tesis navegable

TESIS DOCTORALCARRERA DEL DOCTORADO EN FSICA

TRANSPORTE CUNTICO EN SISTEMASBIDIMENSIONALES CON

INTERACCIN ESPN RBITA

Lic. Andrs Alejandro Reynoso

Director: Carlos Balseiro

Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo

Grupo de Teora de Slidos - Centro Atmico BarilocheComisin Nacional de Energa Atmica

Repblica Argentina

San Carlos de Bariloche, 12 de Julio de 2009

RESUMENEsta tesis se enfoca en el estudio terico del transporte en gases bidimensionales deelectrones (2DEG) en presencia de interaccin espn rbita. Una de las virtudes de estossistemas es que, a bajas temperaturas y en muestras limpias, el transporte es balsticoy coherente lo que da lugar a fenmenos caractersticos de interferencia cuntica. Lapresencia de interaccin espn rbita hace que el grado de libertad de espn de losportadores tenga efectos en el transporte. En determinadas situaciones el espn puedeser controlado.

En primer lugar se analiz el efecto de una corriente elctrica en sistemas coninteraccin de tipo Rashba. En estas muestras se conoce que hay polarizacin de espninducida por corriente (CISP). Se clarific que la CISP es producto del desbalance en laocupacin de estados que, a la energa de Fermi, transportan carga a favor y en contrade la corriente. En distintos tipos de muestra se observ cmo la funcin de onda y ladensidad de estados a la energa de Fermi se ven reflejadas en los patrones de polarizacinen la muestra. Esto permite que la CISP pueda ser controlada y amplificada cambiando laenerga de Fermi o la forma de la muestra mediante potenciales de compuerta.

En segundo lugar se estudiaron algunos aspectos interesantes que aparecen en lafocalizacin transversal de electrones como consecuencia del acoplamiento espn rbita.En estos experimentos se aplica campo magntico Bz perpendicular al plano del gasque hace que los electrones sigan caminos circulares (con radio ciclotrnico rc 1/Bz)y se mide, esencialmente, la transmisin T (Bz) entre dos contactos separados por unadistancia L en el borde de un 2DEG. En ausencia de interaccin espn rbita se encuentraun nico pico en T (Bz) para cada condicin de focalizacin: 2rc(n + 1) = L donde nes el nmero de rebotes en el borde que sufre el electrn al propagarse entre loscontactos. En la Ref.[Usaj 04] se mostr que, debido a la interaccin Rashba, electronescon distinta proyeccin de espn describen caminos con radios ciclotrnicos distintos; enla propagacin el espn se mantiene contenido en el plano y perpendicular al momento.Se estableci que las condiciones de focalizacin con nmero par (o cero) de rebotespresentan dos picos en T (Bz). Aqu se analiz la posibilidad de aplicar tcnicas devisualizacin del flujo de electrones, en las cuales se miden los cambios inducidos enel transporte por el efecto de la punta de un microscopio de fuerza atmica (AFM),cargada negativamente, que se acerca a la muestra. Se obtienen mapas registrando elcambio en T (Bz) (con Bz fijo) como funcin de la posicin de la punta. Se mostr que, endeterminadas situaciones, es posible observar la separacin espacial ciclotrnica generadapor la interaccin Rashba. Adems, se encontr que la polarizacin de espn de loselectrones que llegan al contacto detector puede ser controlada mecnicamente, esto es,cambiando la posicin de la punta.

Por otro lado se mostr que, si se considera la competencia entre la interaccin Rashbay la interaccin espn rbita de tipo Dresselhaus, la seal T (Bz) depende del ngulo quedefine la orientacin de compuerta de focalizacin en relacin a los ejes cristalinos delmaterial. Adems, la relacin entre las intensidades de estas interacciones determina si lacondicin de focalizacin sin rebotes intermedios (n = 0) supone uno, dos o tres picos enla seal T (Bz). La situacin con tres picos es especialmente interesante porque es productode la ruptura magntica de rbitas ciclotrnicas: es decir, en una zona de la muestra loselectrones que se propagan en las rbitas con distinto radio ciclotrnico reportadas enla Ref.[Usaj 04] encuentran una probabilidad no nula de cambiar el radio ciclotrnico y

tambin su proyeccin de espn. Se explic este efecto con argumentos semiclsicos quefueron exitosos en reproducir los resultados de los clculos exactos. En particular, se pudoexplicar la fuerte dependencia con que se encuentra en la condicin de focalizacincon un rebote intermedio (n = 1) como producto de la interferencia entre los caminosalternativos que aparecen debido a la ruptura magntica.

Luego, se estudi el transporte, en presencia de acoplamiento Rashba, a travsde muestras que contienen un contacto puntual (QPC) o una barrera. El mecanismoreportado en la Ref.[Eto 05] hace que estos dispositivos, controlables por voltajes decompuerta, sean capaces de polarizar en espn la corriente a pesar de que el sistemaes no-magntico. Se demostr una manera de medir la polarizacin de la corrienteque sale de estos dispositivos utilizando la configuracin de la focalizacin transversal.Luego se estudi qu sucede con la polarizacin en el caso en que la interfase entre lamuestra y los contactos introduce reflexiones: se encontr que por efectos de interferencia,en determinadas condiciones, la polarizacin es notablemente amplificada cuando lainteraccin Rashba es suficientemente pequea.

Por ltimo, se investigaron las implicancias de la polarizacin la Eto en el efectoJosephson: su impacto sobre la relacin entre la corriente I y la diferencia de fase entrelos superconductores. Para esto se propuso ubicar entre dos contactos superconductoresun QPC contenido en un 2DEG con interaccin Rashba. Se mostr que el transportepolarizado induce propiedades no triviales de espn en los estados de Andreev, pero queestas no afectan la forma de I() en ausencia de campo magntico. En cambio, cuando elcampo magntico se aplica en la direccin de la polarizacin (contenida en el plano del2DEG y perpendicular a la corriente) se encontr que I() tiene caractersticas atpicas:(i) hay corriente no nula para = 0 y (ii) cuando ms de un canal de conduccin estabierto en el QPC la corriente I() puede ser altamente asimtrica: el valor de la corrientesuperconductora mxima (corriente crtica) que soporta la juntura difiere segn el sentidode la corriente; el dispositivo se comporta como un rectificador de supercorriente con lavirtud de poder ser controlado elctricamente mediante el voltaje de compuerta del QPC.Ambos fenmenos no se observan en junturas Josephson usuales. En particular, segnnuestro conocimiento, es la primera vez que se reporta asimetra en I() en una junturaque no presenta potenciales de tipo ratchet.

ndice general

Motivacin y contenido 1

1. Transporte coherente e interaccin espn rbita 51.1. Transporte en sistemas mesoscpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Gases bidimensionales de electrones en junturas semiconductoras . . . . 12Versatilidad experimental de los sistemas 2DEG . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. Interaccin espn rbita en semiconductores . . . . . . . . . . . . . . . . 15Hamiltoniano de la interaccin tipo Dresselhaus . . . . . . . . . . . . . 17Hamiltoniano de la interaccin tipo Rashba . . . . . . . . . . . . . . . 18Solucin del Hamiltoniano Rashba en el espacio libre . . . . . . . . . . 19Solucin del Hamiltoniano Dresselhaus en el espacio libre . . . . . . . . 21

2. Polarizacin de espn inducida por corriente 232.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Sistemas anchos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Solucin. Polarizacin de espn en los bordes . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Polarizacin de espn en sistemas angostos . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Clculo de la polarizacin de espn inducida por corriente . . . . . . . . . . 36Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Simetras en muestras simtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Longitudes relevantes en la acumulacin de espn . . . . . . . . . . . . 40Caractersticas de la polarizacin de espn inducida por corriente . . . . 40Comportamiento en presencia de rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . 44Efectos debidos a la forma de las interfases muestra-reservorio . . . . . . 47Amplificacin de la CISP por sintonizacin de modos localizados . . . . . 49Acumulacin de espn controlada por voltajes de compuerta . . . . . . . 50Muestras con codos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3. Espintrnica en la focalizacin transversal de electrones 573.1. Focalizacin transversal de electrones en presencia de acoplamiento Rashba 57

Caractersticas de las soluciones con interaccin Rashba . . . . . . . . . . . 59Transmitancia como funcin de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Modelo y clculo de las transmisiones, espacio de momentos . . . . . . . . 66

3.2. Visualizacin y control del flujo de electrones con tcnicas de microscopaAFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Modelado del efecto de la punta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Primera condicin de focalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Segunda condicin de focalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3. Coexistencia de Interacciones Rashba y Dresselhaus . . . . . . . . . . . . 78

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Soluciones en el espacio libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Campo magntico aplicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Solucin numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Resultados. Primera condicin de focalizacin . . . . . . . . . . . . . . . 84Dependencia con el ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Zona de tres picos: Ruptura Magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Visualizacin de las rbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Resultados. Interferencia en la segunda condicin de focalizacin . . . . . . 93Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4. Contactos puntuales cunticos en presencia de interaccin Rashba 1014.1. Introduccin. Corriente polarizada en sistemas con barreras . . . . . . . . 102

Cruces evitados entre modos transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . 103El origen de la polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Simetra de inversin temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.2. Deteccin de la polarizacin utilizando la focalizacin transversal deelectrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Polarizacin en QPCs como funcin de Vg . . . . . . . . . . . . . . . . . 112El efecto de campo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Conclusiones y discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3. Efecto de la dispersin en las interfases con los contactos . . . . . . . . . 124Modelo y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Mecanismo de amplificacin de la Polarizacin: Interferencia . . . . . . 128Una sola interfase, modelo 2DEG-2DEG(QPC)-M . . . . . . . . . . . . 131Dos interfases, modelo M-2DEG(QPC)-M . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5. Junturas Josephson con contactos puntuales 1415.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Efecto Josephson, relacin entre la corriente y . . . . . . . . . . . . . . . 143Clculo de la corriente Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Ecuaciones de Bogoliubov-de Gennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Superconductor con invariancia traslacional . . . . . . . . . . . . . . . 145Superconductor inhomogneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Reflexin de Andreev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Acerca de las junturas SNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2. Juntura S-2DEG(QPC)-S con acoplamiento de tipo Rashba . . . . . . . . 155Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Clculo de la corriente Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Densidad de estados y polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.3. JJ con interfases transparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Efecto del campo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Resultados e interpretacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Condicin de Kulik con interaccin Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . 173Solucin de Kulik y aproximacin WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Parmetros a ajustar i y i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Resultados y anlisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Dependencia con . Un canal abierto en el QPC . . . . . . . . . . . . . 187Estimacin de i y i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.4. JJs con dispersin normal en las interfases . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Resultados By , 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Resultados con By , 0. Corrimientos y asimetras en la CPR . . . . . . . 195Asimetra como funcin de Vg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Sintonizacin de una condicin quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200CPR anmala en barreras anchas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Conclusiones. 209

APNDICES

A. Mtodo de diferencias finitas, funciones de Green 215A.1. Diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215A.2. Segunda cuantizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.3. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Obtencin de las Funciones de Green. Ecuacin de movimiento . . . . . . . 222Avance por capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Inclusin de los contactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

B. Estados de Borde 231B.1. Solucin cuntica, evidencia de dos radios ciclotrnicos mezclados . . . . 231B.2. Anlisis semiclsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Espacio de fases extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236rbitas semiclsicas para los estados de bulto . . . . . . . . . . . . . . 236Cuantizacin de la accin en el bulto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238rbitas semiclsicas de en presencia del borde . . . . . . . . . . . . . . 239Cuantizacin de la accin en el borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

B.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Bibliografa 243

Abreviaturas utilizadas 261

Publicaciones producidas durante esta tesis 263

Motivacin y contenido

La espintrnica estudia los fenmenos y dispositivos en los cuales, adems de la cargade los portadores, el grado de libertad de espn juega un papel importante. Compartelos mismos objetivos de la electrnica: proveer mtodos eficientes de almacenamientoy procesamiento de la informacin. Gran parte de los esfuerzos en espintrnica involucranla utilizacin completa o parcial de sistemas magnticos. En esta direccin ha habido des-cubrimientos notables que han provocado una revolucin tecnolgica en los ltimos aos.Este es el caso, por ejemplo, de la magnetoresistencia gigante [Baibich 88, Binasch 89]fenmeno que desde los aos 90 se utiliza en los discos rgidos. Por el descubrimiento deeste efecto Albert Fert y Peter Grnberg recibieron el premio Nobel de Fsica en 2007.

Por otro lado, existe una rama de la espintrnica abocada a lograr el control delespn sin utilizar materiales ferromagnticos. El inters se ha puesto especficamenteen semiconductores puesto que se espera, eventualmente, lograr conjugar la capacidadde almacenamiento de los sistemas magnticos con el gran poder de cmputo de lossistemas semiconductores [Awschalom 02]. Adems, teniendo en cuenta que el tiempo decoherencia de espn en semiconductores es relativamente alto, se vislumbra la posibilidadde disear dispositivos revolucionarios que exploten tanto la amplitud como la fase de lafuncin de onda.

Por este motivo se investigan extensivamente en la actualidad sistemas semiconduc-tores capaces de presentar magnetismo. Por otro lado existe otra tendencia, vinculadadirectamente con el tema de esta tesis, que pretende lograr la manipulacin del espn sinutilizar ningn tipo de ferromagnetismo. Esto se consigue haciendo uso de la interaccinespn rbita. Como se discute en la Ref.[David Awschalom 09] los esfuerzos en estadireccin pueden ser pensados como parte de una espintrnica sin magnetismo.

Esta tesis se enfoc en el estudio terico del transporte en gases bidimensionales deelectrones (2DEG) en presencia de interaccin espn rbita. En la prctica los 2DEGs sonelectrones confinados a moverse en el plano de una heterojuntura semiconductora. Dichasjunturas se disean de manera de generar un potencial efectivo tipo pozo cuntico para loselectrones [Ferry 97]. Actualmente la excelencia en la sntesis de semiconductores haceque los electrones en estos 2DEG tengan, a bajas temperaturas, un camino libre medio msgrande que el tamao de las muestras que se pueden disear (por ej. mediante tcnicas delitografa) [Reed 89]. A lo largo de este trabajo se estudian dispositivos o muestras cuyotamao es menor al camino libre medio, por lo cual el transporte es balstico, coherente ymuestra fenmenos caractersticos de interferencia cuntica.

En la mayora de los casos se considera la interaccin espn rbita de tipo Rashba. staaparece si la heterojuntura es asimtrica, dado que esto implica la presencia de un campo

2 Motivacin y contenido

elctrico transversal que afecta los electrones en el 2DEG [Bychkov 84]. Como se ver,de la misma manera que en la interaccin espn rbita usual, por efectos relativistas estecampo elctrico es percibido como un campo magntico efectivo (contenido en el planodel gas) que depende del momento del electrn y por lo tanto se acopla con su espn.Luego, el espn del electrn es afectado por la rbita que el electrn describe.

En un sistema desordenado el acoplamiento espn rbita introduce relajacin deespn: los choques con las impurezas relajan el momento y hacen perder la coherenciade espn [Dyakonov 71]. Sin embargo, en un sistema limpio este mecanismo permitecontrolar del grado de libertad de espn. En este sentido se observa que la intensidaddel acoplamiento Rashba, presente en pozos cunticos asimtricos que contienen 2DEGs,puede ser controlada mediante la aplicacin de voltajes de compuerta en la juntura[Nitta 97], pues este voltaje modifica la asimetra del potencial efectivo para los electronesen la juntura.

La propuesta fundacional de Datta y Das en la Ref.[Datta 90] mostr un transistor en elcual el control del espn, mediante la interaccin Rashba, juega un papel fundamental. Sibien la propuesta en s tiene complicaciones (dado que son necesarios dos ferromagnetosen contacto con el semiconductor) la idea se convirti en un disparador de una enormecantidad de trabajo terico y experimental acerca de la utilizacin de la interaccin espnrbita para controlar el espn en semiconductores.

Adems de la posible relevancia de cara a futuras aplicaciones tecnolgicas, lossistemas coherentes, balsticos y con interaccin espn rbita son muy interesantesdesde el punto de vista de fsica bsica. Estos sistemas configuran una ventana paraexplorar en forma controlada fenmenos de naturaleza cuntica que involucran el espn.Fundamentalmente siguiendo esta filosofa se fue construyendo el cuerpo de los problemasinvestigados en esta tesis.

Contenido de la tesis

En el Captulo 1 se introduce el transporte coherente en sistemas mesoscpicos. Sepresentan los gases bidimensionales en heterojunturas semiconductoras. Se muestra elorigen de la interaccin espn rbita y la forma final que esta interaccin tiene en los2DEGs. Luego se obtienen las soluciones en el espacio libre para la interaccin de tipoRashba y la interaccin de tipo Dresselhaus. Los conceptos vertidos en ese captulo seutilizan a lo largo de toda la tesis.

El Captulo 2 trata sobre la polarizacin de espn inducida por corriente (CISP) ensistemas 2DEG limpios con interaccin Rashba. Se discuten los orgenes del efecto[Usaj 05]. En muestras nanoscpicas se encuentra que la CISP puede ser controlada cam-biando la energa de Fermi y/o la geometra del dispositivo [Reynoso 06a, Reynoso 06b].Los clculos exactos se realizan utilizando el mtodo de funciones de Green en una reddiscreta. Este esquema se usa a lo largo de toda la tesis y es presentado en el Apndice A.

El Captulo 3 se aboca al problema de la focalizacin transversal de electrones en2DEGs con interaccin espn rbita. En este problema hay separacin ciclotrnica de espn[Usaj 04]. (i) Se propone la aplicacin de tcnicas de visualizacin del flujo de electronescon microscopa de fuerza atmica (AFM). Se muestra que la separacin espacial de

Motivacin y contenido 3

las rbitas ciclotrnicas puede ser observada. Adems, la polarizacin de los electronesque llegan al contacto detector puede controlarse mecnicamente [Reynoso 08a]. Lainterpretacin de los resultados se ve simplificada utilizando el conocimiento de losestados de borde del sistema, esto se presenta en el Apndice B [Reynoso 04a]. (ii) Seestudia la situacin en que las interacciones Rashba y Dresselhaus compiten. Se encuentraque existe tulenaje cuntico entre rbitas ciclotrnicas lo que se conoce como rupturamagntica [Cohen 61]. Esto tiene consecuencias importantes en la seal de focalizacin:cambia el nmero de picos en ella y es dependiente del ngulo en el cual est construidala compuerta de focalizacin con respecto a los ejes cristalinos. Se explican los resultadoscon argumentos semiclsicos simples [Reynoso 08b].

El Captulo 4 presenta sistemas de dos terminales, multicanales, y con un contacto pun-tual cuntico (QPC) que, en presencia de la interaccin Rashba, son capaces de polarizarla corriente que pasa por ellos [Eto 05]. (a) Se plantea utilizar la focalizacin transversalde electrones para medir la polarizacin de estos dispositivos. Se presentan resultados quemuestran una excelente correlacin entre la polarizacin estimada utilizando el esquemapropuesto y la polarizacin real del QPC [Reynoso 07]. (b) Se estudia el caso en que lasinterfases con los contactos inducen reflexiones. Esto sucede, por ejemplo, si el 2DEGcon el QPC se encuentra en contacto con reservorios metlicos. Se encuentra que, para pequeo, la polarizacin (medida en el reservorio metlico de salida) resulta aumentadapor efecto de la interferencia entre los distintos caminos que aparecen por la presencia dela reflexin en las interfases 2DEG-metal.

En el Captulo 5 se investiga el efecto de la polarizacin debida a la interaccinRashba sobre el efecto Josephson: un 2DEG que contiene un QCP se ubica entre dossuperconductores. Se encuentran diferencias importantes con un polarizador usual. ElQPC induce propiedades de espn no triviales en los estados que transportan supercorriente(los estados de Andreev) que se manifiestan cuando se aplica campo magntico en ladireccin en la cual el QPC polariza. En esas condiciones se encuentra que el efectoJosephson presenta caractersticas inusuales y novedosas [Reynoso 08c].

Finalmente en la seccin Conclusiones se repasan brevemente los resultados msimportantes obtenidos en esta tesis, esencialmente una sntesis de lo incluido en lasconclusiones de cada captulo.

Captulo 1

Transporte coherente e interaccinespn rbita

En este captulo se discuten las longitudes caractersticas para el transporte electrnicoy las condiciones en las cuales ste puede ser considerado coherente y balstico. Luego seintroducen los conceptos y herramientas bsicas que permiten tratar el transporte coherenteen sistemas mesoscpicos o nanoscpicos. Se presentan los gases bidimensionalesde electrones en heterojunturas semiconductoras y las interacciones espn rbita mscomunes en estos sistemas: la de tipo Rashba y la de tipo Dresselhaus. Por ltimo semuestran las soluciones en el espacio libre para dichas interacciones.

1.1. Transporte en sistemas mesoscpicos

La conductancia elctrica de un sistema se define como:

G IV

(1.1)

Donde I es la corriente y V es la diferencia de potencial que se aplica entre los extremos dela muestra. Para un sistema macroscpico la conductancia se vincula con las dimensionesdel material a travs de la conductividad segn la ley de Ohm:

G = AL, (1.2)

donde A y L son la seccin transversal y la longitud del bloque, respectivamente. La teorade Drude [Ashcroft 76] vincula la conductividad, con argumentos de fsica clsica, con laspropiedades especficas del material:

= e2ns (1.3)

donde n es la densidad de electrones, e es la carga del electrn y s es el tiempo medioentre eventos de dispersin (eventos que cambian el momento del electrn).

Los sistemas denominados mesoscpicos tienen tamaos del orden de los micrme-tros. En este rgimen las relaciones clsicas de las Ecs.1.2 y 1.3 pueden dejar de servlidas. Esto sucede cuando alguna dimensin del sistema (ya sea su largo o su ancho)es menor o comparable a una o ms de las siguientes tres longitudes caractersticas:

6 Transporte coherente e interaccin espn rbita

(i) La longitud de onda de Fermi F . Si el sistema tiene dimensiones comparablesa F la descripcin clsica fracasa, el comportamiento cuntico de las partculasdebe ser considerado. El gas bidimensional en una heterojuntura semiconductora deGaAs/AlGaAs tiene F dos rdenes de magnitud ms grande que en un metal.

(ii) El camino libre medio ` = svF (vF es la velocidad de Fermi). En metales lalongitud media entre procesos de dispersin es del orden de los 10nm. En cambioen materiales semiconductores de alta pureza l puede llegar a 100m a temperaturasen el rango de los mili-Kelvin. Cuando las dimensiones del sistema no superan a `el transporte es balstico1 y por lo tanto la descripcin clsica, que supone transportedifusivo, deja de ser correcta.

(iii) La longitud de coherencia de fase L. La fase de los electrones pierde su "memo-ria" por efecto de dispersin inelstica cuando el electrn recorre distancias mayoresa L. Cuando el tamao del sistema es menor a L el transporte es coherente ypresenta fenmenos caractersticos de interferencia cuntica. En semiconductoresde alta pureza los mecanismos que introducen este tipo de dispersin son princi-palmente la interaccin electrn-fonn y la interaccin electrn-electrn2. En estossistemas est bien establecido que la longitud de coherencia de fase aumenta cuandola temperatura disminuye, ver la Fig.1.1.

Adems, en sistemas muy pequeos el espaciamiento tpico entre los niveles de energapuede ser mayor que la energa trmica kBT . Para obtener las propiedades elctricas ytermodinmicas del sistema se requiere el espectro de energas en forma detallada y noslo cantidades globales como el valor medio de la densidad electrnica. Esto es crucialcuando se investigan sistemas de dimensionalidad efectiva reducida como por ejemplo enlos cables cunticos o puntos cunticos.

El transporte coherente en los regmenes mesoscpico y nanoscpico (sistemas contamaos del orden el nanmetro) ha sido extensivamente estudiado desde los aos 80.Entre los sistemas ms propicios para observar fenmenos coherentes se encuentran lasheteroestructuras semiconductoras. En ellas, a bajas temperaturas, los tamaos de lasmuestras diseadas pueden ser menores que L y ` y comparables a F , una descripcinms profunda de estos sistemas se incluye ms adelante.

La cantidad de investigacin experimental y terica sobre el transporte en este rgimen(incluyendo el rol de las interacciones, decoherencia, etc.) es colosal. En la actualidadcentenas de trabajos por ao se relacionan a esta rea de investigacin. La razn delinters masivo es, en mi opinin, que este rgimen permite experimentar efectos cunticos.Al mismo tiempo el tamao de los circuitos integrados se acerca cada vez ms a unaescala en la cual estos efectos deben ser considerados. La industria de la electrnica estmuy interesada en conocer la fsica subyacente a estas escalas ms all de que muchos

1A pesar de que una pequea fraccin de las partculas puede ser dispersada, los eventos de dispersinse minimizan y las observaciones son bien explicadas considerando transporte balstico.

2La dispersin de los electrones con impurezas estticas o con los bordes de la muestra es elstica. Estosprocesos generan cambios bien determinados en la fase de los electrones, por esta razn no rompen" lacoherencia de fase.

1.1 Transporte en sistemas mesoscpicos 7

Figura 1.1: Mediciones del tiempo medio de coherencia de fase como funcin dela temperatura para muestras con dos anchos distintos. El sistema es un 2DEG en unaheteroestrutura semiconductora de GaAs/AlxGa1xAs [Choi 87]. La longitud L mencionadaen el texto es proporcional a por lo tanto L tambin aumenta a bajas temperaturas.

resultados notables para la investigacin bsica, experimentos a muy bajas temperaturas,no tengan una aplicacin tecnolgica directa en el corto plazo.

Entre los descubrimientos fundacionales de este campo se destacan:

(a) El efecto Hall cuntico entero [Klitzing 80]. Se encontr que la resistencia de HallRH en un gas bidimensional de electrones a bajas temperaturas no es lineal conla magnitud del campo perpendicular al plano del gas sino que presenta plateaux.En este caso los plateaux se corresponden con conductancias de valor ne2/h con nnatural. El efecto es bien explicado en un modelo sin interacciones haciendo usode la cuantizacin de Landau que aparece en un gas bidimensional en presencia deun campo magntico perpendicular. Por su descubrimiento von Klitzing recibi elpremio Nobel de fsica de 1985.

(b) El efecto Hall cuntico fraccionario. De la misma manera que en el caso anterioraparecen plateaux en RH donde algunos de ellos corresponden a valores fracciona-rios de n (de la conductancia Hall ne2/h) [Tsui 82]. Se logr interpretar tericamenteel efecto [Laughlin 83] como consecuencia de la existencia de estados colectivos queposeen carga fraccionaria producto de la interaccin Coulombiana. Experimentosposteriores corroboraron la existencia de estas cuasi-partculas de carga fraccionaria[Saminadayar 97]. Por el descubrimiento y la interpretacin del efecto Hall cunticofraccionario Tsui, Strmer y Laughlin recibieron el premio Nobel de fsica 1998.

(c) Oscilaciones de Aharonov-Bohm. En anillos metlicos con dimetro menor a Lse encontr interferencia en la conductancia medida entre dos puntos opuestos de


1 2

1

2

(a) (b)

Figura 1.2: (a) Esquema del transporte a travs de una cinta, los reservorios se encuentranen equilibrio, existe una diferencia de potencial entre ellos (ver texto). (b) Ocupacin de losestados dentro del sistema, los estados con puntos negros estn ocupados. En respuesta lineal12 es muy pequeo y los estados a la energa de Fermi dominan el transporte a bajastemperaturas.

la circunferencia [Webb 85]. Este efecto haba sido predicho casi 30 aos antes. Elpatrn de interferencia depende del flujo magntico encerrado en el anillo y porlo tanto vara con el campo magntico aplicado. El efecto se explica perfectamentecomputando la diferencia de fase entre los electrones que recorren uno y otro caminoposible.

(e) Fluctuaciones universales de la conductancia. En muestras con tamao tpico L queson desordenadas (L >> `) donde L < L se observa estructura muy complejade la conductancia en funcin de parmetros como la energa de Fermi o elcampo magntico [Umbach 84]. Esta estructura es repetible y se explica comola consecuencia de una enorme cantidad de caminos que interfieren [Lee 87]. Seencuentra que la amplitud media de esta oscilacin es independiente del valor mediode la conductancia, es del orden de e2/h y solo depende de las simetras del sistema(por ejemplo si el sistema preserva o no simetra de inversin temporal).

(f) Observacin del cuanto de conductancia en contactos puntuales [van Wees 88]. Enun gas bidimensional de electrones se disea un potencial (mediante tcnicas delitografa) que configura una constriccin para los electrones. La altura del potencialVg es controlada a travs de un voltaje de compuerta. Cuando Vg es mayor que laenerga de Fermi del sistema no hay conduccin a travs de la barrera, luego para Vgmenores la conductancia toma valores discretos mltiplos de 2e2/h 1/13k (verresultado terico en la Fig.2.12). Este resultado muestra que cada modo transversaldentro de la constriccin configura un canal (o modo) unidimensional de transmisinque, como se ver, es capaz de transportar dos cuantos de conductancia. La alturade la barrera controla el nmero de canales disponible por debajo de la energa deFermi dentro en la constriccin que contribuyen a la corriente.

(g) Otros efectos: tunelaje resonante, localizacin dbil, bloqueo de Coulomb enpuntos cunticos, corrientes persistentes en anillos mesoscpicos, etc. [Ferry 97,Beenakker 91a, Datta 95, Weinmann 05].


En esta tesis se estudia el transporte en sistemas bidimensionales con acoplamientoespn rbita en el rgimen balstico, coherente y cuntico. A la luz del fracaso de la teoraclsica para estas situaciones es necesario introducir el marco terico que permite calcularla conductancia en estos sistemas.

En transporte balstico el concepto de conductividad, ver la Ec.1.3, deja de tenersentido. Para calcular la corriente se considera la situacin mostrada en la Fig.1.2a. Elsistema est conectado a dos reservorios 1 y 2 que tienen distinto potencial qumico debidoa la presencia de una diferencia de potencial entre ellos 12 = eV , con 1 = EF + eV2 y2 = EF eV2 . Para valores arbitrarios de eV este problema es difcil de resolver porquese requiere computar la distribucin de corriente en presencia del campo elctrico enun sistema que inicialmente tiene densidad de carga uniforme. Esto demanda calcular enforma autoconsistente la distribucin de campo elctrico y densidades dentro de la muestrautilizando las ecuaciones de Boltzmann y de Poisson. En cambio, en el lmite de eV 0la corriente se obtiene correctamente como resultado de la diferencia de densidades en losreservorios considerando campo elctrico nulo dentro de la muestra. Toda la diferencia depotencial cae en los contactos con los reservorios macroscpicos [Datta 95].

El rol de los reservorios es importante, estos se suponen macroscpicos, en equilibrio yno deben generan reflexiones hacia el sistema. En la prctica, la continuacin semi-infinitadel perfil del sistema (sin desorden) cumple las anteriores condiciones.

Se presenta primero el clculo de la corriente en un sistema unidimensional. Lacorriente total de electrones que pueden ir del reservorio 1 al 2, I12, depende del potencialqumico de la izquierda, de la probabilidad de transmisin de 1 a 2, T1,2, y de la densidad(E) y velocidad v(E) de los electrones:

I12 = e +

f (E 1)T1,2(E)(E)v(E)dE (1.4)

a bajas temperaturas la funcin de Fermi f (E 1) se aproxima por una funcin escaln(E1). Dado que v(E) y (E) corresponden a un modo de propagacin unidimensional:

v(E) = 1~

dE(k)dk

(E) =(2pidE(k)dk

)1 v(E)(E) = 1h (1.5)donde k es el vector de onda unidimensional. Esta relacin de equiparticin [Beenakker 91a]es la clave de la cuantizacin de la conductancia antes mencionada. Introduciendo elresultado anterior en la Ec.1.4 se obtiene:

I12 =eh

1

T1,2(E)dE (1.6)

De manera anloga la corriente total de desde el reservorio 2 al reservorio 1 es:

I21 =eh

2

T2,1(E)dE (1.7)

Dado que en un sistema de dos terminales se cumple que T1,2(E) = T2,1(E) T (E) lacorriente neta es:

I = I12 I21 = eh 21

T (E)dE (1 2) ehT (EF) =e2

hT (EF)V (1.8)


En la ltima aproximacin se considera respuesta lineal con el voltaje aplicado, es decirT (E) no tiene estructura en el intervalo de energas [2, 1] ya que eV 0. As laconductancia de un sistema unidimensional (sin considerar la degeneracin de espn) enun sistema balstico unidimensional a bajas temperaturas se expresa como funcin de laprobabilidad de transmisin a la energa de Fermi:

G =e2

hT (EF) (1.9)

El resultado anterior, la frmula de Landauer, fue extendida por Bttiker a sistemasmultiterminales [Datta 95, Beenakker 91a]. Previamente Fisher y Lee lo extendieron alcaso multicanal [Fisher 81]. En los reservorios cada canal (o modo) unidimensional nose mezcla con los otros. Por esta razn en un sistema multicanal de dos terminales escoeficiente de transmisin total T (E) en la Ec.1.9 es igual a la suma de las probabilidadesde transmisin desde cada uno de los modos en el reservorio 1 hasta a cada uno de losmodos disponibles3 en el reservorio 2, el grado de libertad de espn tambin debe serconsiderado en la suma. Esto es:

G =e2

h

m,n

Tm,n(EF) (1.10)

donde Tm,n(EF) es la probabilidad de transmisin a la energa de Fermi desde el modo nen el reservorio 1 hasta el modo m en el reservorio 2.

La conductancia en una cinta bidimensional de pared rgida ilustra muy bien elsignificado de la Ec.1.10. El Hamiltoniano del sistema es simplemente:

H =p2x

2m+

p2y2m

+ VHW(y), (1.11)

donde el potencial VHW(y) de la cinta de pared rgida es:

VHW(y) = 0 si |y yc| Ly2+ otro x. (1.12)

Los valores ky permitidos son discretos, los autoestados son ondas planas en la direccinx:

n,kx(x, y)=

2Ly

sin(pinLy

y)

eikx x . (1.13)

Se grafican en la Fig.1.3 el perfil de los primeros cuatro modos en la cinta. Las autoenergasson:

En(kx) =~2pi2n2

2mL2y+~2k2x2m

, n = 1, 2.. (1.14)

Para cada valor de n se tiene un modo transversal en la cinta, la relacin de dispersincomo funcin de kx de cada modo es unidimensional, ver la Fig.1.2b. La densidad deestados total (E) es la suma de densidades de estados unidimensionales que comienzan

3Disponibles a la energa de Fermi.


yL

Figura 1.3: Perfil de las funciones de onda asociadas a los primeros cuatro modos (o canales)transversales de una cinta de pared rgida.

en las energas En(0), ver la Fig.1.4. En esta cinta perfecta los modos transversales sonortogonales entre si, la probabilidad de transmisin en cada uno de ellos es completa:

Tn,m = n,m (1.15)

En la Fig.1.4 se muestra la transmisin total T (E) como funcin de la energa. En la figurase consider la degeneracin de espn de cada modo lo que justifica el salto de dos unidadescuando un nuevo modo transversal comienza a conducir.

Un sistema real no presenta modos totalmente ortogonales y la relacin en 1.15 nose cumple. Como se ver ms adelante, en presencia de interaccin espn rbita puedehaber la transmisin de izquierda a derecha entre modos con distinta proyeccin de espny distintos modos transversales.

Por ltimo en esta seccin se introduce la matriz de dispersin S que es muy til paradescribir el transporte en un dispositivo coherente [Datta 95]. Conocidos los modos detransmisin en cada terminal (normalizados para llevar la misma corriente) la matriz Srelaciona las amplitudes en todos ellos. En la Fig.1.5 se muestra cmo se define la matrizS en un sistema de dos terminales con N modos en un terminal y M modos en el otro. Lamatriz de dispersin en un sistema de dos terminales se puede escribir como (ver lneaspunteadas en la Fig.1.5):

S =(

r t,

t r,

)(1.16)

donde la matriz r (r,) describe la reflexin en el terminal 1 (2) y la matriz t (t,) describela transmisin de 1 a 2 (de 2 a 1). La conductancia G desde el terminal 1 al 2 puede serescrita en funcin de la matriz t:

G =e2

hTr(t t) (1.17)

esto es consecuencia de que la probabilidad de transmisin desde un modo n en el terminal1 hasta un modo m en el terminal 2 es simplemente:

Tn,m = |tmn|2 (1.18)


0 50 1000

20

400

10

20

(E

) [

u.

a rb

. ]

E [1]

(E

)

Figura 1.4: CINTA INFINITA. Modelo Hard Wall. (abajo) Densidad de estados (E) comofuncin de la energa. El i-simo modo transversal se abre en la energa i = i21 con 1 =~2pi2

2mL2y. (arriba) Coeficiente de transmisin como funcin de la energa, los saltos tienen una

amplitud de 2 debido a la degeneracin de espn.

La conservacin de la corriente implica que la matriz S debe ser unitaria:

S S = I (1.19)Adems, si el sistema preserva la simetra de inversin temporal la matriz S debe sersimtrica. Estas propiedades se utilizan en el Captulo 4.

Gases bidimensionales de electrones en junturas semiconductoras

Es muy usual encontrar en la naturaleza situaciones en las cuales el movimiento de unapartcula en el espacio tridimensional puede ser descripto ms simplemente considerandomenos dimensiones. Esta situacin generalmente est asociada a la presencia de unvnculo: un elemento que impone restricciones al movimiento de la partcula, lo que enltima instancia reduce la dimensionalidad del espacio efectivo necesario para describir elmovimiento. Los gases de electrones bidimensionales (2DEG) son un ejemplo de este tipode sistemas, las partculas estn restringidas a moverse slo en el plano que configura elgas.

Para estudiar la forma que toman las interacciones espn rbita en gases bidimension-ales de electrones es necesario introducir los materiales especficos a partir de los cualesse disean experimentalmente. Es aqu donde el desarrollo y continua mejora en la sntesisde semiconductores ligado a la era del transistor aparece como un factor clave.

Los gases bidimensionales se realizan en junturas semiconductoras diseadas a talfin [Davies 98]. Tpicamente dos semiconductores, con parmetro de red muy similar,


=

M

N

MMMMMNMM

MN

MN

NMNNNNNN

MN

MN

M

N

c

c

c

a

a

a

rrrttt

rrrttt

rrrttt

tttrrr

tttrrr

tttrrr

d

d

d

b

b

b

...

...

......

........................

......

......

......

........................

......

......

...

...

2

1

2

1

,,

2

,

121

,

2

,

22

,

2122221

,

1

,

12

,

1111211

,,

2

,

121

,

2

,

22

,

2122221

,

1

,

12

,

1111211

2

1

2

1

MUESTRA

COHERENTE

a1

b1

a2

b2

aN

bN

c1

d1

c2

d2

cM

dM

Figura 1.5: Definicin de la matriz S que relaciona las amplitudes de las funciones de ondaincidentes, transmitidas y reflejadas en un sistema coherente. En cada terminal se escogenmodos de propagacin ortogonales normalizados para llevar la misma cantidad de corriente.

componen la juntura, lo que asegura que la interfase sea cristalina. La diferencia entrelos gaps o brechas de energa en ambos semiconductores produce una diferencia (ver laFig.1.6a) entre los fondos de las bandas de conduccin Ec [Ferry 97]. En general unode ellos est dopado con impurezas donoras (de tipo n) por ejemplo GaAs y n-AlGaAs oInAs y n-InAlAs. Se utiliza el mtodo de crecimiento epitaxial mediante haces moleculares(MBE, del ingls Molecular Beam Epitaxy) en ultra alto vaco [Glass 81]. Se controla lapureza de los reactivos con gran precisin y la calidad de las junturas resulta excelente. Aldefinir a la direccin de crecimiento como la direccin z, la interfase generada est ubicadaen un plano de z=cte.

El diseo apunta a lograr potenciales efectivos con forma de pozo. Este potencialconforma el vnculo que reduce la dimensionalidad efectiva del sistema. Los estados deenerga permitidos para los electrones en el pozo son discretos z1,

z2, etc. (y la separacin

entre ellos es grande), por ello se los denomina pozos cunticos (quantum wells). Por cadaestado ligado en el pozo (confinados en la direccin z) aparece una sub-banda de energapuesto que los electrones son libres de moverse (como ondas planas en una descripcin demasa efectiva) en el plano (x, y) contenido en la interfase. Las energas de cada sub-banda(antes de agregar la interaccin espn rbita) estn dadas por:

En(k) = zn +~2

2m(k2x + k

2y

)(1.20)

As, la interface es caracterizada por el potencial4 Vreg(r) = Vreg(z) que caracteriza alpozo centrado en el plano de la interfase (por ejemplo en z=0). Este potencial efectivo deuna partcula para los electrones resulta de la solucin autoconsistente de las estructuras debandas de los materiales que componen la juntura considerando el efecto de las impurezasdonoras puestas ad-hoc para proveer portadores a las sub-bandas que se desean poblar enel pozo (usualmente slo la primer sub-banda en el caso de un 2DEG simple).

En la cercana de la interfase los electrones abandonan sus dopantes migrando hacia lazona sin dopar formando una zona de acumulacin de electrones, la zona de desercin deelectrones tiene cargas positivas (los donores) sin compensar. Finalmente la diferencia enlas bandas de conduccin y el efecto de la migracin de los electrones en la interfase da

4Se vuelve sobre este potencial en la prxima seccin.


+ + + + + + ++

funcin de onda

z1

2DEGFE +

+ + + + + + + + +

cEGaAsn-AlGaAs

zz

(a)

(b)

Figura 1.6: (a) Esquema de una heterojuntura dopada: los electrones en la cercanas de lainterfase migran a la zona sin dopar separndose de sus donores. (b) Aparece un pozo en labanda de conduccin localizado en la interfase. Los electrones pueblan una de las sub-bandasdel pozo hasta el nivel de Fermi dando origen al gas bidimensional.

lugar al perfil de potencial efectivo como se esquematiza en la Fig.1.6b.5

Los potenciales efectivos pueden tener forma simtrica o asimtrica con respecto a ladireccin de crecimiento. En la Fig.1.8 se observan dos formas de potenciales efectivosque se pueden encontrar en heterojunturas semiconductoras, en cada caso es esperableencontrar, como se ver en la prxima seccin, distintos tipos de interaccin espn rbitaintrnseco.

Versatilidad experimental de los sistemas 2DEG

Antes de describir las formas de la interaccin espn rbita intrnseca que toma elHamiltoniano de la Ec.1.24 es conveniente mencionar una de las cualidades ms salientesde los 2DEG en heterojunturas semiconductoras. Como se mencion en la Sec.1.1 enestos sistemas se puede explorar el rgimen mesoscpico y nanoscpico dado que lasmuestras pueden disearse ms pequeas que el camino libre medio ` y que la longitud decoherencia L.

Lo ms notable es que, utilizando tcnicas de litografa6 a escala del nanmetro sepueden definir muestras con las ms variadas geometras, ver por ej. la Fig.1.7. Lastcnicas se dividen en dos grupos[Ferry 97]:

(i) Compuertas divididas (split gates). En este caso se depositan sobre la superficiedel material metlico (que se lo llama compuertas) con la geometra deseada. El2DEG se ubica en la juntura a una distancia z de la superficie, no hay contactoelctrico entre los metales y los electrones del 2DEG. Sin embargo la aplicacin deun voltaje negativo en las compuertas genera debajo de los metales zonas prohibidaspara los electrones en el 2DEG. Este el caso de la Fig.1.7. Este tipo de configuracinexperimental permite modificar la forma del dispositivo in situ mediante los voltajesque se aplican en cada compuerta independiente.

5En heterojunturas semiconductoras tambin se disean gases bidimensionales de huecos (2DHG) .En este caso se dopa con impurezas aceptoras con energas cercanas a la banda de valencia del material(dopantes tipo p). En la interfase los huecos migran hacia el material no dopado y forman un pozo en labanda de valencia. Existen complicaciones adicionales debido a la existencia de dos tipos de huecos. Estossistemas tambin presentan interacciones espn rbita.[Winkler 03]

6Litografa se refiere a la transferencia de un patrn deseado a un substrato.

1.2 Interaccin espn rbita en semiconductores 15

Figura 1.7: (Izquierda) Esquema de un dispositivo diseado con tcnicas de litografa en un2DEG. Se depositan compuertas metlicas con la geometra deseada. En este caso en particularla geometra define un punto cuntico (quatum dot). Aplicando un potencial negativo se lograconfinar los electrones en el 2DEG. (Derecha) Imagen SEM (Scanning Electron Microscope)del dispositivo (fuente:http://marcuslab.harvard.edu/research.shtml).

(ii) Tcnicas de grabado (etching). En este caso se remueve qumicamente las zonasdel 2DEG que no sern parte de la muestra. Para ello se protege contra el agentequmico la zona configurar la muestra. Hay varios tipos de etching, seco, y mojadode acuerdo a la profundidad de la zona tratada. En ambos casos las superficies de lamuestra son rugosas: hay fluctuaciones de entre 2 y 5nm.

Esencialmente utilizando la tcnica del punto (i) se realizan los contactos puntualescunticos (QPC): paradigmas en el rea de transporte mesoscpico. Los QPC sonextensivamente investigados en esta tesis considerando el ingrediente adicional de lainteraccin espn rbita.

1.2. Interaccin espn rbita en semiconductores

Las interacciones espn rbita pueden ser clasificadas segn su origen, las de tipoextrnseco y las de tipo intrnseco. Las primeras son originadas por impurezas y defectosen la muestra. En cambio las intrnsecas, cuyos efectos se estudian en esta tesis, aparecencomo consecuencia de la ruptura de simetra de inversin espacial que pueda existir tantoen una juntura como en el bulto del material. Una descripcin ms detallada de ambostipos de interaccin requiere una incursin en los fundamentos fsicos del acoplamientoespn rbita. Para ello se parte del caso ms simple posible que consiste en un electrn enpresencia de un potencial Vtot(r).

Un electrn no-relativista es descripto por la ecuacin de Pauli. Esta es simplemente laecuacin de Schrdinger aplicada sobre un espinor (de dos componentes) con la inclusindel acoplamiento Zeeman. Si se incorporan correcciones relativistas de orden v

2

c2 (que salende la ecuacin de Dirac [Sakurai 94]) aparece el acoplamiento espn rbita (SOC7):

HSO,vac = vac (k Vtot(r)) (1.21)7Del ingls spin-orbit coupling.


Donde vac = ~2/4m2ec2 3.7 1062, me es la masa del electrn en el vaco, c lavelocidad de la luz, es el vector de matrices de Pauli, y k=p/~.

Una manera de entender el origen fsico de este acoplamiento es como sigue: el campoelctrico (proporcional a Vtot(r)) es visto desde el sistema de referencia en reposo delelectrn como un campo magntico; es este campo magntico el que se acopla de manerausual (interaccin Zeeman) al momento magntico espn que aparece debido al momentoangular intrnseco del electrn: el espn:

espn = g e2mS = g2B. (1.22)

Cuando Vtot(r) es un potencial central se cumple que Vtot(r) r y el acoplamientoespn rbita toma la conocida forma proporcional a L S. Los fenmenos investigados enesta tesis tienen que ver con la interaccin espn rbita dentro de materiales semiconduc-tores. Si bien los orgenes fsicos del acoplamiento espn rbita , en todos los casos, sereducen a la condicin de que Vtot(r) , 0, la forma especfica que toma la interaccinespn rbita difiere segn el sistema.

En el caso de materiales semiconductores es conveniente expresar el potencial totalcomo Vtot(r) = Vper(r) + V(r), donde Vper(r) es el potencial peridico cristalino y V(r)es la componente aperidica que incluye los potenciales debidos a impurezas, defectos,confinamiento, bordes y campos elctricos externos. De esto ltimo se sigue que elpotencial aperidico V se puede separar en una parte aleatoria Val(r) y otra parte regularVreg(r).

Luego se procede a eliminar el potencial cristalino con el objetivo de eventualmentedescribir el comportamiento de los portadores utilizando estructura de bandas. Porargumentos de simetra (en sistemas cristalinos) el Hamiltoniano efectivo de un cuerpo quedescribe a los electrones en la banda de conduccin en semiconductores tiene la forma:[Engel 08, Winkler 03]:

Heff = k + V(r) + Hotros, (1.23)

Hint = 12 b (k) + cristal (k Vreg(r)

)= 1

2d (k) , (1.24)

Hext = cristal (k Val(r)) , (1.25)

donde k es el vector de onda cristalino relativo al centro de la zona Brillouin, k = ~2

2m (k2x +

k2y +k2z ) y m

es la masa efectiva. En Hotros se agrupan las interacciones adicionales (porejemplo interaccin electrn-electrn) y los campos externos aplicados. Se supone queV(r) = Val(r) + Vreg(r) vara suavemente (en comparacin con el parmetro de red). Loselectrones poseen, para k=0, degeneracin de espn.

Notablemente, el cristal hace que el prefactor que afecta la interaccin espn rbitacristal sea varios rdenes de magnitud mayor que su valor de vaco vac. Esto esconsecuencia de que las funciones de onda de Bloch de los electrones son una combinacinde funciones atmicas para las cuales los efectos relativistas son mayores.

El acoplamiento espn rbita extrnseco es generado por las impurezas y defectospresentes en el sistema descriptos por Val(r). Por otro lado de la forma del Hamiltonianode la Ec. 1.24 se observa que el acoplamiento espn rbita intrnseco, cuyos efectos


estudia esta tesis, puede originarse por razones de simetra de la estructura cristalinadel material tridimensional (3D) cuando8 b (k) , 0 y/o de la asimetra del potencialefectivo regular Vreg(r) que por ejemplo puede aparecer localizado en una heterojunturasemiconductora. En cualquier caso, por simetra de inversin temporal debe cumplirsetanto que b (k)=b (k) como que d (k)=d (k).

Cuando la simetra de inversin en la red cristalina 3D del semiconductor est rota b (k)es distinto de cero. Este es el caso en semiconductores con estructura de tipo Zinc-Blendacuya ruptura de simetra de inversin espacial da origen a la interaccin espn rbita de tipoDresselhaus [Dresselhaus 55]. Aun si la red cristalina tridimensional preserva la simetrade inversin espacial la interaccin espn rbita intrnseca d (k) puede ser no nula. Estosucede en el caso de los electrones en una heterojuntura semiconductora cuyo potencialefectivo Vreg rompe la simetra de inversin espacial. Aparece as la interaccin espn rbitadenominada Rashba [Bychkov 84].

Para cada estructura cristalina y cada heterojuntura bajo estudio se requiere un estudioparticularizado para derivar la forma explcita de los vectores b (k) y d (k) as como elvalor de la constante cristal. El detalle de estos procedimientos que combinan teora degrupos, electrones de Bloch y la aplicacin de la aproximacin de funcin envolvente noes el objeto de esta tesis. Una comprensiva recopilacin de resultados en esta direccinpuede ser encontrada en la Ref.[Winkler 03].

Hamiltoniano de la interaccin tipo Dresselhaus

La mayora de los semiconductores que se utilizan para fabricar las heterojunturas quecontienen gases bidimensionales tienen estructura de Zinc Blenda. Dresselhaus mostren la Ref.[Dresselhaus 55] que la ruptura de simetra de inversin presente en esta redcristalina genera un trmino de interaccin espn rbita intrnseco. Ms especficamenteencontr que el b (k) de la Ec.1.24 es no nulo y aparece una interaccin espn rbitaintrnseca en el seno del material 3D con la forma:

HD,3D = B[kx

(k2y k2z

)x + kz

(k2x k2y

)z + ky

(k2z k2x

)y

], (1.26)

donde B es la intensidad de la interaccin Dresselhaus. Por ser originada en el seno (obulto) del material es usual afirmar que la interaccin Dresselhaus es consecuencia de laasimetra de inversin en el bulto (BIA). En el caso que aqu interesa los electrones estnconfinados a moverse en dos dimensiones. Si el potencial de confinamiento no rompela simetra de inversin espacial (como por ejemplo un pozo rectangular o un potencialefectivo similar al mostrado en la Fig.1.8b) slo la contribucin BIA de interaccin espnrbita intrnseca es relevante.

Se procede a tomar el valor de expectacin en el plano (z = cte) del 2DEG sobre elHamiltoniano de Dresselhaus 3D. Para ello se introduce en la Ec.1.26 tanto que kz = 0como que

k2z

(pi/d)2. Se ve que

k2z

es grande para longitudes de confinamiento d

pequeas, por lo tanto las contribuciones BIA ms importantes para el gas bidimensional

8La estructura cristalina descripta por Vper(r) introducida en HSO,vac determina el valor de b (k). Cuandola red cristalina no rompe la simetra de inversin espacial b (k)=0 [Dresselhaus 55, Winkler 03].


+ + + + + + + +

Capa de desercin Capa de acumulacin

2DEG Banda de Conduccin

GaAssin dopar

AlGaAsn-dopado

AlGaAsn-dopado

AlGaAsn-dopado

GaAssin dopar

2DEG

(a) (b)

z

Figura 1.8: (a) La juntura rompe simetra de inversin espacial. Esto se refleja en la formatriangular del potencial que da lugar a interaccin de tipo Rashba. (b) Este pozo cuntico norompe simetra de inversin espacial (en torno al plano de la juntura). El pozo es simtrico:slo el espn rbita originado por la posible asimetra de la red 3D est presente el de tipoDresselhaus.

son:HD =

(kxx kyy

), (1.27)

con B (pi/d)2. Una caracterstica importante de esta interaccin es que no es isotrpica,est propiedad resulta fundamental en los fenmenos de ruptura magntica estudiados enel Captulo 3.

Adems del trmino lineal en k hay tambin una contribucin en orden cbico k3:

HD,cub = B[kxky

(kyx kxy

)], (1.28)

el cual es chico comparado con HD en el lmite de pi/d kF, donde kF es el vector deonda de Fermi. Este lmite se puede asociar con una situacin de confinamiento fuerte endireccin z (d pequea) y/o de baja densidad de portadores (kF pequea). En la mayorade las situaciones experimentales se trabaja en esta condicin y el trmino de Dresselhauscbico es despreciable frente a la interaccin lineal [Koga 02, Koralek 09].

Hamiltoniano de la interaccin tipo Rashba

Independientemente del valor de b (k) (la interaccin Dresselhaus debida a BIA)puede aparecer otra contribucin a la interaccin espn rbita intrnseca. Esta situacinse produce cuando la juntura que contiene al 2DEG es asimtrica, lo que se deduce dela Ec.1.24 cuando existe una variacin de Vreg(r). La causa adicional de esta interaccinespn rbita es denominada asimetra de inversin estructural (SIA), ver por ejemplo elpotencial efectivo en la Fig.1.8a. La cantidad

zVreg(r) es mayor cuanto ms asimtricoes este potencial. Para este clculo se debe utilizar la funcin de onda asociada a la primerasub-banda (ver ejemplo en la Fig.1.6b). El gradiente anterior es no nulo nicamente endireccin z y da origen la interaccin espn rbita denominada Rashba, la forma delacoplamiento es [Rashba 60, Bychkov 84]:

HR = (kyx kxy

), (1.29)


+k

yk

xk

k

(c)(a)

Punto deDegeneracin

(0,0)

yk

xk

xk

y

y

(b)

Figura 1.9: RASHBA (a) Relacin de dispersin para ky = 0, cada parbola corresponde auna proyeccin de espn opuesta en direccin y. (b) Relacin de dispersin para el sistemabidimensional, se grafica desde dos perspectivas diferentes para visualizar mejor el punto dedegeneracin (0, 0). (c) Superficie de energa constante para > 0, las flechas indican laproyeccin de espn de los autoestados correspondientes.

que corresponde a d (k)=2 zk. A diferencia de la contribucin BIA esta interaccin esisotrpica.

El valor de expectacinzVreg(r)

controla la magnitud de la constante de acoplamien-

to . Por esta razn, puede ser modificada con la aplicacin de una diferencia depotencial entre los materiales que componen la heterojuntura pues sta modifica la formade Vreg(z). Esto permite tener un grado de control sobre el acoplamiento Rashba y ha sidodemostrado experimentalmente [Nitta 97].

El control a las constantes de acoplamiento de las interacciones BIA, en cambio, esms difcil pues requiere que se cambien propiedades del bulto del material (por ejemploal ejercer altas presiones o esfuerzos que produzcan deformaciones). Estos factores hacenque las interacciones intrnsecas originadas por SIA sean, en principio, ms atractivasexperimentalmente porque es posible modularlas de una manera prctica. Ms aun, enpozos cunticos en junturas de InAlAs-InGaAs se han encontrado valores de la interaccinRashba notables: >40meVnm [Grundler 00].

Solucin del Hamiltoniano Rashba en el espacio libre

En esta seccin se estudia la solucin para electrones libres en dos dimensionesen presencia de la interaccin Rashba. El sistema est en el rgimen balstico y no seconsidera ningn tipo de impureza o defecto. El Hamiltoniano es:

H =p2x + p

2y

2m+

~(pyxpxy) (1.30)

La interaccin Rashba equivale a un campo magntico en el plano cuya direccines dependiente del momento del electrn, esto es Bint = (gB/2)1/~(py,px) , as ladegeneracin de espn est rota y los autoestados son espinores con proyeccin de espncontenida en el plano:

k,(r)=12A

eik r(eiR/2

eiR/2

), (1.31)


donde A es el rea del sistema y eiR = (kyikx)/k. Al escribir k = k(cos, sin), se obtieneque R = pi/2 lo que muestra que la proyeccin de espn es siempre perpendicular almomento del electrn. Otra caracterstica importante es que los autoestados rotulados conlos signos tienen proyecciones de espn opuestas: R y R+pi.

Las autoenergas correspondientes son:

(k)=~2k2/2mk . (1.32)

En la Fig.1.9a se dibuja la relacin de dispersin tomando ky = 0. Definiendo k = m~2

y

E=~2k22m se rescribien estas dispersiones como:

(kx) =~2

2m(kx k)2 E, (1.33)

se produce un doble efecto sobre las relaciones de dispersin en ausencia de espn rbita:(i) se desplazan las relaciones de dispersin un vector de onda +k (k) a los estados deespn up (down) en direccin y; (ii) baja el fondo de las dispersiones una cantidad E.

Las soluciones de la Ec.1.33 para >E son cuatro, dos que viajan a la derecha y dosa la izquierda. A pesar de que el mdulo del vector de onda kx no es igual para todas lassoluciones, el mdulo de la velocidad |E(kx)

kx| es idntico para todas ellas. Esto ltimo

es una consecuencia de (i) y (ii). Un similar resultado se encuentra si en lugar de habermirado la dispersin sobre la direccin de kx se mira en cualquier otra direccin en elplano-k (pasando por el origen). En cada caso se encuentran las mismas condiciones deespn up y down con proyeccin en la direccin perpendicular a la direccin elegida en elplano-k.

La relacin de dispersin total, que responde a la Ec.1.32, es un paraboloide derevolucin como el mostrado en la Fig.1.9b. Al ser generado girando sobre el eje de energaeje normal al plano (kx, ky) que pasa por el punto origen (0, 0) cualquiera de las parbolasde la Ec.1.33 (la parabola generadora no est centrada en el origen) el paraboloide se cortaa si mismo en el punto (0, 0, 0).

Al cortar la relacin de dispersin con un plano de energa constante existen dos

valores del mdulo del vector de onda que cumplen con la Ec.1.32: k=

2m~2

( + E)kcon k+ 0), las flechas

denotan la proyeccin de espn del autoestado correspondiente. El versor en la direccinradial con ngulo en el plano-k es k = (sin, cos), luego para cada ngulo se tienendos estados que pertenecen a la superficie de Fermi cuyos vectores de onda son kk yk+k; las proyecciones de espn de estos estados son up y down en la direccin + pi/2respectivamente. De acuerdo a lo discutido anteriormente, el mdulo de la velocidad esidntico para todos los estados pertenecientes a una dada superficie de energa constante.

9Se mantiene el trmino de superficie heredado de la teora de slidos en 3 dimensiones a pesar deque para un sistema de dos dimensiones el conjunto de los valores de k = (kx, ky) que son soluciones parauna dada energa no conforma una superficie sino una o varias curvas.


+k

'yk

'xk

k

(c)(a)

'xk

'x

'x

Punto deDegeneracin

(0,0)

'yk

'xk

(b)

Figura 1.10: DRESSELHAUS (a) Relacin de dispersin para ky = 0, cada parbolacorresponde a una proyeccin de espn opuesta en direccin x. (b) Relacin de dispersinpara el sistema bidimensional, se grafica desde dos perspectivas diferentes para visualizarmejor el punto de degeneracin (kx , ky)= (0, 0). (c) Superficie de energa constante para >0,las flechas indican la proyeccin de espn de los autoestados en la banda (+) y la banda (-) enrojo y azul respectivamente.

Solucin del Hamiltoniano Dresselhaus en el espacio libre

Se procede de manera completamente anloga para resolver el Hamiltoniano en un2DEG con acoplamiento espn rbita de tipo Dresselhaus:

H =p2x + p

2y

2m+

~(pxxpyy). (1.34)

A partir de aqu se utilizan las variables primadas para acentuar el uso del sistema decoordenadas (x, y), en el cual el Hamiltoniano de Dresselhaus toma esta forma compacta.En este sistema los ejes x e y son paralelos a las direcciones [100] y [010] del cristal,respectivamente. Se propone como solucin una onda plana:

=ei(kx x+kyy)

(ab

)(1.35)

donde el espinor anterior est escrito en la base de z . Al aplicar el Hamiltoniano seobtiene: ~22m

(k2x + k

2y)

(kx + iky

)(kx iky

)~2

2m(k2x + k

2y) = (1.36)

Se encuentra que las autoenergas son:

(k)=~2k2/2mk . (1.37)En la Fig.1.10a se dibuja (kx) tomando ky = 0. En el panel (b) de la misma figura segrafica la relacin de dispersin completa. La forma de las autoenergas es idntica a lasdel caso con Rashba. Se definen de la misma manera que en caso anterior los mdulos delmomento en cada superficie de energa constante:

k=

2m

~2( +

m2

2~2) m

~2(1.38)


Existen dos tipos de soluciones para la energa , que utilizando la misma terminologadel caso anterior, se agrupan en:

Banda (+): comprendida por aquellos estados con |k|= k+. Ver el crculo de menorradio en la Fig.1.10c.

Banda (-): estados con |k|=k. Ver el crculo de mayor radio en la Fig.1.10c.Las autofunciones tienen la proyeccin de espn contenida en el plano:

k,(r)=12A

eik r

(eiD/2eiD/2

), (1.39)

donde A es el rea del sistema y eiD = (kx iky)/k. Al escribir k = k(cos, sin),se obtiene que D = . Lo anterior significa que el vector de onda y el espn slo sonnormales en dos direcciones caractersticas. Las direcciones en las cuales esto sucede son,primero:

mod pi =pi

4(1.40)

que equivale a la direccin en la cual kx = ky (direccin cristalina [110]), y en segundolugar:

mod pi = pi4,

que equivale a la condicin kx = ky (direccin cristalina [110]). En el primer caso lasproyecciones de los autoestados son las mismas que en caso de acoplamiento Rashba,mientras que en el segundo caso son opuestas. Esto ltimo tiene consecuencias cuandoambas interacciones coexisten.

Se indica con flechas la proyeccin de espn de los autoestados para valores caracters-ticos de k en la Fig.1.10c, el ngulo del espinor es D en la banda (+) (flechas rojas) yD+pi en la banda (-) (flechas azules).

Captulo 2

Polarizacin de espn inducida porcorriente

En este captulo se estudia cmo, en muestras limpias con interaccin espn rbita detipo Rashba, el pasaje de una corriente da lugar a patrones de polarizacin de espn dentrode la muestra. De aqu en ms, se utiliza la sigla CISP al referirse a la polarizacin deespn inducida por corriente (del ingls Current Induced Spin Polarization).

Se encuentra que tanto la forma como la amplitud de estos patrones dependenfuertemente de la geometra del dispositivo y de la energa de Fermi en el mismo. Elpapel de la corriente debe ser entendido como fundamental pues sta genera el desbalanceen la ocupacin entre los estados que viajan hacia uno y otro lado de la muestra. Sin estedesbalance o ruptura de simetra, cuando el sistema est en equilibrio, la ocupacin delos estados con velocidad en sentidos opuestos es idntica lo que resulta en la anulacincompleta (una a una) de las polarizaciones de espn que cada uno de ellos aporta. El hechode que los estados con velocidades opuestas generen polarizacin de espn opuesta sededuce simplemente de la simetra de inversin temporal presente en el sistema.

En primer lugar se investigan los estados electrnicos en presencia de un borde enla muestra y su contribucin a la polarizacin de espn, se estudia la dependencia con laenerga de estas contribuciones. Luego se agrega otro borde formando una muestra tipocinta y se observa interferencia en la CISP debido a las condiciones que ambos bordesimponen a las funciones de onda. Se muestra que la componente de polarizacin de espnfuera del plano tiene simetra impar con respecto al centro de la cinta.

La segunda parte del captulo se centra en el anlisis de muestras cuyas geometrascondicionan las funciones de onda y por ende la CISP en ellos. Para el caso de cablescunticos, se analizan en detalle las tres componentes de la CISP, las simetras quepresentan y su dependencia con energa. Se discute el efecto sobre la CISP de la rugosidaden los bordes y de la caracterstica de la interfase entre reservorios y muestra. Se muestraque la CISP puede ser magnificada localmente en presencia de modos resonantes. Adems,una barrera (o contacto puntual), cuya altura en energa se fija mediante un voltajede compuerta, permite controlar elctricamente la caracterstica de la CISP dentro deldispositivo. Finalmente se trabaja en sistemas con uno o ms ngulos rectos, este tipo demuestras ya estn siendo investigadas experimentalmente [Kato 05].

24 Polarizacin de espn inducida por corriente

2.1. Introduccin

En los ltimos aos la interaccin espn rbita (SO) ha sido extensivamente investigadadebido a su potencialidad para controlar los espines de los portadores en gases deelectrones (o de huecos) bidimensionales. Resultados experimentales en esta direccinhan amplificado la cantidad de trabajo en esta rea. Este captulo trata en particularsobre la polarizacin de espn que se induce en muestras con SO como respuesta a unacorriente elctrica externa. Cuando se estudia en particular la polarizacin o acumulacinde espn en los bordes de la muestra, se suele llamar a este fenmeno efecto Hall deespn (spin Hall effect). Esta denominacin es una directa analoga con el efecto Hallusual en el cual se genera acumulacin de cargas opuestas en forma transversal a lacorriente elctrica aplicada. La interaccin espn rbita ya sea de origen intrnseca oextrnseca en el material puede dar lugar a este nuevo fenmeno. Este efecto no requiere uncampo magntico aplicado, y depende de la geometra, la dimensionalidad, el desorden eimpurezas presentes en la muestra, y la densidad de portadores esto hace de su anlisisun campo muy amplio de investigacin.

Los primeros aportes tericos relacionados a este efecto predicen acumulacin opolarizacin de espn en los bordes cuando una corriente elctrica circula en unamuestra con interaccin espn rbita inducida por la presencia de desorden o impurezas[Dyakonov 71, Hirsch 99] (ver el Hamiltoniano en la Ec.1.25). Al mismo tiempo otrostrabajos tericos predicen que el efecto Hall de espn puede aparecer como producto demecanismos intrnsecos [Edelstein 90, Sinova 04].

En gran parte de las observaciones experimentales, estos efectos pueden ser explicadossi se supone la presencia de interaccin espn rbita de tipo extrnseco. Este es el casodel experimento en la Ref.[Kato 04] en el que la corriente induce acumulacin de espnque es detectada con mediante microscopa Kerr en muestras tridimensionales de capasde n-GaAs con un ancho de 2m. Dichas mediciones no muestran dependencia con ladeformacin de la muestra (producto de someter al sistema a altas presiones) lo que seopone a lo esperado si se tratara de interaccin espn rbita de tipo intrnseco. Adems,clculos tericos son capaces de explicar cualitativa y cuantitativamente las medicionesobservadas haciendo uso de modelos de espn rbita extrnseco con algunos parmetros deajuste [Engel 05, Tse 06]. Experimentos similares en ZnSe [Stern 06] tambin respondena esta teora, observndose efecto Hall de espn a temperatura ambiente. Finalmente, enla Ref.[Valenzuela 06] se reporta la observacin de acumulacin de espn en Al, donde seinduce un voltaje transverso debido al mecanismo extrnseco [Hirsch 99].

Por otro lado en los experimentos presentados en la Ref.[Wunderlich 05] existenevidencias de que la acumulacin de espn observada es producto de mecanismosintrnsecos de interaccin espn rbita. Las muestras son gases de huecos en capas de GaAs(dopado con impurezas aceptoras o p), es decir heterojunturas semiconductoras que comose ha visto son sistemas con potencial para presentar efectos de interaccin SO intrnseca.Cmputos tericos en gases de huecos han sido consistentes con los valores observadosen este experimento [Nomura 05b]. Sin embargo existen tambin experimentos en 2DEGsemiconductores [Sih 05] que parecen responder al mecanismo extrnseco. Se espera queel mecanismo intrnseco sea dominante en muestras de elevada calidad (pocas impurezas

2.1 Introduccin 25

y defectos) y con suficiente asimetra como para que el valor de al menos una de lasconstantes de acoplamiento intrnsecas sea grande.

Una lnea importante de trabajo terico enfoca al problema del efecto Hall de espnconcentrndose en el clculo de las corrientes de espn transversales como funcin delcampo elctrico longitudinal aplicado, ver por ejemplo las Refs.[Murakami 03, Sinova 04,Dimitrova 05]. Por ejemplo como respuesta a un campo elctrico Ex aplicado en ladireccin x se calcula la corriente (en la direccin transversal y) de espn z. Estascantidades en respuesta lineal estn vinculadas por la conductividad Hall de espn1 SH,esto es jzy = SHEx. En muestras limpias sin barreras en rgimen balstico la cadade potencial est localizada en los contactos con los reservorios [Datta 95, Ferry 97](ver la Fig.1.2a y la discusin en la Sec.1.1). Esto ltimo excluye la presencia de uncampo elctrico dentro de la muestra y por lo tanto el anterior esquema para explicar laacumulacin de espn es inviable. Aun en los casos en que hay campo elctrico dentro dela muestra existen limitaciones para relacionar las corrientes de espn con la acumulacinde espn observada.

En el caso del transporte de cargas se cumple la ecuacin de continuidad c+div ~j c = 0que vincula claramente la corriente de carga con la densidad (o acumulacin) de carga.Para el transporte de espn habra que reemplazar c por una densidad de espn S i y lacorriente de carga ~j c por la corriente de espn. Sin embargo, la presencia de interaccinespn rbita hace que el espn no sea una cantidad conservada y entonces no es posibleescribir una ecuacin de continuidad similar a la de carga. Estrictamente aparecen trminosadicionales que hacen muy dificultosa la estimacin de densidades de espn en unadeterminada regin del espacio a partir del conocimiento de las corrientes de espn[Rashba 03, Rashba 04a].

De aqu en adelante, cuando se utiliza el trmino acumulacin de espn no se debeinterpretar que el fenmeno es el resultado de una corriente de espn que empujaportadores hacia alguna zona de la muestra y genera los patrones observados. Lo correcto,que no presenta ambigedad, sera referirse al fenmeno como polarizacin de espnenfatizando as que el efecto emerge de las propiedades de los estados que contribuyena la corriente. Es en este ltimo sentido que a lo largo de este captulo se hace usoindistintamente de los trminos acumulacin y polarizacin de espn.

Este captulo sintetiza lo estudiado en la Ref.[Usaj 05] y principalmente en lasRefs.[Reynoso 06a, Reynoso 06b]. Se investiga la polarizacin de espn inducida porel pasaje de una corriente elctrica en distintos tipos de muestras nanoscpicas en elrgimen balstico libre de impurezas. En todos los casos se incluye la interaccin deespn rbita de tipo Rashba, mecanismo intrnseco presente debido a la asimetra del pozocuntico que configura el gas bidimensional. Trabajos numricos como [Hankiewicz 04,Nikolic 05a, Sheng 05, Lozano 05, Nomura 05a] entre otros, se encontraban disponiblesantes de la realizacin de nuestro trabajo. Nuestro aporte acenta el rol fundamental de las

1Los primeros trabajos que estudian el efecto Hall de espn producido por la interaccin detipo Rashba encontraron un valor universal de e/8pi para SH. Clculos posteriores establecieron queesta conductividad se anula en presencia de desorden aun si este es infinitesimal. Por ejemplo verreferencias [Inoue 04, Mishchenko 04, Khaetskii 06, Rashba 04b, Chalaev 05, Bernevig 05, Raimondi 05,Malshukov 05, Dimitrova 05].


condiciones de contorno en el origen de la polarizacin2 y propone dejar de lado efectosno lineales para un mejor entendimiento del efecto.

En la siguiente seccin se discute la fsica fundamental introducida por la presencia delos bordes y de una corriente en un 2DEG con espn rbita. El tratamiento fue presentadocomo punto de partida en la Ref.[Reynoso 06a] pero fue presentado por primera vezen la Ref.[Usaj 05]. Los resultados mostrados son una extensin de dicho trabajo quecorresponde a la primera seccin de la Ref.[Reynoso 06a]. Los clculos de esta seccinfueron realizados por Gonzalo Usaj. Se estudia la dependencia con la energa de lapolarizacin de los estados que cumplen las condiciones de borde y se distinguen cualesson los estados que ms contribuyen a la CISP. En sistemas anchos, se muestra cmo lacorriente genera patrones de polarizacin de espn cerca de los bordes.

En la ltima seccin se estudia la CISP en sistemas con diversas geometras y detamaos nanoscpicos. Se subrayan las peculiaridades de la CISP en muestras simtricas,separndolas de los efectos de tamao finito y de dispersin a la entrada/salida de lamuestra [Reynoso 06a]. Se investiga el comportamiento de la CISP frente a la presenciade rugosidad. Por ltimo se exploran algunos mecanismos que brindan la posibilidad deamplificar y controlar la polarizacin en sistemas angostos [Reynoso 06b].

2.2. Sistemas anchos

Siguiendo la misma convencin de las secciones anteriores el gas bidimensional deelectrones contenido en el plano (x, y) posee interaccin espn rbita de tipo Rashba. ElHamiltoniano del sistema es

H =p2x + p

2y

2m+

~(pyxpxy) + V(r) , (2.1)

donde hay un potencial de confinamiento V(r) en el plano del 2DEG que define lageometra de la muestra: cinta, saliente, contactos puntual, codo, etc.. La interaccinRashba, como se ha visto, acta como un campo magntico efectivo contenido en el planodel 2DEG, este campo es dependiente del momento del electrn. Es claro que la dispersinen el borde cambia el momento del electrn, como se ver, la presencia del acoplamientoespn rbita hace que el proceso de reflexin no sea el usual.

Hamiltonianos

El Hamiltoniano de la Ec.2.1 es general para toda geometra del sistema. En estaprimera parte del captulo se estudian dos casos de sistemas anchos que muestran elcomportamiento genrico que se puede encontrar. Primero, sistemas en los cuales todootro borde se encuentra suficientemente lejos para no tener influencia sobre la fsica en elborde estudiado, de esta manera este sistema es bsicamente un sistema con un slo borde.Se encontr que esta condicin se cumple cuando el segundo borde se encuentra a una

2En la actualidad los estudios acerca de la CISP en sistemas balsticos con acoplamiento espn rbita detipo intrnseca concuerdan en cual es el origen de la polarizacin. La posibilidad de corrientes de espn queinducen acumulacin es descartada en sistemas nanoscpicos limpios.

2.2 Sistemas anchos 27

distancia Ly LS O donde LSO = pi~2/m es la distancia caracterstica del acoplamientoRashba.

Como se ver esta es la configuracin ms simple que puede mostrar polarizacin deespn inducida por el pasaje de una corriente, matemticamente es descripto como un gasbidimensional semi-infinito:

V(r)={

0 si y 0 si y < 0 . (2.2)

El segundo caso considerado es una muestra tipo cinta en la cual ambos bordes estn losuficientemente lejos (por ejemplo cuando Ly10LSO) de manera de que en las vecindadesde cada uno de los bordes se mantienen patrones de acumulacin de espn similares al casoanterior, pero existe una modificacin parcial de los patrones debido a las interferenciasproducidas por la presencia del otro borde:

V(r)={

0 si 0 y Ly para otro y . (2.3)

Cuando la distancia Ly entre ambos bordes es suficientemente pequea (Ly . LSO) elpatrn original se modifica completamente con respecto al caso de bordes aislados, estetipo de sistema se estudia en la segunda parte del captulo.

En ambos casos se utiliza el modelo de pared impenetrable. Este es bueno para modelarun potencial real que crezca a un valor V0, con V0 EF en un distancia menor o del ordende la longitud de Fermi.

Solucin. Polarizacin de espn en los bordes

Se trabaja con el potencial de la Ec.2.2. El sistema considerado es perfectamentelimpio por lo cual el nico proceso de dispersin presente tiene lugar en el bordedel 2DEG. Al resolver la reflexin del electrn en el borde se encuentra una serie depropiedades inusuales producto de la presencia de la interaccin Rashba [Khodas 04,Ramaglia 04, Chen 05, Usaj 05]. Los hallazgos ms interesantes son: (i) aparicin demodos evanescentes localizados en el borde de la muestra, (ii) la mezcla de estados debulto que corresponden a diferentes bandas. Estos efectos geomtricos son suficientespara justificar y entender la aparicin de polarizacin de espn como consecuencia de lacirculacin de una corriente.

Se procede a tomar las soluciones para el Hamiltoniano de la Ec. 2.1 en el espaciolibre (V(r)=0). Para calcular el transporte en el lmite de respuesta lineal y a temperaturacero es suficiente con conocer el comportamiento del sistema a la energa de Fermi. Lassoluciones a una dada energa (dos crculos concntricos en el plano-k, ver la Fig.1.9c)se asocian naturalmente a dos bandas, la banda (+) y banda (), cuyos autoestados tienenproyeccin de espn (contenida en el plano del gas y perpendicular al vector de onda)opuestos entre s (ver detalles en la Sec.1.2).

A causa de la simetra de traslacin del sistema a lo largo del eje x, una onda incidente(kx,ky),(r) donde = es el ndice de banda es reflejada conservando la componente


a)

kx

ky

x

ky

kx

b)

x

ky

kx

c)

x

'

'

Figura 2.1: Reflexin en los bordes de la muestra. En (a) y (b) se muestran los casos en loscuales las ondas incidentes tienen |kx| k+. En este caso no hay estados enla banda (+) disponibles y la reflexin se hace en una onda plana de la banda () y en la ondaevanescente mostrada. Este estado evanescente posee polarizacin neta en direccin z e y.

x del momento, kx. La continuidad de la funcin de onda en el borde requiere que

k,(x, 0)=0, (2.4)

donde k,(r) es la funcin de onda total que es un combinacin lineal de soluciones parala energa bajo estudio. Dado que los dos estados sobre la misma banda con el mismo kxtienen orientaciones de espn diferentes, la condicin en el borde slo puede ser satisfechaagregando un estado adicional de la otra banda, siempre que este ltimo exista (|kx| < k+).La funcin de onda total en este caso (ver las Figs.2.1a y 2.1b) es una combinacin linealde la onda incidente y de dos ondas reflejadas (una de cada banda):

k,(r) = (kx,ky),(r) + R(kx,ky),(r) + R(kx,ky),(r) , (2.5)

donde k= (kx, ky) es el vector de onda de la onda incidente3 en la banda =. Se encuentraque [Usaj 05]:

R = cos([ ] /2)

sin([ +

]/2)

, R =i cos

sin([ +

]/2)

.

Donde los ngulos y estn definidos en la Fig.2.1b. En el caso de incidencia normal(== pi2 ) la onda se refleja completamente en la banda opuesta a la de la onda incidente,as la proyeccin de espn se conserva perfectamente de manera de satisfacer la Ec.2.4.

En general la interferencia entre estas ondas de distinto espn, necesarias para satisfacerla condicin en el borde, genera una oscilacin en la densidad de espn dentro de lamuestra. Las densidades de espn producto de uno de estos estados se definen como jk, = k,(r) jk,(r) con j = x, y, z. Esta superposicin tiene componente deespn fuera del plano no nula. Se muestra ms adelante que en muestras pequeas estacomponente puede ser importante.

3En este caso particular, dada la orientacin del borde, los valores de ky y ky que tienen sentido fsico sonnegativos.

2.2 Sistemas anchos 29

Figura 2.2: (a) Soluciones de energa constante para los modos evanescentes en el plano Kkxpara = 0 y , 0. y indica respectivamente proyeccin de espn paralela y antiparalelaal eje z. (b) Esquema de la proyeccin de espn de los autoestados evanescentes (|kx|>k+). Laproyeccin de espn es opuesta a ambos lados de la muestra y el signo de esta depende delsigno de kx.

Luego se considera el caso para el cual la onda incidente est en la banda () y sumomento es tal que no existen estados de idntico kx en la banda (+). Esto se muestra enla Fig.2.1c, cuando: |kx| > k+ = [(2~2/m+2) 12||]m/~2. Esto ltimo significa que, sin unestado reflejado en la banda (+), no es posible satisfacer la condicin de borde combinandolas soluciones de la banda () ya que sus proyecciones de espn son diferentes. Se resuelveesta situacin gracias a que, para estos valores de kx, el Hamiltoniano admite solucionesevanescentes:

kx,ev(r)=1C

ei kx xeKy(ab

), (2.6)

donde se han definido:

K =

k2xk2+ , ||k+a= i(kxK)b , (2.7)

aqu C es una constante de normalizacin y |a|2 + |b|2 = 1. El trmino de decaimientoeKy es lo que caracteriza a esta solucin como evanescente. Un signo negativo (positivo)para K tiene sentido fsico para una muestra que se extiende desde el borde hacia lascoordenadas-y positivas (negativas). Si la muestra es una cinta muy ancha comprendidaentre las posiciones ymin e ymax, el signo positivo y negativo de K describe las ondasevanescentes generadas en el borde ymax e ymin respectivamente.

En la Fig.2.2 se muestra el conjunto de soluciones evanescentes para una energa dadaen el espacio K-kx. Mientras que en un sistema sin confinar esta solucin no tiene sentidofsico, en presencia de un borde, debe ser incluida para satisfacer la condicin de contorno.En este caso la funcin de onda total es una combinacin lineal de (kx,ky),(r), (kx,ky),(r)y kx,ev(r). Los modos evanescentes tienen propiedades interesantes que son ingredientesclaves en la generacin de CISP en muestras grandes. A diferencia de los estados no-evanescentes, su proyeccin de espn no est contenida en el plano del 2DEG. Esto seobserva directamente del cociente:

|a|2|b|2 =

kxKkx+K

,1 . (2.8)


El signo de la proyeccin de espn en direccin z slo depende de los signos de kx y deK. Como se mencion previamente, el signo de K para un dado borde est fijado por lacondicin de que la funcin de onda no sea divergente para y de acuerdo haciadonde se extienda la muestra, en otras palabras la funcin de onda no puede amplificarse amedida que se aleja del borde. En el caso planteado en el potencial de la Ec.2.2 la funcinde onda debe decaer cuando l

tesis navegable

Documents

Transcript of tesis navegable