TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS - CENIDET · AGRADECIMIE*TOS Gracias Padre mío, por regalarme la...

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Determinación de la Conductividad Térmica de un Sólido por Medio de un Método Inverso de Transferencia de Calor

presentada por

Álvaro del Jesús Yam Morayta Ing. Mecánico por el Instituto Tecnológico de Campeche

como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor

Co-Director de tesis: Dr. José Jassón Flores Prieto

Cuernavaca, Morelos, México. 21 de Febrero de 2012

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Determinación de la Conductividad Térmica de un Sólido por Medio de un Método Inverso de Transferencia de Calor

presentada por

Álvaro del Jesús Yam Morayta Ing. Mecánico por el Instituto Tecnológico de Campeche

como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor

Co-Director de tesis: Dr. José Jassón Flores Prieto

Jurado: Dra. Yvonne Chávez Chena – Presidente

Dr. Jesús Arce Landa – Secretario Dr. Efraín Simá Moo – Vocal

Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 21 de Febrero de 2012

DEDICATORIAS

A Dios Padre por guiarme en el camino de la sabiduría y de la paciencia, por cuidarme

en cada momento de mi vida, por formar parte de la gran familia Yam Morayta y por los

buenos amigos que he conocido a lo largo de mí camino. Sin lugar a duda, la amistad y el

amor forman parte esencial de mi vida. ¡Gracias dios Padre!

A mis padres: Álvaro y Mildret. Ustedes son el motor que me impulsa a seguir adelante

todos los días de mi vida. Gracias por todos los consejos y opiniones que me han ayudado a

elegir mi camino. Me han enseñado que lo más importante en la vida es la familia y para

fortalecerla hay que ser humilde, paciente, saber escuchar y entender, y sobre todo dar sin

esperar algo a cambio. A ustedes todo mi respeto y cariño, porque han sacrificado todo por

nosotros, se han esforzado todos los días para darnos a nosotros, sus hijos, lo mejor posible y

a pesar de las carencias económicas siempre nos han apoyado en nuestros proyectos. Con

mucho orgullo grito a los 4 vientos para que el mundo me escuche decir: ¡Hoy en día soy la

persona que soy gracias a mis Padres!

A mis hermanas: Fernanda y Fanny. A pesar de las diferencias que existen entre

nosotros, siempre me han apoyado y cuidado. La unión como hermanos es la base de nuestra

gran familia. Esta unión nos distingue del resto de los demás. Les agradezco todo el cariño que

me ofrecen día tras día y recuerden que ¡Ustedes son las rosas más bellas de mi jardín!

A mis sobrinos: Víctor y Fernando. Les demuestro a ustedes que todo se puede lograr en

esta vida con paciencia, esfuerzo, perseverancia y coraje. Que mis acciones les sirva como

ejemplo en sus futuras decisiones. Recuerden que además de ser su tío, soy también su amigo.

2o olviden que ustedes son ¡La nueva luz de nuestra gran familia!

A mis compañeros y amigos: Alex, Azucena, Chagolla, Cintli, Daniel, Elva, Esteban,

Felipe, Ingrid, Ivett, Javier, Juana, Karla, Leo, Lucio, Marcos, Melo, Meño, *adia, *eto,

*ico, Pipo, Quique, Rafa, Serrano y Ulysses. Gracias por todos los momentos que vivimos

durante la maestría. Solo me queda desearles ¡Éxito en sus proyectos y salud ante todo!

AGRADECIMIE*TOS

Gracias Padre mío, por regalarme la vida, por estar a mi lado en los buenos y malos

momentos de mi vida y por cuidar de mi familia y amigos en mi ausencia.

A Mi Familia, por su apoyo incondicional y sus buenos consejos ya sean de padres o

hermanas. Gracias a ustedes cumplí una meta más en mi vida.

Al Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor, por la confianza depositada en mi persona, por

sus concejos, por su paciencia, por ser el asesor de este trabajo de tesis y sobre todo por

brindarme su amistad en todo momento. Por esto y más ¡Muchas gracias!

A mi co-director el Dr. José Jassón Flores Prieto, por sus enseñanzas, observaciones y

por estar al pendiente en todo momento del desarrollo de este trabajo de tesis.

Al comité revisor: Dra. Yvonne Chávez Chena, Dr. Jesús Arce Landa y Dr. Efraín

Simá Moo, por sus comentarios e importantes sugerencias durante la revisión de la tesis.

A los Catedráticos del Departamento de Ingeniería Mecánica del CE)IDET, muchas

gracias por colaborar en mi formación como profesional y por sus buenos consejos.

A la familia Frías Enríquez, por el apoyo absoluto que me ofrecieron durante todo este

tiempo y por recordarme que la familia es el tesoro más grande y valioso que todo ser humano

tendrá a lo largo de su vida. En especial a Mimí y a Daniela por regalarme grandes momentos

que serán recuerdos inolvidables en mi vida.

A mis amigos y compañeros de generación 2009: Azucena, Daniel, Ingrid, Javier,

Juana, Meño, )ico, Rafa y Ulysses. En especial a “mis hermanos” Cintli, Ivett y Leo; a todos

ustedes muchas gracias por acompañarme en los buenos y malos momentos, pero sobre todo

por brindarme su amistad en todo el transcurso de esta aventura.

A mis amigos del CENIDET: Abat, Alex, Chagolla, Elva, Esteban, Felipe, Karla,

Lucio, Marcos, Melo, )adia, )eto, Pedro, Pipo, Quique y Serrano; gracias por su amistad y

apoyo durante la maestría.

Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CE)IDET), por

brindarme la oportunidad de formarme en ésta institución, de antemano muchas gracias.

Al Concejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CO)ACYT), por el apoyo económico

brindado durante la maestría.

REFLEXIO*ES

El Helecho y el Bambú.

Un día decidí darme por vencido, renuncié a mi trabajo, a mi relación, a mi vida. Fui al

bosque para tener una última plática con Dios. “Dios”, le dije. “¿Podrías darme una buena

razón para no darme por vencido?”. Su respuesta me sorprendió…”mira a tu alrededor”, él dijo.

“¿Ves el helecho y el bambú?”, “sí”, respondí. Cuando sembré las semillas del helecho y el

bambú, las cuidé muy bien. Les di luz y agua. El helecho rápidamente creció. Su verde brillante

cubría el suelo. Pero nada salió de la semilla de bambú. Sin embargo no renuncié al bambú. En

el segundo año, el helecho creció más brillante y abundante y nuevamente, nada creció de la

semilla de bambú. Pero no renuncié al bambú, dijo él. En el tercer año, aún nada brotó de la

semilla de bambú. Pero no renuncié al bambú, me dijo. En el cuarto año, nuevamente nada

salió de la semilla de bambú. No renuncie dijo. Luego, en el quinto año un pequeño brote de

bambú se asomó de la tierra. En comparación con el helecho, era aparentemente muy pequeño

e insignificante. En el sexto año, el bambú creció más de 20 metros de altura. Se había pasado

cinco años echando raíces que lo sostuvieran. Aquellas raíces lo hicieron fuerte y le dieron lo

que necesitaba para sobrevivir. “No le daría a ninguna de mis creaciones un reto que no pudiera

sobrellevar”, él me dijo.”¿Sabías que todo este tiempo que has estado luchando, realmente has

estado echando raíces?”. No renunciaría al bambú, nunca renunciaría a ti. “No te compares con

otros”, me dijo. El bambú tiene un propósito diferente al del helecho, sin embargo, ambos eran

necesarios y hacían del bosque un lugar hermoso. Tu tiempo vendrá, Dios me dijo. “¡Crecerás

muy alto!”, “¿qué tan alto debo crecer?”, pregunté. “¿Qué tan alto crecerá el bambú?”, me

preguntó en respuesta. “¿Tan alto como pueda?”, indagué.

Nunca te arrepientas de un día en tu vida. Los buenos días te dan felicidad. Los malos días

te dan experiencia. Ambos son esenciales para la vida. La felicidad te mantiene dulce, los

intentos te mantienen fuerte, las penas te mantienen humano, las caídas te mantienen humilde,

el éxito te mantiene brillante. Pero sólo Dios te mantiene caminando…

Anónimo

CONTENIDO

Lista de figuras………………………………………………………………………………....I

Lista de tablas………………………………………………………………………………...IV

Nomenclatura……………………………………………………………………………….....V

Resumen……………………………………………………………………………………..VII

Abstract……………………………………………………………………………………....IX

Capitulo 1.-I)TRODUCCIÓ). Pág.

1.1.-Motivación………………………………………………………………...........................2

1.2.-Revisión bibliográfica………………………………………….........................................4

1.2.1.-Métodos inversos para determinar la conductividad térmica

dependiente de la temperatura………………………..............................................5


dependiente del espacio…………………………………………………………....7


dependiente de la temperatura y del espacio………………………………............8

1.2.4.-Conclusión de la revisión bibliográfica…………………………………………..11

1.3.-Justificación del estudio…..……………………………………………………...…......11

1.4.-Objetivo general…………………………………………………………....…………...12

1.4.1.-Objetivos específicos……………………………………………………………..13

1.5.-Alcance……..……………………………………………………………………………13

1.6.-Estructura de la tesis………..………………………………………………...………...13

Capitulo 2.-CO)CEPTOS DE TRA)SFERE)CIA DE CALOR I)VERSA.

2.1.-Concepto del Problema Inverso de Transferencia de Calor (PITC)…….…………..16

2.2.-Clasificación de los Problemas Inversos de Transferencia de Calor……….………..17

2.2.1.-Problemas inversos de acuerdo a la naturaleza de la transferencia

de calor………………………………………………………………..….….........18

Pág.

2.2.2.-Problemas inversos en estado permanente y en estado transitorio……...………..18

2.2.3.-Problemas inversos lineales y no lineales……………………………….….…….19

2.2.4.-Condiciones de frontera en los Problemas Inversos de

Transferencia de Calor…………………………………………………….……...19

2.3.-Métodos para resolver los problemas inversos de transferencia de calor….…..........20

2.4.-Aplicaciones practicas de los problemas inversos de transferencia de calor….…….21

2.5.-Definición y naturaleza de la conductividad térmica…………………………….…...22

2.5.1.-Definición de la conductividad térmica………………………………….….…...23

2.5.2.-Naturaleza de la conductividad térmica…………………………………….........24

Capitulo 3.-MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS.

3.1.-Modelos físicos y matemáticos del sistema coordenado cartesiano…………………..26

3.1.1.-Modelos físicos…….………………………………………………………..…....26

3.1.2.-Modelos matemáticos…………………………………………………………….28

3.1.2.1.-Sistema unidimensional (x)………………………………………………...29

3.1.2.2.-Sistema bidimensional (x, y)…………………………………………….....30

3.1.2.3.-Sistema compuesto (x, y)…………………………………………………..30

3.2.-Modelos físicos y matemáticos del sistema coordenado cilíndrico………...….….......31

3.2.1.-Modelos físicos…….………………………………………………………..…....31

3.2.2.-Modelos matemáticos…………………………………………………………….33

3.2.2.1.-Sistema unidimensional (r)…………………………………………….......33

3.2.2.2.-Sistema bidimensional (r, z)……………………………………………….34

3.2.2.3.-Sistema compuesto (r, z)……………………………………………..…....34

Capitulo 4.-METODOLOGÍA DE SOLUCIÓ).

4.1.-Métodos numéricos……………………………………………………………………...36

4.2.-Metodología del MVF en los modelos matemáticos en coordenadas cartesianas…...38

4.2.1.-Sistema bidimensional (x, y)……………………………………………………..39

Pág.

4.2.1.1.-Problema directo…………………………………………………………..40

4.2.1.2.-Problema inverso………………………………………………………….44

4.2.2.-Sistema compuesto (x, y)………………………………………………………...47


4.2.2.2.-Problema inverso…………………………………………………….........49

4.3.-Metodología del MVF en los modelos matemáticos en coordenadas cilíndricas…....51

4.3.1.-Sistema bidimensional (r, z)……………………………………………………...51


4.3.1.2.-Problema inverso……………………………………………………….…55

4.3.2.-Sistema compuesto (r, z)………………………………………………………....59


4.3.2.2.-Problema inverso……………………………………………………….….60

4.4.-Métodos de solución de ecuaciones algebraicas…………………………………….…62

4.4.1.-Métodos directos………………………………………………………………....62

4.4.2.-Métodos iterativos………………………………………………………………..62

4.5.-Diagrama de flujo de los códigos numéricos…………………………………………..63

4.5.1.-Criterio de convergencia…………………………………………………………63

4.5.2.-Diagrama de flujo………………………………………………………………..64

Capitulo 5.-VERIFICACIÓ).

5.1.-Verificación del código numérico……………………………………………………....68

5.1.1.-Verificación del código numérico desarrollado con los resultados

reportados por Yeung W. y Lam T. (1995)……………………………………...68

5.1.1.1.-Conductividad térmica constante………………………………………….69

5.1.1.2.-Conductividad térmica dependiente del espacio…………………………..71

5.1.1.3.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura…………………...73

5.1.2.-Verificación del código numérico desarrollado con los resultados

reportados por Chang C. y Chang M. (2006)……………………………………78

5.1.2.1.-Conductividad térmica dependiente del espacio………………………….78

Pág.

5.1.2.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura…………………....80

5.2.-Estudio de independencia de malla en el espacio y tiempo…………………………...84

5.2.1.-Independencia de malla en el espacio…………………………………………....87

5.2.2.-Independencia de malla en el tiempo…………………………………………….89

Capitulo 6.-RESULTADOS.

6.1.-Resultados de los problemas inversos en coordenadas cartesianas………………….95

6.1.1.-Sistema unidimensional (x)…………………………………………………........95

6.1.1.1.-Conductividad térmica constante………………………………………….95

6.1.1.2.-Conductividad térmica dependiente del espacio………………………......96

6.1.2.-Sistema bidimensional (x, y)…………………………………………………......97

6.1.2.1.-Conductividad térmica constante……………………………………….....98

6.1.2.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura…………………...99

6.1.3.-Sistema compuesto (x, y)……………………………………………………….103

6.1.3.1.-Conductividad térmica constante………………………………………...103

6.1.3.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura………………….106

6.2.-Resultados de los problemas inversos en coordenadas cilíndricas………………….110

6.2.1.-Sistema unidimensional (r)……………………………………………..……….110


6.2.1.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura…………………..112

6.2.2.-Sistema bidimensional (r, z)…………………………………………………….113

6.2.2.1.-Conductividad térmica dependiente del espacio………………………....114


6.2.3.-Sistema compuesto (r, z)………………………………………………………..120



Capitulo 7.-CO)CLUSIO)ES Y RECOME)DACIO)ES. Pág.

7.1.-Conclusiones…………………………………………………………………...............125

7.2.-Recomendaciones……………………………………………………………………...127

Referencias Bibliográficas…….............................................................................................128

Página I

LISTA DE FIGURAS

Descripción Pág.

Figura 2.1.-Escala de la conductividad térmica para diversos estados

de la materia a temperatura y presión normales………………………………….23

Figura 3.1.-Modelo físico del sistema coordenado cartesiano………………………….…....27

Figura 3.2.-Modelo físico del sistema coordenado cilíndrico………………………………..32

Figura 4.1.-Dominio computacional del esquema centrado bidimensional cartesiano……....39

Figura 4.2.-Dominios computacionales en las fronteras bidimensionales cartesianas.............45

Figura 4.3.-Dominio computacional del esquema centrado bidimensional cilíndrico…….....52

Figura 4.4.-Dominios computacionales en las fronteras bidimensionales cilíndricas…….….57

Figura 4.5.-Diagrama de flujo del algoritmo numérico cartesiano y cilíndrico……………...66

Figura 5.1.-Modelo físico del medio sólido unidimensional cartesiano……………………..69

Figura 5.2.-Distribución de la conductividad térmica constante

en un medio sólido unidimensional cuando t=0.2 s……………………………...71

Figura 5.3.-Distribución de la conductividad térmica dependiente del

espacio en un medio sólido unidimensional cuando t=0.2 s…………………….73

Figura 5.4.-Distribución de la conductividad térmica dependiente de la temperatura

en un medio sólido unidimensional cuando t=0.2 s: (a) Conductividad

térmica reportada por Yeung W. y Lam T. (1995) y, (b) Conductividad

térmica obtenida con el código numérico desarrollado………………………….75


en un medio sólido unidimensional cuando t=0.05, 0.1 y 0.2 s: (a)

Conductividad térmica reportada por Yeung W. y Lam T. (1995) y,

(b) Conductividad térmica obtenida con el código numérico desarrollado…......77

Figura 5.6.-Distribución de la conductividad térmica dependiente del espacio

en un medio sólido unidimensional cuando t=0.2 s……………………………...80


en el medio sólido unidimensional cuando t=0.05, 0.1, 0.2 y 0.3 s: (a)

Conductividad térmica reportada por Chang C. y Chang M. (2006) y, (b)

Conductividad térmica obtenida con el código numérico desarrollado………....83

Página II

Descripción Pág.

Figura 5.8.-Modelo físico del sistema compuesto cilíndrico...................................................85

Figura 5.9.-Línea donde se desea conocer la distribución de la conductividad térmica

para el estudio de independencia de malla en el espacio y tiempo……………....86

Figura 5.10.-Distribuciones de la conductividad térmica en la línea A del cilindro

sólido compuesto, cuando está sujeta a diferentes mallas: (a) t=0.02 s,

(b) t=0.70 s y (c) t=1.50 s (estado permanente)……………………………....87

Figura 5.11.-Distribuciones de la conductividad térmica en la línea A para los

diferentes pasos de tiempo: (a) t=0.02 s, (b) t=0.7 s y (c) t=estado

permanente……………………………………………………………………...89

Figura 5.12.-Distribución de la conductividad térmica en el cilindro sólido

compuesto cuando se encuentra en el estado permanente……………………...91

Figura 6.1.-Conductividad térmica constante de la placa unidimensional cartesiana……......96

Figura 6.2.-Conductividad térmica dependiente del espacio de la placa

unidimensional cartesiana……………………………………………………......97

Figura 6.3.-Distribución de la conductividad térmica constante en la placa

bidimensional………………………………………………………………….....98

Figura 6.4.-Comparación de la temperatura numérica obtenida con la analítica…………....101

Figura 6.5.-Comparación de la conductividad térmica numérica con la analítica…………..102

Figura 6.6.-Modelo físico de la placa sólida compuesta bidimensional…………………….103

Figura 6.7.-Comportamiento del fenómeno físico a lo largo de la geometría de la placa

sólida compuesta: a)Conductividad térmica y b)Temperatura…………………104

Figura 6.8.-Distribución de la conductividad térmica-temperatura de la placa sólida

compuesta: a)Hierro-Baquelita-Plomo y b)Plomo-Hierro-Baquelita……..........106

Figura 6.9.-Modelo físico del sistema compuesto bidimensional…………………………..106

Figura 6.10.-Distribución de la conductividad térmica en la placa sólida compuesta:

a) t=0.5 s, b) t=0.9 s, c) t=1.2 s y c) t=1.9 s (Estado Permanente)…………..107

Figura 6.11.-Distribuciónes de la conductividad térmica en la placa sólida compuesta,

para los diferentes casos antes mencionados………………………………….109

Figura 6.12.-Modelo físico del cilindro sólido unidimensional…………………………......110

Figura 6.13.-Conductividad térmica constante del cilindro sólido unidimensional………...112

Página III

Descripción Pág.

Figura 6.14.-Conductividad térmica dependiente del espacio y de la temperatura

en diferentes tiempos………………………………………………………….113

Figura 6.15.-Modelo físico del cilindro sólido bidimensional……………………………....114

Figura 6.16.-Distribución de la conductividad térmica dependiente del espacio

en el cilindro sólido bidimensional…………………………………………....116

Figura 6.17.-Distribución de la conductividad térmica en el cilindro sólido: a) t=0.3 s,

b) t=0.6 s, c) t=1.0 s y c) t=1.4 s (Estado Permanente)………………………117

Figura 6.18.-Distribución del fenómeno a lo largo de la geometría del cilindro

sólido: (a)Conductividad térmica y (b) Temperatura…………………………118

Figura 6.19.-Distribuciones de la conductividad térmica dependiente de la temperatura,

cuando está sujeta a diferentes condiciones…………………………………..119

Figura 6.20.-Distribución de la conductividad térmica constante en el cilindro

sólido compuesto……………………………………………………………...120

Figura 6.21.-Distribucion de la conductividad térmica en el cilindro sólido

compuesto…………………………………………………………………….121

Figura 6.22.-Distribuciones de la conductividad térmica en el cilindro sólido

compuesto, para los diferentes casos antes mencionados…………………….123

Página IV

LISTA DE TABLAS

Descripción Pág.

Tabla 5.1.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad

térmica constante…………………………………………………………………70


térmica dependiente del espacio………………………………………………….72

Tabla 5.3.-Comparacion de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad

térmica dependiente de la temperatura…………………………………………...74


térmica dependiente de la temperatura cuando t=0.05 s…………………………76


térmica dependiente de la temperatura cuando t=0.1 s…………………………..76


térmica dependiente del espacio………………………………………………….79


térmica dependiente de la temperatura: (a) Cuando el tiempo es igual a

t=0.05 y 0.1 s y, (b) Cuando el tiempo es igual a t=0.2 y 0.3s…………………...81

Tabla 5.8.-Máximo error relativo en la línea A cuando ∆t=0.01 s…………………………..88

Tabla 5.9.-Máximo error relativo encontrado en la línea A, en los diferentes

pasos del tiempo………………………………………………………………….90

Tabla 6.1.-Casos resueltos para determinar la conductividad térmica……………………….93

Tabla 6.2.-Conductividad térmica de algunos materiales sólidos………………………........94

Tabla 6.3.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la temperatura……....100

Tabla 6.4.-Comparación de los resultados numéricos y analíticos de la conductividad

térmica…………………………………………………………………………..102

Tabla 6.5.-Condiciones de frontera y soluciones analíticas de la conductividad

térmica…………………………………………………………………………..108

Tabla 6.6.-Condiciones de frontera y soluciones analíticas de la conductividad

térmica…………………………………………………………………………..122

Página V

NOMENCLATURA

Latinas

=baaaaaa WSPP2E ,,,,,, 0Coeficientes agrupados.

=Cp Calor especifico.

=wsne ffff ,,, Factores de interpolación.

=g Término fuente.

=10 , JJ Función de Bessel de 1era clase de orden cero y de orden uno, respectivamente.

=LzLr, Dimensiones del cuerpo solido cilíndrico.

=LyLx, Dimensiones del cuerpo solido cartesiano.

=2z2r , Número de nodos en el plano r y z, respectivamente.

=2y2x, Número de nodos en el plano x y y, respectivamente.

=WS2E qqqq ,,, Flujos de calor.

=φR Residual.

=zr ,,θ Ejes coordenados del sistema cilíndrico.

=T Temperatura.

=iT Temperatura inicial.

t = Tiempo.

=ωνυ ,, Componentes de velocidad.

=zyx ,, Ejes coordenados del sistema cartesiano.

Griegas

=α Difusividad térmica.

=nβ Raíces de la función de Bessel.

=∆∆ zr, Incremento en el plano r y z, respectivamente.

=∆t Incremento o paso de tiempo.

=∆∆ yx, Incremento en el plano x y y, respectivamente.

=PSP2PWPE zzrr δδδδ ,,, Distancias del sistema cilíndrico.

Página VI

=PSP2PWPE yyxx δδδδ ,,, Distancias del sistema cartesiano.

=φφ εε 21 , Criterios de convergencia.

=mη Raíces de la función seno.

=λ Conductividad térmica del material.

=ρ Densidad.

=nP

nP ϕϕ , Variable del tiempo actual y del tiempo anterior, respectivamente.

Página VII

RESUMEN

Este trabajo de investigación presenta el desarrollo de un código numérico para determinar

la conductividad térmica de un material sólido, a través de la teoría del Problema Inverso de

Transferencia de Calor (PITC). El código desarrollado utiliza la técnica numérica del Método

de Volúmenes Finitos (MVF). Con esta técnica se obtiene de la ecuación de transferencia de

calor, una serie de ecuaciones algebraicas en notación de coeficientes agrupados, por medio de

las cuales es posible determinar la conductividad térmica de un material sólido unidimensional,

bidimensional y compuesto; tanto en el sistema coordenado cartesiano como en el sistema

coordenado cilíndrico. El medio sólido se encuentra sujeto a condiciones de frontera de primera

o segunda clase (temperaturas o flujos de calor), en estado transitorio, sin generación de calor y

solo existe transferencia de calor por conducción. Además, la distribución de la temperatura

que se necesita para resolver el Problema Inverso de Transferencia de Calor, se obtiene de dos

formas: analíticamente o numéricamente. Cuando no esté disponible la solución analítica de la

distribución de la temperatura, es necesario resolver el Problema Directo de Transferencia de

Calor (PDTC) para obtener la solución numérica de la distribución de la temperatura y así

resolver el Problema Inverso de Transferencia de Calor.

Por otra parte, los resultados numéricos fueron verificados con los resultados analíticos

reportados en los trabajos de Yeung W. y Lam T. (1995) y Chang C. y Chang M. (2006), que

determinaron la conductividad térmica de un medio sólido unidimensional, sujeto a

temperaturas o a flujos de calor en sus fronteras. Cabe mencionar que los resultados numéricos

son semejantes a los resultados analíticos, con un máximo error relativo de 4.84%. Además, se

presentan los diversos resultados que se obtienen al resolver los Problemas Inversos de

Transferencia de Calor en el sistema coordenado cartesiano y cilíndrico. En estos resultados se

aprecia el comportamiento de la conductividad térmica en todo el dominio del sistema bajo

estudio. Este comportamiento puede ser constante, dependiente del espacio y dependiente de la

temperatura. De los resultados presentados, destacan aquellos en los cuales se determina la

conductividad térmica en un medio sólido compuesto, porque debido al desarrollo de modernos

materiales complejos en donde la conductividad térmica es variable con el espacio y la

temperatura, el uso de los métodos convencionales para la determinación de la conductividad

Página VIII

térmica ya no son muy convenientes. Por lo tanto, el enfoque hacia los Problemas Inversos de

Transferencia de Calor puede proveer respuestas satisfactorias para tales situaciones.

Página IX

ABSTRACT

In this research work, the development of a numerical code to determine the thermal

conductivity in a solid material, through the Inverse Heat Transfer Problem (IHTP) approach is

shown. The developed code is based on the finite volume method. With this technique a set of

algebraic equations is obtained from the heat transfer differential equation, these equations are

written in grouped coefficients notation and from them, the thermal conductivity of a solid

material in one or two dimensions, and even composite materials can be obtained. The solid

medium is subject to first or second kind boundary conditions (temperatures or heat flows), in

transient state, with no heat generation and only heat transfer by conduction is present. Besides,

the temperature distribution required to solve the Inverse Heat Transfer Problem is obtained in

either way, analytically or numerically. When the analytical solution of the temperature

distribution is not available, it becomes necessary to solve the Direct Heat Transfer Problem in

order to achieve the numerical solution for the temperature distribution and together with it, the

Inverse Heat Transfer Problem.

On the other hand, the numerical code was verified with the work developed by Yeung W.

y Lam T. (1995) y Chang C. y Chang M. (2006), who determined the thermal conductivity in a

one dimensional solid, subject to temperatures and heat flows on the boundaries. It is worth to

mention that the numerical results obtained with this code are similar to those reported by the

authors, with a maximum difference of 11.69%. Besides, the different results obtained when

solving the Heat Transfer Inverse Problems in cylindrical or Cartesian coordinate system are

presented. In these results, it can be observed the behavior of the thermal conductivity all over

the domain of the system under study. This behavior can be constant or to depend on either

space or temperature. From the results, highlight the problems in which the thermal

conductivity in a composite solid medium is determined, this due to the development of new

complex and modern materials for which the thermal conductivity varies with time and

temperature, the use of conventional methods to determine the thermal conductivity are no

longer very convenient. Therefore, focusing on Inverse Heat Transfer Problems, can provide

satisfactory answers to such situations.

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN

Página 1

CAPÍCAPÍCAPÍCAPÍTULOTULOTULOTULO 1111

En este Capítulo se muestra la importancia de este trabajo de investigación. En el

primer punto se presenta la motivación, posteriormente se presenta una breve revisión

bibliográfica, la cual contiene el estado del arte sobre los métodos inversos de transferencia

de calor para determinar la conductividad térmica de un material. En las secciones

siguientes se presenta la justificación, el objetivo y el alcance. Por último, se describe la

estructura general de este trabajo de tesis.

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN


Página 2

1.1 MOTIVACIÓ�.

Desde hace mucho tiempo, los combustibles fósiles como el carbono, el petróleo y el

gas natural se han utilizado para impulsar el desarrollo industrial y las comodidades de la

vida moderna, pero ha sido imposible evitar efectos colaterales indeseables. Desde la tierra

en que se cultiva, hasta el agua para consumo humano y el aire que respiramos, el medio

ambiente ha pagado un costo muy alto. Efectos como el smog, la lluvia ácida y el

calentamiento global se deben en gran medida a la emisión de contaminantes producidos

durante la quema de combustibles fósiles. El calentamiento global está asociado a un

cambio climático, el principal efecto que causa el calentamiento global es el efecto

invernadero, que es un fenómeno atmosférico natural que permite mantener la temperatura

del planeta, al retener en mayor cantidad la energía proveniente del Sol. El aumento de la

concentración de dióxido de carbono en la atmósfera (CO2) proveniente del uso de

combustibles fósiles ha provocado la intensificación del fenómeno, el consecuente aumento

de la temperatura global, el derretimiento de los hielos polares y el aumento del nivel de los

océanos.

Preocupados por el deterioro ambiental, la comunidad internacional ha iniciado en

diversos foros y tratados, acciones encaminadas a reducir la emisión de contaminantes y en

su momento reducir sus efectos. El ahorro de energía es una de las muchas maneras que se

tiene para reducir estas emisiones a la atmosfera y desacelerar de esta manera el

calentamiento global. La energía térmica es la que más se consume en el país, ésta se

estima entre el 80% y 85% del consumo total, por lo que su uso debe ser racional y

eficiente. El uso eficiente de la energía térmica implica que es necesario contar con un

sistema diseñado de tal manera que las pérdidas de la energía sean mínimas, obteniendo así

un ahorro. Es por ello que los sistemas destinados a la utilización de la energía térmica

deben ser diseñados con materiales cada vez más óptimos con el fin de obtener sistemas

térmicos cada vez más eficientes (Gare M., 2006).

Desde el punto de vista socioeconómico, el estudio de los procesos de conducción de

calor, así como la determinación de las propiedades termofísicas de los materiales ha tenido


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mucha importancia en los últimos años, debido a la aplicación de normas y reglamentos

con fines de ahorro de energía, todo esto para tratar de sobrellevar los problemas

relacionados con el calentamiento global. En este sentido, para la industria de la

construcción, es importante conocer las propiedades termofísicas de los materiales para

lograr diseños óptimos al consumo de la energía. Dentro de las propiedades termofísicas de

los materiales, se encuentra la conductividad térmica (λ); que es una propiedad termofísica

relacionada con el transporte de energía. Sin embargo, determinar el valor de la

conductividad térmica de un material a veces resulta difícil, porque no puede llevarse a

cabo de forma experimental ya que las condiciones de trabajo (temperatura o flujo de calor)

para su solución son elevadas, o bien, porque el costo para reproducirlo de forma

experimental es alto. Debido a esto, surge la oportunidad de desarrollar nuevas técnicas de

estudio, entre ellas se encuentran las que se basan en la solución de los problemas inversos.

Los Problemas Inversos de Transferencia de Calor (PITC) se utilizan para obtener

información de una o más causas de su estado, a partir de observaciones del sistema o del

proceso. En otras palabras, los problemas inversos permiten estudiar la relación efecto-

causa de los fenómenos de transferencia de calor. Las características causantes de la

transferencia de calor, para un modelo del fenómeno físico, son las condiciones de frontera

y sus parámetros, las condiciones iniciales, las propiedades termofísicas, las fuentes

internas de calor y las características geométricas del cuerpo o del sistema. El efecto es el

estado térmico definido por el campo de temperatura del objeto en estudio. Por lo tanto,

cuando es necesario reconstruir las características causantes a partir de cierta información

del campo de temperatura, se está frente al planteamiento de un problema inverso de

transferencia de calor.

Los problemas inversos, a diferencia de los problemas directos, frecuentemente no

pueden ser reproducidos por medio de experimentos reales ya que no es posible invertir la

relación causa-efecto en forma física. Lo que obliga la implementación de los métodos

numéricos, ya que permiten simular las condiciones del fenómeno de estudio. Por lo tanto,

es necesario el desarrollo de métodos y algoritmos que permitan obtener resultados

adecuados.


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Por otra parte, debido al desarrollo de modernos materiales complejos que tienen

propiedades termofísicas variables con la temperatura y el espacio, el uso de los métodos

convencionales para la determinación de las propiedades termofísicas ya no son muy

convenientes (Alifanov O., 1994). Además, están limitados por la geometría del material de

prueba y por el intervalo de valores que manejan. Por lo tanto, el enfoque hacia los

Problemas Inversos de Transferencia de Calor puede proveer respuestas satisfactorias para

tales situaciones.

1.2 REVISIÓ� BIBLIOGRÁFICA.

La primera tentativa para resolver un problema inverso fue presentada por Stefan

quién obtuvo la solución por diferencias finitas en 1890 (Char M. y Chang F., 2007). Este

resultado puede ser considerado como la primera solución satisfactoria de un problema

inverso de transferencia de calor en una dimensión. Sin embargo, esto no fue conocido sino

hasta que Burggraf en 1964 obtuvo resultados similares del Problema Inverso de

Transferencia de Calor (PITC). Aunque la formulación y solución de este problema fue

presentado hace un siglo, ha crecido rápidamente como un tema de investigación durante

los últimos veinte años, debido a la combinación del avance tecnológico, métodos

matemáticos y modernas facilidades computacionales.

En la actualidad, existe una gran variedad de aplicaciones prácticas de los PITC (las

cuales se mencionaran en el capítulo siguiente). Sin embargo, sólo se enfoca atención a la

aplicación que consiste en determinar las propiedades termofísicas de los materiales.

Principalmente el de la conductividad térmica.

La conductividad térmica es una propiedad termofísica que puede ser constante,

dependiente del espacio y dependiente de la temperatura. Cuando la conductividad térmica

es constante, la solución de la ecuación de difusión de calor es sencilla de obtener. Las

complicaciones comienzan cuando la conductividad térmica es dependiente del espacio y

de la temperatura. La razón es porqué cuando la conductividad térmica es dependiente del


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espacio, se tiene una ecuación diferencial lineal de difusión de calor; por el contrario,

cuando es dependiente de la temperatura, se tiene una ecuación diferencial no lineal de

difusión de calor. Por lo tanto, la revisión bibliográfica se realizó dividiendo los estudios

encontrados en la literatura acerca de los métodos inversos para determinar la

conductividad térmica en tres apartados: a) métodos inversos para determinar la

conductividad térmica dependiente de la temperatura, b) métodos inversos para determinar

la conductividad térmica dependiente del espacio y c) métodos inversos para determinar la

conductividad térmica dependiente de la temperatura y del espacio.

1.2.1 Métodos inversos para determinar la conductividad térmica dependiente de la

temperatura.

Yang C. (1998) desarrolló un método iterativo eficiente para determinar la

conductividad térmica dependiente de la temperatura. El enfoque propuesto por este autor

comprende dos fases: un análisis directo y un análisis inverso. En la fase del análisis

directo, la conductividad térmica se consideró como un valor conocido y luego se utilizó

para obtener el campo de temperatura de la ecuación de conducción de calor a través de un

método numérico. Por lo tanto, un conjunto de ecuaciones no lineales se formuló para la

fase del análisis inverso. En la fase del análisis inverso, un método de linealización se

utilizó para obtener la conductividad térmica desconocida de manera sistemática. Sin

embargo, son necesarias varias iteraciones para obtener la conductividad térmica

desconocida. Los resultados mostraron que la velocidad de convergencia es

considerablemente rápida, ya que el número de iteraciones para acercarse a una solución

satisfactoria es de nueve a once veces y el mayor valor del error relativo es de 6.64% con

11 iteraciones cuando se tiene un error en la medición del 2%.

Kim S. (2002) empleó un método inverso para determinar las propiedades termofísicas

dependientes de la temperatura de un flujo de fluidos en un ducto circular. Consideró que la

conductividad térmica y la capacidad de calor volumétrica del fluido, sean determinadas a

través de la técnica de estimación de parámetros. Los coeficientes sensitivos con respecto a

los parámetros desconocidos son evaluados para la estimación inversa. Utilizó un sistema

en línea para obtener las mediciones de la temperatura a través de un método de


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calentamiento continuo o pulsante. La determinación de las propiedades tanto de la

conductividad térmica como el del calor volumétrico, a pesar de que los errores de

medición se encuentran entre -2.57% a 2.57%, es aceptable al compararlas con los valores

exactos.

Tadeusz T. y Malinowski B. (2003) aplicaron un método inverso para determinar la

conductividad térmica dependiente de la temperatura a través del método de elemento

finito. Los autores emplearon la ecuación de conducción de calor en estado transitorio, en

un medio cilíndrico semi-infinito aislado en la superficie lateral y calentado uniformemente

en la superficie superior. De tal forma, que sólo existe conducción de calor en la dirección

longitudinal. Para determinar la conductividad térmica utilizó un campo de temperatura

que varía con el espacio y con el tiempo. El campo de temperatura se simuló de forma

analítica y numérica para cinco puntos estratégicos en el medio, utilizando condiciones de

frontera de Dirichlet. Utilizó el método de elemento finito porque ofrece una buena

aproximación del campo de temperatura. La conductividad térmica se expresó a través de

un polinomio de segundo orden. Al comprobar los resultados experimentales con los

resultados obtenidos por el método inverso, se observo que el error relativo no excede del

3.80%. Por lo tanto, el método presentó resultados aceptables en la determinación de la

conductividad térmica dependiente de la temperatura.

Zueco J. et al. (2005) realizaron la determinación inversa de la conductividad térmica

dependiente de la temperatura, en un sistema unidimensional usando el método de

simulación de red. Las condiciones de frontera que utilizaron en el sistema unidimensional

son de segunda y tercera clase. A partir de la solución del problema directo, los autores

obtuvieron un conjunto de temperaturas para un punto particular de la placa. Este conjunto

de temperaturas se modificó al añadir un error aleatorio para simular las mediciones reales,

dicho conjunto de temperaturas representó los datos de entrada en el problema inverso. Con

esta información disponible, se utilizó una función por secciones para estimar la

conductividad térmica dependiente de la temperatura. Los resultados mostraron que para

los diferentes tipos de dependencias (sinusoidal, por intervalo y rectangular) para la

conductividad térmica, la dependencia rectangular es la que presentó mayor error. Es decir,


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el error para la dependencia rectangular cuando la temperatura es medida en la frontera

adiabática, varía de 1.56 a 2.10; mientras que el error para la temperatura medida en la

frontera convectiva, varía de 1.08 a 1.64. Por lo tanto, para este caso el punto adiabático es

más sensible que el punto convectivo bajo las mismas condiciones.

1.2.2 Métodos inversos para determinar la conductividad térmica dependiente del

espacio.

Yang C. (1997) propuso un modelo lineal inverso para determinar la conductividad

térmica dependiente del espacio en problemas de conducción de calor unidimensional. El

autor adoptó una versión modificada del método de la matriz inversa para resolver

problemas que involucran a la conductividad térmica. En este método, el modelo lineal

inverso representó la conductividad térmica desconocida de forma explícita. Entonces, la

conductividad térmica prevista y el campo de temperatura disponible se sustituyeron en el

modelo aproximado de la ecuación de conducción de calor. Este modelo aproximado se

convirtió en una combinación lineal de coeficientes desconocidos para la conductividad

térmica y a continuación, de este modelo lineal inverso, se pudo obtener la solución del

problema mediante el método de mínimos cuadrados. Los resultados numéricos mostraron

que el intervalo del error relativo está entre 0.38% y 3.21%. Sin embargo, la diferencia

entre los resultados obtenidos con los resultados exactos, se desvanece cuando no se

consideran los errores en la medición.

Kim S. (2001) propuso un método directo para determinar la conductividad térmica

dependiente del espacio al utilizar solamente datos de temperatura en la superficie. El

método considera la ecuación de conducción de calor unidimensional en estado estable y la

expresa como la ecuación de Laplace al aplicar la transformación de Kirchhoff. Lo anterior

permitió obtener una combinación lineal de funciones conocidas con coeficientes

desconocidos. El flujo de calor supuesto y la temperatura medida en la frontera son los

parámetros requeridos para determinar los coeficientes, sin embargo, es necesario que el

número de incógnitas sea menor que el número de conjuntos de datos obtenidos

experimentalmente a diferentes condiciones. Durante el cálculo, no es necesario resolver la

ecuación de conducción de calor ya que la conductividad térmica se obtuvó al conocer el


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flujo de calor y la temperatura en la frontera. En los resultados se observó que al comparar

la conductividad térmica numérica con la experimental, se obtuvó un error relativo que

varía del 1.00% al 3.20%, por lo que se consideró una buena aproximación.

Kim S. y Kim M. (2002) propusieron un enfoque integral para la determinación

inversa de la conductividad térmica dependiente del espacio sin considerar temperaturas

internas. Utilizaron la conductividad térmica como una función lineal. Por lo tanto, el

problema inverso se convirtió en un problema de estimación de parámetros, que determinó

los coeficientes desconocidos de la función de la conductividad térmica. Se consideró un

dominio de conducción de calor unidimensional con flujo de calor y aislamiento en las

fronteras, la distribución de la temperatura se modeló como una función de posición de

tercer orden. Con la finalidad de evaluar el algoritmo propuesto, la determinación de la

conductividad térmica indicó que el algoritmo es 99% confiable, cuando el error de

medición se encuentra entre -0.50% y 0.50%.

Huang C. (2006) resolvió el problema inverso como una estimación de la función

para determinar tanto la conductividad térmica efectiva como la capacidad de calor

volumétrica en coordenadas esféricas. El autor utilizó el método de Levenberg-Marquardt

(LMM) para determinar, de forma simultánea, la conductividad térmica efectiva

dependiente del espacio y la capacidad de calor volumétrica, a través de mediciones de

temperaturas. Un parámetro de amortiguación se agregó a la expresión resultante para

mejorar la convergencia. De acuerdo al análisis estadístico, el método ofreció la confianza

del 99% en los límites de las propiedades térmicas determinadas, ya que ofreció un error

relativo del 4.49%. Los resultados que se obtuvieron por este método, establecen que una

buena determinación de la conductividad térmica dependiente de la posición y de la

capacidad de calor volumétrica, se puede obtener al utilizar este algoritmo.

1.2.3 Métodos inversos para determinar la conductividad térmica dependiente de la

temperatura y del espacio.

Yeung W. y Lam T. (1995) determinaron la conductividad térmica dependiente de la

temperatura y del espacio. Utilizaron el método de diferencias finitas para discretizar la


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ecuación de conducción de calor. Esto convirtió la ecuación diferencial parcial gobernante

en un sistema de ecuaciones lineales. Como resultado, la función de la conductividad

térmica se obtuvó mediante la solución del sistema de ecuaciones lineales. Los resultados

mostraron un error relativo máximo de 10.30%.

Huang C. y Chieh S. (2000) aplicaron el método del gradiente conjugado para

determinar la conductividad térmica dependiente de la temperatura y del espacio en un

medio no homogéneo bidimensional. A través del problema directo, se determinó el campo

de temperatura del medio cuando se conoce la conductividad térmica, las condiciones

iniciales y de frontera. Para el problema inverso, el campo de temperatura se usó para

determinar la conductividad térmica. De tal manera, se empleó un proceso iterativo basado

en el método del gradiente conjugado que minimiza la forma funcional de la conductividad

térmica. Sin embargo, para realizar este proceso iterativo es necesario calcular el tamaño

del paso y el gradiente de la forma funcional de la conductividad térmica. Entonces, para

desarrollar expresiones que determinen estas dos cantidades, se construyó un problema

sensitivo y un problema adjunto. Se empleó la técnica del método implícito para resolver

tanto el problema sensitivo y adjunto. Los resultados mostraron que cuando se usa errores

de medición del 1% y 3%, se podrá determinar la conductividad térmica con un error

relativo que varia del 5% al 10%.

Chang C. y Chang M. (2006) determinaron la conductividad térmica dependiente de la

temperatura y del espacio utilizando el método de volumen finito en un dominio

unidimensional, no homogéneo y con generación de calor. La ecuación de conducción de

calor se convierte en un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial. Como datos de

entrada, utilizaron valores de temperatura y de generación de calor en puntos discretos de

la malla, así como también flujos de calor en la superficie. De tal forma, la conductividad

térmica se obtuvó al resolver directamente el sistema de ecuaciones lineales. Los resultados

mostraron que la aproximación entre la conductividad térmica numérica con la solución

exacta es aceptable, debido a que el error relativo máximo es del 8.70% cuando el error de

medición varía del -3% al 3%. Además, para diferentes espesores en la malla, el error

relativo máximo disminuye conforme disminuye el espesor de la malla.


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Char M. y Chang F. (2007) usaron el método de cuadratura diferencial (DQM) para la

determinación inversa de la conductividad térmica dependiente de la temperatura y del

espacio en una placa unidimensional. La ecuación gobernante de conducción de calor se

discretizó en el dominio espacial por el DQM y en el dominio del tiempo por el método de

diferencia finita. Los autores consideraron la función en un dominio unidimensional y para

aproximar la derivada de la función en un punto discreto del dominio, el método DQM

usó la suma lineal ponderada de todos los valores de la función en todos los puntos

discretos. Se empleó la función de interpolación de Lagrange para determinar los

coeficientes de ponderación. Los resultados mostraron que al considerar nueve y diecinueve

puntos de medición, el intervalo del error relativo entre la conductividad térmica exacta y

la determinada es de 5.10% y 1.24%, respectivamente, para un error de medición del 3%.

La diferencia entre los valores exactos y los determinados incrementa cuando el número

de los puntos medidos disminuye.

Chang C. y Chang M. (2008) propusieron un método semi-discretizado para la

determinación inversa de la conductividad térmica dependiente de la temperatura y del

espacio. Se aproxima la distribución de la temperatura con una función polinómica de

tercer orden. La derivada de la conductividad térmica, la derivada espacial y temporal de la

temperatura, en la ecuación de conducción de calor, se obtuvieron por el método de

diferencias finitas. Entonces, la ecuación de conducción de calor se transforma en un

sistema de ecuaciones lineales discretizadas en forma de matriz. La conductividad térmica

se determinó mediante la solución de las ecuaciones lineales.

Pourgholi R. y Rostamian M. (2009) utilizaron un algoritmo numérico para

determinar la conductividad térmica dependiente de la temperatura y del espacio en

problemas inversos de conducción de calor unidimensional. El algoritmo numérico

propuesto por estos autores se basa en el uso de una función de base para resolver los

problemas auxiliares. Para regularizar las ecuaciones mal condicionadas del sistema lineal

resultante, se aplicó el método de regularización de Tikhonov para aproximar la solución

numérica a la solución estable. Este método no requiere ningún tipo de discretización en el

dominio. Lo que se busca es determinar una condición de frontera que dependa sólo de la


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ecuación de conducción de calor. Los resultados mostraron que el método permanece

estable con respecto a pequeñas perturbaciones con los datos de entrada.

1.2.4 Conclusión de la revisión bibliográfica.

Después de haber revisado el estado del arte acerca de la determinación inversa de la

conductividad térmica, se observa que se debe tener cuidado con los requisitos de

estabilidad y convergencia cuando la conductividad térmica es dependiente solamente de la

temperatura o cuando depende de la temperatura y del espacio, porque en estos casos los

resultados son muy propensos a obtener errores en la programación. Caso contrario ocurre

cuando la conductividad térmica es dependiente del espacio, en el cual los requisitos de

estabilidad y convergencia son más fáciles de cumplir. Es por eso que el método más

utilizado para la solución de los Problemas Inversos de Transferencia de Calor es el método

de Levenberg-Marquardt, porqué cumple satisfactoriamente los requisitos de estabilidad y

convergencia, ya que ha tenido una rigurosa investigación matemática. También se aprecio

que la mayoría de los trabajos revisados, solamente determinan la conductividad térmica en

un medio unidimensional en coordenadas cartesianas. En los cuales, el método inverso que

presentó mayor error relativo fue el método numérico propuesto por Yeung W. y Lam T.

(1995), por el contrario, el método inverso que presentó menor error relativo fue el método

lineal propuesto por Yang C. (1997). Entonces, es fundamental elegir un método inverso

que permita determinar la conductividad térmica en un medio sólido unidimensional y

bidimensional, tanto en coordenadas cartesianas como en coordenadas cilíndricas, y que

además sus resultados cumplan los requisitos de estabilidad y convergencia.

1.3 JUSTIFICACIÓ� DEL ESTUDIO.

A partir del trabajo pionero de Stefan en 1890 (Char M. y Chang F., 2007), quien

resolvió por primera vez un Problema Inverso de Transferencia de Calor mediante la

técnica de diferencias finitas, la principal dificultad que impedía la solución teórica del

Problema Inversos de Transferencia de Calor, era un aspecto puramente matemático del

problema planteado. Estos sistemas fueron considerados imposibles de resolver y por lo


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tanto sin importancia practica. Sin embargo, el método de regularización de Tikhonov

(Tikhonov A. y Arsenin V., 1977), el enfoque de estimación de función de Beck (Beck J. et

al., 1985) y los métodos iterativos de regularización de Alifanov (Alifanov O., 1994) fueron

los que revitalizaron el interés en la solución de los Problemas Inversos de Transferencia de

calor.

Desde ese entonces, ha surgido una gran diversidad de métodos de solución de los

Problemas Inversos de Transferencia de Calor, entre los cuales, los más comunes por los

investigadores son: el método polinomial, el método secuencial de Beck de especificación

de función, el método de Levenberg-Marquardt y los métodos numéricos. Las principales

ventajas de estos métodos inversos son que han tenido una rigurosa investigación

matemática y que pueden ser aplicados ampliamente a otros Problemas Inversos de

Transferencia de Calor. La desventaja del método polinomial y del método secuencial de

Beck, se debe en que dependen en gran medida de la forma funcional de la variable

desconocida, de tal manera, cuando la variable depende de la temperatura estos métodos

son muy iterativos, lo que provoca que el tiempo de computó incremente

considerablemente. Mientras que en el método de Levenberg-Marquardt y en los métodos

numéricos, el tiempo de computó es corto (incluso cuando la variable depende de la

temperatura). Sin embargo, los métodos numéricos sobresalen cuando se trata de resolver

un problema que involucra un fenómeno de transferencia de calor, ya que son capaces de

resolver las ecuaciones diferenciales parciales que representan dicho fenómeno. De tal

manera, por las razones expuestas, se seleccionó la técnica de los métodos numéricos para

la solución del Problema Inverso de Transferencia de Calor en este trabajo de tesis.

1.4 OBJETIVO GE�ERAL.

Desarrollar un código numérico para determinar la conductividad térmica de un

material sólido, empleando la teoría del Problema Inverso de Transferencia de Calor

(PITC).


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1.4.1 Objetivos específicos.

1.-Establecer las ecuaciones que permitan determinar la conductividad térmica.

2.-Desarrollar un algoritmo numérico que sea capaz de resolver las ecuaciones planteadas.

3.-Variar la dependencia de la conductividad térmica del material sólido.

4.-Validar y verificar el algoritmo numérico.

1.5 ALCA�CE.

El algoritmo numérico desarrollado será capaz de determinar la conductividad térmica

de un material sólido, la cual puede ser: constante, dependiente de la temperatura y

dependiente del espacio; en un sistema bidimensional cartesiano o cilíndrico. A partir de la

distribución de temperaturas obtenidas mediante mediciones experimentales ó de forma

teórica.

1.6 ESTRUCTURA DE LA TESIS.

La estructura de esta tesis comienza en el Capítulo 2, donde se presenta el concepto y

la clasificación de los Problemas Inversos Transferencia de Calor, así como también la

definición y naturaleza de la conductividad térmica. En el Capítulo 3, se describen los

modelos físicos y matemáticos que se utilizan para la determinación de la conductividad

térmica de un medio sólido. Cabe mencionar que en dicho Capítulo se establecen las

consideraciones para los modelos físicos y matemáticos. El Capítulo 4 contiene la

metodología de solución de los modelos matemáticos que se plantearon en el Capítulo

anterior. Esta metodología se basa en la técnica numérica de volumen finito. En los últimos

apartados de este Capítulo, se menciona el criterio de convergencia y el diagrama de flujo

del algoritmo numérico. En el Capítulo 5, se presenta la verificación de los códigos

numéricos desarrollados para la determinación de la conductividad térmica, con problemas

de la literatura revisada. El Capítulo 6 muestra los resultados obtenidos al resolver el

Problema Inverso de Transferencia de Calor. En dichos resultados se observa la


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conductividad térmica cuando es constante, dependiente del espacio y dependiente de la

temperatura. Tanto en el sistema cartesiano como en el sistema cilíndrico. Por último, en el

Capítulo 7 se presentan las conclusiones de este trabajo de investigación y las

recomendaciones para los trabajos futuros.

Capítulo 2 CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA

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CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 2222

En este Capítulo se define el concepto del Problema Inverso de Transferencia de Calor

(PITC). Se presentan las ventajas y desventajas del PITC. Además, se menciona la

clasificación de los PITC, así como también los métodos que existen hoy en día para

resolver los PITC y las aplicaciones prácticas. Por último, se menciona la definición y

naturaleza de la conductividad térmica.

CONCEPTOS DE CONCEPTOS DE CONCEPTOS DE CONCEPTOS DE

TRANSFERENCIA DETRANSFERENCIA DETRANSFERENCIA DETRANSFERENCIA DE

CALOR INVERSACALOR INVERSACALOR INVERSACALOR INVERSA


Página 16

2.1 CO�CEPTO DEL PROBLEMA I�VERSO DE TRA�SFERE�CIA

DE CALOR (PITC).

Cuando se conocen los parámetros característicos en un proceso de transferencia de

calor, como son: el flujo de calor o la temperatura en la superficie exterior de un sólido

(condición de frontera), las condiciones iniciales, la generación de calor interna, la

geometría del medio y sus propiedades termofísicas; es posible encontrar la distribución de

temperaturas en su interior. Esto es lo que se conoce como Problema Directo de

Transferencia de Calor (PDTC). Los problemas directos (que son los más comunes) se

definen, en general, mediante modelos matemáticos, es decir, por un conjunto de: a)

ecuaciones diferenciales, b) ecuaciones que definen ciertos parámetros en función de las

variables dependientes o independientes y c) ecuaciones que definen las condiciones de

frontera y las condiciones iniciales. La solución analítica exacta del problema directo sólo

es posible en determinados casos, frecuentemente alejados de situaciones reales.

Por el contrario, la determinación de los parámetros característicos en un proceso de

transferencia de calor, a partir del conocimiento de la distribución de temperaturas internas

del sistema en estudio, es lo que se conoce como Problema Inverso de Trasferencia de

Calor (PITC). En las décadas de 1860-1890, el problema que consistía en determinar el

flujo térmico incidente a partir de medidas de temperaturas efectuadas en el interior del

sólido, es lo que originó el nombre de PITC. Naturalmente, existen muchos tipos de

Problemas Inversos de Transferencia de Calor pero, históricamente, la denominación PITC

ha hecho referencia a ese problema concreto (Masanori M. y Mitsutake Y., 2000). En la

práctica, el problema directo aparece principalmente en aplicaciones de diseño, mientras

que el problema inverso surge en análisis de datos experimentales.

El concepto de un problema inverso bien planteado, originalmente introducido por

Hadamard (Godunov S., 1978), requiere que su solución satisfaga las tres siguientes

condiciones:

1.-La solución debe existir (Existencia).

2.-La solución debe ser única (Unicidad).


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3.-La solución debe ser estable bajo pequeños cambios (Estabilidad).

La existencia de una solución para un PITC puede asegurarse mediante razonamiento

físico. Por otro lado, la unicidad de la solución de los problemas inversos puede probarse

matemáticamente para algunos casos especiales. También, el problema inverso es muy

sensible a los errores aleatorios en los datos de entrada medidos, de tal manera que se

requieren métodos especiales para su solución y así satisfacer la condición de estabilidad.

Por otra parte, las principales ventajas y desventajas de los PITC son las siguientes:

*Ventajas:

1.-Son frecuentemente encontrados en muchas situaciones, donde las mediciones directas

de condiciones de frontera o propiedades termofísicas del cuerpo sólido son muy

difíciles de reproducir experimentalmente.

2.-Hacen posible una colaboración más cercana entre los investigadores teóricos y los

experimentales, para obtener la máxima información sobre el problema físico bajo

estudio.

*Desventajas:

1.-Es un problema mal planteado, es decir, puede no tener solución. En caso de que exista

la solución, está podría no ser única ni continua con respecto a los datos de entrada.

2.-No hay un camino inicial suficientemente preciso para comenzar el cálculo. Por lo que se

requiere de un gran número de iteraciones para obtener la convergencia y en algunos

casos la solución nunca converge.

2.2 CLASIFICACIÓ� DE LOS PROBLEMAS I�VERSOS DE

TRA�SFERE�CIA DE CALOR.

Los Problemas Inversos de Transferencia de Calor se pueden clasificar de acuerdo a

las siguientes categorías:


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2.2.1 Problemas inversos de acuerdo a la naturaleza de la transferencia de calor.

Los Problemas Inversos de Transferencia de Calor pueden clasificarse de acuerdo con

la naturaleza del proceso de transferencia de calor, como:

1.-Conducción.

2.-Convección (forzada o natural).

3.-Radiación superficial.

4.-Radiación con la participación de algún medio.

5.-Conducción y radiación simultánea.

6.-Conducción y convección simultánea.

7.-Cambio de fase (fundición o solidificación).

Cabe mencionar que esté trabajo de investigación solo se enfoca en la transferencia de

calor por conducción, para la determinación de la conductividad térmica de un material

sólido.

2.2.2 Problemas inversos en estado permanente y en estado transitorio.

A) Estado permanente (estacionario):

Los problemas en estado permanente son los más simples, debido a que su solución

sólo exige conocer la conductividad térmica del medio y no es preciso disponer de un

historial de temperaturas (Zueco J., 2003). Cuando se quiere determinar la conductividad

térmica de un medio en estado permanente, es necesario recurrir a dos métodos: a) El

método directo, donde la conductividad térmica puede ser obtenida directamente aplicando

la ley de Fourier. Normalmente, el error obtenido en la determinación es considerable al

realizarlo experimentalmente, ya que existen pérdidas de calor difíciles de medir, y b) El

método indirecto, que es más complicado, en donde es necesario obtener la solución

inversa de la ecuación de transferencia del calor, asumiendo la existencia de no linealidades

importantes.

B) Estado transitorio:

El Problema Inverso de Transferencia de Calor en estado transitorio se puede dividir a

su vez en dos categorías: aquellos que permiten ser resueltos mediante formulación

agrupada (lumped capacity model), en los cuales la distribución de la temperatura es


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prácticamente la misma en todo el medio (Beck J. et al., 1985), y aquellos a los que no se

puede aplicar dicho modelo. En todos los problemas transitorios, el conjunto de las

temperaturas medidas forman parte de los datos de entrada.

2.2.3 Problemas inversos lineales y no lineales.

Otra clasificación estrictamente matemática de los Problemas Inversos de

Transferencia de Calor es la linealidad y no linealidad. Las causas de la no linealidad están

principalmente en las dependencias de las características térmicas del medio con la

temperatura y/o en ciertas condiciones de frontera, aunque existen otras. Las características

térmicas pueden ser función del espacio sin afectar la linealidad del problema. La

linealidad, si existe, es una propiedad importante ya que permite la superposición y

generalmente elimina la necesidad de iterar para buscar la solución. Si el PITC lineal es

tratado como si fuera no lineal, se consume excesivo tiempo de computación.

2.2.4 Condiciones de frontera en los Problemas Inversos de Transferencia de Calor.

Para resolver la ecuación diferencial de transferencia de calor, con el propósito de

determinar la distribución de la temperatura en el medio, se necesita un conjunto de

condiciones iniciales y de frontera. La condición inicial especifica la distribución de la

temperatura del medio en el inicio de la coordenada del tiempo (t=0), solamente es

necesaria la condición inicial cuando los problemas son dependientes del tiempo

(transitorios). Las condiciones de frontera son aquellas que informan del valor de la

temperatura o del flujo de calor en la superficie exterior del medio. Se expresan

matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales o algebraicas, cuyos argumentos son

las variables dependientes (temperatura y flujo de calor) (Özisik $., 1977). En los

Problemas Inversos de Transferencia de Calor, es habitual clasificar las condiciones de

frontera de acuerdo a los siguientes tipos:

1.-Especificación de la temperatura (condición de frontera de primera clase). En este caso

se especifica cuál es la temperatura en la superficie límite considerada, que puede estar

en función del espacio, del tiempo o ser constante. Está primera condición de frontera se

expresa como:

0TT fron = (2.1)


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Si la temperatura es nula, se dice que la condición de frontera de primera clase es

homogénea.

2.-Especificación del flujo de calor (condición de frontera de segunda clase). Es cuando se

especifica la distribución o el valor del flujo de calor a través de la superficie límite.

Puede ser especificada como una función del tiempo o como un valor constante. Si n es

un vector normal a una superficie A, entonces, esta segunda condición de frontera se

expresa como:

0q

n

T =∂∂− λ

(2.2

si la derivada de la temperatura normal a la superficie limite es cero, se dice que la

condición de frontera de segunda clase es homogénea. Este tipo de condición de

frontera indica un aislamiento térmico o una frontera adiabática, o una condición de

simetría.

3.-Condición de frontera convectiva (condición de frontera de tercera clase). Es cuando

existe una transferencia de calor por convección entre la superficie de un medio solido

(cuya temperatura es Tf ) y un medio fluido (cuya temperatura es T∞). Está tercera

condición de frontera se expresa como:

( )fTTh

n

T −=∂∂− ∞λ (2.3)

donde h es el coeficiente de transferencia de calor o coeficiente de convección. La

temperatura del fluido T∞ puede ser constante, función del espacio y del tiempo. Si la

temperatura del fluido es cero, T∞ = 0, se dice que la condición de frontera de tercera

clase es homogénea. Por otro lado si h tiende a infinito, la condición de frontera de

tercera clase se transforma en una condición de frontera de primera clase.

2.3 MÉTODOS PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS I�VERSOS

DE TRA�SFERE�CIA DE CALOR.

A continuación, se presentan varios métodos usados para la solución de los PITC.

Tales métodos requieren generalmente de la solución del problema directo asociado.


Página 21

Entonces, los métodos pueden ser clasificados (Özisik $. y Orlande H., 2000) en los

siguientes grupos:

1.-El método de ecuación integral.

2.-Los métodos de trasformada integral.

3.-El método de solución en series.

4.-El método polinomial.

5.-La transformación de la ecuación de conducción de calor en una ecuación hiperbólica.

6.-Los métodos numéricos tales como diferencias finitas, elemento finito y volumen finito.

7.-Los métodos de filtrado iterativo.

8.-Los métodos de estado permanente.

9.-El método secuencial de Beck de especificación de función.

10.-El método de Levenberg-Marquardt para la minimización de la norma de mínimos

cuadrados.

11.-El método de regularización de Tikhonov.

12.-Los métodos iterativos de regularización para estimación de parámetros y de funciones.

13.-Los algoritmos genéticos.

Como resultado de estos nuevos métodos de solución y la disponibilidad de

computadoras de gran capacidad y alta velocidad, se han hecho factibles las soluciones

exitosas de los PITC. Las pasadas tres décadas han sido las más activas en el avance de los

métodos de solución para los PITC.

2.4 APLICACIO�ES PRÁCTICAS DE LOS PROBLEMAS

I�VERSOS DE TRA�SFERE�CIA DE CALOR.

Los Problemas Inversos de Transferencia de Calor se encuentran en varias ramas de la

ciencia e ingeniería. La ingeniería mecánica, química y espacial, las matemáticas, la

astrofísica, la geofísica, la estadística y especialistas de muchas otras disciplinas están

interesados en los problemas inversos, cada quién con diferentes aplicaciones en mente. Por

lo tanto, la necesidad de desarrollar métodos fiables para la solución de los problemas


Página 22

inversos debe ser inducido y estimulado a través de la práctica. Las aplicaciones prácticas

de los PITC incluyen, entre otras, las siguientes áreas específicas (Özisik $. y Orlande H.,

2000):

1.-Determinación de las propiedades termofísicas de los materiales.

2.-Determinación de las propiedades de radiación y las condiciones de frontera en

materiales semitransparentes, absorbentes, emisores y dispersores.

3.-Control del movimiento de la interface sólido-líquido durante la solidificación.

4.-Determinación de la condición interna y del flujo de calor en la frontera, por convección

forzada en el interior de ductos.

5.-Determinación de la variación con respecto al tiempo de la conductancia de interface

desconocida, entre la solidificación del metal y la fundición del metal durante el vaciado.

6.-Determinación de la conductancia de interface entre superficies periódicas en contacto.

7.-Propiedades de radiación de superficies reflejantes de calentadores y paneles

criogénicos.

8.-Determinación de la liberación de calor durante la fricción de dos sólidos.

9.-Control y optimización del proceso de vulcanización del caucho.

10.-Determinación de las formas de frontera de cuerpos.

La determinación de tales cantidades con los métodos convencionales es un asunto

difícil sino es que imposible. Sin embargo, con la aplicación del análisis inverso de

transferencia de calor, no sólo se pueden manejar tales problemas sino que se mejora el

valor informativo de los estudios y se acelera el trabajo experimental.

2.5 DEFI�ICIÓ� Y �ATURALEZA DE LA CO�DUCTIVIDAD

TÉRMICA.

A continuación, se presenta la definición de la conductividad térmica y posteriormente

se muestra una figura donde se observa la escala de la conductividad térmica para diversos

estados de la materia. Por último, se mencionan los factores generales de la naturaleza de la

conductividad térmica.

Capítulo 2

2.5.1 Definición de la conductividad

La conductividad térmica de un material se define

de calor que pasa en la unidad de tiempo,

de un m de espesor, cuando entre las dos caras de la misma existe una

temperaturas de un ºC. Puede entenderse como

material para conducir calor mediante el fenóm

física, atómica y molecular de la materia, y se relaciona con el estado que guarda la

materia. El valor de la conductividad tér

bajo en algunos materiales especiales como la

térmico. En la Figura 2.1 se presenta la escala de

estados de la materia (Incropera F

una sustancia, es por eso, que es nula en el

ha practicado un vacío bajo.

Figura 2.1.-

La conductividad térmica (

siguiente expresión:

CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA

Definición de la conductividad térmica.

La conductividad térmica de un material se define (Faires V., 1988

de calor que pasa en la unidad de tiempo, a través de una superficie de un

cuando entre las dos caras de la misma existe una

Puede entenderse como una medida de la habilidad que

para conducir calor mediante el fenómeno de difusión; depende de la estructura


materia. El valor de la conductividad térmica es relativamente alto en los

bajo en algunos materiales especiales como la fibra de vidrio, que se considera un

igura 2.1 se presenta la escala de la conductividad térmica para diversos

Incropera F., 2002). Para que exista conducción térmica hace falta

una sustancia, es por eso, que es nula en el vacío ideal y muy baja en ambientes donde se

ha practicado un vacío bajo.

-Escala de la conductividad térmica para diversos estados

de la materia a temperatura y presión normales.

La conductividad térmica (λ) se determina de acuerdo a la ley de Fourier con la

λ (W/m°C)

NSFERENCIA DE CALOR INVERSA

Página 23

, 1988) como: la cantidad

a través de una superficie de un m2 en una pared

cuando entre las dos caras de la misma existe una diferencia de

una medida de la habilidad que tiene un

depende de la estructura


mica es relativamente alto en los metales y muy

e considera un aislante

conductividad térmica para diversos

Para que exista conducción térmica hace falta

ideal y muy baja en ambientes donde se

Escala de la conductividad térmica para diversos estados

la ley de Fourier con la


Página 24

dxdT

q

/

"−=λ (2.4)

donde "q es el flujo de calor que pasa a través del material y dT/dx es el gradiente de

temperatura a lo largo del material.

2.5.2 �aturaleza de la conductividad térmica.

Los factores generales acerca de la naturaleza de la conductividad térmica con las

propiedades de varios materiales son:

1.-Los materiales en forma cristalina, metálicos o no metálicos, conducen mejor el calor

que los materiales en su forma amorfa.

2.-En cristales y otros materiales de estructura orientada, por ejemplo un material fibroso

parecido a la madera, la conductividad térmica tiene diferentes valores relativos a los

ejes estructurales del material, tales que hay ejes principales para la conductividad

térmica.

3.-Las impurezas químicas en substancias cristalinas dan como resultado bajas

conductividades térmicas comparadas con los estados puros. Los metales puros tienen

mucho más alta conductividad térmica que sus respectivas mezclas.

4.-Pequeñas diferencias estructurales en cristales relacionados con su crecimiento promedio

influencia su conductividad térmica. Por esta razón, la naturaleza cristalina tiene la más

alta conductividad que la variedad sintética.

5.-El deterioro mecánico, tal como el trabajo de enfriamiento y el deterioro por irradiación

nuclear, causan cambios en la conductividad térmica del material.

6.-Por lo general, los metales son mejores conductores del calor que los no metales.

7.-La fase sólida de los materiales tiene la más alta conductividad que su respectiva fase

líquida.

8.-La fase líquida muestra más alta conductividad que la fase gaseosa.

Estos factores demuestran que las propiedades de transporte y la conductividad

térmica, son función de las propiedades fisicoquímicas de los materiales y que los

fenómenos que se asocian con la conductividad térmica, pueden ser explicados en términos

del conocimiento de la naturaleza del calor y de la estructura del material.

Capítulo 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS

Página 25


En este Capítulo los modelos matemáticos que a continuación se presentan, toman en

cuenta el modelo físico que le corresponde y las consideraciones establecidas de acuerdo al

problema directo e inverso a resolver. Cabe mencionar que los modelos físicos están sujetos

a condiciones de frontera de primera o segunda clase (temperaturas o flujos de calor) y los

modelos matemáticos son unidimensionales y bidimensionales, ambos en coordenadas

cartesianas y cilíndricas.

MODELOS FÍSICOS MODELOS FÍSICOS MODELOS FÍSICOS MODELOS FÍSICOS

Y Y Y Y

MATEMÁTICOSMATEMÁTICOSMATEMÁTICOSMATEMÁTICOS


Página 26

Para efectuar el análisis de un sistema, se necesita un modelo físico y matemático que

lo represente. El modelo físico es la construcción geométrica del sistema de estudio con el

propósito de comprender detalladamente el comportamiento de dicho sistema, o parte de

ella, bajo ciertas circunstancias establecidas. Mientras que el modelo matemático equivale

a una ecuación matemática o un conjunto de ellas, con base a las cuales se puede conocer el

comportamiento del sistema. Además, el modelo matemático que se desarrolla a partir de

un sistema no es único, debido a lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del

mismo proceso. Estas diferentes representaciones no contradicen una a la otra. Ambas

contienen información complementaria, por lo que se debe encontrar aquella que

proporcione la información de interés para cada problema en particular.

3.1 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS DEL SISTEMA

COORDE�ADO CARTESIA�O.

A continuación, se presentan los modelos físicos y matemáticos del sistema

coordenado cartesiano.

3.1.1 Modelos físicos.

Para determinar la conductividad térmica en el sistema coordenado cartesiano, se

considera una placa sólida de longitud Lx y altura Ly. La Figura 3.1 representa el sistema

en consideración. La distribución de la temperatura es prescrita en todo el dominio del

medio sólido cuando t=0 s. Para tiempos t ˃ 0, las fronteras están sujetas a un conjunto de

temperaturas o flujos de calor (como se muestra en la Figura 3.1), para transmitir la energía

hacia el interior del medio sólido por medio del fenómeno de conducción.


Página 27

Figura 3.1.- Modelo físico del sistema coordenado cartesiano.

*Consideraciones del sistema coordenado cartesiano.

Como se observó, el modelo físico de la Figura 3.1 representa una placa sólida en

coordenadas bidimensionales (x, y,), en la cual se determina la distribución de la

conductividad térmica. Sin embargo, también se desea conocer la distribución de la

conductividad térmica en el sistema coordenado unidimensional (x). Prácticamente, el

modelo físico del medio unidimensional es semejante a la Figura 3.1, la diferencia radica en

que se desprecia el eje coordenado y. Entonces, las consideraciones que se mencionan en

los siguientes párrafos, se toman en cuenta en el sistema coordenado cartesiano

unidimensional y bidimensional. Estas son:

1.-Solo existe el fenómeno de transferencia de calor por difusión.

2.-Problemas finitos.

3.-Medios homogéneos y no homogéneos.

4.-No existe generación de calor.

5.-Estado transitorio.

Longitud

qW

qE

( ) ?,, =tyxλ A

ltur

a

y

T q

TE TW

TS qS

x

x=0 x=Lx

y=0

y=Ly

O


Página 28

6.-El perfil o la distribución de la temperatura en el medio, la cual se utiliza como dato de

entrada en el método inverso, se calcula numéricamente o analíticamente.

7.-Condiciones de frontera de primera o segunda clase, es decir, temperaturas o flujos de

calor en las fronteras.

De todas estas consideraciones, se aclara nuevamente que se conoce la distribución de

la temperatura en el medio porque se calculó de forma analítica o numérica, esto evita el

montaje experimental (por razones de tiempo y costo). Cuando no esté disponible la

solución analítica de la distribución de la temperatura, es necesario resolver el Problema

Directo de Transferencia de Calor para obtener la solución numérica de la distribución de la

temperatura y así resolver el problema inverso.

La idea anterior (de resolver el problema directo) implica conocer a priori la solución

del problema inverso. Efectivamente, se trata de resolver un problema inverso cuya

solución exacta se conoce a priori; esto permite conocer el error relativo de la solución

obtenida con respecto a la solución exacta y así comprobar la capacidad de la solución

obtenida. Esta manera de proceder es común en la literatura científica para verificar la

capacidad de los diferentes métodos numéricos que presentan diferentes autores.

3.1.2 Modelos matemáticos.

La ecuación general de convección-difusión de calor en coordenadas cartesianas, es la

siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) gz

T

zy

T

yx

T

xT

zT

yT

xCpT

t+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂ λλλρωρνρυρ

(3.1) donde: ρ = densidad.

Cp =calor especifico. T = variable dependiente general (temperatura). λ = conductividad térmica del material.

ωνυ ,, = componentes de velocidad en las direcciones x, y y z, respectivamente.

TERMI O

TEMPORAL

TERMI OS

CO VECTIVOS

TERMI OS

DIFUSIVOS

TERMI O

FUE TE


Página 29

t = tiempo. zyx ,, = ejes coordenados.

g = término fuente.

A continuación, se establecen los modelos matemáticos cartesianos a partir de la

ecuación general de convección-difusión de calor en coordenadas cartesianas.

3.1.2.1 Sistema unidimensional (x).

A) Problema directo:

Si las condiciones iniciales y de frontera de la temperatura son conocidas o dadas, así

como también las propiedades termofísicas del material, la generación de calor y la

geometría del medio; se tiene en frente un problema directo cuyo objetivo principal es

determinar la distribución de la temperatura en el interior del medio sólido.

De acuerdo a las consideraciones antes mencionadas, el problema directo

unidimensional es de difusión de calor, en estado transitorio y sin generación de calor.

Entonces, los términos convectivos y la difusión en la dirección y y z de la Ecuación (3.1)

son nulos. Por lo tanto, el modelo matemático para el problema directo unidimensional en

coordenadas cartesianas es el siguiente:

( )

∂∂

∂∂=

∂∂

x

T

xCpT

tλρ (3.2)

sujeto a: 0 < x < Lx, t ˃ 0

condición inicial: T(x, 0)= fm(x), 0 ≤ x ≤ Lx

B) Problema inverso:

Cuando la distribución de la temperatura en el interior del medio sólido se conoce, así

como también la generación de calor, las condiciones iniciales y de frontera de la

temperatura, y la geometría del medio sólido; se tiene en frente un problema inverso cuyo

objetivo principal es determinar las propiedades termofísicas del medio sólido. De tal

forma, esté estudio particular se enfoca en determinar la conductividad térmica en cualquier

punto del medio sólido, dando como conocidas las otras propiedades termofísicas.


Página 30

En el problema inverso, la ecuación general de convección-difusión de calor es la

misma que en el problema directo. Por lo tanto, bajo las consideraciones antes

mencionadas, el modelo matemático para el problema inverso unidimensional en

coordenadas cartesianas es el siguiente:

( )

∂∂

∂∂=

∂∂

x

T

xCpT

tλρ (3.3)

sujeto a: 0 ≤ x ≤ Lx, t ˃ 0

condición inicial: λ(x, 0)= fn(x), 0 ≤ x ≤ Lx

Por observación se concluye, que el modelo matemático para el problema directo e

inverso es el mismo. La diferencia radica en la variable que se determina en el modelo

matemático de acuerdo al problema que se resuelve.

3.1.2.2 Sistema bidimensional (x, y).

Para el sistema bidimensional, se toman las mismas consideraciones que en el sistema

unidimensional y además, se considera el término difusivo en la dirección y de la Ecuación

(3.1). Entonces, el modelo matemático para el problema directo e inverso bidimensional en

coordenadas cartesianas, es el siguiente:

( )

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

y

T

yx

T

xCpT

tλλρ (3.4)


sujeto a: 0 < x < Lx, 0 < y < Ly, t ˃ 0

condición inicial: T(x, y, 0)= fm(x, y), 0 ≤ x ≤ Lx, 0 ≤ y ≤ Ly


sujeto a: 0 ≤ x ≤ Lx, 0 ≤ y ≤ Ly, t ˃ 0

condición inicial: λ(x, y, 0)= fn(x, y), 0 ≤ x ≤ Lx, 0 ≤ y ≤ Ly

3.1.2.3 Sistema compuesto (x, y).

Es importante mencionar que los materiales compuestos son aquellos que se forman

por la unión de dos o más materiales para conseguir la combinación de propiedades que no


Página 31

son posibles de obtener en los materiales originales (Özisik �., 1977). Las consideraciones

para el sistema compuesto, son las mismas que se mencionaron para el sistema

bidimensional. Por lo tanto, el modelo matemático para el problema directo e inverso

compuesto en coordenadas cartesianas es:

( )

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

y

T

yx

T

xCpT

tλλρ (3.5)

Sin embargo, al momento de resolver el problema directo compuesto hay que tener

cuidado con la ubicación de las propiedades termofísicas de los materiales, ya que cambian

a una cierta longitud o altura del medio sólido. Mientras que en el problema inverso

compuesto, la diferencia se encuentra en la forma en que se trata la conductividad térmica

en la interface entre los materiales del medio sólido (lo anterior se explica con detalle en el

siguiente Capítulo).

3.2 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS DEL SISTEMA

COORDE�ADO CILÍ�DRICO.

A continuación, se presentan los modelos físicos y matemáticos del sistema

coordenado cilíndrico.

3.2.1 Modelos físicos.

La Figura 3.2 representa un cilindro sólido o macizo de radio Lr y altura Lz, en el cual

se desea determinar la distribución de la conductividad térmica. Cuando el tiempo es t=0 s,

la distribución de la temperatura es prescrita en todo el dominio del medio sólido. Para

tiempos t ˃ 0, las fronteras están sujetas a un conjunto de temperaturas o flujos de calor

(como se muestra en la Figura 3.2), para transmitir la energía hacia el interior del medio

sólido por medio del fenómeno de conducción.


Página 32

Figura 3.2.- Modelo físico del sistema coordenado cilíndrico.

*Consideraciones del sistema coordenado cilíndrico.

Además de determinar la distribución de la conductividad térmica en el sistema

cilíndrico bidimensional (r, z), ver Figura 3.2, también se desea determinar la distribución

de la conductividad térmica en el sistema cilíndrico unidimensional (r). Entonces, las

consideraciones que se toman en cuenta en el sistema coordenado cilíndrico

unidimensional y bidimensional son:

1.-Solo existe el fenómeno de transferencia de calor por difusión.

2.-Problemas finitos.

3.-Simetría en el origen.

4.-Medios homogéneos y no homogéneos.

5.-No existe generación de calor.

6.-Estado transitorio.

7.-El perfil o la distribución de la temperatura en el medio, la cual se utiliza como dato de

entrada en el método inverso, se calcula numéricamente o analíticamente.

8.-Condiciones de frontera de primera o segunda clase, es decir, temperaturas o flujos de

calor en las fronteras.

r

z

Alt

ura

TE

qE

z=Lz

z=0

q T

TS qS

( ) ?,, =tzrλ

Radio r=Lr

O


Página 33

3.2.2 Modelos matemáticos.

La ecuación general de convección-difusión de calor en coordenadas cilíndricas, es la

siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) gz

T

z

T

rrr

Tr

rrT

zT

rTr

rrCpT

t+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂ λ

θλ

θλρωρν

θυρρ 1111

(3.6) donde: ρ = densidad.

Cp =calor especifico. T = variable dependiente general (temperatura). λ = conductividad térmica del material.

ωνυ ,, = componentes de velocidad en las direcciones r, θ y z, respectivamente. t = tiempo.

zr ,,θ = ejes coordenados.

g = término fuente.

A continuación, se establecen los modelos matemáticos cilíndricos a partir de la

ecuación general de convección-difusión de calor en coordenadas cilíndricas.

3.2.2.1 Sistema unidimensional (r).

De acuerdo a las consideraciones antes mencionadas, el problema directo e inverso

unidimensional es de difusión de calor, en estado transitorio y sin generación de calor; los

términos convectivos y la difusión en la dirección θ y z de la Ecuación (3.6) son nulos. Por

lo tanto, el modelo matemático para el problema directo e inverso unidimensional en

coordenadas cilíndricas es el siguiente:

( )

∂∂

∂∂=

∂∂

r

Tr

rrCpT

tλρ 1

(3.7)


sujeto a: 0 < r < Lr, t ˃ 0

condición inicial: T(r, 0)= fm(r), 0 ≤ r ≤ Lr

TERMI O

TEMPORAL

TERMI OS

CO VECTIVOS

TERMI OS

DIFUSIVOS

TERMI O

FUE TE


Página 34


sujeto a: 0 ≤ r ≤ Lr, t ˃ 0

condición inicial: λ(r, 0)= fn(r), 0 ≤ r ≤ Lr

�ota: Hay que tener en cuenta que el sistema unidimensional cilíndrico sólido, sólo

está sujeto a un conjunto de temperaturas o flujos de calor en r=Lr, porque en el origen (O)

se tiene una temperatura finita. Sin embargo, como el cilindro sólido se considera simétrico

en el origen, se recomienda utilizar una condición de frontera aislada o adiabática en el

origen (Özisik �., 1977). Esta misma condición se puede aplicar en el sistema

bidimensional cilíndrico sólido.

3.2.2.2 Sistema bidimensional (r, z).

Tomando en cuenta las consideraciones para el sistema cilíndrico bidimensional y

utilizando el término difusivo en la dirección z de la Ecuación (3.6), se establece que el

modelo matemático para el problema directo e inverso bidimensional en coordenadas

cilíndricas es el siguiente:

( )

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

z

T

zr

Tr

rrCpT

tλλρ 1

(3.8)


sujeto a: 0 < r < Lr, 0 < z < Lz, t ˃ 0

condición inicial: T(r, z, 0)= fm(r, z), 0 < r ≤ Lr, 0 ≤ z ≤ Lz


sujeto a: 0 < r ≤ Lr, 0 ≤ z ≤ Lz, t ˃ 0

condición inicial: λ(r, z, 0)= fn(r, z), 0 < r ≤ Lr, 0 ≤ z ≤ Lz

3.2.2.3 Sistema compuesto (r, z).

El modelo matemático para el problema directo e inverso compuesto en coordenadas

cilíndricas, es el mismo que se aprecia en la Ecuación (3.8), es decir:

( )

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

z

T

zr

Tr

rrCpT

tλλρ 1

(3.9)

Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN

Página 35


En este Capítulo se describe la metodología para resolver los modelos matemáticos de

los problemas directos e inversos de transferencia de calor que se presentaron en el

Capitulo anterior. En los últimos apartados de este Capítulo, se menciona el criterio de

convergencia y el diagrama de flujo de los algoritmos numéricos desarrollados para

determinar la conductividad térmica de un medio sólido.

METODOLOGÍA DE METODOLOGÍA DE METODOLOGÍA DE METODOLOGÍA DE

SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN


Página 36

Como recordatorio, en los capítulos anteriores se mencionó los diferentes métodos que

existen hoy en día para la solución de los Problemas Inversos de Transferencia de Calor

(PITC) y además, se justificó el método inverso que se utiliza para la solución del PITC, es

decir, este trabajo de tesis se enfoca en la técnica inversa de los métodos numéricos para la

determinación de la conductividad térmica en un medio sólido. A continuación, se explica

la técnica numérica elegida.

4.1 MÉTODOS �UMÉRICOS.

Infinidad de problemas que involucran flujos de fluidos, transferencia de calor y de

masa o algún otro fenómeno de transporte, se reducen a la solución de ecuaciones

diferenciales parciales llamados modelos matemáticos. Estas ecuaciones diferenciales

parciales que gobiernan los procesos físicos reales son generalmente de naturaleza

compleja, y su solución sólo es posible para casos simples. Para ello, la aplicación de los

métodos numéricos (los cuales se sirven de una serie de valores aproximados para la

solución deseada) normalmente permiten obtener resultados de aplicación más general. Se

requiere invariablemente de la formulación de hipótesis simplificadoras: lo que se estudia

no es el sistema físico real sino un modelo matemático de él, que puede o no representar

apropiadamente al sistema. Para el empleo de los métodos numéricos solamente se necesita

disponer de una computadora, lo cual generalmente es posible hoy en día en la mayor parte

de los centros de estudio o de trabajo. Por lo tanto, este método es eficiente, menos costoso

si se compara, por ejemplo, con el método experimental, puede resolver problemas

complejos y los resultados se pueden obtener en un periodo de tiempo corto.

Por todo lo anterior, los métodos numéricos se han convertido en una alternativa

interesante para la solución de estos tipos de problemas. Los métodos numéricos más

comunes para resolver las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía, son

tres: el Método de Diferencias Finitas (MDF), el Método de Volumen Finito (MVF) y el

Método de Elemento Finito (MEF). La principal diferencia entre las tres técnicas está

asociada con la manera en la cual las variables de flujo son aproximadas y con el proceso


Página 37

de discretización. Cada método tiene sus desventajas dependiendo de la naturaleza del

problema físico a ser resuelto, pero no hay un mejor método para todos los problemas. En

breve se menciona que el MDF puede ser aplicado a cualquier tipo de malla. Sin embargo,

el método se complica cuando se aplica a mallas no regulares. Las líneas de la malla se

utilizan como las líneas coordenadas. La desventaja del MDF es que es no-conservativo,

esto es, la conservación de masa no se cumple a menos que se tenga especial cuidado para

ello. La exactitud del MDF puede ser examinado por el orden de truncamiento en la

expansión de las series de Taylor. Con respecto al MVF se menciona que puede ser

acomodado para cualquier tipo de malla y por lo tanto, puede ser aplicado a geometrías

complejas. El método es conservativo (las propiedades relevantes cumplen con

conservación para cada volumen), así que las integrales de superficie son las mismas para

las interfaces (fronteras) de los volúmenes de control adyacentes. La desventaja del MVF

comparado con el MDF, es cuándo se utiliza esquemas de alto orden, ya que el MVF es

más difícil de desarrollar en 3D (el procedimiento se hace más tedioso). Por último, el

MEF es muy utilizado en geometrías complejas, pero la desventaja del MEF se debe a

que los avances de este método han sido lentos en las aplicaciones de flujos de fluidos y

transferencia de calor, debido a las dificultades encontradas con los fenómenos para acoplar

las ecuaciones de conservación.

Ahora, debido a que los modelos matemáticos que se plantearon en el Capitulo

anterior, son todos conservativos y se relacionan con el proceso de difusión de calor, por

estas razones, se elige el MVF como la técnica numérica para la solución de los modelos

matemáticos. A continuación, se describe en qué consiste este método numérico.

*Método de Volúmenes Finitos (MVF).

Este método fue originalmente desarrollado como una forma especial de la

formulación en diferencias finitas. El punto de inicio de este método es usar la forma

integral de las ecuaciones de conservación. El dominio de estudio es sub-dividido en un

número finito de volúmenes de control (VC) adyacentes y las ecuaciones de conservación

se aplican para cada VC. En el centroide de cada VC recae un nodo computacional en el

cual las variables φ se calculan. Se usa alguna interpolación para expresar los valores de


Página 38

las variables en las superficies de los VC en términos de los valores nodales (localizados en

el centro del VC). Las integrales de superficie se aproximan al usar alguna fórmula de

cuadratura disponible. Como resultado se obtiene una ecuación algebraica para cada VC, en

el cual, valores de los nodos vecinos aparecen. La aproximación del MVF es quizá la más

simple de entender y programar, con respecto a las otras técnicas numéricas. Todos los

términos que necesitan ser aproximados tienen significado físico, este es el motivo por el

cual es popular entre los ingenieros.

La metodología numérica del MVF se resume en los siguientes pasos (Patankar S.,

1980):

1.-Definir y generar una malla numérica, la cual representa el dominio de cálculo en que se

desea conocer el valor de las variables dependientes.

2.-Integración de las ecuaciones gobernantes del fenómeno que se estudia, sobre todos los

volúmenes de control del dominio de solución.

3.-Discretización de las ecuaciones integrales para obtener un sistema de ecuaciones

algebraicas.

4.-Solución de las ecuaciones algebraicas por un algoritmo directo o iterativo, según la

complejidad del fenómeno de estudio.

Como el MVF es conservativo, su formulación permite tener resultados un poco más

exactos conforme los volúmenes de control se aproximen al infinito, es decir, al continuo.

4.2 METODOLOGÍA DEL MVF E� LOS MODELOS

MATEMÁTICOS E� COORDE�ADAS CARTESIA�AS.

A continuación, se aplica la metodología del MVF para la solución de los modelos

matemáticos directos e inversos, en el sistema bidimensional cartesiano. Cabe mencionar

que no se presenta la aplicación del MVF para la solución de los modelos matemáticos

unidimensionales, porque a partir de la solución de los modelos matemáticos

bidimensionales se puede obtener la solución de los modelos unidimensionales. Lo anterior


Página 39

se logra al despreciar, del modelo matemático bidimensional, el término difusivo del

segundo eje coordenado, es decir, el eje coordenado y.

4.2.1 Sistema bidimensional (x, y).

*Paso 1: Dominio computacional.

El dominio computacional del esquema centrado para el sistema bidimensional

cartesiano, es el siguiente:

Figura 4.1.-Dominio computacional del esquema centrado bidimensional cartesiano.

En la Figura 4.1 el nodo P tiene como vecinos en el plano horizontal a los nodos W

(en la dirección –x) y E (en la dirección +x) que se encuentran a una distancia δxPW y

δxEP respectivamente. En el plano vertical sus nodos vecinos son S (en la dirección –y) y

� (en la dirección +y) que se encuentran a una distancia δyPS y δy�P respectivamente.

∆x

�

n

S

E W

s

e w P

∆y

δy�P

δyPS

δxPW δxEP

x

y

Ly

Lx

O


Página 40

Entre los nodos P y W se encuentra el limite izquierdo del volumen de control denotado

por la letra w, lo mismo sucede entre los nodos P y E donde el límite derecho es llamado e.

De manera análoga, el límite superior del volumen de control es n que se encuentra entre

los nodos P y �; y el límite inferior s que se encuentra entre los nodos P y S. Por lo tanto,

la distancia que existe entre los límites horizontales del volumen de control, representa el

incremento en el plano x que se simboliza con ∆x, y de manera análoga el incremento en

el plano y con ∆y. Entonces:

( ) ( )22 −=∆

−=∆

�y

Lyy

�x

Lxx

(4.1)

donde: Lx= longitud del cuerpo solido.

Ly = altura del cuerpo solido.

�x =números de nodos en el plano x.

�y =números de nodos en el plano y.

*Paso 2: Integración de la ecuación gobernante sobre los volúmenes de control del

dominio de solución.

Al integrar la Ecuación (3.4) sobre el volumen de control de la Figura 4.1 y sobre el

intervalo de tiempo de t a t+#t, resulta lo siguiente:

( ) dtdxdy

y

T

ydtdxdy

x

T

xdtdxdyCpT

t

tt

t

e

w

n

s

tt

t

e

w

n

s

tt

t

e

w

n

s

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∆+∆+∆+

λλρ

(4.2)

*Paso 3: Discretización del modelo matemático.

La discretización consiste en convertir las ecuaciones integrales en un sistema de

ecuaciones algebraicas. En la discretización del modelo matemático bidimensional

cartesiano, que a continuación se presenta, sólo se muestran las expresiones finales de cada

término del modelo matemático, tanto en el problema directo como en el inverso.

4.2.1.1 Problema directo.

A) $odos internos.

De la Ecuación (4.2) resulta:


Página 41

( ) dxdt

y

Tdydt

x

TdxdydTCp

n

s

e

w

tt

t

e

w

n

s

tt

t

tt

t

e

w

n

s

∂∂+

∂∂= ∫∫∫∫∫ ∫∫

∆+∆+∆+

λλρ (4.3)

**Resolviendo la parte A de la Ecuación (4.3), se obtiene lo siguiente:

( ) ( )0

P

n

P

tt

t

e

w

n

s

TTyxCpdxdydTCp −∆∆=∫ ∫∫∆+

ρρ

(4.4)

**Resolviendo la parte B de la Ecuación (4.3), se obtiene lo siguiente:

tyx

TT

x

TTdydt

x

T

PW

n

W

n

Pn

w

EP

n

P

n

En

e

e

w

n

s

tt

t

∆∆

−−

−=

∂∂

∫∫∆+

δλ

δλλ

(4.5)

**Resolviendo la parte C de la Ecuación (4.3), se obtiene lo siguiente:

txy

TT

y

TTdxdt

y

T

PS

n

S

n

Pn

s

�P

n

P

n

�n

n

n

s

e

w

tt

t

∆∆

−−

−=

∂∂

∫∫∆+

δλ

δλλ

(4.6)

sustituyendo las ecuaciones (4.4)-(4.6) en la Ecuación (4.3) y agrupando términos

semejantes, se obtiene lo siguiente:

0P

n

S

PS

n

sn

�

�P

n

nn

W

PW

n

wn

E

EP

n

en

P

PS

n

s

�P

n

n

PW

n

w

EP

n

e Tt

yxCpT

y

xT

y

xT

x

yT

x

yT

t

yxCp

y

x

y

x

x

y

x

y

∆∆∆+

∆+

∆+

∆+

∆=

∆∆∆+∆+∆+∆+∆ ρ

δλ

δλ

δλ

δλρ

δλ

δλ

δλ

δλ

(4.7)

donde:

∆=EP

n

eE

x

ya

δλ

∆=PW

n

wW

x

ya

δλ

(4.8a)

∆=�P

n

n�

y

xa

δλ

∆=PS

n

sS

y

xa

δλ

(4.8b)

∆∆∆=

t

yxCpaP

ρ0

( )0

PS�WEP aaaaaa ++++= ( )00PP aTb = (4.8c)

por lo tanto, la Ecuación (4.7) se puede expresar como:

bTaTaTaTaTan

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP ++++= (4.9)

A B C


Página 42

sujeto a: 1 < i < $x-1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0

La Ecuación (4.9) es la ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas en

notación de los coeficientes agrupados para los nodos internos del problema directo

cartesiano.

*Conductividad térmica en la interface de los materiales simples.

En las ecuaciones (4.8a y b), las conductividades térmicas eλ , wλ , nλ y sλ se utilizan

para representar los valores de la conductividad térmica λ que le corresponden a las caras

e, w, n y s (respectivamente) del volumen de control que se muestra en la Figura 4.1. Por

lo tanto, se necesita expresiones matemáticas que estén en términos de estos puntos

nodales, para evaluar las conductividades térmicas en las interfaces.

El procedimiento más sencillo para obtener el valor de la conductividad térmica eλ en

la interface, es asumir una variación lineal de eλ entre los puntos P y E, es decir:

( ) EePee ff λλλ −+= 1

(4.10a)

de manera similar, la conductividad térmica wλ , nλ y sλ en la interface es:

( ) ,1 WwPww ff λλλ −+=

( ) ,1 �nPnn ff λλλ −+= ( ) SsPss ff λλλ −+= 1 (4.10b)

donde los factores de interpolación ef , wf , nf y sf son relaciones definidas en términos

de las distancias nodales. Si la interface e se sitúa en medio de los puntos P y E, el valor del

factor ef es de 0.5, de manera similar, el valor del factor wf , nf y sf es de 0.5. Entonces,

las ecuaciones (4.10) se pueden expresar como:

,

2EP

e

λλλ +=

,

2WP

w

λλλ +=

,

2�P

n

λλλ +=

2SP

s

λλλ +=

(4.11)

las ecuaciones (4.11) se conocen como las medias aritméticas de las conductividades

térmicas en las interfaces (Patankar S., 1980). Entonces, las ecuaciones (4.8a y b) se

pueden expresar como:


Página 43

,2

∆

+=

EP

n

E

n

PE

x

ya

δλλ

,2

∆

+=

PW

n

W

n

P

Wx

ya

δλλ

,

2

∆

+=

�P

n

�

n

P

�y

xa

δλλ

∆

+=

PS

n

S

n

P

Sy

xa

δλλ

2

(4.12)

�ota: Se recomienda utilizar las ecuaciones (4.12) solo en mallas uniformes y en

materiales simples (no compuestos).

B) $odos en las fronteras.

La ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas en notación de los

coeficientes agrupados para los nodos en las fronteras del problema directo cartesiano es:

bTaTaTaTaTan

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP ++++= (4.13)

donde:

1.-Cuando se especifica la temperatura en la frontera, los coeficientes son:

en i=1 000001 ====== baaaaa S�WEP

en i=$x-1 000001 ====== baaaaa S�WEP

en j=1 000001 ====== baaaaa S�WEP

en j=$y-1 000001 ====== baaaaa S�WEP (4.14)

2.-Cuando se especifica el flujo de calor en la frontera, los coeficientes son:

en i=1

======

P

EPPS�WEP

xqbaaaaa

λδ

00011

en i=$x-1

======

P

PWP

S�WEP

xqbaaaaa

λδ

00101

en j=1

======

P

�PP

S�WEP

yqbaaaaa

λδ

01001

en j=$y-1

======

P

PSP

S�WEP

yqbaaaaa

λδ

10001

(4.15)


Página 44

4.2.1.2 Problema inverso.

A) $odos internos.

De la Ecuación (4.2), resulta:

( ) dxdt

y

Tdydt

x

TdxdydTCp

n

s

tt

t

e

w

e

w

tt

t

n

s

tt

t

e

w

n

s

∂∂+

∂∂= ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

∆+∆+∆+

λλρ

(4.16)

**Resolviendo la parte E de la Ecuación (4.16), se obtiene lo siguiente:

( ) ( )0

P

n

P

tt

t

e

w

n

s

TTyxCpdxdydTCp −∆∆=∫ ∫∫∆+

ρρ

(4.17)

**Resolviendo la parte F de la Ecuación (4.16), se obtiene lo siguiente:

tyx

TT

x

TTdydt

x

T

PW

n

P

n

W

n

W

n

P

EP

n

P

n

E

n

E

n

P

e

w

n

s

tt

t

∆∆

−

++

−

+=

∂∂

∫∫∆+

δλλ

δλλλ

22 (4.18)

**Resolviendo la parte G de la Ecuación (4.16), se obtiene lo siguiente:

txy

TT

y

TTdxdt

y

T

PS

n

P

n

S

n

S

n

P

�P

n

P

n

�

n

�

n

P

n

s

e

w

tt

t

∆∆

−

++

−

+=

∂∂

∫∫∆+

δλλ

δλλλ

22

(4.19)



( )0

2222

2222

P

n

P

n

S

PS

n

P

n

Sn

�

�P

n

P

n

�n

W

PW

n

P

n

Wn

E

EP

n

P

n

E

n

P

PS

n

P

n

S

�P

n

P

n

�

PW

n

P

n

W

EP

n

P

n

E

TTt

yxCpx

y

TTx

y

TTy

x

TTy

x

TT

xy

TTx

y

TTy

x

TTy

x

TT

−∆

∆∆+

∆

−−

∆

−−

∆

−−

∆

−−

=

∆

−+∆

−+∆

−+∆

−

ρλδ

λδ

λδ

λδ

λδδδδ

(4.20)

donde:

∆

−= y

x

TTa

EP

n

P

n

E

E δ2

∆

−= y

x

TTa

PW

n

P

n

W

W δ2

(4.21a)

∆

−= x

y

TTa

�P

n

P

n

�

� δ2

∆

−= x

y

TTa

PS

n

P

n

S

S δ2

(4.21b)

E F G


Página 45

δxPW δxEP TS qS

∆∆∆=

t

yxCpaP

ρ0

( )S�WEP aaaaa +++= ( )[ ]00

PP

n

P aTTb −= (4.21c)


baaaaa n

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP +−−−−= λλλλλ (4.22)

sujeto a: 1 < i < $x-1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0


notación de los coeficientes agrupados para los nodos internos del problema inverso

cartesiano.


En el capítulo anterior, se mencionó que los problemas directos e inversos están

sujetos a condiciones de frontera de primera o segunda clase (temperaturas o flujos de

calor). La Figura 4.2 muestra los dominios computacionales en las fronteras, cuando están

sujetas a temperaturas o a flujos de calor.

Figura 4.2.-Dominios computacionales en las fronteras bidimensionales cartesianas.

Ex

y

Ly ∆y P

qW

Lx

S

�

E

W EP

S

P

�

P

S

�

W

W

∆xu

∆x

∆yv

δy�P

δyPS

qE

T$

i=1

j=1

j=$y-1

i=$x-1

q$

TE

TW

O


Página 46

A continuación, solamente se presenta las expresiones de los coeficientes agrupados

cuando se realiza la discretización de la Ecuación (3.4) en las fronteras Oeste y Sur. Cabe

mencionar que la discretización de la Ecuación (3.4) en las fronteras es semejante al

desarrollado en las ecuaciones (4.16)-(4.22). Entonces, la ecuación generativa del sistema

de ecuaciones algebraicas en notación de los coeficientes agrupados para los nodos en las

fronteras del problema inverso cartesiano es:

baaaaa n

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP +−−−−= λλλλλ (4.23)

donde:

CASO 1: Condiciones de frontera de primera clase.

1.-Cuando se especifica la temperatura en la Frontera Oeste (lado izquierdo de la Figura

4.2), los coeficientes agrupados son:

∆

−= y

x

TTa

EP

n

P

n

E

E δ2

0=Wa 0=�a 0=Sa (4.24a)

∆∆∆=

t

yxuCpaP

ρ0

∆

+−+= yx

TTTaa

PE

n

EE

n

E

n

PEP δ2

43

( )[ ]00PP

n

P aTTb −= (4.24b)

sujetos a: i=1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0

CASO 2: Condiciones de frontera de segunda clase.

1.-Cuando se especifica el flujo de calor en la Frontera Sur (lado inferior de la Figura 4.2),

los coeficientes agrupados son:

∆

−= yv

x

TTa

PE

n

P

n

E

E δ2

∆

−= yv

x

TTa

PW

n

P

n

W

W δ2

∆

−= x

y

TTa

�P

n

P

n

�

� δ2

0=Sa

(4.25a)

∆∆∆=

t

yvxCpaP

ρ0

( )�WEP aaaa ++= ( )[ ]xqaTTb n

PPP

n

P ∆+−= 00

(4.25b)

sujetos a: 1 ≤ i ≤ $x-1, j=1 para t ˃ 0


Página 47

4.2.2 Sistema compuesto (x, y).

El dominio computacional y el procedimiento para discretizar el modelo matemático

de la Ecuación (3.5) del sistema compuesto, es similar al que se presentó en el sistema

bidimensional, ver ecuaciones (4.16)-(4.25). La diferencia se encuentra en la forma en que

se trata la conductividad térmica en la interface entre los materiales del medio sólido. A

continuación, se explica lo anterior.

*Conductividad térmica en la interface de los materiales compuestos.

Se explicó que el procedimiento más sencillo para obtener el valor de la conductividad

térmica en la interface, es asumir una variación lineal. A este conjunto de ecuaciones se le

conoce como la media aritmética de la conductividad térmica en la interface, ecuaciones

(4.11). Sin embargo, este simple enfoque puede ocasionar errores en algunos casos, porque

no es capaz de manejar con precisión el cambio brusco de la conductividad térmica. Este

cambio abrupto se puede apreciar en los materiales compuestos, por lo tanto, se necesita

expresiones matemáticas que puedan sobrellevar este inconveniente.

En el desarrollo de esta alternativa, se considera que existe un flujo de calor en la

interface de dos puntos, por ejemplo en la interface e de los puntos P y E. Este flujo se

representa como:

( )EP

EPe

ex

TTq

δλ −

=

(4.26)

donde : e

Ee

EPf

xx

δδ =

(4.27)

para un medio compuesto, el análisis del flujo de calor en la interface e se representa como:

( )

E

Ee

P

eP

EP

e xx

TTq

λδ

λδ

+

−=

(4.28)

combinando las ecuaciones (4.26)-(4.28), se obtiene lo siguiente:

11

−

+

−=

E

e

P

e

e

ff

λλλ

(4.29)


Página 48

si la interface e se sitúa en medio de los puntos P y E, el valor del factor ef es de 0.5. Por

lo tanto, la Ecuación (4.29) se puede expresar como:

( )111 5.0 −−− += EPe λλλ

(4.30a)

o bien:

EP

EP

e λλλλλ

+=

2

(4.30b)

de la misma forma, la conductividad térmica en la interface w, n y s es:

EP

EP

e λλλλλ

+=

2

WP

WP

w λλλλλ

+=

2

�P

�P

n λλλλλ

+=

2

SP

SP

s λλλλλ

+=

2

(4.31)

las ecuaciones (4.31) se conocen como las medias armónicas de las conductividades

térmicas en las interfaces (Patankar S., 1980).

�ota: Se recomienda utilizar las ecuaciones (4.31) solo en mallas uniformes y en

materiales compuestos.

A continuación, los coeficientes agrupados que se presentaron en el problema directo e

inverso del sistema bidimensional, se expresan en términos de las medias armónicas de la

conductividad térmica, ecuaciones (4.31), para obtener las ecuaciones de los coeficientes

agrupados del sistema compuesto.


La Ecuación (4.32) es la ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas del

problema directo en el sistema compuesto.

bTaTaTaTaTan

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP ++++= (4.32)

Donde los coeficientes agrupados son:

A) $odos internos.

∆

+=

EP

n

E

n

P

n

E

n

PE

x

ya

δλλλλ2

∆

+=

PW

n

W

n

P

n

W

n

P

Wx

ya

δλλλλ2

(4.33a)


Página 49

∆

+=

�P

n

�

n

P

n

�

n

P

�y

xa

δλλλλ2

∆

+=

PS

n

S

n

P

n

S

n

P

Sy

xa

δλλλλ2

(4.33b)

∆∆∆=

t

yxCpaP

ρ0

( )0

P��WEP aaaaaa ++++= ( )00PP aTb = (4.33c)

sujetos a: 1 < i < $x-1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0


Los coeficientes agrupados para los nodos en las fronteras del sistema compuesto, son

los mismos que se presentaron en las ecuaciones (4.14) y (4.15).


La ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas del problema inverso en

el sistema compuesto es:

baaaaan

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP +−−−−= λλλλλ (4.34)

donde los coeficientes agrupados son:

A) $odos internos.

∆

−

++= −− y

x

TTa

EP

n

P

n

E

EPEP

E δλλλλ 112

2

∆

−

++= −− y

x

TTa

PW

n

P

n

W

WPWP

W δλλλλ 112

2

(4.35a)

∆

−

++= −− x

y

TTa

�P

n

P

n

�

�P�P

� δλλλλ 112

2

∆

−

++= −− x

y

TTa

PS

n

P

n

S

SPSP

S δλλλλ 112

2

(4.35b)

∆∆∆=

t

yxCpaP

ρ0

( )S�WEP aaaaa +++= ( )[ ]00

PP

n

P aTTb −= (4.35c)

sujetos a: 1 < i < $x-1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0



1.-Cuando se especifica la temperatura en la Frontera Oeste, los coeficientes agrupados son:


Página 50

∆

−

++=

−−y

x

TTa

EP

n

P

n

E

EPEP

E δλλλλ 112

2

0=Wa (4.36a)

0=�a

0=Sa

(4.36b)

∆∆∆=

t

yxuCpaP

ρ0

∆

+−+= yx

TTTaa

PE

n

EE

n

E

n

PEP δ2

43

( )[ ]00PP

n

P aTTb −= (4.36c)

sujetos a: i=1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0


1.-Cuando se especifica el flujo de calor en la Frontera Sur, los coeficientes agrupados son:

∆

−

++= −− yv

x

TTa

EP

n

P

n

E

EPEP

E δλλλλ 112

2

∆

−

++= −− yv

x

TTa

PW

n

P

n

W

WPWP

W δλλλλ 112

2

(4.37a)

∆

−

++= −− x

y

TTa

�P

n

P

n

�

�P�P

� δλλλλ 112

2

0=Sa

(4.37b)

∆∆∆=

t

yvxCpaP

ρ0

( )�WEP aaaa ++= ( )[ ]xqaTTb n

PPP

n

P ∆+−= 00

(4.37c)

sujetos a: 1 ≤ i ≤ $x-1, j=1 para t ˃ 0

*Paso 4: Solución de las ecuaciones algebraicas por un método directo o iterativo.

Las ecuaciones algebraicas (tanto del problema directo como del inverso) que se

obtuvieron al discretizar los modelos matemáticos de las ecuaciones (3.4) y (3.5), se

agrupan para expresarlas en forma matricial con la finalidad de resolverlas con algún

método de solución de ecuaciones algebraicas. De tal forma, se tiene lo siguiente:

[ ][ ] [ ]BA =ϕ

(4.38)

donde:

[ ] =A Matriz de los coeficientes agrupados.


Página 51

[ ] =ϕ Vector de la variable desconocida (temperatura para el problema directo y

conductividad térmica para el problema inverso).

[ ] =B Vector de los términos conocidos.

Al final de este Capítulo, se encuentra un apartado donde se menciona y se explica el

método que se eligió para la solución de las ecuaciones algebraicas.

4.3 METODOLOGÍA DEL MVF E� LOS MODELOS

MATEMÁTICOS E� COORDE�ADAS CILÍ�DRICAS.

A continuación, se aplica la metodología del Método de Volúmenes finitos (MVF) a

los modelos matemáticos en coordenadas cilíndricas. No se presenta la aplicación del MVF

para la solución de los modelos matemáticos unidimensionales, porque a partir de la

solución de los modelos matemáticos bidimensionales se puede obtener la solución de los

modelos unidimensionales, es decir, se desprecia el término difusivo del eje coordenado z

del modelo bidimensional para obtener la solución del modelo unidimensional.

4.3.1 Sistema bidimensional (r, z).

*Paso 1: Dominio computacional.

El dominio computacional del esquema centrado para el sistema bidimensional

cilíndrico, es el siguiente:


Página 52

Figura 4.3.-Dominio computacional del esquema centrado bidimensional cilíndrico.

De manera similar que en el sistema bidimensional cartesiano, en la Figura 4.3 la

distancia que existe entre los límites horizontales del volumen de control, representa el

incremento en el plano r que se simboliza con ∆r, y de manera análoga el incremento en el

plano z con ∆z. Entonces:

( ) ( )22 −=∆

−=∆

�z

Lzz

�r

Lrr

(4.39)

donde: Lr= radio del cuerpo solido.

Lz =altura del cuerpo sólido.

�r =números de nodos en el plano r.

�z =números de nodos en el plano z.

∆r

�

S

E W

s

e w P

∆z

δz�P

δzPS

δrPW δrEP

r

z

Lz

Lr

n

O


Página 53

*Paso 2: Integración de la ecuación gobernante sobre los volúmenes de control del

dominio de solución.

Al integrar la Ecuación (3.8) sobre el volumen de control de la Figura 4.3 y sobre el

intervalo de tiempo de t a t+#t, resulta lo siguiente:

( ) drdzdtz

T

zrdrdzdt

r

Tr

rdrdzdtTCpr

t

tt

t

e

w

n

s

tt

t

e

w

n

s

tt

t

e

w

n

s

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∆+∆+∆+

λλρ

(4.40)

se multiplico toda la expresión de la Ecuación (4.40) por r, para facilitar el desarrollo de la

discretización.

*Paso 3: Discretización del modelo matemático.

La discretización de la Ecuación (4.40) para el problema directo e inverso, es la

siguiente:


A) $odos internos.

De la Ecuación (4.40) resulta:

( ) rdrdt

z

Tdzdt

r

TrrdrdzdTCp

n

s

e

w

tt

t

e

w

n

s

tt

t

tt

t

e

w

n

s

∂∂+

∂∂= ∫∫∫∫∫ ∫∫

∆+∆+∆+

λλρ

(4.41)

**Resolviendo la parte A1 de la Ecuación (4.41), se obtiene lo siguiente:

( ) ( )0

2 P

n

P

we

tt

t

e

w

n

s

TTzrCprr

rdrdzdTCp −∆∆

+=∫ ∫∫

∆+

ρρ

(4.42)

**Resolviendo la parte B1 de la Ecuación (4.41), se obtiene lo siguiente:

tzr

TTr

r

TTrdzdt

r

Tr

PW

n

W

n

Pn

ww

EP

n

P

n

En

ee

e

w

n

s

tt

t

∆∆

−−

−=

∂∂

∫∫∆+

δλ

δλλ

(4.43)

**Resolviendo la parte C1 de la Ecuación (4.41), se obtiene lo siguiente:

trrr

z

TT

z

TTrdrdt

z

T we

PS

n

S

n

Pn

s

�P

n

P

n

�n

n

n

s

e

w

tt

t

∆∆

+

−−

−=

∂∂

∫∫∆+

2δλ

δλλ

(4.44)

A1 B1 C1


Página 54



0

222

222

Pwen

S

PS

n

swen

�

�P

n

nwen

W

PW

n

ww

n

E

EP

n

ee

n

Pwe

PS

n

swe

�P

n

nwe

PW

n

ww

EP

n

ee

Tt

zrCprrT

z

rrrT

z

rrrT

r

zrT

r

zr

Tt

zrCprr

z

rrr

z

rrr

r

zr

r

zr

∆∆∆

++

∆

++

∆

++

∆+

∆

=

∆∆∆

++

∆

++

∆

++

∆+

∆

ρδλ

δλ

δλ

δλ

ρδλ

δλ

δλ

δλ

(4.45)

donde:

∆=EP

n

eeE

r

zra

δλ

∆=PW

n

wwW

r

zra

δλ

(4.46a)

∆

+=�P

n

nwe�

z

rrra

δλ

2

∆

+=PS

n

sweS

z

rrra

δλ

2

(4.46b)

∆∆∆

+=t

zrCprra we

P

ρ2

0

( )0P��WEP aaaaaa ++++= (4.46c)

( )00PP aTb =

(4.46d)


bTaTaTaTaTan

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP ++++= (4.47)

sujeto a: 1 < i < $r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0


notación de coeficientes agrupados para los nodos internos del problema directo cilíndrico.

�ota: Se recuerda utilizar las ecuaciones (4.11) en las ecuaciones (4.46a y b),

solamente en mallas uniformes y en materiales simples (no compuestos).


La ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas en notación de los

coeficientes agrupados para los nodos en las fronteras del problema directo cilíndrico es:


Página 55

bTaTaTaTaTan

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP ++++= (4.48)

donde:

1.-Cuando se especifica la temperatura en la frontera, los coeficientes son:

en i=$r-1 000001 ====== baaaaa S�WEP

en j=1 000001 ====== baaaaa S�WEP

en j=$z-1 000001 ====== baaaaa S�WEP (4.49)

2.-Cuando se especifica el flujo de calor en la frontera, los coeficientes son:

en i=$r-1

======

P

PWP

S�WEP

rqbaaaaa

λδ

00101

en j=1

======

P

�PP

S�WEP

zqbaaaaa

λδ

01001

en j=$z-1

======

P

PSP

S�WEP

zqbaaaaa

λδ

10001

(4.50)


A) $odos internos.

De la Ecuación (4.40), resulta:

( ) rdrdt

z

Tdzdt

r

TrrdrdzdTCp

n

s

e

w

tt

t

e

w

n

s

tt

t

tt

t

e

w

n

s

∂∂+

∂∂= ∫∫∫∫∫ ∫∫

∆+∆+∆+

λλρ

(4.51)

**Resolviendo la parte E1 de la Ecuación (4.51), se obtiene lo siguiente:

( ) ( )0

2 P

n

P

we

tt

t

e

w

n

s

TTzrCprr

rdrdzdTCp −∆∆

+=∫ ∫∫

∆+

ρρ

(4.52)

**Resolviendo la parte F1 de la Ecuación (4.51), se obtiene lo siguiente:

tz

r

TTr

r

TTrdzdt

r

Tr

PW

n

P

n

W

n

W

n

P

w

EP

n

P

n

E

n

E

n

P

e

e

w

n

s

tt

t

∆∆

−

++

−

+=

∂∂

∫∫∆+

δλλ

δλλ

λ22

(4.53)

E1 F1 G1


Página 56

**Resolviendo la parte G1 de la Ecuación (4.51), se obtiene lo siguiente:

trrr

z

TT

z

TTrdrdt

z

T we

PS

n

P

n

S

n

S

n

P

�P

n

P

n

�

n

�

n

P

n

s

e

w

tt

t

∆∆

+

−

++

−

+=

∂∂

∫∫∆+

222 δλλ

δλλλ

(4.54)



( )0

2222222

222222

P

n

P

wen

S

PS

n

P

n

Swen

�

�P

n

P

n

�wen

W

PW

n

P

n

W

w

n

E

EP

n

P

n

Ee

n

P

PS

n

P

n

Swe

�P

n

P

n

�we

PW

n

P

n

W

w

EP

n

P

n

E

e

TTt

zrCprrr

z

TTrrr

z

TTrrz

r

TTrz

r

TTr

rz

TTrrr

z

TTrrz

r

TTrz

r

TTr

−∆

∆∆

++

∆

−

+−

∆

−

+−

∆

−−

∆

−−

=

∆

−

++∆

−

++∆

−+∆

−

ρλδ

λδ

λδ

λδ

λδδδδ

(4.55)

donde:

∆

−= z

r

TTra

EP

n

P

n

E

eE δ2

∆

−= z

r

TTra

PW

n

P

n

W

wW δ2 (4.56a)

∆

−

+= r

z

TTrra

�P

n

P

n

�we

� δ22

∆

−

+= r

z

TTrra

PS

n

P

n

Swe

S δ22 (4.56b)

∆∆∆

+=t

zrCprra we

P

ρ2

0

( )S�WEP aaaaa +++= (4.56c)

( )[ ]00PP

n

P aTTb −= (4.56d)


baaaaan

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP +−−−−= λλλλλ (4.57)

sujeto a: 1 < i < $r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0


notación de los coeficientes agrupados para los nodos internos del problema inverso

cilíndrico.


Página 57


La Figura 4.4 muestra los dominios computacionales en las fronteras del sistema

cilíndrico, cuando están sujetas a temperaturas o a flujos de calor.

Figura 4.4.-Dominios computacionales en las fronteras bidimensionales cilíndricas.

A continuación, se presenta las expresiones de los coeficientes agrupados cuando se

realiza la discretización de la Ecuación (3.8) en las fronteras Este y Norte. La metodología

para obtener estas expresiones es similar al desarrollado en las ecuaciones (4.51)-(4.57).

Entonces, la ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas en notación de los

coeficientes agrupados para los nodos en las fronteras del problema inverso cilíndrico es:

baaaaa n

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP +−−−−= λλλλλ (4.58)

donde:

r

z

Lz

δrPW

Lr W EP

S

P E

�

P

S

�

W

W

∆r

∆zv

δrEP qS

TE

T$

i=1

j=1

j=$z-1

i=$r-1

∆ru

∆z

q$

qE

TS

O


Página 58


1.-Cuando se especifica la temperatura en la Frontera Este (lado derecho de la Figura 4.4),

los coeficientes agrupados son:

0=Ea

∆

−= z

r

TTra

PW

n

P

n

W

wW δ2

(4.59a)

0=�a

0=Sa (4.59b)

∆∆∆

+=t

zruCprra wP

P

ρ2

0

∆

+−+= z

r

TTTraa

PW

n

p

n

W

n

WW

PWP δ2

34

(4.59c)

( )[ ]00PP

n

P aTTb −= (4.59d)

sujetos a: i=$r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0


1.-Cuando se especifica el flujo de calor en la Frontera Norte (lado superior de la Figura

4.4), los coeficientes agrupados son:

∆

−= zv

r

TTra

EP

n

P

n

EeE δ2

∆

−= zv

r

TTra

WP

n

P

n

W

wW δ2

(4.60a)

0=�a

∆

−

+= r

z

TTrra

PS

n

P

n

Swe

S δ22

(4.60b)

∆∆∆

+=t

zvrCprra we

P

ρ2

0

( )SWEP aaaa ++= (4.60c)

( )

∆

+−−= rq

rraTTb n

Pwe

PP

n

P 200

(4.60d)


Página 59

sujetos a: 1 ≤ i ≤ $r-1, j=$z-1 para t ˃ 0

4.3.2 Sistema compuesto (r, z).

El dominio computacional y el procedimiento para discretizar el modelo matemático

de la Ecuación (3.9) del sistema compuesto en coordenadas cilíndricas, es similar al que se

presento en el sistema bidimensional cilíndrico, ver ecuaciones (4.41)-(4.60). Solamente

que ahora los coeficientes agrupados se expresan en términos de la media armónica de la

conductividad térmica, ver ecuaciones (4.31). Por lo tanto, se tiene lo siguiente:


La Ecuación (4.61) es la ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas del

problema directo en el sistema compuesto cilíndrico.

bTaTaTaTaTan

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP ++++= (4.61)

Donde los coeficientes agrupados son:

A) $odos internos.

∆

+=

EP

e

n

E

n

P

n

E

n

PE

r

zra

δλλλλ2

∆

+=

PW

w

n

W

n

P

n

W

n

P

Wr

zra

δλλλλ2

(4.62a)

∆

+

+=

�P

we

n

�

n

P

n

�

n

P

�z

rrra

δλλλλ

2

2

∆

+

+=

PS

we

n

S

n

P

n

S

n

P

Sz

rrra

δλλλλ

2

2

(4.62b)

∆∆∆

+=t

zrCprra we

P

ρ2

0

( )0P��WEP aaaaaa ++++= (4.62c)

( )00PP aTb =

(4.62d)

sujetos a: 1 < i < $r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0


Los coeficientes agrupados para los nodos en las fronteras del sistema compuesto, son

los mismos que se presentaron en las ecuaciones (4.49) y (4.50).


Página 60


La ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas del problema inverso en

el sistema compuesto cilíndrico es:

baaaaan

SS

n

��

n

WW

n

EE

n

PP +−−−−= λλλλλ (4.63)

donde los coeficientes agrupados son:

A) $odos internos.

∆

−

++= −− z

r

TTra

EP

n

P

n

E

EPEP

e

E δλλλλ 112

2

∆

−

++= −− z

r

TTra

PW

n

P

n

W

WPWP

w

W δλλλλ 112

2

(4.64a)

∆

−

+++

= −− rz

TTrra

�P

n

P

n

�

�P�P

we

� δλλλλ 112

∆

−

+++

= −− rz

TTrra

PS

n

P

n

S

SPSP

we

S δλλλλ 112

(4.64b)

∆∆∆

+=

t

zrCprra we

P

ρ2

0

( )S�WEP aaaaa +++= (4.64c)

( )[ ]00PP

n

P aTTb −= (4.64d)

sujetos a: 1 < i < $r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0



1.-Cuando se especifica la temperatura en la Frontera Este, los coeficientes agrupados son:

0=Ea

∆

−

++= −− z

r

TTra

PW

n

P

n

W

WPWP

w

W δλλλλ 112

2

(4.65a)

0=�a

0=Sa

(4.65b)

∆∆∆

+=t

zruCprra wP

P

ρ2

0

∆

+−+= z

r

TTTraa

PW

n

p

n

W

n

WW

PWP δ2

34

(4.65c)


Página 61

( )[ ]00PP

n

P aTTb −= (4.65d)

sujetos a: i=$r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0


1.-Cuando se especifica el flujo de calor en la Frontera Norte, los coeficientes agrupados

son:

∆

−

++= −− zv

r

TTra

EP

n

P

n

E

EPEP

e

E δλλλλ 112

2

∆

−

++= −− zv

r

TTra

PW

n

P

n

W

WPWP

w

W δλλλλ 112

2

(4.66a)

0=�a

∆

−

+++

= −− rz

TTrra

PS

n

P

n

S

SPSP

we

S δλλλλ 112

(4.66b)

∆∆∆

+=t

zvrCprra we

P

ρ2

0

( )SWEP aaaa ++= (4.66c)

( )

∆

+−−= rq

rraTTb n

P

we

PP

n

P 200

(4.66d)

sujetos a: 1 ≤ i ≤ $r-1, j=$z-1 para t ˃ 0

*Paso 4: Solución de las ecuaciones algebraicas por un método directo o iterativo.

De la misma forma que en el sistema coordenado cartesiano, las ecuaciones

algebraicas obtenidas al discretizar los modelos matemáticos en coordenadas cilíndricas, se

agrupan para expresarlas en forma matricial con la intención de resolverlas con algún

método de solución de ecuaciones algebraicas.

A continuación, se mencionan los diferentes métodos que existen para resolver un

sistema de ecuaciones algebraicas.


Página 62

4.4 MÉTODOS DE SOLUCIÓ� DE ECUACIO�ES ALGEBRAICAS.

Es necesario plantear un método eficiente que pueda resolver cada sistema de

ecuaciones algebraicas. Básicamente existen dos técnicas para la solución de un sistema de

ecuaciones algebraicas: los métodos directos y los métodos indirectos o iterativos.

4.4.1 Métodos Directos.

Los métodos directos como la Regla de Cramer, la eliminación Gaussiana y el

algoritmo de Thomas no se emplean con frecuencia, porque el uso de las técnicas de

inversión directa requiere bastante almacenamiento en la memoria y muchas operaciones

renglón-columna para invertir la matriz en cuestión. Por ejemplo, para un sistema de n

ecuaciones con n incógnitas, la eliminación Gaussiana necesita aproximadamente n3

operaciones aritméticas. Así, cuando se utiliza un sistema de 500 ecuaciones con 500

incógnitas se requieren casi 125 millones de operaciones.

4.4.2 Métodos Iterativos.

Los métodos iterativos se basan en la repetida aplicación de algoritmos sencillos que

normalmente después de un cierto número de iteraciones alcanzan la convergencia. El

número de operaciones para cada ciclo de iteración se establece arbitrariamente y a

diferencia de los métodos directos no se puede saber de antemano el número de iteraciones

que serán necesarias para obtener la convergencia. Tampoco es posible garantizar la

convergencia a menos que el sistema satisfaga cierto criterio. La principal ventaja de los

métodos iterativos es que sólo se necesita almacenar en la memoria los coeficientes

diferentes de cero.

Como la matriz del sistema de ecuaciones algebraicas (tanto del problema directo

como del inverso) es nonadiagonal (en este tipo de matrices el número de espacios en cero

es elevado), se utilizará un método iterativo para invertir la matriz en cuestión.

Hoy en día existen muchos métodos iterativos para la solución de un sistema de

ecuaciones algebraicas, entre los cuales se mencionan los siguientes: el método de Gauss-


Página 63

Seidel (GS), el método de línea por línea (LBL), el método de línea Gauss-Seidel (LGS) y

el método de línea Gauss-Seidel de direcciones alternantes implícitas (LGS-ADI). Cada

método tiene sus ventajas y desventajas, sin embargo, la convergencia del método LGS-

ADI es más rápida, debido a que la información de las condiciones de las fronteras es

transportada más rápidamente hacia los nodos interiores del dominio. Por lo tanto, se

emplea el método LGS-ADI como el método iterativo para la solución de las ecuaciones

algebraicas.

4.5 DIAGRAMA DE FLUJO DE LOS CÓDIGOS �UMÉRICOS.

4.5.1 Criterio de convergencia.

La solución numérica se dice que converge, cuando se aproxima a la solución exacta

del problema conforme a los pasos de tiempo y espacio tienden a cero. Los códigos

numéricos desarrollados satisfacen dos criterios para que la solución pueda converger.

Estos son:

1.-Un criterio de convergencia φε1 que asegure que la solución de las ecuaciones

algebraicas en el tiempo actual es la correcta.

2.-Un criterio de convergencia φε2 que permite obtener la solución permanente de las

ecuaciones algebraicas.

El primer criterio se cumple cuando el residual φR tiene un valor ≤ 1x10-4. El residuo

φR se obtiene con la siguiente desviación cuadrática:

( )[ ] φφ εφφ 1

2 ≤+−= ∑ ∑ baaR vecinosvecinosPP (4.67)

Para cumplir el segundo criterio de convergencia φε2 , el residuo φD debe tener un

valor ≤ 1x10-5. El residuo φD se obtiene de la diferencia absoluta entre la variable del

tiempo actual contra la variable del tiempo anterior, es decir:

( ) φφ εϕϕ 2

0 ≤−= P

n

PAbsD

(4.68)


Página 64

donde:

=n

Pϕ Variable del tiempo actual.

=0Pϕ Variable del tiempo anterior.

4.5.2 Diagrama de flujo.

Para fines propios, se compiló los programas en la plataforma Fortran Powerstation

V. 4.0 para resolver las ecuaciones generativas de $ sistemas de ecuaciones algebraicas, a

través del método de solución elegido. El diagrama de flujo, que se muestra en la Figura

4.5, se utiliza para desarrollar los algoritmos numéricos tanto del sistema cartesiano como

del sistema cilíndrico. Los pasos del diagrama de flujo son los siguientes:

1.-Introduccion de valores conocidos. En este punto se establecen los parámetros restantes

conocidos, como son: geometría del medio sólido, condiciones de frontera, condiciones

iniciales y las propiedades termofísicas.

2.-Generacion del dominio computacional. Aquí se definen los nodos computacionales y el

incremento espacial, en donde se calcula la variable desconocida. Ambos dependen de la

geometría del medio sólido y del tamaño de la malla numérica.

3.-Asignación del valor inicial. Se asigna el valor inicial de la variable que se desea conocer

en todo el dominio del medio sólido.

4.-Paso de tiempo. Se establece el incremento del tiempo para las corridas temporales del

código numérico.

5.-Variable del tiempo anterior. Se establece el valor de la variable en el tiempo pasado.

6.-Distribución de la temperatura de entrada. Se determina experimentalmente la

distribución de la temperatura de entrada en todo el dominio del medio sólido. En este

trabajo de investigación, como no se cuenta con la información experimental necesaria,

la distribución de la temperatura de entrada se obtendrá de forma analítica o numérica.

Dando por hecho que se conoce la distribución de la conductividad térmica en todo el

dominio del medio sólido.

7.-Generación de la matriz de coeficientes. Se calculan los coeficientes de las ecuaciones

generativas del sistema de ecuaciones algebraicas.


Página 65

8.-Variable iterativa. Se utiliza para asignar el valor de la variable en el primer proceso

iterativo y para renombrar a la variable cuando no se cumple el primer criterio de

convergencia.

9.-Solución del sistema de ecuaciones algebraicas. Se aplica un método de solución para

encontrar los valores de la variable desconocida.

10.-Primer criterio de convergencia. Es el criterio que establece que los valores de la

variable son los que le corresponde al tiempo en que se calcularon. Si no se cumple el

criterio, se regresa al paso número ocho.

11.-Distribución de la variable en el tiempo actual. Aquí se conocen las distribuciones de la

variable en todo el domino del medio sólido, para todos los tiempos de cómputo.

12.-Segundo criterio de convergencia. Es el criterio que establece que se alcanzó el estado

permanente de la variable. Si no se cumple el criterio, regresar al paso número cuatro.

13.-Distribucion final de la variable. Representa la distribución en estado permanente de la

variable en todo el dominio del medio sólido.


Página 66

Figura 4.5.-Diagrama de flujo del algoritmo numérico cartesiano y cilíndrico.

Distribución de la temperatura de entrada

Introducción de valores conocidos

Incremento del paso de tiempo t=t+#t

Generación del dominio computacional

Asignación del valor inicial de la variable en el dominio espacial y temporal φ=φinicial

Nombramiento de la variable del tiempo anterior φold=φ

Generación de la matriz de coeficientes

Solución del sistema de ecuaciones

algebraicas

1er criterio de convergencia Rφ ≤1x10-4

Imprime la distribución de la variable en el

tiempo actual

2do criterio de convergencia (E. P.)

Dφ ≤1x10-5

FI�

I�ICIO

Distribución analítica Distribución numérica

Renombramiento de la variable iterativa

φiter=φ

SI

$O

Generación de la matriz de coeficientes

Renombramiento de la variable iterativa (conductividad térmica) φiter=φ

Solución del sistema de ecuaciones algebraicas

1er criterio de convergencia Rφ ≤1x10-4

$O

SI

Imprime la distribución final de la variable

SI

$O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

En la práctica sustituirlo por la distribución experimental

Capítulo 5 VERIFICACIÓN

Página 67


En este Capítulo se presenta la verificación del código numérico desarrollado para el

sistema unidimensional cartesiano, que tiene como objetivo determinar la conductividad

térmica de un material sólido. La verificación del código numérico se realizó al comparar

los resultados obtenidos con los resultados reportados por los autores Yeung W. y Lam T.

(1995) y Chang C. y Chang M. (2006). Además, en el último apartado se presenta el

estudio de independencia de malla y del tiempo.

VERIFICACIÓNVERIFICACIÓNVERIFICACIÓNVERIFICACIÓN


Página 68

Se sabe que la verificación es aquella que permite cuantificar la desviación que se

tiene debido a la solución del modelo matemático involucrado, en otras palabras, los

resultados numéricos serán comparados con alguna solución teórica reportada en la

literatura revisada. Por lo tanto, la verificación del código numérico desarrollado se realiza

comparando los resultados obtenidos con los resultados analíticos. En los últimos apartados

de este Capítulo se realiza el estudio de independencia de malla y del tiempo, para el caso

inverso que se considera más complejo, es decir, un medio compuesto que involucra las tres

situaciones de la conductividad térmica. Cabe mencionar que los software utilizados para la

visualización de las graficas son Origin 5.0 y TecPlot V.10, este último goza de una alta

aceptación entre los investigadores de CFD (Computational Fluid Dynamics).

5.1 VERIFICACIÓ� DEL CÓDIGO �UMÉRICO.

En el primer Capítulo se mencionó que en la literatura revisada se encontró solamente

problemas inversos unidimensionales, en coordenadas cartesianas y en estado transitorio.

Por lo tanto, solo se dispone de soluciones unidimensionales de la conductividad térmica

para poder verificar el código numérico desarrollado. La verificación del código numérico

desarrollado se realizó al comparar los resultados obtenidos con los resultados reportados

por diferentes autores, entre ellos se encuentran: Yeung W. y Lam T. (1995) y Chang C. y

Chang M. (2006). La razón por la cual se escogió estos trabajos de investigación para la

verificación del código numérico, es porque dichos autores utilizaron el método inverso

numérico para la solución del problema inverso de conducción de calor unidimensional.

5.1.1 Verificación del código numérico desarrollado con los resultados reportados

por Yeung W. y Lam T. (1995).

La primera verificación del código numérico en el sistema unidimensional cartesiano,

se realiza al comparar los resultados obtenidos con el trabajo de Yeung W. y Lam T. (1995).

Estos autores utilizaron el método inverso numérico (diferencias finitas) para determinar la

conductividad térmica de un medio sólido en un dominio unidimensional y en estado

transitorio. Los autores reportaron cinco casos: un caso de conductividad térmica constante,


Página 69

dos casos de conductividad térmica dependiente del espacio y dos casos de conductividad

térmica dependiente de la temperatura.

A continuación, se presenta tres de los cinco casos reportados por los autores para

verificar el código numérico desarrollado, los cuales están sujetos a diversas condiciones.

El planteamiento general del problema inverso unidimensional en coordenadas cartesianas

es como sigue: considere un medio sólido, ,0 Lxx ≤≤ con una temperatura inicial ( )0,xTi

en todo el dominio del medio sólido. Cuando el tiempo 0,>t las fronteras en x=0 y x=Lx

están sujetas a un conjunto de temperaturas o flujos de calor, como se muestra en la Figura

5.1. Determinar la distribución de la conductividad térmica ( )tx,λ en el medio sólido

cuando el tiempo alcance el valor de t=0.2 s. Considere Lx=1 m, ∆t=0.01 s, Cp=1 cal/Kg°C

y ρ=1 Kg/m3.

Figura 5.1.- Modelo físico del medio sólido unidimensional cartesiano.

Las condiciones para cada uno de los problemas inversos cuando el tiempo t ≥ 0 son

las siguientes:

5.1.1.1 Conductividad térmica constante.

*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ t = 0):

( ) ( )xSentxTi π=, (5.1)

*Condiciones de frontera (t ˃ 0):

( ) CtTW °= 0,0 (5.2)

( ) CtLxTE °= 0, (5.3)

WT

x

Lx

( ) ?, =txλET

0=x Lxx =

Wq Eq

O


Página 70

Las soluciones analíticas de la temperatura y de la conductividad térmica en el medio

sólido, están dadas por Yeung W. y Lam T. (1995). Por lo tanto, se tiene lo siguiente:

( ) ( )xSenetxT t ππ 22, −= (5.4)

CmW °= /2λ (5.5)

sujetos a: 0>,0 tLxx ≤≤

Como se dispone de la solución analítica de la conductividad térmica, se realiza una

comparación cuantitativa punto a punto. La Tabla 5.1 muestra los resultados de la solución

analítica y numérica cuando se considera 11 puntos o nodos.


térmica constante.

x (m)

S. Analítica (W/m°C)

S. �umérica (W/m°C)

Error Relativo %

0.00 2.00 1.97 1.18

0.10 2.00 2.02 1.18

0.20 2.00 1.97 1.18

0.30 2.00 2.02 1.18

0.40 2.00 1.97 1.18

0.50 2.00 2.02 1.18

0.60 2.00 1.97 1.18

0.70 2.00 2.02 1.18

0.80 2.00 1.97 1.18

0.90 2.00 2.02 1.18

1.00 2.00 1.97 1.18

En la Tabla 5.1 se puede observar el error relativo entre la solución analítica y la

solución numérica (franja sombreada), de ello, el máximo error relativo encontrado es de

1.18%. Mientras que Yeung W. y Lam T. (1995) reportaron un valor de 12.87% para el

mismo número de nodos.

El error relativo se calcula con la siguiente fórmula:

100

.

..x

AnalíticaS

�uméricaSAnalíticaSAbsrelativoError

−=

(5.6)


Página 71

En la Figura 5.2 se muestra la comparación cualitativa de la conductividad térmica

analítica con la obtenida con el código numérico desarrollado.

Figura 5.2.-Distribución de la conductividad térmica constante en un medio sólido unidimensional

cuando t=0.2 s.

Se observa en la Figura 5.2 que las distribuciones de la conductividad térmica

constante son similares, es decir, la solución analítica y la obtenida con el código numérico

desarrollado cualitativamente son semejantes entre sí.

5.1.1.2 Conductividad térmica dependiente del espacio.


( ) ( )23, −= xtxTi (5.7)


( ) t

W etq −−= 54,0 (5.8) ( ) t

E etLxT −= 4, (5.9)



( ) ( ) textxT −−= 23, (5.10)

x (m)

λ (W

/m°C

)


Página 72

( ) ( )23−= xxλ (5.11)


La Tabla 5.2 muestra la comparación cuantitativa de los resultados analíticos y

numéricos cuando se considera 11 puntos o nodos.


térmica dependiente del espacio.

x

(m)

S. Analítica

(W/m°C)

S. �umérica

(W/m°C)

Error

Relativo %

0.00 9.00 9.00 0.02

0.10 8.41 8.41 0.03

0.20 7.84 7.84 0.03

0.30 7.29 7.29 0.03

0.40 6.76 6.76 0.04

0.50 6.25 6.25 0.04

0.60 5.76 5.76 0.05

0.70 5.29 5.29 0.06

0.80 4.84 4.84 0.07

0.90 4.41 4.41 0.08

1.00 4.00 4.00 0.09

En la Tabla 5.2 se puede observar el error relativo entre la solución analítica y la

solución numérica, donde, el máximo error relativo encontrado es de 0.09%. Mientras que

Yeung W. y Lam T. (1995) reportaron un valor de 0.96% para el mismo número de nodos.


analítica con la obtenida con el código numérico desarrollado. Se observa en la Figura 5.3

que las distribuciones de la conductividad térmica son muy similares, es decir, la solución

analítica reportada por los autores y la obtenida con el código numérico desarrollado,

cualitativamente son semejantes entre sí.


Página 73

Figura 5.3.-Distribución de la conductividad térmica dependiente del espacio en un medio sólido

unidimensional cuando t=0.2 s.

5.1.1.3 Conductividad térmica dependiente de la temperatura.


( ) ( )xSentxTi π=, (5.12)


( ) CtTW °= 0,0 (5.13) ( ) ( )LxSenetLxT t

E π−=, (5.14)



( ) ( )xSenetxT t π−=, (5.15)

( ) ( )[ ]txTT ,15.0 +=λ (5.16)


Como se dispone de la solución analítica de la conductividad térmica, se realiza una

comparación cuantitativa punto a punto. La Tabla 5.3 muestra los resultados de la solución

analítica y numérica al considerar 11 puntos o nodos. En dicha tabla se observa que el

máximo error relativo encontrado entre la solución analítica y la solución numérica es de

0.32%. Además, en la Figura 5.4 se muestra la comparación cualitativa de la conductividad

x (m)

λ (W

/m°C

)


Página 74

térmica analítica con la reportada por Yeung W. y Lam T. (1995) y posteriormente, con la

obtenida con el código numérico desarrollado.

Tabla 5.3.-Comparacion de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad

térmica dependiente de la temperatura.

x

(m)

S. Analítica

(W/m°C)

S. �umérica

(W/m°C)

Error

Relativo %

0.00 0.50 0.50 0.12

0.10 0.54 0.54 0.16

0.20 0.58 0.58 0.13

0.30 0.62 0.62 0.02

0.40 0.66 0.65 0.31

0.50 0.69 0.69 0.01

0.60 0.73 0.73 0.28

0.70 0.76 0.76 0.32

0.80 0.79 0.79 0.07

0.90 0.82 0.82 0.08

1.00 0.84 0.84 0.12

(a) x (m)

λ (W

/m°C

)


Página 75

(b) Figura 5.4.-Distribución de la conductividad térmica dependiente de la temperatura en un medio

sólido unidimensional cuando t=0.2 s: (a) Conductividad térmica reportada por Yeung W.

y Lam T. (1995) y, (b) Conductividad térmica obtenida con el código numérico desarrollado.

Se observa en la Figura 5.4 que las distribuciones de la conductividad térmica son muy

similares cuando t=0.2 s.

En este mismo problema inverso, Yeung W. y Lam T. (1995) determinaron la

conductividad térmica del medio sólido en diferentes tiempos, para demostrar que los

resultados que obtuvieron no pierden estabilidad a medida que pasa el tiempo. Esto con el

fin de comprobar la exactitud del método que dichos autores desarrollaron. Además,

graficaron sus resultados para observar cómo evoluciona o cambia la conductividad térmica

dependiente de la temperatura a medida que transcurre el tiempo.

A continuación, se determina la conductividad térmica en los mismos tiempos que

dichos autores lo realizaron, es decir, se determina la conductividad térmica cuando el

tiempo es igual a t=0.05 y 0.01 s. Además, se verifican los resultados obtenidos con los

analíticos y con los reportados por los autores antes mencionados.

x (m)

λ (W

/m°C

)


Página 76

La Tabla 5.4 muestra los resultados de la solución analítica y numérica al considerar

11 puntos o nodos cuando t=0.05 s. Mientras que la Tabla 5.5 muestra los resultados de la

conductividad térmica cuando t=0.1 s.


térmica dependiente de la temperatura cuando t=0.05 s.

x

(m)

S. Analítica

(W/m°C)

S. �umérica

(W/m°C)

Error

Relativo %

0.00 0.50 0.50 0.34 0.10 0.54 0.55 0.14 0.20 0.59 0.59 0.12 0.30 0.64 0.64 0.01 0.40 0.68 0.69 0.29 0.50 0.73 0.73 0.07 0.60 0.77 0.76 0.35 0.70 0.80 0.80 0.74 0.80 0.84 0.84 0.06 0.90 0.87 0.87 0.02 1.00 0.90 0.90 0.03


térmica dependiente de la temperatura cuando t=0.1 s.

x

(m)

S. Analítica

(W/m°C)

S. �umérica

(W/m°C)

Error

Relativo %

0.00 0.50 0.50 0.23 0.10 0.54 0.54 0.16 0.20 0.59 0.59 0.26 0.30 0.63 0.63 0.18 0.40 0.67 0.67 0.48 0.50 0.71 0.71 0.05 0.60 0.75 0.75 0.06 0.70 0.79 0.79 0.11 0.80 0.82 0.82 0.22 0.90 0.85 0.85 0.01 1.00 0.88 0.88 0.03

En la Tabla 5.4 se puede observar que el máximo error relativo encontrado es de

0.74%. Mientras que en la Tabla 5.5 el máximo error relativo encontrado es de 0.48%.


Página 77

Además, en la Figura 5.5 se muestra la comparación cualitativa de la conductividad térmica

analítica con la reportada por Yeung W. y Lam T. (1995) y posteriormente, con la obtenida

con el código numérico desarrollado en los diferentes tiempos.

(a)

(b)

Figura 5.5.-Distribución de la conductividad térmica dependiente de la temperatura en un medio

sólido unidimensional cuando t=0.05, 0.1 y 0.2 s: (a) Conductividad térmica reportada

por Yeung W. y Lam T. (1995) y, (b) Conductividad térmica obtenida con el código

numérico desarrollado.

t=0.2 s

t=0.1 s

t=0.05 s

x (m)

λ (W

/m°C

) λ

(W/m

°C)

x (m)


Página 78


similares, es decir, la solución reportada por los autores y la obtenida con el código

numérico desarrollado, cualitativamente son semejantes entre si y a la solución analítica

cuando t=0.05, 0.1 y 0.2 s.

5.1.2 Verificación del código numérico desarrollado con los resultados reportados

por Chang C. y Chang M. (2006).

Para continuar con la verificación del código numérico desarrollado en el sistema

unidimensional cartesiano, los resultados obtenidos se compararon con los resultados

reportados en el trabajo de Chang C. y Chang M. (2006). Estos autores utilizaron el método

inverso numérico (volúmenes finitos) para determinar la conductividad térmica de un

medio sólido unidimensional, no homogéneo y en estado transitorio. Para lograr lo anterior,

los autores desarrollaron un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial a partir de la

ecuación de conducción de calor. Reportaron tres casos: dos casos de conductividad

térmica dependiente del espacio y un caso de conductividad térmica dependiente de la

temperatura.

A continuación, se presenta dos de los tres casos reportados por los autores para poder

verificar el código numérico desarrollado. El planteamiento general del problema inverso

unidimensional cartesiano, es el mismo que se mencionó al inicio de este Capítulo de

verificación, al igual que el modelo físico que se observó en la Figura 5.1. Por lo tanto, solo

es necesario mencionar las condiciones a los que están sujetos los diferentes problemas

inversos para determinar la conductividad térmica.

5.1.2.1 Conductividad térmica dependiente del espacio.


( ) CtxTi °= 0, (5.17)


( ) t

W tetT−= 36.0,0 (5.18)

( ) t

E tetLxT −= 16.0, (5.19)


Página 79


sólido, están dadas por Chang C. y Chan M. (2006). Por lo tanto, se tiene lo siguiente:

( ) ( ) ttextxT

−−= 26.0, (5.20)

( ) 2)3.0(425.01, −−+= xtetxλ (5.21)


La Tabla 5.6 muestra los resultados de la solución analítica y numérica cuando se

considera 11 puntos o nodos.


térmica dependiente del espacio.

x

(m)

S. Analítica

(W/m°C)

S. �umérica

(W/m°C)

Error

Relativo %

0.00 1.17 1.17 0.25

0.10 1.21 1.21 0.21

0.20 1.24 1.23 0.21

0.30 1.25 1.25 0.23

0.40 1.24 1.23 0.12

0.50 1.21 1.21 0.24

0.60 1.17 1.17 0.09

0.70 1.13 1.13 0.18

0.80 1.09 1.09 0.04

0.90 1.06 1.05 0.14

1.00 1.03 1.03 0.08

En la Tabla 5.6 se aprecia que el máximo error relativo encontrado entre la solución

analítica y numérica es de 0.25%. Mientras que Chang C. y Chang M. (2006), reportaron un

valor de 0.67% para el mismo número de nodos. Además, en la Figura 5.6 se muestra la

comparación cualitativa de la conductividad térmica analítica con la obtenida con el código

numérico desarrollado.


Página 80

Figura 5.6.-Distribución de la conductividad térmica dependiente del espacio en un medio sólido

unidimensional cuando t=0.2 s.

Al observa la Figura 5.6, se aprecia que las distribuciones de la conductividad térmica

dependiente del espacio son muy parecidas, a pesar de que existe un porcentaje de error

relativo, como se mostro en la Tabla 5.6.

5.1.2.2 Conductividad térmica dependiente de la temperatura.


( ) ( )8.0, −= xCostxTi π (5.22)


( ) ( )8.0,02

−= − ππ CosetT t

W (5.23)

( ) ( )2.0,2

ππ CosetLxT t

E

−= (5.24)


sólido, están dadas por Chang C. y Chang M. (2006). Por lo tanto, se tiene lo siguiente:

( ) ( )8.0,2

−= − xCosetxT t ππ (5.25)

( ) ( )txTT

,1

1

−=λ (5.26)


x (m)

λ (W

/m°C

)


Página 81

En este problema inverso particular, los autores Chang C. y Chan M. (2006) además

de determinar la conductividad térmica dependiente de la temperatura cuando el tiempo es

igual a t=0.2 s, también reportaron en su trabajo de investigación los resultados que

obtuvieron cuando t=0.05, 0.1 y 0.3 s. Por lo tanto, para la verificación del código numérico

desarrollado, se determina la conductividad térmica dependiente de la temperatura en los

mismos tiempos que dichos autores lo realizaron.

La Tabla 5.7 muestra la comparación cuantitativa de los resultados analíticos y

numéricos al considerar 11 nodos, cuando el tiempo es igual a t=0.05, 0.1, 0.2 y 0.3 s.


térmica dependiente de la temperatura: (a) Cuando el tiempo es igual a t=0.05 y

0.1 s y, (b) Cuando el tiempo es igual a t=0.2 y 0.3s.

x

(m)

t=0.05 s t=0.1 s

S. Analítica S. �umérica S. Analítica S. �umérica

(W/m°C) (W/m°C) (W/m°C) (W/m°C)

0.00 0.64 0.60 0.75 0.71

0.10 0.74 0.68 0.78 0.77

0.20 0.83 0.79 0.83 0.79

0.30 0.91 0.93 0.91 0.90

0.40 1.01 1.00 1.03 1.01

0.50 1.18 1.18 1.18 1.17

0.60 1.50 1.45 1.35 1.31

0.70 1.99 1.97 1.51 1.50

0.80 2.38 2.32 1.59 1.55

0.90 2.41 2.37 1.59 1.58

1.00 2.19 2.15 1.49 1.45

Máximo

Error % -------------- 7.57 --------------- 5.12

(a)


Página 82

x

(m)

t=0.2 s t=0.3 s

S. Analítica S. �umérica S. Analítica S. �umérica

(W/m°C) (W/m°C) (W/m°C) (W/m°C)

0.00 0.89 0.85 0.95 0.91

0.10 0.90 0.86 0.96 0.96

0.20 0.93 0.92 0.97 0.93

0.30 0.97 0.98 0.99 0.98

0.40 1.0 0.99 1.01 0.97

0.50 1.07 1.10 1.02 1.02

0.60 1.11 1.10 1.04 1.03

0.70 1.15 1.14 1.05 1.06

0.80 1.16 1.15 1.05 1.03

0.90 1.16 1.16 1.05 1.04

1.00 1.14 1.12 1.05 1.04

Máximo

Error % -------------- 4.84 --------------- 4.74

(b)

En la Tabla 5.7 se puede observar el máximo error relativo entre la solución analítica y

la solución numérica en cada tiempo. Por lo tanto, el máximo error relativo encontrado

cuando el tiempo es igual a t=0.05 s es de 7.57%. Cuando el tiempo es igual a t=0.1 s el

máximo error relativo es de 5.12%, cuando t=0.2 s el máximo error relativo es de 4.84% y

por último, cuando t=0.3 s el máximo error relativo es de 4.74%. Mientras que Chang C. y

Chang M. (2006), reportaron un valor de 9.78% cuando el tiempo es igual a t=0.2 s. Como

es de esperar, el valor del error relativo disminuye a medida que transcurre el tiempo. El

motivo de este cambio es porque la conductividad térmica dependiente de la temperatura, a

medida que pasa el tiempo, alcanza su estado estable o permanente.


analítica con la reportada por Chang C. y Chang M. (2006) y posteriormente, con la

obtenida con el código numérico desarrollado en los diferentes tiempos que se

mencionaron.


Página 83

(a)

(b)

Figura 5.7.-Distribución de la conductividad térmica dependiente de la temperatura en el medio

sólido unidimensional cuando t=0.05, 0.1, 0.2 y 0.3 s : (a) Conductividad térmica

reportada por Chang C. y Chang M. (2006) y, (b) Conductividad térmica obtenida con

el código numérico desarrollado.

t=0.05 s

t=0.1 s

t=0.2 s

t=0.3 s

x (m)

λ (W

/m°C

) λ

(W/m

°C)

x (m)


Página 84


similares, es decir, la solución reportada por los autores y la obtenida con el código

numérico desarrollado, cualitativamente son semejantes entre si y a la solución analítica

cuando t=0.05, 0.1, 0.2 y 0.3 s. Además, se puede observar cómo evoluciona o cambia la

conductividad térmica dependiente de la temperatura a medida que transcurre el tiempo.

Como se pudo apreciar, todos los resultados que se presentaron se asemejan a los

resultados analíticos y/o a los resultados reportados por los autores que se mencionaron. Por

lo tanto, una vez finalizada la verificación, se concluye que el código numérico

unidimensional cartesiano que se desarrolló se encuentra libre de errores de programación y

que el método inverso numérico que se utiliza para el estudio de este tema investigación

obtendrá resultados confiables.

5.2 ESTUDIO DE I�DEPE�DE�CIA DE MALLA E� EL ESPACIO Y

TIEMPO.

En este apartado se muestra la diferencia de los resultados obtenidos al variar el

tamaño de la malla (n) y el paso del tiempo (∆t). Para demostrar lo anterior, se escoge el

caso en el cual hay que determinar la conductividad térmica en un medio sólido compuesto

de tres materiales diferentes, el cual está sujeto al sistema cilíndrico bidimensional. Este

caso seleccionado para el estudio de independencia de malla en el espacio y tiempo,

representa las tres situaciones en que puede variar o no la conductividad térmica, es decir:

conductividad térmica constante, conductividad térmica dependiente del espacio y

conductividad térmica dependiente de la temperatura. Se eligió este caso porque se

considera que es el comportamiento más inestable de la distribución de la conductividad

térmica en el presente tema de investigación. Cabe mencionar que los valores de los

parámetros restantes son casos extremos, es decir, la diferencia entre el radio y la longitud

del cilindro sólido compuesto es alta, además, se considero temperaturas altas y bajas en las

fronteras.


Página 85

Las mallas utilizadas para el estudio son n=10x10, 40x40, 70x70 y 100x100 nodos, es

decir, con incrementos de 30 nodos computacionales tanto en la dirección radial (r) como

en la dirección longitudinal (z), respectivamente. Mientras que los pasos de tiempo

utilizados son: ∆t=0.1, 0.05 y 0.01s.

*Determinación de la conductividad térmica en un cilindro sólido compuesto

bidimensional.

El planteamiento del problema inverso es como sigue: un cilindro sólido fabricado con

tres materiales diferentes λ1, λ2, y λ3, se encuentra sujeto a las condiciones de frontera que

se muestra en la Figura 5.8. Determinar la distribución de la conductividad térmica en el

cilindro sólido compuesto cuando alcance el estado permanente. Considere Cp=1 cal/kg°C

y ρ=1 kg/m3.

Figura 5.8.- Modelo físico del sistema compuesto cilíndrico.

donde:

*Radio y longitud, respectivamente:

Lr=0.5 m, Lz=1.5 m (Z1=Lz/3, Z2= 2Z1) (5.27)

r

ST r= Lr

z

Z1

z=Lz

Lr

ET

( ) ?,,3 =Tzrλ

�T

Z2

Material

3

Material

2

Material

1

Interfaces

?2 =λ

( ) ?,,1 =Tzrλ

Lz

�T

ST

ET

r=0

z=0

O


Página 86

*Condición inicial ( ,<0 Lrr ≤ ,0 Lzz ≤≤ t = 0)

( ) ( ) 5.0,, ES�i TTTtzrT ++= (5.28)

*Condiciones de frontera (t ˃ 0)

( ) CzLrTE °= 160, (5.29)

( ) CrTS °= 3500, (5.30)

( ) CLzrT� °= 5, (5.31)

*Conductividad térmica ( ,<0 Lrr ≤ t ˃ 0):

5.0),,(1),,(1 tzrTzrTzr +++=λ

sujeto a: 1 0 zz ≤≤ (5.32a)

CmW °= /2.502λ

sujeto a: 21 << zzz (5.32b)

),,()5.0(),,(3 tzrTzrTzr ++=λ

sujeto a: Lzzz ≤≤2 (5.32c)

Figura 5.9.-Línea donde se desea conocer la distribución de la conductividad térmica

para el estudio de independencia de malla en el espacio y tiempo.

La Figura 5.9 muestra la línea A en la cual se desea conocer la distribución de la

conductividad térmica para el estudio de la independencia de malla en el espacio y tiempo.

A r

z

Material sintético 1

Material sintético 2

Acero

Lr

2

O


Página 87

Como se observa, la línea A se encuentra en el centro de la dirección radial para observar el

comportamiento de la conductividad térmica en las interfaces del medio sólido compuesto.

5.2.1 Independencia de malla en el espacio.

A continuación, se muestra la distribución de la conductividad térmica obtenida en la

línea A, la cual está sujeta a las diferentes mallas. Se considera un paso de tiempo

∆t=0.01 s.

(a) (b)

(c)

Figura 5.10.-Distribuciones de la conductividad térmica en la línea A del cilindro sólido compuesto,

cuando está sujeta a diferentes mallas: (a) t=0.02 s, (b) t=0.70 s y (c) t=1.50 s (estado

permanente).

z (m) z (m)

λ (W

/m°C

)

λ (W

/m°C

)

z (m)

λ (W

/m°C

)

Interfaces


Página 88

En la Figura 5.10 se observa cómo cambia la distribución de la conductividad térmica

en el medio sólido compuesto, a medida que el tamaño de la malla incrementa.

Como se dispone de la solución analítica de la conductividad térmica, ver ecuaciones

(5.32), en la Tabla 5.8 se muestra el máximo error relativo de la distribución de la

conductividad térmica obtenida en la línea A, cuando está sujeta a las diferentes mallas a

medida que transcurre el tiempo.

Tabla 5.8.-Máximo error relativo en la línea A cuando ∆t=0.01 s

Malla

(n)

Máximo Error Relativo %

t=0.02 s t=0.70 s t=1.50 s

10x10 27.98 23.98 22.27 40x40 12.97 6.29 1.89 70x70 11.71 1.13 1.80x10-3

100x100 11.07 6.81x10-3 8.70x10-4

Al observar la Figura 5.10a, b y c, se aprecia que a medida que el tiempo alcanza el

estado permanente (t=1.50 s), las distribuciones de la conductividad térmica son más

estables. Este comportamiento se aprecia más cuando se comparan los valores máximos de

los errores relativos de la Tabla 5.8. Por ejemplo, el máximo error relativo encontrado en la

malla n=40x40 nodos cuando t=0.02 s, es mayor cuando se compara con el máximo error

relativo encontrado en t=1.50 s para la misma malla. Por lo tanto, en la Tabla 5.8 se

observa que la malla n=10x10 nodos cuando t=0.02 s, es la que presenta el mayor de todos

los máximos errores relativos (27.98%). Por el contrario, la malla n=100x100 nodos

cuando t=1.50 s, es la que presenta el menor de todos los máximos errores relativos

(8.70x10-4). En otras palabras, en la Tabla 5.8 se observa que al aumentar el tamaño de la

malla a medida que transcurre el tiempo, los resultados numéricos obtenidos de la

conductividad térmica son más exactos, es decir, presentan menor error relativo cuando se

comparan con los resultados analíticos. Entonces, es posible utilizar una malla n ≥ 70x70

nodos (la diferencia entre las mallas n=70x70 y n=100x100 nodos es aproximadamente

9.30x10-4 cuando t=1.50 s) para obtener la distribución numérica de la conductividad

térmica en todo el dominio del cilindro sólido compuesto, porque a partir de este tamaño de

malla, la diferencia de los resultados obtenidos es insignificante.


Página 89

5.2.2 Independencia de malla en el tiempo.

Se eligieron tres pasos de tiempos ∆t=0.1, 0.05 y 0.01s para obtener la distribución de

la conductividad térmica en la línea A de la Figura 5.9. Se considera una malla n=100x100

nodos. A continuación, se realiza lo mencionado.

(a) (b)

(c)

Figura 5.11.-Distribuciones de la conductividad térmica en la línea A para los diferentes

pasos de tiempo: (a) t=0.02 s, (b) t=0.7 s y (c) t=estado permanente.

En la Figura 5.11 se observa el comportamiento de la distribución de la conductividad

térmica en la línea A. La Tabla 5.9 muestra el máximo error relativo encontrado en la

distribución de la conductividad térmica en cada uno de los diferentes pasos de tiempo.

z (m) z (m)

z (m)

λ (

W/m

°C)

λ (W

/m°C

)

λ (W

/m°C

)

Interfaces


Página 90

Tabla 5.9.-Máximo error relativo encontrado en la línea A, en los

diferentes pasos del tiempo.

∆t

(s)

Máximo Error Relativo %

t=0.02 s t=0.70 s t=Estado P.

0.1 41.03 21.20 9.17

0.05 12.49 7.02x10-3 9.51x10-4

0.01 11.07 6.81x10-3 8.70x10-4

En la Tabla 5.9 se observa que la distribución de la conductividad térmica presenta

menor error relativo a medida que alcanza su estado permanente. Es importante mencionar

que el valor del tiempo permanente depende del criterio de convergencia que se considera

en el código numérico desarrollado, es decir, al cambiar el criterio de convergencia el

tiempo permanente resultante puede ser mayor o menor al que se obtuvo en este caso (el

criterio de convergencia se mencionó en la capitulo anterior). Además, se observa que el

error relativo obtenido al utilizar un paso de tiempo ∆t=0.1 s (por ejemplo en t=0.70 s), es

mayor comparado con los otros pasos de tiempo considerados. Por lo tanto, entre más

pequeño sea el paso del tiempo, menor será el error relativo entre la solución analítica y la

numérica. De acuerdo a la Tabla 5.9, se puede utilizar un paso de tiempo ∆t=0.01 s, porque

a partir de este valor la malla es independiente del paso del tiempo.

Retornando a la Figura 5.11c, el comportamiento de la distribución de la línea A es

peculiar, porque es en esta línea donde se puede apreciar el cambio abrupto de la

conductividad térmica, es decir, al pasar del material ( )Tzr ,,1λ (dependiente del

espacio y de la temperatura) al material 2λ (constante) y después al material

( )Tzr ,,3λ (dependiente del espacio y de la temperatura). Además, en las interfaces no

se presentan anomalías, porque las ecuaciones (4.31) del Capítulo 4 están funcionando

correctamente en el código numérico compuesto desarrollado. Lo anterior se debe a que las

ecuaciones (4.31) están amortiguando el cambio brusco de la conductividad térmica.

En la Figura 5.12 se observa la distribución de la conductividad térmica en todo el

dominio bidimensional del cilindro sólido compuesto, cuando alcanza el estado

permanente.


Página 91

Figura 5.12.-Distribución de la conductividad térmica en el cilindro sólido

compuesto cuando alcanza el estado permanente.

En conclusión, una malla espacial de 100x100 nodos computacionales y con un paso de

tiempo ∆t=0.01 s, son suficientes para realizar el análisis de los problemas que se presentan

en esta tesis.

λ

r (m)

z(m

)

Capítulo 6 RESULTADOS

Página 92


En este Capítulo se presenta los resultados obtenidos al momento de resolver los

problemas inversos de conducción de calor. En estos resultados se aprecia el

comportamiento de la conductividad térmica en todo el dominio del sistema bajo estudio.

Este comportamiento puede ser constante, dependiente del espacio y dependiente de la

temperatura.

RESULTADOSRESULTADOSRESULTADOSRESULTADOS


Página 93

La principal ventaja de una técnica numérica, es que se pueden variar los parámetros

que intervienen directamente en el comportamiento del fenómeno físico que se estudia. Con

esto se puede observar la contribución de los parámetros sobre el fenómeno físico.

A continuación, se presentan los resultados que se obtienen al resolver los problemas

inversos, los cuales están sujetos a diversas condiciones, con la finalidad de mostrar el

alcance de los códigos numéricos desarrollados. Cabe mencionar que la conductividad

térmica en todo el dominio del sistema puede ser: constante, dependiente del espacio y

dependiente de la temperatura. En la Tabla 6.1 se aprecia mejor los casos que se

resolvieron.

Tabla 6.1.-Casos resueltos para determinar la conductividad térmica.

Dependencia de la

conductividad

térmica (λ)

Medios simples

Medios compuestos

Sistema

cartesiano

Sistema

cilíndrico

Sistema

cartesiano

Sistema

cilíndrico

1D 2D 1D 2D 2D 2D

Constante √ √ √ √ √

Dependiente

del espacio

√

√ √ √

Dependiente de

la temperatura

√ √ √ √ √

Para los casos en donde la conductividad térmica es constante, los materiales que se

utilizaron para resolver el problema inverso fueron seleccionados con el propósito de

abarcar el amplio intervalo de las conductividades térmicas de los materiales sólidos. En la

Tabla 6.2 se aprecia lo mencionado.


Página 94

Tabla 6.2.-Conductividad térmica de algunos materiales sólidos.

Material λ(W/m°C)

Asbesto 0.58

Baquelita 1.40

Plomo 35.30

Hierro 147.0

Cobre 401.0

Plata 429.0

Para los casos en donde la conductividad térmica es dependiente del espacio, se eligió

dos tipos de dependencia espacial. Estas son: dependencia lineal y dependencia sinusoidal.

Cuando la conductividad térmica es dependiente de la temperatura, se utilizaron bajas

y altas temperaturas en las fronteras, con la finalidad de observar el comportamiento de la

conductividad térmica en todo el dominio del sistema cuando está sujeto a cambios bruscos

de temperatura.

En este Capítulo los datos de la distribución de la temperatura de entrada para el

problema inverso se obtienen de dos formas: analíticamente o numéricamente.

1.-Cuando la distribución de la temperatura de entrada se obtiene de forma analítica,

simplemente se plantea el problema inverso para determinar la conductividad térmica

del medio sólido. Por lo general, cuando se dispone de la solución analítica de la

temperatura, también se tiene la solución analítica de la conductividad térmica. Esto con

el fin de comprobar la exactitud del método inverso utilizado.

2.-Cuando la distribución de la temperatura de entrada se obtiene de forma numérica,

primero es necesario plantear el problema directo cuya solución numérica se obtiene

aplicando el Método de Volúmenes Finitos (MVF). A continuación, se plantea el

problema inverso a partir de este dato (distribución de temperatura) y se supone

desconocido una parte del enunciado del problema directo (conductividad térmica), se

procede a su determinación y se comprueba la exactitud del método inverso al

compararlo con la solución exacta que se dio como conocida en el problema directo.


Página 95

6.1 RESULTADOS DE LOS PROBLEMAS I�VERSOS E�

COORDE�ADAS CARTESIA�AS.

Los resultados que a continuación se presentan, corresponden a una placa sólida

unidimensional, bidimensional y compuesta en coordenadas cartesianas. Dichos resultados

se presentan en estado permanente cuando la conductividad térmica es constante o

dependiente del espacio. Sin embargo, cuando la conductividad térmica es dependiente de

la temperatura, los resultados se presentan en distintos tiempos con la finalidad de observar

la evolución de la conductividad térmica a medida que transcurre el tiempo.

6.1.1 Sistema unidimensional (x).

El sistema que se considera consiste en una placa unidimensional, ,0 Lxx ≤≤ con una

distribución de temperatura que varía con la distancia. El modelo físico se aprecia en la

Figura 5.1. Las condiciones para cada uno de los problemas cuando el tiempo t ≥ 0 son las

siguientes:

6.1.1.1.-Conductividad térmica constante.


( ) ( )xCostxTi π=, (6.1)


( ) CtTW °=10,0 (6.2)

( ) CtLxTE °= 5, (6.3)

La solución de la temperatura de entrada se obtiene de forma analítica, además, se

conoce el valor de la conductividad térmica de la placa unidimensional. Esto es:

( ) ( )xCosetxT t ππ 22, −= (6.4)

CmW °= /40.1λ

(6.5)


considere: �t= 0.01 s, Lx=0.80 m, Cp=1.0 cal/kg°C y ρ=1.0 kg/m3.

(Baquelita)


Página 96

El resultado del primer problema inverso unidimensional cartesiano, se muestra en la

Figura 6.1.

Figura 6.1.- Conductividad térmica constante de la placa unidimensional cartesiana.

En la Figura 6.1 se aprecia el comportamiento de la distribución de la conductividad

térmica, cuando la placa unidimensional está sometida a condiciones de primera clase en

sus fronteras. Al comparar cuantitativamente la solución numérica con el valor exacto, se

determina que el máximo error relativo encontrado es de 3.27x10-5

%. Por último, se

menciona que el sistema alcanza el estado permanente cuando el tiempo es igual a t=0.36 s.

6.1.1.2.-Conductividad térmica dependiente del espacio.


( ) ( ) 5.0, Ei TtxT = (6.6)


( ) 2/5,0 mWtqW = (6.7)

( ) CtLxTE °= 10, (6.8)

La solución de la temperatura de entrada se obtiene de forma numérica y se dispone de

la solución analítica de la conductividad térmica de la placa unidimensional. Esto es:

( ) ( ) ( )[ ]5.02 +++= xxxλ (6.9)

sujeto a: 0>,0 tLxx ≤≤

considere: �t= 0.01 s, Lx=1.0 m, Cp=0.1 cal/kg°C y ρ=0.1 kg/m3.

λ (

W/m

°C)

x (m)


Página 97

En la Figura 6.2 se aprecia el comportamiento de la distribución de la conductividad

térmica dependiente del espacio, cuando la placa unidimensional está sometida a

condiciones de primera y segunda clase en sus fronteras.

Figura 6.2.- Conductividad térmica dependiente del espacio de la placa unidimensional cartesiana.

Como se observa, el valor de la conductividad térmica dependiente del espacio

aumenta de manera lineal conforme se incrementa la dimensión del sistema. El

comportamiento de este fenómeno físico se debe principalmente a la relación lineal de la

conductividad térmica con el espacio, ver Ecuación (6.9). Al comparar cuantitativamente la

solución numérica con la solución analítica, se determina que el máximo error relativo

encontrado es de 0.16%. El sistema alcanza el estado permanente cuando el tiempo es igual

a t=1.30 s.

6.1.2 Sistema bidimensional (x, y).

El planteamiento del problema inverso es como sigue: se desea determinar la

distribución de la conductividad térmica (λ) de una placa sólida ( ,0 Lxx ≤≤ Lyy ≤≤0 ).

Las fronteras del sistema están sujetas a condiciones de primera o segunda clase, como se

muestra en la Figura 3.1. Las condiciones para cada uno de los problemas cuando el tiempo

t ≥ 0 son las siguientes:

x (m)

λ (

W/m

°C)


Página 98


*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ ,0 Lyy ≤≤ t = 0):

( ) )(2,, ES�i TTTtyxT ++= (6.10)


( ) CtLyxT� °= 10,, (6.11)

( ) CtxTS °= 20,0, (6.12)

( ) CtyLxTE °= 5,, (6.13)

( ) 2/2.1,,0 mWtyqW = (6.14)

La solución de la temperatura de entrada se obtiene de forma numérica y se conoce el

valor de la conductividad térmica de la placa sólida bidimensional. Por lo tanto, se tiene lo

siguiente:

CmW °= /0.147λ (6.15)

sujeto a: ,0 Lxx ≤≤ ,0 Lyy ≤≤ t ˃ 0

considere: �t= 0.01 s, Lx=0.5 m, Ly=0.5 m, Cp= 1.0 cal/kg°C y ρ=1.0 kg/m3.

En la Figura 6.3 se observa el comportamiento constante de la conductividad térmica a

lo largo de toda la geometría de la placa sólida bidimensional.

Figura 6.3.- Distribución de la conductividad térmica constante en la placa bidimensional.

(Hierro)

x (m)

λ

y(m

)


Página 99

El máximo error relativo encontrado entre la solución numérica y el valor exacto de la

conductividad térmica es de 8.21x10-3

%. El sistema alcanza el estado permanente en un

tiempo de t=0.90 s.

6.1.2.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura.

*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ ,0 Lyy ≤≤ t = 0):

( ) )(5.0,, WES�i TTTTtyxT +++= (6.16)


( ) CtLyxT� °= 80,, (6.17)

( ) CtxTS °= 40,0, (6.18)

( ) CtyLxTE °= 40,, (6.19)

( ) CtyTW °= 40,,0 (6.20)

La solución propuesta de la distribución de la temperatura de entrada, se obtuvo al

resolver de forma analítica la ecuación de conducción de calor en coordenadas cartesianas

(x, y), en estado permanente y sin generación de calor. Para lograr lo anterior, se utilizo el

método se separación de variables. Por lo tanto, las soluciones analíticas de la temperatura

y de la conductividad térmica en la placa sólida bidimensional, son las siguientes:

( ) ( ) ( )∑∞

=

−

−−+=1

112,

n

�S

n

E TTLx

xnsen

Lx

Lynsenh

Lx

ynsenh

nTyxT

ππ

π

π (6.21)

( ) ( )

+++=

y

yxTxT

2

,5.0λ (6.22)

sujetos a: ,0 Lxx ≤≤ Lyy ≤≤0

considere: Lx=1.0 m, Ly=1.0 m, Cp= 1.0 cal/kg°C y ρ=1.0 kg/m3.

Como se observa, la solución analítica de la temperatura se encuentra en estado

permanente, por lo tanto, la distribución obtenida de la conductividad térmica en la placa

sólida bidimensional (como depende de la temperatura) se encuentra también en estado

permanente. Entonces ¿es posible conocer la distribución de la conductividad térmica en la


Página 100

placa sólida bidimensional, cuando la distribución de la temperatura de entrada se

encuentra en estado permanente?, ¿si es posible, será la solución correcta?

Para contestar las preguntas anteriores, primero se determina numéricamente la

distribución transitoria de la temperatura de entrada. Para verificar la solución numérica

con la solución analítica de la temperatura de entrada, es necesario que la solución

numérica alcance el estado permanente. A continuación, se realiza lo mencionado.

La Tabla 6.3 muestra la comparación cuantitativa de la temperatura numérica con la

temperatura analítica al considerar 50 puntos o nodos (solo se muestran los nodos

relevantes). El código numérico alcanza el estado permanente en t =8.0 s.

Tabla 6.3.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la temperatura.

x

(m)

y

(m)

S. Analítica

(°C)

S. #umérica

(°C)

Error

relativo %

0.00 0.00 40.00 40.00 0.00

0.00 0.01 40.00 40.00 0.00

* * * * *

0.01 0.94 45.00 45.00 1.94x10-4

0.01 0.95 46.22 46.22 2.10x10-3

0.01 0.96 48.17 48.17 0.01

0.01 0.97 51.08 51.08 9.31x10-3

* * * * *

0.52 0.76 62.54 62.54 1.02x10-3

0.52 0.77 63.19 63.19 1.07x10-3

0.52 0.78 63.85 63.85 3.11x10-3

* * * * *

1.00 0.98 40.00 40.00 0.00

1.00 1.00 40.00 40.00 0.00

En la Tabla 6.3 se observa que el máximo error relativo encontrado entre la solución

analítica y la numérica es de 0.01%.

En la Figura 6.4 se muestra la comparación cualitativa de la temperatura numérica con

la temperatura analítica.


Página 101

Figura 6.4.-Comparación de la temperatura numérica obtenida con la analítica.

Se observa en la Figura 6.4 que las distribuciones de temperatura son muy similares.

Por lo tanto, cualitativamente y cuantitativamente las soluciones de la temperatura de

entrada son semejantes. Además, se establece que el método directo (implementado en el

código numérico desarrollado) está operando correctamente.

Ahora, se determina la distribución analítica de la conductividad térmica, usando la

solución analítica de la temperatura de la Ecuación (6.21). Posteriormente, se determina la

distribución numérica de la conductividad térmica introduciéndole la solución numérica de

la temperatura previamente encontrada. Esto con el fin de comparar ambas soluciones. La

Tabla 6.4 muestra la comparación cuantitativa al considerar 50 nodos computacionales

x (m)

y (

m)


Página 102

Tabla 6.4.-Comparación de los resultados numéricos y analíticos de la conductividad térmica.

x

(m)

y

(m)

S. Analítica

(W/m°C)

S. #umérica

(W/m°C)

Error

relativo %

0.00 0.00 20.25 20.25 4.21x10-3

0.00 0.02 20.04 20.04 4.11x10-3

* * * * *

0.35 0.18 20.04 20.04 4.30x10-3

0.35 0.20 20.02 20.02 4.01x10-4

0.35 0.22 20.01 20.01 4.10x10-3

0.35 0.25 20.01 20.01 2.14x10-4

* * * * *

0.95 0.14 19.47 19.47 5.01x10-3

0.95 0.16 19.31 19.31 0.02

0.95 0.18 19.15 19.15 0.01

* * * * *

1.00 0.97 13.93 13.93 2.11x10-4

1.00 1.00 13.83 13.83 7.121x0-3

En la Tabla 6.4 se observa que el máximo error relativo encontrado es de 0.02%.

Además, en la Figura 6.5 se muestra la comparación cualitativa de la conductividad térmica

numérica con la conductividad térmica analítica.

Figura 6.5.-Comparación de la conductividad térmica numérica con la analítica.

x (m)

y (

m)


Página 103

Se aprecia en la Figura 6.5 que las distribuciones de la conductividad térmica son

semejantes cuando ambas soluciones se encuentran en el estado permanente. Entonces, si es

posible determinar la distribución de la conductividad térmica en estado permanente,

siempre y cuando la solución de la temperatura de entrada se encuentre también en estado

permanente.

6.1.3 Sistema compuesto (x, y).

En este caso se desea conocer la distribución de la conductividad térmica (λ) de una

placa sólida rectangular, fabricada con dos o más materiales diferentes que se unen a la

base del mismo material.


Para el primer problema inverso compuesto en el sistema cartesiano, se considera una

placa sólida fabricada con tres materiales diferentes λ1, λ2 y λ3 (baquelita-plomo-hierro,

respectivamente). El modelo físico se observa en la Figura 6.6, el cual está sujeto a

condiciones de frontera de primera clase. Los valores de la conductividad térmica

(baquelita-plomo-hierro) se aprecian en la Tabla 6.2.

Figura 6.6.-Modelo físico de la placa sólida compuesta bidimensional.

1.0 m

0.5 m

0.2 m

0.2 m

0.3 m

1.0 m

x

y

0°C

20°C

30°C

5°C

λ3

λ2

λ1

O


Página 104

En la Figura 6.7 (a) se aprecia el comportamiento constante de la conductividad

térmica de los tres materiales diferentes de la placa solida. Como se esperaba, la zona roja

representa el material de mayor conductividad térmica (hierro). Por el contrario, la zona de

color azul fuerte representa el material de menor conductividad térmica (aislante). Además,

se observa que en las interfaces (donde ocurre el cambio brusco de la conductividad térmica

de un material a otro) el comportamiento es uniforme, o bien, no presenta algún

comportamiento irregular al momento de pasar de un material a otro.

(a)

(b) Figura 6.7.-Comportamiento del fenómeno físico a lo largo de la geometría de la placa

sólida compuesta: a)Conductividad térmica y b)Temperatura.

Interfaces

x (m)

λ

y (

m)

T

x (m)

y

(m

)


Página 105

Por otra parte, en la Figura 6.7 (b) se aprecia la distribución de la temperatura en la

placa sólida, como resultado de los materiales diferentes del que está fabricado. Se observa

que la frontera Sur es la zona más caliente de la placa sólida. Sin embargo, la difusión de la

temperatura de esta zona hacia el resto de la placa solida, es lenta porque precisamente en

esta zona se encuentran los dos primeros materiales cuyas conductividades térmicas son

menores comparadas con el tercer material. Mientras que en la frontera norte, se encuentra

la menor temperatura de la placa sólida, pero su difusión es más rápida a lo largo de toda la

geometría de la placa sólida, porque en esta zona se encuentra el material de mayor


En la Figura 6.8 (a) y (b), se aprecian las distintas distribuciones de la conductividad

térmica constante en la placa sólida compuesta, cuando se altera el orden de los materiales.

Además, se aprecian sus respectivas distribuciones de la temperatura cuando se realiza lo

mencionado. El máximo error relativo encontrado en este caso es de 0.12% cuando t=0.91 s

(estado permanente).

(a)

x (m) x (m)

y (

m)

y

(m

)

T λ


Página 106

70°C

(b)

Figura 6.8.-Distribución de la conductividad térmica-temperatura de la placa sólida

compuesta: a)Hierro-Baquelita-Plomo y b)Plomo-Hierro-Baquelita.


En este caso se considera una placa sólida fabricada con dos materiales sintéticos λ1 y

λ2. El modelo físico se muestra en la Figura 6.9. Prácticamente está sujeto a condiciones de

frontera de primera clase.

Figura 6.9.- Modelo físico del sistema compuesto bidimensional.

y=0

λ T

x (m) x (m)

y

(m

)

y

(m

)

Interface

x=0 Lx=1.0 m

x

80°C 20°C

y

( ) ?,,1 =tyxλ ( ) ?,,2 =tyxλ

40°C

x=Lx/2

Ly=0.5 m


Página 107

Las soluciones exactas de la conductividad térmica en la placa compuesta son:

( ) ( )[ ] ( )yxmtyxTyxT ++++= 0.1,,1λ

(6.23)

( ) ( )[ ] ( )mymtyxTxT 0.12.1,,2 +++=λ

(6.24)

A continuación, en la Figura 6.10 se presenta la solución numérica de la conductividad

térmica. En esta figura se aprecia la evolución de la conductividad térmica en la placa

sólida a medida que transcurre el tiempo.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.10.-Distribución de la conductividad térmica en la placa sólida compuesta:

a) t=0.5 s, b) t=0.9 s, c) t=1.2 s y c) t=1.9 s (Estado Permanente).

En la figura anterior se observa que el material que se encuentra en la parte derecha de

la interface, al principio la conductividad térmica es mayor en la parte central de la placa

sólida, pero a medida que transcurre el tiempo la frontera sur es la que permanece con el

mayor valor de conductividad térmica, es decir, el material 2λ es mejor conductor. El

sistema alcanza el estado permanente cuando t=1.9s.

Interface x (m)

y (

m)

y (

m)

x (m)

y (

m)

y (

m)

x (m) x (m)


Página 108

Como complemento, en la Figura 6.11 (a)-(f) se muestran diversos resultados cuando

alcanzan el estado permanente, obtenidos al resolver el problema inverso compuesto. En la

figura 6.11 (a) y (b) se usan dimensiones de Lx=0.1m y Ly=0.05m, mientras que en la

figura 6.11 (c)-(f) se usan dimensiones de Lx=0.1m y Ly=0.1m. En todos los casos la

condición inicial es de 35°C. Además, en la Tabla 6.5 se muestran las condiciones de

frontera a los cuales están sujetos cada caso y sus respectivas soluciones analíticas de la


Tabla 6.5.-Condiciones de frontera y soluciones analíticas de la conductividad térmica.

Caso

Condiciones de Frontera (°C)

Conductividad térmica (W/m°C)

T# TS TE TW λ1 λ2

a 30 20 10 60 ( )[ ] ( )yxtyxTyx ++++ 0.1,, 2.0

b 40 70 20 80 ( )[ ] ( )yxtyxTyx ++++ 0.1,, ( )[ ] ( )0.10.12,, +++ ytyxTx

c 20 60 40 70 0.01 121.5

d 10 5 40 20 ( )( )[ ] ( )yxeyx +++ 0.50.1 13.5

e 0 5 30 30 ( )( )3.03.0 ++ xy ( )( )[ ]3.03.00.1 +++ xy

f 30 40 10 25 2.05 ( )( )[ ]3.03.00.3 −−+ xy

(a) (b)

λ

λ

x (m) x (m)

y (

m)

y (

m)


Página 109

(c) (d)

(e) (f)

Figura 6.11.-Distribuciónes de la conductividad térmica en la placa sólida compuesta,

para los diferentes casos antes mencionados.

En la figura anterior se observa los diferentes casos de la conductividad térmica, es

decir, cuando es constante, dependiente del espacio y dependiente de la temperatura.

x (m) x (m)

y (

m)

y (

m)

y (

m)

λ

λ

x (m) x (m)

y

(m

)

λ λ


Página 110

De todo lo anterior, se establece que el código numérico desarrollado para determinar

la conductividad térmica en el sistema compuesto está operando adecuadamente. El error

relativo obtenido en cada caso presentado, se encuentra entre 12.78% a 0.12%. Por lo

tanto, se obtiene resultados confiables.

6.2 RESULTADOS DE LOS PROBLEMAS I�VERSOS E�

COORDE�ADAS CILÍ�DRICAS.

Los resultados que a continuación se presentan, corresponden a un cilindro sólido o

macizo unidimensional, bidimensional y compuesto en coordenadas cilíndricas.

6.2.1 Sistema unidimensional (r).

El planteamiento del problema inverso es como sigue: un cilindro sólido, Lrr ≤<0 ,

se encuentra inicialmente a una temperatura ( )0,rTi en todo su dominio. Para tiempos

0,>t la frontera en r=Lr se mantiene a una temperatura TE o a un flujo de calor qE, como

se muestra en la Figura 6.12. Determinar la distribución de la conductividad térmica (λ) en

el cilindro sólido. Las condiciones para cada uno de los problemas cuando el tiempo t ≥ 0

son las siguientes:

Figura 6.12.- Modelo físico del cilindro sólido unidimensional.

r

( ) ?, =trλ

ET

r

Lr O

Eq

ET

Eq

Lr


Página 111


*Condición inicial ( ,<0 Lrr ≤ t = 0):

( ) CtrTi °= 30, (6.25)


( ) CtLrTE °=100, (6.26)

La solución analítica propuesta de la distribución de la temperatura de entrada, se

obtuvo al resolver de forma analítica la ecuación de conducción de calor unidimensional

(coordenada cilíndrica r), en estado transitorio y sin generación de calor. Para lograr lo

anterior se aplicó la función de Green. Mientras que el valor de la conductividad térmica se

obtiene de la Tabla 6.2. Por lo tanto, las soluciones analíticas de la temperatura de entrada y

de la conductividad térmica en el cilindro sólido, son las siguientes:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

−+= ∑

∞

=

−1

2,

2211

2

1

0

1

t

n

En

n

in

n

n

n

t nn eTLrJTLrJ

LrJ

rJe

LrtrT

αβαβ

ββ

ββ

ββ

(6.27)

CmW °= /30.35λ (6.28)

donde:


=nβ Raíces de la función de Bessel.

=α Difusividad térmica. Cpρλα = (6.29)

sujetos a: 0>,<0 tLrr ≤

considere: �t= 0.01 s, Lr=0.5 m, Cp=1.0 cal/kg°C y ρ=1.0 kg/m3.

En la Figura 6.13, se observa la distribución de la conductividad térmica constante a lo

largo de la dirección radial del cilindro sólido, el cual está sujeto a una condición de

primera clase en la frontera r=Lr.

(Plomo)


Página 112

Figura 6.13.- Conductividad térmica constante del cilindro sólido unidimensional.

Se aprecia que la conductividad térmica se mantiene prácticamente constante en la

dirección radial del cilindro solido. Al comparar cuantitativamente la solución numérica

con la solución analítica, se determina que el máximo error relativo encontrado es de

4.37x10-3

%. El sistema alcanza el estado permanente cuando el tiempo es igual a t=0.46 s.


*Condición inicial ( ,<0 Lrr ≤ t = 0):

( ) ( )rSentrTi π=, (6.30)


( ) CtLrTE °= 30, (6.31)

La solución de la temperatura de entrada se obtiene de forma numérica y se conoce la

solución analítica de la conductividad térmica del cilindro sólido unidimensional. Por lo

tanto, se tiene lo siguiente:

( ) ( )[ ] ( )trTrSenxT ,5.11012 4 πλ += − (6.32)

sujeto a: 0>,<0 tLrr ≤

considere: �t= 0.01 s, Lr=0.8 m, Cp= 0.1cal/kg°C y ρ=0.1 kg/m3.

r (m)

λ (

W/m

°C)


Página 113

En la Figura 6.14 se observa la distribución de la conductividad térmica a medida que

transcurre el tiempo hasta llegar al estado permanente.

Figura 6.14.- Conductividad térmica dependiente del espacio y de la temperatura

en diferentes tiempos.

De tal manera, se observa en la figura anterior que el sistema alcanza el estado

permanente cuando t=0.5 s. Entonces, cuando t=0.5 s, se aprecia que el comportamiento de

la distribución de la conductividad térmica describe una curva senoidal a medida que se

aleja del centro del cilindro sólido unidimensional. Por la relación funcional de la

conductividad térmica, ver Ecuación (6.32), en el origen del cilindro sólido el valor de la

conductividad térmica es pequeño. Por lo tanto, se determina que en el origen del cilindro

sólido existe un material sintético de baja conductividad térmica. Cabe mencionar que el

máximo error relativo encontrado entre la solución numérica y la analítica es de 1.91%.

6.2.2 Sistema bidimensional (r, z).

El planteamiento del problema inverso en coordenadas cilíndricas, es similar al

mencionado en el sistema cartesiano (x, y). La diferencia radica en que ahora se considera

un cilindro sólido o macizo bidimensional ( ,<0 Lrr ≤ Lzz ≤≤0 ). El modelo físico se

observa en la Figura 6.15.

λ (

W/m

°C)

r (m)


Página 114

Figura 6.15.- Modelo físico del cilindro sólido bidimensional.

A continuación, se presentan los casos resueltos que consisten en determinar la

conductividad térmica a lo largo de todo el dominio del cilindro sólido bidimensional.

6.2.2.1.-Conductividad térmica dependiente del espacio.

La solución propuesta de la distribución de la temperatura de entrada, se obtuvo al

resolver de forma analítica la ecuación de conducción de calor en coordenadas cilíndricas

(r, z), en estado transitorio y sin generación de calor. Para lograr lo anterior se aplicó la

función de Green. Por lo tanto, las soluciones analíticas de la temperatura y de la

conductividad térmica en el cilindro sólido bidimensional, son las siguientes:

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )

( ) ( )LzLrJLrT

��

rJzsenetzrT m

mn

ni

n mn

nm

m

tp ηηββ

ηββηαλ

cos1*,, 1

1

0

1

2

−=∑∑∞

=

∞

=

− (6.33)

( ) ( )zrzr ++= 3,λ (6.34)

sujetos a: 0>,0,<0 tLzzLrr ≤≤≤

r

( ) ?,, =tzrλ

ST

r=Lr

z

Lz

z=Lz Lr

ET

�T

z=0

Eq

r=0

�q

Sq

O


Página 115

donde:


=mn ηβ , Raíces de la función de Bessel y raíces de la función seno, respectivamente.

( ) ( ) =mn �� ηβ , Normas de la función.

=α Difusividad térmica.

Cpρλα = , 222

mnp ηβλ += , ( )2

Lz� m =η , ( ) ( )

2

2

1

2 LrJLr� n

n

ββ =

(6.35)

*Condición inicial ( ,<0 Lrr ≤ ,0 Lzz ≤≤ t = 0):

( ) CtzrTi °= 30,, (6.36)


( ) CtLzrT� °= 0,, (6.37)

( ) CtrTS °= 0,0, (6.38)

( ) CtzLrTE °=10,, (6.39)

considere: Lr=0.5 m, Lz=1 m, �t= 0.01 s, Cp=1 cal/kg°C y ρ=1 kg/m3.

En la Figura 6.16 se muestra el comportamiento de la distribución de la conductividad

térmica dependiente del espacio en el cilindro sólido bidimensional. Cabe mencionar que el

máximo error relativo encontrado es de 0.02%. Se alcanza el estado permanente cuando el

tiempo es igual a t =1.10 s. En la Figura 6.16 se observa que el comportamiento de la

conductividad térmica es de forma lineal y su valor aumenta a medida que se aleja del

centro del cilindro sólido. Al observar detalladamente la Ecuación (6.34), se determina que

la conductividad térmica dependiente del espacio solo cambia por la geometría del medio

sólido, es decir, la única forma en que puede existir cambios notables en el

comportamiento de la distribución de la conductividad térmica, incluso cambiando los

parámetros restantes, es variando la geometría del medio sólido que se estudia.


Página 116

Figura 6.16.-Distribución de la conductividad térmica dependiente

del espacio en el cilindro sólido bidimensional.

6.2.2.2.- Conductividad térmica dependiente de la temperatura.

Para concluir con los problemas inversos bidimensionales, se presenta la distribución

de la conductividad térmica dependiente de la temperatura en el cilindro sólido. El sistema

está sujeto a condiciones de primera clase en sus frontera ( ,5 CT� °= CTS °= 30 y

CTE °= 90 ), la propiedades termofísicas son unitarias (calor especifico y densidad). La

geometría del cilindro sólido es de tal manera que el radio es igual a Lr=0.5 m y la altura

Lz= 1.0 m. Por último, la ecuación de la solución analítica de la conductividad térmica es:

( ) ( ) ( )tzrTzrT ,,5.0 ++=λ (6.40)

A continuación, en la Figura 6.17 se presenta la distribución de la conductividad

térmica en distintos tiempos hasta alcanzar el estado permanente cuando t=1.4 s. En esta

Figura se observa que prácticamente se mantiene el mismo comportamiento, esto se debe a

que la temperatura de la frontera Este es muy predominante con respecto a las otras dos

temperaturas de las fronteras.

r (m)

z (m

)


Página 117

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.17.-Distribución de la conductividad térmica en el cilindro sólido: a) t=0.3 s,

b) t=0.6 s, c) t=1.0 s y d) t=1.4 s (Estado Permanente).

Para una mejor apreciación de este fenómeno, en la Figura 6.18 (a) se muestra la

ampliación de la Figura 6.17 (d) de la distribución de la conductividad térmica en todo el

dominio del cilindro sólido bidimensional cuando alcanza el estado permanente. Mientras

λ λ

r (m)

z (

m)

z (

m)

r (m)

r (m) r (m)

λ λ

z (

m)

z (

m)


Página 118

que la Figura 6.18 (b) representa la distribución de la temperatura correspondiente a dicha

distribución de conductividad térmica.

(a) (b)

Figura 6.18.-Distribución del fenómeno a lo largo de la geometría del cilindro sólido:

(a)Conductividad térmica y (b) Temperatura.

En la Figura 6.18 (b), se observa que la frontera Este del cilindro sólido es la zona

donde se encuentra la mayor concentración de la temperatura. Lo anterior se debe al hecho

de que en la misma zona del cilindro sólido, ver Figura 6.18 (a), el material alcanza el

mayor valor de la conductividad térmica, es decir, en esta zona el material es muy

conductor. En otras palabras, el transporte de energía en forma de calor está controlado por

las propiedades termofísicas del material bajo estudio. Estas propiedades, como por

ejemplo la conductividad térmica, tienen una influencia determinante en la distribución de

la temperatura durante los procesos transitorios de calentamiento o enfriamiento.

λ

T

r (m)

z (m

)

r (m)

z (m

)

Zonas de mayor concentración


Página 119

Cuando la conductividad térmica depende de la temperatura, es posible apreciar

cambios notables en su comportamiento con el simple hecho de cambiar solo un parámetro

inicial. Esto se debe a que la conductividad térmica, como depende de la temperatura, sub-

depende de la geometría del sistema bajo estudio y, desde luego, de la condición inicial y

de frontera. En la Figura 6.19 (a) se muestra el comportamiento de la distribución de la

conductividad térmica cuando cambia solamente la geometría del sistema (Lr=0.5 m y

Lz=1.5 m). Mientras que la Figura 6.19 (b) muestra el comportamiento de la distribución de

la conductividad térmica cuando cambia solamente las condiciones de frontera ( ,10 CT� °=

CTS °= 90 y CTE °= 30 ). Por último, el máximo error relativo encontrado es de 4.01%.

(a) (b)

Figura 6.19.-Distribuciones de la conductividad térmica dependiente de la temperatura,

cuando está sujeta a diferentes condiciones.

Carslaw H. y Jaeger J. (1959) mencionan que en la mayoría de los problemas

prácticos de ingeniería, las propiedades termofísicas dependen de la temperatura y, en

consecuencia, la ecuación de conducción calor es una ecuación en derivadas parciales no

lineal cuya solución, en general, se obtiene a través de una técnica numérica. Por lo tanto, la

determinación de cualquier propiedad termofísica de un medio sólido, representa un

r (m) r (m)

z (

m)

z (m

) λ

λ


Página 120

problema inverso no lineal de enorme complejidad. Entonces, la determinación de la

conductividad térmica dependiente de la temperatura constituye el caso más difícil de

resolver, comparado con la determinación de la conductividad térmica constante e incluso,

con la determinación de la conductividad térmica dependiente del espacio.

6.2.3 Sistema compuesto (r, z).

A continuación, se determina la distribución de la conductividad térmica (λ) en un

cilindro sólido, el cual puede estar fabricado con dos o más materiales diferentes.

6.2.3.1.- Conductividad térmica constante.

Para el primer problema inverso compuesto en el sistema cilíndrico, se considera un

cilindro sólido fabricado con tres materiales diferentes λ1, λ2 y λ3 (hierro-cobre-plata,

respectivamente). El modelo físico se observa en la Figura 5.8, el cual está sujeto a

condiciones de frontera de primera clase ( ,70 CT� °=

CTS °= 10

y CTE °= 30 ). Los

valores exactos de las conductividades térmicas se aprecian en la Tabla 6.2.

En la Figura 6.20 se presenta la distribución de la conductividad térmica obtenida

numéricamente.

Figura 6.20.-Distribución de la conductividad térmica constante

en el cilindro sólido compuesto.

r (m)

z

(m)

λ

Interfaces


Página 121

En la figura anterior se aprecia las tres distribuciones constantes de la conductividad

térmica a lo largo de su geometría, que corresponden a los materiales con los cuales está

fabricado el cilindro sólido. Prácticamente la frontera Norte (zona superior) representa el

material de mayor conductividad térmica (plata). Mientras que la frontera Sur (zona

inferior) representa el material menos conductor (hierro). Cabe mencionar que el máximo

error relativo encontrado es de 0.09% cuando t=1.03 s (estado permanente).

6.2.3.2.- Conductividad térmica dependiente de la temperatura.

El último problema inverso compuesto que se presenta en este Capítulo, consiste en un

cilindro solido fabricado con dos materiales diferentes, en los cuales la conductividad

térmica depende de la temperatura. El cilindro sólido está sujeto a condiciones de frontera

de primera clase, las cuales son: ,5 CT� °=

CTS °= 90 y CTE °= 30 . Con dimensiones de

Lr=0.5 m y Lz=1.0 m. Las soluciones analíticas de la conductividad térmica en el cilindro

sólido compuesto son:

( ) ( )[ ] 0.10.2,,,,1 +++= zrtzrTTzrλ (6.41)

( ) ( ) ( )tzrTzrTzr ,,5.0,,2 ++=λ (6.42)

En la Figura 6.21 se aprecia la solución numérica de la conductividad térmica

obtenida en el cilindro sólido compuesto, cuando alcanza el estado permanente (t=1.92 s).

Figura 6.21.-Distribucion de la conductividad térmica en el cilindro sólido compuesto.

r (m)

z

(m)

λ

Interface


Página 122

En la figura anterior se aprecia que el material ( )Tzr ,,1λ ubicado en la frontera Sur

(zona inferior) tiene una mejor relación de conductividad térmica en todo su dominio.

Como complemento, en la Figura 6.22 (a)-(d) se aprecian diversos resultados cuando

se resuelve el problema inverso cilíndrico compuesto, dichos resultados se obtienen cuando

el sistema alcanza el estado permanente. Cabe mencionar que las dimensiones utilizadas en

todos los casos son de Lr=0.05m y Lz=0.1m. Además, la condición inicial en todos los

casos es el promedio de sus condiciones de frontera. En la Tabla 6.6 se muestran las

condiciones de frontera a las cuales están sujetos los diversos casos y sus respectivas

soluciones analíticas de la conductividad térmica.

Tabla 6.6.-Condiciones de frontera y soluciones analíticas de la conductividad térmica.

Caso

Condiciones de Frontera (°C)

Conductividad térmica (W/m°C)

T# TS TE λ1 λ2

a 50 10 30 0.04 210.01

b 20 20 60 ( ) ( )[ ]zrezr +++0.1 0.5

c 30 0 0 ( ) ( )[ ]zrezr +++0.4 ( )( )[ ] ( )zrezr +++ 0.10.4

d 10 25 60 ( ) ( ) ( )[ ]zrtzrTzr ++++ 0.1,,0.3 9.0

(a) (b)

r (m) r (m)

z

(m)

z (

m)

λ λ


Página 123

(c) (d)

Figura 6.22.-Distribuciones de la conductividad térmica en el cilindro sólido compuesto,

para los diferentes casos antes mencionados.

El error relativo obtenido en cada caso presentado se encuentra entre 10.37% a 2.12%.

Por lo tanto, el código numérico desarrollado para determinar la conductividad térmica en

el cilindro compuesto presenta resultados confiables.

r (m) r (m)

z

(m)

z

(m)

λ λ

Capítulo 7 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Página 124


En este Capítulo se presenta las conclusiones obtenidas en este trabajo de

investigación. Además, se recomienda varios puntos para los siguientes estudios futuros,

con la intención de dar seguimiento a los estudios realizados en este trabajo de

investigación, y de esta manera extender y aplicar los conocimientos aquí generados.

CONCLUSIONES CONCLUSIONES CONCLUSIONES CONCLUSIONES

Y Y Y Y

RECOMENDACIONESRECOMENDACIONESRECOMENDACIONESRECOMENDACIONES


Página 125

7.1 CO�CLUSIO�ES.

Se aplicó satisfactoriamente la teoría del Problema Inverso de Transferencia de Calor

para implementar un método inverso que permita determinar la conductividad térmica de

un material sólido. Dentro del estudio se planteó dos configuraciones del material sólido. El

primero consiste de un material sólido simple, el cual puede ser homogéneo (propiedades

termofísicas constantes en el espacio y tiempo) y no-homogéneo (propiedades termofísicas

variables en el espacio y tiempo); y el segundo consiste de un material sólido compuesto

por dos o más materiales sólidos simples, los cuales también pueden ser homogéneos y no-

homogéneos.

Se obtuvó una serie de ecuaciones algebraicas en notación de coeficientes agrupados,

por medio de las cuales fue posible desarrollar los códigos numéricos que permitieron

determinar la conductividad térmica en una placa rectangular o en un cilindro sólido. Estas

ecuaciones algebraicas se obtuvieron al resolver los modelos matemáticos

unidimensionales y bidimensionales (sistema cartesiano y cilíndrico), con el método

inverso numérico (Método de Volúmenes Finitos).

Se realizó la verificación del código numérico en el sistema cartesiano unidimensional,

porque en la literatura solamente se encontró resultados bajo estas condiciones. Al verificar

(cuantitativamente y cualitativamente) los resultados obtenidos del código numérico

desarrollado con los resultados analíticos reportados en los trabajos de Yeung W. y Lam T.

(1995) y Chang C. y Chang M. (2006), se observó que se obtuvieron resultados similares.

El máximo error relativo encontrado en el trabajo de Yeung W. y Lam T. (1995) fue de

12.87%, mientras que en el código numérico desarrollado fue de 1.18%. De la misma

manera, en el trabajo de Chang C. y Chang M. (2006) el máximo error relativo encontrado

fue de 9.78%, mientras que en el código numérico desarrollado fue de 4.84%.

De los resultados obtenidos en los tres casos en que se puede presentar la

conductividad térmica, es decir, conductividad térmica constante, dependiente del espacio y

dependiente de la temperatura; se observó que el primer caso es el más fácil de determinar,

porque su comportamiento es estable en todo el medio sólido, por lo cual el tiempo de


Página 126

cómputo y el número de iteraciones es corto. Pero el comportamiento para los dos últimos

casos depende de la forma funcional en que se exprese la conductividad térmica del medio

sólido. De tal manera, cuando la conductividad térmica depende de la posición, la

dependencia lineal obtuvo mejores resultados en comparación con la dependencia

sinusoidal, porque a medida que la geometría del sistema aumenta los resultados obtenidos

con una dependencia sinusoidal producen un mayor error relativo. Por último, cuando la

conductividad térmica es dependiente de la temperatura, se obtuvo mejores resultados a

medida que disminuye la diferencia de temperaturas en sus fronteras. Cabe mencionar que

se determinó satisfactoriamente la conductividad térmica de un material sólido dentro del

intervalo de 0.58 a 429.0 W/m°C, con diferencia de temperatura en las fronteras de 5 a

85°C y dimensiones que van de 0.1 a 1m. El máximo error relativo que se encontró en los

resultados obtenidos fue de 12.78%.

La aplicación de la ecuación de la media armónica de la conductividad térmica,

permitió determinar satisfactoriamente la conductividad térmica en materiales sólidos

compuestos, tanto en el sistema cartesiano como en el sistema cilíndrico. Esta ecuación

permitió que la interface entre los materiales presente un comportamiento estable al

momento de cambiar de un material a otro. Sin esté comportamiento no es posible

determinar la conductividad térmica en los materiales sólidos compuestos.

Se resolvió un problema inverso en donde se despreció el término transitorio, en el

cual se demostró que es posible determinar la conductividad térmica de un material sólido

en estado permanente. Con la consideración de que la distribución de la temperatura de

entrada en el método inverso, se encuentre también en estado permanente.

Finalmente, el código numérico desarrollado en coordenadas cilíndricas para

determinar la conductividad térmica de un material sólido, es un paso importante para los

códigos computacionales que se están desarrollando en la transferencia de calor inversa, ya

que permite determinar un amplio intervalo de conductividad térmica de un material sólido,

además el tiempo de cómputo es moderado. Esta es la aportación principal de este trabajo

de investigación.


Página 127

7.2 RECOME�DACIO�ES.

A continuación, se mencionan las siguientes recomendaciones para los trabajos

futuros, con la finalidad de complementar los resultados obtenidos en este trabajo de

investigación. Estas son:

1.-La distribución de la temperatura que se utiliza como datos de entrada en el problema

inverso se obtenga de forma experimental.

2.-Extender el código numérico desarrollado para determinar de forma simultánea las otras

propiedades termofísicas, como son: la densidad y el calor específico.

3.-Comparar los resultados numéricos obtenidos en este trabajo, con resultados

experimentales.

4.-Desarrollar un código numérico en 3D que permita determinar cualquier propiedad

termofísica de una material sólido, tanto en el sistema cartesiano como en el sistema

cilíndrico.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Página 128

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TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS - CENIDET · AGRADECIMIE*TOS Gracias Padre mío, por regalarme la...

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