TESIS PROFESIONAL Que para obtener el título de Ingeniero ...

INSTITUTO POLITÈCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA YARQUITECTURA UNIDAD ZACATENCO

TESIS PROFESIONAL

Que para obtener el título de Ingeniero Civil

Uriel Pérez Granados

Ing. José Luis Flores Ruiz

ANALISIS Y DISEÑO DE ARCOS

U r i e l P é r e z G r a n a d o s

I

AGRADECIMIENTOS

Primero que nada y antes que todo doy las gracias a Dios por darme la oportunidad de estar en el camino en el cual hasta ahora he tratado de guiarme con al mejor seriedad y tratando de cumplir hasta donde mi humanidad me lo permite, y tan solo doy gracias por poder despertar un día más en compañía de tanta gente que me rodea y de la cual aprendo día con día.

También debo a gradecer a todas aquellas personas tanto vivas como aquellas que ya no están entre nosotros y que dentro de ellas puedo nombrar a científicos, profesores, amigos, colegas, y familia los cuales han tenido que ver mucho en la persona que ahora soy, algunos con ejemplos buenos y otros con malos, pero un agradecimiento sincero a todos ellos porque para bien o para mal han contribuido a forjar la persona en la que me he convertido hasta estos días. Generalizo este agradecimiento simplemente porque no podría terminar en estas breves líneas de contar tantas experiencias de las cuales he aprendido mucho, solo me queda por decir que todos esos recuerdos y enseñanzas los llevare conmigo en mi corazón y hasta la tumba.

Gracias.



II

Índice Pagina Agradecimientos I Índice General II Introducción V Antecedentes VI I. Breve historia de los arcos 1 II. Consideraciones previas 7 III. Clasificación de los arcos 11 III.1. Clasificación de los arcos por su forma 11 III.1.1. Tipos de arcos derivados 14 III.1.2. Tipos de arcos geométricamente combinados 16 III.2. Clasificación de los arcos por su comportamiento estructural 18 III.2.1. Clasificación por su forma geométrica 19 III.2.2. Clasificación por su sistema de cargas 19 III.2.3 Clasificación por su sistema de apoyos 20 IV. Tipos de Estructuras 22 IV. 1 Condiciones de Isostaticidad 23 V. Tipos de arcos 33 V.1. Arco triarticulado 33 V.2. Arco empotrado y simplemente apoyado 33 V.3. Arco doblemente empotrado y articulado 34 V.4. Arco biarticulado 34 V.5. Arco doblemente empotrado 35 VI. Análisis de algunos tipos de arcos 36 VI.1. Análisis del arco circular triarticulado 36 VI.1.1. Producto entre dos vectores 40 VI.1.2. Vector unitario 41 VI.1.3. Resumen 56 VI.2. Análisis del arco parabólico triarticulado 57 VI.2.1. Resumen 64 VI.3. Análisis del arco elíptico triarticulado 64 VII. Solicitaciones 72 VII.1. Requisitos fundamentales 72 VII.1.1 Gestión de la Fiabilidad 73 VII.1.2. Vida útil de cálculo 75 VII.1.3. Durabilidad 75 VII.1.4. Gestión de calidad 76 VII.1.5. Estados límite 76 VII.1.5.1. Generalidades 76 VII.1.5.2. Situaciones de proyecto 77 VII.1.6. Estados limite últimos 77 VII.1.7. Estados límite de servicio 78 VII.1.8. Cálculo de estados limite 79 VIII. Reglamentos 80 VIII.1. Reglamento de Construcción del Distrito Federal (México) 81 VIII.1.1 De las cargas muertas 81 VIII.1.2. De las cargas vivas 81 VIII.1.3. Del diseño por sismo 81 VIII.1.4 Del diseño por viento 82 VIII.2. Normas técnicas complementarias para el Reglamento del DF 82 VIII.2.1. Alcance 82 VIII.2.2. Unidades 83



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VIII.2.3. Acciones de diseño 83 VIII.2.4. Intensidades de diseño 84 VIII.2.5. Combinaciones de acciones 84 VIII.2.6. Criterios de diseño estructural 85 VIII.2.6.1 Estados límite 85 VIII.2.7. Resistencias de diseño 86 VIII.2.7.1. Determinación de resistencias de diseño 86 VIII.2.8. Condiciones de diseño 86 VIII.2.8.1. Factores de carga 87 VIII.2.9. Estados límite de servicio 87 VIII.2.9.1. Desplazamientos 87 VIII.2.9.2. Vibraciones 88 VIII.2.10. Acciones de diseño 88 VIII.2.10.1. Cargas muertas 88 VIII.2.10.2. Peso muerto de losas de concreto 88 VIII.2.10.3. Empujes estáticos de tierras y líquidos 88 VIII.2.11. Cargas variables 89 VIII.2.11.1. Cargas vivas 89 VIII.2.11.2. Disposiciones generales 89 VIII.2.11.3. Cargas vivas transitorias 90 VIII.2.11.4. Cambios de uso 90 VIII.2.11.5. Cambios de temperatura 90 VIII.2.11.6. Deformaciones impuestas 91 VIII.2.11.7. Vibraciones de maquinaria 91 VIII.3. Arcos, cascarones, y losas plegadas 91 VIII.3.1. Dimensionamiento 92 VIII.3.2. Sismo 92 VIII.3.2.1. Criterios generales de diseño 92 VIII.3.2.2. Condiciones de análisis y diseño 92 VIII.3.2.3. Zonificación 93 VIII.3.2.4. Coeficiente sísmico 93 VIII.3.2.5. Factor de comportamiento sísmico 93 VIII.3.2.5.1. Requisitos para Q = 4 94 VIII.3.2.5.2. Requisitos para Q = 3 94 VIII.3.2.5.3. Requisitos para Q = 2 95 VIII.3.2.5.4. Requisitos para Q = 1.5 95 VIII.3.2.5.5. Requisitos para Q = 1 95 VIII.4. Euro código (Normas UNE) 96 VIII.4.1. Tipos de carga (Acciones) 96 VIII.4.2. Clasificación de las acciones 96 VIII.4.3. Carga muerta (cargas permanentes) 98 VIII.4.3.1. Representación de las acciones 99 VIII.4.4. Carga viva 99 VIII.4.4.1. Forjados, vigas y cubiertas 100 VIII.4.4.2. Pilares y muros 100 VIII.4.4.3. Valores característicos de las cargas de uso 101 VIII.4.5. Sismo 102 IX. Diseño de algunos tipos de arcos 103 IX.1. Diseño de arco parabólico con dos articulaciones 103 IX.1.1. Ecuaciones de fuerzas y momentos 103 IX.2. Diseño de una nave industrial en arco de tipo parabólico. 116 IX.2.1. Geometría 116



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IX.2.2. Análisis 118 IX.2.3. Diseño 119 IX.2.3.1. Cálculo de la Geometría 121 IX.2.3.2. Elementos mecánicos de diseño 122 IX.2.3.3. Cálculo del diseño 123 IX.2.4 Armado General 126 IX.2.5 Diseño de Cimentación 132 IX.3. Techo sin estructura 137 IX.3.1. Cubiertas 137 IX.3.1.1. Tipo membrana 137 IX.3.1.2. Tipo semicircular 138 IX.3.2. Características y ventajas 139 IX.3.3. Aplicaciones 139 IX.3.3.1. Detalles constructivos 140 IX.3.4. Datos Generales 146 IX.3.4.1. Zonas Eólicas 148 IX.3.4.2. longitud de arco circular para sistemas auto soportantes 150 IX.3.5. Diseño de arco circular 155 X. Trazo de algunos tipos de arcos 158 X.1. Determinación y aplicación de la curva catenaria 198 XI. Análisis de resultados 201 XI.1. Esperados 201 XI.2. Obtenidos 202 XI.3. Interpretación de resultados 203 Conclusiones VI Recomendaciones VIII Bibliografía IX Otras referencias X Índice de figuras XI Índice de tablas XV Índice de ejemplos XVI Anexos Anexo A. Diagramas y ecuaciones para distintos tipos de cargas en arcos



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INTRODUCCIÓN

Hace ya mucho tiempo que el hombre comenzó a crear asentamientos urbanos, y desde ese entonces tuvo la inquietud de comenzar a fijarse en términos arquitectónicos de sus ciudades llevándolo cada vez más a encontrar formas y criterios, los cuales dieron cabida a gran variedad de estructuras que aún hoy en la actualidad algunas son admirables, por sobrevivir a un sin número de calamidades y seguir existiendo.

Un tipo de estructura que encontró la cúspide de lo estético y lo estructural fue el arco, ya que por sus variantes en cuanto a forma y sus diversos criterios de análisis es sin lugar a dudas una de las preferidas por muchos a través de la historia. Y precisamente por tener varios criterios de análisis a veces tan complejos se ha optado en su mayoría por elementos rectos perdiendo muchas veces lo estético.

Este material recopilado, ejemplificado y presentado, expone un compendio lo más ampliamente posible en cuanto a estructuras en forma de arco se refiere, ya que hay poco material en los libros que aterrice de una manera práctica para el análisis y diseño de los mismos, cabe mencionar que muchas veces se persigue la perfección en la documentación y abarcar el tema lo más posible y aunque ahondando mucho mas se encontrarían un sin fin de ejemplos de aplicación y teorías que en la actualidad se están practicando, aquí tratamos de dar las bases para que aún cualquier persona que esté en los inicios del aprendizaje de este tema pueda abarcarlo sin ningún problema, ya que con los ejemplos que se abordan ejemplifican bastante bien cada caso aquí mencionado y se busca que al lector le sea lo más fácilmente posible el entendimiento de los temas.

Se optó por abarcar el análisis y el diseño porque la gran mayoría de los autores solo atacan una cosa a la vez, ya se diga el análisis o el diseño pero siempre por separado y en la mayoría de las ocasiones al profesionista o a alguien que apenas comienza a abordar el tema es difícil conjuntar esos elementos por separado, por esta razón la inquietud de crear un material de apoyo el cual sirva tanto a alumnos, profesores e interesados en el tema para poder entender de manera práctica y paso a paso la manera de analizar y diseñar estructuras de este tipo, formándose un criterio propio en el cual solo tenga como limites la imaginación.



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ANTECEDENTES

Me gustaría dar a conocer en estas breves líneas algunos de los trabajos que inspiraron la creación de este documento, y primeramente puedo citar los apuntes del Ing. José Luis Flores Ruiz; al poder tener la fortuna de ser su alumno y cursar una asignatura que llevaba por nombre “Estructuras Especiales de Concreto”, pude percatarme en un capítulo del temario que cubriríamos el diseño de arcos, surgió un poco mi curiosidad ya que anteriormente me había preguntado porque en toda la carrera de Ingeniería Civil no habíamos ahondado en estructuras curvas sino hasta la especialidad, sin pasar por alto un pequeño tema de análisis de arcos que fue un tema en la asignatura de estructuras II que previamente curse, aunque no se aterrizó y no dejó satisfecho como es que en la vida real se podría efectuar una construcción de este tipo y más que nada porque aquí en nuestro país no se estila construir con formas más complejas, sino únicamente con las rectilíneas salvo algunos lugares específicamente desarrollados. Al recibir el curso con el Ingeniero antes mencionado, pude consolidar como realizar una estructura de este tipo en la vida real pero aun así sentí que hacía falta algo y esto sería su previo análisis, con la inquietud en mente busque algún libro que me pudiese ilustrar más acerca de este tema y poder complementar lo visto en las aulas, pero cuál fue mi sorpresa que no encontré alguno que pudiera adquirir para poder comprarlo y satisfacer esta necesidad de aprendizaje; con esta idea en la cabeza proseguí a buscar alguno en la biblioteca, tras un lapso considerable de tiempo encontré algunas cosas interesantes como el libro de “Pórticos y arcos”(De Valerian Leontovich), que hacia un gran compendio de casos posibles para diferentes estados de carga en un arco, muestra fórmulas y diagramas que nos ejemplifica los casos más comunes de encontrar en la práctica profesional y de hecho se admira un trabajo así, ya que se debió tener mucha paciencia para realizar tantos ejemplos de cálculo pero encontré una pequeña desventaja y esta es que simplemente no nos enseña como analizarlos nosotros mismos, se me presento como un recetario parecido al que utilizan los chefs al momento de cocinar en el cual solo te dice cómo utilizar los ingredientes y no nos deja volar libremente. Continúe mi búsqueda sin descartar a este autor y encontré La Tesis Profesional “Diseño de arcos de Concreto Armado”, de un egresado de esta institución educativa, da un panorama muy acertado de lo que pretendo con este trabajo, pero que lo veo muy enfocado a puentes y también no explica muchas cosas en las cuales en lo particular me surgieron al revisar su trabajo y utiliza metodologías muy propias pero también muy avanzadas para aquellos que comienzan a incursionar en el tema por lo que definitivamente me condujo a pensar en hacer un Texto que simplifique la comprensión para aquellas personas que comienzan a adentrarse en este campo e estudio, y aquí fui capturado por la sorpresa de que era la única tesis profesional que atacaba este tema, y fue por ello que más nació mi inquietud por realizar este trabajo para complementar lo ya existente y contribuir con algo a la comunidad escolar.

Seguí mi búsqueda de más información en libros de análisis estructural y de diseño y en algunos solo encontraba mención de algunas cosas, en otro solo encontraba como calcular las reacciones, otros solo tenían como hacer un pequeño diseño, fue hasta este punto donde nació y se perfecciono mi objetivo. Existía información del tema que me interesaba pero estaba muy dispersa y no existía un solo libro que atacara desde los conceptos básicos, saltar de ahí a los inicios del análisis y posteriormente entrar al análisis de manera propia para finalmente cerrar con un diseño, y es por este motivo que a groso modo explico me llevo a iniciar este trabajo que espero cumpla con su finalidad, el contar con algo concreto acerca del tema en cuestión.



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CAPITULO I. BREVE HISTORIA DE LOS ARCOS

Los puentes en arco se conocen de la más remota antigüedad y aparecen restos arqueológicos de puentes en arcos de piedras desde de los Sumerios en Mesopotamia, 2.000 A.C. Parece haber un cierto consenso en que en Europa fueron los etruscos en Italia, quienes usaron por primera vez el verdadero arco sobre el año 800 A.C. Por verdadero arco se entiende, aquel en que las dovelas de piedra se orientan radialmente con el mismo (Fig.1), para distinguirlo de las falsas bóvedas/arcos mediante la disposición de piedras o ladrillos en voladizos progresivos (Fig.2.)

Fig.1 Arcos de Sansánidas, Irán 400 A. C.) Fig.2 Falso arco con piedras en voladizo.

En cualquier caso estas realizaciones no tienen una expansión ni generalización en las construcciones de las civilizaciones egipcia y griega; a pesar de que hay constancia de algunas realizaciones de arcos que prueban que estas civilizaciones lo conocían. Es con la civilización Romana cuando los arcos de piedra se generalizan y adquieren carácter de construcción habitual que ya no se interrumpirá hasta el siglo XVIII. Así pues, podemos decir que si el final de la prehistoria y el principio de la historia comienza con las culturas mesopotámicas entre el Tigris y el Éufrates, la Historia de los arcos propiamente dicha se retrasa respecto a la historia general ya que no se inicia hasta la aparición de la civilización Romana unos 700 años antes de Cristo.



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Fig.3 Puente Romano de Mérida, España. Fig.4 Puente medieval en Frías, Burgos.

Los puentes en arcos de piedra pasan por diferentes etapas: Los puentes romanos (Fig.3: Puente Romano de Mérida), los puentes medievales (Fig.4: Puente medieval en Frías Burgos) y los puentes modernos de los siglos XVI al XIX de los que traemos aquí el puente de la Concordia sobre el río Sena en París que fue proyectado por J. R. Perronet a finales del siglo XVIII, se construyó entre 1787 y 1791, fue reforzado y ensanchado en 1932, y sigue en uso hoy día. Representa, el momento histórico en que los arcos de piedra se abordan de una manera más racional y academicista. Aunque se sigan construyendo arcos de piedra todavía durante bastantes años, se nos antoja que la figura de Perronet representa a todos esos puentes de piedra “modernos” que se van a construir a partir de él1 (Fig.5).

Fig.5 Puente de la Concordia, París, 31m, J.R. Perronet

1 Santiago Pérez, Fadón Martínez (2005). Arcos: evolución y tendencias futura, Revista de Obras Públicas. Ciencia y Técnica de la Ingeniería Civil.



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Lo anterior nos da una breve pero entendible referencia en cuanto a la utilización de los arcos desde la antigüedad a comienzos de la modernidad, pero solamente y de manera ejemplar nos determina a estos últimos en puentes, y no está por demás decir que aunque es una manera muy colosal, lujosa y admirable de poder apreciarlos se deben mencionar las demás aplicaciones que de estos surgieron desde el inicio de los tiempos hasta la actualidad. El arco se utilizó para las estructuras Subterráneas y de Drenaje, fueron los romanos los primeros en usarlos en la superficie, aunque se pensaba que los romanos aprendieron su uso de los etruscos. Los romanos usaron el tipo de arco semicircular en muchas de sus estructuras tradicionales, como Acueductos, prueba de ello se puede citar el Acueducto de Segovia (Fig.6), que es un vestigio del imperio romano en la península Ibérica construido entre la segunda mitad del siglo primero y principios del segundo. Otro tipo de construcciones tradicionales son: Palacios y Anfiteatros, de este último el más conocido el Anfiteatro Flavio (Coliseo Romano, Fig.7), es una estructura circular montada en arcos sucesivos que le dan su singular distinción; el cual tenía como destino dar espectáculo por medio de lucha de Gladiadores, fue empezado a construir en el año 70 y 72 A.C y fue terminado en el 80 D.C. Quizá una de las construcciones más sobresalientes es sin duda el Panteón de Agripa el cual es una cúpula propiamente dicho, pero que tiene la singularidad de estar construida a base de segmentos en arco finamente esculpidos y montados para formar dicho cascarón, esta estructura fue construida en los inicios del imperio romano en el año 25 A.C. (Fig.8).

Fig.6 Acueducto de Segovia, España Fig.7 Coliseo Romano, Roma

Fig.8 Panteón de Agripa, Roma

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Einblick_Panorama_Pantheon_Rom.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:AcueductoSegovia04.JPG







http://es.wikipedia.org/wiki/Acueducto

http://es.wikipedia.org/wiki/Palacio

http://es.wikipedia.org/wiki/Anfiteatro







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En la Edad Media, el arco se convirtió en una importante técnica en la construcción de catedrales, edificaciones para la vivienda, edificios gubernamentales, castillos, palacios y monumentos que en la actualidad son patrimonio de la humanidad. Dentro de los anteriores podemos destacar la Torre Eiffel construida toda en acero; estructura diseñada por el ingeniero francés Gustave Eiffel con ocasión de la Exposición universal de 1889 en París; en su base consta de un sistema de arcos claramente visibles (Fig.9) siendo en la actualidad el monumento más visitado en el mundo. La Torre Inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de Pisa. Fue construida para que permaneciera en posición vertical pero comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción en agosto de 1173, la inclinación es de 5.5° extendiéndose 4.5 m de la vertical. La torre tiene 8 niveles, una base de arcos ciegos con 15 columnas que sin lugar a duda crean la óptica perfecta entre cada nivel, 6 niveles con una columnata externa y remata en un campanario. La escalera interna en espiral tiene 294 escalones (Fig.10). El Taj Mahal es considerado el más bello ejemplo de arquitectura mogola, estilo que combina elementos de la arquitectura islámica, persa, india e incluso turca la cual esta edificada con arcos enormes que le dan sus características propias de dichas culturas; declarada como una de las siete maravillas del mundo modernos fue originalmente construida como una tumba conmemorativa para la esposa favorita del emperador musulmán ShaJahan, es un complejo de edificios construido entre 1631 y 1654 en la ciudad de Agra, estado de Uttar Pradesh, India, a orillas del río Yamuna (Fig.11).

Fig.9 Torre Eiffel, París Francia Fig.10 Torre inclinada de Pisa, Italia

http://es.wikipedia.org/wiki/Edad_Media

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Alexandre_Gustave_Eiffel

http://es.wikipedia.org/wiki/Exposici%C3%B3n_Universal_de_Par%C3%ADs_%281889%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Campanario

http://es.wikipedia.org/wiki/Pisa

http://es.wikipedia.org/wiki/1173

http://es.wikipedia.org/wiki/Arquitectura_mogola

http://es.wikipedia.org/wiki/Arquitectura_isl%C3%A1mica

http://es.wikipedia.org/wiki/Arquitectura_isl%C3%A1mica#Arquitectura_persa

http://es.wikipedia.org/wiki/Arquitectura_india

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Arquitectura_otomana&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Musulm%C3%A1n

http://es.wikipedia.org/wiki/Sha_Jahan



http://es.wikipedia.org/wiki/Agra

http://es.wikipedia.org/wiki/Uttar_Pradesh

http://es.wikipedia.org/wiki/India

http://es.wikipedia.org/wiki/Yamuna



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Fig.11 El Taj Mahal a orillas del río Yamuna, India

Actualmente y con el desarrollo de la tecnología se hacen arcos más esbeltos y de diversos materiales como el concreto reforzado, acero estructural, madera, piedra y combinaciones de entre estos y otros materiales. Provocando en ellos secciones más reducidas y claros más grandes por salvar según su destino para lo que son proyectados, aunque en la actualidad su utilización es principalmente en puentes, no dejan de utilizarse en Iglesias, Bibliotecas, Casa habitación, y Centros de convivencia en general. Ejemplos de ello tenemos aunque no es muy actual, la Abadía de Bolton en Inglaterra que de acuerdo a sus características es visible el tipo de arco Ojival que más adelante explicaremos, también tenemos un ejemplo de una cocina en una casa habitación que gracias al arco que describe su arquitectura le da una imagen más elegante y de amplitud (Ambas fig.12). Cabe mencionar que conforme pasa el tiempo y gracias a la modernidad y la búsqueda de nuevas tendencias los arcos están dejando de ser un estándar en la construcción y prácticamente en los países Europeos es donde podemos encontrar más edificaciones basadas en este sistema constructivo en la actualidad. Prueba de ello es el Templo expiatorio de la Sagrada Familia, que se inició en 1882 y hasta la fecha no ha sido concluida, pero en el cual podemos observar una sin igual arquitectura Neogótica basada en arcos catenarios (Que explicaremos más adelante); diseñados por Antoni Gaudí. Otro ejemplo mostrado es el de la cubierta de la casa de Milá (La pedrera), también diseñado por Antoni Gaudí y ambas construcciones se encuentran situadas en Barcelona, España.

http://es.wikipedia.org/wiki/Yamuna

http://es.wikipedia.org/wiki/India



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Fig.12

Arcos ojivales abadía de Bolton (siglo XII), Arco decorativo, cocina de casa habitación North Yorkshire, Inglaterra

Fig.13

Templo Expiatorio de la Sagrada Familia, Arcos bajo la cubierta de la Casa Milá, Barcelona, España. Barcelona, España.

Con todo lo anterior nos podemos dar cuenta a grandes rasgos que a través de la historia y sin importar el lugar, raza, ni época; el hombre casi desde sus orígenes se ha valido de los arcos para deificar sus construcciones y prueba de ello son algunas de las obras anteriormente expuestas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Bolton_Abbey_7.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:LaPedreraParabola.jpg





http://es.wikipedia.org/wiki/North_Yorkshire

http://es.wikipedia.org/wiki/Inglaterra











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CAPITILO II. CONSIDERACIONES PREVIAS

Arco: del latín arcus, es el elemento constructivo lineal de forma curvada, que salva el espacio entre dos pilares, muros o dígase algún claro en general. Está compuesto por piezas llamadas dovelas, y puede adoptar formas curvas diversas. Es muy útil para salvar espacios relativamente grandes con piezas pequeñas.

Estructuralmente un arco funciona como un conjunto que transmite las cargas, ya sean propias o provenientes de otros elementos, hasta los muros o pilares que lo soportan. Por su propia morfología las dovelas están sometidas a esfuerzos de compresión, fundamentalmente, pero transmiten empujes horizontales en los puntos de apoyo, hacia el exterior, de forma que tiende a provocar la separación de éstos. Para contrarrestar estas acciones se suelen adosar otros arcos, para equilibrarlos, muros de suficiente masa en los extremos, o un sistema de arriostramiento mediante contrafuertes o arbotantes. Algunas veces se utilizan tirantes metálicos, o de madera, para sujetar las dovelas inferiores.

También se llama así a las estructuras construidas actualmente con forma arqueada, aunque sean de una sola pieza, como los de concreto, madera, u otro material de uso estructural, y que, en sus apoyos, funcionan del mismo modo que los construidos con dovelas.

Una bóveda se genera mediante suma de arcos iguales, adecuadamente trabados, para obtener un elemento constructivo "superficial"; si los arcos son de medio punto la superficie será semicilíndrica.

Una cúpula se construye mediante conjunción de arcos iguales que se apoyan en una circunferencia; si los arcos son de medio punto la superficie será semiesférica.

Los elementos principales que componen un arco de piedra por ser el fundador son:

Las dovelas, piezas en forma de cuña que componen el arco y se caracterizan por su disposición radial. La dovela del centro, que cierra el arco, se llama clave. Las dovelas de los extremos y que reciben el peso, se llaman salmer (es la primera dovela del arranque). La parte interior de una dovela se llama intradós y el lomo que no se ve por estar dentro de la construcción, trasdós. El despiece de dovelas es la manera como están dispuestas las dovelas en relación con su centro. Cuando las dovelas siguen los radios de un mismo centro se llama arco radial aunque ese centro no siempre coincida con el centro del arco. La imposta: Es una moldura o saledizo sobre la cual se asienta un arco o una bóveda. A veces transcurre horizontalmente por la fachada o los muros del edificio, separando las diferentes plantas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Dovela

http://es.wikipedia.org/wiki/Contrafuerte

http://es.wikipedia.org/wiki/Arbotante

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%BApula



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Además en la descripción de los arcos de piedra se usa la siguiente nomenclatura:

Centro: Puede estar por encima o por debajo de la imposta. Puede haber más de un centro.

Flecha: Altura del arco que se mide desde la línea en que arranca hasta la clave (f).

Luz: Anchura de un arco (L).

Imposta o jamba: Hilada de piedras ya sean comunes o labradas, algo voladiza, sobre la que se asienta un arco o una bóveda

Semiluz: Mitad de la Luz o anchura de un arco.

Esbeltez: Relación entre la flecha y la luz. Se expresa generalmente como fracción (f/L); (1/2, 1/4, etc.).

Vértice: es el punto más alto del arco.

Línea de arranque: punto de transición entre la imposta (jamba) y el arco.2

Esquema de un arco

1. Clave

2. Dovela

3. Trasdós

4. Imposta o Jamba

5. Intradós

6. Flecha

7. Luz o Vano

8. Contrafuerte. Fig. 14 Partes de un arco de piedra

2 Wikipedia la enciclopedia libre (2009). Arco (arquitectura).

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Arch_illustration.svg







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El arco es el equivalente al cable colgante pero con la diferencia que el cable soporta esfuerzos de tensión, por su parte el arco es mejor para compresiones como ya se ha mencionado, sin embargo, mientras el cable cambia de forma para transmitir las cargas a los apoyos, el arco es una estructura rígida compresible y que de esta misma manera transmite la carga a estos, solo si su forma corresponde al funicular de las cargas aplicadas (llámese funicular al polígono formado por líneas de tensiones representando la reducción de un sistema de fuerzas a lo largo del eje curvo del arco, fig.15), cualquier desviación de esta trayectoria implica la aparición de deflexiones para que pueda seguir transmitiendo la carga a los extremos y sucesivamente a los apoyos. Para cuantificar la magnitud de las deflexiones podemos decir que es proporcional a la desviación (excentricidad) entre el eje del arco y el funicular de cargas. Las reacciones en los apoyos tienen una componente horizontal llamada coceo que introduce problemas en la estructura y más aún cuando el arco es elevado. Si variamos la geometría del arco se pueden modificar la magnitud de las deflexiones que se introducen y la del coceo. Ya comentamos brevemente que es el funicular pero más propiamente aquí está su definición: Funicular: Son formas que responden a las cargas aplicadas de modo que las fuerzas internas resultantes son de tensión y de compresión pura.3

Fig. 15 Polígono funicular de un arco considerando que el centro de gravedad de cada dovela se encuentra en su circunferencia media con excepción de la clave que se aproxima al tercio de

la circunferencia (“ F ” es el peso de cada dovela).

3 Mec fun net (2000). Estática gráfica. Mec fun net (2000).



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Como el arco está sujeto a compresiones elevadas, puede fallar por pandeo transversal si no cuenta con apoyo transversal o por pandeo en el plano cuando su sección es muy esbelta (fig.16).

Fig. 16 Tipos de pandeo en arcos

Las mamposterías y el concreto han sido los materiales más comunes para la construcción de arcos, aprovechando su alta resistencia compresible y bajo costo. El acero es también adecuado aunque los problemas por pandeo suelen regir su diseño, por lo cual las secciones abiertas de gran momento de inercia son las más adecuadas para este tipo de estructura.



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CAPITULO III. CLASIFICACIÓN DE LOS ARCOS

Los arcos por su gran belleza y de acuerdo a su intención cultural, arquitectónica y estructural se pueden clasificar de diferentes maneras y a continuación se presentan algunas de las más conocidas

III.1.-Clasificación de los arcos por su forma

Dentro de estos podemos clasificar a todos los arcos de acuerdo a su forma geométrica ya que dependiendo de esto se deriva en análisis estructural de los mismos. Básicamente existen pocas formas geométricas para construir este tipo de estructuras pero de las cuales se derivan múltiples casos, en su mayoría diseños muy rebuscados pero que al final cumplen con lo que se busca una estructura arquitectónicamente agradable y también una construcción de soporte para el fin que se persiga; los tipos principales son los que a continuación se presentan y posteriormente se presentaran algunos derivados.

a) Arco Circular (de medio punto, media caña)

El arco circular fue el primero en utilizarse y se le aprovecho en varios tipos por distintos pueblos de la humanidad; aún hoy en día sigue teniendo una gran aceptación. Este tipo de arco es uno de los más comunes aquí en México debido a la influencia española en la Colonia para la construcción de Iglesias y edificios de gobierno, casas, haciendas y muchas construcciones más, como su nombre lo indica es aquel que comprende la mitad de un círculo perfecto y dependiendo de sus condiciones de equilibrio hay varias formas para su análisis; posteriormente explicaremos como se parte para su análisis estructural (fig. 17).

Fig. 17 Puente Romano de Alcántara, Río Tajo, España, diseño de arcos circulares.



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b) Arco Parabólico Como su propio nombre lo indica es una figura arqueada que presenta la particularidad de ser una curva parabólica por lo cual al momento de diseñarla podemos proponer su flecha y luz, este tipo de arco es muy estético y de él también se desprenden muchas derivaciones las cuales a mi personal punto de vista son las más bellas dentro de la arquitectura. Empleado en catedrales, edificios de gobierno y obras monumentales desde principios hasta finales de la edad media principalmente en Europa, comprendiendo el arte Jónico también conocido con el nombre de Gótico, (fig.18). Actualmente es más utilizado en su forma original de parábola sin modificar, y se obtienen buenas creaciones (como se observa en la fig. 19).

Fig. 18 Vidrieras de Sainte Chapelle, Palacio de Justicia, Fig. 19 Catedral de Chillán, Provincia de Ñuble, Chile. París, Francia.

c) Arco Elíptico

De igual forma como el arco parabólico, este tipo recibe su nombre por su forma geométrica, está comprendido en la mitad perfecta de una elipse y conserva las características de esta, por lo cual podemos proponer de igual manera para su diseño su flecha y su luz para crear estructuras a nuestro gusto, es importante observar que este tipo de arco posee más luz en relación con su flecha y es obvio por su forma geométrica, cosa contraria que en el parabólico se da esta relación a la inversa, y en el circular es una proporción equivalente de flecha y luz. Muestra de este tipo de arcos se dieron en siglos finales a la edad media y posteriores a la misma, también principalmente en Europa, algunos casos en Asia y actualmente utilizados en diversas estructuras de arquitectura moderna. Ejemplo de uno de ellos se puede apreciar en la fig. 20.



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Fig. 20 Catedral de Siena, Siglos XII y XIV, Italia. d) Arco Tranquil

Este tipo de arco rompe con una regla que tienen los demás expuestos, conserva su forma curva sin dudarlo pues por eso se llama arco, pero no cumple con la simetría, si pasamos un eje simétrico notaríamos que presenta la media parte de su flecha más arriba que la otra, característica por la cual se debe buscar su análisis adecuado para su función estructural correcta. Son casos particulares y escasos en los que se construyen este tipo de estructuras pero podemos encontrar algunas escaleras y pocas construcciones como la que podemos ver en la fig. 21.

Fig. 21 Cooperativa Agrícola de Rocafort de Queralt, Catalunya, España.



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III.1.1 Tipos de arcos derivados

Ya se ilustraron los cuatro tipos de arcos que geométricamente son los más comunes, como antes se explicó de estos anteriores se derivan todos lo además y en ello implica lo estético y lo estructural, pero básicamente se parte de estos como el origen para otras tendencias, se darán otros ejemplos de arcos para ampliar más el repertorio pero sin olvidar lo dicho en este párrafo, y para los fines que persigue este escrito se incluirá una sección más adelante para su trazo geométrico.

a) Arco Circular Peraltado: como su nombre lo dice parte de un arco circular pero su característica principal es que es un poco más extendido que el arco de medio punto en ambos arranques lo que comprende su estructura y con ello le da una mayor flecha y por lo tanto se justifica decirle que contiene más peralte que uno convencional (fig. 22).

Fig. 22 Arco Circular Peraltado.

b) Arco en Herradura: El arco en herradura es otra variante del arco circular, está comprendido en poco más de la mitad de un círculo por lo que en sus impostas las cuales quedan en el interior y al colocársele una columna o un muro da la impresión de una herradura, (fig. 23).

Fig. 23 Arco de Herradura.

c) Arco Escarzano (arco circular rebajado): Este tipo de arco cuenta con dos tipos de definiciones que lo describen y son:1) el que es menor que la semicircunferencia del mismo radio. 2) aquel cuya altura es menor que la mitad de su luz, utilizado en la actualidad para dar estilos modernistas (fig. 24).

Fig. 24 Arco Circular Rebajado.



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d) Arco Ojival Apuntado: es el típico del estilo Gótico, está conformado por dos semicircunferencias iguales; de radio mayor que la semi luz, y sus centros se sitúan en la línea de los arranques en el exterior de este. Estas mismas provienen de las figuras parabólicas y su análisis representa las mismas tendencias que su progenitor el arco parabólico por lo que lo tomaremos como una derivación propia de él (fig.25). Fig. 25 Arco Ojival Apuntado

e) Arco Ojival Rebajado: Es otra variante del arco hiperbólico y a su vez del Ojival, pero lo que cambia de sus características en cuestión es que los centros se sitúan dentro de su Luz sobre su línea de arranque, esta propiedad provoca que su Luz se achique y nos crea un arco rebajado son la misma geometría, (Fig. 26)

Fig. 26 Arco Ojival Rebajado.

f) Arco Catenario: La variante más actual del arco parabólico y

aunque no es una parábola en sí, pero describe casi la misma forma, casi se podría confundir con esta pero para fines estructurales se considera igual, en un apartado posterior incluiremos la forma de su trazo geométrico (fig. 27). Fig. 27 Arco Catenario

g) Arco Carpanel: a simple vista parece un arco elíptico pero en realidad su manera de trazarlo es muy diferente, pero al tener semejanza en forma puede considerarse dentro de la sub clasificación de los elípticos por tener un comportamiento estructural similar o casi idéntico, puede haber de 5, 7 y 9 centros, (fig. 28).

Fig. 28 Arco Carpanel



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h) Arco Conopial: es prácticamente un arco carpanel con la diferencia que en su trazo se rompe en la parte de su clave para dar cabida a un terminado en punta mismo que lo caracteriza y le da mucha presentación, (fig. 29).

Fig. 29 Arco Conopial.

i) Arco Peraltado Apuntado: prácticamente este arco es conceptualmente hablando un arco elíptico, pero la característica principal y que lo diferencia del elíptico es que esta trazado y cortado transversalmente por una elipse, cosa que el otro es de manera longitudinal por lo que tendería más a su análisis como un parabólico por semejarse más a esta forma por su trazo, (fig. 30). Fig. 30 Arco Peraltado apuntado

III.1.2 Tipos de arcos geométricamente combinados Dentro de la Arquitectura podemos encontrar un sinfín de tipos de estas hermosas construcciones arqueadas, muestra de ello se dio en el apartado anterior que dejo buen repertorio de derivaciones de las cuales se parte de cuatro simples tipos, pero aún nos queda un caso más de este tipo, mismo que de antemano se explicara por sí mismo: Hay arcos que por sus combinaciones de formas geométricas no se considera dentro de una clasificación anteriormente descritas pero sin lugar a dudas las combinaciones realizadas forman unas de tipo visualmente más exquisitas y monumentalmente bellas, algunas de ellas se analizan estructuralmente con la forma que más se asemejan o podemos separar diferentes formas para analizarlas por sección, pero en fin muchas de estas rebuscadas tendencias han pasado a través de los siglos y se seguirán manteniendo en la posteridad, dicho lo anterior prosigamos a mencionar algunos.

a) Arco Flamígero: Aquí observamos un ejemplo más rebuscado pero que cumple con la intención arquitectónica de elegancia al estilo de los pueblos árabes, rusos y franceses principalmente, estos últimos durante el siglo XIV y XV. Este apuntado formado por dos tipos de curvas: una cóncava inferior y convexa superior, con contra curva en la clave lo que hace su forma tan especial y le da una forma ya compuesta de arcos, es parecido al arco Conopial pero no hay que confundir, (fig. 31).

Fig. 31 Arco Flamígero

http://www.construmatica.com/construpedia/Clave



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b) Arco Escocés: Es un arco conopial en el que los arcos inferiores son convexos y los superiores cóncavos, a la inversa del arco flamígero, (fig. 32).

Fig. 32 Arco Escocés

c) Arco de Gola: Es parecido al arco escocés del que le diferencia únicamente la condición de que los centros de los arcos inferiores convexos se sitúen en las líneas de las prolongaciones de los estribos, ( fig. 33).

Fig. 33 Arco de Gola

d) Arco festonado cóncavo: Aquí podemos observar que está conformado por un par de arcos, uno Flamígero en la parte superior y en la base que es un Deprimido Cóncavo que es muy parecido al Carpanel, (fig. 34).

Fig. 34 Arco Escocés

e) Arco trebolado: En este caso podemos apreciar claramente que es la composición de 3 semicírculos o propiamente dicho de una mezcla de tres arcos circulares, uno de ellos peraltado (en el centro), y un par que son circulares rebajados. Dando una vista clara y hermosa, (fig. 35).

Fig. 35 Arco Trebolado.



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f) Arco multibolado: Claramente podemos notar la combinación de formas y como entre más las combinemos encontramos más agrado visual, en este encontramos un arco Deprimido Cóncavo en la base y uno trebolado en la parte superior que a su vez se descompone este último como ya lo hemos explicado,( fig. 36).

Fig. 36 Arco Multibolado.

g) Arco angelado o polibolado: De igual forma, otro caso semejante es este tipo, basándonos en la definición del inciso anterior pero con la variante de tener más arcos circulares en la parte superior dándole la máxima visibilidad y complejidad dentro de los arcos más rebuscados, fig.(37). 4

Fig. 37 Arco Polibolado.

III.2. Clasificación de los arcos por su comportamiento estructural.

Para poder dar un punto de partida en cuanto a nuestro tema compete, es necesario entender bien y aclarar como son clasificadas las estructuras y en que basan su clasificación para posteriormente efectuar su análisis, ya que de otra manera sería imposible satisfacer las condiciones para analizar si no entendemos sus condiciones estructurales. Las estructuras generalmente hablando se refiere a un conjunto de elementos geométricos, que unidos entre sí soportan cargas, las que son transmitidas a sus apoyos a través de los elementos estructurales que la integran, y deben constituirse por una forma geométrica, sistema de cargas y sistema de apoyos, referencias que facilitan tener elementos para plantear una clasificación en función de su geometría, de sus apoyos y de sus cargas. Principalmente y de acuerdo a su forma geométrica, sistema de cargas y sistema de apoyos encontramos las siguientes clasificaciones: 4 Moreno García F. (1980). Arcos y bóvedas. Ediciones CEAC S.A. de C.V., Monografías sobre Construcción y Arquitectura. Barcelona, España



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III.2.1 Clasificación por su forma geométrica Como estructuras rectilíneas -Vigas *Horizontales *Inclinadas -Columnas *Verticales *Inclinadas -Marcos *Rectos *Inclinados -Armaduras *Rectas *Arqueadas Como estructuras curvas -Arcos *Circulares *Elípticos *Parabólicos *Catenarios -Cables *Parabólicos *Elípticos *Catenarios Estructuras de Contacto (aquellas cuando están desplantadas sobre al menos uno de sus claros). -Muros -Losas III.2.2 Clasificación por sus sistemas de cargas - Concentradas *Axiales *No axiales -Repartidas *Uniformes *No uniformes



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-Por su permanencia *Muertas *Vivas *Accidentales -La forma en que actúan *Activas *Reactivas *Internas III.2.3 Clasificación por su sistema de apoyos Para entender bien esta clasificación y a manera de poder explicarla mejor debemos entender primero como están los sistemas de apoyo en las estructuras, entendiendo que un apoyo es el elemento de unión entre la estructura y el sistema tierra; o la forma de unión entre una estructura y otra cuando la primera resulta ser una carga para la segunda, un elemento, una estructura o el sistema tierra resulta ser un apoyo si y solo si están cargados por el elemento o la estructura que reciben con la finalidad de unir ambos elementos evitando desplazamientos considerables. Esto nos conlleva a suponer que los apoyos tienen una clasificación que se define por los desplazamientos que pueden o no pueden ser restringidos, a través de los vínculos que son asociados con el grado de libertad que contengan. Los desplazamientos que se presentan en una estructura son de dos tipos: los lineales y los angulares, por ejemplo; en el caso de un sistema en el plano, los desplazamientos que se pueden presentar son tres: dos lineales, y uno angular; los primeros en la dirección de los ejes X y Y respectivamente; y el último en la dirección del eje Z. Podemos dar por hecho que las condiciones necesarias y suficientes para que un conjunto estructural permanezca en equilibrio, el sistema activo debe ser igual al sistema reactivo, entendiéndose como: Sistema activo: Es el sistema representado por las fuerzas externas que están actuando sobre nuestros elementos. Sistema reactivo: Es el sistema representado por las componentes reactivas que habrán de evitar los dos desplazamientos lineales y el desplazamiento angular (componentes que se definen como vínculos). En el sistema reactivo se asocian los desplazamientos independientes que no pueden ser restringidos, desplazamientos que se definen como grados de libertad.



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Con los antecedentes referidos, se está en posibilidad de clasificar a las estructuras por sus apoyos, aceptando previamente las siguientes definiciones: Apoyo: Es el elemento de unión que fija a una estructura con el suelo, con el propósito de evitar desplazamientos. Grado de libertad: Es el número de posibilidades de los desplazamientos independientes que no son restringidos. Vinculo: Es el desplazamiento lineal o angular independiente que es restringido. Al vínculo se le conoce también como componente reactivo o reacción del apoyo. A continuación se describe una clasificación de la más utilizada de apoyos que se presentan en una estructura plana, identificando en cada uno de ellos el número de los desplazamientos lineales y angulares que pueden o no ser restringidos; permitiendo relacionar, entre ellos, el número de vínculos y los grados de libertad respectivamente.

a) Apoyo móvil: Es aquel al que se asocia dos grados de libertad, uno en dirección angular en el eje Z y uno en la dirección del eje X y un vínculo que puede ser restringido en la dirección del eje Y.

b) Apoyo fijo o articulación: Es aquel al que se asocia un grado de libertad, en dirección angular en el

eje Z, un vínculo que puede ser restringido en la dirección del eje Y, y otro que puede ser restringido en el eje X.

c) Apoyo empotrado o empotre: Es aquel al que se asocia ningún grado de libertad, un vínculo que puede ser restringido en la dirección del eje Y, otro que puede ser restringido en el eje X, y otro más de tipo angular en el eje Z.

d) Nodo Elástico: Al igual que el empotramiento se asocia ningún grado de libertad, un vínculo que puede ser restringido en la dirección del eje Y, otro que puede ser restringido en el eje X, y otro más de tipo angular en el eje Z.

Lo anteriormente descrito nos da una idea general de los apoyos que encontramos en algunas estructuras y principalmente en el tema que nos compete y cada ejemplo lo podemos identificar en la fig.38



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Fig. 38 Tipos de apoyo

CAPITULO IV: TIPOS DE ESTRUCTURAS Ya que ha quedado explicado los tipos en los cuales un elemento estructural puede quedar apoyado debemos pasar a entender cómo se dividen las estructuras en lo cual está estrechamente vinculado el tipo de apoyos que posee para su clasificación. Las estructuras dentro de su inimaginable belleza tienen que cumplir una función estructural la que es soportar las condiciones para las cuales este solicitado dicho diseño, y esta condición es imperativa para su análisis, ya que dependiendo de sus condiciones de soporte es como en se complica nuestro análisis y en su momento es la manera de recibir las cargas para transmitirlas a sus apoyos correspondientes y posteriormente al terreno, cabe mencionar que dependiendo del tipo de apoyo es como nuestro elemento se comportará estructuralmente hablando, cabe mencionar que dentro de la clasificación por su carga y clasificación por sistema de apoyos los sistemas estructurales hacen a su vez combinaciones entre las mismas para generar sub categorías; pero hablando estrictamente y basándonos de acuerdo a sus condiciones de estaticidad, existen prácticamente tres clasificaciones de los sistemas estructurales:

a) Estructuras Isostáticas b) Estructuras Hiperestáticas c) Estructuras Hipostáticas

Para comprender mejor esta clasificación nos remitiremos a explicar las condiciones de isostaticidad, que son las que nos rigen para entender esta clasificación y en general de cualquier estructura.



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IV.1 Condiciones de Isostaticidad En la teoría de la estática, se dice que un sistema de fuerzas esta en equilibrio cuando su sistema de fuerzas activas es igual a su sistema de fuerzas reactivas, dicho de otro modo seria, que su resultante es igual a cero y esto significa ∑F = FR = 0(La suma del sistema de fuerzas es igual a la fuerza resultante) y ∑M = MR = 0(La suma de los momentos en el sistema es igual al momento resultante), y en ambos casos son iguales con cero para mantener el equilibrio. Por otro lado, si el resultante se define como la representación más simple de un sistema de fuerzas, las condiciones de equilibrio que se pueden asociar a una estructura en el plano están representadas por tres ecuaciones que se relacionan con las incógnitas que contiene el sistema de fuerzas. Por lo tanto como parámetro para las Condiciones de Isostaticidad, será la relación que existe entre las ecuaciones (E) del equilibrio estático y las incógnitas (I) del sistema de fuerzas. Relación que se presenta con tres combinaciones. Primera: Cuando I=E. Se dice que la estructura es una Estructura Isostática o una estructura estáticamente determinada. Tiene una única solución con los principios básicos de la estática. Segunda: Cuando I>E. Es una Estructura Hiperestática o Estáticamente Indeterminada tiene varias soluciones; pero ninguna con los principios básicos de la estática. La diferencia entre las incógnitas y las ecuaciones de equilibrio estático se define como Grado de Isostaticidad de la estructura I-E = G.I. Tercera: Cuando I<E. Se define como Estructura Hipostática; no tiene solución. Y la diferencia entre las incógnitas y las ecuaciones de equilibrio se define como Grado de Libertad de la estructura: E-I = G.L.



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EJEMPLO 1. Para mejor entendimiento de lo expuesto, enseguida ilustraremos con un ejemplo aplicado a un marco con apoyo fijo en un extremo y apoyo móvil en la otro, fig. 39.

Fig. 39 Ejemplo de Sistema de apoyos y cargas en un marco Isostático

El sistema está integrado por tres barras, la AB que se encuentra apoyada en A con una articulación o apoyo móvil que tiene dos componentes reactivas; en la dirección vertical y en la dirección horizontal; y en B limitada por el nodo elástico. La barra BC se encuentra limitada en B y C respectivamente por dos nodos elásticos que contienen respectivamente tres componentes reactivas, en la dirección horizontal, en la dirección vertical y en la dirección perpendicular al plano que contiene la estructura. La barra CD limitada en la parte superior por un nodo elástico y en la parte inferior por un apoyo liso que contiene una componente reactiva en la dirección vertical. La descripción anterior se muestra en el diagrama de cuerpo libre que esta adjunto en la fig. 40.

Fig. 40 Sistema de fuerzas en la barra AB del marco analizado.



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Sistema de Fuerzas: Generales en el Plano Incógnitas que contiene: Cinco; dos fuerzas horizontales en el eje X, dos verticales en el eje Y, y un momento en el eje Z en el nodo B. Ecuaciones o condiciones de equilibrio estático: Tres; ∑FX=0, ∑FY=0 y ∑MZ=0 Por lo tanto, en la barra AB se identifican 5 incógnitas y 3 tres ecuaciones; en consecuencia, las condiciones de isostaticidad se pueden representar en forma de ecuación: I = 5 y E = 3. De manera análoga se continúa con el análisis de la estructura:

Fig. 41 Sistema de fuerzas en la barra BC del marco analizado.

Sistema de Fuerzas: Generales en el plano. Incógnitas que contiene: Seis; dos fuerzas en la dirección del eje Y, dos en la dirección del eje X, y dos momentos en los extremos B y C, ambos en la dirección del eje Z. En consecuencia, en la barra BC (fig. 41), se tiene I = 6 y E = 3



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Y por último analicemos la tercera barra:

Fig. 42 Sistema de fuerzas en la barra CD del marco analizado.

Sistema de Fuerzas: Colineales en el plano, incluyendo pares. Incógnitas que contiene: Tres, dos fuerzas en la dirección de Y, y un momento en la dirección de Z. Por lo tanto, en la barra CD (fig. 42), se tiene: I = 3 y E = 2

También hay que ejemplificar la acción de las fuerzas en los nodos elásticos (fig. 43 y 44), de los cuáles solo tomaremos en cuenta las ecuaciones de equilibrio descartando las incógnitas; y quedarían como sigue:

Fig. 43 Sistema de Fuerzas en el nodo B Fig. 44 Sistema de Fuerzas en el nodo C del marco analizado. del marco analizado.



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Nodo B: Ecuaciones de Equilibrio estático: Tres, ∑FX=0, ∑FY=0 y ∑MZ=0, E = 3 Nodo C: Ecuaciones de Equilibrio estático: Tres, ∑FX=0, ∑FY=0 y ∑MZ=0, E = 3 No se consideran reacciones porque no cuenta con apoyos, aquí el sistema de apoyos es la misma estructura y son fuerzas que ya se consideraron previamente Tabulando la relación entre las incógnitas y el número de ecuaciones que se determinaron en cada elemento de la estructura se muestra en la siguiente tabla:

ELEMENTO INCOGNITAS (I) ECUACIONES (E) BARRA AB 5 3 BARRA CD 6 3 BARRA DE 3 2

NODO B 3 NODO C 3

I =14 E = 14

Tabla 1. Relación entre las incógnitas y el número de ecuaciones que se determinaron en cada elemento de la estructura Isostática.

Del resultado obtenido podemos observar que el número de Incógnitas es igual al número de ecuaciones de equilibrio I = E, por lo que podemos decir que la estructura se define como Estructura Isostática, teniendo una sola solución de acuerdo con los principios básicos de la teoría de la estática.



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EJEMPLO 2. Al quedar comprendido el ejemplo anterior, ahora veremos cómo cambiando el sistema de apoyos nos dará un resultado diferente. A continuación se analizará la estructura que se muestra en la fig. 44 considerando ahora apoyos fijos en el nodo A y D.

Fig.45 Ejemplo de Sistema de apoyos y cargas en un marco Hiperestático.

Fig.46 Sistema de Fuerzas de los elementos del marco hiperestático analizado



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La relación entre el número de incógnitas y el número de ecuaciones de equilibrio que se identifican sobre cada elemento se muestra como sigue:


NODO B 3 NODO C 3

I =16 E = 15

Tabla 2. Relación entre las incógnitas y el número de ecuaciones que se determinaron en cada elemento de la estructura Hiperestática.

El número de incógnitas es mayor que las ecuaciones de equilibrio estático: I > E; por lo tanto, la estructura se define como una Estructura hiperestática, tiene varias soluciones. En el contexto de la teoría de la estática no cuenta con una solución. Por otro lado, el grado de Isostaticidad del conjunto estructural se define por el número que resulte de la diferencia de las Incógnitas y las Ecuaciones de Equilibrio: G.I. =I – E = 16 – 15 = 1. En suma, el grado de Isostaticidad (G.I.) será igual a uno G.I. = 1, si sucediera que el resultado de la diferencia fuera 2 tendríamos un G.I. = 2, y así sucesivamente. Comparando las estructuras analizadas, resulta obvio la importancia que tiene la elección de los apoyos, por lo tanto, en función de éstos puede conformarse una estructura Isostática (Estáticamente determinada) o Hiperestática (Estáticamente Indeterminada ).



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Por ello, hay que tener presente que el estudio de una estructura como una totalidad se debe de relacionar con el análisis particular de los elementos que la integran, tomando en cuenta su forma geométrica, su carga y sus apoyos. EJEMPLO 3. Con base en lo anterior, únicamente se ha analizado la relación que existe entre las incógnitas y el número de ecuaciones de equilibrio estático en dos casos cuando I = Ey cuando I > E. En consecuencia ¿cuál será la definición de una estructura cuando: E > I? Para ello consideremos el siguiente ejemplo:

Fig. 47 Ejemplo de Sistema de apoyos y cargas en un marco Hipostático.



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Fig.48 Sistema de Fuerzas de los elementos del marco hipostático analizado.


NODO B 3 NODO C 3

I =12 E = 13

Tabla 3 Relación entre las incógnitas y el número de ecuaciones que se determinaron en cada elemento de la estructura Hipostática.



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Por el resultado, se deduce que la estructura es indeterminada por lo tanto se define como Estructura Hipostática cuando E > I, la que no tiene solución, y el número que resulte en la diferencia de las ecuaciones de equilibrio y el número de incógnitas se define como grado de libertad de la estructura (G.L.). G.L. = E – I = 13 – 12 = 1 Con el análisis de las tres estructuras expuestas, y el resultado en la relación entre el número de incógnitas y el número de ecuaciones de equilibrio estático podemos continuar con nuestro cometido. Regresando a nuestro tema en cuestión después de una breve explicación y ya que entendimos como es una base el sistema de soporte; y como los sistemas estructurales se clasifican y se comportan, básicamente proseguimos con la clasificación general en la cual se dividen este tipo de elementos curvos tomando como antecedente la teoría de la estática y los grados de hiperestaticidad: Estáticamente Determinados: -Arco triarticulado -Arco empotrado y volado -Arco empotrado con una articulación. Estáticamente Indeterminados: -Arco biarticulado -Arco doblemente empotrado5

5 Carmona González Carlos J., García Carbajal Julio, Olvera Montes Alfonso E. (2001). Introducción al Análisis de Estructuras Isostáticas. Instituto Politécnico Nacional. Distrito Federal, México.



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CAPITULO V. TIPOS DE ARCOS V.1 Arco Triarticulado Estos arcos están provistos de un par de rotulas (articulaciones) en sus apoyos (fijos) y una tercera rótula (articulación) en la clave del arco, lo que permite asociarlo como dos estructuras independientes que están mutuamente apoyadas, tal es el caso que podemos fijarnos en sus apoyos y determinar el grado de isostaticidad, que si imaginamos no tuviera esa rótula en la parte superior sería una estructura que no se podría analizar estáticamente, pero como este no es nuestro caso; por eso se presenta un arco que cumple con dichas condiciones estáticas al comportarse como un sistema independiente en cada apoyo. (Fig. 49).

Fig.49 Arco triarticulado

V.2 Arco Empotrado y Volado

Claramente podemos observar aquí en la Fig.50 que las reacciones suman la misma cantidad de elementos que las ecuaciones de equilibrio, por esta razón se entiende que se puede analizar por medio de la estática, no hace falta mucha explicación para definir este caso ya que salta a la vista sus condiciones de apoyo y por lo cual lleva su nombre.

Fig.50 Arco empotrado en un extremo y volado en el otro



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V. 3 Arco Doblemente Empotrado y Articulado Atendiendo a la Fig. 51 podemos notar que es un sistema, que, de no ser por la articulación en su centro tendríamos un grado de hiperestaticidad de tres, considerando sus condiciones de doble empotramiento; que como ya se mencionó al contar con una articulación rompemos o seccionamos para tener dos estructuras que al analizarse por separado son totalmente estáticas.

Fig. 51 Arco doblemente empotrado con una articulación

V.4 Arco Biarticulado Ya atendimos en los tres casos anteriores los tipos estructurales comprendidos dentro de los Isostáticos o estáticamente determinados, proseguimos revisando los casos que salen de esa clasificación, en la Fig. 52 atendemos un arco biarticulado en sus apoyos (apoyos fijos), que generan un grado de hiperestaticidad 1 que de antemano sabemos ya está incluido dentro de los hiperestáticos por tener más incógnitas que ecuaciones de equilibrio.

Fig. 52 Arco biarticulado (apoyos fijos) en los extremos.



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V.5 Arco Doblemente Empotrado Finalmente tenemos este ejemplo de un arco doblemente empotrado, que como su nombre nos menciona, tiene dos empotres, uno en cada extremo, es una estructura hiperestática de tercer grado y por obvias razones tenemos que asociarle métodos de análisis especiales por tener un sistema de apoyo que nos genera más incógnitas que ecuaciones de equilibrio estático (Fig. 53).

Fig. 53 Arco doblemente empotrado



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CAPITULO VI. ANÁLISIS DE ALGUNOS TIPOS DE ARCOS

Hasta ahora hemos revisado varias características en este tipo de estructuras las cuales consideramos de suma importancia, mismas que de no haberse vislumbrado, no podríamos continuar con este capítulo porque al intentar comprender lo que a continuación se presenta sin tener claras las bases ya citadas, se crearían muchas incógnitas para el lector que sin saber nada del tema quiera adentrarse en él; y que así mismo tratamos de evitar con este trabajo. En lo que a mí respecta, el análisis consta más de elementos matemáticos en su integridad, que de cualquier otro tipo, mismos que si no tenemos claros en el momento recomiendo consultar libros específicos de la materia para refrescar este conocimiento y comprender lo que enseguida presento: VI.1 Análisis del Arco Circular Triarticulado Una coordenada Rectangular está representada por P(x, y). Ahora bien, una coordenada Polar la representamos A(r, α). Dónde: P = Cualquier punto representado en el plano. x = Coordenada medida en un sistema cartesiano desde el origen hasta el punto analizado sobre el eje de las X. Y = Coordenada medida en un sistema cartesiano desde el origen hasta el punto analizado sobre el eje de las Y. A = Cualquier punto representado en el plano. r = Distancia del polo (origen) al punto indicado y se conoce como radio vector. α = Es el Angulo formado por el radio vector y el eje polar (eje de referencia). Se puede representar en grados y radianes.

Fig. 54 Representación de coordenadas rectangulares y polares



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EJEMPLO 4: Graficar P(6, 40o)

Fig. 55 Ejemplo de coordenadas

Ahora bien, para obtener una función que nos permita tener las coordenadas rectangulares tenemos que:

Fig. 56 Coordenadas polares y rectangulares.

Por funciones trigonométricas tenemos: Sen α = 𝒚

𝒓 = Co/Hip

Cos α = 𝒙

𝒓 = Ca/Hip

Si despejamos la “y” Y = r Sen α



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Si despejamos la “X” X = r Cos α Recordando: Sen α = 𝒚

𝒓 = Co/Hip

Cos α = 𝒙

𝒓 = Ca/Hip

Tan α = 𝒚

𝒙 = Co/Ca

Para P (-2,-5)

r = �𝑥2 + 𝑦2= √29 r = √22 + 52= √29

𝟇= arctan 𝑦𝑥

= 𝟇= arctan (−5−2

) = 68.19

Fig.57 Según el punto de referencia es como se puede medir un ángulo



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180° + 68.19° = 228.19° dependiendo de las coordenadas debemos tomar en cuenta hacia donde medimos el ángulo para evitar equivocaciones, dicho de otra manera los signos nos rigen en que cuadrante nos ubicamos. Con lo cual debe satisfacer las funciones:

X = rcos𝟇 Y = rsen𝟇

Si nos apoyamos utilizando el teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2 c = √𝑎2 + 𝑏2 Aplicándola de manera semejante a nuestro caso sería: r2 = x2 + y2

EJEMPLO 5. Hallar las coordenadas Polares de P (3, 4), ( (X,Y) respectivamente). r2 = x2 + y2 Así obtenemos la magnitud del ángulo: r2 = 32 + 42 r2 = 9 + 16α = Arc tan 𝒚

𝒙

r2 = 25 α = Arc tan 43

r= √25 α = Arc tan 1.3 r= 5 α = 53o

Fig. 58 Coordenadas polares EN UN PLANO X-Y



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Lo anterior debe satisfacer lo siguiente para estar en lo correcto:

X = r Cos α; X = 5 Cos 53o = 3

Y = r Sen α; Y = 5 Sen 53o = 4

VI.1.1 Producto interno entre dos vectores Brevemente explicaremos lo que corresponde a las proyecciones vectoriales para posteriormente proseguir con un análisis completo de nuestro tema en cuestión. La proyección vectorial está dada por: ProyB𝐵�⃗ = 𝐴.𝐵�⃗ = �𝐴��𝐵�⃗ � cosθ

Fig.59 Representación de una proyección de un vector A sobre un vector B.

ProyA𝐵�⃗ = 𝐴.𝐵�⃗

�𝐵�⃗ �*Un vector 𝐵�⃗ sobre su módulo �𝐵�⃗ � es un vector unitario.

ProyB𝐴= 𝐴.𝐵�⃗

�𝐴�

Fig.60 Representación de una proyección vectorial cuando es negativa.



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EJEMPLO 6. Calcular la proyección de A ⃗ = 2i ̂+ j ̂- k ̂ sobre B ⃗ = i ̂ - j ̂+ 3k ̂ 𝐴.𝐵�⃗ = 2(1) + 1(-1) – 1(3) = -2

ProyA𝐵�⃗ = −2�12+ (−12)+32 = −2

√11 = -0.6

Con el resultado que acabamos de obtener podemos observar que nuestra proyección en un inicio se pensó era positiva, pero al momento de realizar nuestra operación demostramos que fue lo contrario. VI.1.2 Vector unitario Es aquel vector que cumple con una dirección, sentido y una magnitud que con particularidad de ser igual a la unidad:

Fig. 61 Descomposición de fuerzas de un vector, a su vez un vector unitario cortante y uno normal en un punto P a lo largo de una circunferencia.

Si conocemos un vector unitario en la dirección del Cortante 𝒆�⃗ RV, y conocemos un vector 𝑹��⃗ de todas las

fuerzas activas y reactivas a la izquierda de la sección:

Proy𝒆�⃗ V𝑅�⃗ = 𝑒𝑣.𝑅�⃗|𝑒𝑣|

= 𝑒𝑣.𝑅�⃗

1 = 𝒆�⃗ RV.𝑹��⃗



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Pero si atendemos que por definición: la proyección de todas las Fuerzas a la izquierda de la sección

arqueada, 𝑹��⃗ sobre la dirección 𝒆�⃗ RV es el Cortante, entonces tenemos:

V =𝒆�⃗ RV.𝑹��⃗

De igual forma podemos afirmar que la Normal:

N =𝒆�⃗ RN.𝑹��⃗

Dónde:

𝒆�⃗ RV = Vector unitario en la dirección del cortante.

𝒆�⃗ RN = Vector unitario en dirección de la normal.

|𝒆�⃗ RV|= 1

|𝒆�⃗ RN|= 1

Fig. 62 Aplicación del teorema de Pitágoras

con el vector unitario cortante.

Ubicándonos por ahora en 𝒆�⃗ RV hay que considerar sus componentes en el plano y quedaría de la siguiente manera:

𝒆�⃗ RV = (CosѲi, SenѲj )



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Aplicando funciones trigonométricas para obtener los catetos (lados del triángulo propuesto).

SenѲ = 𝐶.𝐶.𝐻𝑖𝑝.

= 𝑌ē𝑣

Y = 𝒆�⃗ RVSenѲ

Aquí se demuestra cómo obtener el vector unitario|𝒆�⃗ RN|= �– 𝒔𝒆𝒏𝟇, 𝒄𝒐𝒔𝟇�

Fig. 63 Representación de la descomposición de fuerzas y las funciones que representan sus coordenadas en su eje respectivo.

𝒓�⃗ = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝝓�̂� + 𝐫𝐬𝐞𝐧 𝝓𝒋̂ Tangente al arco 𝑑𝑟𝑑𝜙

= 𝐜𝐨𝐬 𝝓�̂� + 𝐫𝐬𝐞𝐧 𝝓𝒋 ̂

A continuación hacemos unitario dividiendo entre su magnitud:

𝒆�⃗ RN= −𝒓𝒔𝒆𝒏𝟇�̂�+𝒄𝒐𝒔𝟇𝒋̂�(−𝒓𝒔𝒆𝒏𝟇)𝟐+(−𝒓𝒄𝒐𝒔𝟇)𝟐 =

𝒆�⃗ RN= −𝒓𝒔𝒆𝒏𝟇�̂�+𝒄𝒐𝒔𝟇𝒋̂�𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝟇+𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝟇

= 𝒓(−𝒔𝒆𝒏𝟇�̂�+𝒄𝒐𝒔𝟇𝒋̂)

�𝒓𝟐(𝒔𝒆𝒏𝟐𝟇+𝒄𝒐𝒔𝟐𝟇)



44

Como: 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟇 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟇 = 𝟏

𝒆�⃗ RN = 𝒓(−𝒔𝒆𝒏𝟇�̂�+𝒄𝒐𝒔𝟇𝒋̂)

�𝒓𝟐= 𝒓(−𝒔𝒆𝒏𝟇�̂�+𝒄𝒐𝒔𝟇𝒋̂)

𝒓

𝒆�⃗ RN = (−𝒔𝒆𝒏𝟇�̂� + 𝒄𝒐𝒔𝟇𝒋̂) = (−𝒔𝒆𝒏𝟇, 𝒄𝒐𝒔𝟇)

De igual manera obtenemos el vector unitario 𝑒 RV siguiendo el mismo procedimiento CONCENTRANDO TODO LO ANTERIOR A manera de resumen aceptamos que:

V =𝒆�⃗ RV.𝑹��⃗

N =𝒆�⃗ RN.𝑹��⃗ Dónde: V = Fuerza Cortante N = Fuerza Normal

𝑒 RV= Vector unitario en dirección del cortante.

𝑒 RN = Vector unitario en dirección normal.

𝑅�⃗ =resultante de todas las fuerzas activas y reactivas a la izquierda de la sección.



45

Fig. 64 Vectores y distancias a considerar para el análisis de un arco

circular en cualquier punto P a lo largo de una circunferencia.

Resultante

𝑹 = [−𝑹𝑯, 𝑹𝑽 − 𝑾(𝒓 + 𝑿)]l�̅� = ∑ 𝑴𝑹��⃗

l𝑦� = ∑ 𝑴𝑹��⃗

l =(x, y)

Por otra parte, en arcos circulares cuando se toma el centro de la circunferencia como origen se tiene: 𝒆�⃗ RV= [𝑐𝑜𝑠Ɵ, 𝑠𝑒𝑛Ɵ] 𝒆�⃗ RN= [𝑐𝑜𝑠Ɵ, 𝑠𝑒𝑛Ɵ]

a)



46

b) c) Fig. 65 Imágenes que representan las fuerzas que actúen el punto P del arco en el ejemplo anterior. a)Vector unitario del cortante y de fuerza normal en el punto P, b)Localización del vector normal tomando como origen el centro de la circunferencia, c)Localización del

vector cortante tomando como origen el centro de la circunferencia.

En la Fig. 65 ejemplifica como los vectores actúan en un plano x-y por lo que si tomamos como nuestro origen el centro de la circunferencia da lugar a que la convección de signos dependiendo el cuadrante manejado nos dé una función negativa o positiva según sea el caso. Dicho lo anterior continuamos con nuestro análisis. EJEMPLO 7. Teniendo el arco circular triarticulado que se muestra en la Fig. 66 encontrar los diagramas de los elementos mecánicos.

Fig. 66 Arco circular con carga horizontal en extremo izquierdo



47

1.- Cálculo de las reacciones Σ = MA = 0 (Considerando todo el arco)

RDV = 10(1)+2(6)(3)6

= 7.67 Ton

Σ = MC = 0 (Del tramo CD� )

RDH = 7.67(3)+2(3)(1.5)3

= 4.67 Ton

Fig.67 Tramo CD� por analizar del arco circular

𝜮Fy = 0 RAV = 2(6) – 7.67 = 4.33 ton. 𝜮Fx = 0 RAH = 10 - 4.67 = 5.33 ton. Ahora tomando como referencia el centro del círculo como el origen del eje coordenado hacemos:

Fig. 68 Reacciones verticales y Horizontales del ejercicio analizado



48

2.-Cálculo de los elementos mecánicos Para esto definimos intervalos: Tramo 𝐴𝐵� 180°≥Ɵ≥ 160.53° -3 ≤X ≤ -2.828; 0 ≤Y≤ 1

Fig. 69 Análisis del tramo 𝐴𝐵� para el cálculo de elementos mecánicos

Tramo 𝐵𝐷� 160.53° ≥Ɵ≥ 0° −√8 ≤X ≤3;3≥Y≥ 0 ; 1 ≤Y ≤3 Ya teniendo nuestros dos intervalos nos situamos en el primero 180° ≥Ɵ≥ 160.53° Si conocemos: a) b)

Fig. 70 a) Circulo que nos permite visualizar como quedan nuestras funciones trigonométricas para nuestro análisis, b) Triangulo para definir el Teorema de Pitágoras.

Por teorema de Pitágoras: 32 = 12 + a2 9 - 1 = a2 a2 = 8 a = √8 a = 2.83 a = -2.828 Ɵ = 180° - 19.47 Ɵ = 160.53

Ɵ = tg-1 = 𝐵𝐴

= tg-1 = - 12.828

Ɵ = tg-1 = -0.3536 = -19°28’25’’ = -19.47°

r2 = X2 + y2 y2 = r2 + x2

y = √𝑟2 + 𝑥2



49

Fig. 71 Diagrama de cuerpo libre, Corte del punto “A” a un punto antes del

punto “C” para calcular elementos mecánicos.

2.1.-Cálculo del Momento flexionante (en el tramo 𝑨𝑩� ) M = RAV (S) + RAH (y) – 2 (r + x) (𝑟+𝑥

2)

M = RAV (S) + RAH (y) – (r + x)2

Recordando SenƟ = 𝐶𝐶𝐻

= 𝑦𝑥

Cos Ɵ = 𝐶𝐴𝐻

= 𝑥𝑟

Despejando “y” Despejando “x” Y = rsenƟ X = rcosƟ S = r + x (Hay que considerar cuando la “x” es negativa y está medida de izquierda a Derecha para identificar si se suma o se resta)



50

M = RAV (r + x) + RAH (rsenƟ) – (r + rcosƟ)2

M = 4.33 (3 + 3cos Ɵ) + 5.33(3sen Ɵ) - 9 - 18cos Ɵ – 9cos2 Ɵ M = 3.99 – 5.01cos Ɵ + 15.99sen Ɵ – 9cos2 Ɵ 2.2.-Cálculos de Fuerza Cortante y Fuerza Normal Obtención de los vectores unitarios correspondientes:

𝑒 RV =[CosƟ, senƟ]

𝑒 RN = [-senƟ, cosƟ] 2.3.- Calculamos la resultante correspondiente al intervalo:

𝑹��⃗ = [−𝑹𝑯, 𝑹𝑽 − 𝑾(𝒓 + 𝑿)]

𝑅�⃗ = [-5.33, 4.33 – 2(r + x)]𝑅�⃗ = [-5.33, 4.33 - 6 - 6cos Ɵ] 𝑅�⃗ = [-5.33, 4.33 - 2(3 + 3cos Ɵ)] 𝑅�⃗ = [-5.33, -1.67- 6 cos Ɵ] 2.4.- Efectuando el producto punto entre vectores

V = 𝑅�⃗ . 𝑒 RV V = (-5.33, -1.67 – 6cos Ɵ) . (cosƟ, senƟ) V = -5.33cos Ɵ + 1.67senƟ – 6senƟcosƟ

N = 𝑅�⃗ . 𝑒 RN N = (-5.33, -1.67 -6cos Ɵ) . (-senƟ, cosƟ) N = 5.33sen Ɵ – 1.67cos Ɵ – 6cos2 Ɵ Nota: De esta manera obtenemos las ecuaciones necesarias en las cuales si proponemos un ángulo Ɵ podemos trazar los diagramas respectivos que son diagrama de Momentos, diagrama de Cortantes y diagrama Normal.



51

Proseguimos a realizar los mismos pasos desde el paso 2, pero para el intervalo: Del tramo 𝐵𝐷� 160.53° ≥ Ɵ ≥ 0° 2.- Cálculo de elementos mecánicos Nos basamos en la Fig. 70 y teniendo en cuenta lo siguiente: -2.828 ≤X≤ 0 y = sen Ɵ 1 ≤ Y ≤ 3 x = cos Ɵ 3 ≥ Y ≥ 0 a= -2.828 2.1.- Cálculo del Momento Flexionante ( Tramo𝑩𝑪� ) M = RAV (S) + RAH (y) – 10 (y - 1) - 2 (r + x) (𝑟+𝑥

2)

M = RAV (S) + RAH (y) - 10 (y - 1) – (r + x)2 M = 4.33 (r + x) + 5.33 (y) - 10 (y - 1) – (r + x)2 M = 4.33 (3 + 3cos Ɵ) + 5.33 (3sen Ɵ) - 10 (3sen Ɵ - 1) – (3 + 3cos Ɵ)2 M = 12.99 + 12.99cos Ɵ + 15.99sen Ɵ – 30sen Ɵ + 10 – 9 -18cos Ɵ – 9cos2 Ɵ M = 13.99 – 5.01cos Ɵ – 14.01sen Ɵ – 9cos2 Ɵ 2.2.- Cálculo de la Fuerza Cortante y Fuerza Normal. El procedimiento es igual que en el primer intervalo ya que nuestras funciones son las mismas

𝑒 RV = [CosƟ, senƟ]

𝑒 RN = [-senƟ, cosƟ]

𝑹��⃗ = [−𝑹𝑯 + 𝟏𝟎, 𝑹𝑽 − 𝑾(𝒓 + 𝑿)] 𝑅�⃗ = [-5.33+10, 4.33 – 2(r + x)]

𝑅�⃗ = [4.67, 4.33 – 6 – 6cos Ɵ] 𝑅�⃗ = [4.67, - 1.67 – 6cos Ɵ]



52

V = 𝑅�⃗ . 𝑒 RV

V = 4.67cos Ɵ – 1.67sen Ɵ – 6cos Ɵ sen Ɵ

N = 𝑅�⃗ . 𝑒 RN

N = -4.67sen Ɵ – 1.67cos Ɵ – 6cos2 Ɵ Ya casi para terminar nuestro ejercicio, calculamos el valor de las funciones para diferentes valores de ángulo, según el intervalo donde nos ubicamos. A continuación se muestra como se obtienen los valores sustituyendo un valor de un ángulo en las ecuaciones de los elementos mecánicos y una tabulación con diferentes ángulos: Primer intervalo: Tramo 𝐴𝐵� 180 ≥ Ɵ ≥ 160.53o M = 3.99 – 5.01cos Ɵ + 15.99sen Ɵ – 9cos2 Ɵ V = -5.33cos Ɵ + 1.67senƟ – 6senƟcosƟ N = 5.33sen Ɵ – 1.67cos Ɵ – 6cos2 Ɵ Sustituimos con un ángulo de 180o M = 3.99 – 5.01cos (180) + 15.99sen (180) – 9cos2 (180) = M = 3.99 + 5.01 + 0 – 8.998 = 0.000 V = -5.33cos (180) + 1.67sen (180) – 6sen (180) cos(180) = V = 5.33 + 0 – 0 = 5.330 N = 5.33sen (180) – 1.67cos (180) – 6cos2 (180) = N = 0 + 1.67 – 5.99 = -4.330



53

Segundo Intervalo: Tramo 𝐵𝐷� 160.53o≥Ɵ ≥ 0o M = 13.99 – 5.01cos Ɵ – 14.01sen Ɵ – 9cos2 Ɵ V = 4.67cos Ɵ – 1.67sen Ɵ – 6cos Ɵ sen Ɵ

N = -4.67sen Ɵ – 1.67cos Ɵ – 6cos2 Ɵ M = 13.99 – 5.01cos (20o) – 14.01sen (20o) – 9cos2 (20o) M = -3.457 V = 4.67cos (20o) – 1.67sen (20o) – 6cos (20o) sen (20o) V = 1.889 N = -4.67sen (20o) – 1.67cos (20o) – 6cos2 (20o) N = -7.670 Estos valores se pueden tabular de la siguiente manera:

Θ Cos θ Sen θ Cos2 θ Cos θ * Sen θ M V N 180 -1.000 0.000 1.000 0.000 0.000 5.330 -4.330 170 -0.985 0.174 0.970 -0.171 2.972 5.985 -3.249

160.53 -0.943 0.333 0.889 -0.314 6.043 6.354 -1.982 -3.074 -5.315

140 -0.766 0.643 0.587 -0.492 3.541 -1.696 -5.243 120 -0.500 0.866 0.250 -0.433 2.112 -1.183 -4.709 100 -0.174 0.985 0.030 -0.171 0.791 -1.430 -4.490 90 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 -1.670 -4.670 80 0.174 0.985 0.030 0.171 -0.949 -1.860 -5.070 60 0.500 0.866 0.250 0.433 -2.898 -1.709 -6.379 40 0.766 0.643 0.587 0.492 -4.135 -0.450 -7.802 20 0.940 0.342 0.883 0.321 -3.457 1.889 -8.465 0 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000 4.670 -7.670

Tabla 4 Valores de V, N y M representados para cada ángulo dado y a manera de simplificar el análisis.



54

Y aquí tenemos los diagramas que ejemplifican la tabulación:

Fig. 72 Diagrama de Momentos

Fig. 73 Diagrama de Cortantes



55

Fig. 74 Diagrama de Fuerza Normal



56

VI.1.3 RESUMEN El proceso para calcular de un arco circular se puede resumir y consiste en:

a) Calcular reacciones.

b) Elegir marco de referencia con su origen en el centro del círculo.

c) Definir los intervalos de utilidad para las funciones de elementos mecánicos.

d) Calcular la función de momento flexionante en función de X y Y. Convertir la función de momento flexionante como función de θ.

e) Calcular los vectores unitarios en la dirección Cortante y Normal,𝑒 RV y 𝑒 RN.

f) Calcular para intervalo la resultante de todas las fuerzas activas y reactivas a la izquierda o a la derecha de la sección.

g) Calcular las funciones de la Fuerza Cortante (𝑅�⃗ . 𝑒 RV) y Normal (𝑅�⃗ . 𝑒 RN).

h) Tabular los valores de las funciones de elementos mecánicos para ciertos valores de la variable θ.

i) Dibujar, con los valores anteriores los diagramas de elementos mecánicos (diagramas radiales).



57

VI.2 Análisis del arco parabólico triarticulado Aquí tenemos otro ejemplo de análisis, en este caso partimos de la premisa de un arco parabólico el cual también cuenta con la particularidad de ser triarticulado para nuestro tipo de análisis. El hecho de haber utilizado el arco con mucha frecuencia en la antigüedad así como ya se ha mencionado varias ocasiones es porque este tipo de estructura trabaja compresión, lo cual se observa si analizamos la variación de la fuerza normal cuando el arco es sometido a cargas verticales. La piedra que era un elemento constructivo fundamental, resiste perfectamente este tipo de fuerza, y prueba de ellos son las grandes construcciones de la antigüedad. Con toda seguridad ya nos percatamos de lo dicho anteriormente, al analizar un ejemplo de arco circular, pero será mayor nuestra admiración al concluir que un arco parabólico, triarticulado y simétrico; con carga uniformemente distribuida y que actúa verticalmente, no presenta momento flexionante ni fuerza cortante. ¡Solo trabaja con fuerza normal¡ EJEMPLO 8. Consideremos el arco triarticulado en forma de parábola que se muestra, soportando una carga vertical uniformemente distribuida en todo su claro.( Fig. 75).

Fig. 75 Ejemplo de arco Parabólico triarticulado



58

1.- Cálculo de reacciones

ΣMA = 0 8 Rcv = 4(16) Rcv = 8 ton

ΣFy = 0 Rav + 8 = 16 Rav = 8 Ton ΣMB = 0 (del tramo 𝐵𝐶� ) 4 RCV = 16 RCH + 8(2) 4(8) = 16 RCH + 16 RCH = 1 Ton ΣFx = 0 RAH = RCH RAH = 1 Ton Fig. 76 Reacciones en arco parabólico

Ubicamos el origen coordenado en el vértice de la parábola, Fig. 77 en cuyo caso la ecuación de la curva es:

Y= −4ℎ𝑏2 𝑋2

O sea:

Y= −4(16)64

𝑋2

Y= -X2

Fig. 77 Tomando como eje de referencia y origen en punto B



59

Nuestra estructura presenta solo un intervalo de A a C, es decir: -4 ≤ X ≤ 4 -16 ≤ y ≤ 0 y 0 ≥ y -16 2.- Cálculo de elementos mecánicos Los elementos mecánicos iniciando desde la izquierda y comenzando por el momento flexionante son como siguen: 2.1.- Cálculo del momento flexionante (Tramo 𝑨𝑫� ). Consideramos un tramo de la sección

M = 8(4 + X) – (16 + Y) – 2(4 + X) ( 4+𝑋2

)

M = 8(4 + X) – 16 + X2 – 4 + X2 M = 32 + 8X – 16 + X2 – 16 – 8X – X2 M = 0 Fig. 78 Sección 𝐴𝐵� del arco parabólico

De este modo queda comprobado con el tramo considerado de sección que el momento es nulo para cualquier sección. 2.2.- Cálculo de la fuerza cortante y fuerza normal Para calcular la fuerza cortante se necesita el vector unitario en dirección cortante y la resultante a la izquierda de la sección como previamente lo habíamos hecho con el arco circular triarticulado; y a continuación deduciremos como se obtienen estos: Fig. 79 Determinación de las funciones sen y cos para este caso particular.

Nuestra función parabólica la representamos: Como cantidad Vectorial: 𝑟 = t�̂� - �̂�2 Como cantidad Escalar: Y = -X2 Y teniendo como premisas:

Tan Ɵ = 𝑑𝑦𝑑𝑥

; Y = -t2 ; tan Ɵ = -2t



60

Al igual que en el arco circular aquí se presenta la manera en que se llega a la deducción de los vectores unitarios tanto para la normal como para el cortante: Partimos de saber: 𝑟 = t𝚤 ̂- �̂� P

2 , y lo que necesitamos es un vector tangencial a lo largo de todo el arco para

que nos represente el Vector unitario normal (𝒆�⃗ RN) y este se representaría de la siguiente manera:

Vector tangencial: 𝑑𝑟𝑑𝑡

𝑑𝑟𝑑𝑡

= �̂� – 2t𝚥̂ Y de lo cual podemos obtener un vector unitario tangencial 𝒆�⃗ RN

𝒆�⃗ RN= �̂�−2𝑡�̂�√1+4𝑡2 = 1

√1+4𝑡2 𝚤̂ - 2𝑡√1+4𝑡2 𝚥̂

Vector perpendicular = d𝒆�⃗ 𝐍𝑑𝑡

d𝒆�⃗ 𝐍𝑑𝑡

= -12(1 + 4𝑡2)−3

2� (8t)𝚤 ̂ - √1+4𝑡2(2)−2𝑡(1

2)(1+4𝑡2)−1 2� (8𝑡)

1+4𝑡2 𝚥̂ = 4𝑡

(1+4𝑡2)3 2� 𝚤 ̂ -

2�1+4𝑡2�−8𝑡2

(1+4𝑡2)1 2�

(1+4𝑡2)𝚥̂

d𝒆�⃗ 𝐍𝑑𝑡

= - 4𝑡

(1+4𝑡2)3 2� 𝚤 ̂ - 2+8𝑡2−8𝑡2

(1+4𝑡2)3 2� 𝚥̂ = 4𝑡

(1+4𝑡2)3 2� 𝚤 ̂ - 2

(1+4𝑡2)3 2� 𝚥 ̂

Vector perpendicular unitario 𝒆�⃗ RV ; que en este caso al ser perpendicular se convierte en nuestro Vector

Unitario Cortante.

𝒆�⃗ RV = −4𝑡�̂�−2𝚥�(1+4𝑡2)

� 8𝑡2

(1+4𝑡2)3+ 4(1+4𝑡2)3

=

2(−2𝑡�̂�−𝚥�)

(1+4𝑡2)3

2�

�4(4𝑡2+1)(1+4𝑡2)3

=

2(−2𝑡�̂�−𝚥�)

(1+4𝑡2)3

2�

�4

(1+4𝑡2)2

=

2(−2𝑡�̂�−𝚥�)

(1+4𝑡2)3

2�2

1+4𝑡2

𝒆�⃗ RV = 2(1+4𝑡2)(−2𝑡�̂�−�̂�)

2(1+4𝑡2)3

2� = −2𝑡�̂�−�̂�

(1+4𝑡2)1

2� = - 2𝑡√1+4𝑡2 𝚤̂ - 1

√1+4𝑡2 𝚥̂

Considerado de Derecha a Izquierda

Si tomamos en consideración

CosƟ = 1√1+4𝑡2

SenƟ = −2𝑡√1+4𝑡2

𝒆�⃗ V = SenƟ�̂� – Cos Ɵ 𝚥̂

𝒆�⃗ N= Cos Ɵ𝚤 ̂+ Sen Ɵ𝚥̂



61

Una vez analizado lo anterior proseguimos con el cortante: 𝒆�⃗ RV = [Sen Ɵ – Cos Ɵ] 𝑅�⃗ = [1 , 8 – 2(4 + X)]

Pero tgƟ = 𝑑𝑦𝑑𝑥

, es decir:

tgƟ = -2x (como ya se había escrito) Y por lo tanto según la fig. 77 tenemos:

𝒆�⃗ RV = [ 2𝑥√4𝑋2+1

− 1√4𝑋2+1

]

Efectuamos el producto interno:

V = 𝑅�⃗ . 𝒆�⃗ RV =2𝑋

√4𝑋2+1 - 8−2(4−𝑋)

√4𝑋2+1 = 2𝑋

√4𝑋2+1 - 8−8+2𝑋

√4𝑋2+1 = 2𝑋

√4𝑋2+1 - 2𝑋

√4𝑋2+1 ; es decir:

V = 0

Fig. 80 Vector unitario del cortante a la izquierda de la sección



62

La fuerza cortante también es nula en cualquier sección, solo nos faltaría N = 𝑅�⃗ . 𝒆�⃗ RN Como: 𝒆�⃗ RN = [-cosƟ, -senƟ]

𝒆�⃗ RN = [− 1√4𝑋2+1

+ 2𝑋√4𝑋2+1

]

Como:

N = - 1√4𝑋2+1

+ 2𝑋[8−2(4+𝑋)]√4𝑋2+1

= −1+2𝑋(−2𝑥)√4𝑋2+1

= −4𝑋2−1√4𝑋2+1

= - √4𝑋2 + 1

Fig.81 Vector unitario del cortante

El análisis que acabamos de ver, nos permite observar que el arco parabólico trabaja con fuerza normal de compresión negativa en todas sus secciones.



63

Tabulando para distintos valores de la variable X tenemos:

X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 N -8.06 -6.08 -4.12 -2.24 -1 -2.24 -4.12 -6.08 -8.06

Tabla 5. Tabulación de N en cuanto un valor X para obtener su respectivo diagrama.

Los diagramas de elementos mecánicos se reducen a sólo el de fuerza normal.

Fig.82 Diagrama de Fuerza Normal del arco parabólico con carga uniforme

Nota: Recordemos que dependiendo de nuestro sistema de cargas nuestros elementos mecánicos actuarán de diferente manera.



64

VI.2.1 RESUMEN La secuencia de cálculo para arcos parabólicos es similar a la seguida en arcos circulares, teniendo en cuenta que la ubicación de los ejes coordenados debe hacerse colocando el origen en el vértice de la parábola y un eje coincidente con el de la parábola. Ello nos hace trabajar con coordenadas cartesianas teniendo como variable la x. Además el ángulo Ɵ es una función de X, así:

TgƟ = 𝑑𝑦𝑑𝑥

Y finalmente los diagramas de elementos mecánicos los dibujamos con rayado vertical por considerar como variable a X. VI. 3 Análisis del arco elíptico triarticulado Seguramente, nos hemos dado cuenta que un arco triarticulado al momento de sustentar cargas verticales no solo presenta reacciones verticales, sino también reacciones horizontales. Estas reacciones evitan el fenómeno del “coceo”, es decir, la tendencia que un arco presenta de abrirse hacia los lados. Para evitar el “coceo” en un arco, muchas veces se recurre a colocar un tensor en sus apoyos que impide que el arco se abra. En el caso de un arco parabólico, las reacciones horizontales llegan a ser relativamente pequeñas, pero en los arcos elípticos pueden ser más importantes. De ello nos daremos cuenta en el ejemplo de esta secuencia. (fig.83).

a) b)

Fig. 83 Ejemplo de cómo actúa el coceo en un arco: a) fuerzas de coceo que tienden

a abrir el arco, b) tensor que impide la apertura de este mismo



65

EJERCICIO 9. Consideramos a continuación un arco elíptico cuyo claro es mayor que su peralte, soportando una carga uniformemente repartida a lo largo de todo el claro con sus apoyos articulados, además de poseer una articulación en su clave donde soporta una carga concentrada.( Fig. 84). Como siempre nuestro objetivo es dibujar los diagramas de elementos mecánicos.

Fig. 84 Ejemplo de arco elíptico con carga uniformemente repartida y carga puntual al centro

1.- Cálculo de las reacciones Por ∑ 𝑀 RA = 0 De todo el arco 10 RCV = 8 (5) + 1 (10) (5) RCV = 9 Ton Por ∑ 𝑀 RB = 0 Del tramo 𝐵𝐶� 9 (5) = RCH (3) + 1(5)(2.5) RCH = 10.83 Ton



66

Por∑ 𝐹𝑦 = 0 RAV = 8 + 1(10) -9 RAV = 9 Ton Por ∑ 𝐹𝑦 = 0 RAH = 10.83 Ton

Fig. 85 Valor de las reacciones obtenidas en el ejemplo calculado.

2.- Cálculo de elementos mecánicos Para el cálculo de los elementos mecánicos definimos los intervalos: 180o≥θ≥90o ; -5 ≤ X ≤ 0 ; 0 ≤ Y ≤ 3 90o≥θ ≥0o ; 0 ≤ X ≤ 5 ; 3 ≥ Y ≥ 0 Para el primer intervalo: 180o≥θ≥ 90o ; -5 ≤ X ≤ 0 ; 0 ≤ Y ≤ 3 Sabemos que: X = 5 cosθ Y = 3 senθ 𝑋2

25 +𝑦2

9 = 1



67

Fig. 86 Sección del arco elíptico en el primer intervalo analizado

2.1.- Cálculo de momento flexionante M = 9(5 + X) – 10.83y -1.2 (5 + X)2

M = 9(5 + 5 cosθ) – 10.83(3 senθ) - 12 (5 + 5cos θ)2

M = 32.5 + 45 cosθ - 32.5 senθ -12 (25 + 50 cos Ɵ + 25 cos2 Ɵ)

M = 32.5 + 20 cos Ɵ – 32.5 sen Ɵ -12.5 cos2 Ɵ 2.2.- Cálculo de fuerza cortante y fuerza normal Para el cálculo de la normal y el cortante obtenemos los vectores unitarios correspondientes, recordemos que previamente se mostró cómo hacerlo.

𝒆�⃗ RV = [ CosƟ�̂�, Sen Ɵ 𝚥̂]

𝒆�⃗ RN= [ -SenƟ𝚤,̂ + CosƟ𝚥̂ ]



68

Y la resultante de todas las fuerzas a la izquierda de la sección considerada.

𝑅�⃗ = [ 10.83, 9 - (5 + X ) ]

𝑅�⃗ = [ 10.83, 4 - 5 + cosƟ ]

Del producto puntual de los vectores obtenemos las ecuaciones:

V= 𝑅�⃗ . 𝒆�⃗ RV= 10.83 cosθ + 4 senθ – 5 cosθsenθ

N = 𝑅�⃗ . 𝒆�⃗ RV= -10.83 senθ + 4 cosθ – 5cos2θ

Y para el Segundo intervalo consideramos:

90o≥θ ≥0o ; 0 ≤ X ≤ 5 ; 3 ≥ Y ≥ 0

Fig. 87 Sección del arco elíptico del segundo intervalo analizado.



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2.1.- Cálculo de momento flexionante

M = 9( 5 + X ) – 10.83 Y - 12 (5 + X )2 – 8X

M = 32.5 + 20 cosθ – 32.5 senθ -12.5 cos2 θ – 8 ( 5cos θ ) M = 32.5 – 20 cosθ – 32.5 senθ – 12.5 cos2θ Los vectores unitarios:

𝒆�⃗ RV = [ CosƟ�̂�, Sen Ɵ 𝚥̂]

𝒆�⃗ RN= [ -SenƟ𝚤,̂ + Cos Ɵ𝚥̂ ]

𝑅�⃗ = [ 10.83, 9 - (5 + X ) -8 ] 𝑅�⃗ = [ 10.83, -4 - 5 + cosƟ ]

2.2.- Cálculo de fuerza cortante y fuerza normal

V= 𝑅�⃗ . 𝒆�⃗ RV= 10.83 cosθ - 4 senθ – 5 senθcosθ

N = 𝑅�⃗ . 𝒆�⃗ RV= -10.83 senθ - 4 cosθ – 5cos2θ Vaciemos en la siguiente tabla los valores de los cálculos correspondientes para poder así crear los diagramas necesarios para nuestro ejercicio.6

θ Cos θ Sen θ Cos2 θ Cos θ * Sen θ M V N 180 -1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 -10.83 -9.00 160 -0.94 0.34 0.88 -0.32 -8.44 -7.20 -11.87 140 -0.76 0.64 0.58 -0.49 -11.04 -3.26 -12.96 120 -0.50 0.86 0.25 -0.43 -8.77 0.21 -12.62 100 -0.17 0.98 0.03 -0.17 -3.35 2.91 -11.51

90 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 4.00 -10.83 -4.00 -10.83

80 0.17 0.98 0.03 0.17 -3.35 -2.91 -11.51 60 0.50 0.86 0.25 0.43 -8.77 -0.21 -12.62 40 0.76 0.64 0.58 0.49 -11.04 3.26 -12.96 20 0.94 0.34 0.88 0.32 -8.44 7.20 -11.87 0 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.83 -9.00

Tabla 6 Valores tabulados correspondientes a la N, V y M respectivamente para ángulos determinados de un arco Elíptico

6 Lizárraga M. Ignacio (1990). Estructuras Isostáticas. Mc Graw Hill. Distrito Federal, México.



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Y Aquí tenemos sus diagramas correspondientes:

Fig. 88 Diagrama de Momento del arco elíptico analizado.

Fig.89 Diagrama de Cortante del arco elíptico analizado.



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Fig.90 Diagrama de Fuerza Normal del arco elíptico analizado.



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CAPITULO VII SOLICITACIONES

Hasta ahora solo habíamos visto aspectos técnicos en cuanto a los arcos se refiere, pero a partir de este punto veremos algunos tipos de normativa que nos rigen a nivel mundial con respecto a este tipo de edificaciones, y así mismo podremos comprender bajo qué circunstancias podemos realizar estas estructuras y los determinados criterios para no comprometer la seguridad y el funcionamiento de las mismas. VII.1 Requisitos fundamentales 1.-Una estructura debe proyectarse y ejecutarse de forma que, durante su vida prevista, con los grados de fiabilidad apropiados y de manera económica: -Sostenga todas las acciones e influencias que puedan ocurrir durante su ejecución y utilización; y -Se mantenga apta para el uso requerido. 2.-Una estructura debe ser calculada para tener la adecuada: -Resistencia estructural -Aptitud al servicio; y -Durabilidad 3.-En caso de incendio, la resistencia estructural debe ser la adecuada para el periodo de tiempo requerido (Se recomienda consultar también la norma UNE o EN 1991-1-1 (2003)). 4.-Una estructura debe proyectarse y ejecutarse de forma que no se vea dañada por acontecimientos o sucesos como: -Explosiones; -Impactos; y -Las consecuencias de errores humanos. Los sucesos a considerar son aquellos acordados para un proyecto concreto con el cliente y la autoridad correspondiente (Se da más información en la Norma UNE o EN 1991-1-1(2003)). 5.- Se deben evitar o limitar los daños potenciales mediante la elección apropiada de una o más de las siguientes medidas: -Evitar, eliminar o reducir los riesgos a los que pueda verse sometida la estructura; -Seleccionar una forma estructural que tenga poca sensibilidad a los riesgos considerados;



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-Seleccionar una forma estructural y un diseño que puedan sobrevivir adecuadamente la eliminación accidental de un elemento o de una parte limitada de la estructura, o un daño localizado de extensión aceptable; -evitar en todo lo posible sistemas estructurales que puedan derrumbarse sin previo aviso; -haciendo solidarios los elementos estructurales entre sí. 6.-Se deberían satisfacer los requisitos fundamentales mediante: - La elección de materiales adecuados; -El cálculo y detalles constructivos adecuados; y -la especificación de procedimientos de control para el cálculo, la producción, la ejecución y el uso correspondiente al proyecto concreto. 7.-Las disposiciones del capítulo 2 deberían interpretarse sobre la base de que en el proyecto se ponen en práctica, pericia y cuidados apropiados, basados en la información y buena práctica disponibles con generalidad en el momento en que se lleva a cabo el proyecto de la estructura. VII.1.1 Gestión de la Fiabilidad 1.-La fiabilidad que requieren las estructuras dentro del campo de aplicación de la Norma EN 1990 debe conseguirse: a) Mediante cálculo según las Normas EN 1990, hasta la EN 1999 (Se recomienda revisar estas normas para la complementación en su caso) y b) Mediante: -Una ejecución apropiada; y - Medidas de gestión de la calidad. 2.-Se pueden adoptar diferentes niveles de fiabilidad -Para la resistencia estructural; -para la aptitud al servicio. 3.-La elección de los niveles de fiabilidad para una estructura en concreto debería tener en cuenta los factores apropiados, incluyendo: -La posible causa y/o modo de alcanzar un estado límite;



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-Las posibles consecuencias del fallo en términos de riesgo para la vida, lesiones, pérdidas económicas potenciales; -La aversión pública al fallo; -El coste y procedimientos necesarios para reducir el riesgo de fallo. 4.-Los niveles de fiabilidad a aplicar a una estructura concreta pueden especificarse de una o ambas maneras siguientes: -Mediante la clasificación de la estructura como un todo; -Mediante la clasificación de sus componentes. 5.-Los niveles de fiabilidad relacionados con la seguridad y aptitud al servicio estructurales pueden obtenerse mediante la combinación adecuada de: Medidas preventivas y de protección (por ejemplo, puesta en práctica de barreras de seguridad, medidas activas y de protección contra el fuego, protección contra los riesgos de corrosión tales como la pintura y la protección catódica); Medidas relacionadas con el cálculo de proyecto: - Valores representativos de las acciones; -La adopción de coeficientes de seguridad. Medidas relacionadas con el control de calidad; medidas encaminadas a reducir los errores en el proyecto y la ejecución de la estructura y errores humanos graves; otras medidas relacionadas con las otras siguiente materias de cálculo: -Los requisitos básicos; -El grado de robustez (integridad estructural); -La durabilidad, incluida la elección de la vida útil de cálculo; -El alcance y calidad de los estudios preliminares de los suelos y las posibles influencias medioambientales; -La precisión de los modelos mecánicos empleados; -Los detalles constructivos. 6.-Las medidas para prevenir las potenciales causas de fallo y/o reducir sus consecuencias, pueden, en las circunstancias adecuadas, intercambiarse hasta cierto punto, siempre y cuando se mantengan los niveles de fiabilidad adecuados.



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VII.1.2 Vida útil de cálculo 1.-Se debería especificar la vida útil de cálculo. NOTA: La tabla establece categorías indicativas. Los valores dados en la tabla 7 pueden emplearse también para determinar prestaciones que son función del tiempo (por ejemplo, cálculos relacionados con la fatiga).

Categoría de vida útil de cálculo

Vida útil de cálculo indicativa

Ejemplos

1 10 Estructuras temporales (1) 2 10 a 50 Partes de estructuras reemplazables, por

ejemplo: vigas de rodadura 3 15 a 30 Estructuras agrícolas y similares 4 50 Estructuras de edificios y otras estructuras

comunes 5 100 Estructuras de edificios monumentales, puentes

y otras estructuras (1) Estructuras o partes de estructuras que puedan desmontarse con la intención de volver a usarse no deberían considerarse como estructuras temporales.

Tabla 7 Parámetros a considerar dentro de la vida útil de las estructuras medida en años dependiendo el tipo de estructura.

VII.1.3 Durabilidad 1.-La estructura debe calcularse de forma que el deterioro a lo largo de su vida útil de cálculo no impida las prestaciones de la estructura por debajo de lo previsto, teniendo en cuenta el ambiente en que se encuentra y el nivel de mantenimiento previsto. 2.-Con el fin de obtener una estructura adecuadamente duradera, se debería tener en cuenta lo siguiente: -El uso previsto y previsible de la estructura; -Los criterios de cálculo exigidos; -Las condiciones ambientales esperadas; -La composición, propiedades y prestaciones de los materiales y productos; -Las propiedades del suelo;



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-La elección del sistema estructural; -La forma de los elementos y los detalles constructivos de la estructura; -La calidad de la mano de obra y el nivel de control; -Las medidas de protección especificas; -El mantenimiento previsto durante la vida útil de cálculo. NOTA: Las correspondientes Normas EN 1992, hasta la EN 1999 definen medidas apropiadas para reducir el deterioro. 3.-Las condiciones ambientales deben identificarse en la fase de proyecto de forma que su significado pueda ser evaluado en relación con la durabilidad y que se puedan hacer previsiones para la protección de los materiales utilizados en la estructura. 4.-El grado de deterioro puede ser estimado en base a cálculos, a ensayos, a la experiencia de construcciones anteriores o a una combinación de los tres medios. VII.1.4 Gestión de la Calidad Conviene implantar medidas apropiadas de gestión de la calidad para obtener una estructura que se corresponda con los requisitos e hipótesis hechas en el cálculo. Estas medidas incluyen: -Definición de los requisitos de fiabilidad; -Medidas de organización; y -Controles en las etapas de proyecto, ejecución, uso y mantenimiento (La Norma EN ISO 9001:2000 puede ser una base aceptable para las medidas de gestión de la calidad, donde proceda). VII.1.5 Estados Límite VII.1.5.1 Generalidades 1.-Se debe distinguir entre los estados límite últimos y los estados límite de servicio. En algunos casos, pueden resultar necesarias verificaciones adicionales, por ejemplo, para asegurar la seguridad vial. 2.-La verificación de una de las dos categorías de estados límite puede omitirse siempre que haya suficiente información para probar que se cubren los requisitos por los relativos a la otra. 3.-Los estados límite se deben relacionar con situaciones de proyecto.



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4.-Se deberían clasificar las situaciones de proyecto en persistentes, transitorias o accidentales 5.-La verificación de los estados límite que tengan que ver con efectos que sean función del tiempo (por ejemplo, la fatiga) debería referirse a la vida útil de cálculo de la construcción. La mayor parte de los efectos que son función del tiempo son acumulativos. VII.1.5.2 Situaciones de proyecto 1.-Se deben seleccionar las situaciones de proyecto a considerar teniendo en cuenta las circunstancias bajo las cuales la estructura debe cumplir su función. 2.-Las situaciones de proyecto se deben clasificar como sigue: - Situaciones de proyecto persistentes, que se refieren a condiciones de uso normal; -Situaciones de proyecto transitorias, que se refieren a condiciones temporales aplicables a la estructura, por ejemplo, durante su ejecución o reparación; -Situaciones de proyecto accidentales, que se refieren a condiciones excepcionales aplicables a la estructura o a su exposición, por ejemplo, a incendio, a la explosión, al impacto o a las consecuencias de fallo localizado; (Las Normas EN 1990, hasta la Norma EN 1999 dan información relacionada con situaciones de proyecto específicas dentro de estas clases). -Situaciones de proyecto sísmicas, que se refieren a condiciones aplicables a la estructura cuando se ve sometida a sismos. 3.-Las situaciones de proyecto seleccionadas deberán ser lo suficientemente severas y variadas como para tener en cuenta todas las condiciones que se puedan prever razonablemente que vayan a ocurrir durante la ejecución y utilización de la estructura. VII.1.6 Estados Límite Últimos 1.-Los estados límite que se refieran a: -La seguridad de las personas; y/o -La seguridad de la estructura Se deben clasificar como estados límite últimos. 2.-En algunas circunstancias, los estados límite que se refieran a la protección de los contenidos se deberían clasificar como estados límite últimos.



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Las circunstancias son aquellas acordadas para un proyecto concreto con el cliente y las autoridades correspondientes. 3.-Los estados previos al colapso estructural que, por simplicidad, puedan considerarse en lugar del colapso mismo, pueden tratarse como estados límite últimos. 4.-Los estados límites últimos siguientes se deben verificar cuando sea pertinente: -Pérdida de equilibrio de la estructura, o cualquier parte de ella, considerada como un cuerpo rígido; -Fallo por deformación excesiva, transformación de la estructura, o cualquier parte de ella, en un mecanismo, rotura, pérdida de estabilidad de la estructura o cualquier parte de ella, incluyendo los apoyos y la cimentación. -Fallo causado por fatiga o por otros efectos que dependen del tiempo. Distintos conjuntos de coeficientes parciales se asocian con los diferentes estados límite últimos. Un fallo debido una deformación excesiva es un fallo estructural debido a inestabilidad mecánica. VII.1.7 Estados Límite de Servicio 1.-Se deben clasificar como estados límites de servicio los estados límites que se refieran a: -El funcionamiento de la estructura o de los elementos estructurales bajo uso normal; -La comodidad de las personas; -La apariencia de las construcciones, En el contexto de servicio o aptitud al servicio, el término "apariencia" se refiere a criterios tales como el de flecha excesiva y fisuración extendida más que a la estética. Normalmente, los requisitos de aptitud al servicio se acuerdan para cada proyecto específico 2.-Debe distinguirse entre estados límite de servicio reversible e irreversible. 3.-La verificación de los estados límite de servicio (o de aptitud al servicio) debería basarse en criterios referentes a los siguientes aspectos: a) deformaciones que afecten a: - La apariencia; - La comodidad de los usuarios; o



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-El funcionamiento de la estructura (incluyendo el funcionamiento de las maquinas o instalaciones); O que causen daños a los acabados o a los elementos no estructurales b) vibraciones: -Que causen incomodidades a las personas; o -Que limiten la efectividad funcional de la estructura c) daños que puedan afectar adversamente a: -La apariencia; -La durabilidad; o -El funcionamiento de la estructura (EN 1992, hasta la Norma EN 1999 y actuales dan disposiciones adicionales relacionadas con criterios de servicio). VII.1.8 Cálculo en Estados Límite 1.-El cálculo en estados límite debe basarse en el uso de modelos estructurales y de carga para los estados límite correspondientes. 2.-Debe verificarse que no se supera ningún estado límite cuando los valores de cálculo correspondientes son introducidos en estos modelos para: -Las acciones; -Las propiedades de los materiales; o -Los datos geométricos. 3.-Las verificaciones se deben llevar a cabo para todas las situaciones de proyecto e hipótesis de carga relevantes. 4.-Como alternativa, pueden emplearse procedimientos de cálculo basado en métodos probabilísticos*. La autoridad correspondiente puede establecer condiciones de uso específicas. 5.-Las situaciones de proyecto seleccionadas deben ser tomadas en consideración y las hipótesis de carga críticas identificadas. 6.-Para una verificación específica deberían seleccionarse hipótesis de carga, identificando las distribuciones de carga compatibles, los conjuntos de deformaciones y las imperfecciones que deberían considerase simultáneamente con acciones variables fijas y acciones permanentes.



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7.-Se deben tener en cuenta las posibles desviaciones con respecto a las posiciones y direcciones previstas. 8.-Los modelos estructurales y de carga pueden ser bien modelos físicos o modelos matemáticos (Para base de métodos probabilísticos, véase el anexo C de esta Norma). CAPITULO VIII. REGLAMENTOS Dentro de cualquier proyecto se debe tener parámetros que nos guíen y normaticen porque de no ser así cada quien haría lo que quisiera, simplemente habría un descontrol y nadie impediría que se cometieran aberraciones constructivas. En las mayorías de las ocasiones existen dependencias gubernamentales que se encargan de emitir este tipo de lineamientos, así como de su publicación y gestión para llevar el control y ejecutar de manera correcta la forma de proyectar y construir cualquier tipo de obra de infraestructura constructiva. Es por ello que este capítulo se encarga de dar una pequeña explicación acerca de ello. Reglamento: Conjunto de disposiciones orgánicas emanadas del poder público competente para hacer efectivo el cumplimiento de las leyes administrativas. Norma elaborada por las corporaciones, asociaciones o sociedades para ordenar su buen gobierno y funcionamiento. Norma: Regla o conjunto de reglas que hay que seguir para llevar a cabo una acción, porque está establecido o ha sido ordenado de ese modo. Manual: aquel libro que recoge lo esencial, básico y elemental de una determinada materia, como puede ser el caso de las matemáticas, la historia, la geografía, en términos estrictamente académicos o también, es muy común, la existencia de manuales técnicos que vienen generalmente acompañando a aquellos productos electrónicos que adquirimos y que requieren de su lectura y la observación de las recomendaciones que contienen antes de poner en funcionamiento los mencionados. Una vez que hemos entendido al diferencia entre cada uno de los conceptos anteriores es de importancia aclarar que en muchas de las ocasiones las divisiones políticas territoriales tanto nacionales como internacionales delimitan y establecen su normativa a seguir por lo que en algunos casos es aplicable hasta cierto punto lo que se dice en una y en otra; y en casos muy particulares al carecer de una normativa o de algún documento que normatice la localidad se recurre a una equivalencia de otro lugar geográfico con las condiciones semejantes para poder establecer parámetros constructivos y de diseño.



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Es por esta razón que en este capítulo haremos referencia a los parámetros que existen para la Ciudad de México y sus alcances pero también citaremos otras referencias que complementen los alcances de lo aplicable a la Ciudad de México. VIII.1 Reglamento de Construcción del Distrito Federal (México) VIII.1.1 De las cargas muertas ARTICULO 160.-

Se consideran como cargas muertas los pesos de todos los elementos constructivos, de los acabados y de todos los elementos que ocupan una posición permanente y tienen un peso que no cambia sustancialmente con el tiempo. La determinación de las cargas muertas se hará conforme especificado en las Normas. VIII.1.2 De las cargas vivas ARTICULO 161.-

Se consideran cargas vivas las fuerzas que se producen por el uso y ocupación de las edificaciones y que no tienen carácter permanente. A menos que se justifiquen racionalmente otros valores, estas cargas se tomarán iguales a las especificadas en las Normas. ARTICULO 162.-

Para la aplicación de las cargas vivas unitarias se deben tomar en consideración las que se indican en las Normas. ARTICULO 163.-

Durante el proceso de edificación deben considerarse las cargas vivas transitorias que puedan producirse; éstas incluirán el peso de los materiales que se almacenen temporalmente, el de los vínculos y equipo, el de colado de las plantas superiores que se apoyen en la planta que se analiza y del personal necesario, no siendo este último peso menor de 1.5 KN/m2 (150 kg/m2). Se considerarán, además, una concentración de 1 .5 KN (150 kg) en el lugar más desfavorable. VIII.1.3 Del diseño por sismo ARTICULO 164.-

En las Normas se establecen las bases y requisitos generales mínimos de diseño para que las estructuras tengan seguridad adecuada ante los efectos de los sismos. Los métodos de análisis y los requisitos para estructuras específicas se detallarán en las Normas.



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ARTICULO 165.-

Las estructuras se analizarán bajo la acción de dos componentes horizontales ortogonales no simultáneos del movimiento del terreno. En el caso de estructuras que no cumplan con las condiciones de regularidad, deben analizarse mediante modelos tridimensionales, como lo especifican las Normas. ARTICULO 166.-

Toda edificación debe separarse de sus linderos con los predios vecinos o entre cuerpos en el mismo predio según se indica en las Normas. En el caso de una nueva edificación en que las colindancias adyacentes no cumplan con lo estipulado en el párrafo anterior, la nueva edificación debe cumplir con las restricciones de separación entre colindancias como se indican en las Normas. Los espacios entre edificaciones colindantes y entre cuerpos de un mismo edificio deben quedar libres de todo material, debiendo usar tapajuntas entre ellos. ARTICULO 167.-

El análisis y diseño estructural de otras construcciones que no sean edificios, se harán de acuerdo con lo que marquen las Normas y, los aspectos no cubiertos por ellas, se hará de manera congruente con ellas y en este Capítulo, previa aprobación de la Secretaría de Obras y Servicios. VIII.1.4 Del diseño por viento ARTICULO 168.-

Las bases para la revisión de la seguridad y condiciones de servicio de las estructuras ante los efectos de viento y los procedimientos de diseño se establecen en las Normas.7 VIII.2 Normas Técnicas Complementarias para el Reglamento del DF. VIII.2.1 Alcance Este documento tiene los siguientes objetivos: a) Definir las acciones que pueden obrar sobre las construcciones, así como sus posibles efectos sobre ellas y la forma de tomarlos en cuenta para fines de diseño estructural. b) Establecer las condiciones de seguridad y de servicio que deberán revisarse al realizar el diseño estructural de una construcción, así como los criterios de aceptación relativos a cada una de dichas condicione (De manera de satisfacer lo estipulado en el artículo 147 del Reglamento).

7 Gaceta Oficial del Distrito Federal (2004). Normas Técnicas Complementarias para el Reglamento de Construcciones del Distrito Federal. Sobre criterios y acciones para el diseño estructural de las edificaciones. Distrito Federal, México.



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a) Establecer las combinaciones de acciones que deberán suponerse aplicadas simultáneamente para revisar cada una de las condiciones de seguridad y servicio establecidas de acuerdo con lo que se menciona en el inciso anterior.

VIII.2.2 Unidades Sólo se especifican las unidades en las ecuaciones no homogéneas, cuyos resultados dependen de las unidades en que se expresen. En cada uno de esos casos, se presenta, en primer lugar, la ecuación en términos de unidades del sistema internacional (SI), y en segundo lugar, entre paréntesis, en términos de unidades del sistema métrico decimal usual. Los valores correspondientes a los dos sistemas no son exactamente equivalentes, por lo que cada sistema debe utilizarse con independencia del otro, sin hacer combinaciones entre los dos. VIII.2.3 Acciones de diseño Tipos de acciones, según su duración se considerarán tres categorías de acciones, de acuerdo con la duración en que obran sobre las estructuras con su intensidad máxima: a) Las acciones permanentes son las que obran en forma continua sobre la estructura y cuya intensidad varía poco con el tiempo. Las principales acciones que pertenecen a esta categoría son: la carga muerta; el empuje estático de suelos y de líquidos y las deformaciones y desplazamientos impuestos a la estructura que varían poco con el tiempo, como los debidos a pre esfuerzo o a movimientos diferenciales permanentes de los apoyos; b) Las acciones variables son las que obran sobre la estructura con una intensidad que varía significativamente con el tiempo. Las principales acciones que entran en esta categoría son: la carga viva; los efectos de temperatura; las deformaciones impuestas y los hundimientos diferenciales que tengan una intensidad variable con el tiempo, y las acciones debidas al funcionamiento de maquinaria y equipo, incluyendo los efectos dinámicos que pueden presentarse debido a vibraciones, impacto o frenado; y c) Las acciones accidentales son las que no se deben al funcionamiento normal de la edificación y que pueden alcanzar intensidades significativas sólo durante lapsos breves. Pertenecen a esta categoría: las acciones sísmicas; los efectos del viento; las cargas de granizo; los efectos de explosiones, incendios y otros fenómenos que pueden presentarse en casos extraordinarios. Será necesario tomar precauciones en las estructuras, en su cimentación y en los detalles constructivos, para evitar un comportamiento catastrófico de la estructura para el caso de que ocurran estas acciones.



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VIII.2.4 Intensidades de diseño Cuando deba considerarse en el diseño el efecto de acciones cuyas intensidades no estén especificadas en este reglamento ni en sus Normas Técnicas Complementarias, estas intensidades deberán establecerse siguiendo procedimientos aprobados por la Administración y con base en los criterios generales siguientes: Para acciones permanentes se tomará en cuenta la variabilidad de las dimensiones de los elementos, de los pesos volumétricos y de las otras propiedades relevantes de los materiales, para determinar un valor máximo probable de la intensidad. Cuando el efecto de la acción permanente sea favorable a la estabilidad de la estructura, se determinará un valor mínimo probable de la intensidad; b) Para acciones variables se determinarán las intensidades siguientes que correspondan a las combinaciones de acciones para las que deba revisarse la estructura: 1) La intensidad máxima se determinará como el valor máximo probable durante la vida esperada de la edificación. Se empleará para combinación con los efectos de acciones permanentes; 2) La intensidad instantánea se determinará como el valor máximo probable en el lapso en que pueda presentarse una acción accidental, como el sismo, y se empleará para combinaciones que incluyan acciones accidentales o más de una acción variable; 3) La intensidad media se estimará como el valor medio que puede tomar la acción en un lapso de varios años y se empleará para estimar efectos a largo plazo; y 4) La intensidad mínima se empleará cuando el efecto de la acción sea favorable a la estabilidad de la estructura y se tomará, en general, igual a cero. c) Para las acciones accidentales se considerará como intensidad de diseño el valor que corresponde a un periodo de retorno de cincuenta años. Las intensidades supuestas para las acciones no especificadas deberán justificarse en la memoria de cálculo y consignarse en los planos estructurales. VIII.2.5 Combinaciones de acciones La seguridad de una estructura deberá verificarse para el efecto combinado de todas las acciones que tengan una probabilidad no despreciable de ocurrir simultáneamente, considerándose dos categorías de combinaciones:



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a) Para las combinaciones que incluyan acciones permanentes y acciones variables, se considerarán todas las acciones permanentes que actúen sobre la estructura y las distintas acciones variables, de las cuales la más desfavorable se tomará con su intensidad máxima y el resto con su intensidad instantánea, o bien todas ellas con su intensidad media cuando se trate de evaluar efectos a largo plazo. Para la combinación de carga muerta más carga viva, se empleará la intensidad máxima de la carga viva de la sección 6.1*, considerándola uniformemente repartida sobre toda el área. Cuando se tomen en cuenta distribuciones de la carga viva más desfavorables que la uniformemente repartida, deberán tomarse los valores de la intensidad instantánea especificada en la mencionada sección; y b) Para las combinaciones que incluyan acciones permanentes, variables y accidentales, se considerarán todas las acciones permanentes, las acciones variables con sus valores instantáneos y únicamente una acción accidental en cada combinación. En ambos tipos de combinación los efectos de todas las acciones deberán multiplicarse por los factores de carga apropiados de acuerdo con la sección 3.4 (Correspondiente a las Normas Técnicas Complementarias citadas). c) Los criterios de diseño para cargas de viento y sismo, así como para el de cimentaciones, se presentan en las normas técnicas correspondientes. Se aplicarán los factores de carga que se presentan en la sección 3.4 (Correspondiente a las Normas Técnicas Complementarias citadas en cada caso). VIII.2.6 Criterios de diseño estructural VIII.2.6.1 Estados límite Para fines de aplicación de estas Normas, se alcanza un estado límite de comportamiento en una construcción cuando se presenta una combinación de fuerzas, desplazamientos, niveles de fatiga, o varios de ellos, que determina el inicio o la ocurrencia de un modo de comportamiento inaceptable de dicha construcción. De acuerdo con los artículos 148 y 149 del Reglamento, tales estados límite se clasifican en dos grupos: estados límite de falla y estados límite de servicio. Los primeros se refieren a modos de comportamiento que ponen en peligro la estabilidad de la construcción o de una parte de ella, o su capacidad para resistir nuevas aplicaciones de carga. Los segundos incluyen la ocurrencia de daños económicos o la presentación de condiciones que impiden el desarrollo adecuado de las funciones para las que se haya proyectado la construcción. * Revisar las Normas Técnicas Complementarias para el DF en los capítulos señalados o en capítulos subsecuentes



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VIII.2.7 Resistencias de diseño Definición: Se entenderá por resistencia la magnitud de una acción, o de una combinación de acciones, que provocaría la aparición de un estado límite de falla de la estructura o cuales quiera de sus componentes. En general, la resistencia se expresará en términos de la fuerza interna, o combinación de fuerzas internas, que corresponden a la capacidad máxima de las secciones críticas de la estructura. Se entenderá por fuerzas internas las fuerzas axiales y cortantes y los momentos de flexión y torsión que actúan en una sección de la estructura. VIII.2.7.1 Determinación de resistencias de diseño La determinación de la resistencia podrá llevarse a cabo por medio de ensayes diseñados para simular, en modelos físicos de la estructura o de porciones de ella, el efecto de las combinaciones de acciones que deban considerarse de acuerdo con las secciones 3.3 y 3.413. Cuando se trate de estructuras o elementos estructurales que se produzcan en forma industrializada, los ensayes se harán sobre muestras de la producción o de prototipos. En otros casos, los ensayes podrán efectuarse sobre modelos de la estructura en cuestión. La selección de las partes de la estructura que se ensayen y del sistema de carga que se aplique deberá hacerse de manera que se obtengan las condiciones más desfavorables que puedan presentarse en la práctica, tomando en cuenta la interacción con otros elementos estructurales. Con base en los resultados de los ensayes, se deducirá una resistencia de diseño, tomando en cuenta las posibles diferencias entre las propiedades mecánicas y geométricas medidas en los especímenes ensayados y las que puedan esperarse en las estructuras reales. El tipo de ensaye, el número de especímenes y el criterio para la determinación de la resistencia de diseño se fijará con base en criterios probabilísticos y deberán ser aprobados por la Administración, la cual podrá exigir una comprobación de la resistencia de la estructura mediante una prueba de carga de acuerdo con el Capítulo XII del Título Sexto del Reglamento. VIII.2.8 Condiciones de diseño Se revisará que para las distintas combinaciones de acciones especificadas en la sección 2.3 (Se recomienda la revisión de las Normas respectivas para su completa comprensión) y para cualquier estado límite de falla posible, la resistencia de diseño sea mayor o igual al efecto de las acciones que intervengan en la combinación de cargas en estudio, multiplicado por los factores de carga correspondientes, según lo especificado en la sección 3.4 (Especificado en las Normas técnicas correspondientes). También se revisará que no se rebase ningún estado límite de servicio bajo el efecto de las posibles combinaciones de acciones, sin multiplicar por factores de carga. * Revisar las Normas Técnicas Complementarias para el DF en los capítulos señalados o en capítulos subsecuentes



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VIII.2.8.1 Factores de carga Para determinar el factor de carga, FC, se aplicarán las reglas siguientes: a) Para combinaciones de acciones clasificadas en el inciso 2.3.a*, se aplicará un factor de carga de 1.4. Cuando se trate de edificaciones del Grupo A, el factor de carga para este tipo de combinación se tomará igual a 1.5; b) Para combinaciones de acciones clasificadas en el inciso 2.3.b*, se tomará un factor de carga de 1.1 aplicado a los efectos de todas las acciones que intervengan en la combinación; c) Para acciones o fuerzas internas cuyo efecto sea favorable a la resistencia o estabilidad de la estructura, el factor de carga se tomará igual a 0.9; además, se tomará como intensidad de la acción el valor mínimo probable de acuerdo con la sección 2.2*; y d) Para revisión de estados límite de servicio se tomará en todos los casos un factor de carga unitario. VIII.2.9 Estados límite de servicio VIII.2.9.1 Desplazamientos En las edificaciones comunes sujetas a acciones permanentes o variables, la revisión del estado límite de desplazamientos se cumplirá si se verifica que no exceden los valores siguientes: a) Un desplazamiento vertical en el centro de trabes en el que se incluyen efectos a largo plazo, igual al claro entre 240 más 5 mm; además, en miembros en los cuales sus desplazamientos afecten a elementos no estructurales, como muros de mampostería, que no sean capaces de soportar desplazamientos apreciables, se considerará como estado límite a un desplazamiento vertical, medido después de colocar los elementos no estructurales, igual al claro de la trabe entre 480 más 3 mm. Para elementos en voladizo los límites anteriores se duplicarán. b) Un desplazamiento horizontal relativo entre dos niveles sucesivos de la estructura, igual a la altura

del entrepiso dividido entre 500, para edificaciones en las cuales se hayan unido los elementos no estructurales capaces de sufrir daños bajo pequeños desplazamientos; en otros casos, el límite será igual a la altura del entrepiso dividido entre 250. Para diseño sísmico o por viento se observará lo dispuesto en las Normas correspondientes.

* Revisar las Normas Técnicas Complementarias para el DF en los capítulos señalados o en capítulos subsecuentes



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VIII.2.9.2 Vibraciones Las amplitudes tolerables de los desplazamientos debidos a vibraciones no podrán exceder los valores establecidos en la sección 4.1*. Además, deberán imponerse límites a las amplitudes máximas de las vibraciones, de acuerdo con su frecuencia, de manera de evitar condiciones que afecten seriamente la comodidad de los ocupantes o que puedan causar daños a equipo sensible a las excitaciones citadas. 4.3*. Otros estados límite. Además de lo estipulado en las secciones 4.1 y 4.2*, se observará lo que dispongan las Normas Técnicas Complementarias relativas a los distintos tipos de estructuras y a los estados límite de servicio de la cimentación. VIII.2.10 Acciones de diseño VIII.2.10.1 Cargas muertas Definición y evaluación. Se considerarán como cargas muertas los pesos de todos los elementos constructivos, de los acabados y de todos los elementos que ocupan una posición permanente y tienen un peso que no cambia sustancialmente con el tiempo. Para la evaluación de las cargas muertas se emplearán las dimensiones especificadas de los elementos constructivos y los pesos unitarios de los materiales. Para estos últimos se utilizarán valores mínimos probables cuando sea más desfavorable para la estabilidad de la estructura considerar una carga muerta menor, como en el caso de volteo, flotación, lastre y succión producida por viento. En otros casos se emplearán valores máximos probables. VIII.2.10.2 Peso muerto de losas de concreto El peso muerto calculado de losas de concreto de peso normal coladas en el lugar se incrementará en 0.2 kN/m² (20 kg/m²). Cuando sobre una losa colada en el lugar o pre colada, se coloque una capa de mortero de peso normal, el peso calculado de esta capa se incrementará también en 0.2 kN/m² (20 kg/m²) de manera que el incremento total será de 0.4 kN/m² (40 kg/m²). Tratándose de losas y morteros que posean pesos volumétricos diferentes del normal, estos valores se modificarán en proporción a los pesos volumétricos. Estos aumentos no se aplicarán cuando el efecto de la carga muerta sea favorable a la estabilidad de la estructura. VIII.2.10.3 Empujes estáticos de tierras y líquidos Las fuerzas debidas al empuje estático de suelos se determinarán de acuerdo con lo establecido en las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Cimentaciones. Para valuar el empuje de un líquido sobre la superficie de contacto con el recipiente que lo contiene se supondrá que la presión normal por unidad de área sobre un punto cualquiera de dicha superficie es igual al producto de la profundidad de dicho punto con respecto a la superficie libre del líquido por su peso volumétrico * Revisar las Normas Técnicas Complementarias para el DF en los capítulos señalados o en capítulos posteriores.



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VIII.2.11 Cargas variables VIII.2.11.1 Cargas vivas Definiciones. Se considerarán cargas vivas las fuerzas que se producen por el uso y ocupación de las edificaciones y que no tienen carácter permanente. A menos que se justifiquen racionalmente otros valores, estas cargas se tomarán iguales a las especificadas en la sección 6.1.2.* Las cargas especificadas no incluyen el peso de muros divisorios de mampostería o de otros materiales, ni el de muebles, equipos u objetos de peso fuera de lo común, como cajas fuertes de gran tamaño, archivos importantes, libreros pesados o cortinajes en salas de espectáculos. Cuando se prevean tales cargas deberán cuantificarse y tomarse en cuenta en el diseño en forma independiente de la carga viva especificada. Los valores adoptados deberán justificarse en la memoria de cálculo e indicarse en los planos estructurales. VIII.2.11.2 Disposiciones generales Para la aplicación de las cargas vivas unitarias se deberá tomar en consideración las siguientes disposiciones: a) La carga viva máxima Wm se deberá emplear para diseño estructural por fuerzas gravitacionales y para calcular asentamientos inmediatos en suelos, así como para el diseño estructural de los cimientos ante cargas gravitacionales; b) La carga instantánea Wa se deberá usar para diseño sísmico y por viento y cuando se revisen distribuciones de carga más desfavorables que la uniformemente repartida sobre toda el área; c) La carga media W se deberá emplear en el cálculo de asentamientos diferidos y para el cálculo de flechas diferidas; y d) Cuando el efecto de la carga viva sea favorable para la estabilidad de la estructura, como en el caso de problemas de flotación, volteo y de succión por viento, su intensidad se considerará nula sobre toda el área, a menos que pueda justificarse otro valor acorde con la definición de la sección 2.2 (Complementado en las Normas Técnicas Complementarias señaladas o en capítulos posteriores). Las cargas uniformes de la tabla 6.1 (Complementado en las Normas Técnicas Complementarias señaladas o en capítulos posteriores). Se considerarán distribuidas sobre el área tributaria de cada elemento. * Revisar las Normas Técnicas Complementarias para el DF en los capítulos señalados o en capítulos posteriores.



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VIII.2.11.3 Cargas vivas transitorias Durante el proceso de edificación deberán considerarse las cargas vivas transitorias que puedan producirse. Éstas incluirán el peso de los materiales que se almacenen temporalmente, el de los vehículos y equipo, el de colado de plantas superiores que se apoyen en la planta que se analiza y del personal necesario, no siendo este último peso menor de 1.5 kN/m² (150 kg/m²). Se considerará, además, una concentración de 1.5 kN (150 kg) en el lugar más desfavorable. VIII.2.11.4 Cambios de uso El propietario o poseedor será responsable de los perjuicios que ocasione el cambio de uso de una edificación, cuando produzca cargas muertas o vivas mayores o con una distribución más desfavorable que las del diseño aprobado. VIII.2.11.5 Cambios de temperatura En los casos en que uno o más componentes o grupos de ellos en una construcción estén sujetos a variaciones de temperatura que puedan introducir esfuerzos significativos en los miembros de la estructura, estos esfuerzos deberán considerarse al revisar las condiciones de seguridad ante los estados límite de falla y de servicio de la misma, en combinación con los debidos a los efectos de las acciones permanentes. Los esfuerzos debidos a variaciones de temperatura se calcularán como la superposición de dos estados de esfuerzo: a) Un estado inicial, el que se obtendrá suponiendo los esfuerzos internos que resultan de considerar impedidos los desplazamientos asociados a todos los grados de libertad del sistema. En un miembro estructural tipo barra, es decir, que tenga dos dimensiones pequeñas en comparación con su longitud, este estado inicial consistirá en un esfuerzo axial igual al producto:

Ect Δt

Donde E es el módulo de elasticidad del material, ct es su coeficiente de dilatación térmica y el valor del incremento de temperatura. Este esfuerzo será de compresión si la variación de temperatura es positiva, y de tensión en caso contrario. En un miembro estructural tipo placa, caracterizado por una dimensión pequeña en comparación con las otras dos, el estado inicial de esfuerzos corresponderá a un estado de esfuerzo plano isotrópico, caracterizado por una magnitud idéntica en cualquier dirección contenida en el plano medio del elemento considerado. Dicha magnitud es igual a:

E v ct Δt /(E+v)



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Donde v es la relación de Poisson del material y las demás variables se definieron antes. Estos esfuerzos son de compresión si se trata de un incremento de temperatura y de tensión en caso contrario. c) Una configuración correctiva, que resulte de suponer que sobre la estructura actúa un conjunto de

fuerzas iguales en magnitud a las que se requiere aplicar externamente a la misma para impedir los desplazamientos debidos a los esfuerzos internos del estado inicial, pero con signo contrario.

VIII.2.11.6 Deformaciones impuestas Los efectos de las deformaciones impuestas sobre una estructura, tales como las causadas por asentamientos diferenciales de los apoyos o alguna acción similar, se obtendrán mediante un análisis estructural que permita determinar los estados de esfuerzos y deformaciones que se generan en los miembros de dicha estructura cuando se aplican sobre sus apoyos las fuerzas necesarias para mantener las deformaciones impuestas, mientras los demás grados de libertad del sistema pueden desplazarse libremente. Para fines de realizar este análisis, el módulo de elasticidad de cualquier miembro de la estructura podrá tomarse igual al que corresponde a cargas de larga duración. Los efectos de esta acción deberán combinarse con los de las acciones permanentes, variables y accidentales establecidas en otras secciones de estas Normas. VIII.2.11.7 Vibraciones de maquinaria En el diseño de toda estructura que pueda verse sujeta a efectos significativos por la acción de vibración de maquinaria, sea que esta se encuentre directamente apoyada sobre la primera, o que pueda actuar sobre ella a través de su cimentación, se determinarán los esfuerzos y deformaciones causados por dichas vibraciones empleando los principios de la dinámica estructural. Las amplitudes Por otra parte en la parte que nos compete hace referencia a estas breves palabras: VIII.3 Arcos, cascarones y losas plegadas

Los arcos, cascarones y losas plegadas se analizarán siguiendo métodos reconocidos. En el análisis de cascarones delgados y losas plegadas puede suponerse que el material es elástico, homogéneo e isótropo y que la relación de Poisson es igual a cero. El análisis que se debe satisfacer las condiciones de equilibrio y de compatibilidad de deformaciones, y tomará en cuenta las condiciones de frontera que se tenga. Deben, así mismo, considerarse las limitaciones que imponga el pandeo del cascarón o losa y se investigará la posible reducción de las cargas de pandeo causada por deflexiones grandes, flujo plástico y diferencias entre la geometría real y la teórica. Se prestará especial atención a la posibilidad de pandeo de bordes libres de cascarones y losas.



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VIII.3.1 Dimensionamiento Los arcos, cascarones y losas plegadas se dimensionaran de acuerdo con las disposiciones de las secciones 2.3 y 2.518 para flexo compresión y cortante, respectivamente. El refuerzo de cascarones y losas plegadas se dimensionará para resistir la totalidad de los esfuerzos de tensión que se obtengan del análisis y debe cumplir con los requisitos de la sección 5.718 para esfuerzo por cambios volumétricos. VIII.3.2 Sismo VIII.3.2.1 Criterios generales de diseño Los requisitos de estas Normas tienen como propósito obtener una seguridad adecuada tal que, bajo el sismo máximo probable, no habrá fallas estructurales mayores ni pérdidas de vidas, aunque pueden presentarse daños que lleguen a afectar el funcionamiento del edificio y requerir reparaciones importantes. El Director Responsable de Obra, de acuerdo con el propietario, puede decidir que se diseñe el edificio para que satisfaga requisitos más conservadores que los aquí establecidos, con el fin de reducir la probabilidad de pérdidas económicas en la construcción a cambio de una inversión inicial mayor. VIII.3.2.2 Condiciones de análisis y diseño Las estructuras se analizarán bajo la acción de dos componentes horizontales ortogonales no simultáneos del movimiento del terreno. Las deformaciones y fuerzas internas que resulten se combinarán entre sí como lo especifican estas Normas, y se combinarán con los efectos de fuerzas gravitacionales y de las otras acciones que correspondan, según los criterios que establecen las Normas Técnicas Complementarias sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de las Edificaciones. Según sean las características de la estructura de que se trate, ésta podrá analizarse por sismo mediante el método simplificado, el método estático o uno de los dinámicos, que describen los Capítulos 7 a 9*, respectivamente, con las limitaciones que se establecen en el Capítulo 2*. Además, para estructuras ubicadas en las zonas II y III será factible aplicar el método de análisis del Apéndice A*. En el análisis se tendrá en cuenta la contribución a la rigidez de todo elemento, estructural o no, que sea significativa. Con las salvedades que corresponden al método simplificado de análisis, se calcularán las fuerzas sísmicas, deformaciones y desplazamientos laterales de la estructura, incluyendo sus giros por *Revisar las Normas Técnicas Complementarias para el DF en los capítulos señalados.



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torsión y teniendo en cuenta los efectos de flexión de sus elementos y, cuando sean significativos, los de fuerza cortante, fuerza axial y torsión de los elementos, así como los efectos geométricos de segundo orden, entendidos éstos últimos como los que producen las fuerzas gravitacionales que actúan en la estructura deformada por la acción de dichas fuerzas y de las laterales. Se verificará que la estructura y su cimentación no rebasen ningún estado límite de falla o de servicio a que se refiere el Reglamento. Para el diseño de todo muro, columna o contraviento que contribuya en más del 35 por ciento a la resistencia total en fuerza cortante, momento torsionante o momento de volteo de un entrepiso dado, se adoptarán factores de resistencia 20 por ciento inferiores a los que le corresponderían de acuerdo con las Normas correspondientes. VIII.3.2.3 Zonificación Para los efectos de estas Normas se considerarán las zonas del Distrito Federal que fija el artículo 170 del Reglamento. Adicionalmente, la zona III se dividirá en cuatro sub zonas (IIIa, IIIb, IIIc y IIId ), según se indica en el apartado de anexos. VIII.3.2.4 Coeficiente sísmico El coeficiente sísmico, c, es el cociente de la fuerza cortante horizontal que debe considerarse que actúa en la base de la edificación por efecto del sismo, Vo, entre el peso de la edificación sobre dicho nivel, Wo. Con este fin se tomará como base de la estructura el nivel a partir del cual sus desplazamientos con respecto al terreno circundante comienzan a ser significativos. Para calcular el peso total se tendrán en cuenta las cargas muertas y vivas que correspondan, según las Normas Técnicas Complementarias sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de las Edificaciones. El coeficiente sísmico para las edificaciones clasificadas como del grupo B en el artículo 139 del Reglamento se tomará igual a 0.16 en la zona I, 0.32 en la II, 0.40 en las zonas IIIa y IIIc, 0.45 en la IIIb y 0.30 en la IIId (ver tabla 3.1 de dicha norma), a menos que se emplee el método simplificado de análisis, en cuyo caso se aplicarán los coeficientes que fija el Capítulo 7 (tabla 7.1 de dicha norma). Para las estructuras del grupo A se incrementará el coeficiente sísmico en 50 por ciento. VIII.3.2.5 Factor de comportamiento sísmico Para el factor de comportamiento sísmico Q, se adoptará los valores especificados en alguna de las secciones siguientes, según se cumplan los requisitos en ellas indicados.



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VIII.3.2.5.1 Requisitos para Q = 4 Se usará Q = 4 cuando se cumplan los requisitos siguientes: a) La resistencia en todos los entrepisos es suministrada exclusivamente por marcos no contra

venteados de acero, concreto reforzado o compuestos de los dos materiales, o bien por marcos contra venteados o con muros de concreto reforzado o de placa de acero o compuestos de los dos materiales, en los que en cada entrepiso los marcos son capaces de resistir, sin contar muros ni contravientos, cuando menos 50 por ciento de la fuerza sísmica actuante.

b) Si hay muros de mampostería ligados a la estructura en la forma especificada en la sección 1.3.119,

éstos se deben considerar en el análisis, pero su contribución a la resistencia ante fuerzas laterales sólo se tomará en cuenta si son de piezas macizas, y los marcos, sean o no contra venteados, y los muros de concreto reforzado, de placa de acero o compuestos de los dos materiales, son capaces de resistir al menos 80 por ciento de las fuerzas laterales totales sin la contribución de los muros de mampostería.

c) El mínimo cociente de la capacidad resistente de un entrepiso entre la acción de diseño no difiere en

más de 35 por ciento del promedio de dichos cocientes para todos los entrepisos. Para verificar el cumplimiento de este requisito, se calculará la capacidad resistente de cada entrepiso teniendo en cuenta todos los elementos que puedan contribuir a la resistencia, en particular los muros que se hallen en el caso de la sección 1.3.119. El último entrepiso queda excluido de este requisito.

d) El mínimo cociente de la capacidad resistente de un entrepiso entre la acción de diseño no difiere

en más de 35 por ciento del promedio de dichos cocientes para todos los entrepisos. Para verificar el cumplimiento de este requisito, se calculará la capacidad resistente de cada entrepiso teniendo en cuenta todos los elementos que puedan contribuir a la resistencia, en particular los muros que se hallen en el caso de la sección 1.3.119. El último entrepiso queda excluido de este requisito.

e) Los marcos rígidos de acero satisfacen los requisitos para marcos con ductilidad alta que fijan las Normas correspondientes, o están provistos de contra venteo excéntrico de acuerdo con las mismas Normas.

VIII.3.2.5.2 Requisitos para Q = 3 Se usará Q = 3 cuando se satisfacen las condiciones 5.1.b* y 5.1.d* ó 5.1.e* y en cualquier entrepiso dejan de satisfacerse las condiciones 5.1.a* ó 5.1.c*, pero la resistencia en todos los entrepisos es suministrada por columnas de acero o de concreto reforzado con losas planas, por marcos rígidos de acero, por marcos de concreto reforzado, por muros de concreto o de placa de acero o compuestos de los dos materiales, por combinaciones de éstos y marcos o por diafragmas de madera. Las estructuras con losas planas y las de madera deberán además satisfacer los requisitos que sobre el particular marcan las Normas correspondientes. Los marcos rígidos de acero satisfacen los requisitos para ductilidad alta o están provistos de contra venteo concéntrico dúctil, de acuerdo con las Normas correspondientes. *Documentados y extraídos en las Normas Técnicas Correspondientes.



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VIII. 3.2.5.3 Requisitos para Q = 2 Se usará Q = 2 cuando la resistencia a fuerzas laterales es suministrada por losas planas con columnas de acero o de concreto reforzado, por marcos de acero con ductilidad reducida o provistos de contra venteo con ductilidad normal, o de concreto reforzado que no cumplan con los requisitos para ser considerados dúctiles, o muros de concreto reforzado, de placa de acero o compuestos de acero y concreto, que no cumplen en algún entrepiso lo especificado por las secciones 5.1 y 5.2* de este trabajo, o por muros de mampostería de piezas macizas confinados por castillos, dalas, columnas o trabes de concreto reforzado o de acero que satisfacen los requisitos de las Normas correspondientes. También se usará Q = 2 cuando la resistencia es suministrada por elementos de concreto prefabricado o presforzado, con las excepciones que sobre el particular marcan las Normas correspondientes, o cuando se trate de estructuras de madera con las características que se indican en las Normas respectivas, o de algunas estructuras de acero que se indican en las Normas correspondientes. VIII.3.2.5.4 Requisitos para Q = 1.5 Se usará Q = 1.5 cuando la resistencia a fuerzas laterales es suministrada en todos los entrepisos por muros de mampostería de piezas huecas, confinados o con refuerzo interior, que satisfacen los requisitos de las Normas correspondientes, o por combinaciones de dichos muros con elementos como los descritos para los casos de las secciones 5.2* y 5.3*, o por marcos y armaduras de madera, o por algunas estructuras de acero que se indican en las Normas correspondientes.

VIII.3.2.5.5 Requisitos para Q = 1 Se usará Q = 1 en estructuras cuya resistencia a fuerzas laterales es suministrada al menos parcialmente por elementos o materiales diferentes de los arriba especificados, a menos que se haga un estudio que demuestre, a satisfacción de la Administración, que se puede emplear un valor más alto que el que aquí se especifica; también en algunas estructuras de acero que se indican en las Normas correspondientes. En todos los casos se usará para toda la estructura, en la dirección de análisis, el valor mínimo de Q que corresponde a los diversos entrepisos de la estructura en dicha dirección. El factor Q puede diferir en las dos direcciones ortogonales en que se analiza la estructura, según sean las propiedades de ésta en dichas direcciones.8

8 Gaceta Oficial del Distrito Federal (2004). Normas Técnicas Complementarias para el Reglamento de Construcciones del Distrito Federal. Para el Proyecto Arquitectónico. Distrito Federal, México. *Documentados y extraídos en las Normas Técnicas Correspondientes.



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VIII.4 Euro codigo (Normas UNE) VIII.4.1 Tipos de Carga (Acciones) Los diferentes tipos de cargas que actúan sobre los arcos, dependen del destino en cuanto a uso de la pieza. Actualmente, los arcos se utilizan principalmente en puentes peatonales, puentes carreteros y en techumbres para cubrir grandes claros (como gimnasios, laboratorios, talleres, bodegas, etc.). Muy pocas veces destinados para casa habitación a menos que sea una vivienda de tipo residencial en la que la arquitectura cambia dependiendo de la posición económica. Dicho lo anterior se procede a mostrar los tipos de cargas así como otras consideraciones que se deben de tomar en cuenta no solo para el diseño que nos compete sino que en la mayoría de los proyectos ejecutivos deben estar involucrados estos mismos. VIII.4.2 Clasificación de las Acciones 1.-Las acciones deben clasificarse por su variación en el tiempo como sigue: Acción: a) conjunto de fuerzas (cargas) aplicadas a la estructura (acción directa); b) conjunto de deformaciones o aceleraciones impuestas causadas, por ejemplo, por cambios de temperatura, variación de la humedad, asientos diferenciales o terremotos (acción indirecta). Efecto de la acción: Efecto de las acciones (o efecto de la acción) sobre los elementos estructurales (por ejemplo, fuerza interna, momento, tensión, deformación) o sobre la totalidad de la estructura (por ejemplo, flexión, rotación). Acción permanente: Acción que previsiblemente va a actuar durante un periodo de referencia dado y cuya variación en magnitud en el tiempo es despreciable, o cuya variación es siempre en la misma dirección (mono tónica) hasta que la acción alcanza un cierto valor límite. Acción variable: Acción cuya variación en magnitud en el tiempo no es ni despreciable ni mono tónica. Acción accidental: Acción, normalmente de corta duración pero de magnitud significativa, que no es previsible que ocurra en una estructura dada durante su vida útil de cálculo. En muchos casos, una acción accidental es susceptible de tener consecuencias severas si no se toman las medidas apropiadas.



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El impacto, la nieve, el viento y las acciones sísmicas pueden ser acciones variables o accidentales, dependiendo de la información disponible sobre distribuciones estadísticas. Acción sísmica: Acción que surge debida a los movimientos del terreno provocados por los terremotos. Acción geotécnica: Acción transmitida a la estructura por el suelo, los terraplenes o el agua subterránea. Acción fija: Acción que tiene una distribución y posición fija en la estructura o en el elemento estructural tal que la magnitud y la dirección de la acción se determinan sin ambigüedad para la estructura o elemento estructural si esta magnitud y dirección se determinan en un punto de la estructura o del elemento estructural. Acción libre: Acción que puede tener varias distribuciones espaciales en la estructura. Acción aislada: Acción que puede tomarse como estadísticamente independiente en el tiempo y en el espacio con respecto a cualquier otra acción que actúa sobre la estructura. Acción estática: Acción que no llega a causar una aceleración significativa de la estructura o de los elementos estructurales. Acción dinámica: Acción que llega a causar una aceleración significativa de la estructura o de los elementos estructurales. Acción cuasi estática: Acción dinámica representada por una acción estática equivalente dentro de un modelo estático. Valor característico de una acción: Principal valor representativo de una acción. En tanto en cuanto un valor característico pueda fijarse sobre bases estadísticas, éste se escoge de manera que corresponda a una probabilidad definida de forma que no sea excedida hacia el lado desfavorable durante un "periodo de referencia" teniendo en cuenta la vida útil de cálculo de la estructura y duración de la situación de proyecto. Combinación de acciones: Conjunto de valores de cálculo empleados para la verificación de la fiabilidad estructural para un estado límite bajo la influencia simultánea de acciones diferentes. Las acciones indirectas causadas por deformaciones impuestas pueden ser permanentes o variables (Véase las Normas UNE-EN-1991 y UNE-EN-1998).



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2.-Algunas acciones, tales como las acciones sísmicas y las cargas de nieve pueden considerarse bien como acciones accidentales y/o como acciones variables, dependiendo de la ubicación de la obra,

3.-Las acciones debidas al agua pueden considerarse como acciones permanentes y/o variables dependiendo de la variación de su magnitud en el tiempo. 4.-Las acciones deben clasificarse también: -Por su origen, como directas o indirectas; -Por su variación espacial, como fijas o libres; o -Por su naturaleza y/o la respuesta estructural, como estáticas o dinámicas. 5.-Una acción debería describirse mediante un modelo, en que su magnitud venga representada en la mayoría de los casos por un escalar que puede tener varios valores representativos. Para algunas acciones y algunas verificaciones puede ser necesaria una representación más compleja de su magnitud.

VIII.4.3 Carga Muerta (cargas permanentes)

La única carga permanente que actúa sobre cualquier estructura es la carga muerta como ya se había definido. En los puentes, la carga muerta queda representada por el peso propio de la estructura, barandales, postes de alumbrado, banquetas, drenajes, etc.; y los arcos que sirven para sustentar estructuras como gimnasios, laboratorios y otros; son el peso propio, la losa de cubierta, grúas, cancelería y todo lo que pueda sujetarse o colgar permanentemente, será lo que siempre se considerará como carga muerta.

El peso propio es la carga muerta más significativa y, por lo tanto, es con la que se debe tener mayor cuidado. Para valuar esta carga se tendrá que realizar un dimensionamiento preliminar, el cuál será diferente para cada tipo de estructura en cuestión y considerando las siguientes premisas:

1.- Es conveniente que, en las combinaciones de acciones, se considere el peso propio de los elementos estructurales y no estructurales como una acción única.

2.- En zonas donde se prevea quitar o añadir elementos estructurales y no estructurales se debería tener en cuenta para el cálculo las hipótesis de carga críticas.

3.- Se debería tener en cuenta en las situaciones de proyecto el peso propio de nuevos revestimientos y/o nuevas canalizaciones que se pretendan añadir después de la ejecución.

4.- Se debe tener en cuenta el nivel del agua en las situaciones de proyecto que corresponda.



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5.- Se debería considerar el origen y el contenido de humedad de los materiales a granel en las situaciones de proyecto de edificios a utilizar como almacén.

VIII.4.3.1 Representación de las acciones

1.- El peso propio de las construcciones debería expresarse como un solo valor característico y calcularse en función de las dimensiones nominales y de los valores característicos de los pesos específicos.

2.- El peso propio de las construcciones incluye los elementos estructurales y no estructurales, incluyendo las instalaciones fijas así como el peso del terreno y el balasto. 3.- Entre los elementos no estructurales se incluyen: -Materiales de cubierta; -Terminaciones superficiales y revestimientos; -Tabiques y forros; -Pasamanos, barreras de seguridad, antepechos y bordillos; -Chapados para muros; falsos techos; aislamiento térmico; equipamiento de puentes; -Instalaciones fijas 4.- Entre las instalaciones fijas se incluyen: -Equipamiento para ascensores y escaleras mecánicas; -Equipos de calefacción, de ventilación y de aire acondicionado; -Equipos eléctricos; -Tuberías vacías (sin su contenido); -Conducciones de cables y conductos. VIII.4.4 Carga Viva

1.-Las sobrecargas de uso en edificios son aquellas debidas a la ocupación de los mismos incluyen: -El uso normal por personas; -El mobiliario y objetos movibles (por ejemplo, tabiques movibles, almacenamiento, el contenido de contenedores); -Los vehículos; -Los eventos no usuales previstos tales como concentraciones de personas o de mobiliario, o el desplazamiento o apilamiento de objetos que puede ocurrir durante reorganizaciones y redecorados).



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2.- Las sobrecargas de uso definidas en esta parte corresponden a modelos de cargas uniformemente repartidas, de cargas lineales o de cargas concentradas o de combinaciones de las mismas. 3.- Para la determinación de las sobrecargas de uso, es conveniente subdividir las zonas de suelos y de cubiertas por categorías de acuerdo con su uso.

4.- Los equipos pesados (por ejemplo, cocinas colectivas, salas de radiología, cuarto de calderas, etc.) no están incluidos entre las cargas dadas en este capítulo. Las cargas procedentes de los equipos pesados deberían acordarse con el cliente y/o con la autoridad correspondiente.

VIII.4.4.1 Forjados, vigas y cubiertas

1.-Para el cálculo de un forjado de planta o de cubierta, la carga exterior se considerará como una acción libre aplicada en la parte más desfavorable de la zona de influencia de los efectos de las acciones consideradas. 2.- Cuando las cargas de otras plantas sean relevantes, se pueden asumir como uniformemente repartidas (acciones fijas). 3.- Para la determinación de las sobrecargas de uso, es conveniente subdividir las zonas de suelos y de cubiertas por categorías de acuerdo con su uso. 4.- Para la determinación de las sobrecargas de uso, es conveniente subdividir las zonas de suelos y de cubiertas por categorías de acuerdo con su uso. 5.- Los equipos pesados (por ejemplo, cocinas colectivas, salas de radiología, cuarto de calderas, etc.) no están incluidos entre las cargas dadas en este capítulo. Las cargas procedentes de los equipos pesados deberían acordarse con el cliente y/o con la autoridad correspondiente. VIII.4.4.2 Pilares y muros 1.- Para el cálculo de pilares o muros, cargados a lo largo de varios pisos, la carga exterior total que actúa sobre el forjado de cada planta debería considerarse uniformemente repartida. 2.- Cuando las sobrecargas de uso procedentes de varias plantas actúan sobre columnas y muros, las sobrecargas de uso totales pueden reducirse aplicando un factor.9

9 AENOR Asociación Española de Normalización y Certificación. Euro código (Normas UNE) (2003). Acciones en Estructuras EN 1991-1-1. Madrid, España.



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VIII.4.4.3 Valores característicos de las sobrecargas de uso

(Obtenidos de la normativa del Euro código en las

respectivas normas de las clasificaciones de las acciones UNE-EN-1991-1-1-2003).

División de los usos por categorías

Categoría Uso específico Ejemplo

A Zonas de actividades domésticas y residenciales

Habitaciones en edificios residenciales y viviendas individuales; dormitorios y pasillos en hospitales; dormitorios en hoteles y cocinas y lavabos en hostales.

B Zonas de oficinas

C Zonas donde pueda congregarse la gente (con excepción de las zonas definidas bajo las categorías A, B y D1)

C1: Zonas con mesas, etc., por ejemplo, zonas en colegios, cafés, restaurantes, comedores, salas de lectura, recepciones. C2: Zonas con asientos fijos, por ejemplo, zonas en iglesias, reuniones, salas de espera, salas de espera en estaciones de ferrocarril. C3: Zonas sin obstáculos para el movimiento de personas, por ejemplo, zonas en museos, salas de exposiciones, etc., y zonas de acceso en edificios públicos y de la administración, hoteles, hospitales, antesalas de estaciones del ferrocarril. C4: Zonas con posibles actividades físicas, por ejemplo, salones de baile, salas de gimnasio, escenarios. C5: Zonas susceptibles de reunir grandes masas, por ejemplo, en edificios para celebraciones públicas como salas de conciertos, palacios de deportes incluidas las gradas, terrazas y zonas de acceso y andenes del tren.

D Zonas comerciales D1: Zonas en tiendas al detalle D2: Zonas en grandes almacenes

1) Se llama la atención sobre el apartado 6.3.1.1 (2), en particular en cuanto a C4 y C5. Véase la Norma EN 1990 cuando haya que tener en cuenta los efectos dinámicos. En cuanto a la categoría E, véase la tabla 6.3. NOTA 1 − Dependiendo de los usos previstos, zonas que pueden ser de las categorías C2, C3, y C4 pueden pasar a ser de la categoría C5 por decisión del cliente y/o el anexo nacional. NOTA 2 − El anexo nacional puede establecer sub-categorías para A, B, C1 a C5, D1 y D2. NOTA 3 − Véase el apartado 6.3.2 para la actividad industrial y de almacenamiento.

Tabla 8 Valor de las sobrecargas según las normas UNE tomando en cuenta su división por categorías.



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VIII.4.5 Sismo 1.-Durante la ejecución, las acciones sísmicas se tienen en cuenta sólo cuando así lo requiera la autoridad competente o las especificaciones de proyecto. Las fases durante las cuales deberán comprobarse los efectos sísmicos, tendrán que indicarse claramente en las especificaciones del proyecto. 2.-Cuando las acciones sísmicas deban tenerse en cuenta, éstas se determinarán de acuerdo con ENV 1998, teniendo en cuenta el período de referencia de la situación transitoria en consideración. 3.-Las aceleraciones de proyecto del terreno ag y el factor de importancia (véase ENV 1991-1) para la fase de la ejecución, se definirán en las especificaciones del proyecto. 10

10 AENOR, Asociación Española de Normalización y Certificación. Euro código (Normas UNE) (1998). Bases de Proyecto y Acciones en Estructuras ENV 1991-2-6. Madrid, España.



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IX. DISEÑO DE ALGUNOS TIPOS DE ARCOS

IX.I Diseño de arco parabólico con dos articulaciones.

Fig.91 Notaciones para el diseño de un arco parabólico

IX.I.I Ecuaciones de fuerzas y momentos

En el anexo A, al final de este trabajo se dan los diagramas y ecuaciones de las componentes vertical y horizontal hiperestática de las reacciones del arco, para varias condiciones de carga. Asimismo se dan las expresiones correspondientes para el momento y las fuerzas axial y cortante de cualquier sección del arco.



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EJERCICIO 10. Diseñar un arco parabólico peatonal, estructura del grupo A, ancho = 2.0 m y claro =20 m, una flecha f= 9.0m. Concreto f´c= 250 Kg/cm2 , clase 1, acero fy=4200 kg/cm2.

Fig.92 Esquema representativo del puente en arco considerado

1.-Análisis de cargas: Loseta de barro 0.01m*2000Kg/𝑚3 20 Kg/𝑚2

Mortero 0.03m*2000Kg/𝑚3 60Kg/𝑚2

Losa 0.10m*2400g/𝑚3 240Kg/𝑚2

Carga adicional 40 Kg/𝑚2

𝑊𝑐𝑚 = 360 Kg/𝑚2

Tabla 9. Análisis de cargas de la fig. 92 agregando carga adicional por reglamento del DF.



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Tabla 10. Análisis de cargas de la fig. 92 agregando carga adicional para carga viva(Wcv), carga accidental (Wa) y carga muerta (Wm) según reglamento del DF.

2.-Carga en la trabe corta de 2 m de claro:

𝑊 =2𝑚2*0.71 Ton/𝑚2 =1.42 Ton

𝑊𝑃𝑃 =0.25 m*0.30 m*2.4 Tom/𝑚3*2.0 m =0.36 Ton

𝑊𝑇 = 𝑊 + 𝑊𝑃𝑃 = 1.42 Ton +0.36 Ton=3.78 Ton

3.-Carga de la trabe longitudinal sobre el arco de 5 cm de claro:

𝑊 = 4𝑚2 *0.71 Ton/𝑚2 =2.84 Ton

𝑊𝑝𝑝 = 0.25 𝑚*0.30 m*2.4 Ton/𝑚3*5 m=0.9 Ton

𝑊𝑇 = 𝑊+𝑊𝑃𝑃 = 2.84 Ton + 0.9 Ton =3.74 Ton

4.-Análisis de la viga continúa aplicando el método de Hardy Cross, para obtener las reacciones sobre el arco

Fig.93 Diagrama que ejemplifica nuestro sistema de cargas y apoyos para efectuar el método de cross.

𝑊𝐶𝑀 360 Kg/𝑚2 360 Kg/𝑚2 360 Kg/𝑚2

𝑊𝐶𝑉 40 Kg/𝑚2 𝑊𝑎 = 150 Kg/𝑚2 𝑊𝑚 = 350 Kg/𝑚2

400 kg/𝑚2 510 Kg/𝑚2 710 Kg/𝑚2 𝑊𝑑𝑖𝑠 =0.71 Ton/𝑚2



106

Rigidez 3/5=0.6 4/5=0.8

𝑭𝒅 0 .43 .57 1

𝑴𝑬 0 +2.34 -1.56 +1.56

E y T -0.34 -0.44 -0.2

𝑴𝒇 0 +2.00 -2.00 +1.34

Vi 1.87 1.87 1.87 1.87

𝑽𝑯 -0.40 +0.40 +0.13 -0.13

𝑽𝑻 1.47 2.27 2.00 1.74

R 1.47 4.27 3.48

Tabla 11. Análisis de viga de la Fig. 93 por el método de Cross para obtener nuestras reacciones y así proseguir el diseño del arco

La reacción en el centro de la viga es: (3.48 Ton =2*1.74 Ton)El resumen de concentraciones en las columnas del arco son:

Fig.94 Diagrama que nos permite observar la concentración de cargas de nuestras columnas.

1.47 Ton 4.27 Ton 3.48 Ton 4.27 Ton 1.47 Ton



Tomamos P=5.16 Ton



107

Obtención del peso de la columna al cuarto del claro del arco.

𝑤𝑝𝑝 = 0.25 m*0.25m*2.4 Ton/𝑚3*2.25m=0.51 Ton

La descarga última en el arco será:

𝑃𝑈 = 𝐹𝐶*( 𝑃+𝑊𝑃𝑃) =1.5*(5.16 Ton + 0.51 Ton) =8.51 Ton

A continuación se presenta el análisis del arco, utilizando las formulas del libro de Valerian Leontovich, considerando una carga 𝑃𝑢 igual, aplicada a cuatro del claro y por simplicidad 3 iguales de 𝑃𝑢 = 8.25 Ton

Fig.95 diagrama de cuerpo libre que nos muestra nuestro sistema en cuestión, un arco biarticulado con tres cargas puntuales

𝐻1= = 𝐻2 = � 4851024

� �𝑃𝐿𝑓

� = 4851024

(8.25 𝑇𝑜𝑛)(20 𝑚)9𝑚

= 8.68 Ton

𝑉1 = 𝑉2 = 32

𝑃 = 32

(8.25) = 12.38 Ton



108

Elementos mecánicos en los apoyos:

𝑀 = 0

𝑁𝑥 = 𝐻1 𝑐𝑜𝑠 Ф+ 32

𝑃 𝑠𝑒𝑛 Ф=8.68 Ton*cos 74°+32 8.25 Ton*sen 74°= 14. 29 Ton

𝑄𝑥 = −𝐻𝑠𝑒𝑛 Ф +32

𝑃 cos Ф = −8.68 Ton* sen 74°+ 32

8.25 Ton *𝑐𝑜𝑠 74° = −4.93 Ton

Elementos mecánicos en la cumbrera:

𝑀𝑥 = 𝑃(𝐿+2𝑋)4

− 𝐻1𝑌 = 8.25 𝑇𝑜𝑛(20𝑚+2∗10𝑚)4

−8.68 Ton (9𝑚)=4.30 Ton – 𝑚

𝑁𝑥 = 𝐻1𝑐𝑜𝑠Ф +𝑃2

𝑠𝑒𝑛Ф= 𝐻1cos Ф= 8.68 Ton

𝑄𝑥 = −𝐻1𝑠𝑒𝑛 Ф + 𝑃2

𝑐𝑜𝑠Ф = 𝑃2

𝑐𝑜𝑠 Ф = 8.68 𝑇𝑜𝑛2

= 4.34 Ton

Fig.96 Diagrama del arco que nos permite observar nuestros elementos mecánicos últimos, en el centro y en los extremos

Longitud del arco parabólico para poder obtener el peso propio del arco.

S= ��1 + �4𝑓𝐿

�2

+ 𝐿4𝑓

log𝑒 �4𝑓𝐿

+ �1 + �4𝑓𝐿

�2�� 𝐿

2



109

Tabla 12 Relación f/L (flecha/Luz o Longitud) para determinar el peso propio del arco.

f/L= 9/20 =0.45 𝐿𝑎𝑟𝑐𝑜 = 1.4065 × 20 = 28.13𝑚. 𝑊 = 0.35 × 0.45 × 28.13 × 2.4 = 14.11 𝑡𝑜𝑛

Fig.97 Carga uniformemente distribuida representada en la longitud del arco.

𝐻1 = 𝐻2 = 𝑊𝐿8𝑓 =

14 11 𝑇𝑜𝑛 ∗ 20𝑚8 ∗ 9𝑚 = 3.92 𝑇𝑜𝑛

Relación del arco de f/L 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60

Longitud del eje del arco parabólico (8)

1.000 L 1.007 L 1.026 L 1.0 57 L 1.098 L 1.148 L 1.204 L 1.334 L 1.479 L 1.635 L

Abscisa de su punto en el arco parabólico que corresponde a la cuarta parte de la longitud del eje.

0.250 L 0.249 L 0.246 L 0.241 L 0.234 L 0.226 L 0.219 L 0.205 L 0.195 L 0.186 L



110

𝑉1 = 𝑉2 =𝑊2 =

14.11 𝑇𝑜𝑛2 = 706 𝑇𝑜𝑛

Elementos mecánicos en los apoyos:

𝑀 = 0

𝑁𝑥 = 𝐻1 cos Ф + 𝑊 �𝑋𝐿

− 12� 𝑠𝑒𝑛Ф = 3.92 𝑇𝑜𝑛 ∗ cos 74°+14.11 𝑇𝑜𝑛 �1

2− 0

20𝑚� 𝑠𝑒𝑛 74° = 7.86 𝑇𝑜𝑛

𝑄𝑥 = 0

Elementos mecánicos en la cumbrera.

𝑀 = 0

𝑁𝑥 = 𝐻1 cos Ф + 𝑊 �𝑋𝐿� 𝑆𝑒𝑛Ф = 𝐻1 cos Ф = 392 𝑇𝑜𝑛 ∗ cos 0° = 3.92 𝑇𝑜𝑛

𝑄𝑥 = 0

Fig.98 Aquí podemos observar el valor de la Un ultima para nuestro sistema.



111

Se obtienen los siguientes elementos mecánicos sumando ambos estados de carga:

Fig.99 Elementos mecánicos últimos para nuestro sistema analizado y que consideraremos para nuestro armado

Diseño de arco por Flexión:

𝑁𝑢 = 12.32 𝑇𝑜𝑛

𝑀𝑢 = 4.38 𝑇𝑜𝑛 -𝑚

t= 35 𝑐𝑚

d= 40 𝑐𝑚

𝑑𝑡

= 35 𝑐𝑚45𝑐𝑚

=0.875, dejamos 𝑑𝑡

=0.85

Usamos la gráfica de la figura 3:

𝑅𝑋𝑅𝑌

= 0; 𝐹𝑅 = 0.7; f ‘c= 170 Kg/𝑐𝑚2

K= 𝑃𝑢𝐹𝑅∗𝑏∗𝑡∗𝑓``𝑐

= 12320 𝐾𝑔0.7∗35𝑐𝑚∗40𝑐𝑚∗(170 𝐾𝑔/𝑐𝑚2) = 0.074



112

R= − 𝑀𝑢𝐹𝑅∗𝑏∗𝑡2∗𝑓``𝑐

= 438000 𝐾𝑔−𝑐𝑚0.7∗35 𝑐𝑚(40 𝑐𝑚)2∗(170 𝐾𝑔/𝑐𝑚2) = 0.066

Encontramos 𝑞 = 0.1, de la gráfica de la figura 3, la sección está sobrada.

Pero, no se debe reducir.

𝑝 = 𝑞∗𝑓``𝑐𝑓𝑦

= 0.1∗170 𝐾𝑔/𝑐𝑚2

4200 𝐾𝑔/𝑐𝑚2 = 0.004, 0.004 < 0.01 = 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 (𝐺𝑟𝑢𝑝𝑜 𝐴)

𝐴𝑠 = 𝑝 ∗ 𝑏 ∗ ℎ =0.001∗ 35 𝑐𝑚 ∗ 40 𝑐𝑚 ∗= 14 𝑐𝑚2, en las dos caras.

14𝑐𝑚2

2=7.00 𝑐𝑚2 en cada cara, 2#6 + 1#5=2(2.87)+ 1.99 = 7.93 𝑐𝑚2

Diseño de arco por cortante:

Vu= 12.375 Ton

As= 2#6 + 1#5= 7.71 𝑐𝑚2

𝑝 = 𝐴𝑠𝑏∗𝑑

= 7.71𝑐𝑚2

35𝑐𝑚∗35𝑐𝑚= 0.006, 0.0061 < 0.15

𝑉𝑐𝑅 = 𝐹𝑅 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 (0.2 + 20 𝑝)�𝑓 ∗ 𝑐

𝑉𝑐𝑅 = 0.8∗35 𝑐𝑚 ∗ 35 𝑐𝑚�0.2 + 20(0.006)��0.8(250 𝐾𝑔/𝑐𝑚2) = 4434 𝐾𝑔 = 4.434 𝑇𝑜𝑛

1.5𝐹𝑅 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑�𝑓 ∗ 𝑐 = 1.5 ∗ .8 ∗ 35 ∗ 35 �0.8(250 𝐾𝑔/𝑐𝑚2) = 20789.9 𝐾𝑔



113

Es decir:

𝑉𝑐𝑅 < 𝑉𝑢 < 1.5 𝐹𝑅 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑�𝑓 ∗ 𝑐

𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑑2

= 35 𝑐𝑚2

= 17.5 𝑐𝑚

𝑉𝑆3 =𝐹𝑅 ∗ 𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 ∗ 𝑓𝑦 ∗ 𝑑

(𝑉𝑢 − 𝑉𝑐𝑅) =0.9 ∗ 2 ∗ .71 ∗ 4.2 ∗ 35

(12.375 − 4.43)

𝑆3 =𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 ∗ 𝑓𝑦

0.3�𝑓 ∗ 𝑐 ∗ 𝑏=

2(0.71𝑐𝑚2) ∗ 4200 𝐾𝑔/𝑐𝑚2

0.3�0.8(250 𝐾𝑔/𝑐𝑚2) ∗ 35 𝑐𝑚

Fig.100 Armado de la sección de nuestro arco previamente diseñado.



114

Pandeo del arco parabólico simétrico (a manera de revisión)

Fig.101 Pandeo del arco trarticulado

Fig.102 Pandeo del arco Biarticulado

Fig.103 Pandeo del arco de una articulación



115

Fig.104 Pandeo del arco empotrado

Empuje crítico Hk = α 4𝐸𝐼𝑐𝐿2

Longitud virtual de pandeo Ik = β 𝐿2

Tabla 13 Valores de α y β para diferentes tipos de apoyo en arcos

Los arcos dependiendo de sus forma y el tipo de solicitaciones o condiciones de carga pueden o no tener momento flexionante; el cortante generalmente se ve reducido con un respecto a un sistema de viga pero en su eje centroidal existe una fuerza normal de comprensión la cual le puede ocasionar pandeo al arco.

El arco puede pandear tanto vertical como horizontalmente.

Del libro de Valerian Leontovich se obtienen los siguientes diagramas, las cuales muestran algunos arcos del tipo parabólico con diferentes tipos de cargas así como sus diagramas de momentos flexionantes dependiendo del tipo de apoyo que se tenga (Anexo A).11

11 Flores Ruiz José Luis (2008). Apuntes de Estructuras Especiales de Concreto. Inédito, Distrito Federal, México.

α β

Arco Triarculado 7.44 1.152

Arco Biarculado 9.87 1.000

Arco con una Articulación

10.98 0.948

Arco Empotrado 20.19 1.152



116

IX.2 Diseño de una nave industrial con cubierta en arco de tipo parabólico

El método más exacto para el análisis de arcos, es el Castigliano o bien el de Muller Breslau, quienes establecen una clara diferencia entre el análisis de arcos de alma llena y arcos de celosía. El método que a continuación se presenta, se pude considerar solo como una aproximación, valida desde el punto de vista práctico esencialmente, ya que el diseño lo basamos en los resultados del análisis como arco homogéneo, considerando que las consecuencias de la diferencia de resultados, es de menos importancia que el tiempo que nos tomaría el desarrollo del análisis exacto.

EJEMPLO 11. El tipo más común de arcos parabólicos en cubierta son:

Fig.105 Tipo más común de arco en nave industrial

IX.2.I GEOMETRIA:

a) Trazo del arco.

Fig.106 Trazo del tipo más común de arco en naves industriales



117

Tabla 14 Tabulación que nos permite de manera práctica conocer las longitudes tanto de X como de Y de una manera práctica a lo largo de nuestra sección

Longitud del arco:

Tabla 15. Obtención de manera práctica de la longitud neta del arco.

Inclinación del eje del arco (ϕ)

f/𝑳 0.00

1.00L 0.10 L 0.90 L

0.20 L 0.80 L

0.30 L 0.70 L

0.40 L 0.60 L

0.50 L

0.05 11°- 19' 9°- 05' 6°- 51' 4°- 34' 2°- 17' 0 0.10 21°- 48' 17°- 45' 13°- 30' 9°- 05' 4°- 34' 0 0.15 30°- 58' 25°- 38' 19° - 48' 13°- 30' 6°- 51' 0 0.20 38°- 40' 32° - 37' 25°- 38' 17°- 45' 9°- 05' 0 0.25 45°- 00' 38° - 40' 30°- 58' 21°- 48' 11°- 19' 0 0.30 50°- 12' 43°- 50' 35°- 45' 25°- 38' 13°- 30' 0 0.35 54°- 28' 48°- 14' 40°- 02' 29°- 15' 15°- 39' 0 0.40 58°- 00' 52°- 00' 43°- 50' 32°- 37' 17°- 45' 0 0.45 60°- 57' 55°- 13' 47°- 12' 35°- 45' 19°- 48' 0 0.50 63°- 26' 58°- 00' 50°- 12' 38°- 40' 21°- 48' 0 0.55 65°- 33' 60°- 24' 52°- 51' 42°- 21' 23°- 45' 0 0.60 67°- 23' 62°- 29' 55°- 13' 43°- 50' 25°- 38' 0

Tabla 16. Obtención de la inclinación de manera práctica y aproximada.

𝑋 𝑌 0.00 𝐿 0.00 f 0.10 𝐿 0.36 f 0.20 𝐿 0.64 f 0.30 𝐿 0.84 f 0.40 𝐿 0.96 f 0.50 𝐿 1.00 f 0.60 𝐿 0.96 f 0.70 𝐿 0.84 f 0.80 𝐿 0.64 f 0.90 𝐿 0.36 f 1.00 𝐿 0.00 f

f/𝐿 𝐿𝐴 0.00 1.00 𝐿 0.05 1.007 𝐿 0.10 1.026 𝐿 0.15 1.057 𝐿 0.20 1.098 𝐿 0.25 1.148 𝐿 0.30 1.204 𝐿 0.40 1.334 𝐿 0.50 1.479 𝐿 0.60 1.635 𝐿



118

IX.2.2 ANALISIS

Antecedentes:

Las cargas deberán evaluarse considerando la lógica canalización:

Lamina Largueros

Largueros Arcos

Arcos Columnas

Columnas Cimientos

Cimientos Terreno

Es conveniente llegar al establecimiento de una carga uniforme sobre el arco.

Fig.107 Conocida la carga (W), así como la geometría general del arco, podemos obtener los elementos mecánicos de diseño.

Fig.108 Reacciones vertical y horizontal de este caso



119

𝐻1 = 𝐻2 = 𝑊𝐿8𝑓

𝑉1 = 𝑉2 = 𝑊2

En cualquier sección el momento (M) el cortante (Q) son igual a cero.

La fuerza normal de comprensión:

Cuando 𝑥 ≤ 𝐿2

𝑁𝑥 = 𝐻1 cos 𝜑 + 𝑊 ( 12

− 𝑥𝐿) 𝑠𝑒𝑛 ϕ

Cuando 𝑥 > 𝐿2

𝑁𝑥 = 𝐻1 cos 𝜑 + 𝑊( 𝑥𝐿 −

12 ) 𝑠𝑒𝑛 𝜑

IX.2.3 DISEÑO

Los diversos aspectos teóricos ya se han tratado con anterioridad:

Fig.

Fig.109 Representación en planta de la cubierta en arco analizada.



120

Fig.110 Vista isométrica de nave industrial en arco

Simbología

COLUMNAS

ARCOS

LARGUEROS

Fig.111 Corte de nave industrial en arco

Características de proyecto:

Arcos parabólicos de acero en celosía.

Carga total unitaria = 150 𝐾𝑔/𝑚2.

(Carga viva + carga muerta)

Área tributaria = 12 × 5 = 60𝑚2.

Carga: 𝑊𝑇 = 150 × 60 = 9,000 𝐾𝑔.



121

IX.2.3.1 Cálculo de la Geometría

𝑓 = 2.40 𝑚. ; 𝐿 = 12.00𝑚.

𝑓𝐿

= 2.4012 = 0.20

Para 0.20, la longitud del arco es:

LA = 1.098 L= 1.098 × 12 = 13.176 𝑚

Se propone dividir el arco en diez partes iguales (dovelas):

Longitud de cada “Dovela”.

13.17610

= 1.3176 𝑚.

Fig.112 División del arco analizado en sectores para su diseño



122

Tabla 17. Tabulación de división del arco en 10 puntos para formar dovelas y sus respectivos

coeficientes para una longitud y un ángulo determinado

IX.2.3.2 Elementos mecánicos de diseño.

Como: W = 9 𝑇𝑜𝑛.

𝑉1 = 𝑉2 = 𝑊2 =

92 = 4.5 𝑇𝑜𝑛.

𝐻1 = 𝐻2 = 𝑊𝐿8𝑓 =

9 × 128 × 2.40 =

10819.2 = 5.62 𝑇𝑜𝑛.

El Nxmáximo, se tendrá cuando 𝑥 = 0

(punto cero) ; 𝑥 < 𝐿2

Nx = 𝐻1 cos 𝜑 + 𝑊 (12

− 𝑥𝐿 ) 𝑠𝑒𝑛 𝜑

Nx= 5.62 cos 38° 40′ + 9 (12

- 0) 𝑠𝑒𝑛 38° 40’ = 5.62 × 0.7808 + 9 × 0.6248

∴Nx= 7.1996 𝑇𝑜𝑛.

Como se ha visto, el marco está sometido únicamente a un esfuerzo de compresión simple en toda la longitud, analizaremos una “dovela”, debiendo entonces hacer una consideración previa:

PUNTO (COEFIC.) (mts) ϕ 1 0.360 f 0.864 32° 37' 2 0.640 f 1.536 25° 38' 3 0.840 f 2.016 17° 45' 4 0.960 f 2.304 9° 05' 5 1.000 f 2.400 0° 00' 6 0.960 f 2.304 9° 05' 7 0.840 f 2.016 17° 45' 8 0.640 f 1.536 25° 38' 9 0.360 f 0.864 32° 37' 0 Y 10 0.000 f 0.000 38° 40'



123

Para una pieza doblemente empotrada, la longitud libre de pandeo (teóricamente) es de 0.5 L (K =0.5) pero en forma práctica.

K= 0.65

KL = 0.65 × 1.3176 = 0.8564 m.

IX.2.3.3 Cálculo del Diseño.

Se propone la siguiente sección que posteriormente se verifica:

Fig.113 Sección propuesta para la armadura en arco.

Propiedades de un ángulo:

𝐴 = 2.34 𝑐𝑚2. ; I propio = 3.25𝑐𝑚4.

Propiedades de los 4 ángulos:

𝐴 = 4 × 2.34 = 9.36 𝑐𝑚2.

I propio 4 × 3.25 = 13 𝑐𝑚4.



124

Propiedades de conjunto:

A) Según 𝑦 − 𝑦 𝐼yy= 𝐼 propio +A 𝑑2 = 13 + 9.36 × 1.3852 = 30. 95 𝑐𝑚4.

𝑟yy = �𝐼𝐴

= �30.959.36

= 1.82 𝑐𝑚.

B) Según𝑥 − 𝑥 𝐼𝑥𝑥 = 𝐼propio+ A 𝑑2 = 13 + 9.36× 13. 932 = 1,829 𝑐𝑚4

𝑟𝑥𝑥 = �𝐼𝐴 = �1,829

9.36 = 13.98 𝑐𝑚.

Capacidad de carga del conjunto.

L= 1.3176 K = 0.65

A) Según 𝑦 − 𝑦 ∶

𝐾𝐿𝑟𝑌𝑌

= 85.641.82

= 47

∴ F ADM =1308 Kg /𝑐𝑚2. Capacidad = A × f ADM.

= 9.36 × 1,308 = 12, 243 𝐾𝑔. 12,243 > 7,199 Bien.

B) Según 𝑥 − 𝑥

𝐾𝐿𝑟𝑥𝑥

=85.6413.98 = 6



125

f ADM. = 1.501 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

Capacidad = 𝐴 × f ADM.

= 9.36 × 1501 = 14,049 𝐾𝑔.

14,049 > 7199 bien

Diseño de diagonales.

Se analizara la diagonal extrema a una compresión V = 4.5 𝑇𝑜𝑛.

Longitud de la diagonal:

30 – (2 × 3.81 ) = 22.38 𝑐𝑚.

LD = 22.38cos 45°

= 22.380.7071

= 31.65 𝑐𝑚

Longitud libre de pandeo:

KL = 0.65 × 31.65 =20.57 𝑐𝑚.

Se propone:

1 1 1/2” × 1/ 4”

A= 4 40 𝑐𝑚2. ; r= 1.14 𝑐𝑚.

𝐾𝐿𝑟 =

20.571.14 = 18.04 ≈ 18 𝑐𝑚.

f ADM= 1,457 𝐾𝑔/𝑐𝑚2

Capacidad de la carga:

Cap. = 1,457 × 4.40 = 6,410 𝐾𝑔.

6410 > 4500 bien.



126

Fig.114 Detalle de elementos en armadura de arco.

IX.2.4 ARMADO GENERAL

Diseño de Largueros.

Se colocaran a 1.3176 m. de separación longitud = 5.00 m.

Fig.115 Vista en planta de los elementos de la cubierta



127

Carga por metro:

𝑊 = 1.3176 × 1 × 150 = 198 𝐾𝑔.

Momento = 𝑤𝑙2

8= 198×52

8= 619 𝐾𝑔 – 𝑀

Compresión y tracción máxima, suponiendo un peralte de 30 cm.

C = 𝑇 = 𝑀ℎ

= 6190030

= 2063 𝐾𝑔.

Fig.116 Detalle de armadura

A. Cuerda superior.- C= 2,063 𝐾𝑔.

Longitud libre de pandeo = 60 cm.

𝑙𝑟

= 200 ∴r= 1200

= 60200

= 0.30 𝑐𝑚.

Se propone:

1 1 3/4" × 1/8” A = 2.74 𝑐𝑚2.

R = 1.40 𝑐𝑚.

𝑙𝑟 =

601.4 = 43

f 𝐴𝐷𝑀 = 1332 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.



128

Capacidad de carga:

Cap. = 1332 × 2.74 = 3,650 𝐾𝑔.

3,650 > 2,063 Kg bien

B. Cuerda inferior:

T= 2.063 𝐾𝑔.

As = 𝑇𝑓𝑠

= 2,0631,400

= 1.47 𝑐𝑚2.

Se pondrán: 2 𝜙 1/2"

As = 2.54 𝑐𝑚2 > 1.47 𝑐𝑚2 bien

Diseño de diagonales y montantes

Cortante máximo V= 𝑤𝑙2

= 198 × 52

= 495 𝐾𝑔.

cos 45° = 𝑉𝑉𝐷

∴ 𝑉𝐷 = 𝑉cos 45°

= 4950.7071

𝑉𝐷 = 700 𝐾𝑔.

Fig.117 Diagrama de cortante VD

Diagonales; T = 700 𝐾𝑔.

Montantes; C = 700 𝐾𝑔.

Longitud de los elementos:

l = 30cos 45°

= 300.7071

l = 42.42 𝑐𝑚.

Fig.118 Diseño de diagonales



129

C. Diseño de diagonales:

As = 𝑇𝑓𝑠

= 7001400

= 0.5 𝑐𝑚2 .

Se pondrá 1 𝜙 1/2” ; As = 1.27 𝑐𝑚2.

D. Diseño de montantes: 𝑙𝑟

= 200 ∴ r = 42.42200

= 0.21 𝑐𝑚.

Usando ∅ 1/2” ; As = 1.27 𝑐𝑚2

d= 1.27 𝑐𝑚.

r= 𝑑4

= 1.274

= 0.32 𝑐𝑚.

Relación de esbeltez:

𝑙𝑟 =

42.420.32 = 132

f ADM. = 603 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

Capacidad de carga:

Cap. = 603 × 1.27 = 766 𝐾𝑔. 766 Kg > 700 𝐾𝑔. Bien

Fig.119 Detalle de diseño de armadura



130

Perfiles del larguero

Para absorber el “coceo” del arco, la fuerza horizontal se tomara con un tensor, el acero que se use para dicho tensor, se hará trabajar a un esfuerzo bastante bajo, para evitar en lo posible su deformación; por ejemplo:

fs= 800 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

As = 𝑇𝑓𝑠

= 5620800

= 7 𝑐𝑚2.

Se usara 1 ∅ 1 1/4"

Diseño de columna

Como se vio en un principio:

𝑉1 = 𝑉2 = 4.5 𝑇𝑜𝑛.

Que será recibida por la columna además de su peso propio:

Propio = 0.35 × 0.35 × 2400 = 1470 𝐾𝑔.

1.47 𝑇𝑜𝑛. ≈ 1.5 𝑇𝑜𝑛.

La columna quedara entonces sometida a la acción de una carga axial de 6 ton. , además del efecto sísmico correspondiente.

Coeficiente Sísmico: C.S. = 0.08

Fuerza Horizontal: F.H. = P × C.S.

∴F.H.= 6 × 0.08 = 0.48 𝑇𝑜𝑛.

Momento: M = F.H × h= 0.48 × 5 = 2.4 𝑇𝑜𝑛. M.

La excentricidad es;

e= 𝑀𝑃

= 2.46

= 0.40 𝑚. = 40 𝑐𝑚.



131

Usando la gráfica de la página.

Suponiendo una sección de 30 × 30 𝑐𝑚. Con un armado del 1% en cada cara:

p = 0.01; n = 10 ∴pn = 0.10

𝑑′ℎ

= 0.10 ; ℎ𝑒 =

3040 = 0.75

Se obtiene: C = 6.4, R = 0.37

Comprobación de fatigas:

Concreto.

Fc= C 𝑀𝑏.ℎ2

fc = 6.4 24000030×302 = 56.83 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

Se usara concreto f'c = 210 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

f ADM . = 0.45 f ′c = 94 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

56.83 𝐾𝑔/𝑐𝑚2 < 94 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

Acero:

fs= nfc �1−𝑑′/ℎ𝑅

− 1� = 568 �1−0.100.37

− 1� =

fs= 813.62 Kg/𝑐𝑚2 < 1400 𝐾𝑔/𝑐𝑚2 bien

Área de acceso:

As = 0.01 × Ag = 0.01 × 900 = 9 𝑐𝑚2.



132

Sera suficiente con poner 3 ∅ 3/4" por lado (𝐴𝑠 = 8.61 𝑐𝑚2. ) , ya que la fatiga que se obtuvo es menor a la admisible.

Fig.120 Sección que muestra el armado de columna diseñada

IX.2.5 Diseño de cimentación

Carga sobre cimiento:

𝑃𝑠/𝑐 = 6000 𝐾𝑔.

+ 15 % 𝑃 propio del cimiento.

𝑃𝑠/𝑇 = 6000 + 900 = 6900 𝐾𝑔.

fT= 5000 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

𝑀 = 2400 𝐾𝑔 − 𝑀

Suponiendo una Zapata cuadrada de:

2.20 × 2.20 = 4.84 𝑚2.

Las fatigas resultan de:

f = 𝑃𝐴

± 𝑀 𝑦𝐼

= 69004.84

± 2400 ×1.101.95

fmax= 2,778 𝐾𝑔/𝑚2.

fmin= 72 𝐾𝑔/𝑚2.



133

Fig.121 Diagrama que muestra el diagrama de presiones de la zapata aislada en cuestión.

Momento flexionante en la cara de la columna

Fig.122 Diagrama de flexión de un extremo de la zapata aislada

� 𝑀 = (1609 × 0.95) 0.475 + (1169 × 0.95) 1 2

23 0.95 = 726 + 351 = 1077 𝐾𝑔𝑚.

Peralte:

d= � 𝑀𝐾. 𝑏

= �107 , 700 15.94×100

∴ 𝑑 = 8.53 𝑐𝑚.

Se adopta:𝑑 = 23 𝑐𝑚. ; ℎ = 30 𝑐𝑚.



134

Área de Acero:

𝐴𝑠 = 𝑀

𝑓𝑠 . 𝑗 . 𝑑 =

107700 1400 × 0.87 × 30 = 3.83 𝑐𝑚2./𝑚.

Se Propone Para Armar ∅ 3/8"

𝑁𝑜 . 𝑉𝐴𝑅. = 3.83

0.71 = 5.4 𝑉𝐴𝑅/𝑚.

Separación:

𝑆 = 100 5.4

= 18.5 𝑐𝑚.

A) Verificación por Cortante:

𝑉 𝑎 𝑑 (23 𝑐𝑚. )De la cara de la columna (lineal)

Fig.123 Diagrama de cortante a d=23 cm en el extremo de la zapata.

𝑉𝑑 = 2778 + 1892

2 × 0.72 = 1,681 𝐾𝑔.

Esfuerzo Cortante:

℧𝑑 = 𝑉𝑑 𝑏 . 𝑑𝑑

= 1681100×19.4

= 0.86 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

℧ ADM = 0.29 �𝑓𝑐′ = 0.29 √21 = 4.2 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

∴ 0.86 < 4.2 Bien



135

Verificación por cortante perimetral a una distancia d/2 (12 cm) de la cara de la columna.

Fig.124 Diagrama de cortante perimetral d/2 (12 cm).

V d/2 = 2778×17572

= 0.83 × 2.16 = 4065 𝐾𝑔.

℧ d/2 = 4065216×21.1

= 0.89 𝐾𝑔/𝑐𝑚2 .

℧ PERM. = 0.29 �𝑓 ′ 𝑐 = 0.29 √210 = 7.68 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

∴ 0.89 < 7.68 Bien.

B) Verificación Por Adherencia

En la cara de la columna:

Fig.125 Diagrama para verificación de adherencia en el miembro diseñado



136

𝑉 = 2778 + 1609

2 × 0.95 = 2,084 𝐾𝑔.

Σ𝑜 = 3 × 5.4 = 16.2 𝑐𝑚.

𝜇 = 𝑉Σ𝑜 .𝑗 .𝑑

= 208416.2×0.872×23

= 6.41 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

𝜇 𝐴𝐷𝑀. = 3.2 �𝑓´𝑐𝐷

= 3.2 √2100.95

= 48.8 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

∴ 48.8 > 6.41 Bien. [III]

Fig.126 Esquemas representativos de los armados definitivos de las zapatas aisladas.



137

IX.3 Techo sin estructura

Sistema constructivo a base de arcos modulares de una sola pieza, en lámina galvanizada o pintro alum. Fabricados en el lugar a la medida de sus necesidades Los arcos son unidos entre sí con una engargoladora eléctrica que garantiza su hermeticidad Este sistema permite cubrir su nave sin ningún tipo de estructura adicional, teniendo así el 100% de área libre

Fig.127 Techo sin estructura con su dimensión máxima que nos permite una facilidad de trabajo y nos evita dificultades constructivas.

IX.3.1 Cubiertas

IX.3.1.1 Tipo membrana:

Este tipo es apoyado sobre muros y/o vigas actuando como soporte de la cubierta. Se fabrica con flechas del 20% al 35% en ancho total. Se recomienda utilizar flechas del 20% por ser más económicas, ya que la longitud de la curva será menor



138

Fig.128 Esquema de una cubierta tipo membrana

IX.3.1.2 Tipo semicircular

Son cubiertas que se desplantan del nivel del terreno sobre una trabe de cimentación corrida por lo que el arco actúa como muro y cubierta a la vez. Se pueden producir las cubiertas en flechas de 35 y 50% del ancho total de la cubierta.

Nota: El perfil recto (sin combar) es utilizado en los muros frontales sin utilizar polinería intermedia.

Fig.129 Esquema de membrana semicircular



139

IX.3.2 Características y ventajas

Este sistema ofrece muchas ventajas sobre otros sistemas constructivos que hacen a las cubiertas auto soportante, la manera más rápida y económica de cubrir claros hasta de 25 metros de ancho.

RAPIDEZ:

Al fabricar en el sitio de la obra, se logra un rendimiento por jornada de 1,000 m2 de la fabricación de arcos

ECONOMÍA:

Se eliminan el uso de estructuras intermedias de apoyo, así como reducción en los costos de la mano de obra tiempo de ejecución, alquiler de andamios y su mantenimiento será mínimo

SENCILLEZ:

Se evitan los planos de diseño de estructuras supervisión elementos adicionales, así como el uso de andamios. Al tener una hermeticidad del 100% evitara la entrada de agua que otros sistemas al perforar la lámina de acero.

ESTÉTICA:

Son cubiertas totalmente limpias lo que permite al diseñado lograr formas innovadoras, poniendo como limite su creatividad

ESPACIO:

Al no contar con estructuras de apoyo, se cuenta con el 100 % del área libre.

IX.3.3 Aplicaciones

Tiene una gran variedad de usos, lo cual permite que sea un sistema , tanto para el ramo industrial, comercial, urbano, servicios o de entretenimiento Bodegas, almacenes de grano y fruta, almacenes de materias primas, hangares talleres, maquinadoras, industrias en general, patio de carga, andenes, gimnasios estadios, escuelas, auditorios, centros recreativos, hospitales, albergues, metro estacionamientos , estaciones de autobuses, discotecas, bares, aeropuertos agencias de autos, expos, tiendas de auto servicios , centros comerciales etc.



140

IX.3.3.1. Detalles constructivos

FIJACION DE ARCO EN ESTRUCTURA DE CONCRETO

Trabe de apoyo

Fig. 130 Representación a detalle de cómo se fija el sistema en sus apoyos.



141

Aquí se mostró el detalle de cómo se fija el arco techo a la estructura, pero se debe mencionar que justamente aquí se debe considerar un mantenimiento periódico para evitar la oxidación por ser un punto crítico al contacto frecuente con el agua en la temporada de lluvias.

FIJACION DE MUROS FRONTALES

Fig.131 Representación a detalle de la techumbre de lámina galvanizada con sus elementos



142

DETALLE DE BAJANTE PLUVIAL

Fig. 132 Esquema representativo de sujeción de la techumbre y del tubo colector de aguas pluviales.



143

Fig.133 Esquema de sujeción de la techumbre de doble claro sobre un muro y su tubería pluvial.



144

DETALLE DE CIMENTACIÓN

Fig.134 Detalle de arco techo desplantado desde nivel de terreno ahogado en una dala o trabe.



145

REACCIONES EN KM /M

CLARO ( mts ) CARGA DE VIENTO km / m

PESO PROPIO DE LAMINA + 40 km / m

VIENTO TRASVERSAL VIENTO LONGITUDINAL

Rxx, Ryy .- Rxx ,- Ryy .- Rxx ,- Ryy 20 100 501 100 105 20 120 588 -169 -298 20 140 620 -263 -436 20 160 617 -378 -605 25 100 608 -133 -247 25 120 810 -178 -340 25 140 810 -306 -525 25 160 812 -450 -737 30 100 980 - 87 -224 30 120 979 -214 -410 30 140 1040 -303 -566 30 160 1040 -478 -821 35 100 1218 - 26 -186 35 120 1292 -103 -332 35 140 1292 -303 -566 35 160 1292 -487 -892

Tabla 18. Tabulación de diseño del arco dependiendo su claro y la carga del viento tanto transversal como longitudinal.

Fig.135 Representación de la carga cuando actúa el peso propio de la lámina + carga viva de 40 kg/m2 ( valores positivos que se indican )

Fig. 136 Representación de la carga cuando actúa viento transversal o viento longitudinal ( valores negativos que se indican )

NOTA: Todos los valores son considerado una flecha del 20%Los valores negativos (-) indican succión de la lámina y viga El sistema de apoyo está considerado articulado.



146

IX.3.4 Datos generales

DATOS:

1.- Datos en grados para el diseño de viga de soporte (concreto o acero).

2.- Flechas utilizadas para cualquier claro de cubierta.

3.- Cualquier flecha intermedia se debe calcular.

4.- Revisar en obra las dimensiones de la cubierta.

5.- Los datos presentados son muy aproximados.

Fig.137 Esquema que representa la viga de soporte y los posibles ángulos que se pueden efectuar sin que causen riesgos al diseño.



147

Fig. 138 Cuerda que nos sirve para establecer el ángulo de la viga de soporte.

Radio R = (b2 + 4a2) / 8 a

= 2 sen-1 (b/2R)

Angulo de apoyo = /2

Longitud de cuerda Lc = 0.0349 R



148

IX.3.4.1 Zonas eólicas

ZONA 1 Península de Baja California ,estado de Baja California Norte y Sur

ZONA 2 Pacifico Norte : Oeste de Sonora , gran parte de Sinaloa y la Costa de Nayarit

ZONA 3

Altiplano Norte : Este de Sonora y Sinaloa, Chihuahua, la mayor parte de Coahuila Sur y Oeste de Nuevo León, Durango casi la totalidad de Zacatecas y proporciones norte de los Estados Nayarit, Jalisco, Aguascalientes y San Luis Potosí

ZONA 4

Costa del Golfo y Península de Yucatán : Porciones norte y este de Coahuila y Nuevo León, gran parte de Tamaulipas y Veracruz, los estados de Tabasco, Campeche, Yucatán y Quintana Roo y porciones pequeñas de San Luis Potosí, Hidalgo, Oaxaca y Chiapas.

ZONA 5

Altiplano Sur: Abarca los estados de Guanajuato , Querétaro, Tlaxcala, Morelos, Estado de México, Hidalgo, Puebla y el Distrito Federal., porciones importantes de Jalisco, Aguascalientes, San Luis Potosí, Oaxaca, Guerrero y Michoacán y partes pequeñas de Nayarit, Colima Zacatecas, Tamaulipas y Veracruz

ZONA 6 Pacifico Sur : Costa de Jalisco, Colima, Michoacán, Guerrero, Oaxaca y Chiapas ZONA 7 Chiapas: Gran parte del estado de Chiapas, excepción hecha de su costa.

ZONA EÓLICA VELOCIDAD REGIONAL KM/HORA ESTRUCTURAS GRUPO B ( TR=50 AÑOS )*

1 90 km/hora 2 125 km/hora 3 115 km/hora 4 160 km/hora 5 80 km/hora 6 150 km/hora 7 80 km/hora

Tabla 19. Tabla de velocidades regionales12

*TR= PERIODO DE RETORNO

12 Arco techo (2005). Folleto arco techo, S.A de C.V.



149

REGIONALIZACION EÓLICA DE LA REPÚBLICA MEXICANA

Fig.139 Mapa de zonas eólicas de la República Mexicana



150

IX.3.4.2 Longitud de arco circular para sistemas auto soportantes

CLARO (Mts.) 20 25 30 35 40 45 50 14 15.45 16.23 17.15 18.20 19.36 20.63 21.99 15 16.55 17.38 18.37 19.50 20.74 22.10 23.56 16 17.65 18.54 19.60 20.80 22.13 23.58 25.13 17 18.76 19.70 20.82 22.10 23.51 25.05 26.70 18 19.86 20.86 22.05 23.40 24.89 26.52 28.27 19 20.96 22.02 23.27 24.69 26.28 28.00 29.84 20 22.07 23.18 24.49 26.00 27.66 29.47 31.41 21 23.17 24.34 25.72 27.29 29.04 30.94 32.98 22 24.27 25.50 26.94 28.59 30.43 32.42 34.55 23 25.38 26.65 28.17 29.89 31.81 33.89 36.12 24 26.48 27.81 29.39 31.19 33.19 35.36 37.69 25 27.58 28.97 30.62 32.49 34.57 36.84 39.26 26 28.69 30.13 31.84 33.79 35.96 38.31 40.83 27 29.79 31.29 33.07 35.09 37.34 39.78 42.40 28 30.89 32.45 34.29 36.39 38.72 41.26 43.97 29 31.99 33.61 35.52 37.69 40.11 42.73 45.54 30 33.10 34.77 36.74 38.99 41.49 44.20 47.12 31 34.20 35.93 37.97 40.29 42.87 45.68 48.69 32 35.30 37.08 39.19 41.59 44.25 47.15 50.26 33 36.41 38.24 40.42 42.89 45.64 48.63 51.83 34 37.51 39.40 41.64 44.19 47.02 50.10 53.40 35 38.61 40.56 42.87 45.49 48.40 51.57 54.97

Tabla 20. FLECHA % RESPECTO AL CLARO DEL ARCO ( f /L en mts.)



151

Fig.140 Esquema que nos muestra las dimensiones de relación de un arco

CALIBRE ESPESOR kg/ml ( 3ft) 16 0.0613 11.155 18 0.0493 8.997 20 0.0374 6.797 22 0.0314 5.703 24 0.0224 4.892 25 0.0221 4.062 26 0.0194 3.515

Tabla 21 TABLA CALIBRES KILOS X METRO LINEAL DE LAMINA

CALIBRE plug m.m. kg/m2 16 0.06 1.52 11.91 18 0.048 1.22 9.52 20 0.036 0.91 7.15 22 0.03 0.76 5.96 24 0.024 0.61 4.76 25 0.021 0.53 4.16 26 0.018 0.46 3.57

Tabla 22 TABLA DE PESOS TEORICOS X M2 DE LAMINA



152

CALCULO DE CALIBRES DE LÁMINA GRADO "C"

CLARO (mts) 20% 35% 50%

14 24 24N 22 15 24 24N 22 16 24N 22 22 17 24N 22 20 18 24N 22 20 19 24N 22 20 20 24N 22 20 21 24N 22 20 22 24N 22 18 23 22 20 18 24 22 20 18 25 22 20 18 26 22 20 16 27 22 20 16 28 22 18 16 29 22 18 16 30 22 18 16 31 22 18 16 32 20 18 - 33 20 18 - 34 20 16 - 35 20 16 - 36 18 16 -

CLARO (mts) 20% 35% 50%

14 22 22 18 15 22 20 18 16 22 20 18 17 22 20 18 18 22 20 16 19 22 18 16 20 20 18 16 21 20 18 16 22 20 18 - 23 20 18 - 24 20 16 - 25 18 16 - 26 18 16 - 27 18 16 - 28 18 - - 29 18 - - 30 16 - - 31 16 - - 32 - - - 33 - - - 34 - - - 35 - - - 36 - - -

Tabla 23 ALTIPLANO NORTE, VEL.VIENTO 90 KM/H ZONA EOLICA : 1

% DE LA FLECHA RESPECTO AL CLARO

Tabla 24 PACIFICO NORTE, VEL. VIENTO : 125 KM/H ZONA EÓLICA: 2




153

CALCULO DE CALIBRES DE LÁMINA GRADO "C"

CLARO (mts) 20% 35% 50%

14 24N 22 20 15 22 22 20 16 22 22 18 17 22 20 18 18 22 20 18 19 22 20 18 20 22 20 18 21 22 18 16 22 22 18 16 23 20 18 - 24 20 18 - 25 20 18 - 26 20 16 - 27 20 16 - 28 18 16 - 29 18 16 - 30 18 16 - 31 18 - - 32 18 - - 33 16 - - 34 16 - - 35 16 - - 36 16 - -

CLARO (mts) 20% 35% 50%

14 22 18 16 15 20 18 16 16 20 18 - 17 20 18 - 18 20 18 - 19 18 16 - 20 18 16 - 21 18 16 - 22 18 - - 23 18 - - 24 16 - - 25 16 - - 26 16 - - 27 - - - 28 - - - 29 - - - 30 - - - 31 - - - 32 - - - 33 - - - 34 - - - 35 - - - 36 - - -

Tabla 25 ALTIPLANO NORTE, VEL.VIENTO 115 KM/H ZONA EOLICA : 3


Tabla 26 COSTA DEL GOLFO Y PENINSULA DE YUCATAN, VEL. VIENTO : 160 KM/H

ZONA EÓLICA: 4 % DE LA FLECHA RESPECTO AL CLARO



154

CALCULO DE CALIBRES DE LÁMINA GRADO "C

CLARO (mts) 20% 35% 50%

14 24 24N 22 15 24 24N 22 16 24 24N 22 17 24 24N 22 18 24 24N 22 19 24N 22 22 20 24N 22 20 21 24N 22 20 22 24N 22 20 23 24N 22 20 24 24N 22 18 25 24N 22 18 26 24N 22 18 27 22 20 18 28 22 20 18 29 22 20 18 30 22 20 16 31 22 20 16 32 22 20 16 33 22 18 16 34 22 18 16 35 22 18 16 36 20 18 16

CLARO (mts) 20% 35% 50%

14 22 20 18 15 22 18 16 16 20 18 16 17 20 18 16 18 20 18 16 19 20 16 - 20 20 16 - 21 18 16 - 22 18 16 - 23 18 - - 24 18 - - 25 18 - - 26 16 - - 27 16 - - 28 16 - - 29 - - - 30 - - - 31 - - - 32 - - - 33 - - - 34 - - - 35 - - - 36 - - -

Tabla 27 ALTIPLANO SUR-CHIAPAS, VEL.VIENTO 80 KM/H ZONA EOLICA : 5 Y 7


Tabla 28 ALTIPLANO NORTE, VEL. VIENTO : 150 KM/H

ZONA EÓLICA: 6 % DE LA FLECHA RESPECTO AL CLARO



155

IX.3.5 Diseño de arco circular

EJEMPLO 12. Que es necesario para diseñar una cubierta.

A) Tipo de cubierta. B) Dimensiones C) Ubicación física D) Localización de la construcción.

Datos que deberá tomar en cuenta:

Fig.141 Dimensiones consideradas para el diseño del arcotecho

Claro W : Ancho total del edificio a cubrir.

Flecha H : Altura máxima de la cubierta ( al centro del claro )

Longitud : Largo total del edificio o espacio a cubrir.

Espacio útil WH : ( Solo para cubiertas semicirculares )

Se considera para que una persona de 1.80 mts. transite con libertad:

Membrana (Desplantada sobre vigas y/o muros es necesario un canalón)

Semicircular ( Desplantada sobre una trabe en el suelo )

Tipo de cubiertas

En el mapa podrá usted localizar la región que le corresponde, para fines del diseño de vientos regionalización eólica Con este dato usted podrá determinar la velocidad del viento a la región eólica que corresponde y determinar el calibre de la lámina requerido:

(Ver el mapa)

http://www.arcotecho.com.mx/folleto.htm#imagen



156

Fig.142 Representación de las cargas actuantes en el sistema de arco techo.

Carga de viento : Se obtiene a partir de la velocidad regional de viento de acuerdo a la zona

eólica y el factor topográfico:

Carga muerta : Se considera la carga ejercida por el peso de la lámina:

Cargas concentradas : Son aquellas cargas ejercidas en un punto específico del arco ubicados con

respecto al centro de la Luminarias, abanicos, ventiladores etc., cubierta:

CÁLCULOS

INFORMACIÓN Tipo de cubierta Membrana Claro W 25 mts. Longitud 48.mts Ubicación Cuernavaca , Morelos Región Eólica zona 5 Ubicación física Industria Cargas concentradas no tiene

A) Se recomienda flecha del 20% por ser más económica Flecha = (claro del área a cubrir) X (% de flecha)

= 25 mts. X 0.20 = 5 mts. de flecha ( altura )



157

B) calibre de la lámina Para obtener el calibre de la lámina se consulta en la tabla correspondiente a la zona Eólica que corresponde Zona 5 24N

C) Longitud del arco Para obtener la longitud del arco se consulta en la tabla correspondiente Longitud de arco para sistemas auto portantes claro 25 mts. = 20% mts. largo del arco = 27.58 mts.

D) Calculo de arco Para obtener la cantidad de arco para cubrirán la edificación. Se divide la longitud total del edificio entre lo ancho del perfil 0.609 mts. (24") 48 mts. / 0.609 mts. = 78.81 Total de arcos : 79 piezas

E) Calculo de peso por arco Para obtener el peso del arco se multiplica el peso por metro lineal del calibre obtenido, por la longitud total de arco peso calibre 24N, 3 ft = 4.892 Peso del arco:= 4.882 kg/ml x 27.58 ml 134.6 kgs.

F) Calculo peso total de la cubierta Para obtener el peso total de la cubierta se multiplica el pesodel arco X el total de arco necesarios 134.6 kg x 79 piezas = 10.344.6 kgs. El peso de su cubierta será de 10,344 kgs.

Requerimientos

Al fabricar su cubierta en el lugar es necesario:

1.- Área para la entrada de un tráiler que transportará la maquina 2.- Área libre para la fabricación de su cubierta 3.- Procurar que el área sea segura, a fin de evitar daños a la maquinaria 4.- Área libre para almacenar los arco fabricados, evitando golpes y que se pueda maniobrar a la hora de formar los arcos 5.- Área de maniobras de grúa para el montaje de arcos. 12

12 Arco techo (2005). Folleto arco techo, S.A de C.V.



158

X. TRAZO DE ALGUNOS TIPOS DE ARCOS

Considerando la línea de intradós en el frente del arco, que puede ser recta, quebrada, curva o mixta, los arcos adoptan diversas formas cuyos nombres y trazados describimos a continuación.

A) Arco adintelado (Marco)

Fig. 143 Trazo de arco adintelado.

Es el que tiene su intradós formado por un plano horizontal; en realidad cuando el dintel es de una sola pieza, no teniendo forma arqueada deja de ser arco; pero si se le construye formado de varias piezas, es decir, si se le construye adovelado, entonces, como las líneas de junta han de concurrir a un centro común, puede considerársele, a pesar de conservar la línea recta, como un arco de flecha nula y de radio infinito. En realidad, en los arcos adintelados sólo trabaja la parte correspondiente al arco escarzano (ver fig.150) que pueda inscribirse en su interior y a cuyo centro concurrirán las líneas de junta.



159

B) Arco rectilíneo o angular

Fig. 144 Trazo de arco rectilíneo o angular Está formado por dos lados de un triángulo isósceles cuyo vértice es el punto culminante o remate del arco.



160

C) Arco angular truncado

Fig. 145 Trazo de arco angular truncado

Es un semi hexágono; por lo tanto, lo forman tres rectas, AB, BC, y CD, de igual dimensión, cada una, a la semi luz.



161

D) Arco poligonal o afacetado

Fig.146 Trazo de arco poligonal o afacetado

Es la mitad de un decágono o de otro polígono regular.



162

E) Arco zig-zag

Fig.147 Trazo de arco en Zig-Zag.

Está formado por una línea quebrada en zig-zag, derivada de un polígono regular inscrito en una circunferencia tangente a los estribos. El trazado se efectúa como sigue: una semicircunferencia con radio igual a la semi luz, construida sobre la línea de arranque, se divide en un número por partes iguales, 12 en la figura, y se trazan los radios que pasan por las divisiones. Seguidamente se traza otra semicircunferencia concéntrica de radio menor, a la distancia a que desee que lleguen los ángulos entrantes del zig-zag. Finalmente, partiendo de los puntos de arranque, se traza la línea quebrada de manera que los vértices coincidan alternamente con las divisiones en las semicircunferencias exterior e interior. Si el número de divisiones correspondientes a un cuadrante es par, a la clave corresponderá un ángulo menor a 180º y si es impar, uno mayor a 180º.



163

F) Arco de medio punto o redondo

Fig.148 Trazo arco de medio punto o redondo

Es una semicircunferencia. Como es lógico, su flecha OE es igual a la semi luz OA u OB.



164

G) Arco rebajado o de segmento

Fig.149 Trazo de arco rebajado o de segmento

Está formado por un arco de circunferencia de flecha menor a la semi luz. Por lo tanto, su centro estará siempre por debajo de la línea de arranque A-B.



165

H) Arco escarzano

Fig. 150 Trazo de arco escarzano

Es un arco de circunferencia muy rebajado. La longitud de su radio suele estar comprendida entre la medida de la luz AB a vez y media de esta.



166

I) Arco de herradura

Fig.151 Trazo de arco de herradura

Es un arco de circunferencia de más de 180º, cuyo centro se halla más arriba de la línea de arranque. De radio igual a la semi luz, o algo menor que ésta (nunca mayor), el arco arranca desde unos puntos interiores a los de arranque, pero situados en la misma línea, por lo que los salmeres están en voladizo, su forma es de herradura (de ahí su nombre), y es característica de la arquitectura visigoda y árabe en España.



167

H) Arco elíptico

Fig.152 Trazo de arco elíptico (secuencia)

Es un arco de forma semi elìptica. Si se puede elegir libremente la flecha, puede trazarse una curva muy aproximada a la semi elìpse, de ejes en relación, 3 a 4 mediante tres arcos de circunferencia, construcción que se efectúa como sigue:

Se divide la línea de arranque en tres partes iguales, A-1, 1-2, y 2-B. Haciendo centro en 1 y 2 se trazan dos circunferencias con radio A-1 igual a 2-B. seguidamente se trazan los diámetros de ambas circunferencias que pasan por el punto de intersección de las mismas en 4. Haciendo centro en 4 y con radio igual al diámetro de las circunferencias se traza el arco 5-6 tangente a las mismas, la curva resultante A-5-6-B, se aproxima bastante a la semi elìpse.



168

(Sigue arco elíptico)


Si la flecha está fijada de antemano, habrá que recurrir a la construcción de la semi elipse partiendo de los focos o mediante puntos aislados de la curva. El primer método es como sigue:

Se hallan primeramente los focos trazando una circunferencia con centro entre C y radio O-A. Esta circunferencia cortara la línea de arranques en los puntos 1 y 2, que son los focos buscados, se clavan sendos clavos en 1 y 2 y se ata a los mismos los extremos de un cordel de longitud A-B. Si apoyamos un lápiz en el cordel (D) que mantendremos tirante, y resbalamos el lápiz a lo largo del mismo de un extremo a otro, nos trazará sobre el muro de la semi elipse A-D-C-B.



169

(Sigue arco elíptico)


El otro procedimiento se ejecuta como sigue: haciendo centro en O y con radio O-A y O-C se trazan dos semicircunferencias concéntricas. Tracemos un radio cualquiera, por ejemplo O-n, y obtendremos los puntos de contacto en cada semicircunferencia en m y n. desde n, en la semicircunferencia exterior, bajamos una vertical, y desde m, en la semicircunferencia interior, trazamos una horizontal que cortará la vertical anterior en 2. Este es un punto de la semi elipse y, por lo tanto, del arco elíptico. Repitiendo este procedimiento con tantos radios como queramos, obtendremos todos los puntos exactos del arco A-1-2-3-C-4-5-B, que, unidos entre sí, nos determinan el arco buscado.



170

I) Arco peraltado apuntado

Fig.155 Trazo de arco apuntado

Es un arco elíptico en el que la línea de arranques es el eje menor de la elipse. Por lo tanto, la flecha es mayor que la semi luz. La construcción es la misma que las explicadas para el arco elíptico.



171

J) Arco carpanel

Fig.156 Trazo de arco carpanel

Es un arco simétrico parecido al elíptico en el que la semi elipse es sustituida por una sucesión de arcos de circunferencia tangentes entre sí y con los estribos. Suele usarse más que el elíptico por ser de trazado más sencillo y seguro en la obra, en la que pueden fijarse con precisión los diferentes centros de los arcos de circunferencia que se utilicen, que suelen ser tantos más cuanto sea menor sea la flecha en relación con la luz. Se clasifican por el número de centros, siendo para cada uno el trazado distinto.

El arco CARPANEL de TRES CENTROS se trazan como sigue: conocidas la luz A-B y la flecha O-C, trazamos las rectas A-C y C-B. Seguidamente, haciendo centro en O y con un radio igual a la semi luz, o sea O-A, trazamos la circunferencia. A-D-B. Luego, haciendo centro en C, trazamos con radio C-D otra circunferencia que cortara a las rectas A-C y C-B en los puntos E y F. las mediatrices a las rectas A-E y F-B cortarán las líneas de arranques A-B en los puntos 2 y 3 y al eje O-D en el punto 1, que son los centros de los arcos de circunferencia A-G, B-H y G-C-H, tangentes entre sí que forman el arco carpanel de tres centros.



172

K) Arco carpanel de cinco centros

Fig.157 Trazo de arco carpanel de cinco centros

Vale la descripción anterior, añadiendo lo siguiente:

Como se comprenderá, de la elección del primer centro O dependerá la mayor o menor perfección del carpanel que se trace. Para evitar tanteos recomendamos trazar primero el arco a ojo y, una vez hallada la curva que más se aproxime al arco imaginario. Determinaremos el punto K en el cruce de la curva aproximada con la cuerda A-F y trazando desde K la paralela al radio F-D, hallaremos el centro O, punto de partida del trazado descrito anteriormente.



173

L) Arco carpanel de siete centros

Fig.158 Trazo de arco carpanel de siete centros

Se trazará siguiendo el mismo método que para el carpanel de cinco centros, dividiendo la semicircunferencia en siete partes iguales en lugar de cinco.



174

M) Arco carpanel de nueve centros

Fig.159 Trazo de arco carpanel de nueve centros.

Para trazar este carpanel se sigue el método siguiente, que también sirve para trazados de once o más centros, lo mismo que para siete o menos:

Sobre los dos ejes (eje mayor = línea de arranques eje menor = flecha) se describen las semicircunferencias que tienen respectivamente por radios C-A y C-D. Haciendo igualmente centro en C se describen otras semicircunferencias con radio igual a C-A + C-D. Esta semicircunferencia mayor se divide en 10 partes iguales (una más que el número de centros que se desean obtener). Desde las divisiones se trazan los radios E-C; F-C; G-C; J-C; etc., y desde los cruces de éstos con las otras dos semicircunferencias (E’, E”, F’, F”, etc.) se trazan paralelas a los ejes, cuya intersección, L, M, N, etc., serán puntos de elipse. Si unidos estos puntos mediante rectas con las divisiones correspondientes en la semicircunferencia exterior E-L, F-M, G-N y J-P, las prolongaciones de estas rectas se cortarán entre sí y con los ejes del arco, determinando los centros O, O’, O”, O’” y O”” que son los de los arcos de circunferencia que nos determinan el carpanel.



175

N) Arco tranquil

Fig.160 Trazo de arco tranquil

Conocido también por los nombres de arco rojo o cuello de ganso y también por botarel. Es un arco carpanel asimétrico con la línea de arranques inclinada, o sea con los puntos de arranque a distinto nivel, utilizando generalmente en contrafuertes y escaleras. Suele trazarse por medio de varios arcos de circunferencia. El trazado más sencillo, con sólo dos centros, se efectúa como sigue:

Conocidas la luz y la flecha 1-2, se levanta sobre 1 la mediatriz de la línea de arranque A-B. Seguidamente se levantan mediatrices sobre las rectas A-2 y 2-B, que, como es lógico, pasarán también por el centro 1 y cortarán las horizontales trazadas desde A y B, respectivamente, en los puntos 3 y 4. Estos son los centros de los arcos, de circunferencia A-2 y 2-B, tangentes entre si 2, que forman el arco TRANQUIL buscado.



176

O) Arco deprimido cóncavo

Fig.161. Trazo de arco deprimido cóncavo

Es un arco adintelado formado por dos cuartos de circunferencia de radio menor a la semi luz (un cuarto o menos), trazados en los arranques, y unidos por una recta paralela a la línea de arranques.



177

P) Arco deprimido convexo

Fig.162 Trazo de arco deprimido convexo

Al igual que el cóncavo, es un arco adintelado en cuyas esquinas a y b se trazan cuartos de circunferencias con centros de dichas esquinas y con radio igual o menos al cuarto de la luz.



178

Q) Arco georgiano

Fig.163 Trazo de arco georgiano

Como los anteriores, es un arco adintelado, pero la recta del intradós queda interrumpida por una semicircunferencia, de radio igual o menor a un cuarto de la luz, trazada en su centro.



179

R) Arco ojival apuntado

Fig.164 Trazo de arco ojival apuntado

Es el arco típico del estilo gótico. Está formado por dos arcos de circunferencias iguales, de radio mayor a la semiluz, cuyos centros se sitúan simétricamente sobre la línea de arranques. Cuando los centros de los arcos coinciden con los arranques, se obtiene el arco OJIVAL EQUILATERO, por serlo el triángulo AEB.



180

S) Arco ojival lenceteado

Fig.165 Trazo de arco ojival lenceteado

Es el arco ojival en el que los centros de los arcos de circunferencia están situados sobre la línea de arranques al exterior de la luz.



181

T) Arco ojival rebajado

Fig.166 Trazo de arco ojival rebajado

Es el arco ojival en el que los centros de los arcos están situados en la línea de arranques, en el interior de la luz. Estos centros se obtienen trazando las mediatrices de las rectas A-E y E-B, que cortan la línea de arranques en los puntos 1 y 2, correspondientes a los centros buscados.



182

U) Arco ojival quebrado

Fig.167 Trazo de arco ojival quebrado

Recibe esta dominación el arco apuntando cuando los dos arcos que lo forman no son tangentes a las líneas de estribo. Los centros de estos arcos están situados sobrelíneas paralelas e inferiores a la línea de arco, pudiendo coincidir con su cruce con las líneas de estribo (F, F’, J y J’) o situarse en el interior o exterior de la luz. Se hallan de la misma manera como se ha descrito en el arco ojival rebajado.



183

V) Arco túmido

Fig.168 Trazo de arco túmido

Es el arco ojival que tiene los centros de los dos arcos en una línea paralela y superior a la de arranques. Es, por lo tanto, el caso inverso del ojival quebrado. Al igual que en todos los arcos ojivales, los centros pueden coincidir con las líneas de estribo o hallarse en el interior o exterior de la luz. Como en los arcos de herradura, de los que son la versión en estilo gótico, los salmeres están en voladizo.



184

W) Arco ojival peraltado

Fig.169 Trazo de arco ojival quebrado.

Es una variante del arco túmido. Viene a ser un arco ojival equilátero prolongado por debajo de la línea de arranques A-A’, pero con radio A-H mucho menor en el trozo de curva prolongado, correspondiente a los salmeres en voladizo.



185

X) Arco tudor español

Fig.170 Trazo de arco tudor español

Es un arco ojival rebajado formado por cuatro en lugar de dos arcos de circunferencia. Los centros de estos arcos se hallan como sigue:

Sobre la línea de arranque A-B, divida previamente en cuatro partes iguales, se trazan dos circunferencias de diámetro igual a la semiluz y con centro, respectivamente, en las divisiones 1 y 2. Haciendo centro en 1 y con radio 1-2 se traza el arco 1-3. Desde el extremo de la flecha E y con radio igual a A-2 o, que es lo mismo, 1-3, se traza un arco que cortará a los anteriores 4 y 5. Las rectas que unen 5 con 1 y 4 con 2 cortarán prolongadas las circunferencias E-7 y con centro en 5, el arco 6-7, con lo que habremos completado el arco Tudor Español A-6-E-7-B.



186

Y) Arco agudo

Fig.171 Trazo de arco agudo.

Es un arco parecido al Tudor Español, pero más agudo, debido a que los arcos de circunferencia tangentes a los estribos tienen el radio menor que un cuarto de la luz. Para trazarlo, se elegirán los centros a y b a menor distancia de los arranques que un cuarto de la luz y sobre a-b se construye el cuadrado a-b-c-d; d y c serán los centros de los otros arcos, hallándose el punto de tangencia sobre las prolongaciones de las diagonales del cuadrado. Cuantos más pequeños se eligen los radios primeros, más alta resultará la flecha y más agudo el arco.



187

Z) Arco tudor inglés

Fig.172 Trazo de arco tudor inglés

Se traza como el anterior, pero en lugar de los segundos arcos se trazan dos rectas tangentes a los arcos primeros elegidos. Resultará un arco rectilíneo apuntado o angular que se une a los estribos por pequeños arcos de circunferencia.



188

AA) Arco conopial

Fig.173 Trazo de arco conopial

Está formado por dos arcos de cuarto de circunferencia cóncavos en los arranques y dos convexos en la clave, todos ellos con radio igual a un cuarto de la luz. La flecha es igual a la semi luz. Se traza dividiendo la línea de arranques en cuatro partes iguales. Haciendo centro en las divisiones C y C, se trazan los cuartos de circunferencias tangentes a los estribos. Sobre las verticales levantadas en dichas divisiones, con igual radio y haciendo centro en O y O’, se trazan otros dos cuartos de circunferencias invertidos y tangentes a las anteriores, así como entre sí en la clave.



189

AB) Arco flamígero

Fig.174 Trazo de arco flamígero

Parecido al CONOPIAL, pero de mayor flecha. Para trazarlo se construye un triángulo equilátero de lados iguales a la luz, que tenga el vértice en O, centro de la línea de arranques, y su base O’-O”, paralela a la misma. Haciendo centro en O se trazarán con radio igual a la semi luz los arcos cóncavos tangentes a los estribos y haciendo centro en O’ y O”, con el mismo radio, los arcos convexos que completan el arco.



190

AC) Arco festonado convexo

Fig.175 Trazo de arco festonado convexo

Llámese así al arco con intradós formados por una serie de arcos convexos formando ondulaciones o festones. El más sencillo sólo comprende dos arcos convexos de cuarto de circunferencia, de radio igual a la semi luz, trazados desde O y O’.



191

AD) Arco escocés

Fig.176 Trazo del arco escocés

Es un arco conopial en el que los arcos inferiores son convexos y los superiores cóncavos o sea a la inversa del arco flamígero. Los radios de los arcos de circunferencia se adaptarán al trazado de la curva siendo la única condición que los centros de los arcos inferiores F, F’, estén al exterior de la luz A-B.



192

AE) Arco de gola

Fig.177 Trazo de arco de gola

Es parecido al arco escocés del que la diferencia únicamente la condición de que los centros de los arcos inferiores convexos a, b, se sitúen sobre las prolongaciones de las líneas de los estribos.



193

AF) Arco festoneado cóncavo

Fig.178 Trazo de arco festoneado cóncavo

Viene a ser un arco deprimido cóncavo en el que la parte recta del intradós es sustituida por otro arco parecido al flamígero. Se traza como sigue: primero se traza un arco deprimido cóncavo a la base de dos cuartos de circunferencia de radio igual a un cuarto de la luz a-c y b-d. Sobre la recta c-d se construye el cuadrado c-m-m’-d. Se trazan dos rectas desde m y m’ al centro o” de la recta c-d. Haciendo centro en o” se traza la semicircunferencia c-d, pero interrumpiéndola de e a f. haciendo centro en m y m’, con radio m-e igual a m’ f se trazan dos arcos de circunferencia que se cortan en g.



194

AG) Arco trebolado

Fig.179 Trazo de arco trebolado

Es un arco formado por la intersección de tres circunferencias de igual radio. Dos tienen sus centros a y b sobre la línea de arranques y son tangentes a los estribos. La tercera tiene su centro c en el eje del arco y a mayor altura, siendo secante a las otras dos. Los diámetros de las circunferencias han de ser menores que la semi luz y mayores que un tercio de la luz.



195

AH) Arco multibolado

Fig.180 Trazo de arco multibolado

Está formado por la intersección de cinco circunferencias de igual radio. Para trazarlo se construye primero un arco deprimido cóncavo en el que el radio de los cuartos de circunferencia sea mayor que un octavo y menor que un sexto de la luz. Sobre la parte recta del arco deprimido como base se construye un triángulo isósceles, cuyos lados midan el triple del radio 1-A escogido, y haciendo centro en 3, 4, y 5 se trazan con el mismo radio 1-A los tres restantes arcos de circunferencia que, en conjunto forman el arco multibolado.



196

AI) Arco angelado llamado también arco polibolado

Fig.181 Trazo de arco angelado o polibolado

Está formado por varios arcos de circunferencias pequeñas de igual radio, cuyos centros se apoyan sobre una circunferencia auxiliar trazada desde el centro o de la línea de arranques y de radio menor que la semi luz.

Para su trazado se dibuja primero una semicircunferencia con radio igual a la semi luz sobre la línea de arranques. Esta se divide en un número par de partes iguales (tantas como el número doble de circunferencias de que han de constar el arco menos dos). En nuestra figura A, 1, 2, 3… 11, B, y se tazan los radios correspondientes a las divisiones. En el sector 0-1-2-3-0 se inscribe una circunferencia, se resta el radio A-C de A-O y con radio O-C, haciendo centro en O, se traza la semicircunferencia auxiliar que marca en los radios A-O, 2-O, 4-O… 10-O, B-O los centros de los arcos de circunferencia tangentes entre sí que forman el arco angelado.



197

AJ) Arco florentino

Fig.182 Trazo de arco florentino

Existen aún otras denominaciones de arco, como por ejemplo arco FLORENTINO; pero ya no se refiere a una forma particular de arco en sí, o sea el intradós, sino al ornamento que le rodea. El florentino no es más que un arco de medio punto real, enmarcado por otro ojival figurado. Por lo que terminamos aquí nuestra relación de clases de arcos y su trazado. [I]



198

X.1. Determinación y aplicación de la curva catenaria

Una curva catenaria invertida es el trazo perfecto para un arco catenario propiamente dicho en arquitectura, forma que fue aplicada por Antoni Gaudí para los arcos en los cuales especializo sus diseños y construcciones (fig.183). Catenaria: es la curva que describe un hilo suspendido por sus extremos y que se encuentra sometido a un campo gravitatorio uniforme. La ecuación de la catenaria originalmente se pensó era la misma que la de una parábola, Christian Huygens a sus 17 años demostró que no tenía esa forma pero no pudo encontrar su ecuación. La ecuación fue obtenida por Gottfried Leibniz, Christian Huygens y Johann Bernoulli en 1691 en desafío planteado por Jakob Bernoulli. La ecuación de la catenaria tomando su mínimo en el punto (0, a) es:

y = a cosh (x / a)

a = constante tomada partir del eje X en el origen y dando valores a “y” para obtener su punto más alto o corona. x = Coordenada en el eje X necesaria para sustituir en la formula y obtener la amplitud de la curva. y = Coordenada a obtener para cada X propuesta subsecuente.



199

EJEMPLO 13. Aplicación de curva catenaria

Trazo o Gráfica

Proponemos a= 0.5 unidades (constante).

Dando intervalos a X cada 0.5 unidades.

a X Y

0.5 0 0.5

0.5 0.5 0.77

0.5 1.0 1.88

0.5 1.5 5.03

0.5 2.0 13.65

Tabla 29 Tabulación de la gráfica para del trazo del arco catenario Y = a x cosh(X/a) = Y = 0.5 x Cosh(0/0.5) = 0.5 Y = 0.5 x Cosh(0.5/0.5) = 0.77 Y = 0.5 x Cosh(1.0/0.5) = 1.88 Y = 0.5 x Cosh(1.5/0.5) = 5.03 Y = 0.5 x Cosh(2.0/0.5) = 13.65 Luz del arco l = a x sinh(Xu/a) = l = 0.5 x sinh(2.0/0.5) = 13.64 Dónde: a = constante ya propuesta Xu=Ultimo valor mayor del intervalo propuesto 13

13Wikipedia la enciclopedia libre (2010). Catenaria.



200

Fig. 183 Trazo de una curva catenaria en el eje coordenado y su tabulación.



201

XI. ANÁLISIS DE RESULTADOS

XI.1 Esperados

Considerando que el estudio de arcos es un tema muy extenso así como cúpulas, y bóvedas, con este trabajo se espera una capitulación así como un pequeño compendio del tema puesto que a mi consideración hay mucha información acerca de los arcos pero muchos autores no consolidan a un aspecto práctico por eso se tiene la intención de obtener un análisis y posteriormente un diseño de este tipo de estructuras, mismo que muchos autores no establecen este alcance en sus textos y dejan al aprendiz en un panorama incierto, al ver esta necesidad y que en la actualidad casi no se realizan construcciones en arco, solo se hacen aparentes o imitaciones; esto nos lleva pensar que la falta de algo concreto en el tema, hizo que poco a poco se dejara de adoptar por este tipo de estructuras; y por otra parte la economía nacional que no ha permitido en varios años el crecimiento arquitectónico de la misma. Es por ello que se pretende alcanzar y cruzar esa pequeña línea delgada entre el análisis y el diseño para poder tener un pequeño manual del cual poder valerse para analizar algunos casos sencillos de análisis, la intención original era abarcar tipos más complejos pero creo que posteriormente se abarcaran los mismos ya que por motivos de tiempo me resulto complicado abordarlos; pero en un tiempo futuro mi interés es cubrir lo más posible el tema y ampliar este trabajo, ya que para estar completamente satisfecho y obtener un compendio definitivo se requiere más trabajo y actualización del mismo.

Por otra parte también me gustaría agregar que en nuestra institución educativa no cuenta con mucha información acerca de este tipo de temas y si la hay está muy dispersa por eso mismo se pretende contribuir con la comunidad estudiantil y docente para que puedan complementar la enseñanza en aulas y en la práctica profesional al apoyo de diseños más complejos, es por esto y todo lo anterior que mi trabajo va encaminado para toda aquella persona que tenga inquietudes para este tipo de estructuras y que sea un texto guía y ejemplificativo de las bases para los mismos.

También, porque no decirlo, se espera que con este trabajo se pueda utilizar como base para posteriores documentaciones y trabajos de investigación que al igual que este fue documentado en otras fuentes. Posiblemente hasta tenga otros alcances que no se han percibido. Pero en general va extendida la invitación a cualquier persona en la que se pueda apoyar en este texto y que le sirva de ayuda.



202

XI.2 Obtenidos

Primeramente el resultado más cercano y más satisfactorio fue la satisfacción de ayudar a la comunidad en general con un trabajo el cual sé qué hace falta dentro de nuestro gran acervo bibliotecario, me causa una gran satisfacción el poder regresar una pequeña parte de lo recibido por parte de la institución hacia mi persona y hacia las futuras generaciones que estarán buscando información, es una manera de facilitar el aprendizaje. Por otra parte al idealizar el tema en el cual realice este escrito se observó un panorama enorme de posibilidades dentro de las cuales no se pudieron alcanzar todas las aplicaciones y posibles teorías tanto de análisis como de diseño, pero se obtuvo un gran avance al realizar un compendio elaborado y consolidado de las bases para poder acceder a otras fuentes y cimentar bien el conocimiento para atacar este tipo de estructuras.

Otro objetivo realizado fue que algunos docentes recurrieron a mí con el interés en mi trabajo para apoyar sus cursos impartidos y poder complementarlos, este último es precisamente uno de los más importantes ya que precisamente se realizó esta documentación con el fin de que sea útil y no quede olvidada en el tiempo.

También es bueno mencionar que posiblemente a estas alturas no se haya logrado objetivos señalados y es que es por demás decirlo que son a largo plazo ya que para que se puedan cumplir se necesita que esta fuente quede registrada en la biblioteca para que tenga difusión y pueda cubrir un objetivo más amplio y que pueda llegar a las manos de más personas interesadas en el tema.

Creo que por el momento es el comentario que puedo realizar de este trabajo y de los objetivos cumplidos mismos que he visto reflejados a corto plazo, y ¿quién sabe?, posiblemente se cumplan otros que simplemente no se han visualizado en estos momentos.



203

XI.3 Interpretación de resultados

Para dar un sentido más concreto a los resultados que he obtenido es tan sencillo, se creó este documento con el fin de hacerlo llegar a cualquier persona interesada en el tema y tratar de sintetizarlo y lo más posible y que se pueda llevar de la mano paso a paso sin tener complicación mayor en el entendimiento del mismo. Precisamente porque hay textos que resultan complejos en su entendimiento se buscó la manera más apropiada de manejarlo para que se ajustara a cualquier nivel de comprensión. Dicho lo anterior podemos destacar que este objetivo ya se ha alcanzado antes de que se haya terminado esta publicación o de menos comienza a rendir frutos en cuanto al objetivo planteado, ya que al ser observado por algunos profesores y quererlo adecuar como complemento para su material didáctico se puede ver que es un trabajo que cumple con el fin para el cual fue destinado originalmente el de esparcir en conocimiento acerca de un tema específico del cual se cuanta con información dispersa y sin consolidar acerca de los arcos estructuralmente hablando. Todavía faltan muchas cosas por pulir e inclusive adecuarlas a un software pero para esto posiblemente se considere un volumen dos que dentro de los planes puede efectuarse a futuro para consolidar todavía más este pequeño proyecto. Por ahora son todos los resultados visibles hasta el día de hoy y cabe la espera de en un futuro observar los nuevos resultados y realizar una retroalimentación para posteriormente hacer una mejora de este texto que se trató de hacer lo más conscientemente útil.



VI

Conclusiones

Ya hasta este punto desde el que partimos con nuestro tema podemos establecer nuestra conclusión misma que parte del hecho de que al nacer la inquietud de hacer una recopilación aumentada de estas maravillas arquitectónicas, se puede referir que fue muy constructivo realizar este trabajo y en medida que se fue documentando se encontraban muchas cosas interesantes que lamentablemente no se pudieron incluir en este volumen, es satisfactorio cuando tenemos una inquietud y podemos lograr mediante la curiosidad y la perseverancia para lograr empaparnos de ese conocimiento que al no tenerlo nos perturba y no nos deja tranquilos, pero eso si es importante tener esa hambre de conocer, para poder satisfacer esa curiosidad y tratar de contestar el ¿Por qué?, que es una pregunta fundamental ya que sin ella simplemente no entramos en ese círculo antes descrito.

Al iniciar este proyecto tenía poco conocimiento acerca del tema mismo que fue ampliado de una manera contundente mientras se avanzaba en ello, es increíble el saber cómo a partir de un modelo matemático establecido podemos partir para un análisis estructural propiamente dicho para estructuras de este tipo que en la antigüedad no eran analizadas de esta manera y mucho menos diseñadas como tal, aun así en la actualidad solamente personas especializadas en estos temas se atreven a adentrase en diseños complejos y rebuscados. Cabe mencionar que dentro de esta capitulación hubo temas que no tenía nada de noción acerca de ellos y se tuvo que recurrir a algunos profesores para disipar dudas e inquietudes así como obtener explicaciones que salían fuera de mi alcance; pero que al final al hacer una retroalimentación se pudo conseguir la comprensión de los mismos. Es muy recreativo cuando se explora un panorama antes visto y se logra comprender el mecanismo de funcionamiento y su manera de aplicarlo. De mi parte quedo satisfecho al efectuar este pequeño trabajo el cual estoy seguro que servirá a futuras generaciones y en general a personas que dentro del ramo de la construcción quieran abarcar este tipo de obras y no tengan una visión clara de dónde iniciar analizar una estructura de esta magnitud puedan y sepan cómo realizarlo, es la intención que como autor de este escrito que me permito darme ese gusto de retribuir aunque sea una parte pequeña a la gran comunidad que me dio mucho y con la cual estoy infinitamente agradecido y con las ganas de posteriormente que este trabajo de pie a nuevas búsquedas de temas similares para poder desarrollarlos y ayudar a más personas.

Dentro de los capítulos antes señalados puedo concluir que se buscó la manera más sencilla de explicarlos y tratar de llevarlos paso a paso para su completa comprensión, sin lugar a dudas se abarcaron otros que apoyarían a la comprensión del análisis estructural que aquí se pretende difundir y que posiblemente si no se hubieran incluido sería un poco más complejo su entendimiento, así pues es como me atrevo a relacionar e hilar algunos capítulos con otros para que se disipen las mayores dudas posibles las cuales yo como estudiante tuve alguna vez, y creo que por ahí está la llave del entendimiento, puesto que a veces si no tenemos ejemplos que nos lleven de la mano nos resulta difícil comprender algunas situaciones si no se nos lleva de la mano por un camino seguro y que nos lleve a la solución de nuestro problema.

Solamente me queda el despedirme y ratificar que este trabajo me dio la oportunidad de comprender que simplemente se necesita un conocimiento previo matemático para realizar cualquier tipo de análisis estructuralmente hablando que es lo que nos compete, porque muchas veces creemos que si contamos



VII

con las herramientas suficientes para atacar cualquier tipo de situación y solo cuando se nos presenta algo complejo, es cuando nos damos cuenta de que no es así. Así que invito a cualquier persona que está repasando estas líneas que aparte de tomar este texto como un complemento para disipar algunas dudas es importante la instrucción matemática adecuada y tener conocimientos previos en estática y un poco de análisis estructural para poder atacar de manera más uniforme lo que se ha tratado de aterrizar aquí, inclusive hay una conciencia en la que se sabe faltan mucha información por incluir que posteriormente se planea enfocar en otro volumen y tratar de llegar a una edición pública para lograr su difusión en otras escuelas y entidades, aún con todo lo anterior estamos en la plena disposición de tener un acercamiento personalizado si hay alguna situación que no se haya podido plasmar de una manera concreta o que quede de manera confusa así como también la recepción de comentarios y ayuda para que este trabajo pueda ser ampliado y completado en un futuro. Sin más que decir concluyo que hay muchas aplicaciones en las cuales los arcos han derivado a través de la historia innumerables tipos de edificaciones y que a un futuro que ya se está vislumbrando hay posibilidades de crear colonias espaciales a través de este tipo de estructuras es por ello que no deben, ni deberán quedadas en el olvido estructuras tan maravillosas como lo es el Arco.



VIII

RECOMENDACIONES Como ya se ha hecho mención lamentablemente no se pudieron abarcar temas y metodologías tanto de análisis como diseño para que este trabajo quedara de una manera más completa, en muchas ocasiones la falta de tiempo, en otras la falta de comprensión que llevaría a nuevas líneas de investigación para poder captar y plasmar el significado de temáticas más complejas, pero hasta ahora se creó un texto en el cual se recomienda basarse para entender la fundamentación por la cual parte la construcción de estructuras en arco, en unas páginas subsecuentes se coloca una bibliografía que también puede servir de valioso apoyo para complementar este trabajo, así mismo al entender de manera completa el mensaje que se difunde por este medio es posible tomar algún otro tipo de libro y captar más fácilmente su contenido que si no se haya hecho previamente, posiblemente se encuentren libros con ejemplos y casos que no se abarcaron en esta tesis, pero para estos faltantes recomiendo libros de análisis estructural que retomen el tema del trabajo mínimo aplicado a estructuras en arco, hay algunos otros que utilizan métodos gráficos y que planteo retomar en un volumen complementario de manera futura para que logre atacar en mayor parte el cometido de esta publicación. También se recomiendan libros de Cálculo vectorial, Cálculo Integral y aquellos en los que matemáticamente complementen las posibles dudas que surjan de lo planteado aquí. Se trató de ejemplificar y simplificar lo más posible el contenido a razón de tener las menores dudas posibles al momento de realizar una consulta ya que como parte del objetivo es hacer lo menos engorroso la comprensión del mismo para no tener que hacer simultaneas consultas a varias fuentes, esperamos que con estas breves recomendaciones se logre atacar de una manera más amplia el objetivo primordial de esta publicación.



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BIBLIOGRAFIA

I. AENOR Asociación Española de Normalización y Certificación. Euro código (Normas UNE) (2003). Acciones en Estructuras EN 1991-1-1. Madrid, España.

II. AENOR, Asociación Española de Normalización y Certificación. Euro código (Normas UNE) (1998). Bases de Proyecto y Acciones en Estructuras ENV 1991-2-6. Madrid, España.

III. AENOR, Asociación Española de Normalización y Certificación. Euro código (Normas UNE) (2002). Bases para el Cálculo de Estructuras EN 1992 Madrid, España.

IV. Carmona González Carlos J., García Carbajal Julio, Olvera Montes Alfonso E. (2001). Introducción al Análisis de Estructuras

Isostáticas. Instituto Politécnico Nacional. Distrito Federal, México.

V. Flores Ruiz José Luis (2008). Apuntes de Estructuras Especiales de Concreto. Inédito, Distrito Federal, México.

VI. Gaceta Oficial del Distrito Federal (2004). Normas Técnicas Complementarias para el Reglamento de Construcciones del Distrito Federal. Diseño por Sismo. Distrito Federal, México.

VII. Gaceta Oficial del Distrito Federal (2004). Normas Técnicas Complementarias para el Reglamento de Construcciones del Distrito Federal. Diseño por Viento. Distrito Federal, México.

VIII. Gaceta Oficial del Distrito Federal (2004). Normas Técnicas Complementarias para el Reglamento de Construcciones del Distrito Federal. Para el Proyecto Arquitectónico. Distrito Federal, México.

IX. Gaceta Oficial del Distrito Federal (2004). Normas Técnicas Complementarias para el Reglamento de Construcciones del Distrito Federal. Sobre criterios y acciones para el diseño estructural de las edificaciones. Distrito Federal, México.

X. Gaceta Oficial del Distrito Federal (2004). Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal. Distrito Federal, México.

XI. Heinen (1986). Estructuras. Proyección y Ejecución Editorial, S.A. de C.V. Distrito Federal, México.

XII. Moreno García F. (1980). Arcos y bóvedas. Ediciones CEAC S.A. de C.V., Monografías sobre Construcción y Arquitectura. Barcelona, España.

XIII. Leontovich Valerian (1967). Pórticos y Arcos “Soluciones condensadas para el análisis estructural”. CECSA, Compañía Editorial Continental S.A. Distrito Federal, México.

XIV. Lizárraga M. Ignacio (1990). Estructuras Isostáticas. Mc Graw Hill. Distrito Federal, México.

XV. Rodolfo Adrián Romero Baños (1988). Tesis Profesional “Diseño de arcos de Concreto Armado”. Inédito, Biblioteca del

Instituto Politécnico Nacional en la Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (Unidad Zacatenco). Distrito Federal, México.



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OTRAS REFERENCIAS

a. Arco techo (2005). Folleto arco techo, S.A de C.V. http://www.arcotecho.com.mx/

b. History Chanel (2008). Historia de los arcos. Maravillas Modernas.

Arquitecturahoy.com

c. Mec fun net (2000). Estática gráfica. Mec fun net (2000) http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/nematostatica/arcprob/eg.html

d. Santiago Pérez, Fadón Martínez (2005). Arcos: evolución y tendencias futura, Revista de Obras Públicas. Ciencia y Técnica de la Ingeniería Civil.

http://ropdigital.ciccp.es/public/detalle_articulo.php?registro=18394 e. Wikipedia la enciclopedia libre (2009). Arco (arquitectura).

http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(arquitectura)

f. Wikipedia la enciclopedia libre (2010). Bóveda. http://es.wikipedia.org/wiki/B%C3%B3veda

g. Wikipedia la enciclopedia libre (2010). Catenaria. http://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria

h. Wikipedia la enciclopedia libre (2009). Cúpula.


i. Wikipedia la enciclopedia libre (2009). Polígono funicular. http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%BApula

Nota: Algunas imágenes y textos se tomaron tal cual de la fuente original y solamente se muestran de manera informativa ya que las obras corresponden con todos sus derechos a su respectivo autor.

http://www.arcotecho.com.mx/

http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/nematostatica/arcprob/eg.html

http://ropdigital.ciccp.es/public/detalle_articulo.php?registro=18394

http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(arquitectura)

http://es.wikipedia.org/wiki/B%C3%B3veda





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INDICE DE FIGURAS

Pagina Fig.1 Arcos de Sansánidas, Irán 400 A. C.) 1 Fig.2 Falso arco con piedras en voladizo. 1 Fig.3 Puente Romano de Mérida, España. 2 Fig.4 Puente medieval en Frías, Burgos. 2 Fig.5 Puente de la Concordia, París, 31m, J.R. Perronet 5 Fig.6 Acueducto de Segovia, España 3 Fig.7 Coliseo Romano, Roma 3 Fig.8 Panteón de Agripa, Roma 3 Fig.9 Torre Eiffel, París Francia 4 Fig.10 Torre inclinada de Pisa, Italia 4 Fig.11 El Taj Mahal a orillas del río Yamuna, India 5 Fig.12 Arcos ojivales abadía de Bolton (siglo XII), North Yorkshire, Inglaterra. Arco arquitectónico, cocina de casa habitación.

6

Fig.13 Templo Expiatorio de la Sagrada Familia, Barcelona, España. Arcos bajo la cubierta de la Casa Milá, Barcelona, España.

6

Fig.14 Partes de un arco de piedra 8 Fig.15 Polígono funicular de un arco considerando que el centro de gravedad de cada dovela se encuentra en su circunferencia media con excepción de la clave que se aproxima al tercio de la circunferencia (“ F ” es el peso de cada dovela).

9

Fig.16 Tipos de pandeo en arcos 10 Fig.17 Puente Romano de Alcántara, Río Tajo, España, diseño de arcos circulares. 11 Fig.18 Vidrieras de Sainte Chapelle, Palacio de Justicia, 12 Fig.19 Catedral de Chillán, Provincia de Ñuble, Chile. 12 Fig.20 Catedral de Siena, Siglos XII y XIV, Italia. 13 Fig.21 Cooperativa Agrícola de Rocafort de Queralt, Catalunya, España. 13 Fig.22 Arco Circular Peraltado. 14 Fig.23 Arco de Herradura. 14 Fig.24 Arco Circular Rebajado. 14 Fig.25 Arco Ojival Apuntado 15 Fig.26 Arco Ojival Rebajado. 15 Fig.27 Arco Catenario 15 Fig.28 Arco Carpanel 15 Fig.29 Arco Conopial. 16 Fig.30 Arco Peraltado apuntado 16 Fig.31 Arco Flamígero 16 Fig.32 Arco Escocés 17 Fig.33 Arco de Gola 17 Fig.34 Arco Escocés 17 Fig.35 Arco Trebolado 17 Fig.36 Arco Multibolado. 18 Fig.37 Arco Polibolado 18 Fig. 38 Tipos de apoyo 22 Fig.39 Ejemplo de Sistema de apoyos y cargas en un marco Isostático 24 Fig.40 Sistema de fuerzas en la barra AB del marco analizado. 24 Fig.41 Sistema de fuerzas en la barra BC del marco analizado. 25 Fig.42 Sistema de fuerzas en la barra CD del marco analizado 26 Fig.43 Sistema de Fuerzas en el nodo B del marco analizado 26 Fig.44 Sistema de Fuerzas en el nodo C del marco analizado. 26 Fig.45 Ejemplo de Sistema de apoyos y cargas en un marco Hiperestático. 28 Fig.46 Sistema de Fuerzas de los elementos del marco hiperestático analizado 28 Fig.47 Ejemplo de Sistema de apoyos y cargas en un marco Hipostático. 30 Fig.48 Sistema de Fuerzas de los elementos del marco hipostático analizado. 31 Fig.49 Arco triarticulado 33 Fig.50 Arco empotrado en un extremo y volado en el otro 33 Fig.51 Arco doblemente empotrado con una articulación 34



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Fig.52 Arco biarticulado (apoyos fijos) en los extremos. 34 Fig.53 Arco doblemente empotrado 35 Fig.54 Representación de coordenadas rectangulares y polares 36 Fig.55 Ejemplo de coordenadas 37 Fig.56 Coordenadas polares y rectangulares 37 Fig.57 Según el punto de referencia es como se puede medir un ángulo 38 Fig.58 Coordenadas polares EN UN PLANO X-Y 39 Fig.59 Representación de una proyección de un vector A sobre un vector B. 40 Fig.60 Representación de una proyección vectorial cuando es negativa. 40 Fig.61 Descomposición de fuerzas de un vector, a su vez un vector unitario cortante y uno normal en un punto P a lo largo de una circunferencia.

41

Fig.62 Aplicación del teorema de Pitágoras con el vector unitario cortante 42 Fig.63 Representación de la descomposición de fuerzas y las funciones que representan sus coordenadas en su eje respectivo

43

Fig.64 Vectores y distancias a considerar para el análisis de un arco circular en cualquier punto P a lo largo de una circunferencia.

45

Fig.65 Imágenes que representan las fuerzas que actúen el punto P del arco en el ejemplo anterior. a)Vector unitario del cortante y de fuerza normal en el punto P, b)Localización del vector normal tomando como origen el centro de la circunferencia, c)Localización del vector cortante tomando como origen el centro de la circunferencia.

46

Fig.66 Arco circular con carga horizontal en extremo izquierdo 46 Fig.67 Tramo (CD) ̂por analizar del arco circular 47 Fig. 68 Reacciones verticales y Horizontales del ejercicio analizado 47 Fig. 69 Análisis del tramo (AB) ̂para el cálculo de elementos mecánicos 48 Fig.70 a) Circulo que nos permite visualizar como quedan nuestras funciones trigonométricas para nuestro análisis, b) Triangulo para definir el Teorema de Pitágoras.

48

Fig.71Diagrama de cuerpo libre, Corte del punto “A” a un punto antes del punto “C” para calcular elementos mecánicos.

49

Fig.72 Diagrama de Momentos 54 Fig.73 Diagrama de Cortantes 54 Fig.74 Diagrama Normal 55 Fig.75 Ejemplo de arco Parabólico triarticulado 57 Fig.76 Reacciones en arco parabólico 58 Fig.77 Tomando como eje de referencia y origen en punto B 58 Fig.78 Sección (AB) ̂ del arco parabólico 59 Fig.79 Determinación de las funciones sen y cos para este caso particular 59 Fig.80 Vector unitario del cortante a la izquierda de la sección 61 Fig.81 Vector unitario del cortante 62 Fig.82 Diagrama de Fuerza Normal del arco parabólico con carga uniforme 63 Fig.83 Ejemplo de cómo actúa el coceo en un arco: a) fuerzas de coceo que tienden a abrir el arco, b) tensor que impide la apertura de este mismo

64

Fig.84 Ejemplo de arco elíptico con carga uniformemente repartida y carga puntual al centro 65 Fig.85 Valor de las reacciones obtenidas en el ejemplo calculado. 66 Fig.86 Sección del arco elíptico en el primer intervalo analizado 67 Fig.87 Sección del arco elíptico del segundo intervalo analizado. 68 Fig.88 Diagrama de Momento del arco elíptico analizado. 70 Fig.89 Diagrama de Cortante del arco elíptico analizado. 70 Fig.90 Diagrama de Normal del arco elíptico analizado. 71 Fig.91 Notaciones para el diseño de un arco parabólico 103 Fig.92 Esquema representativo del puente en arco considerado 104 Fig.93 Diagrama que ejemplifica nuestro sistema de cargas y apoyos para efectuar el método de cross. 105 Fig.94 Diagrama que nos permite observar la concentración de cargas de nuestras columnas. 106 Fig.95 diagrama de cuerpo libre que nos muestra nuestro sistema en cuestión, un arco biarticulado con tres cargas puntuales

107

Fig.96 Diagrama del arco que nos permite observar nuestros elementos mecánicos últimos, en el centro y en los extremos

108

Fig.97 Carga uniformemente distribuida representada en la longitud del arco. 109 Fig.98 Aquí podemos observar el valor de la Un ultima para nuestro sistema. 110



XIII

Fig.99 Elementos mecánicos últimos para nuestro sistema analizado y que consideraremos para nuestro armado

111

Fig.100 Armado de la sección de nuestro arco previamente diseñado. 113 Fig.101 Pandeo del arco trarticulado 114 Fig.102 Pandeo del arco Biarticulado 114 Fig.103 Pandeo del arco de una articulación 114 Fig.104 Pandeo del arco empotrado 115 Fig.105 Tipo más común de arco en nave industrial 116 Fig.106 Trazo del tipo más común de arco en naves industriales 116 Fig.107 Conocida la carga (W), así como la geometría general del arco, podemos obtener los elementos mecánicos de diseño.

118

Fig.108 Reacciones vertical y horizontal de este caso 118 Fig.109 Representación en planta de la cubierta en arco analizada. 119 Fig.110 Vista isométrica de nave industrial en arco 120 Fig.111 Corte de nave industrial en arco 120 Fig.112 División del arco analizado en sectores para su diseño 121 Fig.113 Sección propuesta para la armadura en arco. 123 Fig.114 Detalle de elementos en armadura de arco. 126 Fig.115 Vista en planta de los elementos de la cubierta 126 Fig.116 Detalle de armadura 127 Fig.117 Diagrama de cortante VD 128 Fig.118 Diseño de diagonales 128 Fig.119 Detalle de diseño de armadura 129 Fig.120 Sección que muestra el armado de columna diseñada 132 Fig.121 Diagrama que muestra el diagrama de presiones de la zapata aislada en cuestión. 133 Fig.122 Diagrama de flexión de un extremo de la zapata aislada 133 Fig.123 Diagrama de cortante a d=23 cm en el extremo de la zapata. 134 Fig.124 Diagrama de cortante perimetral d/2 (12 cm). 135 Fig.125 Diagrama para verificación de adherencia en el miembro diseñado 135 Fig.126 Esquemas representativos de los armados definitivos de las zapatas aisladas. 136 Fig.127 Techo sin estructura con su dimensión máxima que nos permite una facilidad de trabajo y nos evita dificultades constructivas.

137

Fig.128 Esquema de una cubierta tipo membrana 138 Fig.129 Esquema de membrana semicircular 138 Fig.130 Representación a detalle de cómo se fija el sistema en sus apoyos. 140 Fig.131 Representación a detalle de la techumbre de lámina galvanizada con sus elementos 141 Fig.132 Esquema representativo de sujeción de la techumbre y del tubo colector de aguas pluviales. 142 Fig.133 Esquema de sujeción de la techumbre de doble claro sobre un muro y su tubería pluvial. 143 Fig.134 Detalle de arco techo desplantado desde nivel de terreno ahogado en una dala o trabe. 144 Fig.135 Representación de la carga cuando actúa el peso propio de la lámina + carga viva de 40 kg/m2 ( valores positivos que se indican )

145

Fig.136 Representación de la carga cuando actúa viento transversal o viento longitudinal ( valores negativos que se indican )

145

Fig.137 Esquema que representa la viga de soporte y los posibles ángulos que se pueden efectuar sin que causen riesgos al diseño.

146

Fig.138 Cuerda que nos sirve para establecer el ángulo de la viga de soporte. 147 Fig.139 Mapa de zonas eólicas de la República Mexicana 149 Fig.140 Esquema que nos muestra las dimensiones de relación de un arco 151 Fig.141 Dimensiones consideradas para el diseño del arcotecho 155 Fig.142 Representación de las cargas actuantes en el sistema de arco techo. 156 Fig.143 Trazo de arco adintelado. 158 Fig.144 Trazo de arco rectilíneo o angular 159 Fig.145 Trazo de arco angular truncado 160 Fig.146 Trazo de arco poligonal o afacetado 161 Fig.147 Trazo de arco en Zig-Zag. 162 Fig.148 Trazo arco de medio punto o redondo 163 Fig.149 Trazo de arco rebajado o de segmento 164 Fig.150 Trazo de arco escarzano 165



XIV

Fig.151 Trazo de arco de herradura 166 Fig.152 Trazo de arco elíptico (secuencia) 167 Fig.153 Trazo de arco elíptico (secuencia) 168 Fig.154 Trazo de arco elíptico (secuencia) 169 Fig.155 Trazo de arco apuntado 170 Fig.156 Trazo de arco carpanel 171 Fig.157 Trazo de arco carpanel de cinco centros 172 Fig.158 Trazo de arco carpanel de siete centros 173 Fig.159 Trazo de arco carpanel de nueve centros. 174 Fig.160 Trazo de arco tranquil 175 Fig.161. Trazo de arco deprimido cóncavo 176 Fig.162 Trazo de arco deprimido convexo 177 Fig.163 Trazo de arco georgiano 178 Fig.164 Trazo de arco ojival apuntado 179 Fig.165 Trazo de arco ojival lenceteado 180 Fig.166 Trazo de arco ojival rebajado 181 Fig.167 Trazo de arco ojival quebrado 182 Fig.168 Trazo de arco tumido 183 Fig.169 Trazo de arco ojival quebrado. 184 Fig.170 Trazo de arco tudor español 185 Fig.171 Trazo de arco agudo. 186 Fig.172 Trazo de arco tudor inglés 187 Fig.173 Trazo de arco conopial 188 Fig.174 Trazo de arco flamígero 189 Fig.175 Trazo de arco festonado convexo 190 Fig.176 Trazo del arco escocés 191 Fig.177 Trazo de arco de gola 192 Fig.178 Trazo de arco festoneado cóncavo 193 Fig.179 Trazo de arco trebolado 194 Fig.180 Trazo de arco multibolado 195 Fig.181 Trazo de arco angelado o polibolado 196 Fig.182 Trazo de arco florentino 197 Fig.183 Trazo de una curva catenaria en el eje coordenado y su tabulación 200



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INDICE DE TABLAS

Pagina Tabla 1 Relación entre las incógnitas y el número de ecuaciones que se determinaron en cada elemento de la estructura Isostática.

27

Tabla 2 Relación entre las incógnitas y el número de ecuaciones que se determinaron en cada elemento de la estructura Hiperestática

29

Tabla 3 Relación entre las incógnitas y el número de ecuaciones que se determinaron en cada elemento de la estructura Hipostática.

31

Tabla 4 Valores de V, N y M representados para cada ángulo dado y a manera de simplificar el análisis. 53 Tabla 5 Tabulación de N en cuanto un valor X para obtener su respectivo diagrama. 63 Tabla 6 Valores tabulados correspondientes a la N, V y M respectivamente para ángulos determinados de un arco Elíptico

69

Tabla 7 Parámetros a considerar dentro de la vida útil de las estructuras medida en años dependiendo el tipo de estructura

75

Tabla 8 Valor de las sobrecargas según las normas UNE tomando en cuenta su división por categorías. 101 Tabla 9. Análisis de cargas de la fig. 92 agregando carga adicional por reglamento del DF 104 Tabla 10. Análisis de cargas de la fig. 92 agregando carga adicional para carga viva(Wcv), carga accidental (Wa) y carga muerta (Wm) según reglamento del DF.

105

Tabla 11. Análisis de viga de la Fig. 93 por el método de Cross para obtener nuestras reacciones y así proseguir el diseño del arco

106

Tabla 12 Relación f/L (flecha/Luz o Longitud) para determinar el peso propio del arco. 109 Tabla 13 Valores de α y β para diferentes tipos de apoyo en arcos 115 Tabla 14 Tabulación que nos permite de manera práctica conocer las longitudes tanto de X como de Y de una manera práctica a lo largo de nuestra sección

117

Tabla 15. Obtención de manera práctica de la longitud neta del arco. 117 Tabla 16. Obtención de la inclinación de manera práctica y aproximada. 117 Tabla 17. Tabulación de división del arco en 10 puntos para formar dovelas y sus respectivos coeficientes para una longitud y un ángulo determinado

122

Tabla 18. Tabulación de diseño del arco dependiendo su claro y la carga del viento tanto transversal como longitudinal

145

Tabla 19. Tabla de velocidades regionales 148 Tabla 20. FLECHA % RESPECTO AL CLARO DEL ARCO ( f /L en mts.) 150 Tabla 21 TABLA CALIBRES KILOS X METRO LINEAL DE LAMINA 151 Tabla 22 TABLA DE PESOS TEORICOS X M2 DE LAMINA 151 Tabla 23 ALTIPLANO NORTE, VEL.VIENTO 90 KM/H ZONA EOLICA : 1 % DE LA FLECHA RESPECTO AL CLARO 152 Tabla 24 PACIFICO NORTE, VEL. VIENTO : 125 KM/H ZONA EÓLICA: 2 % DE LA FLECHA RESPECTO AL CLARO 152 Tabla 25 ALTIPLANO NORTE, VEL.VIENTO 115 KM/H ZONA EOLICA : 3 % DE LA FLECHA RESPECTO AL CLARO 153 Tabla 26 COSTA DEL GOLFO Y PENINSULA DE YUCATAN, VEL. VIENTO : 160 KM/H ZONA EÓLICA: 4 % DE LA FLECHA RESPECTO AL CLARO

153

Tabla 27 ALTIPLANO SUR-CHIAPAS, VEL.VIENTO 80 KM/H ZONA EOLICA : 5 Y 7 % DE LA FLECHA RESPECTO AL CLARO

154

Tabla 28 ALTIPLANO NORTE, VEL. VIENTO : 150 KM/H ZONA EÓLICA: 6 % DE LA FLECHA RESPECTO AL CLARO 154 Tabla 29 Tabulación de la gráfica para del trazo del arco catenario 199



XVI

INDICE DE EJEMPLOS

Pagina Ejemplo 1. Para mejor entendimiento de lo expuesto, enseguida ilustraremos con un ejemplo aplicado a un marco con apoyo fijo en un extremo y apoyo móvil en la otro, fig. 39.

24

Ejemplo 2. EJEMPLO 2. Al quedar comprendido el ejemplo anterior, ahora veremos cómo cambiando el sistema de apoyos nos dará un resultado diferente. A continuación se analizará la estructura que se muestra en la fig. 44 considerando ahora apoyos fijos en el nodo A y D.

28

Ejemplo 3. Con base en lo anterior, únicamente se ha analizado la relación que existe entre las incógnitas y el número de ecuaciones de equilibrio estático en dos casos cuando I = Ey cuando I > E. En consecuencia ¿cuál será la definición de una estructura cuando: E > I? Para ello consideremos el siguiente ejemplo:

30

EJEMPLO 4: Graficar P(6, 40o) 37 Ejemplo 5. Hallar las coordenadas Polares de P (3, 4), ( (X,Y) respectivamente). 39 Ejemplo 6. Calcular la proyección de A ⃗ = 2i ̂+ j ̂- k ̂ sobre B ⃗ = i ̂ - j ̂+ 3k ̂ 41 Ejemplo 7.Teniendo el arco circular triarticulado que se muestra en la Fig. 66 encontrar los diagramas de los elementos mecánicos.

46

Ejemplo 8. Consideremos el arco triarticulado en forma de parábola que se muestra, soportando una carga vertical uniformemente distribuida en todo su claro. ( Fig. 75).

57

Ejemplo 9. Consideramos a continuación un arco elíptico cuyo claro es mayor que su peralte, soportando una carga uniformemente repartida a lo largo de todo el claro con sus apoyos articulados, además de poseer una articulación en su clave donde soporta una carga concentrada.( Fig. 84).

65

Ejemplo 10. Diseñar un arco parabólico peatonal, estructura del grupo A, ancho = 2.0 m y claro =20 m, una flecha f= 9.0m. Concreto f´c= 250 Kg/cm2, clase 1, acero fy=4200 kg/cm2.

104

Ejemplo 11. El tipo más común de arcos parabólicos en cubierta son: 116 Ejemplo 12. Que es necesario para diseñar una cubierta. 155 Ejemplo 13. Aplicación de curva catenaria 199



ANEXOS



Anexo A. Diagramas y ecuaciones para distintos tipos de cargas en arcos (extraídos del libro de Valerian Leontovich).

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