina 10 (IL-10) tiene el efecto supresor menos

significativo, aunque los tumores que producen valores altos de IL-10 pueden exhibir

diferentes dinamicas. Para este modelo hicieron uso de celulas T auxiliares, regula-

doras y citotoxicas, ademas de celulas dendrıticas y algunas interlucinas, pero no se

enfocaron en simular una inmunoterapia.

En el caso de R.A. Ramos et al. [18] realiza un modelo matematico a nivel me-

soscopico donde describen y se estudian los linfocitos en tres casos, cuando se tiene un

sistema inmune activo representada por los linfocitos T citotoxicos, implementando

una terapia inmunologica y la regla del bloqueo L4. En el caso de la inmunoterapia

no especifican cual terapia estan utilizando, los resultados mas sobresalientes de este

trabajo soportan el uso de la inmunoterapia donde los linfocitos T citotoxicos esti-

mulados se dirigen a las celulas cancerosas para inhibir la motilidad y promover la

lisis celular.

Otro de los modelos que tambien utiliza celulas T citotoxicas activadas es el de

Khaphetsi Joseph Mahasa [19], sin embargo en este artıculo tambien incluyen a las

celulas NK y como ambas combaten a las celulas tumorales. El modelo esta formado

por ecuaciones diferenciales ordinarias que describen los encuentros con los linfocitos

y la poblacion de celulas tumorales. La aportacion mas importante de este trabajo

es que apoya la inmunoterapia a base de celulas NK, es decir, ellos sugieren que

deberıan infiltrarse celulas NK para aumentar la inmunoresistencia.

Otro de los trabajos que realiza un modelo matematico con ecuaciones diferencia-

les ordinarias es el de Denise Kirschner y John Carl Panetta [20], en el cual se describe

la dinamica entre las celulas tumorales, las celulas efectoras del sistema inmune y la

interlucina 2 (IL-2). En su trabajo resalta la importancia de la IL-2 debido a que

esta le da un impulso al sistema inmune, ya que las celulas CD4+ utilizan esta como

estimulacion para otros linfocitos ası como para el crecimiento y la diferenciacion

de estos. Tambien adaptan el modelo a diferentes inmunoterapias, pero estas estan

enfocadas principalmente en la administracion de citocinas que ayudan al sistema


inmune, como el caso de IL-2 y que su efecto radica en impulsar a las celulas T.

Lisette G. de Pillis et. al [21] realizaron un modelo matematico que describe las

interacciones de las celulas del sistema inmune con las celulas tumorales mediante

un sistema de ecuaciones diferenciales. En este caso las celulas que juegan un papel

importante son las celulas NK y las celulas T CD8∗ que son en realidad linfocitos

T citotoxicos. Para construir las funciones que describen las interacciones entre las

celulas de la respuesta inmune y los tumores, el crecimiento tumoral, las tasas de

interaccion y las variables fue necesario utilizar el metodo de mınimos cuadrados y

un solucionador numerico de ecuaciones diferenciales. A pesar de que no modelaron

ninguna inmunoterapia las simulaciones computacionales realzan la importancia de

utilizar las celulas CD8+ para combatir el cancer.

Aunque muchos de estos trabajos se enfocan en realizar modelos matematicos

con ecuaciones diferenciales y utilizan como variables a las celulas T, muchos de

estos no modelan una terapia en especıfico y tampoco se enfocan en un cancer en

especial. Sin embargo encontramos el caso de Helen Moore y Natasha K. Li [22]

con su trabajo titulado A mathematical model for chronic myelogenous leukemia

(CML) and T cell interaction. En este caso, la leucemia mieloide cronica (LMC) es

un tipo especıfico de cancer, y se acerca bastante a la leucemia que se trata en este

trabajo, con dos diferencias que se pueden notar, que las celulas tumorales en el caso

de Moore son las mieloides y que ademas el proceso de la enfermedad es cronico,

es decir el cancer se va desarrollando de forma lenta. Afortunadamente, Moore y Li

tambien hacen uso de celulas T, ellas no hacen distincion entre celulas T auxiliares

(CD4+) y celulas T citotoxicas (CD8+), y ponen en la misma bolsa a las celulas, la

unica distincion que hacen es que hay dos poblaciones de celulas T unas son naive y

las otras son celulas T efectoras, mientras que las celulas cancerosas son de (LMC).

Las autoras de este artıculo tambien utilizan ecuaciones diferenciales por modelar

esta dinamica, que por cierto no esta relacionada con ninguna inmunoterapia. En

realidad sus resultados estan enfocados en monitorear dos parametros para mejorar

los tratamientos contra la LMC, que son las tasas de crecimiento y muerte para la

LMC.

Como pudimos observar en el estado del arte, existen algunos modelos que explo-

ran la dinamica entre el cancer y el sistema inmune, en particular para las celulas T.


En este trabajo tambien realizamos un modelo de ecuaciones diferenciales ordinarias

que tiene como actores principales a las celulas T-CAR y las celulas de leucemia

linfoblastica aguda. En la siguiente seccion presentaremos las contribuciones de este

modelo y sus futuras implicaciones.

1.4. Contribuciones

El modelo presentado en este trabajo explora la dinamica entre la terapia con

celulas T-CAR y las celulas de leucemia linfoblastica aguda de tipo B. Las celulas T-

CAR en realidad son celulas T autologas modificadas in-vitro (como sera explicado

en el siguiente capıtulo) las cuales tienen la caracterıstica de identificar el marcador

CD19 producido por las celulas de LLA-B.

Una de las caracterısticas que comparten en comun todos los modelos mencio-

nados en el estado del arte es que utilizan como herramienta de modelacion a las

ecuaciones diferenciales. Ademas, las celulas T son recurrentes en estos trabajos de-

bido a que son parte fundamental del sistema inmune. Sin embargo, la mayorıa de los

artıculos modelan como el sistema inmune es capaz de combatir a las celulas tumo-

rales, aunque mencionan que es necesario un impulso por parte de agentes externos,

como pueden ser las celulas NK o T, o incluso sugieren inmunoterapias a base de

citocinas.

A diferencia de los trabajos presentados en la seccion anterior el modelo de esta

tesis esta construıdo con el proposito de alcanzar objetivos mas especıficos, pues trata

de simular la dinamica entre la terapia con T-CAR y celulas de LLA-B. A partir del

analisis de los modelos y de sus resultados se puede concluir que el modelo aquı

presentado es unico en el ambito de la modelacion de inmunoterapias, acontinuacion

enlistasmos algunos aportes que este trabajo.

Es el primer modelo enfocado en emular la terapia con celulas T-CAR.

Es el primer modelo matematico construıdo a base de ecuaciones diferenciales

ordinarias que explora la relacion entre el sistema inmune y especifıcamente la

leucemia linfoblastica aguda de tipo B.

El modelo esta enfocado en tratar de reproducir la interaccion de la inmuno-


terapia cuando se combate a las celulas de LLA-B, para esto realizamos una

comparacion con los resultados obtenidos del paciente en el ensayo clınico.

A pesar de que se descartaron muchos actores del sistema inmune (como las

celulas dendrıticas, celulas NK, macrofagos y otras citocinas) se logro alcanzar

resultados cercanos a los que se obtuvieron en el paciente durante el ensa-

yo clınico, a partir de modelar utilizando tres poblaciones especıficas, celulas

CD4+, CD8+ y cancerosas.

Los resultados estan dados en terminos de las concentraciones de celulas, es

decir, se midio la efectividad de la terapia a traves de la cantidad final de celulas

T-CAR en un perıodo de 28 dıas. Esto se debe a que existen evidencias sobre

la efectividad de la terapia relacionadas con la persistencia y expansion de la

poblacion de celulas en el cuerpo de los pacientes. En este trabajo el modelo

aporta resultados cercanos a los que obtenidos mediante la experimentacion en

seres vivos ademas de que se muestra la efectividad de la terapia en el paciente

mediante las graficas, pues en estas se aprecia como la poblacion sigue creciendo

despues de los 28 dıas.

Capıtulo 2

Marco Teorico

2.1. Cancer

El cancer es un grupo de enfermedades caracterizadas por un crecimiento des-

controlado de celulas anormales. El cancer puede comenzar en cualquier parte del

cuerpo, las celulas crecen y se dividen para formar nuevas celulas cuando el cuerpo

las necesita, como cuando estas envejecen o se danan, tienen que morir para ser reem-

plazadas por celulas nuevas. Sin embargo, cuando el cancer comienza a desarrollarse,

este proceso es descontinuado, las celulas pasan a ser anormales por lo que las celulas

viejas y danadas sobreviven, dividiendose sin parar mientras crecen en poblacion y

forman los tumores [23]. Muchos tipos de cancer forman tumores solidos, los cuales

son masas dentro de los tejidos, mientras que algunos canceres de la sangre como la

leucemia no se encuentran en forma solida.

Las razones por las cuales algunos canceres se desarrollan aun permanecen des-

conocidas, particularmente para los que son adquiridos durante la ninez [24].

Cuando el cancer se esparce a otros sitios distintos del cuerpo a donde comenzo,

es de tipo metastatico, mientras que al proceso por el cual el cancer se esparce a

otros organos o tejidos se le conoce como metastasis. Este tipo de cancer tiene el

mismo nombre y el mismo tipo de celulas que el cancer original, es decir, si el cancer

es de mama y se esparce para formar un tumor metastasico en el pulmon, es cancer

metastasico de mama y no de pulmon [23].

20

Capıtulo 2. Marco Teorico 21

2.1.1. Leucemia

La leucemia engloba los diferentes tipos de cancer de las celulas sanguıneas, estas

se pueden clasificar por el tipo de celula sanguınea que se vuelve cancerosa y si se

desarrolla de forma rapida o lentamente. La leucemia ocurre comunmente en adultos

mayores de 55 anos, sin embargo tambien es el cancer mas comun entre los ninos y

los adolescentes menores de 15 anos [25].

La leucemia se presenta en la sangre y la medula osea, las celulas madre san-

guıneas (celulas inmaduras) nacen en la medula osea y se convierten en celulas san-

guıneas de dos tipos: mieloides o linfoides. En la Fig. 2.1 se presenta un esquema

donde podemos ver una celula madre sanguınea, esta se convierte en una celula madre

mieloide, que a su vez puede convertirse en globulos rojos, plaquetas o granulocitos;

mientras que la celula madre sanguınea puede tambien pasar a ser una celula madre

linfoide, luego esta se puede convertir en un linfocito T, linfocito B o una celula NK

(Natural Killer por sus siglas en ingles) [25].

Figura 2.1: Desarrollo de una celula sanguınea [1].

Como habıamos mencionado antes, la leucemia tambien se clasifica por el tiempo

en el que tarde en desarrollarse, es decir, la leucemia puede ser aguda o cronica. Una

leucemia aguda se desarrolla de manera rapida y abrupta, mientras que la leucemia

cronica se desarrolla de forma lenta, ademas, es mas comun en los adultos.

Entonces, las leucemias se clasifican como mieloides y linfoides, ademas ambas

pueden desarrollarse de forma aguda o cronica, algunos tipos de leucemia son:


Leucemia linfoblastica aguda

Leucemia mieloide aguda

Leucemia linfoblastica cronica

Leucemia mieloide cronica

Las anteriores son las leucemias mas comunes, sin embargo tambien existen otros

tipos como el linfoma de Hodgkin, el linfoma de no-Hodgkin y el mieloma multiple.

2.1.2. Leucemia Linfoblastica Aguda (LLA)

Las celulas madre sanguıneas crecen y se dividen para hacer nuevas celulas como

los globulos rojos, globulos blancos y plaquetas segun el cuerpo las requiera. Cuando

las celulas envejecen o se danan, estas estan programadas para morir y ser reempla-

zadas por nuevas celulas, sin embargo en el caso de la LLA, se crean demasiados

linfocitos, habiendo un exceso de estos.

Una causa por la que los linfocitos se vuelven celulas cancerosas es debido a las

mutaciones, es decir, los cambios en los genes. Dentro de las celulas existen ins-

trucciones codificadas para construir nuevas celulas y controlar su comportamiento.

Podemos definir a estas instrucciones como los genes. Los genes son parte del ADN,

el cual esta conformado de pequenas cadenas a las cuales se les conoce como cromo-

somas. Los cambios en los genes, osea, las mutaciones, son las causantes de que los

linfoblastos se vuelvan celulas cancerıgenas [26, 27].

Los tipos principales de linfocitos son los B y T, estos tienen funciones como crear

anticuerpos para defenderse de los patogenos que invaden el cuerpo, alertar a otras

celulas de la presencia de estos organismos y eliminarlos, respectivamente.

Para el caso de la LLA, tenemos un cancer que se desarrolla con rapidez y las

celulas cancerosas son los linfocitos, el tipo mas comun de LLA es el de celulas B. Los

linfocitos B que son considerados como las celulas malignas, presentan principalmente

en su superficie una proteına conocida como CD19, esto ocurre para la mayorıa de

los casos. Tambien se pueden presentar otras proteınas en la superfecie de las celulas

malignas como CD20, CD22 y ROR1.


2.2. Sistema Inmune

El conjunto de celulas y moleculas que se encargan de proteger y hacer frente a

una enfermedad, especialmente infecciosa se le conoce como sistema inmune. La res-

puesta inmune es una respuesta global, que se lleva acabo cuando entra un organismo

externo a nuestro cuerpo.

Los seres humanos tenemos distintos mecanismos de defensa, dentro del sistema

inmune podemos encontrar dos tipos de mecanismos: la respuesta inmune innata

y la respuesta inmune adaptativa. La respuesta inmune innata se compone de tres

lıneas de defensa, la primera es una barrera fısica (como la piel, unas, fluidos, etc.),

la segunda son las proteınas sanguıneas que actuan como agentes de la inflamacion y

la ultima lınea son las celulas fagocitas y algunos leucocitos. En cambio la respuesta

inmune adaptativa actua frente a la exposicion de agentes infecciosos externos y cuya

capacidad para defender al cuerpo evoluciona segun la exposicion a estos patogenos,

en la Fig. 2.2 mostramos un esquema donde aparecen los actores principales de cada

tipo de respuesta.

Figura 2.2: Respuesta Innata y Adaptativa [2]

2.2.1. Respuesta Inmune Adaptativa

Algunas caracterısticas de la respuesta inmune adaptativa son: la especificidad

que tiene para reconocer algunas moleculas; su especializacion para responder a dis-

tintos tipos de patogenos de forma singular; y su capacidad de memoria y respuesta

reforzada ante la exposicion repetida de un microorganismo [2]. La respuesta adap-

tativa se desarrolla frente a la presencia de una infeccion y existen dos tipos de


respuesta:

Respuesta humoral

Respuesta mediada por celulas

En la respuesta humoral participan moleculas de la sangre que son las encargadas

de eliminar a los patogenos, se les conoce como anticuerpos y son secretadas por los

linfocitos B atraves de plasma o suero.

Para la respuesta mediada por celulas tenemos que los principales actores son los

linfocitos T. Existen dos tipos de linfocitos T, las celulas T auxiliares (Th) y las celulas

T citotoxicas (Tc). Cada una tiene funciones distintas, las celulas Th se encargan de

hacerles saber a otras celulas del sistema inmune que estan bajo el ataque de una

infeccion o de cualquier microorganismo externo al cuerpo, para que este proceso

ocurra la celula Th debe ser activada para que pueda dividirse en dos celulas, una

efectora y otra de memoria, la celula efectora acciona la alarma, mientras que la

celula de memoria se queda en el cuerpo y estara presente en el cuerpo por algun

tiempo en caso de que el microorganismo o la infeccion vuelva a aparecer. Las celulas

Th se encargan de eliminar a los invasores, o incluso a las celuas defectuosas (como las

cancerıgenas) mediante la secrecion de ciertas moleculas que perforan la superficie

celular del objetivo, una vez abierta la pared celular se liberan unas proteınas las

cuales le indicaran a la celula danada que se autodestruya. Al igual que las Th, las

celulas Tc al ser activadas se dividen en dos, las efectoras y de memoria, una se

encarga del proceso de destruccion y la de memoria se queda en el cuerpo por un

tiempo para combatir de nuevo si es que se vuelve a presentar la amenaza. En la Fig.

2.3 se presenta un esquema general de la respuesta inmune adaptativa, mientras que

en la Fig. 2.4 se detallan las funciones mas importantes de los linfocitos B y T.


Figura 2.3: Tipos de Respuesta Adaptativa [2].


Figura 2.4: Tipos de Linfocitos [2].

2.3. Terapias Inmulogicas

Las inmunoterapias son tratamientos que utilizan el propio sistema inmunologico

para combatir las celulas cancerıgenas, estas terapias son un buen comienzo para

lograr alcanzar una cura y no solo buscar que se prolongue el tiempo de vida del

paciente. Si tomamos en cuenta las terapias mas comunes para tratar el cancer

como las quimioterapias, radioterapias, transplantes, etc., ninguna de las anteriores

garantiza una cura absoluta para el cancer, a excepcion de la cirugıa, ya que esta

remueve los tumores antes de que se propaguen, sin embargo no siempre se puede

recurrir a esta. Mientras tanto, las inmunoterapias abren una nueva ventana de

oportunidades para tratar canceres que antes era imposible tratar, ademas existe la

posibilidad de prolongar la vida de los pacientes [11].

Las inmunoterapias usadas para combatir el cancer pueden ayudar al sistema in-

munologico directamente a atacar a las celulas malignas o pueden estimularlo en una

forma mas general. Algunos tipos de inmunoterapia que ayudan al sistema inmune

a actuar directamente son [28]:


Inhibidores de puntos de control

Transferencia de celulas adaptativas

Anticuerpos monoclonicos

Vacunas

Y las terapias que mejoran las respuesta inmune del cuerpo para pelear contra el

cancer son [28]:

Citocinas

BCG (Bacillus Calmette-Guerin)

Las celulas cancerıgenas se pueden ocultar del sistema inmune, algunas de las inmu-

noterapias ya mencionadas tienen el objetivo de marcar a las celulas cancerıgenas

para que le sea mas facil al sistema inmune localizarlas y destruirlas. Otras terapias

estimulan al sistema inmune para que trabaje mejor contra el cancer. Ademas, las

inmunoterapias tienen efectos secundarios menos graves a los que se presentan en la

implementacion de otras terapias.

2.3.1. Terapia con Celulas T-CAR

La terapia con celulas T-CAR se basa en la idea de que las propias celulas T de

un paciente pueden ser modificadas geneticamente para que su objetivo sea identifi-

car ciertos antıgenos expresados por las celulas tumorosas mediante la introduccion

de un gen CAR (receptor de antıgeno quimerico), de esta forma la celula tiene la

habilidad de detectar y destruir a las celulas malignas combinando la especificidad

de un anticuerpo monoclonal con las capacidades citotoxicas y de memoria de las

celulas T endogenas [29, 3].

La premisa general para el uso de las celulas T-CAR en las inmunoterpias se debe

a la rapida generacion de celulas T que evitan ciertos retrasos y aceleran la inmu-

nizacion activa. Una vez expresadas las celulas T-CAR modificadas, estas adquieren

propiedades supra-fisiologicas y actuan como ”drogas vivas”que pueden provocar

efectos a corto o largo plazo [30].

Algunos aspectos a destacar de la terapia con celulas T-CAR son:


Esta terapia obliga a isolar las celulas T del propio paciente, para que le sea

transferido el gen CAR y se pueda expandir la poblacion de celulas modificadas,

para luego ser infusionadas de vuelta en el paciente.

Las CARs que han sido utilizadas en dos terapias ya aprobadas y en los ensayos

clınicos mas avanzados son utilizadas para encontrar la CD19, esta proteına es

expresada en la superficie de la mayorıa de las celulas B, incluyendo las celulas

B malignas.

Antes de la infusion de las celulas T-CAR es necesario hacer una quimioterapia

”precondicionadora”para reducir los linfocitos endogenos.

El grado de la expansion de las celulas T-CAR es un indicador de la eficacia

de la terapia.

La terapia esta asociado con efectos secundarios que pueden llegar a ser se-

veros, como el sındrome de liberacion de citocinas, neurotoxicidad, sındrome

de activacion de macrofagos y aplasia de celulas B, e incluso se han llegado a

reportar muertes [3].

¿Como se manufactura un Receptor de Antıgeno Quimerico (CAR)?

Para que las celulas T citotoxicas puedan eliminar a las celulas cancerıgenas es ne-

cesario que estas puedan reconocerlas como peligrosas, para esto primero deben ser

activadas, deben proliferar y por ultimo acabaran con sus objetivos. Para esto son

necesarios los CARs son receptores de la superficie de la celula que estan geneti-

camente modifcados, y equipan a las celulas T del paciente con la habilidad para

reconocer y unirse a los antıgenos (proteınas que estan en la superficie de las celulas)

que se encuentran en las celulas tumorales.

Los CARs consisten en un dominio extracelular que es capaz de unirse al antıgeno

de un tumor, fusionado a un dominio de senalizacin derivado en parte del receptor

de celulas T (TCR por sus siglas en ingles). En la Fig. 2.5 se presenta la estructura

del CAR, esta divido en dos partes: la intracelular y la extracelular. En la parte

extracelular se encuentra el dominio de reconocimiento de tumor-antıgeno (scFv)

el cual consiste en un fragmento de un anticuerpo monoclonal especıfico para el

objetivo deseado, i.e. presenta una parte (proteına) de la celula cancerıgena para


que pueda ser reconocida y atacada. Para la parte intracelular tenemos un dominio

de senalizacion que esta compuesto por una porcion del dominio de senalizacion del

receptor de celulas T (TCR) endogeno (CD3z) y un dominio coestimulador (CD28, 4-

1BB, y OX40). El CAR es activado cuando el dominio extracelular se une al antıgeno

del tumor, esto resulta en la activacion de las celulas T citotoxicas y termina en la

destruccion de las celulas tumorales [3].

Figura 2.5: Estructura de un Receptor de Antıgeno Quimerico (CAR) [3].

La terapia con celulas T-CAR tiene varios pasos, en la Fig. 2.6 se muestra un es-

quema que visualiza los pasos de forma mas simplificada, sin embargo, a continuacion

se explican estos pasos para una mayor compresion del esquema.

1. Los pacientes que se someten a la terapia con celulas T-CAR primero deben

ser evaluados para determinar que la terapia es segura y apropiada. Ademas, se

debe comprobar que los tumores sean positivos para los objetivos de los CAR

(la proteına CD19, por ejemplo).


2. Una vez aprobada la terapia se puede entrar en un tratamiento que aumenta

el numero de celulas T funcionales, para despues ser recolectadas.

3. Se recoge la sangre de los pacientes y se le hace una leucaferesis, es decir, se

aislan las celulas T del resto de la sangre.

4. Las celulas T son activadas mediante un virus desarmado y se dejan crecer in

vitro.

5. El gen CAR es introducido en las celulas T in vitro activadas.

6. Ahora que ya son celulas T-CAR se dejan expandir in vitro.

7. El paciente recibe una terapia precondicionadora para reducir los linfocitos

endogenos, ası se permite el injerto y expansion de las celulas T-CAR.

8. Las celulas T-CAR son infusionadas de nueva cuenta en el paciente, estas

celulas alcanzaran una poblacion considerable dos semanas despues de haber

sido infusionadas (aproximadamente, el tiempo puede variar).

Hay que recordar que el grado de expansion y persistencia de las celulas T-CAR son

prueba de la eficacia de esta terapia [3].


Figura 2.6: Proceso de la Terapia con celulas T-CAR [3].

2.3.2. Proceso de la terapia con celulas T-CAR

A continuacion se presenta la tabla 2.1 con los marcadores mas sobresalientes

para la terapia con celulas T-CAR:


Marcadores Procedencia Objetivos y funciones fisiologicas

IFN-γ Celulas NK, celulas Th1 y T

citotoxicas

Macrofagos: activacion

Celulas T: diferenciacion de la Th1

Celulas B: isotipo cambiando a opsoni-

zacion

Varias celulas: incrementa la expresion

del MHC

y el procesamiento de antıgenos a las

celulas T

TNF-α Macrofagos, celulas NK y T Celulas endoteliales: activacion (infla-

macion)

Neutrofilos y macrofagos: estimula la

actividad microbicida

Hıgado: sıntesis de la fase aguda de pro-

teınas

IL-2 Producido normalmente por

los linfocitos T CD4+T

Celulas T: proliferacion y diferencia-

cion en celulas T de memoria y efec-

toras

Celulas NK: proliferacion y diferencia-

cion

Celulas B: proliferacion y sıntesis de an-

ticuerpos

IL-6 Celulas T, monocitos, Aumenta la respuesta inmune

macrofagos, fibroblastos y

celulas endoteliales

Celulas B: proliferacion de celulas pro-

ductoras de anticuerpos

Neutrofilos: estimulan la produccion

desde la medula osea

Hıgado: sıntesis de proteınas de fase

aguda

IL-10 Monocitos, macrofagos,

celulas B, mastocitos, TH2

y celulas T regulatorias

Macrofagos y celulas dendrıticas: inhi-

be la produccion de IL-12 y la expresion

de coestimuladores y moleculas MHC

de clase II

IL-12 Macrofagos y celulas Celulas T: diferenciacion de TH1

dendrıticas Celulas NK y celulas T: sıntesis del

IFN-γ, incrementa la toxicidad

Cuadro 2.1: Origen y funciones de las citocinas involucradas en la terapia con celulasT-CAR [2, 5]


En la figura 2.7 podemos observar que existen una gran variedad de celulas como

macrofagos, celulas dendrıticas, linfocitos, lo mismo sucede con las citocinas expre-

sadas durante el proceso por esta misma variedad de celulas.


Figura 2.7: Proceso de la Terapia con celulas T-CAR a nivel celular [3].


2.4. Modelacion Matematica

La modelacion matematica es el proceso de construccion de objetos matematicos

cuyos comportamientos o propiedades corresponden en alguna forma a un sistema

en particular del mundo real. El objeto matematico puede ser en cuestion un sistema

de ecuaciones, un proceso estocastico, una estructura geometrica o algebraica, un

algoritmo, etc.

La modelacion esta integrada en la resolucion de problemas fısicos e ingenieriles

que estan inmersos en nuestra vida diaria, sin embargo, el rol de las matematicas en

la generacion de soluciones a problemas biologicos como el desarrollo y crecimiento

de tumores solidos es poco conocido [31]. La biologıa matematica habita entre

la frontera de las matematicas aplicadas-computacionales y la biologıa. Estos dos

campos cientıficos se han desarrollado de forma independiente aportando grandes

avances tecnologicos por su cuenta; no obstante, la union de estas dos disciplinas

marcan el inicio de un nueva rama de la ciencia la cual ofrece una solucion a una

cantidad enorme de problemas biologicos. Muchos de estos problemas pueden ser no

lineales y puede llegar a significar un desafıo para las matematicas aplicadas ası como

tambien para la computacion. Por otra parte, la biologıa se puede beneficiar de las

matematicas y la computacion por medio de la recoleccion de datos y el analisis de

los modelos matematicos que nos permitirıan formalizar las causas y efectos de los

procesos biologicos [32, 13].

Para crear este vınculo entre ambas disciplinas son necesarios los modelos ma-

tematicos, los cuales describen las interacciones entre los componentes biologicos.

El analisis del modelo mediante la computacion y los metodos de las matematicas

aplicadas nos permiten deducir las consecuencias de las interacciones biologicas [32].

Para realizar un modelo es necesario seguir una serie de pasos los cuales se pueden

dividir en tres etapas [33]:

Formulacion

Manipulacion matematica

Evaluacion

Para obtener un modelo matematico exitoso se requieren herramientas matemati-


cas para modelar, como pueden ser los modelos discretos, modelos continuos, modelos

estocasticos y tecnicas de estimacion de parametros.

El numero de opciones presentadas anteriormente dan como resultado diferentes

tipos de modelos como los siguientes [32]:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: Las EDOs son utilizadas para describir la

evolucion de una poblacion en un perıodo continuo de tiempo.

Ecuaciones diferenciales parciales: A diferencia de las EDOs, las EDP son uti-

lizadas cuando existe mas de una variable independiente, un ejemplo puede ser

el espacio y el tiempo. Sin embargo, de forma historica las EDP estocasticas

son utilizadas principalmente en el concepto fısica estadıstica.

Procesos estocasticos: Los procesos estocasticos y las cadenas de Markov son

clases de modelos completamente estocasticos. Son muy utiles para poblaciones

pequenas.

Automatas celulares: Los automatas celulares son modelos discretos utilizados

en la modelacion de sistemas dinamicos. Estan compuestos por un conjunto de

celdas que adquieren distintos estados o valores, estos a su vez son alterados

de un instante a otro en unidades de tiempo discreto.

La seleccion del tipo de modelo y las herramientas con las que se desean trabajar de-

pende de las preguntas que se quieran responder, los datos que se tengan disponibles

y el proposito del modelo [13].

2.5. Modelos de crecimiento

Cuando se estudian los crecimientos de distintos organismos vivos por medio

de la biologıa y la experimentacion se pueden llegar a recabar muchos datos, estos

son estructurados en modelos estadısticos representados por parametros con el fin

de obtener un buen ajuste de los mismos, es decir, que al resolver el sistema de

ecuaciones las soluciones deben mostrar las caracterısticas del crecimiento. Cuando

se estudia este tipo de fenomenos uno de los objetivos es conocer el incremento del

numero de individuos a traves del tiempo, para esto es importante conocer la tasa


de natalidad y mortalidad, ası como el numero de individuos del que se conforma la

poblacion antes de comenzar a estudiarla [34].

Los biologos estudian modelos de crecimiento como el de Gumpertz, Richards,

logıstico, Brody, Bertalanffy y Monod, debido a que tienen un sentido biologico y

ademas su construccion se hizo a partir de tomar consideraciones sobre el crecimien-

to. A continuacion se explica el modelo logıstico y como esta construıdo ya que lo

utilizamos para construir el modelo de este trabajo.

Apesar de que la dinamica de Michaelis-Menten no es un modelo como tal, el

termino es utilizado en las ecuaciones para dar una breve introduccion a esta parte

fundamental para la construccion del sistema de ecuaciones.

2.5.1. Modelo Logıstico

El modelo logıstico en una poblacion se puede definir mediante la ecuacion 2.1.

Donde r y K son constantes positivas. En este modelo la tasa de nacimiento per

capita es r(1−N/K), la cual depende de N. La constante K es la capacidad de carga

del medio ambiente, la cual es determinada por la disponibilidad de los recursos

dN

dt= rN(1−N/K) (2.1)

Existen dos estados estacionarios o estados de equilibrio para la ecuacion 2.1, cuando

N = 0 y N = K. Cuando N = 0 la ecuacion es inestable ya que la linearizacion

nos da como resultado dN/dt ≈ rN , de esta forma N crece exponencialmente desde

cualquier valor inicial, aunque sea pequeno. Cuando N = K la ecuacion es estable, ya

que la linearizacion sobre la misma nos da como resultado d(N−K)/dt ≈ −r(N−K)

y ası N → K cuando t→∞.

La capacidad de carga K determina el tamano de la poblacion del estado esta-

cionario estable mientras que r es una medida de la velcidad a la que se alcanza,

es decir, es una medida de la dinamica. Por lo tanto, 1/r es una escala temporal

representativa de la respuesta del modelo a cualquier cambio en la poblacion [35].


2.5.2. Michaelis-Menten

Una reaccion enzimatica involucra la reaccion del substrato, en este caso S con

una enzima E para ganar producto P y tambien a la misma enzima, es importante

recalcar que las enzimas son catalizadores.

E + S k+k− E + P

Una mejor descripcion de la reaccion enzimatica es la cinetica de Michaelis-Menten.

Se asume que el substrato S y la enzima E forman de inmediato un complejo C, que

luego decae a P y E:

E + S k1k−1 C →

k2 E + P

donde k1, K−1, y k2 son tasas constantes. Sea s = [S], e = [E], c = [C], p = [P ]. Este

proceso tambien se puede describir atraves de un sistema de ecuaciones diferenciales,

como sigue:ds

dt= −k1se+ k−1c

de

dt= −k1se+ k−1c+ k2c

dc

dt= k1se− k−1c− k2c

dp

dt= k2c

El modelo cinetico de Michaelis-Menten esta muy bien establecido para la cinetica

de las enzimas ademas de que el modelo es muy usado para la fisiologıa matematica

[32].

Capıtulo 3

Modelo

En este capıtulo presentamos el sistema de ecuaciones que conforman el modelo

matematico. Para construir el modelo matematico fue necesario utilizar datos reales

de experimentos practicados en pacientes con LLA-B, por lo que se presenta en la

seccion ensayo clınico una breve explicacion sobre como fue realizado este experimen-

to. Mas adelante se encuentra como se construyo el modelo matematico, primero se

explica como interactuan los actores principales de esta terapia las cuales son las

celulas T-CAR cuando estan ante la presencia de las celulas tumorales. Despues se

construyen las ecuaciones de las citocinas que son los biomarcadores que se esco-

gieron para este modelo matematico. Para concluir este capıtulo cerramos con el

sistema de ecuaciones que modela el comportamiento de las celulas T-CAR y las

celulas tumorales.

3.1. Ensayo clınico

Los datos principales con los que trabajamos para construir el modelo se ex-

trajeron de el artıculo [4]. El ensayo esta registrado en ClinicalTrials.gov, numero

NCT01593696. Las concentraciones de citocinas y condiciones iniciales que se utili-

zaron fueron obtenidos de la informacion recabada del paciente 11. En la figura 3.2

se pueden apreciar las concentraciones de las citocinas del paciente ya mencionado,

el cual fue parte de este ensayo clınico. El experimento conto con un aumento en la

dosis, enrolaba adultos jovenes y ninos (1 a 30 anos) con una recaıda en LLA-B o

39

Capıtulo 3. Modelo 40

tambien con linfoma no hodgkiniano. Para este ensayo fueron disenadas celulas T

autologas mediante un proceso de fabricacion de 11 dıas para expresar un CD19-CAR

que incorpora un fragmento variable de cadena unica anti-CD19 mas los dominios

de senalizacion Zeta y CD28 de TCR. Todos los pacientes recibieron fludarabina

y ciclofosfamida antes de una infusion unica de celulas T CD19-CAR. Usando un

diseno estandar 3 + 3 para establecer la dosis maxima tolerada, los pacientes reci-

bieron 1 106 celulas T transducidas con CAR por kg (dosis 1), 3 106 celulas T

transducidas con CAR por kg (dosis 2) o la totalidad CAR producto de celulas T

si no se generaron suficientes celulas para cumplir con la dosis asignada. Despues de

la fase de aumento de la dosis, se trato un cohorte de expansion a la dosis maxima

tolerada.

En el ensayo clınico participaron 21 pacientes con recaıda en LLA-B, sin embargo

solo se utilizo la informacion de un paciente, debido a que los datos proporcionados

sobre las citocinas correspondıan a dos pacientes; el 11 y el 16. En la tabla 1 de [4]

se puede apreciar que el paciente 16 sufrio CRS de nivel 4, por lo que los medicos

tuvieron que administrarle Tocilizumab y corticoesteroides, estas drogas interfieren

en la terapia ya que evitan que las citocinas puedan cumplir su funcion de senali-

zacion, es por esto que solo se tomo en cuenta los datos y la informacion recabada

para el paciente 11. En la tabla 3.1 se muestran las caracterısticas demograficas y

fisiologicas, ademas de algunos resultados producto de la terapia en el paciente 11.


Edad 23

Sexo M

Tratamientos previos C, R

Numero de recaıdas 1

CAR dosis ×106/kg 1

Respuesta (dıa 28) CR, MRD Neg

Grado CRS 3

Celulas T-CAR dıa 28 (×106/kg) 6.5

Blastocitos de la medula osea

Pre-tratamiento 84 %

Post-CAR < 0,01 %

Cuadro 3.1: Caracterısticas demograficas, respuesta y toxicidad del paciente 11. M:masculino, C: quimioterapia, R: radioterapia, CR: respuesta completa, MRD Neg:negativo para enfermedad residual mınima [4].

3.2. Modelo matematico

En la figura 3.1 se encuentra la representacion de como interactuan las tres po-

blaciones de celulas que se utilizaron para este modelo junto con las interlucinas. Se

observa que las celulas TH expresan IL-2 que tiene como objetivo las TC para que

estas se diferencien y su poblacion crezca, al mismo tiempo, las celulas tumorales

C estan produciendo IL-10 para inhibir la produccion de celulas TH y en general

para impedir la respuesta inmune. Despues de hacer este analis con los componentes

biologicos que interactuan en la terapia se procede a modelar el sistema de ecuacio-

nes.


Figura 3.1: Interaccion entre las celulas TH , TC y C.

3.2.1. Ecuaciones para las citocinas

Para comenzar se escogieron a las poblaciones celulares ademas de los marcadores

biologicos, en la tabla 2.1 se puede observar que en la terapia intervienen distintas

citocinas, sin embargo en la elaboracion del modelo se integraron dos de estas: in-

terlucina 2 (IL-2) e interlucina 10 (IL-10). En la figura 3.2 tenemos una grafica en la

que aparecen las concentraciones de diferentes citocinas respecto al tiempo, en este

trabajo y para la modelacion decidimos utilizar la IL-2 debido a que diversas eviden-

cias sugieren que la inmunoterapia con esta citocina puede aumentar la respuesta del

sistema inmune para combatir los tumores, las celulas T CD4+ (celulas T de tipo

auxiliar), ademas de que orquestan la respuesta inmune utilizando estas citocinas

como mecanismos de senalizacion para la estimulacion de la respuesta inmune, el

crecimiento y la diferenciacion de los linfocitos [20, 17], es decir, si nuestro objetivo

es que la celulas T citotoxicas CAR crezcan y se diferencien para que puedan bus-

car a las celulas cancerıgenas que presentan el antıgeno CD19 en su superficie, es

necesario la secrecion de IL-2 por parte de las celulas T auxiliares para contribuir al

crecimiento de la poblacion de celulas TC .

Para la IL-10 tomamos en cuenta que el cancer a tratar es una leucemia lin-

foblastica aguda de tipo B (LLA-B), como ya lo habıamos mencionado en el capıtulo

2 en la seccion de leucemia, las celulas cancerosas en este caso son los linfocitos B.


En este caso debemos tomar en cuenta las citocinas que secretan este tipo de lin-

focitos cuando son cancerosos. En analisis recientes a celulas cancerosas obtenidas

de pacientes jovenes (ninos y adolescentes) con LLA-B se encontraron expresadas

diferentes citocinas y sus receptores como interlucina 7 (IL-7), interlucina 10 (IL-

10), interlucina 12 (IL-12), interlucina 15 (IL-15), interlucina 18 (IL-18), interferon

gamma (IFN-γ) y factor de crecimiento transformante beta (TGF-β), sin embargo

la expresion de IL-10, IFN-γ, IL-15Ra fue significativamente mayor en LLA-B [36].

A pesar de que la produccion del IFN-γ tambien es signifitiva por parte de las

celulas cancerosas a tratar y tambien tenemos la curva de concentracion de la misma

en la figura 3.2 se decidio no agregar a esta citocina dentro de nuestras variables

del sistema ya que como se puede observar en la tabla 2.1 tenemos que el IFN-γ es

secretado por las celulas T, por lo que la curva de concentracion que aparece en la

grafica es la suma de las concentraciones secretadas por distintas celulas, no solo por

las celulas cancerosas. No es posible rastrear el origen de las citocinas respecto a las

celulas que las producen, ya que como se puede apreciar en la figura 2.7 diferentes

celulas pueden producir una misma citocina o incluso mas.

De igual manera, tomamos en cuenta la interlucina 6 (IL-6), sin embargo esta es

producida por celulas T y otros macrofagos, ademas la IL-6 juega un papel muy

importante en el sındrome severo de liberacion de citocinas (CRS) el cual es conse-

cuencia de la aplicacion de la terapia misma [37, 38, 39] y si intentaramos integrar

esta interlucina tendrıamos que enfrentarnos a un problema mas complicado que es

la modelacion de la citotoxicidad como consecuencia de la interaccion de las celulas.

Para incluir las citocinas en el modelo se tomo en cuenta la forma que tienen las

concentraciones en la grafica de la figura 3.2 y con ayuda del software OriginLab R©

se realizo un ajuste a los datos obtenidos de la grafica a una exponencial. Para

obtener las ecuaciones 3.1 y 3.2 por medio de el ajuste, se introdujeron los datos

experimentales de la IL-2 e IL-10 que aparecen en la grafica 3.2 en OriginLab, se

graficaron estos puntos y a partir de las curvas se hizo el ajuste, de forma que

se obtuvieron las ecuaciones 3.1 y 3.2, donde I20 e I100 son los valores asıntoticos

para I2(t) e I10(t) respectivamente, mientras que A2 y A son las amplitudes de las

exponenciales.


Figura 3.2: Crecimiento de las citocinas respecto al tiempo [4].


Los valores de todas las constantes incluyendo las ya mencionadas se encuen-

tran en la tabla 3.2, los cuales son proporcionados por OriginLab despues de haber

realizado el ajuste, ademas en la tabla aparece la columna de error estandar la cual

tambien es entregada por el software y denota el error que mide la discrepancia entre

el ajuste hecho y el conjunto de datos obtenidos del ensayo clınico.

I2(t) = I20 + A2e− 1

2

(t−xcw2

)2

(3.1)

I10(t) = I100 +A

w10

√π2

e−2

(t−ycw10

)2

(3.2)

Parametro Valor Error estandar

I20 1.41034 0.51965

xc 8.47235 0.2977

w2 1.91383 0.35447

A2 7.21831 1.03872

I100 2.64188 0.52102

yc 9.30817 0.01084

w10 1.35236 0.002583

A10 277.47002 4.29712

Cuadro 3.2: Valores para las constantes de las funciones que modelan las interlucinasobtenidas mediante el ajuste hecho en OriginLab R©.

3.2.2. Ecuaciones para las poblaciones celulares

Respecto a las poblaciones celulares decidimos tomar en cuenta a las celulas T

de ambos tipos, auxiliares y citotoxicas, ademas de las celulas cancerosas. En este

caso, las celulas T son celulas T-CAR cuyo receptor de antıgeno tiende a indentificar

al marcador CD19 que aparece expresada en la superficie de las celulas de LLA-B

[3], al igual que en la superficie de las celulas B, por lo que las celulas T-CAR estan


enfocadas en atacar a las celulas tumorosas. Las T-CAR son infundidas en la sangre

del paciente para que se diferencien y crezcan con el objetivo de acabar con la mayor

cantidad posible de celulas tumorales. Para no hacer complicadas las ecuaciones y la

notacion se describio a las celulas T-CAR auxiliares y citotoxicas simplemente como

celulas TH y TC respectivamente.

Despues de obtener las funciones de las interlucinas respecto al tiempo se cons-

truyeron las ecuaciones para las poblaciones de celulas. Para las celulas tumorosas

tenemos que la ecuacion 3.3 es el cambio de la densidad de las celulas C respecto al

tiempo, mientras que el primer termino de lado derecho es un crecimiento de tipo

logıstico, este tipo de funciones son comunmente utilizadas para modelar el creci-

miento poblacional [40, 41] en lugar de la ley de crecimiento en potencias que es

utilizada para modelar tumores solidos, ademas k es la tasa de crecimiento de las

celulas cancerosas; el segundo termino es un termino Michaelis-Menten y representa

el cambio en las poblacion de C debido al encuentro con las celulas TC , mientras que

γC es la tasa de muerte de las celulas C debido a las mismas TC . El tercer termino

es debido a la muerte natural de las celulas C y nc es la tasa de muerte natural de

las celulas C.

En la ecuacion 3.4 tenemos el cambio de TH con respecto al tiempo, del lado

derecho de la ecuacion el primer termino es la concentracion de celulas TH debido a

la infusion; el segundo termino es de crecimiento expresado mediante un Michaelis-

Menten, que relaciona el crecimiento de la poblacion con la interaccion de la IL-2 y

donde γTH es la tasa de crecimiento de TH debido a la IL-2; el tercer termino es la

muerte natural de las TH y nTH es la tasa de muerte natural de las mismas. En el

segundo termino de la ecuacion, la parte de la saturacion que esta representada por

I2 esta compuesta por la funcion de la IL-2 que esta representada en la ecuacion 3.1.

La ecuacion 3.5 determina el cambio de TC respecto al tiempo, el primer termino

de lado derecho es la cantidad que se infusiona en el paciente, el segundo termino es de

crecimiento y es parecido al de las celulas TH ya que tambien utilizamos un termino

Michaelis-Menten para representar el crecimiento de las celulas TC con respecto a

la IL-2, de igual forma que en la ecuacion anterior I2 es la funcion que representa


la concentracion de IL-2 respecto al tiempo, donde γTC es la tasa de crecimiento de

celulas TC debido a la IL-2. El tercer termino es tambien un Michaelis-Menten y

representa el cambio de la poblacion de celulas TC debido a que estas encuentran

una celula tumoral y la atacan, donde γI10 es la tasa de muerte por contacto con las

celulas tumorales, mientras que el ultimo termino representa la muerte natural de

esta poblacion celular.

dC(t)

dt= kC(t)

(1− C(t)

A

)− γCC(t)

(TC(t)

TC(t) + θC

)− nCC(t) (3.3)

dTH(t)

dt= TH0 + γTHTH(t)

(I2

I2 + θI2

)− nTHTH(t) (3.4)

dTC(t)

dt= TC0 + γTCTC(t)

(I2

I2 + θ′I2

)− γI10TC(t)

(I10

I10 + θI10

)− nTCTC(t) (3.5)

El sistema de ecuaciones 3.3-3.5 es nuestro modelo matematico de la terapia con

celulas T-CAR contra la LLA-B. En el siguiente capıtulo presentaremos los resultados

cuando este sistema es resuelto por medio de un metodo numerico.

Capıtulo 4

Simulacion y resultados

En este capıtulo presentamos los resultados obtenidos de la resolucion del modelo

mediante la implementacion del metodo numerico conocido como Runge-Kutta de

cuarto orden, como ya lo mencionamos en el capıtulo 2 este metodo es utilizado para

resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Para resolver el sistema

de ecuaciones 3.3-3.5 mediante el Runge-Kutta primero programamos el algoritmo en

MatLab R©, donde utilizamos un paso de tamano h = 0,001, ademas los parametros

que utilizamos en el sistema de ecuaciones se encuentran en la tabla 4.1, con sus

respectivos valores y referencias.

Para resolver el sistema de ecuaciones fue necesaria la obtencion de las funciones

que describıan el comportamiento de las citocinas estudiadas en el paciente 11, las

ecuaciones 3.1 y 3.2 modelan el comportamiento de la concentracion de las citocinas

que encontramos en la grafica 3.2, evaluando estas obtenemos las graficas de las

concentraciones de IL-2 e IL-10, respectivamente.

48

Capıtulo 4. Simulacion y resultados 49

0 5 10 15 20 25Tiempo[dias]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

IL-2

[pg/

ml]

IL-2

Figura 4.1: Concentracion de IL-2 contra tiempo

0 5 10 15 20 25Tiempo[dias]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

IL-1

0 [p

g/m

l]

IL-10

Figura 4.2: Concentracion de IL-10 contra tiempo

En las figuras 4.1 y 4.2 se observa el comportamiento de las citocinas que se

obtienen de la grafica proporcionada en [4], para evaluar y obtener estas graficas

utilizamos los parametros expresados en la tabla 3.2. Las funciones de estas seran


sustituıdas en el sistema de ecuaciones para que se obtenga una solucion al mismo

mediante el Runge-Kutta . Se observa que el comportamiento de ambas citocinas

obedece a las curvas respectivas presentadas en la figura 3.2, las cuales toman esta

forma debido al incremento de las citocinas en los primeros dıas de la terapia, esta es

una consecuencia directa de la infusion de las T-CAR, ya que provocan una reaccion

en cadena que hace que las celulas T-CAR, los macrofagos, celulas dendrıticas y

celulas NK comiencen a producir citocinas en grandes cantidades [4, 37, 38]. Las

condiciones iniciales con las que se evaluo el sistema son las siguientes:

C(0) = 300000celulas

µl[22]

TH = 0

TC = 0

Y en la siguiente tabla se presentan los parametros utilizados para resolver el

sistema de ecuaciones.


Parametros Valor Unidades Referencias

k 0.03 dıas−1 [22]

A 11,02×10−9 celula−1 [42]

γC 0.005 dıa−1(celulasµl

)−1[22]

θC 3.5 ngml

[17]

nC 0.2 dıa−1 [22]

TH0 650000 celulas/kg [17]

γTH 1.7×10−5 ngml

por celula por dıa [17]

θI2 0.3 ng ml−1 [17]

nTH 0.06 dıa−1 [22]

TC0 350000 celulas/kg [17]

γTC 1.7×10−5 ngml

por celula por dıa [17]

θ′I2 0.3 ng ml−1 [17]

γI10 0.005 dıa−1(celulasµl

)−1[22]

θI10 2.9 ngml

[17]

nTC 0.02 dıa−1 [42]

Cuadro 4.1: Parametros utilizados para resolver el sistema de ecuaciones.

Al resolver el sistema de ecuaciones de forma numerica, obtenemos las graficas

que aparecen en las figuras 4.3, 4.4 y 4.5 que representan las poblaciones de celulas

tumorales, celulas T-CAR auxiliares y celulas T-CAR citotoxicas, respectivamente.

En la grafica de las celulas cancerosas podemos observar que la poblacion de estas

va decayendo al pasar de los dıas. Esto es indicio de que las celulas T-CAR estan

cumpliendo su funcion, lamentablemente no pudimos encontrar una grafica con la

que se pueda comparar el comportamiento de la nuestra, sin embargo, revisando el

artıculo principal [4] observamos que en la tabla 1 del artıculo (aquı tabla 3.1) del

mismo se aprecia que los blastocitos de medula osea antes del tratamiento estan

presentes en el paciente 11 en un 84 %, despues del tratamiento T-CAR se registra

que la presencia de estos blastocitos disminuye a una cantidad menor que el 0.01 %,


esto nos indica que al disminuir la presencia de estos la terapia T-CAR esta siendo

efectiva para disminuir las celulas cancerosas [43].

Figura 4.3: Densidad de celulas cancerıgenas C contra tiempo

Las figuras 4.4 y 4.5 representan las poblaciones de celulas auxiliares y citotoxi-

cas respectivamente, ambas tienen una tendencia creciente la cual nos indica que

las celulas T-CAR se estan diferenciando y su poblacion esta creciendo, ademas se

aprecia que las celulas T-CAR crecen muy rapido en un intervalo de 28 dıas. En las

figuras se muestran resultados hasta el dıa 28 pues los protocolos del ensayo clınico

con el que comparamos nuestros resultados miden solamente durante ese tiempo ya

que es a partir de las dos primeras semanas despues de la infusion que las celulas

T-CAR alcanzan su pico mas alto de expansion [3]. Ademas, los niveles de citocinas

mas altos se dan dentro de los primeros 21 dıas, esto es esencial para el diagnostico

de el sındrome de liberacion de citocinas [38], este sındrome es causado por la gran

cantidad de citocinas que son liberadas al realizarse la infusion de celulas T-CAR

ya que comienzan una reaccion en cadena al comenzar a liberar citocinas como la

IL-2 que no solamente son absorbidas por las celulas T, sino por otros macrofagos y

celulas.


Figura 4.4: Densidad de celulas T auxiliares TH contra tiempo

En la figura 4.5 se observa la grafica de las celulas T-CAR citotoxicas, esta grafica

es imprescindible para el estudio de la terapia. El resultado mas sobresaliente de esta

figura es ver crecer a la curva de la densidad de poblacion, en la grafica se nota que

esto se cumple. Lo cual es un buen indicio de que las celulas T-CAR citotoxicas se

estan diferenciando y creciendo, y que por lo tanto hay una mayor probabilidad de

que encuentren a las celulas tumorales y las maten, esto esta comprobado gracias

a la figura 4.3 en la cual se observa la disminucion de las celulas cancerosas. Para

comprobar que los resultados que arrojan las graficas son cercanos a los encontrados

en el ensayo, se tomo la concentracion de celulas T-CAR al dıa 28 y se comparo

con los resultados del ensayo clınico del paciente 11, ası se pudo corroborar que la

poblacion de celulas T-CAR llega a expandirse a un orden de magnitud esperado,

respecto al ensayo. Se observa de las graficas que aparecen en las figuras 4.4 y 4.5 que

su poblacion al dıa 28 es alrededor de 9×106 celulaskg

para las celulas T-CAR auxiliares

y de 7.5×106 celulaskg

para las celulas T-CAR citotoxicas, mientras que en la tabla 1 de

[4] el paciente 11 al dıa 28 tenıa circulando en la sangre alrededor de 6.5 ×106 celulaskg

,

lo cual es cercano a los resultados proporcionados por el modelo, ademas hay que

tomar en cuenta que en la terapia con celulas T-CAR in vivo influyen otros tipos de

celulas y citocinas, algunas ayudan a la inhibicion del crecimiento de las celulas T,


y otras ayudan a que las celulas cancerosas puedan ocultarse. Para tener resultados

mas cercanos al ensayo clınico es necesario tomar en cuenta otro tipo de parametros,

ası como incluir mas poblaciones celulares y demas citocinas. Esto se discute en la

seccion de trabajo futuro en el capıtulo de las conclusiones.

Figura 4.5: Densidad de celulas T citotoxicas TC contra tiempo

Por otra parte, apesar de que la expansion comienza en los primeras semanas

despues de la infusion se observa de las graficas correspondientes a las celulas T-CAR

las poblaciones siguen creciendo, en la figura 4.6 se puede notar que la poblacion de

celulas T-CAR auxiliares se estabiliza alrededor del dıa 50, a partir de este tiempo

es cuando la poblacion de TH deja de crecer y se mantiene en el cuerpo del paciente.


Figura 4.6: Densidad de celulas T axuliares TH durante un ano

Lo mismo sucede para las celulas T-CAR citotoxicas. Como se aprecia en la

figura 4.7 la poblacion de celulas se estabiliza alrededor del dıa 150, despues de este

momento las celulas se quedan en la sangre del paciente.

Figura 4.7: Densidad de celulas T citotoxicas TC durante un ano


Estos efectos concuerdan con las pruebas realizadas a pacientes, ya que varios

que presentan aplasia de celulas B por mas de un ano [44, 38, 45], esto quiere decir

que la poblacion de celulas T-CAR sigue creciendo y buscando el marcador CD19

el cual tambien esta presente en las celulas B [46], al estar en la superficie de las

celulas B las celulas T-CAR tambien acaban con estas, a la ausencia de celulas se le

conoce como aplasia. Sin embargo no es del todo malo que las celulas T-CAR sigan

presentes por mas de un ano, ya que esto es ındice de la persistencia y expansion de

las mismas, esta es una caracterıstica que se utiliza para medir la efectividad de la

terapia [38]. No fue posible encontrar una grafica experimental parecida a nuestros

resultados debido a que en la practica se toman en cuenta mas factores biologicos, es

aquı donde nos enfrentamos a otro problema debido a la falta de datos experimentales

los cuales pueden ser utilizados para estimar parametros [22].

4.0.1. Condiciones iniciales y tamanos de pasos

En la seccion anterior se presentaron los resultados del modelo cuando se consi-

deraron las condiciones que se habıan utilizado durante en el ensayo clınico, como

la cantidad de celulas T-CAR que se inyecto en la primera infusion a los pacientes,

en especial al paciente 11. En esta seccion se varıan las dosis de celulas T-CAR y el

tamano de paso con el que se programo el metodo Runge-Kutta.

En la figuras 4.8-4.11 se presentan las graficas para las poblaciones de celulas T-

CAR auxiliares con un valor inicial para las dosis de 250 000 celulas, 500 000 celulas,

2 000 000 celulas y 3 000 000 celulas respectivamente.


Figura 4.8: Densidad de celulas T auxiliares TH con una dosis inicial de 250 000celulas T-CAR



Figura 4.10: Densidad de celulas T auxiliares TH con una dosis inicial de 2 000 000celulas T-CAR


A partir de las graficas anteriores y por la forma que toman los crecimientos se

puede observar como las poblaciones de celulas T-CAR auxiliares van a crecer de


manera exponencial, es decir, que el crecimiento no depende de la dosis inicial con

la que se lleve a cabo el tratamiento. En realidad la dosis influye en la poblacion

maxima que se puede alcanzar dependiendo de la cantidad inicial de celulas que se

introduzcan, por ejemplo, la figura 4.8 muestra que el crecimiento de la poblacion

de T-CAR auxiliares llego a 2.28×106 celulaskg

al dıa 28 cuando se considero una dosis

inicial de 250 000 celulas, mientras que si comparamos con la figura 4.11 donde la

dosis inicial es de 3 000 000 de celulas se tiene que al dıa 28 la poblacion se expande

hasta 2.56×107 celulaskg

. Para las figuras 4.9 y 4.10 tenemos que al dıa 28 se alcanzo una

poblacion de 4.6×106 celulaskg

y 18×106 celulaskg

respectivamente. En esta comparacion se

puede notar que la dosis inicial solo interfiere en la cantidad de celulas que esten

presentes al dıa 28, entre mayor sea la dosis inicial la poblacion se expande a una

mayor cantidad de celulas, esto para los experimentos realizados con las condiciones

y parametros del paciente 11.

En el caso de las celulas citotoxicas realizamos los mismos experimentos y se

obtuvieron las graficas 4.12-4.15 donde se presentan los crecimientos para estas po-

blaciones cuando el valor de la dosis inicial es de 250 000 celulas, 500 000 celulas, 2

000 000 celulas y 3 000 000 celulas respectivamente.

Figura 4.12: Densidad de celulas T citotoxicas TC con una dosis inicial de 250 000celulas T-CAR



Figura 4.14: Densidad de celulas T citotoxicas TC con una dosis inicial de 2 000 000celulas T-CAR



De las figuras 4.12-4.15 se puede observar que las poblaciones de celulas T-CAR

citotoxicas al dıa 28 para las dosis iniciales de 250 000 celulas, 500 000 celulas, 2 000

000 de celulas y 3 000 000 de celulas son 1.82×106 celulaskg

,3.7×106 celulaskg

, 15×106 celulaskg

y 2.25×107 celulaskg

, respectivamente. De lo anterior se observa que el crecimiento de

las celulas al dıa 28 dependera de la dosis inicial, por ejemplo si se toma en cuenta

la poblacion a los 28 dıas de la dosis con 500 000 celulas respecto a la de 2 000 000

de celulas se puede observar que la ultima es mayor por mas de 6 000 000 de celulas.

Estos mismos resultados tambien son obtenidos en el analisis de las graficas de las

celulas T-CAR auxiliares.

De la misma forma se realizaron los experimentos correspondientes para estudiar

el comportamiento de las celulas a lo largo de un ano, esto como indicador de la

efectividad de la terapia en el paciente. En las figuras 4.16-4.19 se presentan las

graficas para los crecimientos a lo largo de un ano en las poblaciones con una dosis

inicial de 250 000 celulas, 500 000 celulas, 2 000 000 celulas y 3 000 000 celulas

respectivamente.




De las figuras anteriores se observa que la poblacion se mantuvo estable a lo largo

de un ano para las cuatro dosis con las que se realizaron experimentos. A partir de


estos resultados se obtiene que la poblacion de celulas T-CAR auxiliares permanecio

en el paciente durante todo este perıodo lo cual indica que la terapia es efectiva para

la leucemia linfoblastica aguda del paciente.

En el caso de las celulas citotoxicas realizamos los mismos experimentos y se

obtuvieron las graficas 4.20-4.23 donde se presentan los crecimientos para estas po-

blaciones a lo largo de un ano cuando el valor de la dosis inicial es de 250 000 celulas,

500 000 celulas, 2 000 000 celulas y 3 000 000 celulas respectivamente.




Las figuras anteriores representan como las poblaciones de celulas T-CAR ci-

totoxicas se mantuvieron estables a lo largo de un ano, independientemente de las

dosis aplicadas en primera estancia al paciente. Una de las caracterısticas de la efec-

tividad de la terapia es la permanencia de las celulas T-CAR en el paciente por mas

de un ano ya que ası el cuerpo del paciente esta preparado para defenderse en caso

de que el cancer vuelva reproducirse en el paciente.

Tamano de paso

En esta seccion se presentan las graficas de las celulas auxiliares y citotoxicas

cuando se varıa el tamano de paso que se implemento en el metodo Runge-Kutta de

cuarto orden, cuando se trabajo con las condiciones iniciales que se utilzaron en el

ensayo clınico, es decir, en el experimento presentado en la primera seccion de este

capıtulo y en los experimentos donde se varıan las dosis de celulas T-CAR. El tamano

de paso que se utilizo en los otros experimentos es de h = 0,001, mientras que en

esta parte se presentan los experimentos con h = 0,0005 en la poblacion que recibio


una dosis inicial de 250 000 celulas T-CAR, tanto para T axuliares y T citotoxicas

con una dosis inicial de 250 000 celulas.

Figura 4.24: Densidad de celulas T auxiliares TH con una dosis inicial de 250 000celulas T-CAR y un tamano de paso h = 0,0005

En la figura 4.24 se muestra la grafica de las celulas T-CAR axuliares respec-

to al tiempo en un intervalo de 28 dıas. Esta grafica la podemos comparar con la

mostrada en la figura 4.8 donde la poblacion al dıa 28 era aproximadamente de

2.3×106 celulaskg

, mientras que la poblacion en la grafica anterior es de aproximada-

mente 4.6×106 celulaskg

. Como se observa, al ajustar el tamano de paso a la mitad

como en este caso se obtiene el doble de la poblacion al dıa 28, comparada con la

obtenida en el experimento con h = 0,001.


Figura 4.25: Densidad de celulas T citotoxicas TC con una dosis inicial de 250 000celulas T-CAR y un tamano de paso h = 0,0005

En la figura anterior se muestra la grafica para las celulas T-CAR citotoxicas con

una dosis inicial de 250 000 celulas, en un intervalo de 28 dıas, con un tamano de

paso h = 0,0005. En el dıa 28 la poblacion es de 3.6×106 celulaskg

, mientras que en la

figura 4.12 se tiene que la poblacion en el mismo dıa es de 1.8×106 celulaskg

. Se observa

que al igual que en el caso de las celulas T-CAR auxiliares en el experimento con un

tamano de paso reducido a la mitad, la poblacion se duplica.

En realidad, lo que sucede al reducir a la mitad el tamano de paso es que el

intervalo de tiempo mostrado en la grafica en el eje temporal tambien sufre un

cambio, pues este se duplica por ir mas aprisa en el calculo de la aproximacion a la

solucion del sistema de ecuaciones diferenciales. Es decir, en realidad la poblacion

mostrada en el dıa 28 para las figuras 4.24 y 4.25 es la poblacion que se obtiene en

el dıa 56 en un experimento con h = 0,001.

Capıtulo 5

Conclusiones

Todos los objetivos que se plantearon para este trabajo fueron logrados, se probo

que la terapia con celulas T-CAR es efectiva en el paciente tratado, atraves de estu-

diar la dinamica entre la inmunoterapia y la leucemia linfoblastica aguda de tipo B

mediante un modelo matematico que se resolvio mediante el metodo numerico cono-

cido como Runge-Kutta de cuarto orden, y los resultados obtenidos fueron sometidos

a un analisis para compararlos con los resultados del ensayo clınico y verificar que

los resultados que arroja el modelo son biologicamente posibles. En este capıtulo

se presentan las conclusiones de este trabajo de tesis, ası como el trabajo a futuro

que permitirıa presentar un modelo mas completo al tomar en consideracion otras

variables biologicas que aporten en los resultados del mismo.

1. Se presento un modelo matematico para un paciente, que emula la interaccion

entre una terapia inmunologica y celulas de leucemia linfoblastica aguda de tipo

B . La terapia a modelar utiliza celulas T-CAR, estas son celulas T autologas

del cuerpo del paciente que son modificadas geneticamente para localizar cierto

tipo de marcador biologico. Al tratar la LLA-B se utilizo el marcador CD19,

presente en las celulas cancerıgenas y en celulas B.

2. Al de estudiar la respuesta del sistema inmune y sus componentes como lo son

69

Capıtulo 5. Conclusiones 70

las celulas T, se pudo escoger quienes participarıan en el modelo matematico.

Ya que el proceso de la terapia con celulas T-CAR involucra al menos 8 tipos de

celulas y 7 citocinas, se decidio tomar en cuenta para las poblaciones celulares

los principal actores involucrados en la terapia, mientras que para las citocinas

se tomaron en cuenta las que tenıan mayor participacion en la actividad celu-

lar de las poblaciones escogidas. Para esto, se tomaron celulas T auxiliares y

citotoxicas, ademas de las celulas de LLA-B. De los marcadores biologicos se

tomo en cuenta dos, la IL-2 e IL-10. Apartir de estos actores se construyeron

las ecuaciones que conforman el modelo matematico.

3. Los terminos mas utilizados en las ecuaciones fueron crecimientos logısticos y

de Michaelis-Menten. Ya que apartir de estos se construyeron las ecuaciones y

se introdujeron las funciones que modelan el comportamiento de las citocinas.

4. Para obtener los resultados y graficas fue implementado el metodo numerico

conocido como Runge-Kutta de cuarto orden, este metodo fue programado en

MatLab utilizando un paso de tamano h = 0,001, gracias a este metodo fue

posible resolver el sistema de ecuaciones diferenciales 3.3-3.4. A partir de los

resultados obtenidos mediante el Runge-Kutta se graficaron las poblaciones de

celulas cancerosas, celulas T auxiliares y citotoxicas para los 28 dıas que dura

el ensayo clınico, que aparecen en las figuras 4.3, 4.4 y 4.5 respectivamente.

Tambien fue posible obtener graficas de como se ven las poblaciones a lo largo

de un ano para las celulas auxiliares y citotoxicas, las graficas de estas se

muestran en las figuras 4.6 y 4.7 respectivamente.

5. Analizando los resultados obtenidos en la grafica 4.3, estos muestran un decre-

cimiento en la poblacion de celulas cancerıgenas, esto se puede corroborar con

las graficas de celulas T-CAR, tanto auxiliares como citotoxicas (4.4 y 4.5). A

partir de estas dos ultimas graficas, se puede observar que tienen un crecimien-

to el cual se extiende incluso mas alla de los 28 dıas. Esto es debido a que en

la practica las celulas T-CAR llegan a estar presentes por mas de un ano en el

cuerpo del paciente como se muestra en las figuras 4.6 y 4.7, e incluso se llega a

presentar aplasia en celulas B, es decir, disminucion de celulas B en la sangre,

ya que el marcador CD19 es tıpico de las celulas de leucemia linfoblastica agu-


da de tipo B, pero tambien se encuentra presente en las celulas B ordinarias

del sistema inmune.

6. El decremento de la poblacion de celulas tumorales es debido a que la expansion

de celulas citotoxicas es muy grande (4.5), estas celulas son las encargadas de

matar a las celulas cancerosas o a las celulas que presenten en su superficie el

marcador CD19. En este caso, las celulas T-CAR auxiliares tienen como funcion

dentro del modelo impulsar el crecimiento y la diferenciacion de las citotoxicas

mediante la produccion de IL-2. Mientras que la unica forma que tienen las

celulas cancerosas de evitar su muerte debido a las T-CAR es mediante el

IL-10 que funciona como inhibidor de crecimiento.

7. Para comparar y corrobar que los resultados de la densidad de poblacion de

celulas T-CAR son cercanos a los resultados presentados en el paciente 11

durante el ensayo clınico [4] donde se obtuvo que la dosis de la infusion inicial

de la terapia es de 1 × 106 celulaskg

, 28 dıas despues tendrıan alrededor de 6,5 ×106 celulas

kg, mientras que los resultados de este trabajo arrojan 9 × 106 celulas

kgy

7,5 × 106 celulaskg

, celulas auxiliares y citotoxicas respectivamente. Por lo tanto,

se concluye que los resultados obtenidos se encuentran dentro del mismo orden

numerico que los experimentos biologicos.

8. Considerando que en el ensayo clınico fueron tomadas en cuenta siete citoci-

nas y ademas de que se enfocaron en controlar el sındrome de liberacion de

citocinas (CRS) provocado por la liberacion de las mismas celulas T, la pobla-

cion de celulas T-CAR esta cercana a la obtenida en el paciente 11 durante

los ensayos clınicos realizados. Es importante destacar que en el ensayo clıni-

co no solo se consideraron a las celulas T como fuentes de las citocinas, sino

que tambien interfieren otro tipos de celulas, como macrofagos, celulas NK,

celulas dendrıtcas, etc., todas estas influyen en la terapia con celulas T-CAR

puesto que al ser introducidas al cuerpo comienzan una reaccion en cadena en

conjunto con las citocinas y las otras celulas. Esta reaccion en cadena tambien

provoca que exista cierto nivel de toxicidad relacionado con el CRS, que es

considerado un efecto secundario de la terapia, ademas de la aplasia de celulas

B. Esto significa que las celulas T-CAR se expandieron y ademas perduraron


en el organismo del paciente lo cual indica que la terapia ha sido efectiva y ha

erradicado a las celulas cancerıgenas en su mayorıa.

9. Este modelo matematico es el primer trabajo realizado que simula utilizando un

modelo matematico y resolviendo el sistema de ecuaciones mediante el Runge

Kutta de cuarto orden la terapia con celulas T-CAR tratando la leucemia

linfoblastica aguda de tipo B. Es decir, durante la investigacion de esta terapia y

de los modelos matematicos ya existentes, no se encontro la existencia de algun

trabajo previo que modele con ecuaciones diferenciales la inmunoterapia para

tratar la LLA-B. Por lo tanto, este modelo puede ser utilizado para predecir

poblaciones de celulas T-CAR y tumorales tomando en cuenta diferentes datos

experimentales, como las dosis y la cantidad de celulas de leucemia presentes

en el cuerpo.

Por otra parte, es importante mencionar que los resultados ya antes mencionados

solo se compararon con los resultados experimentales de una paciente debido a que

solamente habıa datos sobre las concentraciones de citocinas de dos pacientes, en

este caso el paciente 11 y el 16. Los datos sobre concentraciones de citocinas del

paciente 16 no se tomaron en cuenta ya que este sufrio de sındrome de liberacion

de citocinas (CRS) de nivel 4 (nivel maximo) y por lo tanto se le tuvieron que

administrar Tocilizumab y corticoesteroides para controlar esta otra enfermedad,

estas drogas al ser administradas con el proposito de controlar las citocinas provocan

que las celulas T-CAR no sean tan efectivas en su objetivo. Es por esto que solo se

consideran los resultados clınicos del paciente 11, el cual tuvo CRS de nivel 3 y no

se le proporciono ningun tipo de droga como las ya mencionadas para controlarlo.

Para realizar un modelo que se apegue mas a la experimentacion y se acerque

mas a los resultados en pacientes es necesario realizar algunas modificaciones que se

presentan en la siguiente seccion.


5.1. Trabajo futuro

1. Considerar el caso de la leucemia cuando es cronica, es decir, encontrar fun-

ciones que se ajusten al tiempo del desarrollo de esta enfermedad pero cuando

tenemos un caso cronico.

2. Se pueden incorporar mas factores biologicos que afecten esta terapia, como

los siguientes:

Ampliar los actores del sistema inmune agregando a las celulas dendrıticas,

celulas NK, macrofagos y linfocitos B.

Agregar citocinas como la IL-6, IL-12, TNF-α e IFN-γ debido a su im-

portancia e influencia en el sındrome de liberacion de citocinas, ademas

de relacionar estas con sus fuentes y sus objetivos.

En el caso de CRS es necesario aplicar medicinas, estas ayudan a controlar

la generacion de citocinas o en el peor de los casos mantenerlas a raya.

Para cada paciente es necesario saber si es elegible para tomar esta te-

rapia por sus atencedentes medicos, es por eso que deberıa considerarse

el numero de tratamientos realizados con anterioridad y las recaıdas. Es-

to nos ayudarıa a tener varios casos, ya como un modelo mas especıfico,

partirıamos de lo general a lo particular.

3. Considerar la citotoxidad, es decir, agregar un termino o varios que permitan la

integracion del CRS a la terapia. Esto debido a que la alta produccion de IL-6

por parte de los macrofagos y otras celulas causan inflamacion de tal forma

que se tiene registro cuatro niveles de este mal, y que pueden llegar a afectar

la eliminacion de las celulas tumorales.

4. Recopilacion de datos experimentales de la mano de un medico o biologo que

este realizando ensayos de esta terapia. A pesar de que muchos parametros son

obtenidos de la literatura es necesario intercambiar hipotesis con un investiga-

dor que este involucrado en estos experimentos, ya que nosotros nos dedicamos

a la parte matematica y computacional, la parte biologica nos es aun desconoci-

da en su mayorıa de detalles. A partir de la recoleccion de datos experimentales


y de obtener conocimientos mas amplios en la parte biologica, es posible pensar

una curva o hasta una ecuacion para cada citocina, ası construımos un sistema

de ecuaciones mas completo. Ademas, la recoleccion de mas datos de distintos

pacientes es indispensable para probar distintas condiciones iniciales.

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