TESIS CARRERA DE MAESTRÍA EN FÍSICAMODELADO ESTADÍSTICO DE FENÓMENOS SÍSMICOS

Li . Luis E. AragónMaestrandoDr. Eduardo A. JaglaDire torDi iembre de 2011

Teoría del Sólido Centro Atómi o Barilo heInstituto BalseiroUniversidad Na ional de CuyoComisión Na ional de Energía Atómi aArgentina

A aquellos que están onven idos,de que a la larga,el esfuerzo onstantepuede mover montañas.

Índi e de ontenidosÍndi e de ontenidos vResumen ixAbstra t xiI Introdu ión 11. Fenomenología de los Terremotos 51.1. Deni iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Distribu iones ara terísti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1. Distribu ión de tamaños: Ley de Gutenberg-Ri hter . . . . . . . 81.2.2. Distribu ión temporal y espa ial: Répli as . . . . . . . . . . . . 91.3. Propiedades de fri ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1. Relaja ión plásti a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2. Deslizamiento sti k-slip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Predi tibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1. Análisis históri o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2. Análisis de pre ursores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3. ¾Cómo ontinuar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152. Modelado Estadísti o de Terremotos 172.1. Cadenas de inestabilidades: Avalan has . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.1. Distribu ión de tamaños † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2. Rela iones de es ala y exponentes ríti os † . . . . . . . . . . . 202.2. Modelo BK: pla as te tóni as omo bloques y resortes . . . . . . . . . . 222.3. Modelo OFC: BK + autómata elular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4. Modelo OFC*: OFC + umbrales aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.1. Carga externa a velo idad onstante . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.2. Carga externa a fuerza onstante † . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5. Modelo OFCR: OFC* + relaja ión interna . . . . . . . . . . . . . . . . 28v

vi Índi e de ontenidos2.5.1. Carga externa a velo idad onstante . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.2. Carga externa a fuerza onstante † . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.3. Relaja ión innita † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.4. Aproxima ión de ampo medio † . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II OFC* vs. OFCR: efe tos de la relaja ión 313. Dinámi a rápida 353.1. Distribu iones ara terísti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.1. Distribu ión temporal y espa ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.2. Distribu ión de tamaños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2. Rela iones de es ala y exponentes ríti os † . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3. Límite ma ros ópi o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.1. Deslizamiento suave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2. Deslizamiento sti k-slip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484. Dinámi a lenta 514.1. Variables fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Desplazamientos: Gap sísmi o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3. Tensiones: Ci lo sísmi o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55III OFCR: ara terísti as de un modelo realista 595. ¾Por qué τ ≃ 1,67? 655.1. Rela iones entre exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2. Exponentes integrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3. Estadísti as de lusters aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3.1. Avalan has omo un pro eso de per ola ión . . . . . . . . . . . 675.3.2. Umbrales de orrela ionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4. Criti alidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706. Predi tibilidad 736.1. Métodos de predi ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2. Cara teriza ión del estado a tual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3. ¾Qué impli a prede ir un evento? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3.1. ¾Dónde? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3.2. ¾Cuándo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.3.3. ¾Cuánto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.4. Con lusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Índi e de ontenidos viiBibliografía 83Agrade imientos 87

ResumenEn este trabajo modelamos la ompleja dinámi a de las pla as te tóni as medianteun sistema de bloques y resortes sobre un substrato rugoso. Se utiliza un modelo que onsidera omo variables fundamentales a los desplazamientos de los bloques y a lasfuerzas de fri ión entre los bloques y el substrato. Su dinámi a presenta dos es alasde tiempo muy diferentes.Por un lado, presenta una evolu ión uasiestáti a que mar a una es ala de tiempolenta, donde los bloques se ven inuen iados por dos me anismos: a) existe un argaexterna que aumenta uniformemente las fuerzas de fri ión de manera onstante si-mulando la arga te tóni a de las pla as; b) existe una relaja ión interna que afe talo almente los valores de las fuerzas de fri ión de manera de redu ir la energía globaldel sistema. Por otro lado, el sistema presenta numerosas ongura iones de equilibriome áni o metaestable. Cuando un estado metaestable se desestabiliza, se produ e unaevolu ión rápida hasta en ontrar un nuevo equilibrio, dando lugar a un evento repre-sentativo de los terremotos. Esta dinámi a rápida se des ribe mediante un modelo deautómata elular.Se presentan algunos resultados del modelo previamente introdu ido, omparándolo on otras versiones del mismo, en parti ular on el aso sin el me anismo de relaja ióninterna; siempre teniendo presente la fenomenología de los terremotos. El modelo onrelaja ión reprodu e varias de las regularidades observadas en los fenómenos sísmi os:a) la ley de Gutenberg-Ri hter; b) la ley de Omori; ) el i lo sísmi o; d) el gap sísmi o;e) de aimiento de la fuerza de fri ión on la velo idad; f) deslizamiento del tipo sti k-slip en el límite ma ros ópi o.También se tiene en uenta al modelo desde un punto de vista estadísti o, analizandosu distribu ión de tamaños y exponentes que la ara terizan. En parti ular se bus a unarespuesta a por qué se umple la ley de Gutenberg-Ri hter en el modelo on relaja ión.Si bien no se en uentra porqué el exponente de de aimiento toma el valor observadoexperimentalmente, un análisis detallado de la dinámi a del modelo permite entenderel origen de un aumento en di ho exponente al in luir el me anismo de relaja ión.Finalmente, teniendo un modelo razonablemente realista, se bus aron indi adores de orrela iones on el objetivo de estudiar la posibilidad de ha er predi iones de eventosfuturos en el modelo. Se en uentra que en iertas ir unstan ias, algunos eventos deix

x Resumengran magnitud pueden ser sistemáti amente anti ipados. Se enfatiza la posibilidad deimplementar el pro edimiento en ontrado para prede ir terremotos reales.

Palabras lave: SISMOLOGÍA COMPUTACIONAL, TERREMOTOS, PREDIC-CIÓN, SISTEMAS AUTO-ORGANIZADOS, RELAJACIÓN INTERNA

Abstra tIn this thesis we have modeled the omplex dynami s of the te toni plates througha system of springs and blo ks over a orrugated substrate. We use a model that onsiders the displa ements of the blo ks and the fri tion for e between the blo ks andthe substrate as the key variables. Its dynami s presents two dierent times ales.On one hand, there is a slow times ale governed by a uasistati evolution wherethe blo ks are inuen ed by two dierent me hanisims: a) there is an external drivingthat uniformly in reases the fri tion for es at a onstant rate simulating the te toni loading of the plates; b) there is internal relaxation that lo aly ae ts the values ofthe fri tion for es in order to redu e the global energy of the system. On the otherhand, the system presents numerous posible ongurations of me hani al metastableequilibrium. When one metastable state is destabilized, the system evolves rapidlyuntil it rea hes a new equilibrium, resulting in an event representing an earthquake.This fast dynami s is modeled with a ellular automaton.We present some results of the model previously introdu ed, omparing it withother versions of the model, in parti ular, with the ase without internal relaxation;always having in mind the earthquake's phenomenology. The model with relaxationreprodu es a number of realisti features of seismi phenomena: a) the Gutenberg-Ri hter law; b) the Omory law; ) the seismi y le; d) the seismi gap; e) velo ityweakening f) sti k-slip motion in the ma ros opi limit.We also onsider the model from a statisti al point of view, analyzing its sizedistribution and hara teristi exponents. Spe ially, we try to understand why doesthe model with relaxation show the Gutenberg-Ri hter law. Even though we an notjustify why the de aying exponent settles around the experimentaly observed value, adetailed analysis of the dynami s of the model allows us to understand the origin of anin rease in the exponent when the relaxation me hanisim is in luded.Finally, taking into a ount that we have a resonably realisti model, we sear h for orrelations in the dynami s in order to study the possibility of making predi tions offuture events in the model. We nd that in ertain ir umstan es, some events of greatmagnitud an be systemati ally anti ipated. We emphasise the possibility of applyingthe pro edure found to predi t real earthquakes.Keywords: COMPUTATIONAL SEISMOLOGY, EARTHQUAKES, PREDICTION,xi

xii Abstra tSELF-ORGANAIZED SYSTEMS, INTERNAL RELAXATION

Parte IIntrodu ión

1

3Algo he aprendido en mi larga vida: que toda nuestra ien- ia, ontrastada on la realidad, es primitiva y pueril; y, sinembargo, es lo más valioso que tenemos. Albert Einstein (1879-1955)En el libro La físi a, aventura del pensamiento, Einstein e Infeld bus an una onexión entre el mundo de los fenómenos y el mundo de las ideas. A lo largo de estetrabajo se bus a esta onexión en el ámbito de los terremotos. En esta primera partese introdu en estos dos mundos.Primero, en el apítulo 1 se presenta brevemente la fenomenología de los terremotos.Por un lado, se omentan las distintas maneras en las que se suele ara terizar alas se uen ias de terremotos. Bási amente se des ribe la ono ida ley de Gutenberg-Ri hter y se muestra omo se suelen distribuir espa ial y temporalmente. Por otro lado,se men ionan dos me anismos fundamentales al analizar las propiedades de fri ión de iertos uerpos sólidos elásti os (en parti ular la orteza terrestre); su relaja ión internay el movimiento del tipo sti k-slip. Finalmente, en este apítulo se introdu en tambiénlos dos métodos que generalmente se utilizan al abordar el tema de la predi tibilidadde los terremotos.Estas observa iones prin ipalmente provenientes de la sismología y geología debentenerse en uenta al implementar un modelo estadísti o ya que se pretende que di homodelo reproduz a la mayor antidad de regularidades observadas. En el apítulo 2se presenta a los terremotos omo inestabilidad de un sistema dinámi o. Primero seanalizan propiedades generales de estos sistemas y luego se introdu en en orden histó-ri o algunos modelos estadísti os de terremotos. Aquellos temas uyo ontenido puederesultar onfuso en una primera le tura se han mar ado on el símbolo †.

Capítulo 1Fenomenología de los TerremotosEn 1944 (Holmes) publi ó un libro lási o de la dis iplina-Prin ipios de geología físi a- en el que in luyó un apítulosobre la hipótesis de que los ontinentes andaban a la derivaotando por el planeta sobre un mar de ro a fundida, el man-to, que era más denso, pesado y en onstante ebulli ión. Pordesgra ia para Holmes la onve ión térmi a era in ompro-bable en esa épo a y por lo tanto no llegaba ni a la ategoríade hipótesis. Y un tema no menor es que iba en ontra delmodelo a eptado que postulaba un mundo subterráneo establey quieto. Historia de los terremotos, de Esteban MagnaniLa teoría de la te tóni a de pla as des ribe el movimiento relativo de las pla aste tóni as que onforman la orteza terrestre. La idea bási a es que éstas se muevende manera onstante on una velo idad de unos entímetros por año. En este pro esose a umulan tensiones prin ipalmente en sus bordes (fallas) que luego son liberadasabruptamente. Es laro enton es que las pla as te tóni as presentan una dinámi a ondos es alas de tiempo muy diferentes, una lenta y una rápida. Un me anismo funda-mental que da lugar a la dinámi a lenta es la fuerza externa impulsora denominada arga te tóni a, posiblemente originada en los ujos onve tivos del material uido delinterior de la tierra. Por el ontrario, los eventos produ idos en la dinámi a rápida sedeben a las fuerzas entre las pla as y determinan un pro eso de rea omodamiento in-terno. Estos eventos sísmi os se ono en omo terremotos y son la motiva ión prin ipalde este trabajo.Este apítulo introdu e algunos aspe tos de los terremotos desde un punto de vistafenomenológi o on la idea de que las observa iones que se realizan desde la sismologíay geología reejan informa ión de la dinámi a de las pla as te tóni as. Es ademásimportante ono er las regularidades observadas ya que deben estar presentes en un5

6 Fenomenología de los Terremotos

Figura 1.1: Esquema de pla as planas on deslizamiento relativo horizontal. Se muestra unazona de ruptura de área A de lado máximo entre 100 y 500 km (espesor típi o de la ortezaterrestre). Cada punto de di ha región se mueve una distan ia D(x, y). Los valores de D puedenllegar a de enas de metros.modelo que intente des ribir los fenómenos sísmi os.1.1. Deni ionesUn terremoto no orresponde a un movimiento ompleto de las pla as involu radassino que existe una zona de ruptura entre ambas pla as que ubi a espa ialmente alevento. Di ha región de onta to presenta un área A, la ual se desplaza una distan iapromedio D omo se esquematiza en la gura 1.1. Se dene el momento sísmi o S =

A.D omo una magnitud ara terísti a del evento ya que es propor ional a la energíaliberada y uanti a su tamaño.Sin embargo, en sismología se suele ara terizar a un terremoto mediante su mag-nitud M y su epi entro ~r0.Magnitud M : La magnitud se dene en términos del logaritmo de la energía yaque ésta abar a un rango de valores muy grande1:M =

2

3log10S (1.1)Epi entro ~r0: Si bien un terremoto afe ta una región de área A, por lo generalse bus a simpli ar su ubi a ión lo alizandolo on un punto, el epi entro. Éste sedene omo la proye ión verti al sobre la super ie del punto en el ual omenzó eldeslizamiento.1Esta deni ión es a menos de una onstante aditiva que depende de las unidades de S. A modo deejemplo se men iona que el mayor terremoto ono ido es el o urrido en Chile el año 1960 on M = 9,5,

A = 400x20 km2, D = 20 m.

1.2 Distribu iones ara terísti as 7

(a) Distribu ión espa ial (b) Distribu ión en tamaño

( ) Distribu ión temporalFigura 1.2: Distribu iones ara terísti as de los terremotos de magnitud mayor a 2 o urridosen la región de California desde 1980 hasta 2011. Los terremotos presentados en ( ) orrespondena aquellos ubi ados dentro de la región delimitada por lineas punteadas en (a). En ambos asosse remar an on ru es azules los eventos on magnitud mayor a 6 ya que si bien son los menosprobables (ver (b)), también son los más importantes. En (b) se enfatiza que la distribu ión entamaño está bien des ripta por la ley de Gutenberg-Ri hter (E . 1.2).[11.2. Distribu iones ara terísti asSi se observa a los terremotos de una dada región, no de manera aislada sino que setiene en uenta su o urren ia en rela ión a su entorno, se en uentran iertas regularida-des. A modo de ejemplo, en la gura 1.2 se presentan las distribu iones ara terísti asde los terremotos o urridos en la región de California en los últimos 31 años. En lagura 1.2(a) se presenta la distribu ión espa ial de di hos eventos y en la gura 1.2(b)su orrespondiente distribu ión de tamaños. En la gura 1.2( ) se presenta la distri-bu ión temporal de aquellos eventos que o urrieron dentro de la región remar adaen lineas punteadas de la gura 1.2(a). A ontinua ión se analiza ada una de estasdistribu iones2.2Los datos de las guras 1.2, 1.3 y 1.4 están disponibles en la web del Northern California Earth-quake Data Center (ver Refs.[1, 2).

8 Fenomenología de los Terremotos1.2.1. Distribu ión de tamaños: Ley de Gutenberg-Ri hterLa ono ida ley de Gutenberg-Ri hter enun ia que dada una región espa ial ona tividad sísmi a, si durante un intervalo de tiempo su ientemente grande se mide la antidad N de terremotos de magnitud M , se obtiene una distribu ión en magnitudbien denida:N(M) ∼ 10−bM (1.2)Interpretando a N(M) omo una distribu ión de probabilidad, esta rela ión puedeser expresada en términos del momento sísmi o S. Es de ir, que si se onsidera que

N(M) dM = N(S) dS y se tiene en uenta la e ua ión (1.1) se obtiene:N(S) ∼ S−τ (1.3) on τ = 1 + 2

3b.Exponentes de de aimiento: b y τ Se en uentra que el exponente b varia segúnla región entre 0,7 y 1,3 [35, de manera que si se toma b ∼ 1 se obtiene τ ∼ 1,67.Estos exponentes indi an que dada una región espa ial, en promedio hay un terremotode magnitud M ada 10 terremotos de magnitud M − 1 (ver gura 1.2(b)). Resultainteresante preguntarse el origen de los valores que toman estos exponentes; ¾es físi- amente posible que los exponentes tomen valores fuera del rango observado?, ¾ ómo ambiarían las propiedades del sistema al tener otros exponentes?, ¾están rela ionados on otras propiedades de los terremotos?. Algunos de estos temas serán tratados en el apítulo 5 en el ontexto de los modelos presentados en el apítulo 2.De aimiento invariante de es ala: N(S) ∼ S−τ En términos de S, esta distribu- ión de tamaños representa un de aimiento invariante de es ala tipo ley de poten iaindi ando la ausen ia de un tamaño ara terísti o de los terremotos3. El estudio de sis-temas on este tipo de distribu iones donde no existen es alas ara terísti as4 y uyosobservables son dominados por eventos po o probables5 ha sido de sumo interés en físi- a estadísti a, en parti ular en el área de los sistemas omplejos. Cabe preguntarse porejemplo, en qué medida este omportamiento es típi o para mu hos sistemas o uántodepende de los detalles de ada sistema. Este tema se vuelve a tratar en el apítulo3Cabe a larar que de existir es alas ara terísti as para los terremotos, éstas pueden estar vin u-ladas on el grosor de la orteza y afe taría al exponente b para eventos de gran magnitud.[6[74Notar que una ley de poten ia g(x) = xa tiene la propiedad de que el ambio relativo g(kx)

g(x) = kaes independiente de x. En este sentido una ley de poten ia are e de una es ala ara terísti a.5Las ondi iones para que esto su eda, en rela ión on el valor del exponente de de aimiento seexpli an en la se ión 2.1. El tema se analiza en detalle en Ref. [8.

1.2 Distribu iones ara terísti as 92, donde primero se ara terizan estas distribu iones en general y luego se presentanalgunos sistemas dinámi os que reprodu en estas propiedades estadísti as.1.2.2. Distribu ión temporal y espa ial: Répli asFijada una región alrededor de una o más fallas, resulta interesante observar ómose distribuye la a tividad sísmi a espa ial y temporalmente.Distribu ión temporalEs laro que la distribu ión temporal presentada en la gura 1.2( ) no es homogé-nea, sino que se observa una a umula ión de eventos luego de o urrido un evento demagnitud elevada (aquellos eventos de magnitud mayor a 6 son mar ados on ru esazules). Estos eventos que a ompañan a un primer gran sismo se ono en omo répli asy por lo general sus magnitudes no suelen superar la del evento prin ipal. Más aún,presentan una ley de de aimiento temporal fenomenológi a ono ida omo la ley deOmori[9. Ésta enun ia que el número de répli as por unidad de tiempo de ae omo(t + t0)

−p. Aquí t es el tiempo desde el primer gran sismo, el exponente p se sueleen ontrar er a de 1 y t0 es una onstante de tiempo que depende del valor mínimo dela magnitud de los terremotos utilizados.En la gura 1.3 se presenta la distribu ión temporal de los eventos o urridos en laregión de Japón durante los días previos y posteriores al gran terremoto de magnitud9 o urrido el 11 de Marzo de 2011. Se desta a que éste es uno de los asos dondeterremotos menores pero signi ativos ante eden al prin ipal. 5

7

9

−80 −60 −40 −20 0 20 40 60

Mag

nitu

d

Tiempo [días]

Evento principal

Posible precursor

Figura 1.3: Distribu ión temporal de los eventos o urridos en la región de Japón durante losdías previos y posteriores al gran terremoto de magnitud 9 o urrido el 11 de Marzo de 2011. Sedesta a la observa ión de un terremoto importante de magnitud 7,5 que ante ede al prin ipal(posible pre ursor).[2

10 Fenomenología de los TerremotosDistribu ión espa ialEn la gura 1.4 se presenta la distribu ión espa ial de los epi entros de los sismoso urridos diez años antes del gran terremoto en Maule, Chile el 27 de Febrero de 2010y aquellos o urridos desde ese día hasta el 15 de O tubre de 2010[2. Se observa quedurante diez años o urrieron eventos a lo largo de la zona de onta to entre la pla a deNaz a y la Sudameri ana y luego de o urrido un evento de gran magnitud, aumentóapre iablemente la a tividad a su alrededor. Se desta a la aglomera ión espa ial quepresentan las répli as delimitando por un lado la zona de ruptura del evento prin ipaly por otro la dire ión norte sur de la falla.

Figura 1.4: Se presentan la ubi a ión geográ a y magnitud de los sismos o urridos en unaregión de Améri a del Sur. a)10 años anteriores al 27 de febrero de 2010. b)Del 27 de febrero de2010 al 15 de O tubre del 2010.[2Répli asUna primer expli a ión al origen de las répli as es que maniestan un rea omoda-miento de las pla as en la región de ruptura del gran terremoto; oloquialmente se di eque la orteza terrestre se debilita y ne esita a omodarse. En ese pro eso de rea omo-damiento, se produ en terremotos que desestabilizan la falla disminuyendo globalmentela energía del sistema.1.3. Propiedades de fri iónAl produ irse un terremoto se liberan lo almente tensiones previamente a umu-ladas en las fallas, resultando en un desplazamiento relativo entre las pla as que las

1.3 Propiedades de fri ión 11 onforman. La manera en que se desarrolla este pro eso está dire tamente aso iada on las propiedades de fri ión que presentan las pla as involu radas. A ontinua iónse presentan dos me anismos que juegan un papel fundamental no sólo en la dinámi ade las pla as te tóni as sino también en ualquier sistema de uerpos en deslizamiento:la relaja ión plásti a y el movimiento tipo sti k-slip.1.3.1. Relaja ión plásti aEs ono ido que, por más liso que un uerpo se vea a es ala ma ros ópi a, éste pre-senta super ies rugosas al menos a nivel mi ros ópi o. Con esta idea, es fá il entenderque uando un bloque se apoya en un substrato, su área real de onta to involu ra sóloalgunas regiones de la base del bloque. Más aún, se observa que este área de onta toaumenta on el tiempo [10.Por un lado, este fenómeno presenta eviden ia de que existen me anismos internosde relaja ión plásti a que tienden a redu ir la energía del sistema6. Por otro lado,se lo rela iona on un aumento en la fuerza de fri ión estáti a entre el bloque yel substrato, por lo que inuye dire tamente en sus propiedades de deslizamiento abajas velo idades [12, 13. Con el n de ilustrar su efe to, se puede pensar que al tirardel bloque, si lentamente se va aumentando la velo idad, en ada nueva posi ión elsistema tiene ada vez menos tiempo de aumentar su área de onta to, resultandoen una disminu ión de su fuerza de fri ión. Este fenómeno se ono e omo velo ityweakening y es de suma importan ia en la dinámi a sti k-slip que o urre en mu hossistemas, en parti ular en el movimiento relativo de las pla as te tóni as.1.3.2. Deslizamiento sti k-slipEl deslizamiento sti k-slip entre dos uerpos en movimiento relativo o urre uandola fuerza de fri ión entre ellos ambia produ iendo una inestabilidad dinámi a. A modode ejemplo, se puede onsiderar al bloque de la se ión anterior tirado por un resorte uyo extremo se desliza a una pequeña velo idad onstante. La dureza del resorte,puede representar las propiedades elásti as del medio que lo rodea. Es intuitivo pensarque en el límite en que el resorte es duro, el deslizamiento será suave y estable. Por el ontrario, al onsiderar un resorte on onstante elásti a menor, se puede dar el asoen que ini ialmente la fuerza del resorte no es su iente para mover el bloque. Sinembargo, al aumentar la fuerza del resorte, se llegará a la situa ión de deslizamientoabrupto on una aída de las fuerzas aso iadas. [76Se denomina relaja ión plásti a en el sentido de que o urren deforma iones plásti as en los puntosde onta to entre ambas super ies, es de ir, o urre un pro eso de deforma ión permanente y noreversible. En Ref. [11 Persson dis ute que en la mayoría de las situa iones de deslizamiento prá ti as,las presiones normales involu radas son tales que las tensiones en los puntos de onta to al anzan lastensiones límite de deforma iones plásti a.

12 Fenomenología de los TerremotosEste pro eso se observa en el deslizamiento de ro as, lo que ondujo a Bra e yByerlee en 1966 [14 a proponer que este me anismo da lugar a los terremotos. Éstoso urren en los deslizamientos abruptos de las pla as te tóni as, liberando la energía quese a umuló durante de enas de años en po os minutos, en su mayoría en forma de ondassísmi as de largo al an e7. El movimiento sti k-slip que da lugar a los terremotos nose observa en todas la fallas. Se puede dar el aso donde las pla as avanzan lentamenteentre sí ( reep), por ejemplo en Cienega Winery, California Central. [71.4. Predi tibilidadLos ejemplos presentados en la se ión 1.2.2 pretenden ilustrar que alrededor deun gran evento8 existe una a umula ión temporal y espa ial de terremotos menores,lo que sugiere la existen ia de orrela iones entre algunos de ellos. Al observar asos omo el de la gura 1.3 donde un terremoto de magnitud 7,5 ante ede a un terremotode magnitud 9, resulta esperanzador pensar en la posibilidad de predi ión del eventoprin ipal en base a eventos pre ursores.De he ho, a tualmente la predi ión o no de terremotos es un área interdis iplinariade estudio muy a tiva. Se intentan responder a preguntas omo: ¾es posible ara terizarsistemáti amente las orrela iones entre terremotos?, ¾presentan los terremotos unadinámi a intrínse amente aóti a y por lo tanto intentar prede irlos es inútil?, ¾existen iertas ir unstan ias donde es posible dar una predi ión su ientemente pre isa omopara atenuar los daños que un terremoto podría o asionar?, ¾qué variables se debenestudiar para ha er una predi ión válida?, ¾qué impli a una predi ión válida?En 1997, Geller et al. de laran, en el título de su publi a ión [16, 17, que los terre-motos no pueden ser predi hos. Si bien su on lusión nal es ex esivamente negativa,arman on razón que prede ir terremotos individuales es un gran desafío porqueno se uenta on un ono imiento detallado de los parámetros relevantes (geometríade las fallas, varia iones en las fuerzas sobre los materiales de las zonas de las fallas,propiedades reológi as y el estado de tensiones). . . . Más aún, omentan que . . . elhe ho de que un terremoto pequeño se desenvuelva en uno más grande depende de losdetalles de la interferen ia no lineal de ondas de tensión dinámi as de gran amplituden un medio altamente heterogéneo. Esta onsidera ión físi a general, que no se basaen ningún modelo parti ular de la fuente del pro eso, sugiere que la perspe tiva de una7Es interesante tener esto en uenta ya que indi a que la zona afe tada por un terremoto esmu ho mayor a la región donde el evento se desarrollo (área A presentada en la gura 1.1); existe laposibilidad de que estas ondas puedan dar lugar a nuevos terremotos, es de ir lo que se ono e omorépli as a tivadas dinámi amente (ver por ejemplo Ref. [15 y referen ias allí itadas).8Se puede onsiderar que un gran evento es aquel que uya magnitud es mayor a las magnitudesmáximas que suelen o urrir en la región de estudio. Notar por ejemplo que un terremoto de magnitud 5en California puede ser onsiderado un evento de gran magnitud mientras que en Japón no ( ompararguras 1.2( ) y 1.3).

1.4 Predi tibilidad 13predi ión de terremotos onable y pre isa tiene un futuro sombrío..Por suerte, los esfuerzos por prede ir terremotos no han esado; en 2007 Panakkaty Adeli [18 resumen los trabajos al respe to de los últimos 20 años. Clasi an laspubli a iones en ontradas en dos grupos, uno orientado a un análisis históri o de losterremotos y otro a un análisis de pre ursores. A ontinua ión se introdu en algunosmétodos que se pueden ubi ar en uno de estos dos grupos. En parti ular, se detallan yejempli an los métodos ono idos omo gap sísmi o y patrones sísmi os[19.1.4.1. Análisis históri oPor un lado, están los métodos que realizan un análisis históri o de los terremotoso urridos en una dada región de estudio, por lo general a lo largo de un período detiempo del orden de los 10 a 100 años. Éstos resultan útiles para entender el ompor-tamiento de las zonas sísmi as a largo plazo. Entre ellos están los que se basan en ladistribu ión de Gutenberg-Ri hter (se ión 1.2.1) on la idea de que la o urren ia delos terremotos más grandes es un fenómeno estadísti o re urrente. También, mu haspredi iones se basan en la teoría de re upera ión elásti a propuesta por Reid en1910: el próximo terremoto es probable que o urra uando se hayan a umulado su- ientes tensiones desde el último evento. Es de ir, se bus an periodi idades en un i losísmi o para luego ubi arse dentro del mismo.Gap sísmi oEstre hamente rela ionado on los métodos basados en la existen ia de un i losísmi o, se en uentran aquellos que identi an áreas donde el estado de la orteza está er ano a romperse (gap sísmi o). Originalmente estas zonas se delimitaban ex lusi-vamente ono iendo la historia sísmi a de una dada región. A tualmente, la te nologíade sistemas de posi ionamiento global (GPS) desarrollada en los últimos años permi-te omplementar esta informa ión on medidas pre isas de los desplazamientos de laspla as.Vale la pena desta ar que estos métodos suelen dar una predi ión espa ial y enmagnitud, sin embargo no ha en referen ia a uándo tendrá lugar la gran libera iónde tensiones. Si bien no es una predi ión ompleta, la ontribu ión resulta importanteya que provee de una medida del peligro sísmi o que enfrenta una región y puede on-se uentemente asesorar los requerimientos para una mejor preven ión. A ontinua iónse omentan dos trabajos donde identi an laramente la ubi a ión de un gap sísmi o,poten ial para el desarrollo de eventos atastró os.Chile Un ejemplo re iente es el trabajo de Ruegg et al. en el 2009 titulado Inter-seismi strain a umulation measured by GPS in the seismi gap between Constitu ión

14 Fenomenología de los Terremotosand Con ep ión in Chile [20. Allí se reporta que en di ha región ha ía 175 años queno se liberaban tensiones a umuladas por la onvergen ia de las pla as de Naz a ySudameri ana. Comentan que en el peor de los asos, los desplazamientos a umulados orresponden a más de 10 m, lo que equivale a un terremoto de magnitud entre 8 y8,5. Como se men ionó en la se ión 1.2.2, el 27 de febrero de 2010 se desen adenó unterremoto de magnitud 8,8 en la zona espe i ada en el trabajo de Ruegg et al.Japón Otro ejemplo es el trabajo de Nishimura et al. en el 2004 titulado Tempo-ral hange of interplate oupling in northeastern Japan during 1995-2002 estimatedfrom ontinuous GPS observations [21. Sus medi iones muestran dos zonas entre lapla a de Norte Améri a y la Pa í a on mayor a oplamiento. Una de ellas presentaun retraso máximo de la onvergen ia en la región de Miyagi-Oki en 38 N , 142,5 E.Enfatizan el peligro poten ial existente y dan una estima ión de un terremoto de mag-nitud 7,5. El 9 de Marzo de 2011 se desen adenó un terremoto de magnitud 7,5 onepi entro en 38,4 N , 142,8 E. Dos días mas tarde o urrió un terremoto de magnitud9 en 38,3 N ,142,4 E. En Ref. [22 muestran que la zona trabada antes de los eventos orresponde a la zona afe tada por di hos terremotos.1.4.2. Análisis de pre ursoresPor otro lado, están los métodos que realizan estudios basados en dete tar y analizarseñales pre ursoras a un gran terremoto, generalmente en una es ala de tiempos demeses o días. Por ejemplo, se en uentran los métodos que, previamente a un granterremoto, bus an dete tar: a) ambios del ampo ele tromagnéti o, b) quietud sísmi a, ) un movimiento ontinuo y suave de las fallas ( reep), d) ambios abruptos en lastensiones de la orteza [23, e) patrones en la o urren ia de terremotos pasados.Patrones sísmi osEn parti ular, resulta de interés para este trabajo detallar el último método men io-nado. Éste bus a patrones en la o urren ia de terremotos de manera de formar adenasde terremotos, pre ursores de terremotos más grandes. Se remar an dos aspe tos im-portantes de este método. Uno es la arbitrariedad que existe al onsiderar un eventopre ursor y otro que los parámetros utilizados al formar adenas varían signi ativa-mente on la región sísmi a onsiderada.Un laro ejemplo de este método es el propuesto por Shebalin et al, llamado Re-verse tra ing of pre ursors (RTP) [24, 25. Se basa en onsiderar pre ursores en ordeninverso de apari ión. Primero se dete tan adenas que reejen los andidatos para serpre ursores a orto plazo. Estas adenas son bási amente una se uen ia de pequeños

1.4 Predi tibilidad 15terremotos que o urren agrupados espa ial y temporalmente. Luego se bus an pre ur-sores a mediano plazo en la ve indad de ada una de las adenas. De en ontrarse di hospre ursores, se a tiva una alarma a orto plazo. Notar que la ventaja de estas adenases que limita la búsqueda de pre ursores a mediano plazo ex lusivamente en la regiónde o urren ia de los pre ursores a orto plazo. Utilizando este método, el terremoto deSan Siemeon en California (magnitud 6,5, Di iembre 2003) y el terremoto Toka hi-Okien Japón (magnitud 8,1, Septiembre 2003) se predijeron 6 y 7 meses por adelantado,respe tivamente.1.4.3. ¾Cómo ontinuar?En Ref. [19 Kanamori omenta que los terremotos involu ran pro esos previos nolineales, por lo que es razonable esperar eventos pre ursores. Sin embargo, omo se haobservado, éstos pre ursores no ante eden a todos los terremotos o in luso si o urren,no siempre son seguidos por un gran terremoto. Lógi amente, Kanamori on luye quela dete ión de pre ursores no puede ser utilizada en una predi ión denitiva.Sin embargo, en base a los métodos existentes, resulta natural mejorar las pre-di iones si se intenta unir los esfuerzos desarrollados. Es de ir, se espera una mejorpredi ión si la dete ión de pre ursores se puede lo alizar en regiones on mayor peli-gro sísmi o9. Como sugieren Ozawa et al. en Ref. [22, el monitoreo de la a umula iónde las tensiones de las pla as usando té ni as geodési as espa iales es fundamental parare ono er di has regiones.En el apítulo 6 se analiza la posibilidad de prede ir terremotos en un modelo esta-dísti o. Sorprendentemente se en uentra un pro edimiento ade uado para la predi iónde eventos importantes análogo al re ién sugerido.

9De he ho, estos esfuerzos ya se han llevado adelante en base a un análisis históri o previo de iertas regiones[19; por ejemplo en 1978 omenzó el Large-S ale Earthquake Countermeasures A tpara monitorear la región de Tokai, Japón y en 1985 omenzó el Parkeld Earthquake Predi tionExperiment para monitorear la región de Parkeld, California. En ambos asos no se han observadopre ursores ni los terremotos esperados, mostrando que un análisis históri o no es su iente paraubi ar las zonas altamente peligrosas; se debe omplementar por ejemplo on medi iones satelitalesde los desplazamientos de las pla as.

Capítulo 2Modelado Estadísti o de Terremotos

Las ien ias no tratan de expli ar, in luso apenas tratan deinterpretar, onstruyen modelos prin ipalmente. Por modelo,se entiende una onstru ión matemáti a que, on la adi iónde iertas interpreta iones verbales, des ribe los fenómenosobservados. La justi a ión de tal onstru ión matemáti aes sólo y pre isamente que se espera que fun ione. John von Neumann (1903-1957)Los pro esos naturales involu ran un gran número de variables uyo modelado om-pleto y detallado no sólo se ha e difí il sino que mu has ve es es inne esario. Se suelebus ar que los modelos utilizados para des ribir y entender un problema utili en sim-pli a iones y suposi iones de manera de eliminar las variables irrelevantes y enfatizaraquellas que umplen un rol fundamental; siempre onsiderando que uantas más re-gularidades observadas el modelo reproduz a, más se aproxima éste a la realidad.En parti ular, los modelos estadísti os trabajan por un lado on sistemas de mu hos omponentes, no de manera aislada, sino que res atan las propiedades emergentes deun omportamiento ole tivo. Por otro lado, trabajan sobre la o urren ia de mu hoseventos de un dado fenómeno, analizando ómo y por qué éstos se en adenan y produ enseries.En este apítulo se presentan a los terremotos vistos omo adenas de inestabili-dades en un sistema dinámi o de mu hos omponentes, analizando primero las pro-piedades estadísti as de estas adenas en general (se ión 2.1) y luego introdu iendomodelos espe í os. En las se iones 2.2 y 2.3 se presentan los modelos BK y OFCrespe tivamente. Éstos estable ieron las bases para obtener los modelos presentadospor Jagla[26 que son los utilizados en el resto del trabajo: OFC∗ y OFCR (se iones2.4 y 2.5 respe tivamente). 17

18 Modelado Estadísti o de Terremotos2.1. Cadenas de inestabilidades: Avalan hasCon el n de expli ar las regularidades observadas en los fenómenos sísmi os, en ladé ada de 1960 omenzaron a utilizarse modelos estadísti os para su des rip ión. Estosmodelos onsideran a los terremotos omo inestabilidades de un sistema dinámi o demu hos omponentes. Estas inestabilidades se ono en omo avalan has y los paráme-tros que las ara terizan son su tamaño o volumen S y la longitud unidimensional dela región afe tada L. Más pre isamente, S se dene omo el número de inestabilidadeselementales que llevan al sistema de un estado de equilibrio metaestable a otro1.Estando el sistema en equilibrio, éste evolu iona lentamente hasta en ontrarse onuna inestabilidad. Éstas se tienen en uenta in orporando a los modelos la existen ia deumbrales, que al ser superados ponen al sistema fuera del equilibrio. De esta manera, omienza una avalan ha y el sistema evolu iona on una dinámi a diferente y másrápida hasta en ontrar un nuevo equilibrio.Por un lado, abe men ionar que la separa ión de es alas temporales previamentemen ionada se en uentra en los sistemas que evolu ionan ha ia un estado dinámi ode auto-organiza ión ríti a (SOC) y está rela ionada on la existen ia de umbrales ymetaestabilidad[6.Por otro lado, esta dinámi a es ara terísti a de sistemas de mu hos omponentesintera tuantes entre si que son impulsados simultáneamente por una fuerza externa.En parti ular, un área donde se observa esta dinámi a es en sistemas omo las pilas dearena que re en debido a un agregado lento y onstante de partí ulas. Al superar unumbral de pendiente, el sistema se vuelve inestable y surgen desprendimientos (ava-lan has). Éstos sistemas suelen ser modelados mediante autómatas elulares dis retos.Otra área de estudio donde se observa esta dinámi a son los sistemas elásti os desor-denados. En estos asos, existe una ompeten ia entre las fuerzas elásti as que tiendena ordenar al sistema y el desorden mi ros ópi o que tiende a deformar su estru tura.Cuando son forzados por una fuerza externa, hay momentos en que el sistema quedafuera del equilibrio y avanza abruptamente (avalan has). Se observa por ejemplo en re imientos de interfa es rugosas (la fuerza externa puede ser un poten ial quími ofavore iendo el re imiento de una de las fases), en la dinámi a de dominios magnéti oso ferroelé tri os (la fuerza externa puede ser debida a un ampo magnéti o o elé tri- o), en el ruido magnéti o de Barkhausen[27 y en el movimiento de líneas de ujosmagnéti o an ladas por impurezas en super ondu tores (la fuerza externa puede serdebida a una orriente)[28. Todos estos sistemas y mu hos otros involu ran avalan hasen el sentido de que en algún momento se vuelven inestables y evolu ionan durante untiempo fuera del equilibrio.1Cabe a larar que estos estados metaestables no son ne esariamente la ongura ión de menorenergía.

2.1 Cadenas de inestabilidades: Avalan has 19N(S)

S

S−1

Cutt−off S0:

104 103 10210−8

10−4

100

100 101 102 103 104 105Figura 2.1: Distribu iones de tamaños típi as tipo ley de poten ia on un orte a eventosgrandes: N(S) ∼ S−τf(S/S0) (E . 2.1). Se ejempli a di ha distribu ión en el aso parti ularen que f(x) = exp(−xβ) on τ = 1 y β = 1, tomando distintos valores del utt-o S0. Se puedeobservar que S0 indi a el punto alrededor del ual la distribu ión N(S) se aparta de una ley depoten ias pura S−τ , de manera que uando S0 diverge N(S) se aproxima a S−τ .2.1.1. Distribu ión de tamaños †Las avalan has se suelen ara terizar por su distribu ión de tamaños N(S)2. A ontinua ión se realiza un análisis de un tipo de distribu ión sumamente importanteal estudiar por ejemplo fenómenos ríti os o sistemas on omportamiento tipo SOC;la distribu ión tipo ley de poten ia on un orte a eventos grandes ( ut-o):N(S) ∼ S−τf(S/S0) (2.1)donde f(x) es una fun ión aproximadamente onstante si x < 1 y que de ae rápida-mente si x > 1; usualmente es propor ional a exp(−xβ). S0 es un valor que ara terizael máximo tamaño de las avalan has. En la gura 2.1 se ejempli a di ha distribu ión on τ = 1 y β = 1 tomando distintos valores de S0. Se observa que S0 indi a el tamañode las avalan has alrededor del ual la distribu ión N(S) se aparta de una ley de po-ten ias pura S−τ , de manera que uando S0 diverge N(S) se aproxima a S−τ en todoel rango de S.Resulta interesante al ular el momento de orden m de S:

〈Sm〉 =∫ Smax

SmindS Sm S−τf(S/S0)

∫ Smax

SmindS S−τf(S/S0)

(2.2)donde Smin es el mínimo tamaño de las avalan has (generalmente Smin ∼ 1) y Smax esel máximo tamaño de las avalan has. Teniendo en uenta que f(x) es onstante si x < 1y que de ae rápidamente para x > 1, se puede aproximar la E . (2.2) por integrales2N(S) se puede pensar omo el número de eventos de tamaño S o si está normalizado orre tamente omo una densidad de probabilidad de manera que N(S)dS indi a la probabilidad de que o urra unevento de tamaño S entre S y S + dS.

20 Modelado Estadísti o de Terremotosindependientes de f(x):〈Sm〉 ∼

∫ S0

SmindS Sm S−τ

∫ S0

SmindS S−τ

=

(

∆τ S∆τmin

m−∆τ

)(

1− ǫm−∆τ

1− ǫ∆τ

)

Sm−∆τ0 ∆τ 6= m (2.3)donde ǫ = Smin/S0 y ∆τ es uanto se aparta el exponente τ de la unidad: τ = 1 +∆τ(∆τ 6= 0). En el límite donde S0 ≫ Smin y en los asos donde 0 < ∆τ < m se puedeobtener un rela ión de es ala entre los momentos de orden m y el ut-o:

〈Sm〉 ∼ Sm−(τ−1)0 (2.4)Por un lado, esta e ua ión resulta importante ya que se umple para todo m si 0 <

∆τ < 1. Esto impli a que aquellos fenómenos on una distribu ión de eventos de laforma N(S) ∼ S−τ on 1 < τ < 2 presentan observables (〈Sm〉) que son dominadospor los eventos extremos (S0). Por el ontrario, si τ > 2, la E . (2.3) en el aso m =

1 y en el límite S0 ≫ Smin resulta siempre independiente de S0. Esto indi a queN(S) de ae su ientemente rápido y los eventos más grandes no tienen peso ya queo urren on muy po a fre uen ia. Por otro lado, si se uenta numéri amente on unadistribu ión tipo ley de poten ia on orte a eventos grandes, esta e ua ión permite al ular sistemáti amente S0 a partir del primer y segundo momento:

S0 =

(

2−∆τ

1−∆τ

) 〈S2〉〈S〉 (2.5)Otro forma de denir el ut o S0 es a partir de las longitudes de orrela ión de lasavalan has, tanto en el plano de dimensión d (L0) omo en la dire ión normal (L⊥):

L⊥ ∼ Lζ0

S0 ∼ Ld0L⊥

⇒ S0 ∼ Ld+ζ0 (2.6)donde se introdu e el oe iente de rugosidad ζ omo el exponente que rela iona laslongitudes de orrela ión que ara terizan a las avalan has.2.1.2. Rela iones de es ala y exponentes ríti os †En los distintos modelos, el ut-o de la distribu ión S0 y los momentos estadísti osdel tamaño de los eventos 〈Sm〉 se regulan on algún parámetro (denótese α) o on eltamaño del sistema, de manera que uando α tiende a un valor ríti o αc o el tamañotiende a innito, la distribu ión es un ley de poten ias pura. El primer límite se estudiaen el ontexto de los fenómenos ríti os y se di e que α es el parámetro de ontrol (porejemplo α puede representar la temperatura en un modelo de Ising), mientras que elsegundo límite se enmar a en el ontexto de sistemas ríti amente auto-organizados

2.1 Cadenas de inestabilidades: Avalan has 21(SOC) ya que no se requiere un parámetro para al anzar un estado ríti o. En amboslímites el sistema se en uentra en un estado ríti o en el sentido de que las longitudes de orrela ión divergen. El he ho de que la distribu ión asintóti a sea una ley de poten iaN(S) ∼ S−τ indi a que en di hos límites, el sistema es invariante de es ala (se debea que di ha ley de poten ia tiene la propiedad de que el ambio relativo N(kS)

N(S)= k−τes independiente de S). En este sentido una ley de poten ia are e de una es ala ara terísti a o equivalentemente, su primer momento no esta denido3.En parti ular, en los modelos utilizados en este trabajo (se presentan en las se iones2.4 y 2.5) se obtienen las siguientes rela iones de es ala:

S0 ∼ 1/(αc − α)γ (2.7)〈Sm〉 ∼ 1/(αc − α)λm (2.8)L0 ∼ 1/(αc − α)ν (2.9)El ut-o S0 esta vin ulado on los momentos 〈Sm〉 y la longitud de orrela ión L0mediante las e ua iones 2.4 y 2.6 respe tivamente, lo que permite rela ionar los expo-nentes re ién presentados. Se pueden obtener por ejemplo e ua iones para γ y τ :

γ = ν(d+ ζ) (2.10) τ = 2− λ1

ν(d + ζ)(2.11)En modelos de re imiento de interfa es elásti as en medios aleatorios suele darseuna deni ión del oe iente de rugosidad diferente a la dada por la E .2.6. Se tiene en uenta que la morfología de una super ie depende de la es ala de observa ión por loque on eptos omo rugosidad son reemplazados por exponentes que no se reeren a larugosidad en sí misma sino en la forma en que ésta ambia on la es ala de observa ión[29. En este sentido, se puede al ular el exponente de rugosidad χ de una super ieanalizada omo una interfase autoafín4. Si la altura de la interfase de dimensión dy longitud unidimensional l se denota u(~r, t), su an ho esta dado por la desvia iónestándar σ0(l). De esta manera, el exponente de rugosidad queda denido una vezpasado el régimen transitorio por: σ0(l) ∼ lχ. Esta rela ión en el espa io de Fourierresulta:

|u(~q, t)|2 ∼ |q|−d−2χ (2.12)3En ontraste por ejemplo de una distribu ión Gaussiana donde la es ala esta denida por su valormedio.4Un objeto autoan se en uentra entre un objeto fra tal y uno no fra tal. Es de ir, los fra talesmantienen su estru tura bajo diferentes es alas de observa ión, mientras que un objeto autoan esaquel que no ambia su morfología sólo ante un ambio de es ala ade uado en ada dire ión. [29

22 Modelado Estadísti o de TerremotosLa importan ia de los exponentes introdu idos en esta se ión, radi a en que permi-ten rela ionar pro esos que en prin ipio se onsideran muy diferentes, e in luso puedenllegar a ubi arse dentro de una misma lase de universalidad.2.2. Modelo BK: pla as te tóni as omo bloques yresortesBurridge y Knopo fueron de los primeros en modelar el movimiento de las pla aste tóni as mediante leyes elementales bien denidas[30. A ontinua ión se presenta laparte de su modelo que sirve omo referen ia durante el desarrollo de este trabajo.La primer simpli a ión importante realizada es la de onsiderar una úni a fallaplana de manera de estudiar dos uerpos solidos deslizando entre sí (ver gura 2.2(a)).Como sólo es relevante el movimiento relativo, se onsidera un uerpo en reposo (subs-trato) y el otro deslizándose. Si bien ambos uerpos presentan elasti idad, el sistema sesimpli a aún más onsiderando que el substrato es rígido y el uerpo en movimiento eselásti o. Esta elasti idad se in orpora al modelo onsiderando su super ie ompuestapor una red uadrada de bloques (identi ados on su oordenada i) unidos a primerosve inos por resortes de onstate k0. Las variables que des riben este sistema son losdesplazamientos lo ales de ada bloque ui (relativo al substrato) o alternativamentelas fuerzas de rozamiento entre ada uno y el substrato fi. Por otro lado, la arga te -tóni a se in luye en el modelo onsiderando que una fuerza externa mueve al uerpo demanera onstante en el plano de los bloques a una velo idad V . Esto lo ha e a travésde un resorte de onstante k1 one tado a ada bloque. El nuevo sistema de estudioesquematizado en una dimensión se presenta en la gura 2.2(b).A partir de un análisis de la evolu ión temporal de los ui onsiderando poten ialesde ohesión5 y asumiendo una dinámi a disipativa sobreamortiguada6, resulta que elsistema tiene dos posibles evolu iones temporales dependiendo de la ongura ión enla que se en uentre[31:1. Dinámi a lenta - Carga externa a velo idad onstante: Presenta una di-námi a lenta originada en la arga externa donde las variables evolu ionan ua-siestáti amente. En esta situa ión se satisfa e que la fuerza sobre ada bloqueejer ida por todos los resortes a los uales se en uentra one tado es equilibradapor la fuerza de fri ión fi que el substrato le ejer e. Este balan e de fuerzasimpli a:5Se onsideran poten iales de ohesión de orrela ionados totalmente entre bloques diferentes y on orrela iones de orto al an e para el mismo bloque.6Es de ir, se despre ian los efe tos de iner ia de los bloques.

2.3 Modelo OFC: BK + autómata elular 23

(a) (b)Figura 2.2: Esquema de la situa ión de deslizamiento entre dos uerpos sólidos. (a) El uerpoinferior se en uentra jo y el superior se desliza a una velo idad onstante V debido a una arga externa. Las dimensiones de los uerpos son Lx, Ly en el plano de deslizamiento y Lzperpendi ular a di ho plano. (b) Los uerpos en (a) son reemplazados por una super ie rígiday un arreglo de bloques unidos entre si por resortes de onstante k0. La arga externa a túa en ada bloque en su mismo plano de deslizamiento mediante un resorte de onstante k1. El he hode que k1 es inversamente propor ional a Lz en (a) se dis ute en la se ión 3.3.fi = k1(V t− ui) + k0(∇2u)i (2.13)donde ∇2 es el Lapla iano dis reto de una red uadrada uyo parámetro de reddetermina la unidad de longitud; es de ir, (∇2u)i =

∑

j uj − 4ui, donde j indi alos uatro primeros ve inos de i.2. Dinámi a rápida - Rea omodamiento interno: El segundo modo de evolu- ión o urre uando en algún bloque la fuerza que los resortes le ejer en al anza elmáximo valor de fri ión estáti a. En este aso, la E . (2.13) no se puede satisfa- er on un pequeño ambio en los desplazamientos y o urre un rea omodamientoabrupto de las variables hasta que la E . (2.13) se satisfa e nuevamente. Notarque se onsidera que la dura ión de este rea omodamiento interno es despre iablefrente a la evolu ión uasiestáti a.Ha resultado de sumo interés que si a esta simple dinámi a se le impone una fuerzade fri ión que disminuye on la velo idad se obtienen eventos on una distribu ión detamaños que de ae omo una ley de poten ias.2.3. Modelo OFC: BK + autómata elularBasados en el modelo BK, Olami, Feder y Christensen (OFC) desarrollaron unmodelo de autómata elular tomando omo variables fundamentales los valores lo alesde la fuerza de fri ión entre ada bloque y el substrato fi [32. El esquema utilizadotambién se divide en dos dinámi as diferentes:

24 Modelado Estadísti o de Terremotos

(a) Dinámi a lenta (b) Dinámi a rápidaFigura 2.3: Esquema de la dinámi a de las fuerzas. (a) Dinámi a lenta: se muestran para ada sitio i el valor de la fuerza de fri ión fi y su orrespondiente umbral f ci . Las e hasindi an un aumento uniforme de todas las fuerzas debido a la arga externa. Este es el aso delos modelos OFC y OFC∗. (b) Dinámi a rápida: al al anzar su umbral, el sitio ic se vuelveinestable disminuyendo el valor de su fuerza en ∆f y aumentando el valor de la fuerza de losve inos en α∆f . Estas reglas se reeren a los modelos OFC, OFC∗ y OFCR.1. Dinámi a lenta - Carga externa a velo idad onstante: Se supone queini ialmente todos los bloques se en uentran en un equilibrio de fuerzas estáti as(E . 2.13). Se le apli a una arga externa lo su ientemente debil de manera que elsistema evolu ione uasiestati amente. Al apli arle una fuerza externa (medianteresortes de onstante k1 vin ulados a ada bloque) todos los valores de fi re en on el mismo ritmo onstante en el tiempo7:

dfidt

= k1V ∀i (2.14)donde V indi a la velo idad de la pla a sujeta a la arga externa (ver g. 2.2).El sistema permane e estable y avanza de esta manera hasta que en algún sitioi, la fuerza fi al anza su umbral f c

i (máximo valor lo al de fri ión estáti a). Lossitios uyas fuerzas superen o igualen a su umbral serán sitios inestables y se losdenotará ic. Esta dinámi a se esquematiza en la gura 2.3(a).Numéri amente se implementa identi ando el primer sitio inestable ic elegido omo aquel uya diferen ia ǫi = f ci − fi sea mínima (ǫmin = ǫic). Una vez iden-ti ado el sitio que se volverá inestable, todas las fuerzas avanzan una antidad

ǫmin en un intervalo de tiempo k1V ǫmin.2. Dinámi a rápida - Rea omodamiento interno: Tras llegar al umbral f ci , elsitio inestable se relaja disminuyendo el valor de su fuerza en ∆f e in rementando7Si la evolu ión temporal de fi se piensa a partir de la E . (2.13), se debe tener en uenta que enla evolu ión uasiestáti a dui

dt= 0

2.3 Modelo OFC: BK + autómata elular 25las fuerzas sobre sus primeros ve inos j en un fa tor α∆f :fi ≥ f c

i ⇒

fi → fi −∆f

fj → fj + α∆f(2.15)De esta manera, uno o más ve inos j pueden volverse inestables mar ando el omienzo de una avalan ha o evento. Es por esto que esta e ua ión se itera hastaque todos los sitios i sean estables (fi < f c

i ∀i). Esta dinámi a se esquematizaen la gura 2.3(b). En este modelo, originalmente se han tomado los umbralesuniformes y adimensionales f ci = 1 ∀i y la aída de las fuerzas ∆f = fi, demanera que los nuevos valores de equilibrio de las fuerzas son iguales a ero.Fa tor de onserva ión α: Suponiendo una red uadrada on uatro primerosve inos la onserva ión lo al de la energía impli a que el aumento de las fuerzasde los ve inos del sitio inestable no puede superar la aida de la fuerza en di hositio: 0 < 4α∆f ≤ ∆f ; siendo α = αc = 1

4en el aso onservativo donde todala energía se reparte entre los ve inos. Vale la pena men ionar que el fa tor de onserva ión esta rela ionado on las onstantes de los resortes del modelo BKmediante la e ua ión: α = k0

4k0+k1. A partir de esta rela ión se puede entender que uando el resorte vin ulado a la arga externa es ada vez más debil (k1 → 0) elsistema se a er a al aso onservativo (α → αc).Momento sísmi o S: El momento sísmi o o volumen de ada evento se dene omo la suma de todas las des argas involu radas:S =

∑

ic

∆f (2.16)Utilizando la E . (1.1) queda determinada la magnitud del evento: M = 23log10S;notar que un evento de magnitud M = 2 orresponde a S = 103 des argas y unode magnitud M = 3 orresponde a S = 31,6 103 des argas.Área A: El área A de un evento se dene omo la antidad de sitios involu radosy por onse uen ia la longitud unidimensional de di ho evento será L =√A.Condi iones de ontorno Por un lado, abe men ionar que en este modelogeneralmente se utilizan ondi iones de ontorno abiertas ya que el uso de ondi io-nes de ontorno periódi as genera homogeneidades espa iales que indu en una fuertesin roniza ión global en el modelo (ver Ref.[33).

26 Modelado Estadísti o de TerremotosDistribu ión de tamaños Por otro lado, el modelo así planteado presenta unadistribu ión de tamaños tipo ley de poten ia on un orte a eventos grandes: N(S) ∼S−τf(S/S0) (E . 2.1). Se obtiene que el exponente de de aimiento τ depende de la onserva ión del sistema α y S0 aumenta on el tamaño del sistema, es de ir que elmáximo tamaño de los eventos es omparable on el tamaño del sistema. Este resultadoes independiente de α indi ando que se puede al anzar un estado ríti o sin ontrolarningun parámetro sugiriendo que el modelo es del tipo SOC (self-organized- riti al).Si bien esta idea resulta interesante ya que las distribu iones de Gutenberg-Ri hterno muestran un orte a grandes magnitudes (se ión 1.2.1), el modelo OFC presentavarios aspe tos por los que no se puede onsiderar realista; en parti ular, en la se ión3.3 se dis ute porqué su límite ma ros ópi o no tiene sentido.Disipa ión Finalmente abe men ionar que un aspe to importante para onside-rar a un modelo realista es que exista disipa ión en el sistema. Es de ir, la energía intro-du ida al sistema por la arga externa debe ser disipada al produ irse las avalan has.En el modelo OFC usualmente se onsidera que esta situa ión se umple ya que pre-senta una ley de poten ias on un exponente real para un valor de α ≃ 0,2 < αc = 0,25.Se interpreta que el sistema pierde un 20% de su energía en ada redistribu ión de lasfuerzas luego de que un bloque se desliza[34. Es de ir, on este argumento el sistemano disiparía energía en el límite α → αc. Sin embargo, se debe onsiderar que la disi-pa ión ade uada no es la orrespondiente a la pérdida de las fuerzas en la E . (2.15)sino orresponde a la disipa ión que o urre por fri ión al desplazarse los bloques. Laenergía media disipada queda determinada enton es por 〈fS〉, donde f es el valor me-dio espa ial de las fuerzas de fri ión, S se interpreta omo los desplazamientos totalesde los bloques en una avalan ha8 y 〈. . . 〉 denota un valor medio en el tiempo.2.4. Modelo OFC*: OFC + umbrales aleatoriosSi bien los modelos BK y OFC previamente presentados onsiguen mostrar unadistribu ión de tamaños tipo ley de poten ia (E . 1.3), su exponente de de aimientoτ depende del parámetro α = k0

4k0+k1. Di ho exponente resulta ser independiente delos parámetros del problema en el nuevo modelo OFC∗ presentado por Jagla[26. Seproponen dos versiones del mismo; uno onsidera la ondi ión de la arga externa avelo idad onstante y el otro a fuerza onstante.8Un análisis detallado de las reglas de autómata elular denidas en la E .(2.15) en términosde la E . (2.13) muestra que uando un bloque inestable disminuye su fuerza en ∆f , aumenta sudesplazamiento una misma antidad.

2.4 Modelo OFC*: OFC + umbrales aleatorios 272.4.1. Carga externa a velo idad onstanteLa primer versión del modelo OFC∗ es la extensión más natural del modelo OFCdonde sólo hay una modi a ión en la dinámi a rápida.1. Dinámi a lenta - Carga externa a velo idad onstante: La dinámi a lentautilizada es la misma que la del modelo OFC (ver se ión 2.3, E . 2.14).2. Dinámi a rápida - Rea omodamiento interno y umbrales aleatorios:Teniendo en uenta que las propiedades de los materiales que onstituyen a lasfallas no son uniformes, se onsidera que el valor umbral de la fuerza de fri iónestáti a tampo o lo es, sino que presenta una varia ión espa ial; es de ir, losumbrales f ci dependen de ada sitio. Además, pensando en el modelo de bloquesy onsiderando que ada vez que un bloque llega a una situa ión inestable, éste sedesplaza9 y la situa ión ambia, en ada itera ión de la E . (2.15) f c

i es renovadoa partir una distribu ión de probabilidad P (f ci ) de media uno10 (en ontraste onel modelo OFC donde f c

i = 1 ∀i). El valor lo al de la aída de la fuerza se tomaunitario: ∆f = 1. El modelo es independiente de la forma de la distribu iónde umbrales mientras que el an ho de la distribu ión sea mayor que un valormínimo (de lo ontrario se re upera el modelo OFC original). Al implementarlas simula iones se utilizaron distribu iones pi assianas y exponen iales.En sistemas su ientemente grandes esta modi a ión ha e que el modelo seaindependiente de las ondi iones de ontorno utilizadas por lo que se utilizan ondi iones periódi as de ontorno para minimizar los efe tos de tamaño nito.2.4.2. Carga externa a fuerza onstante †Con el n ampliar el estudio de estos modelos, se implementó la segunda versión delmodelo OFC*. Aquí se mantiene la misma dinámi a rápida on umbrales aleatorios.Sin embargo, se ambia su dinámi a lenta de manera que la arga externa trabaja afuerza onstante y no a velo idad onstante.1. Dinámi a lenta - Carga externa a fuerza onstante: Se onsidera que lavelo idad de la pla a superior V es nula y que el fa tor de onserva ión α tomael valor ríti o αc = 0,25 de manera que el valor medio espa ial de las fuerzas delsistema (f = 〈fi〉i) permane e onstante en el tiempo. El primer sitio inestable icse elige omo aquel uya diferen ia ǫi = f ci − fi sea mínima (ǫmin = ǫic). Una vezidenti ado el sitio que se volverá inestable, el sistema puede avanzar un intervalo9En el modelo, la dire ión de desplazamiento (a lo largo del eje "u") no orresponde a una dire iónen el plano de las fallas, sino que se onsidera una dire ión independiente (ver pág. 3 de Ref.[31).10La dinámi a del modelo es independiente del valor medio de los umbrales ya que si éste se ambia,solo se produ e un ambio rígido en los fi.

28 Modelado Estadísti o de Terremotosde tiempo ǫmin sujeto a la restri ión de que f(t) sea onstante de dos maneradistintas:I. En lugar de que las fuerzas avan en ǫmin omo era el aso a velo idad ons-tante, todos los umbrales disminuyen di ha antidad: f ci → f c

i − ǫmin ∀i.II. Las fuerzas ni sus umbrales ambian, se piensa que luego de un tiempo ǫminel sitio ic se vuelve inestable ini iando una avalan ha.2. Dinámi a rápida - Rea omodamiento interno y umbrales aleatorios: Esla mismamodi a ión que se presentó en la otra versión del modeloOFC∗(se ión2.4.1).2.5. Modelo OFCR: OFC* + relaja ión internaCon el n de introdu ir un me anismo apaz de reprodu ir las répli as que seobservan en los terremotos (se ión 1.2.2) se realiza una modi a ión en la dinámi alenta del modelo OFC∗. Se propone un me anismo de relaja ión basado en la eviden iade que dos uerpos sólidos en onta to sufren relaja ión plásti a. En este pro eso seaumenta su área de onta to a lo largo del tiempo y se redu e su energía total (verse ión 1.3.1).Este nuevo modelo se lo llama OFCR y originalmente se lo implementó omo unamodi a ión al modelo OFC∗ a velo idad onstante[26. Éste se des ribe en la se ión2.5.1, y es el modelo al que se le debe prestar mayor aten ión. Por ompletitud, sepresentan aquí las diferentes versiones que se han implementado. En la se ión 2.5.2se des ribe la versión del modelo OFCR a fuerza onstante y en las se ión 2.5.3 se onsidera el límite de relaja ión innita. Finalmente en la se ión 2.5.4 se presentanuna varia ión del me anismo de relaja ión: la aproxima ión de ampo medio.2.5.1. Carga externa a velo idad onstante1. Dinámi a lenta - Carga externa a velo idad onstante y relaja ión in-terna: La modi a ión se implementa dire tamente en la e ua ión de evolu iónlenta de las fuerzas fi (E . 2.14):dfidt

= k1V + c(∇2f)i (2.17)De esta manera, se introdu e un término de relaja ión originado en un rea o-modamiento interno de los bloques; afe ta lo almente los valores de las fuerzasde fri ión de manera de redu ir la energía global del sistema. En el aso V = 0tiende a uniformizarlos en una es ala de tiempos jada por c. Si este no es el aso,

2.5 Modelo OFCR: OFC* + relaja ión interna 29la relaja ión ompite on la arga externa, por lo que el parámetro relevante dela dinámi a lenta que mide esta ompeten ia es R = ck1V

.2. Dinámi a rápida - Rea omodamiento interno y umbrales aleatorios: Seutiliza la misma dinámi a rápida que en el modelo OFC∗ (se ión 2.4.1).2.5.2. Carga externa a fuerza onstante †1. Dinámi a lenta - Carga externa a fuerza onstante y relaja ión interna:Se onsidera que la velo idad de la pla a superior V es nula de manera que laevolu ión lenta de las fuerzas esta determinada por la E . (2.17) on V = 0; esde ir sólo a túa la relaja ión: dfidt

= c(∇2f)i. Para mantener onstante el valormedio espa ial de las fuerzas del sistema (f = 〈fi〉i) el fa tor de onserva iónα toma el valor ríti o αc = 0,25. De esta manera, luego de un primer evento,mediante el me anismo de relaja ión, el sistema bus a uniformizar las fuerzashasta que fi = f ∀i. En este pro eso algún bloque puede al anzar su umbral defri ión de manera de volverse inestable, a tivando una avalan ha y retardandoel pro eso de estabiliza ión global. Es de ir, se logra reprodu ir eventos que sonex lusivamente répli as del original. Una vez que fi = f ∀i el sitio inestable ic seelige omo aquel uya diferen ia ǫi = f c

i − fi = f ci − f sea mínima y el sistemaevolu iona un tiempo ǫmin = ǫic . La manera en que lo ha e son las dos maneraspresentadas para el modelo OFC∗ a fuerza onstante:I. Todos los umbrales disminuyen una antidad ǫmin: f c

i → f ci − ǫmin ∀i.II. Las fuerzas ni sus umbrales ambian, se piensa que luego de un tiempo ǫminel sitio ic se vuelve inestable ini iando una avalan ha.2. Dinámi a rápida - Rea omodamiento interno y umbrales aleatorios: Esla mismamodi a ión que se presentó en la otra versión del modeloOFC∗(se ión2.4.1).2.5.3. Relaja ión innita †El segundo aso espe ial que se tiene en uenta es el límite de relaja ión innitadenido por la ondi ión R = c

k1V≫ 1. Esto impli a que los tiempos en los que elsistema avanza debido a la arga externa son mu ho más largos que los tiempos derelaja ión interna del sistema. Es de ir que si en este límite se analiza la E . (2.17),se entiende que se puede distinguir laramente entre los eventos desen adenados porel termino de la arga externa k1V y los eventos desen adenados por el término dela relaja ión interna r. La dinámi a sería enton es la siguiente: dada una distribu iónuniforme de las fi, el término k1V a túa aumentando uniformemente todas las fi hasta

30 Modelado Estadísti o de Terremotosque se al anza el menor f ci . En este momento, se desen adena un evento originadopor la arga externa que redistribuye las fi de manera no uniforme. Esto da lugara que a túe la relaja ión y produz a una se uen ia de eventos onse utivos on unaes ala de tiempos propia. Éstos eventos son las répli as que denen un luster quenaliza uando la distribu ión espa ial de las fi se vuelve nuevamente uniforme. Deesta manera el pro eso se repite.2.5.4. Aproxima ión de ampo medio †La aproxima ión de ampo medio del me anismo de relaja ión impli a que la sumasobre los primeros ve inos orrespondiente al término del Lapla iano en la E . (2.17)es reemplazada por un promedio sobre todo el sistema. De esta manera

dfidt

= k1V − 4c(fi − f) (2.18)donde f es el promedio de las fuerzas sobre todo el sistema y el fa tor 4 se in luyó paratener una ompara ión más dire ta entre las dos e ua iones.Esta implementa ión de la relaja ión permite una manera muy e iente de determi-nar el próximo sitio inestable ic (es de ir, el primer sitio uya fuerza llega a su umbral)ya que la E . (2.18) puede ser resuelta analíti amente:fi(t+∆t) = e−4c∆t(fi(t)−

k1V

4c− f) +

k1V

4c+ f (2.19)Por el ontrario, la E . (2.17) debe ser resuelta mediante un pro eso de integra iónnuméri amente más lento. Los dos me anismos de relaja ión presentan resultados queno dieren substan ialmente.

Parte IIOFC* vs. OFCR: efe tos de larelaja ión

31

33La verdad en ien ia puede ser denida omo la hipótesis detrabajo que mejor se ajusta para abrir el amino a la siguientemejor ajustada. Konrad Lorenz (1903-1989)En esta parte se omparan los resultados obtenidos on los modelos OFC∗ y OFCRde manera de resaltar los efe tos de la relaja ión interna y demostrar su importan iaen un modelo realista de fenómenos sísmi os. En las se iones 2.4 y 2.5 del apítulo 2 sedetallaron las dinámi as de estos modelos. Bási amente ha en referen ia a una evolu- ión uasiestáti a del sistema (en equilibrio) interrumpida por avalan has instantáneasdel sistema (fuera del equilibrio).En el apítulo 3 presentado a ontinua ión se analizan di has avalan has, re ordan-do que representan a los terremotos dentro del modelo. Primero, en la se ión 3.1 sepresentan las distribu iones que las ara terizan: las distribu iones temporales, espa- iales y de tamaños. Estas distribu iones permiten entender diferen ias y similitudesentre las distintas versiones de los modelos y entre los modelos y la realidad. A partirde la distribu ión de tamaños se obtienen rela iones de es ala y exponentes ríti os quepermiten lasi ar y entender mejor los distintos modelos (se ión 3.2). Finalmente, enla se ión 3.3 se analiza el límite ma ros ópi o de los modelos. Para esto se onsiderael es aleo del máximo tamaño de los terremotos junto on una ade uada interpreta iónde los parámetros. Se observan dos modos de deslizamiento, uno del tipo sti k-slip yotro suave dependiendo de si se in luye o no el me anismo de relaja ión.En el apítulo 4 se analiza la dinámi a que tiene lugar entre las avalan has; es de- ir, se onsidera la evolu ión lenta de las variables fundamentales, explí itamente, losdesplazamientos de los bloques y las fuerzas de fri ión entre los bloques y el subs-trato. Se bus a ara terizar a las dinámi as de los distintos modelos prin ipalmenteobservando la evolu ión de los valores medios espa iales de di has variables. Por unlado, en la se ión 4.2 se analizan los desplazamientos de los bloques, identi andozonas ono idas en geología omo gap sísmi o y obteniendo nuevamente dos modosde deslizamiento, uno suave en el aso sin relaja ión y otro del tipo sti k-slip en el aso on relaja ión. Por otro lado, en la se ión 4.3 se analizan las fuerzas de fri ión,observando la existen ia del i lo sísmi o, otro pro eso fundamental en un modelorealista de terremotos.

Capítulo 3Dinámi a rápida

La Físi a es el arte de bien aproximar. Enri o Fermi (1901-1954)Como se analizó en el apítulo 2, en todos los modelos presentados, la dinámi a rápidade los bloques es la que dene los terremotos. Se los entiende omo se uen ias rápidasde inestabilidades en un sistema dinámi o (avalan has) que maniestan la evolu ióndel sistema ha ia un estado de equilibrio (en general, metaestable).Los modelos OFC∗ y OFCR presentan la mísma dinámi a rápida determinada porlas reglas de autómata elular des riptas en la E . (2.15):fi ≥ f c

i ⇒

fi → f ci −∆f

fj → fj + α∆fEs de ir que si un sitio i se vuelve inestable (i = ic ≡ fi ≥ f ci )1, éste se relajadisminuyendo el valor de su fuerza en∆f e in rementando las fuerzas sobre sus primerosve inos j en un fa tor α∆f . De esta manera, uno o más ve inos j pueden volverseinestables de manera que esta e ua ión se itera hasta que todos los sitios i sean estables(fi < f c

i ∀i). Este pro eso dene una avalan ha de tamaño S =∑

ic∆f (E . 2.16). Porun lado, estas avalan has tienen distribu iones ara terísti as presentadas en la se ión3.1. Por otro lado, en la se ión 3.2 se denen las rela iones de es ala y los exponentes ríti os que ara terizan a estas avalan has analizadas de manera análoga a ómo seanaliza una transi ión de fase. En este ontexto, en la se ión 3.3 se estudia el límitema ros ópi o del sistema.1Notar que la manera en que el primer sitio se vuelve inestable es lo que diferen ia los distintosmodelos presentados en el apítulo 2. 35

36 Dinámi a rápida3.1. Distribu iones ara terísti asCono iendo sólo tres variables aso iadas a los eventos de una se uen ia de avalan- has es posible dar una primera ara teriza ión bastante ompleta del sistema. Éstasson: su tamaño S (o magnitud M = 23log S), la posi ión en donde se ini ió ~r0 (epi en-tro) y el tiempo t en el que omenzó. A ontinua ión se presentan tres distribu ionesque se pueden obtener on estas variables.3.1.1. Distribu ión temporal y espa ialEn la gura 3.1 se presentan las distribu iones temporales y espa iales en los mode-los sin y on relaja ión implementados en ada aso on las diferentes alternativas quepuede tomar la arga externa. En los asos de las distribu iones espa iales, se gra a laproye ión de la posi ión de los epi entros en uno de los ejes X0(t). Se apre ia que lasdistribu iones son ualitativamente diferentes dependiendo de si existe o no relaja ión.OFC*: sin relaja iónVelo idad onstante En la gura 3.1(a) se puede observar que el modelo OFC∗a velo idad onstante presenta distribu iones homogéneas tanto temporal omo espa- ialmente, mostrando un aspe to del modelo que no es realista ( omparar por ejemplo on las distribu iones de la se ión 1.2). Además, esta homogeneidad en las distribu- iones espa iales y temporales indi a que de existir orrela iones entre los eventos, sondespre iables. De he ho, esto se onrma en Ref. [31 donde se observa que la distribu- ión de intervalos de tiempo entre eventos es exponen ial. El he ho de que los eventosno presenten orrela iones permite proponer que no es posible prede ir los eventos eneste modelo.Fuerza onstante † En las guras 3.1( ,e) se presentan las distribu iones o-rrespondientes a las dos versiones del modelo OFC∗ a fuerza onstante. Su primerversión es totalmente equivalente en uanto a sus distribu iones on el modelo OFC∗a velo idad onstante. Por otro lado, se ha e notar que en la segunda versión existe ierta estru tura en la distribu ión temporal y fuertes orrela iones espa iales entre losepi entros. Esta dinámi a es similar a la que presenta el modelo de evolu ión biológi ade Bak-Sneppen[35. Su ompleta ompara ión es un futuro tema de estudio.OFCR: on relaja iónVelo idad onstante En la gura 3.1(b) se presenta la se uen ia de eventospara el modelo on relaja ión a velo idad onstante. Es laro que apare en se uen-

3.1 Distribu iones ara terísti as 37M

(t)

1

2

3 α=0.2497

X0(

t)

Tiempo 0

100

200

0 0.015 0.03

N(S

)

S

x−1.27

Parametro de control α

0.24999 0.2499 0.24910−10

10−6

10−2

100 102 104 106(a) OFC*: velo idad onstanteM

(t)

1

2

3 α=0.243

X0(

t)

Tiempo 0

100

200

0 0.1 0.2

N(S

)

S

x−1.67

Parametro de control α

0.247 0.245 0.23810−10

10−6

10−2

100 102 104 106(b) OFCR: velo idad onstante

M(t

)

1

2

3

4f−=0.8355

X0(

t)

Tiempo 0

150

300

0 0.015 0.03

N(S

)

S

x−1.27

Parametro de control f−

0.841 0.835 0.81910−6

10−2

100 102 104 106( ) OFC*: fuerza onstante I

M(t

)

1

1.5

2f−=0.88

X0(

t)

Tiempo 0

100

200

0 4 8

N(S

)

S

x−2

Parametro de control f−

0.84 0.86 0.8810−6

10−2

100 101 102 103 104(d) OFCR: fuerza onstante I

M(t

)

1

2

3

4f−=0.8385

X0(

t)

Tiempo 0

150

300

0 4 8 12

N(S

)

S

x−1.27

Parametro de control f−

0.841 0.839 0.82910−10

10−6

10−2

100 102 104 106(e) OFC*: fuerza onstante II

M(t

)

1

1.5

2

2.5f−=0.84

X0(

t)

Tiempo 0

100

200

0 1 2 3

N(S

)

S

x−2

Parametro de control f−

0.846 0.84 0.8210−6

10−2

100 101 102 103 104(f) OFCR: fuerza onstante IIFigura 3.1: Distribu iones ara terísti as obtenidas a partir de las simula iones numéri asde los modelos OFC∗ y OFCR; ambos implementados on la ondi ión de la arga externa avelo idad onstante y a fuerza onstante.

38 Dinámi a rápidaP

(fic )

fic

Tiempo

f- 1.5 2.5(a) OFCR fuerza onstante I

P(f

ic )

fic

Tiempo

f- 1.5 2.5(b) OFCR fuerza onstante IIFigura 3.2: Evolu ión temporal de la distribu ión de umbrales P (f c

i ) orrespondientes a lasdos versiones del modelo OFCR a fuerza onstante. En (a) se llega a una distribu ión esta iónesta ionaria, no así en (b). Se desta a que ini ialmente P (f ci ) es una distribu ión gaussiana demedia 1 y an ho 0.6 sujeto a la restri ión de que los umbrales son mayores que el valor mediode las fuerzas: f c

i > f . ias de eventos agrupados temporal y espa ialmente on orrela iones no triviales.Estas se uen ias, ono idas omo répli as, tienen lugar luego de o urrido un evento demagnitud grande y sus epi entros se ubi an alrededor del epi entro de di ho eventoprin ipal. Este tipo de distribu iones es ualitativamente similar a las obtenidas en larealidad (ver las guras 1.2( ) y 1.4).Fuerza onstante † En las guras 3.1(d,f) se presentan las distribu iones o-rrespondientes a las dos versiones del modelo OFCR a fuerza onstante. En ambos asos, se observan eventos a tivados ex lusivamente por efe to del me anismo de re-laja ión ( lusters) agrupados temporal y espa ialmente. Además, es laro que en laversión I el sistema se en uentra en un estado esta ionario y en la versión II no. Enéste último aso, las magnitudes máximas de los eventos de ada luster van disminu-yendo hasta que el sistema llega a un estado esta ionario donde solo o urren eventospuntuales (S = 1). Esta diferen ia de omportamiento se puede entender analizandola distribu ión de umbrales P (f ci ). En la gura 3.2 se presenta la evolu ión de di hadistribu ión a lo largo de la simula ión en ada aso. Por un lado se observa que laversión II no al anza un estado esta ionario ya que P (f c

i ) se desplaza en el tiempo avalores mayores. Es de ir, llega un momento en el ual lo que aumentan los ve inosdel sitio inestable (αc∆f) es menor que la distan ia a su umbral (ǫj = f cj − fj). Porotro lado, en la versión I del modelo P (f c

i ) al anza una distribu ión estable. Esto seentiende si se piensa a la versión I omo equivalente a la II2 pero on la diferen ia deque al nalizar ada luster todos los umbrales son disminuidos una antidad ǫmin, esde ir la deni ión misma de la versión II no permite que P (f ci ) se despla e.2Re ordar que en ambas versiones del modelo OFCR a fuerza onstante se toma V = 0 y se onsidera al primer sitio inestable de un luster omo aquel uya fuerza se en uentra más er a a suumbral.

3.1 Distribu iones ara terísti as 39

(a) Es ala de tiempos jada por la arga ex-ternaM

(t)

(a)

1

2

3

4

0 10 20 30

(b)

1

2

3

4

0 10 20 30

(c)

1

2

3

4

0 10 20 30

N(S

)

S

x-1.67

(a) (b) (c)

10-8

10-4

100

102 104 106(b) Es ala de tiempos jada por la relaja iónFigura 3.3: Distribu ión temporal y de tamaños en el modelo OFCR a velo idad onstanteimplementado en el límite de relaja ión innita en la aproxima ión de ampo medio. En estaimplementa ión se separan los eventos produ idos por la arga externa y aquellos a tivados porel me anismo de relaja ión ( lusters). Conse uentemente, el sistema tiene dos es alas de tiempomuy diferentes. En (a) se presentan los resultados orrespondientes a la es ala de tiempos jadapor la arga externa y en (b) se presentan los resultados de tres lusters individuales mar ados on e has en (a).Relaja ión innita en ampo medio † En la gura 3.3 se presenta la distribu- ión temporal de los eventos obtenidos en el modelo OFCR en el límite de relaja ióninnita y en la aproxima ión de ampo medio. Se debe notar que la es ala temporal dela gura 3.3(a) es la de la arga externa. Es de ir, para un dado valor de la oordenadahorizontal, se en uentra un luster de eventos que fueron a tivados ex lusivamente porefe to del me anismo de relaja ión. Los eventos dentro de algunos de estos lusters(aquellos indi ados on e has), gra ados en fun ión de la es ala de tiempos internase muestran en la gura 3.3(b).3.1.2. Distribu ión de tamañosSi dada una región del espa io y un intervalo de tiempo su ientemente largo se uentan la antidad de avalan has de tamaño S se obtiene la distribu ión de tamaños dedi has avalan has N(S). Las distribu iones de tamaños de los modelos OFC∗ y OFCRen es ala logarítmi a se presentan en la gura 3.1. Es laro que en todos los asos existeun rango de tamaños donde la distribu ión es una ley de poten ias N(S) ∼ S−τ , on unexponente de de aimiento mayor en los asos on relaja ión3. A ex ep ión del modeloOFCR a fuerza onstante, se observa un orte de la distribu ión a tamaños grandes3Las distribu iones que de aen omo una ley de poten ias se presentan laramente al realizarun histograma de N(S) tomando ajas uyo an ho re e geométri amente on S. Equivalentementeprimero se realiza un histograma tomando ajas de an ho onstante de la variable logS y luego serealiza la transforma ión N(S) = N(logS)d logS

dS. En este trabajo todas las distribu iones de tamañose presentarán en es ala logarítmi a (logN(S) = −τS+log f(S/S0)). De esta manera se puede apre iar laramente el exponente τ omo la pendiente de la re ta que mejor aproxime a los datos en el rango

S < S0.

40 Dinámi a rápida( ut-o).Carga externa a velo idad onstanteParámetro de ontrol α En los modelos a velo idad onstante se obtiene que el ut-o está regulado por el valor de α, de manera que uando α → αc, la distribu iónse vuelve una ley de poten ia en un rango ada vez mayor. En esta situa ión habríaavalan has de tamaño innito lo que permite entender en el ontexto de la teoría detransi iones de fases al parámetro α omo un parámetro de ontrol.Exponente de de aimiento τ En las guras 3.1(a,b) se presentan las distribu- iones orrespondientes a los modelos a velo idad onstante. Se observa que el exponen-te de de aimiento τ depende de si el modelo in luye o no un me anismo de relaja ión.A modo de referen ia se gra an re tas de pendientes τ = 1,27 y τ = 1,67. Es sor-prendente que además de reprodu ir répli as, el me anismo de relaja ión aumenta elexponente de de aimiento desde 1.27 hasta un valor ompatible on los observadosexperimentalmente (aproximadamente entre 1,5 y 1,9; ver se ión 1.2.1). Al observarun ambio de exponente uno se puede preguntar ¾qué onse uen ias trae aparejadas?,¾sería posible que τ disminuyera al in luir la relaja ión?, ¾afe ta este ambio a laspropiedades ríti as?. Estas son algunas preguntas que se intentarán responder en el apítulo 5.Relaja ión innita en ampo medio † Un exponente τ ≃ 1,67 también seobserva en el aso de relaja ión innita, tanto para la distribu ión ompleta de eventos(gura 3.3(a)) omo para valores espe í os de la oordenada horizontal (gura 3.3(b)).Esto muestra que las répli as presentan en sí mismas un exponente τ ∼ 1,67, resultadoobtenido también on se uen ias reales de terremotos [36. El he ho de que los lustersindividuales tengan de por sí una distribu ión de tamaños on un exponente realista,da indi ios de donde se puede bus ar una expli a ión al origen del ambio de exponenteque existe al in luir la relaja ión. Este tema se trata en el apítulo 5.Carga externa a fuerza onstante †Parámetro de ontrol f Análogamente a lo omentado en los modelos a velo- idad onstante, en los modelos a fuerza onstante el parámetro de ontrol es di hafuerza f . En todos los asos, se presentan los resultados obtenidos para valores de f pordebajo de algún umbral fc. Por en ima de di ho umbral, se observa una probabilidadnita de que existan eventos innitamente grandes. La manera en que el tamaño de es-

3.2 Rela iones de es ala y exponentes ríti os † 41tas avalan has diverge al regular el parámetro de ontrol será analizado en la siguientese ión.Exponente de de aimiento τ En las guras 3.1( -f) se presentan las distri-bu iones orrespondientes a los modelos a fuerza onstante. Por un lado, se observaque en las dos implementa iones del modelo OFC∗ a fuerza onstante, τ es el mismoque a velo idad onstante: τ ≃ 1,27. Por otro lado, al imponer la ondi ión de fuerza onstante en el modelo OFCR, τ presenta un valor er ano a 2. Como se men ionó enla se ión 2.1.1, si τ > 2, 〈S〉 resulta independiente de S0. Esto es onsistente on el he- ho de que existen varios valores de f on los uales se obtiene una úni a distribu ión,aparentemente sin un ut-o.3.2. Rela iones de es ala y exponentes ríti os †En la se ión 2.1 se realizó un análisis general de la distribu ión de tamaños deavalan has de la forma N(S) ∼ S−τf(S/S0) (E . 2.1). Las rela iones de es ala y lasrela iones entre exponentes allí denidas son:〈Sm〉 ∼ S

m−(τ−1)0 (3.1)

S0 ∼ Ld+ζ0 (3.2)

S0 ∼ ∆−γ (3.3)〈Sm〉 ∼ ∆−λm (3.4)

L0 ∼ ∆−ν (3.5)γ∆ = ν∆(d+ ζ) (3.6)

τ = 2− λ1,∆

ν∆(d+ ζ)(3.7)

Aquí L0 es la longitud de orrela ión de las avalan has en un sistema de dimensiónespa ial d. La rela ión entre L0 y la longitud de orrela ión perpendi ular al plano delas avalan has dene el exponente de rugosidad ζ . La manera en que divergen L0, el ut-o S0 y los momentos de orden m de S están determinadas por el parámetro ∆que indi a uán apartado está el sistema de la situa ión ríti a.Parámetros de ontrol ∆ En los modelos a velo idad onstante α es el parámetrode ontrol por lo que ∆ ≡ ∆α = αc − α y en el modelo OFC∗ a fuerza onstante4f es el parámetro de ontrol por lo que ∆ ≡ ∆f = fc − f . A ex ep ión de τ y ζ , los4Debido a la similitud de las dos versiones del modelo OFC∗ a fuerza onstante se espera que susresultados sean equivalentes. En esta se ión se presentan los resultados orrespondientes a la segundaversión.

42 Dinámi a rápidademás exponentes dependen de la forma en que se implementa la arga externa, por loque se los denota on un subíndi e ∆ indi ando explí itamente esta dependen ia. Estasrela iones son válidas si se umple 1 < τ < 2, por lo que en esta se ión se analizarásólo los modelos re ién men ionados que son los que umplen on esta ondi ión (verse ión 3.1.2).Modelo OFC*E ua ión de Edwards-Wilkinson on ruido templado En Ref. [37 se pre-senta el mapeo que existe entre el modelo OFC∗ y el problema de una interfase bidi-mensional er a de la transi ión de an laje. La dinámi a de di ha interfase se des ribe on la e ua ión de Edwards-Wilkinson on ruido templado y presenta dos interpreta- iones análogas a las dos formas posible de que a túe la arga externa en el modeloOFC∗. Su estudio en la versión a fuerza onstante introdu e dos nuevas rela ionesentre los exponentes:

ν∆f =1

(2− ζ)(3.8) λ1,∆f = ν∆fζ + 1 (3.9)La E . (3.8) surge de argumentos de simetría del sistema (en ingles statisti al tiltsymmetry) y es de suma importan ia ya que on ella se pueden al ular los demásexponentes simplemente ono iendo el exponente de rugosidad de la super ie ζ . Porejemplo, al introdu ir estas dos e ua iones en la E . (3.7) se obtiene la rela ión dees ala presentada por Fisher-Narayan[28 donde se rela iona τ ex lusivamente on ζ :

τ = 2− 2(d+ζ)

. Simula iones numéri as de la e ua ión de Edwards-Wilkinson on ruidotemplado dan omo resultado ζ ≃ 0,75 y veri an los exponentes que se obtienen sise reemplaza di ho valor de ζ en las e ua iones (3.6), (3.7), (3.8) y (3.9): γ∆f ≃ 2,20,τ ≃ 1,27, ν∆f ≃ 0,80 y λ1,∆f ≃ 1,60 respe tivamente. Estos resultados juntos on losobtenidos en la simula ión de la versión II del modelo OFC∗ a fuerza onstante sepresentan en la olumna OFC ∗ f de la tabla 3.1.Rela ión unívo a entre α y f En la se ión 4.3 se presenta la evolu ión tem-poral de f en el modelo OFC∗ a velo idad onstante. Se observa que para ada valorde α, f se estabiliza alrededor de un valor medio bien denido; es de ir, existe unarela ión unívo a entre α y f . Esto justi a formalmente la posibilidad de replantearal modelo OFC∗ a velo idad onstante por un modelo donde f sea el parámetro de ontrol, más pre isamente, onsiderar un sistema on arga externa a fuerza onstante omo se hizo en la se ión 2.4.1. La urva obtenida de f vs. α se presenta en la gura3.4. Se observa que uando α → αc = 0,25, f → fc = 0,84236. Más aún, esta tenden ia

3.2 Rela iones de es ala y exponentes ríti os † 430.76

0.78

0.80

0.82

0.84

0.238 0.242 0.246 0.25

f-

α

f-c=0.84236

αc=0.25

10-3

10-2

10-5 10-4 10-3 10-2

f-c-f

-

αc-α

x0.62

Figura 3.4: Resultados de la simula ión del modelo OFC∗ a velo idad onstante. Para distintosvalores de α se obtiene un valor medio espa ial de las fuerzas bien denido. Se observa que enel límite onservativo α → αc = 0,25, f → fc = 0,84236. En el inset se quiere enfatizar que estadivergen ia sigue una ley de poten ia de la forma (σc − σ) ∼ (αc − α)θ θ ≃ 0,62.sigue una ley de poten ias de la forma:(fc − f) ∼ (αc − α)θ θ ≃ 0,62 (3.10)Con esta rela ión se puede enton es vin ular los exponentes ríti os al ulados a α onstante o a f onstante.Efe tos de la relaja ión en los modelos a velo idad onstanteRugosidad de las avalan has ζ En la gura 3.5(a) se presenta el ál ulo de esteexponente en los modelos OFCR y OFC∗ a velo idad onstante teniendo en uentala E . (3.2) on d = 2: S0 ∼ L2+ζ

0 . Es de ir, para distintos valores de α se obtienendistribu iones para el tamaño de las avalan has S y para su área A (L =√A). Luegoutilizando la E . (2.5) se al ulan los valores de los ut-o S0 y A0 (S0 ∼ 〈S2〉

〈S〉y

A0 ∼ 〈A2〉〈A〉

). Finalmente se gra a en es ala logarítmi a S0/L20 vs. L0 para distintos αde manera que la pendiente de di ho grá o indi a el valor de ζ . Estos resultados sepresentan en la gura superior. En la gura inferior se presenta un histograma de losvalores obtenidos para un α jo onsiderando que la E . (3.2) es válida en todo el rangode S y A: S ∼ L2+ζ .Por un lado, se desta a que en ambas guras los dos modelos presentan una rugosi-dad de las avalan has similar. Posiblemente esto se deba a que las reglas de autómata elular on las que se desarrollan las avalan has son las mismas en los dos modelos(E . 2.15); lo que ambia entre ellos es la dinámi a lenta que afe ta prin ipalmente sudistribu ión temporal, espa ial y de tamaños.Por otro lado, en ambas guras se gra a una re ta on pendiente 0,75, orrespon-diente al valor de ζ que presentan los modelos des riptos por la e ua ión de Edwards-

44 Dinámi a rápida

(a) (b)Figura 3.5: (a) Cál ulo del oe iente de rugosidad de las avalan has ζ utilizando la E . (3.6):S0 ∼ L2+ζ

0 . En la gura superior se gra an los puntos orrespondientes a S0 y L0 para diferentesvalores de α. En la gura inferior se gra an un histograma orrespondiente a todos los tamañosde eventos o urridos en una simula ión para un dado α. (b) Se gra a el modulo uadradodel espe tro de poten ias de los desplazamientos para el aso sin y on relaja ión promediadoangularmente y en un dado intervalo temporal. La E . (3.11) permite obtener el oe iente derugosidad χ de la super ie que forman los desplazamientos de los bloques: |〈u(qx, qy, t)〉|2 ∼q−d−2χ.Wilkinson. Se observa un buen ajuste en todo el rango al onsiderar los valores de los ut-o (gura superior); los valores de ζ obtenidos al realizar un ajuste lineal a los datosen ambos modelos se presentan en la tabla 3.1. De la gura inferior se on luye que larela ión S ∼ L2+ζ es válida sólo para avalan has on longitud unidimensional entre 10y 100. Es de ir, si las avalan has son muy pequeñas, su área A es prá ti amente iguala su volumen S, probablemente debido a efe tos de la dis retiza ión de las avalan has.Si las avalan has son muy grandes (mayores que el ut-o S0), la distribu ión N(S) yano es una ley de poten ia y la E . (3.2) ya no es válida.Rugosidad de una interfase autoan χ En la se ión 2.1.2 se introdujo unaforma de al ular el oe iente de rugosidad χ de una super ie elásti a en un mediodesordenado pensada omo una interfase autoan:

|〈u(qx, qy, t)〉|2 ∼ q−d−2χ (3.11)Teniendo presente este es aleo, en los dos modelos a velo idad onstante se al ula elvalor medio temporal y angular del espe tro de poten ias de la super ie que formanlos desplazamientos de los bloques: 〈u(qx, qy, t)〉 = u(|q|). En la gura 3.5(b) se gra asu módulo uadrado para el aso sin y on relaja ión promediado en un dado inter-valo temporal. A modo de referen ia se presentan dos re tas on pendientes 3,5 y 5,4 orrespondientes según la e ua ión (3.11) a un χ de 0.75 y 1.7 respe tivamente.En este aso, a diferen ia del oe iente de rugosidad de las avalan has ζ , χ diere

3.2 Rela iones de es ala y exponentes ríti os † 45 laramente entre los modelos sin y on relaja ión. Como χ da una idea de la rugosidadglobal de la super ie que forman los desplazamientos, su valor se ve afe tado por laevolu ión lenta del sistema dire tamente rela ionada on la presen ia o no de un me a-nismo de relaja ión. En la se ión 4.2 se presentan imágenes de la super ie u(x, y, t)donde se puede apre iar esta diferen ia en la rugosidad global de la super ie. Cabeademás desta ar que el modelo OFC∗ presenta ambos oe iente de rugosidad ζ y χprá ti amente iguales.Exponentes ríti os γ - λ1 - ν Se al ularon también los exponentes ríti osγ, λ1 y ν a partir de las e ua iones (3.3), (3.4) y (3.5). Los resultados se presentanen la gura 3.6, donde además se gra an omo referen ia re tas orrespondientes alos valores teóri os de di hos exponentes. Se apre ia que a primer orden se obtienenresultados satisfa torios. A ontinua ión se omenta a er a de los valores esperados de ada exponente.

L0 ∼ ∆−ν: Mediante un análisis de la ompeten ia entre las energía elásti a y laenergía debido a la arga externa en la interfase modelada por la e ua ión de Edwards-Wilkinson on ruido templado da omo resultado ν∆α = 1/2 [37, 38. La idea de porquéν∆α debe ser igual a uno en el modelo OFCR se analiza en la se ión 3.3. Allí tambiénse dis uten las impli an ias de esta diferen ia en ν∆α que existe entre los modelosOFC∗ y OFCR.

S0 ∼ ∆−γ: Si se onsidera que ambos modelos tienen el mismo valor del oe ientede rugosidad ζ , enton es a partir de la E . (3.6) y teniendo en uenta los valores deν re ién denidos, se obtienen los valores para el exponente γ∆α orrespondientes almodelo OFC∗ y OFCR: 1.375 y 2.75 respe tivamente.

〈S〉 ∼ ∆−λ1: A ontinua ión se presenta una expli a ión de porqué se onsidera queλ1,∆α debe ser igual a uno independientemente de si el modelo in luye o no el me anismode relaja ión. Para esto se re uerda la e ua ión de evolu ión de las fuerzas de fri ión en-tre un bloque y el substrato en el modelo on relaja ión, E . (2.17): dfi

dt= k1V +c(∇2f)i.Como el valor medio espa ial del operador ∇2 es nulo, en un intervalo de tiempo dt,las tensiones medias del sistema aumentan una antidad onstante k1V dt. Por otrolado, ada vez que se produ e una avalan ha las tensiones medias disminuyen una an-tidad S∆α/(LxLy)

5. Considerando que o urren n avalan has por unidad de tiempo,si se onsidera que las tensiones no deben aumentar ni disminuir indenidamente, enpromedio, ambos términos se deben ompensar: k1V dt = 〈S〉∆α n dt/(LxLy). Si n nodiverge uando ∆α → 0 se obtiene la E . 3.4 on λ1 = 1: 〈S〉 ∼ ∆α−1.5Re ordar que en estos modelo el momento sísmi o se obtiene a partir de la E . 2.16: S =∑

ic∆f ,donde ic denota a ada sitio que se vuelve inestable. ∆f − 4α∆f orresponde a la disminu ión de lastensiones al produ irse ada inestabilidad, de manera que si α = αc = 1/4, luego de la avalan ha elvalor de las tensiones medias del sistema permane e onstante.

46 Dinámi a rápida<

S> x-1

OFC* OFCR

102

104S

0

x-1.375

x-2.75

102104106

L 0

αc-α

x-0.5

x-1

101

102

10-5 10-4 10-3 10-2Figura 3.6: Se gra a en es ala logarítmi a el es aleo del valor medio del tamaño de lasavalan has 〈S〉, del ut-o de la distribu ión de tamaños S0 y de la longitud de orrela ión de lasavalan has L0 on (αc−α) para los modelos OFC∗ y OFCR presentados en símbolos errados yabiertos respe tivamente. A modo de referen ia se gra an re tas uyas pendientes orrespondena los valores teóri os o al ulados de los exponentes orrespondientes (ver tabla 3.1).Exponentes de de aimiento τ La E . (3.7) (τ = 2− λ1,∆

ν∆(d+ζ)) permite obtener elvalor del exponente de de aimiento de una distribu ión de la formaN(S) ∼ S−τf(S/S0)a partir de los demás exponentes. Considerando que ζ = 0,75 y λ1,∆α = 1 para los dosmodelos, se entiende enton es que el aumento en τ al in luir la relaja ión en el modeloesta rela ionado on el aumento del exponente ν∆α de 1/2 a 1. Utilizando estos valoresse obtiene que τ es 1,27 y 1,64 en los modelos OFC∗ y OFCR respe tivamente. Di hovalor de τ para el modelo OFC∗ oin ide on el observado en la simula ión y onel exponente de de aimiento observado en los modelos des riptos por la e ua ión deEdwards-Wilkinson on ruido templado. El valor de τ obtenido mediante la E . (3.7)para el modelo OFCR, esta muy er ano al obtenido en las simula iones y al observadoen las distribu iones reales de terremotos (τ ≃ 1,67).

Resumen La tabla 3.1 resume los valores de los exponentes previamente dis utidos.Se in luyen los resultados para el modelo on relaja ión a velo idad onstante ( olumnaOFCR V ) y para el modelo sin relaja ión tanto a velo idad omo a fuerza onstante( olumnasOFC∗ V y OFC∗ f respe tivamente). En ada aso, se presentan los valoresteóri os de los exponentes (T ), aquellos al ulados mediante las e ua iones (3.6), (3.7),(3.8) y (3.9) (C) y los obtenidos en las simula iones (S).

3.3 Límite ma ros ópi o 47OFCR V OFC ∗ V OFC ∗ fT C S T C S T C S

ζ 0.75 - 0.71 0.75 - 0.74 0.75 - 0.69λ1 1 - 0.86 1 - 0.97 - 1.60 1.61ν 1 - 0.90 1

2- 0.503 - 0.80 0.83

τ 1.67 1.64 1.67 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27γ - 2.75 2.44 - 1.375 1.378 - 2.20 2.24Tabla 3.1: Valores de los exponentes ríti os para el modelo on relaja ión a velo idad onstante( olumna OFCR V ) y para el modelo sin relaja ión tanto a velo idad omo a fuerza onstante( olumnas OFC ∗ V y OFC ∗ f respe tivamente). En ada aso se presentan los valores teóri osde los exponentes (T), aquellos al ulados mediante las e ua iones (3.6), (3.7), (3.8) y (3.9) (C)y los obtenidos en las simula iones (S).3.3. Límite ma ros ópi oEn esta se ión se dis ute el límite del omportamiento ma ros ópi o del sistemade bloques en los modelos OFC, OFC∗ y OFCR (todos a velo idad onstante). Paraesto se onsidera una de las rela iones de es ala introdu ida en la se ión anterior junto on una ade uada interpreta ión de los parámetros. Se en uentran dos situa iones dedeslizamiento muy distintas, una del tipo sti k-slip y otra suave, dependiendo de sise tiene en uenta o no el me anismo de relaja ión.Primero se re uerda la gura 2.2 donde se muestra un esquema de la situa ión dedeslizamiento que se intenta modelar. En la gura 2.2(a) se presenta la ongura iónde dos bloques de dimensiones Lx, Ly en el plano de deslizamiento y Lz perpendi ular adi ho plano. En la gura 2.2(b) se modela al bloque inferior omo un substrato sólido yrígido, mientras que al bloque superior omo un arreglo de pequeños bloques y resortesen el plano x-y. Los resortes de onstante k0 representan la elasti idad de la super iede onta to, mientras que los resortes de onstante k1 representan la elasti idad delresto del bloque superior. Analizar el límite ma ros ópi o en una geometría tipo pla aimpli a onsiderar el límite Lz → ∞ bajo la ondi ión Lx = Ly ≫ Lz .El he ho de que bloques on Lz mayor son más blandos respe to a deforma iones de orte indi a que la onstante k1 disminuye on Lz, de he ho es inversamente propor io-nal a Lz . Es de ir que para un dado desplazamiento del plano superior del bloque de lagura 2.2(a), la fuerza restauradora es propor ional a k1 e inversamente propor ionala su altura Lz.Un primer resultado que surge de estas onsidera iones es que muestran que elmodelo OFC original no es realista6. Esto se debe a que en este modelo, los terremotosse expanden en todo el plano x-y en un sistema de tamaño Lx, Ly → ∞ y Lz ∼ k−1

16Se re uerda que en este modelo, la distribu ión de tamaños presenta un exponente de de aimientoτ que depende de α = k0

4k0+k1 y que al jar un α, el ut-o diverge on el tamaño del sistema (verse ión 2.3).

48 Dinámi a rápidanito, uando lo más natural es que en un sistema de Lz nito, los terremotos no seextiendan más que esa distan ia en el plano x-y.La rela ión L0 ∼ 1/k1 previamente men ionada impli a que tomar el límite ma ros- ópi o es equivalente a analizar k1 → 0 o alternativamente α → αc7. Con esto presente,analizar la rela ión entre Lz y la máxima longitud ara terísti a de los terremotos enel plano x-y (L0) impli a re onsiderar la e ua ión (2.9): L0 ∼ 1/(αc − α)ν ∼ 1/kν

1 , quees rita en términos de Lz se obtiene:L0 ∼ Lν

z (3.12)En la se ión 3.2 se presentan los valores de los exponentes obtenidos para los dosmodelos (tabla 3.1); en parti ular ν ≃ 1/2 para el modelo OFC∗ y ν ≃ 1 para elmodelo OFCR. Este simple ambio de exponente entre los modelos mar a una enormediferen ia al analizar el límite de interés.3.3.1. Deslizamiento suaveLa rela ión L0 ∼ L1/2z en el modelo OFC∗ indi a que uando Lz tiende a innito,el tamaño ara terísti o de los terremotos se vuelve omparativamente pequeño. Estoes equivalente a de ir que los terremotos desapare en en el límite ma ros ópi o, o queel deslizamiento es suave a grandes es alas.3.3.2. Deslizamiento sti k-slipUna situa ión totalmente distinta es la del modelo OFCR donde L0 ∼ Lz. Es-to indi a que uando Lz diverge, no importa uan grande sea, L0 será una fra iónapre iable de Lz. Este análisis permite armar que los terremotos sobreviven el límitema ros ópi o y su tamaño máximo es alea omo el tamaño del sistema. Esta es una onsidera ión importante, por un lado porque indi a que en el límite ma ros ópi o eldeslizamiento de las pla as será del tipo sti k-slip, y por otro porque muestra que elmodelo OFCR puede onsiderarse ríti o8.Esta diferen ia que existe en el modo de deslizamiento de las pla as dependiendode si se in luye o no el me anismo de relaja ión, está estre hamente vin ulada on otrapropiedad del modelo ono ida omo velo ity weakening (ver se ión 1.3). En Ref.[31 se muestra que en el modelo OFCR la fuerza de fri ión media es una fun iónde re iente de la velo idad. Es ono ido en geofísi a que una ley de fri ión de estetipo debe estar presente en los sistemas en los que o urren terremotos[12, 13.7Re ordar que α = k0

4k0+k1

y αc = 1/4.8Es de ir que las distribu iones de tamaño no presentan un ut-o en el límite ma ros ópi o,fenómeno que umplen las distribu iones de Gutenberg-Ri hter (se ión 1.2.1).

3.3 Límite ma ros ópi o 49Naturalmente se entiende que los sistemas on una fuerza de fri ión de re iente on la velo idad no pueden mantener un deslizamiento suave, un movimiento del tiposti k-slip debe o urrir. Analizemos ahora el supuesto valor de ν en un sistema deestas ara terísti as. Si asumimos una dependen ia de L0 on Lz de la forma L0 ∼ Lνz ,un valor ν < 1 orrespondería a un deslizamiento asintóti o suave, por lo que se debe umplir ν ≥ 1. Por otro lado, es muy po o probable que en una geometría tipo pla a on espesor Lz, L0 es ale omo una poten ia de Lz mayor que uno. Esto se debe aque en esta ongura ión, un perturba ión estáti a en algún punto no tiene efe toalguno a distan ias mayores a Lz. Este análisis permite on luir que el valor de ν ≃ 1en ontrado en las simula iones del modelo OFCR es el resultado esperado más naturalen un sistema on movimiento tipo sti k-slip.

Capítulo 4Dinámi a lenta La esen ia de la ien ia, asi su deni ión, es la siguiente:La prueba de todo ono imiento es la experimenta ión. Laexperimenta ión es el úni o juez de una verdad ientí a.Pero ¾ uál es la fuente del ono imiento? ¾De dónde pro-vienen las leyes a ser veri adas? La experimenta ión, en símisma, ayuda a desarrollar esas leyes, en el sentido que nossugiere pistas a seguir. Pero también se ne esita imagina iónpara rear a partir de esas pistas las grandes generaliza io-nes para adivinar uáles son las regularidades que subya en,maravillosas, simples, pero muy extrañas, y para experimen-tar y omprobar nuevamente si hemos he ho o no la onjetura orre ta. Ri hard Feynman (1918-1988)En esta se ión se analiza la dinámi a uasiestáti a que tiene lugar mientras no seprodu en las avalan has, omparando los modelos OFC* y OFCR. Esto impli a analizarla evolu ión lenta de las variables fundamentales. Primero, en la se ión 4.1 se detallandi has variables y luego analizando ada una de ellas se observa que el modelo OFCRpresenta otros dos on eptos ampliamente utilizados en el estudio de la dinámi a delas pla as te tóni as: la existen ia de gap sísmi os y de un i lo sísmi o (se ión 4.2y 4.3 respe tivamente).4.1. Variables fundamentalesComo se expli ó en el apítulo 2, se pretende modelar la dinámi a de las pla aste tóni as mediante un sistema de bloques y resortes. Las dos variables fundamentalesque ara terizan la dinámi a uasiestáti a son las fuerzas de fri ión entre los bloques y51

52 Dinámi a lentael substrato (lo que representa las tensiones entre las pla as f(~r, t)) y el desplazamientode los bloques (lo que representa los desplazamientos de las pla as u(~r, t)) 1 :Tensiones: f(~r, t) se obtiene de manera numéri a a partir de las reglas de au-tómata elular que des riben la dinámi a rápida (E . 2.15) y la e ua ión deevolu ión de la dinámi a lenta: dfdt

= k1V + c(∇2f) (E . 2.17). Alternativamente,se puede obtener a partir de la historia de las des argas en el sistema omo sepropone en la se ión 6.2.Desplazamientos: A partir de f(~r, t) se puede al ular u(~r, t) invirtiendo lae ua ión de equilibrio de fuerzas en el límite uasiestáti o: f = k1(V t − u) +

k0(∇2u) (E . 2.13)2.Bási amente, tanto las tensiones omo los desplazamientos se pueden pensar omosuper ies que evolu ionan en el tiempo, ara terizadas por momentos de primer ysegundo orden tanto espa iales omo temporales.4.2. Desplazamientos: Gap sísmi oEn las guras 4.1 y 4.2 se presentan grá os típi os de los desplazamientos en lared sin y on relaja ión respe tivamente. En (a) se muestra la super ie que formanlos apartamientos de u respe to de su valor medio a un tiempo jo y en (b) la posteriorevolu ión de un orte de la super ie en y = L/2.Gap sísmi o Una primer distin ión entre las guras 4.1 y 4.2 es respe to a laforma ión de zonas que se desplazan en onjunto. En presen ia del me anismo de re-laja ión se identi an fá ilmente, no así si R = 0. Aquellas zonas donde los bloques sedesplazan menos respe to de su valor medio serán las zonas que avanzarán abruptamen-te. Se las puede onsiderar análogas al gap sísmi o observado en las pla as te tóni as,es de ir zonas donde el estado de la orteza está er ano a romperse (se ión 1.4). En el apítulo 6, la identi a ión sistemáti a de las zonas más retrasadas será fundamentalal intentar prede ir los eventos más importantes.Coe iente de rugosidad Además, es laro que estas super ies dieren en uanto a su rugosidad. Mientras en el aso on relaja ión la super ie es suave, ensu ausen ia se observan ambios abruptos. Como se dis utió en la se ión 3.2, estadiferen ia en rugosidad de la super ie se observó uantitativamente al al ular el1En este análisis se onsidera al sistema de bloques en el límite ontinuo donde ada bloque esahora identi ado espa ialmente por sus oordenadas ~r = (x; y).2La inversión de esta e ua ión se realizó mediante el método de transformada rápida de FourierFFTW.

4.2 Desplazamientos: Gap sísmi o 53

(a) (b)Figura 4.1: Gra os típi os de los desplazamientos en la red u(~r, t) sin relaja ión. (a) Semuestra la super ie que forman los apartamientos de u respe to de su valor medio a un tiempot = 0,63. (b) Posterior evolu ión de un orte de la super ie en y = L/2 (indi ado on líneaspunteadas en (a)). Las e has están ubi adas en los entros de las regiones en las uales seprodu irá un desplazamiento signi ativo y sus dire iones indi an ha ia donde evolu iona lasuper ie.

(a) 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 50 100 150 200 250

u(x,

L/2)

x

R=1000 - α=0.246

I II III I

t=0.650t=0.645t=0.640t=0.635t=0.630

(b)Figura 4.2: Grá os típi os de los desplazamientos en la red u(~r, t) on relaja ión. (a) Semuestra la super ie que forman los apartamientos de u respe to de su valor medio a un tiempot = 0,63. (b) Posterior evolu ión de un orte de la super ie en y = L/2 (indi ado on lineaspunteadas en el grá o izquierdo). La dire ión de las e has indi an ha ia donde evolu iona lasuper ie en ese punto. oe iente de rugosidad χ denido omo la manera en que es alea el an ho de lasuper ie σ0 on el tamaño del sistema. Cabe re ordar que en di ha se ión se mostróque en el aso on relaja ión χ diere de la rugosidad de las avalan has ζ .Evolu ión de u(~r, t) Un análisis detallado del orte transversal de los despla-zamientos en el aso on relaja ión presentado en la gura 4.2(b) se ve fa ilitado si

54 Dinámi a lentase divide al eje x en tres regiones: I, II y III. Éstas orresponden a los intervalos(225; 80), (80; 160) y (160; 225) respe tivamente. Las primeras dos regiones presentanmínimos lo ales del desplazamiento, mientras que la región III presenta un máximolo al. Las posi iones de estos extremos se mar an en la gura on e has, donde sudire ión indi a ha ia donde evolu iona la super ie en ese punto. Se observa que en elprimer intervalo de tiempo (0,630; 0,635) la super ie se en uentra prá ti amente es-táti a mientras que en el segundo intervalo (0,635; 0,640) se produ e un evento debidoa un ambio abrupto de la super ie en la región I3. En el próximo intervalo temporal(0,640; 0,645) se produ e otro evento en la región II, mientras que en la región IIIel desplazamiento disminuye suavemente a lo largo del intervalo temporal ompleto(0,63; 0,65). Se observa además que debido a di hos eventos la super ie aumenta susos ila iones (aumentan las omponentes de fre uen ia alta en el espe tro de Fourier),pero éstas son suavizadas rápidamente debido a la presen ia de la relaja ión en el sis-tema. Si bien en el aso R = 0 también se pueden identi ar regiones en los uales seprodu irá un desplazamiento abrupto (indi adas on e has en la gura 4.1), este sua-vizado no su ede. A ontinua ión se omentará porqué los desplazamientos abruptosson signi ativos sólo en el aso on relaja ión.Momentos de u(~r, t) Otra forma de analizar la dinámi a de la super ie u(~r, t)es al ulando la evolu ión temporal de su valor medio espa ial u(t) = 〈u(~r, t)〉~r ydesvia ión estándar σ0(t) =

√

〈(u(~r, t)− u(t))2〉~r. Estos valores se presentan en lagura 4.3 tanto para el modelo OFC∗ (R = 0, α = 0,2497) omo para el modeloOFCR (R = 1000, α = 0,246).

(a) OFC* (b) OFCRFigura 4.3: Valor medio del desplazamiento u(t) y su dispersión σ0(t) en fun ión del tiempo.(a) Modelo OFC∗ (R = 0, α = 0,2497) (b) Modelo OFCR (R = 1000, α = 0,246). Las lineaspunteadas verti ales delimitan los intervalos temporales analizados en las guras 4.1(b) y 4.2(b).3Notar que los eventos aquí men ionados orresponden a terremoto prin ipal y sus repli as.

4.3 Tensiones: Ci lo sísmi o 55Valor medio u(t) El omportamiento de u(t) se puede entender onsiderando lae ua ión (2.13) que rela iona las fuerzas y los desplazamientos. Teniendo en uenta queel valor medio espa ial del termino∇2 es nulo, se obtiene que k1u(t) = k1V t−〈f(~r, t)〉~r.Esto indi a que u re e lentamente on un término lineal en el tiempo originado en la arga externa y que además presenta re imientos en los momentos en que las fuerzasde fri ión se vuelven inestables y se des argan. En el aso sin relaja ión estas des argasapenas se observan, indi ando un movimiento suave del sistema. Por el ontrario, en el aso on relaja ión, estas des argas se maniestan omo saltos abruptos debido a que seprodu en inestabilidades en las zonas llamadas gap sísmi os. Allí se desarrollan eventosaglomeradas espa ial y temporalmente que en onjunto produ en un gran aumento deldesplazamiento promedio. Este omportamiento, en el ontexto del desplazamiento deun bloque ma ros ópi o, se ono e omo movimiento sti k slip4. Las des argas en lastensiones medias del sistema que produ en este tipo de movimiento se pueden rela ionartambién on un i lo sísmi o, tema de estudio de la se ión 4.3.Dispersión σ0(t) Por otro lado, se observa que tanto para el modelo OFC∗ omopara el OFCR, σ0 os ila entre un valor máximo y un valor mínimo. En el aso sinrelaja ión esta os ila ión no maniesta una tenden ia denida, mientras que para el aso on relaja ión se observan iertas regularidades. Se ha e notar que en este aso,los saltos en σ0 están fuertemente orrela ionados on los aumentos repentinos en elvalor medio u. Más aún, no se observa que este ambio sea negativo en los eventosgrandes, lo que diría que pare e ser que los eventos grandes no se pueden dar en losmomentos en que σ0 se en uentre er a de su valor máximo. Entre di hos saltos, larelaja ión suaviza la super ie disminuyendo σ0.4.3. Tensiones: Ci lo sísmi oEn esta se ión se analiza la evolu ión temporal del valor medio espa ial de lasfuerzas (f(t) = 〈f(~r, t)〉~r) en los modelos OFC* y OFCR (ambos a velo idad ons-tante). En la gura 4.4 se puede observar la notoria diferen ia que existe entre ambosmodelos en una evolu ión típi a de f(t). A ontinua ión detallaremos sus impli an ias,mostrando una vez más que el modelo OFCR es un andidato a ser un modelo realistade fenómenos sísmi os.Por un lado, al observar la gura 4.4 es laro que en el modelo OFC∗ para un dadovalor de α, f(t) u túa alrededor de un valor medio bien denido. Estas u tua ionesse redu en al aumentar el tamaño del sistema. En este sentido de imos que el modeloOFC∗ es esta ionario. Además, en este aso se puede obtener una urva f vs α indi-4En el ontexto de evolu ión biológi a se ono e omo equilibrio puntuado [35, 39.

56 Dinámi a lenta

Figura 4.4: Evolu ión temporal típi a del valor medio espa ial de las fuerzas en los modelos(a)OFCR y (b)OFC∗ (α jo). ando que f se ajusta dinámi amente a un valor que depende de α (gura 3.4). Estarela ión unívo a entre α y f justi a formalmente las equivalen ias en ontradas entrelas dos implementa iones del modelo OFC∗; a velo idad o a fuerza onstante.Por otro lado, en el modelo OFCR se observa un patrón sistemáti o de un aumentode f seguido por aídas abruptas. Este i lo se interpreta omo la manifesta ión dentrodel modelo de lo que se ono e en geología omo i lo sísmi o [40. Este on eptoimpli a que las tensiones de una falla en una dada región aumentan suavemente duranteun largo período de tiempo hasta que son liberadas abruptamente, generándose grandesterremotos. Luego el pro eso vuelve a repetirse.A partir de esto, es tentador pensar en un i lo uasi-periódi o. Sin embargo, estaidea es difí il de veri ar ya que el intervalo de tiempo entre grandes terremotos es muylargo y además porque las desvia iones de un omportamiento periódi o pueden ser tangrandes omo para onvertirse en algo difí il de prede ir. Cara terizar di ho i lo uasi-periódi o dentro del modelo puede ser un futuro tema de estudio. Por el momento, nose observa una se uen ia periódi a lara, no obstante, se en uentra que los eventos másgrandes o urren on gran probabilidad una vez que el sistema ha superado una tensióntípi a. Estas observa iones indi an que existe ierto grado de predi tibilidad dentro delmodelo, tema que se desarrollará en el apítulo 6.Para poder identi ar laramente aquellos eventos responsables de una gran aída enf se implementó la versión del modelo on relaja ión innita (se ión 2.5.3). Además,para agilizar las simula iones se utilizó el me anismo de relaja ión en ampo medio(se ión 2.5.4). En la gura 4.5(a) se observa que en este límite la eviden ia de un i losísmi o es aún más lara. Allí se gra a una se uen ia de eventos típi a junto on laevolu ión temporal de f . Re ordar que la es ala temporal de esta gura es la de la

4.3 Tensiones: Ci lo sísmi o 57

(a) (b)Figura 4.5: (a) Evolu ión temporal de los terremotos de magnitud M y de la tensión mediadel sistema f en el modelo OFCR en el límite de relaja ión innita y en la aproxima ión de ampo medio. La es ala de tiempos presentada es la de la arga externa. La probabilidad deque o urran eventos grandes se aumenta notoriamente ada vez que las tensiones superan iertoumbral (indi ado estimativamente por la línea horizontal). (b) El tamaño total de los lusters (Sc)en fun ión del valor de tensión del sistema previamente a desarrollarse la se uen ia de eventosque forman el luster. La linea verti al indi a estimativamente el umbral de tensión por en imadel ual se desarrollan los lusters más grandes (indi ados on un tamaño de símbolos mayor). arga externa (es la misma se uen ia presentada en la gura 3.3(a)). Es de ir, para undado valor de la oordenada horizontal, se en uentra un luster de eventos que fuerona tivados ex lusivamente por efe to del me anismo de relaja ión.La se uen ia de eventos dentro de un luster produ e una aída de f propor ionalal momento sísmi o total liberado en di ho luster. Esta aída en f ompite on elaumento onstante de f debido a la arga externa y será apre iable solamente si un luster libera mu ha energía. En la gura 4.5(a) se observa que durante largos períodosde tiempo el efe to de la arga externa es mayor y f aumenta; es de ir el sistemaa umula energía que luego es liberada al aer abruptamente f . Como se men ionóantes, lo que resulta notorio de este pro eso es que las grandes aídas de f no o urrenequiprobablemente para todos los valores de f . Esto se puede apre iar en la gura 4.5,donde se gra a el tamaño total de ada luster en fun ión del valor de f en el momentoen que se ini ió el luster. Se observa que para pequeños valores de f , los lusters sontípi amente pequeños, y a medida que f aumenta el tamaño de los lusters también loha e. Sin embargo, se observa un umbral5 por en ima del ual existe una probabilidadnita de que o urran lusters muy grandes. Estos grandes eventos son los responsablesde las aídas abruptas observadas en el grá o de f(t) en la gura 4.5(a), reini iandoel i lo sísmi o.La existen ia de un i lo sísmi o es la manifesta ión de que el modelo no es esta-5Este umbral se muestra por una linea punteada horizontal en la gura 4.5(a) y una linea punteadaverti al en la gura 4.5.

58 Dinámi a lenta ionario en el sentido de que f(t) presenta u tua iones inherentes a la dinámi a. Estoexpli a porqué los intentos de trabajar a f onstante usando α = αc no son realistas.Por un lado, la versión II del modelo OFCR a fuerza onstante no llega a una distribu- ión de eventos esta ionaria (gura 3.1(f)). Como se omentó en la se ión 3.1.1, estose debe a que la distribu ión de umbrales se aleja de f (gura 3.2(b)), y si no existeun me anismo que aumente f ( omo es el aso del modelo a velo idad onstante), ladistan ia entre las fuerzas y sus umbrales (ǫi) aumenta, disminuyendo el tamaño delos eventos. La versión I del modelo OFCR a fuerza onstante logra una distribu iónesta ionaria (gura 3.1(d)) ya que al disminuir todos los umbrales una antidad ǫminse logra mantener a otada la distan ia entre las fuerzas y sus umbrales. Resulta no-table que en este aso se observa un omportamiento análogo al i lo sísmi o. Su edeque si luego de al anzar una ongura ión esta ionaria se aumenta inten ionalmentef , no se observan ambios en las distribu iones de los eventos, sin embargo existe unumbral por en ima del ual, si se espera un tiempo su ientemente largo, se desarrollaun evento innitamente grande. Es de ir, hay una situa ión análoga a la presentada enla gura 4.5. A diferen ia de los resultados allí presentados, al trabajar a f onstantese observan eventos innitamente grandes ya que α = αc.

Parte IIIOFCR: ara terísti as de un modelorealista

59

61Sólo nos queda la efímera satisfa ión de haber entendidoalguna vez algoDiez teorías que onmovieron al mundo II, de LeonardoModelo y Esteban MagnaniEn la segunda parte de este trabajo se presentaron algunas de las propiedades quepermiten onsiderar al modelo OFCR omo un andidato a ser un modelo realista delos fenómenos sísmi os. Bási amente, este modelo presenta dos modi a iones ru ialesrespe to del modelo de a tividad sísmi a presentado por Olami, Feder y Christensenen 1991:1. onsidera inhomogeneidades en los umbrales,2. in orpora un me anismo de relaja ión interna uya intensidad se mide on unnuevo parámetro R.Con estas dos modi a iones, utilizando un valor de R mayor que algún valormínimo, se obtiene un modelo on ara terísti as independientes del valor de R elegido:1. presenta orrela iones espa iales y temporales entre eventos omparables on lasreales; en parti ular se obtienen se uen ias de répli as distribuidas según la leyde Omori[31;2. apoya la eviden ia experimental de que los terremotos pueden ser a tivados porpequeñas perturba iones pasajeras omo las produ idas por ondas sísmi as[15;3. la distribu ión de tamaños de los eventos sigue la forma estable ida por la ley deGutenberg-Ri hter, más aún, se en uentran dos resultados notables: a) un ortea eventos grandes regulado por el parámetro α denido de la misma maneraque en el modelo OFC original b) un exponente de de aimiento b er ano a losobservados en la realidad (b ≃ 1) independiente α;4. interpretando ade uadamente el parámetro α, se observan dos resultados sorpren-dentes: a) el sistema se vuelve ríti o en el límite ma ros ópi o b) los terremotosperduran en el límite ma ros ópi o, indi ando un deslizamiento del sistema deltipo sti k-slip;5. presenta propiedades de fri ión que reprodu en resultados experimentales notriviales: a) una ley de de aimiento de la fuerza de fri ión on la velo idad b)un aumento de la fri ión estáti a on el tiempo de onta to;[316. se identi an zonas análogas al gap sísmi o observado en geología, es de ir zonasdonde el estado de la orteza está er ano a romperse.

627. presenta un pro eso de a umula ión y des arga de tensiones del sistema equiva-lente al i lo sísmi o observado en geología.Se implementa también el modelo en el límite de relaja ión innita donde:8. dentro del i lo sísmi o se observa que las mayores des argas o urren una vez quelas tensiones superan ierto umbral, más aún o urren en las zonas de gap sísmi o,indi ando que existe ierto grado de predi tibilidad en el modelo;9. se logran identi ar laramente las répli as de un dado evento, obteniendo unadistribu ión de tamaños tipo Gutenberg-Ri hter on un exponente b ≃ 1, tambiénobservado en la realidad.La gran antidad de aspe tos realistas que presenta el modelo ha sido la motiva iónprin ipal para investigar en mayor profundidad sus propiedades. En esta parte deltrabajo se analizan en mayor detalle dos de las ara terísti as previamente enumeradas:el origen de un exponente b ≃ 1 y la posibilidad de realizar un aporte al problema dela predi tibilidad o no de los terremotos.En la se ión 1.2.1 se presentó la ley de Gutenberg-Ri hter. Bási amente enun iaque la distribu ión en magnitud de los terremotos que o urren en una dada región delespa io, durante un período de tiempo su ientemente largo, no es arbitraria; sino quese umple que en promedio, ada 10 terremotos de magnitud M hay uno de magnitudM + 1. Esto impli a que el exponente de de aimiento b en la distribu ión de tamañosestá bien denido alrededor de uno. Como se presentó en la se ión 3.1.2, el modeloOFCR reprodu e este urioso fenómeno. En el apítulo 5 se bus an los orígenes de éstefenómeno dentro del modelo. Se en uentra una justi a ión de porqué el me anismo derelaja ión aumenta sistemáti amente el valor de b desde su valor b ≃ 0,4 en ausen iade relaja ión. Sin embargo, no se ha podido justi ar porqué el modelo es robusto anteun exponente b alrededor del valor observado experimentalmente.Por otro lado, en el apítulo 6 se trata un tema de sumo interés: la predi iónde los terremotos. Primero se bus aron indi adores de orrela iones on el objetivode estudiar la posibilidad de ha er predi iones de eventos futuros en el modelo. Unavez en ontrado estos indi adores, se implementa un algoritmo que intenta uni ar on eptualmente los dos métodos de predi ión existentes en la literatura; uno tieneen uenta el efe to de la historia de los eventos en la región sobre su estado a tual yel otro analiza señales pre ursoras que anti ipen un evento importante. Considerandoque el estado a tual del sistema esta ara terizado por sus tensiones y deforma iones, yanalizando omo señales pre ursoras a adenas de terremotos vin ulados de a uerdo asu magnitud y ubi a ión espa io-temporal, se en uentra que eventos de gran magnitudpueden ser sistemáti amente anti ipados.

63Se propone además, un método on reto para evaluar el estado de tensiones de laspla as a partir de la historia de los eventos. Finalmente se on luye que los esfuerzospor prede ir terremotos deben ombinar ambos métodos de predi ión existentes en laliteratura.

Capítulo 5¾Por qué τ ≃ 1,67?¾Por qué las osas son omo son y no de otra manera? Johannes Kepler (1571-1630)Originalmente, el modelo OFCR le agrega un me anismo de relaja ión al modeloOFC∗ a velo idad onstante on el n de reprodu ir las répli as. Es sorprendenteque además de las répli as, el modelo OFCR reproduz a un exponente realista de ladistribu ión en magnitud: τ ≃ 1,67 (b ≃ 11); mientras que el modelo OFC∗ tiene unexponente τ ≃ 1,27 (b ≃ 0,4).En este apítulo se presentan las diferentes formas en las que se intentó ontestar ala pregunta ¾Por qué τ ≃ 1,67?. Primero, en la se ión 5.1 se plantea una justi a iónindire ta teniendo en uenta las rela iones entre los exponentes ríti os. Después en lase ión 5.2 se analiza la posibilidad de que el valor de τ este originado en el ará terno esta ionario del modelo on relaja ión. Si bien este argumento resulta no ser válido,en su análisis se en uentra que resulta onveniente estudiar las estadísti as de lustersaislados (se ión 5.3). Allí se en uentra la expli a ión de un aumento en τ al in luir larelaja ión pensando a las avalan has omo un pro eso de per ola ión. Sin embargo, nose entiende el origen del pre iso valor de τ . Finalmente, en la se ión 5.4 se omentaa er a de la rela ión que di ho valor de τ tiene on las propiedades ríti as del sistema,y onse uentemente on la predi tibilidad de los terremotos.5.1. Rela iones entre exponentesComo se mostró en la se ión 2.1, el exponente de de aimiento τ de una ley depoten ias on un orte a eventos grandes (N(S) ∼ S−τf(S/S0)) rela iona el ut-o S0 on el valor medio de S; para 1 < τ < 2 resulta: 〈S〉 ∼ S

(2−τ)0 (E . 2.4). Teniendo en uenta que di has magnitudes divergen en la límite ma ros ópi o2 de la forma S0 ∼1La rela ión entre ambos exponentes se desarrolló en la se ión 1.2.1: τ = 1 + 2

3b.2En la se ión 3.3 se rela iona el límite ma ros ópi o Lz → ∞ on el límite onservativo α → αc.65

66 ¾Por qué τ ≃ 1,67?(αc − α)−γ y 〈S〉 ∼ (αc − α)−λ1 , en di ha se ión se rela ionan los exponentes γ y λ1 on el exponente τ : τ = 2− λ1/γ. Como se presentó en la se ión 3.2, ambos modelostienen un mismo valor de λ1 ≃ 1, por lo que es laro que τOFCR > τOFC∗ debido a queγOFCR > γOFC∗. Allí también se rela iona el valor de γ on el exponente de rugosidadde las avalan has ζ y el exponente ν on el que diverge la longitud de orrela ión de lasavalan has (L0 ∼ (αc−α)−ν): γ = ν(2+ζ) (E . 3.6). En las simula iones se observa queζ prá ti amente no ambia en los diferentes modelos (ζ ≃ 0,75), por lo que un mayorγ esta rela ionado on un mayor ν. Al analizar el límite ma ros ópi o en la se ión3.3, allí se justi a que ν no sólo debe aumentar desde 1/2 (νOFC∗), sino que debe serigual 1 en una situa ión de deslizamiento del tipo sti k-slip. Sorprendentemente, ν = 1,ζ = 0,75 dan τ = 1,64, valor muy er ano al observado en los terremotos (≃ 1,67). Sinembargo, esta es una justi a ión indire ta y no expli a el pro eso físi o ausante delaumento de τ .5.2. Exponentes integradosPara tratar de entender el aumento en el exponente τ al in luir la relaja ión, primerose onsidera lo analizado en la se ión 4.3 donde se omenta el he ho de que el modeloes intrínse amente no-esta ionario. Como onse uen ia, el valor medio espa ial de lasfuerzas f re orre en el tiempo una amplia distribu ión de valores.Con esto en mente se re uerda que la integra ión sobre un parámetro de on-trol (denótese f), en una distribu ión tipo ley de poten ias on orte a eventos gran-des regulados por di ho parámetro3, puede resultar en un ambio en el exponente dede aimiento[27. Es de ir, si la distribu ión es de la forma N

(

S, S0(f))

= S−τ f(S/S0) on f(x) una fun ión aproximadamente onstante si x < 1, y que de ae rápidamentesi x > 1 y si el ut-o S0 diverge uando f se a er a a un valor ríti o fc de la formaS0 ∼ (fc − f)−γ, enton es al integrar sobre f se puede obtener una nueva distribu iónintegrada Nint(S):

Nint(S) =

∫ fc

df N(

S, S0(f))

= S−τ−1/γ

∫

0

dz f(zγ) ∼ S−τint (5.1)donde z = (fc − f)S1/γ y el nuevo exponente de de aimiento es τint = τ + 1/γ.En el modelo OFCR, podría su eder que la distribu ión de tamaños resulte de unasuperposi ión de distribu iones orrespondientes a los diferentes valores de las tensionesmedias del sistema f . Resulta notorio que si las distribu iones orrespondiente a adaf son las del modelo OFC∗ (τOFC∗ ≃ 1,27 y γOFC∗ ≃ 2,2) se obtiene un exponenteintegrado τint = 1,73; valor er ano al observado en el modelo OFCR. Sin embargo, se3Referirse a la se ión 2.1 para ver un análisis más detallado de este tipo de distribu iones.

5.3 Estadísti as de lusters aislados 67en uentran dos razones por las que se onsidera que este pro eso de integra ión no esel responsable de un ambio en τ .Por un lado, omo se presentó en las guras 3.1(d,f), al realizar simula iones delmodelo OFCR a fuerza onstante no se han en ontrado distribu iones on un ut-oque se regule on f . Por otro lado, se puede analizar el modelo OFCR en el límite derelaja ión innita en la aproxima ión de ampo medio (se ión 2.5). Como se puedeobservar en la gura 3.3(b) los eventos dentro de un luster ya presentan en sí mismosuna distribu ión de tamaños on el exponente τ ≃ 1,67. Este he ho invalida la hipótesisantes presentada ya que ésta plantea que ada luster (que orresponde a un valor def diferente) debiera tener una distribu ión tipo ley de poten ias on un orte a eventosgrandes regulado por el valor de f y on un exponente τ ≃ 1,27. De todas maneras, esteresultado muestra que se puede bus ar una expli a ión al origen de τ ≃ 1,67 limitandoel análisis ex lusivamente a un luster.5.3. Estadísti as de lusters aisladosComo se men ionó en la se ión 5.2, resulta notorio que un luster presente ensí mismo un exponente τ ≃ 1,67 (gura 3.3(b))4. Esto indi a que el origen en unnuevo valor de τ al in luir un me anismo de relaja ión en el modelo OFC∗ puede serbus ado limitando el análisis ex lusivamente a un luster. Más pre isamente, analizandolas ondi iones previas al desarrollo del primer evento del luster y onsiderando endetalle el efe to de la relaja ión sobre la dinámi a de las avalan has.5.3.1. Avalan has omo un pro eso de per ola iónConviene ahora analizar en detalle las reglas de autómata elular que des riben alas avalan has desde un punto de vista diferente al des ripto en el apítulo 2. Se ha enotar que uando un sitio es inestable, ada uno de sus ve inos tiene una probabilidadp de ser desestabilizado. Si se elije una distribu ión exponen ial de umbrales: P (f c

i ) =

λ exp (−λf ci ) on f c

i > 0, p resulta independiente del valor de fi, más aún p = 1 −exp (−λ/4). Una vez a tivado el sitio inestable ic, éste redu e el valor de su fuerza ficen una unidad y su umbral f c

ic se a tualiza. Si el nuevo umbral es menor que fic elsitio es rea tivado. Esto se puede interpretar omo una probabilidad de rea tiva ióndel sitio p0. Es interesante notar que si p0 fuera una onstante este sería el aso delpro eso de per ola ión dirigida on probabilidad lo al p0 y probabilidad a sitios ve inosp. Sin embargo, en este aso p0 no es una onstante sino que depende de la historia de4Re ordar que un luster esta ompuesto por una serie de eventos a tivados ex lusivamente porel me anismo de relaja ión. Su pre isa identi a ión es posible en los asos donde la velo idad de lapla a es nula (V = 0) o equivalentemente en el límite de relaja ión innita (R = c

k1V→ ∞).

68 ¾Por qué τ ≃ 1,67?

Figura 5.1: (a) La ongura ión ini ial previa a que se a tive un luster: los fi están om-pletamente relajados y onse uentemente uniformes e iguales a f ; se muestra también que ladistribu ión de los umbrales P (f ci ) es exponen ial. (b) Luego de o urrido el primer evento, los fidejan de ser uniformes en la región afe tada por di ho evento; notar que P (f c

i ) por en ima de fisigue siendo exponen ial. En este estado, la relaja ión a túa omo se muestra en ( ): las répli assólo pueden ser a tivadas por los sitios en donde la relaja ión aumenta los fi. Los sitios en dondela relaja ión disminuye los fi presentan una probabilidad menor de ser desestabilizados uandore iben una arga de sus ve inos ya que se alejan de P (f ci ) una distan ia δ. (d) La situa ión enuna versión arti ial del modelo. Los sitios donde la relaja ión disminuye los fi mantienen lamisma distan ia on sus orrespondientes umbrales, es de ir, se impone la ondi ión δ = 0.

fi. En lo que sigue se expli ará ómo en una ongura ión simpli ada del sistema, elme anismo de relaja ión disminuye el valor de p de algunos sitios, dando origen a unadistribu ión de tamaños que de ae más rápido que en ausen ia de relaja ión.5.3.2. Umbrales de orrela ionadosLa dinámi a ompleta para estudiar las estadísti as de un luster pensando a lasavalan has omo un pro eso de per ola ión es esquematizada en la gura 5.1(a- ) y sedetalla a ontinua ión. Una primera simpli a ión importante es la de onsiderar losumbrales de orrela ionados. Es de ir, si bien en prin ipio la distribu ión de umbralesdepende de la historia de la simula ión, al ini iar un luster los umbrales serán ele-gidos de la distribu ión P (f ci ) on la úni a restri ión de que f c

i > f . Por otro lado,la situa ión se simpli a aún más en el límite de relaja ión innita donde antes deldesarrollo de un luster todos los valores de las fuerzas son iguales a su valor medio(fi = f ∀i). Esto se esquematiza en la gura 5.1(a). Después de que el primer eventodel luster es a tivado la situa ión es omo la de la gura 5.1(b). Allí se observa que laprobabilidad de que un umbral f ci tome un valor mayor a su orrespondiente fi siguesiendo exponen ial, de manera que si en esta ongura ión un sitio es desestabilizado,la probabilidad de a tivar un sitio ve ino sigue siendo p. A partir de esta ongura ión, omo se muestra en la gura 5.1( ), la relaja ión en ampo medio a túa llevando fiha ia f . En este pro eso, ualquier sitio uya fuerza sea menor que su valor medio(fi < f) aumenta su valor. Mientras que el valor umbral no es al anzado (fi < f c

i ), la

5.3 Estadísti as de lusters aislados 69

10−12

10−8

10−4

100

101 103 105 107

N(S

)

S

1.2925 1.28 1.26

1.2925 1.292 1.26

Parámetro de control f−

x−1.5

x−1.27

Figura 5.2: Distribu ión de tamaños de las dos simula iones esquematizadas en la gura 5.1.Símbolos llenos: se obtienen lusters utilizando una distribu ión ini ial de umbrales exponen ial yde orrela ionados (gura 5.1[a,b, ). Símbolos abiertos: uando la relaja ión disminuye los valoresde fi, sus orrespondientes umbrales f ci disminuyen en la misma antidad, es de ir se impone la ondi ión δ = 0 (gura 5.1[a,b,d). En este aso se re upera el exponente τ ≃ 1,27, indi ando quela separa ión progresiva entre fi y f c

i es un elemento fundamental para obtener τ ≃ 1,67.distribu ión de umbrales se mantiene exponen ial. Cuando el valor de la fuerza al anzasu umbral (fi = f ci ) se a tiva una répli a. Por otro lado, los sitios uyas fuerzas seanmayores que el valor medio (fi > f) evolu ionan debido a la relaja ión disminuyendosu valor y alejándose de su umbral, es de ir se genera una distan ia δ entre fi y P (f c

i ).Esto impli a que de o urrir una inestabilidad en algún sitio ve ino, tendrán una pro-babilidad menor que p de ser a tivados en la primera arga que re iban de sus ve inos.En este ambio de probabilidad se en uentra el origen del ambio de exponente quegenera la relaja ión.En la gura 5.2 se presenta en símbolos abiertos la distribu ión en tamaño delos eventos obtenidos según la dinámi a esquematizada en la gura 5.1(a- ), es de irhabiendo obtenido la estadísti a de varios lusters independientes on umbrales de- orrela ionados. Si bien esta aproxima ión de umbrales de orrela ionados no es unasitua ión auto onsistente en el modelo OFCR (en parti ular la distribu ión nal deumbrales no oin ide on la ini ial), de por sí da una distribu ión tamaños que de aemás rápido que τ ≃ 1,27.Una versión modi ada de la aproxima ión de umbrales de orrela ionados enfatizala importan ia de la separa ión δ que existe en los sitios on fi > f , ausante del ambiodel valor de p. Se modi a la dinámi a esquematizada en la gura 5.1(a,b, ) por la dela gura 5.1(a,b,d). Se onsidera que si la relaja ión mueve a fi ha ia abajo alejándosede f ci y a er ándose a f , enton es el valor de f c

i también se mueve ha ia abajo la misma antidad (ver gura 5.1(d)), es de ir se fuerza la ondi ión δ = 0. De esta manera ladistribu ión de umbrales por en ima de fi sigue siendo exponen ial y p ya no disminuye.Bajo estas ondi iones, la distribu ión de tamaños permane e esen ialmente la misma

70 ¾Por qué τ ≃ 1,67?que en ausen ia de relaja ión omo se puede observar en el grá o de puntos llenosde la gura 5.2. Esto indi a que la separa ión entre las fuerzas fi y sus umbrales f ciprodu ida por el me anismo de relaja ión es una de las ausas prin ipales del aumentodel exponente τ que el modelo OFCR presenta frente al modelo OFC∗.5.4. Criti alidadEn esta se ión se quiere omentar a er a de las onse uen ias que tiene un valorde τ ≃ 1,67 en rela ión a las propiedades ríti as del sistema . Si las pla as te tóni- as estuvieran en un estado ríti o, impli aría que ualquier terremoto originalmentepequeño puede desenvolverse en un evento atastró o dependiendo de mu hísimosdetalles en las ondi iones físi as sobre una extensión enorme de las pla as, no sóloregiones lo ales. En esta situa ión, no existe orrela ión alguna entre los terremotos,por lo que su predi ión resultaría imposible.En una publi a ión re iente[8, Ramos propone que la ondi ión de que el sistemapresente una distribu ión de tamaños tipo ley de poten ias no es su iente para onsi-derarlo ríti o. Realizando un análisis de la estru tura y la dinámi a de las avalan haslibre de es ala y estable iendo analogías on el pro eso de rami a ión ríti o ( riti albran hing pro ess) obtiene una ondi ión de riti alidad para este tipo de avalan has.Si bien onsidera que aún falta un formalismo que vin ule el valor del exponente dela ley de poten ias on las propiedades ríti as, on luye que para sistemas forzadosexternamente de manera lenta, existe un valor de τ parti ular para ada dimensión enel ual el sistema puede onsiderarse ríti o, siendo τ ≃ 1,27 en dos dimensiones. Esteresultado impli aría que el modelo OFC∗ presenta avalan has invariantes de es ala enestado ríti o. Esto es onsistente on el he ho de que no se observan orrela iones ensus distribu iones temporales y espa iales presentadas en la se ión 3.1.1.Ramos ha e notar que la mayoría de los fenómenos reales presentan valores de τmayores que su valor ríti o5, postulando que la disipa ión de los sistemas es una delas ausas prin ipales de este aumento6. En esta situa ión, las propiedades ríti asdisminuyen. Este análisis permite entender que un valor de τ ≃ 1,67 originado en elme anismo de relaja ión, no sólo impli a que la probabilidad de que existan avalan hasmás grandes disminuye, sino también que el sistema se vuelve, en prin ipio, prede ible.Es de ir, el valor obtenido experimentalmente para los terremotos presenta informa-5Vale la pena men ionar que en Ref. [8 Ramos dene el tamaño de las avalan has en los modelos deterremotos, en parti ular variantes del modelo OFC [34, al número de sitios involu rados (equivalenteal área A) y no al número de inestabilidades (equivalente al volumen S). Bajo esta onsidera ión,rela iona a las magniutdes de los terremotos reales on el logaritmo de la amplitud de los sismógrafosy no on el momento sísmi o. Como onse uen ia onsidera la rela ión τ = 1 + b y no τ = 1 + 2

3b,obteniendo τ ≃ 2 omo un valor realista para el exponente de los terremotos (ver se ión 1.2.1).6No obstante, enfatiza que aún falta una rela ión uantitativa entre la disipa ión y el valor de τ .

5.4 Criti alidad 71 ión a er a de la posibilidad de prede irlos. Bajo estas onsidera iones, el argumentode que los terremotos no pueden ser predi hos por ser ríti os no es válida 7. En elsiguiente apítulo se analiza la posibilidad de realizar predi iones de eventos futurosen el modelo. Consistentemente on éste análisis se en uentra que la probabilidad deque o urran eventos atastró os depende de las variables lo ales del sistema.

7En Ref. [16 onsideran que la ley de poten ias que presentan los terremotos reejan el estado ríti o de las pla as te tóni as.

Capítulo 6Predi tibilidadSabemos muy po o, y sin embargo es sorprendente que se-pamos tanto, y es todavía mas sorprendente que tan po o ono imiento nos de tanto poder. Bertrand Russell (1872-1970)En la se ión 4.3 se analiza la evolu ión temporal de las tensiones medias del sistema,introdu iendo el on epto de i lo sísmi o. En el límite de relaja ión innita resultaevidente que dependiendo de dónde se sitúa el sistema dentro de di ho i lo, existe o nouna probabilidad importante de que o urran terremotos muy grandes. Es de ir, estoseventos sólo se observan si las tensiones medias del sistema superan ierto umbral. Estehe ho nos motiva a explorar la posibilidad de ha er predi iones de eventos futuros enel modelo.En este pro eso, resulta de interés tener presente los métodos utilizados para prede- ir terremotos reales, introdu idos y ejempli ados en la se ión 1.4. Aquellos métodos on eptualmente relevantes para la predi ión dentro del modelo se resumen en lase ión 6.1. Estos métodos permiten entender la importan ia de obtener una ara te-riza ión del estado a tual del sistema a partir de la historia de la región. Este temase explora en la se ión 6.2. Finalmente, en la se ión 6.3 se presenta un algoritmo depredi ión que permite anti ipar sistemáti amente eventos de gran magnitud. No sóloes interesante el he ho de que existan iertas ir unstan ias donde se pueden prede ireventos dentro del modelo sino también el he ho de que el algoritmo utilizado puedeser implementado en la prá ti a al ombinar los métodos existentes.6.1. Métodos de predi iónA ontinua ión se distinguen dos grandes grupos que permiten aportar informa ióndesde diferentes perspe tivas al tema de la predi tibilidad de los terremotos. Uno de73

74 Predi tibilidadlos grupos esta orientado a un análisis históri o de los terremotos y otro a un análisisde pre ursores. Si bien se observa en la literatura [18, 19 que los esfuerzos por prede irlos terremotos se llevan adelante en ada grupo por separado, es menester preguntarsesi a partir de un estudio onjunto se pueden obtener mejores resultados.Gap sísmi oPor un lado, están los métodos que realizan un análisis históri o de los terremotoso urridos en una dada región de estudio on la idea de que el estado a tual de las pla ases una onse uen ia de su historia previa. En este ontexto bus an periodi idades enun i lo sísmi o para luego ubi arse dentro del mismo. Además, ono iendo la historiade una dada región y midiendo on sistemas de posi ionamiento satelital los desplaza-mientos de las pla as, se pueden identi ar zonas de mayor a umula ión de tensiones oequivalentemente zonas que se en uentran retrasadas respe to al desplazamiento nor-mal de la pla a (gap sísmi o). Cabe notar que por lo general este análisis suele tenersentido a lo largo de un período de tiempo del orden de los de enas de años.Patrones sísmi osPor otro lado, están los métodos que realizan estudios basados en dete tar adenasde terremotos pequeños pre ursores de terremotos más grandes. Este análisis sueleinvolu rar una es ala de tiempos de meses o días. Un aspe to importante de estosestudios es la arbitrariedad que existe al onsiderar un evento pre ursor. También sedebe remar ar que los parámetros utilizados al formar adenas varían signi ativamente on la región sísmi a onsiderada.6.2. Cara teriza ión del estado a tualCon la idea de realizar una predi ión de ómo se omportará el sistema en unfuturo, es fundamental tener laro ómo se puede ara terizar el estado a tual delsistema y ómo se rela iona on la historia de la región.Por un lado, en el apítulo 3 se presentó una primera ara teriza ión del sistemaanalizando su dinámi a fuera del equilibrio. En parti ular, en la se ión 3.1 se mostróque dada una se uen ia de terremotos, si se ono e la magnitud M , el epi entro ~r0y el tiempo t en el que o urre ada uno de ellos, se pueden obtener distribu ionestemporales, espa iales y de tamaño que logran ara terizar fá ilmente al sistema. Porotro lado, en el apítulo 4 se amplió este estudio analizando la dinámi a uasiestáti aque tiene lugar entre los terremotos. En la se ión 4.3 se analizó puntualmente laevolu ión temporal de las tensiones medias del sistema f(t) = 〈f(~r, t)〉~r. Se mostró nosólo que existen momentos espe í os de interés al en arar el problema de la predi ión

6.2 Cara teriza ión del estado a tual 75M

(t)

1

2

3

X0(

t)

0

100

200 M>1f− (t

)

Tiempo

0.9

0.94

0.98

0 0.1 0.2Figura 6.1: Se uen ia de terremotos del modelo OFCR ara terizados a ada tiempo por sumagnitud M , epi entros ~r0 y el valor medio espa ial de las fuerzas del sistema f . Corresponde avalores de R = 1000 y α = 0,243. Se muestra solo la proye ión de los epi entros en uno de losejes orrespondientes a los eventos on magnitud mayor que 1 ( omparar on la gura 3.1(b)).de los terremotos, sino que di hos momentos están orrela ionados on las tensionesdel sistema.A modo de ejemplo, en la Fig. 6.1 se presenta una se uen ia de terremotos del mo-delo OFCR on un parámetro de relaja ión R = 1000 y un parámetro de onserva iónα = 0,243. Se observa que la se uen ia está ara terizada a ada tiempo no sólo porM y ~r0 sino también por f . La idea es que terremotos de distinta magnitud o urrenpra ti amente de manera onstante en el tiempo, afe tando lo almente las tensiones delsistema f(~r, t); sin embargo sólo tendrán un efe to apre iable en las tensiones mediasf(t) en iertas ir unstan ias. Dependiendo de las magnitudes de los terremotos invo-lu rados y de la extensión espa ial de las répli as, existirá o no una aída signi ativade f(t). En este aso por ejemplo, para que estas aídas sean apre iables deben haberterremotos de magnitud mayor a 1,8.Resumiendo, se debe tener en uenta que dada una región del espa io, hubo una se- uen ia de terremotos M(~r, t) que determina el estado a tual del sistema (en parti ularlas tensiones f(~r, t)) a partir del ual se intenta prede ir el próximo evento.Solu ión analíti a de las tensiones f(~r, t)En el modelo OFCR, el estado de tensiones del sistema se obtiene de maneranuméri a a partir de las reglas de autómata elular que des riben la dinámi a rápida(E . 2.15) y a partir de la e ua ión de evolu ión de la dinámi a lenta: df

dt= k1V +c(∇2f)(E . 2.17). Si se quiere obtener una solu ión analíti a del ampo de fuerzas a todotiempo en una región Ω se debe agregar a la E . (2.17) un termino que tenga en uentala historia de los terremotos en di ha región h(~r, t):

76 Predi tibilidad∂

∂tf(~r, t) = k1V + c(∇2f) + h(~r, t) (6.1)h(~r, t) = −

∑

j<t

δ(t− tj)∆f(~r, tj) (6.2)donde tj indi a el tiempo en el que o urrió un terremoto uyo momento sísmi o S(tj)esta rela ionado on la aída lo al de las fuerzas ∆f(~r, tj) a ese tiempo mediante lae ua ión:S(tj) =

∫

Ω

d~r ∆f(~r, tj) (6.3)Utilizando las te ni as de fun iones de Green para resolver e ua iones diferen ialesse obtiene una solu ión analíti a del ampo de fuerzas:f(~r, t) = k1V t−

∑

j<t

gj(~r, t) (6.4)gj(~r, t) =

1

4π

∫

Ω

d~r′∆f(~r′, t)

(t− tj)exp(

−|~r − ~r′|4c(t− tj)

) (6.5)Sin embargo, en la pra ti a resulta difí il evaluar la fun ión gj(~r, t). No obstante, sise realiza la aproxima ión de que los terremotos o urren lo almente en sus epi entros(∆f(~r, tj) = S(tj)δ(~r−~r0)) la fun ión gj puede obtenerse a partir del momento sísmi oen el tiempo tj y de su epi entro ~r0. De esta manera, el ampo de fuerza se puedeobtener a partir de los datos que se suelen medir: el epi entro y la magnitud de unterremoto:f(~r, t) = k1V t−

∑

j<t

S(tj)

(t− tj)exp(

−|~r − ~r0|4c(t− tj)

) (6.6)Un tema pendiente de estudio es analizar la validez de esta aproxima ión. Para estose propone, dada una se uen ia de terremotos su ientemente larga, al ular el ampode fuerzas mediante la E . (6.6) y ompararlo on el obtenido mediante la evolu ión delas fuerzas según la dinámi a des ripta en la se ión 2.5.1. Es posible también analizarel ampo de fuerzas resultante al onsiderar una se uen ia de terremotos reales.Cono er el estado a tual del sistema permite enton es preguntarse respe to de laposibilidad de realizar una predi ión de ómo se omportará el sistema en un futuro.

6.3 ¾Qué impli a prede ir un evento? 776.3. ¾Qué impli a prede ir un evento?En esta se ión se intentará responder a esta pregunta dentro del mar o del modeloOFCR. Una vez ara terizado el estado a tual del sistema (se ión 6.2) es menesterpreguntarse respe to del próximo evento ¾dónde se produ irá?, ¾ uándo se produ irá?y ¾ uánta energía se liberará?. De poder ontestar estas preguntas, se estará enton esen ondi iones de dar una predi ión espa ial, temporal y en magnitud.Una primera onsidera ión a tener en uenta al intentar responder estas preguntases que no todas las se uen ias de terremotos son importantes en rela ión on su efe toen las tensiones medias del sistema. Como se observa en la gura 6.1, sólo algunasse uen ias de terremotos produ en una aída apre iable de f(t) respe to del aumento uasiestáti o originado en la arga externa. Sería deseable poder prede ir di hos saltosya que son los indi adores de una gran libera ión de energía en el sistema en un ortointervalo de tiempo. Aquellas se uen ias de terremotos que produ en semejante aídaen f(t), serán referidos omo eventos en lo que resta de este apítulo.Pro edimiento Se en uentra un pro edimiento que permite anti ipar sistemáti a-mente aquellos eventos más grandes. La idea es poder ombinar los métodos de pre-di ión des riptos en las se iones 1.4 y 6.1, de manera de utilizar la mayor antidadde informa ión disponible en las simula iones. Es de ir, se quiere utilizar tanto la in-forma ión de las tensiones y deforma iones del sistema así omo la informa ión de losterremotos que van o urriendo. Con esto en mente, se bus a primero identi ar regio-nes del sistema donde sea más probable que se desarrolle el próximo evento. De estamanera se redu e la aten ión a di has regiones bus ando en ada una adenas de te-rremotos que anti ipen uándo se liberará la energía elásti a alma enada. Finalmentese pretende estimar di ha energía liberada en términos del área original de la regiónafe tada.6.3.1. ¾Dónde?La primer onsidera ión fundamental es tratar de ubi ar regiones donde sea másprobable que se desarrolle un evento. Esto redu e signi ativamente los esfuerzos paraen ontrar pre ursores que anti ipen temporalmente al evento. Es natural pensar queestas regiones estarán retrasadas respe to al desplazamiento normal de la pla a. Espor esto que en vez de analizar los desplazamientos de los bloque u se analizan lasdeforma iones w(~r, t) = k1V t− u(~r, t).ZONAS PELIGROSAS Como se puede observar en la gura 6.2(a) existen zonasque avanzan en onjunto y zonas retrasadas. Aquellas zonas más retrasadas (mayor w)son poten iales para el desarrollo de un evento y se identi arán omo zonas peligrosas

78 Predi tibilidad

(a) (b)

( ) (d)Figura 6.2: Se uen ias temporales del ampo de deforma iones w(~r, t). (a) Se observan zonasque avanzan en onjunto y zonas retrasadas. Aquellas zonas más retrasadas (mayor w) son po-ten iales para el desarrollo de un evento y se identi arán omo zonas peligrosas (delimitadaspor las lineas rojas). (b) Se observan los efe tos de los terremotos o urridos en una de las zonaspeligrosas identi adas en (a). Éstos forman 2 adenas pre ursoras que anti ipan un evento, esde ir, una gran libera ión de tensiones en di ha zona. ( ) Se observa que w disminuyó abrupta-mente en la mayor parte de la zona peligrosa donde se identi aron las adenas pre ursoras. (d)Perl de w antes y después de o urrido el evento (mar ado on una linea punteada en y = 140en (b) y ( )). Se remar an los efe tos de los terremotos pre ursores.

6.3 ¾Qué impli a prede ir un evento? 79(delimitadas por las lineas rojas)1. Éstas regiones son análogas al on epto de gapsísmi o utilizado en sismología (se ión 1.4).6.3.2. ¾Cuándo?Para poder prede ir un evento es también de suma importan ia poder pre isar suubi a ión temporal. Para esto se suelen bus ar señales que anti ipen el evento de mane-ra de poder a tivar una alarma de pre au ión. Se en ontraron estas señales analizandola existen ia de adenas. Éstas se forman al estable er vín ulos entre terremotos espa- ial y temporalmente er anos. Se pueden observar en la gura 6.3 donde se gra auna se uen ia de terremotos identi ados a ada tiempo on una de las oordenadasde sus epi entros (x0). Es laro que existen adenas on diferente número de vín ulos(largo de la adena) e in luso se observan terremotos aislados (sin vín ulos).La forma ión de adenas es un pro eso en prin ipio arbitrario en el sentido de ómo es que se vin ulan los terremotos. Para estable er un riterio se deben responderpreguntas omo por ejemplo: ¾Cuán lejos, espa ial y temporalmente, pueden estar dosterremotos para estable er un vín ulo entre ellos? ¾Existe alguna magnitud mínima omáxima para que tenga sentido onsiderar a un terremoto parte de una adena? ¾Quélongitud debe tener la adena para que valga la pena a tivar una alarma?Por un lado, se debe tener en uenta que terremotos muy distantes espa ial ytemporalmente no presentan orrela iones y de ser onsiderados parte de una misma adena es probable que se induz a una falsa alarma. Es por esto que se desea vin ularterremotos que estén orrela ionados. Es de esperar que estas orrela iones espa ialesy temporales que existen entre los terremotos dependan de la magnitud de los mismos.La situa ión óptima sería onsiderar ventanas de sele ión que dependan de la mag-nitud de los terremotos pertene ientes a la adena[41. Si por simpli idad se utilizanventanas temporales y espa iales jas, se deben in luir en la adena terremotos mayoresa una magnitud mínima por en ima de la ual las ventanas elegidas son apropiadas.Es de ir, se debe tener en uenta que los terremotos de menor magnitud son los demayor o urren ia, pero a su vez son los que presentan menores orrela iones espa io-temporales. También debe existir una magnitud máxima que indique uándo un eventose ha desen adenado de manera que es tarde para a tivar una alarma. Finalmente, sedeben onsiderar adenas lo su ientemente largas para que éstas sean fenómenos ex- ep ionales, pero también su ientemente ortas omo para poder a tivar la alarma atiempo.Sin optimizar el algoritmo de predi ión, on el simple n no perderse en los deta-lles del modelo y obtener on lusiones orientativas se onsideraron arbitrariamente los1Cabe notar que existe aquí una arbitrariedad al elegir el nivel de la ota que va a denir una zonapeligrosa; en este análisis se utiliza un nivel orrespondiente a w = 36,55.

80 Predi tibilidad

0

100

200

0.095 0.098 0.101

X0

Tiempo

Cadenas con mas de 12 vinculos

Figura 6.3: Forma ión de adenas en una se uen ia de terremotos del modelo OFCR. Seidenti an de manera espe ial aquellas adenas on más de do e vín ulos, parámetro utilizadoen la predi ión.siguientes parámetros de sele ión de adenas en una red de 256x256 sitios, tomandoR = 1000 y α = 0,243:Distan ia temporal para poder vin ular dos terremotos: 0,001Distan ia espa ial para poder vin ular dos terremotos: 20 sitiosMagniud mínima: 0,20Magnitud máxima:1,85Para a tivar una alarma la adena debe tener 12 vín ulos.CADENAS PRECURSORAS Como se observó en la gura 6.3, se forman a-denas onstantemente, sin embargo, el he ho de haber identi ado previamente zonaspeligrosas permite redu ir signi ativamente el análisis. Solamente aquellas adenassu ientemente largas que o urren en zonas peligrosas se onsideran omo pre ursorasy se a tiva una alarma. Si luego de ierto tiempo o urre un evento enton es se di e quedi ha alarma fue a ertada; de lo ontrario fue una falsa alarma.6.3.3. ¾Cuánto?Una vez a tivada una alarma, es de interés poder estimar uán peligroso será elevento predi ho. Se en uentra una respuesta al onsiderar el área de las zonas peligrosasintrodu idas previamente.ÁREA DE LAS ZONAS PELIGROSAS En la gura 6.4(a) se observa que elárea de las zonas peligrosas donde o urre un evento esta orrela ionada on el tamaño

6.4 Con lusiones 81

(a) (b)Figura 6.4: (a) El tamaño de los saltos en el valor medio de la fuerza de fri ión ∆f enfun ión del área de las zonas peligrosas donde se desarrolló una adena pre ursora. (b) Evolu ióntemporal del valor medio de la fuerza de fri ión junto on las alarmas a tivadas. Se diferen iaentre las falsas alarmas y las alarmas a ertadas. La e ha verti al indi a el tiempo alrededordel ual se analiza la se uen ia temporal de las deforma iones en la gura 6.2. Las dos alarmasaso iadas fueron a tivadas por las dos adenas pre ursoras observadas en la gura 6.2(b).de los saltos en las tensiones medias∆f . Es de ir, uanto mayor sea di ho área, mayoresserán las des argas. Teniendo en uenta esta onsidera ión, al a tivarse una alarma sepuede estimar la energía liberada por los terremotos predi hos.En la gura 6.4(b) se presenta la evolu ión temporal de f junto on las alarmasa tivadas. Se diferen ia entre las falsas alarmas y las alarmas a ertadas. La altura delas alarmas indi an la predi ión de la magnitud del salto ∆f estimadas utilizando larela ión presentada en la gura 6.4(a). Se en uentra que uanto mayor es el área de lazona peligrosa donde o urren las adenas pre ursoras mejor es la predi ión.6.4. Con lusionesEl pro edimiento de predi ión propuesto ne esita no sólo de informa ión detalladade la magnitud y ubi a ión espa io-temporal de los terremotos, sino también de ómoes el estado de deforma ión y de tensiones lo ales de las pla as. Al apli ar este pro e-dimiento al modelo se observa que on esta informa ión, se pueden prede ir los eventosmás importantes.Estos resultados nos motivan a proponer que los esfuerzos por prede ir terremotosdeben ombinar ambos métodos de predi ión existentes en la literatura; es de ir, ombinar la busqueda de señales pre ursoras on un ono imiento de las tensiones ydeforma iones a tuales del sistema.Si bien en el modelo resulta sen illo a eder a di ho estado a tual del sistema, se es

82 Predi tibilidad ons iente de que ésta informa ión no está siempre disponible en la realidad. Lo mejor on lo que se uenta son las té ni as geodési as espa iales para dete tar las zonas dondelas pla as se en uentran más a opladas. Se propone explorar, tanto en el modelo omoen la realidad, un método on reto de ómo obtener las tensiones lo ales de las pla asa partir de la historia de los terremotos.

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Agrade imientosEste trabajo representa para mi más que una tesis de maestría, mar a el ierre deuna etapa de aprendizaje que mar ó mi vida. Fue impulsada y motivada originalmentepor mi familia y luego por mis profesores; fue transitada junto a ompañeros que mebrindaron la alegría y el apoyo diario; fue avalada por institu iones que le dieron elmar o ne esario para su desarrollo. Con todos ellos me siento muy agrade ido.Agradez o en general a aquellos edu adores que transmiten lo mejor de sí onpa ien ia y dedi a ión; a aquellos uyo trabajo nos motiva a estudiar y seguir re iendo;a aquellos que nos inspiran admira ión por lo que nos rodea.En parti ular, quiero agrade er a Guillermo Zemba quien me introdujo en el áreade la Físi a, sus lases lograron atrapar mi aten ión y a larar mi vo a ión.Agradez o formalmente a mi dire tor Eduardo; este trabajo no hubiera sido posiblesin él. Más aún, me guió en un pro eso de aprendizaje sumamente enrique edor. Lohizo on laridad y motiva ión, siempre bien dispuesto a dis utir.Esta tesis de maestría ha tenido lugar en el grupo de Teoría del Sólido del CAB, unambiente ideal para trabajar. Les agradez o a todos los miembros del grupo por ha eresto posible. Más pre isamente, la pajarera fue el ni ho donde re í este último añoy medio; más ómodo, imposible. En parti ular, quiero agrade er a Pablo Cornagliapor ayudarme on las di ultades omputa ionales, a Alberto Rosso por a er arse atrabajar on nosotros y a Sebastián Bustingorry por las dis usiones útiles que hemostenido y por proveerme de material de le tura.El a eso al material de le tura reo que no es un detalle menor. Por un ladoagradez o a CNEA y al Ministerio de Cien ia y Té ni a por permitirme a eder amu has publi a iones. Por otro lado agradez o a todos los que han olaborado paraformar la bibliote a del IB. También quiero dar gra ias al personal de la bibliote a,siempre bien dispuesto a darme una mano para onseguir material de le tura (aunquemu has ve es este bajo mis nari es!).Gra ias a todos ellos, puedo de ir que luego de tantos golpes, este pi hón aprendióa volar; bajito, pero a volar al n.87