Tesis: Propuesta metodol´ogica para un curso introductorio...

Tesis: Propuesta metodologicapara un curso introductorio deSistemas dinamicos discretos.

Hermelinda Servın Campuzano

Abril 2008

Indice general

Resumen I

Introduccion III

Justificacion V

Objetivos XV

1. Conceptos basicos 1

1.1. Sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1. Definiciones elementales de sistemas dinamicos . . . . . 7

2. Dinamica de la funcion cuadratica 11

2.1. Analisis grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Orbitas de la funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1. Analisis de los puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2. Puntos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Analisis de la funcion fc(x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Orbitas periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Diagrama de bifurcacion 45

3.1. Analisis para −2 < c < 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Doblamiento del periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3. Analisis para c = −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Autosimilaridad 61

4.1. Familia cuadratica de dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.1. Sistemas dinamicos complejos . . . . . . . . . . . . . . 664.1.2. Conjunto de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.1.3. Conjunto de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.1.4. El metodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . 714.1.5. Metodo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Recomendaciones 77

3

4 INDICE GENERAL

Conclusiones 79

I Apendices 81

Practicas 83

A Orbitas de la funcion cuadratica 85

B Puntos periodicos 89

C Orbitas periodicas 91

D Bifurcacion 93

E Diagrama de bifurcacion 95

F Conjunto de Mandelbrot 99

G Conjunto de Julia 103

H Metodo de Newton-Raphson 107

I Metodo de la secante 111

Bibliografıa 117

Indice de figuras

1. Ubicacion esquematica de la asignatura Temas Selectos de Ma-tematicas II, del bachillerato general . . . . . . . . . . . . . . vi

1.1. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Teorema del valor intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Punto fijo unico de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Puntos fijos: Los puntos de la interseccion que se muestran en

la grafica corresponden a los puntos fijos. . . . . . . . . . . . . 10

2.1. Grafica de fc(x) = x2 + c cuando c = 0 . . . . . . . . . . . . . 162.2. Grafica de fc(x) = x2 + c cuando c > 0 . . . . . . . . . . . . . 162.3. Grafica de fc(x) = x2 + c cuandoc < 0 . . . . . . . . . . . . . 162.4. Grafica de la funcion f(x) = x2, primer paso. . . . . . . . . . . 172.5. f(x) = x2 y y = x, segundo paso. . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Se une x0 con q1 un segmento, tercer paso. . . . . . . . . . . . 182.7. Se obtiene q2, cuarto paso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8. Se obtiene de q3, quinto paso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.9. Grafica de como se obtienen los qi, paso n. . . . . . . . . . . . 202.10. Obtencion de los puntos de la orbita de x2 + 1 mediante el

metodo del analisis grafico, con x0 = 1 y c = 1. . . . . . . . . . 222.11. Metodo grafico para analizar los puntos qi. . . . . . . . . . . . 232.12. Las intersecciones de las graficas muestran los puntos fijos. . 252.13. Cuando c es mayor que 1

4, las graficas nunca se intersectan y

todas sus orbitas tienden al infinito. . . . . . . . . . . . . . . . 262.14. Cuando c = 1

4se tiene un unico punto fijo en x = 1

2y las

orbitas de los puntos muy cercanos a 0 y menores que 14

tiendenal punto fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.15. Cuando c es menor que 14

se tienen dos puntos fijos y el com-portamiento de las orbitas ya no es predecible. . . . . . . . . . 28

2.16. Puntos fijos atractores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.17. Puntos fijos repulsivos, los puntos de las orbitas tienden a

alejarse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.18. Punto eventualmente fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5

6 INDICE DE FIGURAS

2.19. Cuando c es menor que 14

existe una variedad de puntos fijos:Atractores, repelentes, periodicos, eventualmente periodicos,etcetera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.20. Analisis grafico de f(x) = x2, cuando x0 esta muy cerca dex = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.21. Analisis grafico de f(x) = x2 cuando x0 es menor que uno. . . 332.22. Analisis grafico de f(x) = x2 cuando x0 es mayor que uno. Con

el analisis grafico se observa que efectivamente, las orbitas def(x) = x2 tienden al infinito cuando x0 es mayor que uno. . . 34

2.23. Una funcion de cuarto grado puede llegar a tener hasta cuatropuntos fijos (puntos de interccion), es decir, puntos de periododos de fc(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.24. f(x) = ax8 + bx7 + cx6 + dx5 + ex4 + fx3 + gx2 + hx + i:Una funcion de octavo grado puede llegar a tener hasta ochopuntos fijos o puntos periodicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.25. Los puntos de interseccion muestran los puntos fijos y pun-tos periodicos. La interseccion de las graficas de las funcionesf(x) = x (lınea recta inclinada a 45 grados) y f(x) = x2 − 1(parabola), muestra los dos puntos fijos. La interseccion de lasgraficas de las funciones f(x) = x y f(x) = (x2−1)2−1 = f 2

−1

muestra los cuatro puntos periodicos. . . . . . . . . . . . . . . 392.26. Orbitas periodicas de periodo dos de la funcion f−1 = x2 − 1;

mediante el analisis grafico. Las orbitas de −1 y el 0 son orbitasperiodicas y las orbitas que se encuentran entre los puntos P−y P+ oscilan entre −1 y 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.27. Orbita periodica cuando c=1.1 y x0 = −0.661894977. . . . . . 412.28. Orbita periodica cuando c=1.3 y x0 = 0.241619542. . . . . . . 41

3.1. Esta figura corresponde a la grafica formada por los puntos delas orbitas atractoras (eje ” y ”) de fc(x) = x2 + c, con x0 = 0;contra el parametro c (eje ” x ”) de −2 < c < 1

4. . . . . . . . 46

3.2. Diagrama de bifurcacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. Bifurcacion de nodo-silla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Comportamiento de fc y fn

c con −34

< c < 14. . . . . . . . . . . 51

3.5. Bifurcacion de doble periodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6. Cuando c pasa de −3

4a −5

4, aparece una nueva orbita de pe-

riodo dos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7. Cuando c = −1.5 f 4

c (x), dobla su periodo. . . . . . . . . . . . 543.8. Las graficas tienen exactamente 2n puntos fijos (intersecciones)

para cada n cuando c = −2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.9. Graficas de fn

c (x0), que muestran 2n puntos fijos para cada n. 563.10. El diagrama de bifurcacion, esta formado por los puntos pe-

riodicos atractores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

INDICE DE FIGURAS 7

4.1. Autosimilaridad en el diagrama de bifurcacion. . . . . . . . . . 614.2. Autosimilaridad en el diagrama de bifurcacion. . . . . . . . . . 624.3. Autosimilaridad de una hoja de helecho y fractales que se pue-

den incontrar en internet, tanto generados por un algoritmomatematico o simplemente que se encuentran en la naturaleza. 63

4.4. Fractales encontrados en internet. . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5. Representacion grafica de los numeros complejos. . . . . . . . 644.6. Suma de numeros complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7. Conjunto de Mandelbrot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.8. Conjunto de Mandelbrot, cambiando colores. . . . . . . . . . . 684.9. Conjunto de Mandelbrot, cambiando colores y haciendo acer-

camientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.10. Conjunto de Julia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.11. Conjunto de Julia, cambiando colores. . . . . . . . . . . . . . 704.12. Newton-Rapshon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.13. Newton-Raphson, cambiando colores . . . . . . . . . . . . . . 724.14. Metodo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.15. Metodo de la secante, cambiando colores. . . . . . . . . . . . . 744.16. Metodo de la secante, cambiando colores y acercamientos. . . 744.17. FRACTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8 INDICE DE FIGURAS

Indice de cuadros

2.1. Orbitas de f(x) = x2 para algunos valores de x0 muy cercanosa 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Los datos corresponden a los primeros puntos de la orbita def(x) = x2 con x0 < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3. Primeros puntos de las orbitas de f(x) = x2 cuando x0 > 1. . . 342.4. Puntos de las orbitas. Los puntos que resaltan son puntos pe-

riodicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1. Los numeros de la diagonal, representan los puntos periodicosde fn

c (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2. Raıces de fn

c (x) = x, n = 1, 2, 3, . . . 7 . . . . . . . . . . . . . 583.3. Raıces de fn

c (x) = x, n = 8, 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9

10 INDICE DE CUADROS

Resumen

El trabajo presente, es el resultado de una revision documental del tema

Sistemas dinamicos, un tema especıfico de matematicas avanzadas, el cual ha

sido revisado minuciosamente para exponerlo desde un punto de vista elemen-

tal, enfocado y propuesto como un curso introductorio de sistemas dinamicos,

enfocado principalmente estudiantes que cursan el ultimo semestre de nivel

medio superior o estudiantes que inician el nivel superior, pero que hallan

cursado el bachillerato fısico-Matematico. El curso propuesto esta sustenta-

do con los elementos de algebra y calculo elemental que se encuentran en los

contenidos en los programa de estudio del bachillerato general de la Subse-

cretaria de educacion media superior (DGC). Conforme avanza el trabajo se

introducen nuevos conceptos de sistemas dinamicos y algunos otros de pro-

gramacion. El conocimiento nuevo para los estudiantes, se introduce poco a

poco de forma logica, sistematica y dinamica. Esta tesis es una propuesta que

se hace con la finalidad de motivar e impulsar, ademas de proporcionarles a

los estudiantes, una vision mas amplia de: ¿que son?, ¿en donde? y ¿como?

se aplican las matematicas.

i

ii RESUMEN

Introduccion

Uno de los problemas mas severos que afronta cualquier institucion edu-

cativa, es el de la gran cantidad de estudiantes que no les gustan los cursos

relacionados con las ciencias basicas, y que estan basados principalmente en

las matematicas. Tal pareciera que se trata de una epidemia, que no solo se

contagia, sino que se transmite de generacion en generacion. Existen muchos

trabajos en los cuales se cuestiona este tipo de problemas, pero que real-

mente se ha conseguido remediar muy poco. Se ha analizado muchas veces

los contenidos programaticos, su didactica y su aplicacion, y que al parecer,

es ahı donde radican varios problemas, uno de los mas importantes es el no

seguir adecuadamente una secuencia logica en los objetivos del aprendizaje,

otro problema que se ha podido observar en estos estudios (ver por ejemplo

[9]) es que los estudiantes no tienen la suficiente motivacion para estudiar

carreras relacionados con las matematicas, es por ello, que en el presente tra-

bajo se implementa de forma logica con la ambicion de buscar la motivacion

de los estudiantes.

Esta propuesta se puede implementar como un curso especial para el sex-

to semestre de nivel medio superior o primer semestre de nivel superior, es

un curso en donde se muestra una pequena parte de lo bello e interesan-

te que pueden ser las matematicas y en especial los ”sistemas dinamicos”,

ademas de que permite divulgar e informar en donde se puede aplicar las

matematicas, ya que no es comun para este nivel y que pudiese ser un te-

ma tan fuerte para que algunos estudiantes se inclinen un poco mas por las

matematicas. La propuesta pretende dar a conocer las nociones basicas so-

bre sistemas dinamicos, ası como, preparar el material didactico, como una

fuente mas de informacion, este tipo de informacion se encuentra en muchos

libros o en Internet pero seguramente en un lenguaje matematicamente so-

fisticado o de manera fragmentada, por lo cual, el material que se pone a

su disposicion, es tambien una sugerencia para alguien que no conoce mucho

iii

iv INTRODUCCION

de matematicas y que solo busca ideas de como abordar el tema sin tener

que manejar conceptos demasiado abstractos. Se muestra, como a partir del

conocimiento matematico basico de nivel medio superior, se puede construir

el conocimiento de sistemas dinamicos de una forma simple y natural. Se

pretende que este curso sea uno de los temas, que se pudiese implemetar de

los Temas Selectos de Matematicas, que se incluyen en los programas de las

materias optativas en los ultimos semestres de varios subsistemas de nivel

medio superior o un curso inicial de nivel superior, ası mismo, se pone a la

disposicion de cualquier docente familiarizado con nociones elementales de

calculo de una variable real.

Se ha seleccionado, como punto de estudio la funcion cuadratica, porque

de esta funcion se pueden obtener propiedades muy interesantes en cuanto a

sistemas dinamicos se refiere, y por otro lado, es una funcion con la que los

estudiantes, estan suficientemente familiarizados.

Se partira con una parametrizacion de la funcion cuadratica, haciendo un

analisis de ella, se iran introduciendo algunas definiciones intuitivamente y

repasando atras, ası como algunos conceptos basicos en sistemas dinamicos

que desde luego, no son parte en los contenidos de los programas a nivel medio

superior. Tales son los conceptos como orbitas, puntos fijos y bifurcaciones,

hasta llegar a fractales, se pretende que todos estos temas se aborden de

forma sencilla e intuitiva.

La tesis esta desarrollada en tres partes, una parte introductoria que

consta de la justificacion, los objetivos y la metodologıa de la propuesta, en la

segunda parte se muestra el material del curso propuesto y en la tercera parte

se muestran los resultados, el trabajo a futuro, los apendices y la bibliografıa.

Justificacion

En las ultimas decadas, el tema de ”sistemas dinamicos”ha tenido un auge

importante, con la llegada de las computadoras. Cientıficos de varias discipli-

nas han ayudado a desarrollar tecnicas geometricas y cualitativas al respecto,

y mas importante es el hecho de que han podido aplicar dichas tecnicas en

la solucion de una buena cantidad de problemas, en fısica, quımica, ecologıa

y economıa, principalmente.

La aplicacion de los sistemas dinamicos puede ser aun mas amplia, por

lo cual, resulta interesante su estudio. Desafortunadamente, el estudio de

estos temas de matematicas (en Mexico) se realiza casi exclusivamente en

cursos especiales a nivel licenciatura en matematicas o en cursos de posgrado,

salvo algunos proyectos ([5]) y libros de divulgacion ([7]). Es por ello, que

en el presente trabajo se busca empezar a introducir estos temas desde los

ultimos semestres de nivel bachillerato o inicio del nivel superior, usando

por supuesto, elementos de matematicas de acuerdo a dicho nivel. Adicional

a esto, para obtener los resultados deseados se requerira tambien, algunos

conocimientos de programacion basicos que les seran proporcionados, a traves

de ejemplos ilustrativos, en este mismo trabajo como parte de la propuesta.

La propuesta busca tener sustento bajo el modelo educativo actual. Donde

el aprendizaje en el modelo educativo actual es de caracter constructivista

y el profesor es un facilitador del conocimiento; el alumno debe aprender

de acuerdo al entorno que lo rodea. En este trabajo se hace de manifiesto,

ademas, la importancia del uso de equipos didacticos.

La rapida evolucion de la ciencia y la tecnologıa ha impulsado en el sis-

tema educativo del paıs la busqueda de programas, metodos y recursos, que

conlleven a elevar el nivel cultural y cientıfico de la poblacion, ası como incre-

mentar el numero de profesionistas en los campos cientıficos y tecnologicos.

Con la finalidad de brindar la formacion antes mencionada, se ha propuesto

la incorporacion de dos asignaturas: Temas Selectos de Matematicas I, para el

v

vi JUSTIFICACION

quinto semestre y Temas Selectos de Matematicas II para el sexto semestre,

en las cuales se muestran aplicaciones de las matematicas. Las asignaturas

mencionadas, pertenece al grupo disciplinario fısico matematico en las cuales

se puede introducir el tema de ”sistemas dinamicos”.

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Figura 1: Ubicacion esquematica de la asignatura Temas Selectos de Ma-tematicas II, del bachillerato general

El tema de ”sistemas dinamicos.en la asignatura de Temas Selectos de Ma-

tematicas II, o en un curso introductorio de nivel superior, es consecuente con

los contenidos de las asignaturas anteriores (referencia: planes y programas

de estudio de Colegio de Bachilleres del Michoacan):

Matematicas I

Programa:

Unidad I. Introduccion al Algebra.

Unidad II. Polinomios de una variable.

Unidad III. Ecuaciones de primer grado.

Unidad IV. Ecuaciones de segundo grado.

vii

Matematicas II

Programa:

Unidad I. Angulos y triangulos..

Unidad II. Polıgonos y circunferencia.

Unidad III. Las funciones trigonometricas.

Unidad IV. Las Leyes de Senos y Cosenos.

Matematicas III

Programa:

Unidad I. Sistema de ejes coordenados.

Unidad II. La lınea recta.

Unidad III. La circunferencia.

Unidad IV. La parabola.

Matematicas IV

Programa:

Unidad I. Relaciones y funciones.

Unidad II. Funciones polinomiales.

Unidad III. Funciones racionales.

Unidad IV. Funciones exponencial y logarıtmica.

Calculo diferencial

Programa:

Unidad I. Lımites.

Unidad II. La razon de cambio y la derivada.

Unidad III. Valores maximos y mınimos relativos y sus aplicaciones.

Temas Selectos de Matematicas I

Programa:

Unidad I Sistemas de Ecuaciones.

Unidad II Sistemas de Ecuaciones de 2◦ grado.

Unidad III Fracciones Parciales.

Unidad IV Induccion Matematica.

Unidad V Numeros Complejos.

Unidad VI Logaritmos.

viii JUSTIFICACION

A partir del sexto semestre los alumnos ya cuentan con los antecedentes

academicos necesarios, y de desarrollo cognitivo para el aprendizaje del tema

propuesto. El hilo conductor de todos los cursos del area de matematicas,

desde la perspectiva operativa es el algebra y los conectivos que les dan

secuencia, donde cada asignatura es la base de la inmediata superior. Con el

respaldo de las asignaturas mencionadas anteriormente se realizo el siguiente

programa, para el curso introductorio propuesto. El curso consta de cuatro

unidades como se muestra a continuacion:

Programa propuesto:

Unidad I Conceptos basicos.

Unidad II Dinamica de la funcion cuadratica.

Unidad III Diagrama de bifurcacion.

Unidad IV Autosimilaridad y fractales.

Propuesta metodologica

Clases teoricas. La preparacion del material, se ha hecho una revi-

sion bibliografica al respecto, es decir, se investigaron las asignaturas

anteriores e investigaron los contenidos de los programas, concluyen-

do que con los conocimientos previos, se espera obtener un dominio

adecuado de los contenidos teoricos mınimos necesarios para exponer

de manera clara e intuitiva, los conceptos fundamentales de sistemas

dinamicos, mediante una exposicion teorica frente al grupo por parte

del facilitador.

Practicas de laboratorio. Con el fin de que los estudiantes puedan

reproducir la mayor parte de lo publicado en este trabajo de tesis se

han elaborado programas de computadora (algoritmos) que son de facil

manejo y acceso , para que los estudiantes con ayuda del facilitador

realicen las practicas (ver la seccion de apendices).

Las actividades que se proponen en el trabajo son actividades guiadas por

el maestro, que consisten principalmente en: El uso de la calculadora, el ma-

nejo de software dinamico simple y el programar algunos algoritmos sencillos.

Para estas actividades se propone el uso de software libre, a continuacion se

explica la razon de esta eleccion.

ix

Software libre

Se ha considerado usar el software libre, debido a que: ”es el software

que, una vez obtenido, puede ser usado, copiado, estudiado, modificado

y redistribuido libremente”(Software libre, 2007), en adicion a que su

codigo de construccion esta abierto para cualquier proposito. La licencia

del software libre es denominada GNU-GPL que es una licencia creada

por la Free Software Foundation a mediados de los 80, y esta orienta-

da principalmente a proteger la libre distribucion, modificacion y uso

de software. Su proposito es declarar que el software cubierto por esta

licencia es software libre y protegerlo de intentos de apropiacion que

restrinjan esas libertades a los usuarios. ([13]). Esto implica que la ma-

yorıa del software libre es gratuito o de bajo costo en comparacion con

el software de algunas empresas comerciales. De modo mas preciso, el

software libre se refiere a cuatro libertades que poseen los usuarios del

software:

1. La libertad de usar el programa, con cualquier proposito.

2. La libertad de estudiar como funciona el programa, y adaptarlo a

las necesidades. El acceso al codigo fuente es una condicion previa

para esto.

3. La libertad de distribuir copias.

4. La libertad de mejorar el programa y hacer publicas las mejoras a

los demas, de modo que toda la comunidad informatica se benefi-

cie. El software libre esta disponible gratuitamente en Internet.

Breve historia del software libre

En 1985 Richard Stallman fundo la Free Software Fundation con el ob-

jetivo de crear y difundir el uso de programas libres, basados en que: el

software es una parte de la ciencia y como tal, debe ser compartido li-

bremente por toda la humanidad; los programas se pueden copiar, usar

y modificar sin mas restriccion que respetar su autorıa. Para ello, los

programas se distribuyen con el codigo fuente. El proyecto principal de

la Free Software Fundation es la creacion de un sistema operativo com-

patible con UNIX, pero totalmente libre. Este proyecto se llama GNU,

acronimo de GNU’s not UNIX. Consta de multitud de programas, en

constante desarrollo y expansion, pero hasta el momento, adolecıa de

x JUSTIFICACION

la parte mas interna y fundamental de un sistema operativo, un nucleo

bien depurado y operativo, ya que el proyecto HURD, que deberıa ha-

ber sido el nucleo de GNU, habıa pasado por muchos problemas en

su desarrollo. En 1991 el estudiante finlandes Linus Torvalds creo un

nucleo de sistema operativo (al que se le llamo ”Linux”) y lo ofrecio a la

comunidad por medio de Internet, para que sirviera de tema de estudio

y pudiera ser adaptado libremente. Es decir, lo ofrecio con la misma

filosofıa que el sistema operativo GNU, del que se sirvio. La union de

Linux, un nucleo, con GNU, el resto del sistema operativo, fue un exito

inmediato, y pronto se distribuyeron juntos, formando lo que se conoce

como GNU/Linux.

El software libre en la educacion.

El uso de software libre en la educacion tiene una gran cantidad de

beneficios sobre el uso de el software privativo entre las cuales se en-

cuentran:

• Promueve la creacion de profesionales independientes de un deter-

minado entorno de software. Cuando se ensena carpinterıa no se

ensena como usar una marca determinada de martillos o de sierras

electricas. Cuando se ensena a escribir no se ensena el uso de una

marca de plumas o bolıgrafos determinada. ¿Por que cuando se

ensena informatica, sı parece razonable ensenar a usar una deter-

minada marca de programas? ¿Hay razones para eso? Utilizando

software libre, mas que ensenar a utilizar un producto se ensena a

utilizar una tecnologıa, ya que este se apoya en estandares libres

y reconocidos.

• Reduce costos. El software libre al permitir su copia de manera

legal evita a las universidades tener que pagar una licencia por

cada maquina que posea con lo cual sumado a que gran parte del

software libre se distribuye de forma gratuita se traduce en un

enorme ahorro de recursos publicos. Otro punto a tener en cuenta

es que el costo de mantenimiento del software libre es menor de-

bido a su gran estabilidad y calidad que evita tener que reinstalar

completamente el software en los equipos cada lapsos cortos de

tiempo como sucede con el sistema operativo Windows. Ademas

xi

ASPECTO GNU/LINUX WINDOWS

FILOSOFIAEl sistema es libre,cualquiera lo puede usar,modificar y distribuir

Pertenece a Microsoft,unica companıa que lopuede modificar

PRECIOGratis,tantas licencias,como se desee

Segun las versiones,miles de pesos,cada licencia.

DESARROLLOMiles de voluntarios en todo elmundo cualquiera puede participar,pertenece a la comunidad”

Lo desarrolla Microsoft,que vende algunos datos tecnicosrelevantes y oculta otros

CODIGOFUENTE

Abierto a todos Secreto empresarial

ESTABILIDADMuy estable, los servidoresque lo usan pueden funcionardurante meses sin parar

Poco estable, es comun verseobligado a reiniciar el sistema.Los servidores no admiten masde un par de semanas sin reiniciar

SEGURIDADMuy seguro, tiene variossistemas de proteccion.No existen virus para Linux

Muy poco seguro, existenmiles de virus que atacansistemas Windows

FACILIDADDE USO

Poca en algunas aplicaciones Es muy sencillo de manejar

CONTROLADORESDE HARDWARE

Desarrollados por voluntarios;algunos dispositivos no funcionanen absoluto porque sus fabricantesocultan los detalles tecnicos

Los fabricantes de dispositivossiempre los venden concontroladores para Windows,todos deben funcionar enpocos momentos.

DIFUSIONPoco extendido en hogares yoficinas, muy extendido enservidores.

Copa casi todo el mercado,salvo el de servidores

DISPONIBILIDADDE PROGRAMAS

Existen programas para casi todaslas aplicaciones, pero no hay tantavariedad como los programas paraWindows

Miles y miles de programasde todo tipo que se instalancon facilidad

PRECIO DE LOSPROGRAMAS

Existen programas de pago,pero lo mas habitual esque sean libres.

La mayor parte de losprogramas son de pago

COMUNICACION CONOTROS SISTEMASOPERATIVOS

Lee y escribe en sistemas de archivosde Windows, Macintosh, etc. Por red,se comunica con cualquier otro sistema

Solo lee y escribe sus propiossistemas de archivos, y presentaincompatibilidades entre algunasde sus versiones

el software libre permite reciclar equipos que hallan quedado ob-

soletos por los grandes requerimientos de los nuevos programas

privativos.

• Permite que los estudiantes puedan usar el mismo software con el

que se les ensena. El software libre permite que se hagan copias de

los programas y se distribuyan a los estudiantes de forma legal, lo

cual permite que los estudiantes puedan utilizar el mismo software

que utilizan en sus escuelas, en sus casas.

• Ofrece control sobre el software. Si no existe una herramienta in-

formatica que cubra un determinado requerimiento, es posible bus-

car una que haga lo necesario y se modifica la misma para que se

adapte a nuestras necesidades.

Para finalizar, se muestra una breve comparacion entre los sistemas ope-

rativos GNU/Linux y Microsoft Windows([10]).

El material didactico y metodologico que se presenta en el capıtulo de

practicas (apendices), esta dirigido a los estudiantes, pero no excluye a otros

usuarios que se interesen por el tema y que tengan conocimientos mınimos

xii JUSTIFICACION

de algebra y calculo elemental.

Estrategia de evaluacion sugerida

Evaluacion diagnostica. Su proposito es establecer un vınculo signifi-

cativo entre lo que el estudiante sabe, piensa o siente antes de iniciar su

proceso de aprendizaje sobre el contenido a abordar; tiene un caracter

descriptivo-cualitativo. Se aplica al inicio del curso y al inicio de cada

unidad tematica del programa, de esta manera se explora o recupera el

conocimiento formal o informal que implica dos cosas:

1. Dominio de los antecedentes academicos necesarios, conocimientos

previos formales, para comprender los contenidos planteados en el

curso.

2. Conocimiento informal de los contenidos que se abordaran en cada

unidad tematica, que daran pauta para conocer su predisposicion,

motivacion e interes.

Se sugiere aplicar una guıa de observacion o lista de cotejo, que incluya

cuestionamientos acerca de los procesos basicos del algebra, mismos

que han sido desarrollados en la asignatura de Matematicas I nivel

medio superior, estos deben dirigirse a temas tales como factorizacion,

identificacion de variables, resolucion de ecuaciones de primer y segundo

grado, manejo de expresiones algebraicas, entre otros; de esta forma se

obtendra en forma clara el nivel de los alumnos y se podran detectar

las areas de oportunidad del grupo para planear las actividades acorde

a las expectativas y necesidades grupales e individuales.

Evaluacion formativa. La evaluacion formativa tiene un caracter cua-

litativo, procesal, orientador y dinamico, ya que marcha paralelamente

con los objetivos tematicos, no se considera como parte de la calificacion

del estudiante. Permite conocer el avance en la adquisicion y dominio

de los nuevos aprendizajes, con el proposito de realimentar el proceso de

ensenanza y aprendizaje; a fin de detectar las dificultades, fortalecer los

logros y emprender actividades correctivas; ası mismo, valorar la perti-

nencia de los objetivos y metodos de ensenanza, la estrategia didactica

y los contenidos tematicos de los programas de estudio, respecto a la

secuencia y tiempo para abordarlos. Esta evaluacion considera:

xiii

• Contenido Declarativo: se evaluaran los conocimientos factuales y

conceptuales a partir de la comprension, por medio de su parti-

cipacion activa, discusion, que se manifieste en esquemas, mapas

conceptuales, algoritmos, justificaciones, solucion a problemas, en

donde el estudiante se auto evalue en forma individual y grupal,

ası como sus habilidades para: expresar en propias palabras los

terminos y metodos aprendidos, exponer y justificar sus resulta-

dos, resumir y comparar conceptos.

• Contenido Procedimental: se evaluaran las destrezas operativas, a

traves de la realizacion de trabajo individual o por equipos me-

diante reportes escritos, exposicion, planteamiento de conceptos,

mapas conceptuales, algoritmos y registros que determinan los ele-

mentos a evaluar.

• Contenido Actitudinal: se evaluaran actitudes o predisposicion po-

sitiva respecto al interes academico que el alumno manifieste en el

desarrollo de las actividades, el respeto, la tolerancia y la honesti-

dad durante el trabajo en el aula y fuera de ella, en las modalidades

individual y grupal, por medio de registros, guıas de observacion

que determinen los elementos a evaluar.

Evaluacion sumativa. Esta modalidad de evaluacion se aplica al final

de cada unidad y al termino del curso. Sus resultados se utilizan para

efectos de asignar una calificacion, acreditar conocimientos y promo-

ver al estudiante a otro nivel del proceso educativo. En forma paralela

al proceso formativo en el cual el estudiante trabaja en equipo, pro-

ducira en forma individual las evidencias crıticas de su aprendizaje,

es decir, aquellas que tienen un caracter integrador del objetivo de la

unidad, para presentarlas en su evaluacion final. Tales evidencias se

deberan acordar en trabajo de academia ası como su ponderacion para

la calificacion. Los instrumentos para recolectarlas (instructivos, cues-

tionarios, pruebas objetivas,etc.) tambien se elaboraran en trabajo co-

legiado junto con los instrumentos de evaluacion (guıas de observacion,

listas de cotejo, rubricas, escalas valorativas, plantillas de respuestas,

entre las mas comunes). Se sugiere considerar por lo menos una eviden-

cia de cada tipo que en conjunto integren los contenidos de la unidad

en terminos de conocimientos y capacidades practicas y/o creativas.

xiv JUSTIFICACION

Sugerencias para el portafolio de evidencias: Reportes sumativos o cua-

dernos de trabajo Producto: Reportes sumativos o cuadernos de tra-

bajo Desempeno: Participacion en actividades de trabajo cooperativo

Conocimiento: Prueba objetiva.

Objetivos

Proporcionar un curso introductorio de sistemas dinamicos basodo en

matematicas elementales.

Proponer un curso para la asignatura optativa de Temas Selectos de

Matematicas II, que se imparte a nivel medio superior, con el cual el

estudiante abordara conceptos basicos de los sistemas dinamicos en este

nivel.

Dar a conocer mediante una introduccion y de forma sencilla e intuitiva,

algunas de las ideas fundamentales de sistemas dinamicos. Estas ideas

introductorias a sistemas dinamicos incluyen las nociones de fractales,

uno de los conceptos interesantes que pueden hacer que los estudiantes

se interesen por las matematicas.

Hacer una profunda reflexion del enfoque, del estilo de la ensenanza de

la matematica necesaria en nuestros dıas y de la importancia de dejar

la impresion de estar generando nuevo conocimiento, de lo importante

que resulta sentir que se esta descubriendo algo nuevo.

Proporcionar el material didactico a profesores, estudiantes y personas

que esten interesados en el tema.

Con este material se pretende que el estudiante sea capaz de imple-

mentar algoritmos sencillos que permitan visualizar el comportamiento

de sistemas dinamicos reales y posiblemente complejos, y de detectar

su existencia. En el caso de los sistemas dinamicos complejos1. el es-

tudiante adquirira nociones de como se generan los conjuntos clasicos

como es el caso del conjunto de Julia y el conjunto de Mandelbrot.

1En este caso, sistemas dinamicos complejos se refiere a sistemas dinamicos con numeroscomplejos (C)

xv

xvi OBJETIVOS

Capıtulo 1

Conceptos basicos

En esta seccion se muestran los conceptos elementales necesarios, en

terminos de repaso, que de acuerdo a los planes de estudio el estudiante

de nivel medio superior obtuvo durante su trayectoria academica previa. La

pimera parte contiene los conocimientos previos, en la seccion (1.1) se in-

troducen los conceptos elementales de sistemas dinamicos y de ser necesario

algun otro concepto, que no sea mencionado en las secciones de este capıtulo

se introduciran en el momento adecuado. Para mayores detalles acerca de

este tema, ver por ejemplo, ([6]).

En principio, se considera la siguiente notacion.

Al conjunto de los numeros reales se les denota con la letra R.

R2 denota el conjunto de puntos del plano cartesiano.

Funcion

Para comenzar se tiene el concepto de funcion. Cuando en la vida coti-

diana se dice algo como: ”tu ida al cine esta en funcion de que recojas el

tiradero de tu cuarto”, lo que se trata de decir es que una cosa (ir al cine en

este caso) depende de otra (asear el cuarto), es decir una cosa condiciona a

la otra. En matematicas el concepto es muy similar.

Definicion 1 Funcion Una funcion es un conjunto de pares ordenados de

elementos tales que ningunos dos pares distintos tienen el mismo primer

elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados

se llama dominio de la funcion, y el conjunto de los segundos elementos

contradominio o ambito de la funcion. De manera matematica, una funcion

1

2 CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

se denota como f : A → B, que quiere decir que la funcion considerada tiene

al conjunto A de dominio y al conjunto B de contradominio.

En otras palabras, suponga que se tiene un par de conjuntos, A y B y que

se establece una relacion entre ellos de tal forma que siempre que se escoge

un elemento del conjunto A la relacion entrega exactamente un elemento del

conjunto B, es decir, el elemento de B esta en funcion del elegido en A. La

restriccion es que no es posible que al elegir un elemento de A la relacion

entregue dos o mas elementos de B o no entregue ninguno, sino que debe

entregar exactamente uno. Eso es una funcion: un vınculo entre dos conjuntos

que relaciona a cada elemento de uno de ellos, al que se denomina el dominio

de la funcion, con otro llamado contradominio de tal forma que cada elemento

del dominio esta vinculado con uno y solo uno del contradominio.

Ejemplo 1 Funcion En mi casa suelo juntar mis calcetines por pares con

un nudo, de forma que no pueda perder ninguno de los miembros del par

(o pierdo ambos o ninguno), yo solo tengo un par de cada color, ası que

si entreveo en mi cajon uno de mis calcetines azules y lo jalo, seguramente

secare mi par de calcetines azules y no solo el que alcance a ver. Eso es

una funcion. Donde el conjunto A podrıa ser un conjunto constituido por

un calcetın de cada par (derechos) y el conjunto B el conjunto del resto de

los calcetines (izquierdos). Los nudos constituyen la funcion de A a B, cada

nudo relaciona un elemento de A con uno y solo uno de B. Generalmente

se utilizan letras minusculas para denotar los elementos de los conjuntos,

ası que se puede decir; si a es un calcetın del conjunto A y b es el que

le corresponde del conjunto B entonces el nudo entre ellos es una funcion

f tal que f(a) = b. Para especificar que una funcion tiene dominio A y

contradominio B se escribe ası f : A → B.

Definicion 2 Funciones reales

Sea f : R → R. Una funcion f es real si tanto el dominio como el contra-

dominio son subconjuntos de los reales, es decir, es una regla que asigna a

cada elemento x en R un elemento unico y en R. Si la definicion de funciones

reales presenta dificultades a los estudiantes, puede consultar cualquier libro

de calculo elemental (ver por ejemplo ([14] )).

Definicion 3 Funcion identidad

Es la funcion que tiene a R, como su dominio y como su regla de corres-

pondencia a f(x) = x.

3

Definicion 4 Grafica

Si f es una funcion real de variable real, entonces la grafica de f es el

conjunto de pares ordenados de f considerados como un conjunto de puntos

en R2.

Definicion 5 Derivada

Sea f : R → R. La derivada de f en x es el siguiente lımite si existe.

f ′(x) = limh→0f(x + h) − f(x)

h

La derivada de f(x) en x se denota por f ′(x), la segunda derivada por

f ′′(x) y la derivada k-esima por f (k)(x). Geometricamente la derivada se

interpreta como la pendiente de la lınea tangente que pasa por el punto de

la grafica de la funcion en donde se evalua la derivada.

Nota:

La composicion de dos funciones se denota por (f ◦ g)(x) = f(g(x)). La

n-esima composicion se denota por fn(x) = (f ◦ ... ◦ f)(x). Notar que fn no

es lo mismo que la n-esima potencia de f(x), ni tampoco la n-esima derivada.

Otras nociones elementales son el teorema del valor medio y el teorema

del valor intermedio.

Teorema del valor medio

Si f : [a, b] → R es continua en [a, b] donde a < b y diferenciable en (a, b),

entonces existe un punto cǫ(a, b) tal que,

f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a)

c

Teorema del valor medio

bax

y

Figura 1.1: Teorema del valor medio


Teorema del valor intermedio

Si f : [a, b] → R es continua sobre [a, b] y f(a) < f(b) y si t es un numero

cualquiera tal que f(a) < t < f(b), entonces existe un punto cǫ(a, b) tal que

f(c) = t.

a c b

f(b)

f(a)

t=f(c)

x

y

Teorema del valor intermedio

Figura 1.2: Teorema del valor intermedio

Corolario

Si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces

existe un numero cǫ(a, b) tal que f(c) = 0.

Definicion 6 Puntos fijos

Sea f:R → R. Los puntos fijos de f(x) son todos los puntos que cumplen

con lo siguiente: f(x) = x.

Estos puntos toman un rol muy especial en la teorıa de sistemas dinami-

cos. Es por ello que vale la pena repasar este tema para recordar a que refieren

estos puntos. Por ejemplo, la funcion f(x) = x2, tiene un punto fijo en x = 1,

5

porque, f(1) = 12 = 1. Un primer cuestionamiento sera, dada una funcion

cualquiera f(x), ¿tiene puntos fijos?, y si es ası, ¿cuantos puntos fijos tiene?.

En algunas ocasiones, la respuesta se encuentra aplicando el teorema del va-

lor intermedio ası como un criterio. En este momento, se hace notar la gran

utilidad de las matematicas formales, en el sentido de que aun sin obtener

los valores de los puntos fijos, se puede saber que estos existen, bajo ciertas

condiciones de la funcion.

Proposicion 1 Criterio para conocer la existencia de los puntos fijos

Sea I = [a, b] un intervalo y sea f : I → I continua. Entonces f(x) tiene

al menos un punto fijo en I.

El criterio para conocer la existencia de los puntos fijos establece, en que

condiciones el conjunto de puntos fijos no es vacıo.

Proposicion 2 Existencia de un punto fijo unico

Sea f : I → I y |f ′(x)| < 1 para todo x en I, entonces existe un punto

fijo unico de f(x) en I siempre que:

|f(x) − f(y)| < |x − y|

para todo x y y que se encuentren en I, x 6= y.

ba

f(a)

c

f(b)

f(c)

x

y

Figura 1.3: Punto fijo unico de f .


Una vez que se tiene certeza de la existencia de al menos un punto fijo

de alguna funcion de variable real, el siguiente cuestionamiento es, ¿como se

encuentran los puntos fijos de alguna funcion en particular?. Pareciera que

la respuesta no es muy complicada, sin embargo, la busqueda de puntos fijos

se traduce a la busqueda de las raıces de la ecuacion: f(x) = x, es decir, la

interseccion de la funcion de la cual se pretende conocer los puntos fijos con

la funcion identidad. La solucion de la ecuacion depende de la funcion que

se este considerando, en ocasiones es una tarea bastante complicada, como

se vera con mayor detalle en la seccion (1.1.1) y (2.1).

1.1. Sistemas dinamicos

Para empezar a entender lo que son los sistemas dinamicos, es necesario

tener nociones basicas acerca de algunos otros conceptos, que muy proba-

blemente los estudiantes de nivel medio no conozcan, tales como los puntos

fijos, los puntos atractores, los puntos periodicos, las iteraciones, etc. estos

conceptos son esenciales para explicar lo que pasa con un sistema dinamico

es por ello que la seccion (1.1.1) esta dedicada a estos conceptos necesarios.

La seccion (1.1.1) contiene el material necesario para desarrollar el curso pe-

ro tambien se pueden ayudar con otros muchos libros (ver por ejemplo [14]

o cualquiera de los referidos en los programas de estudio del bachillerato

general).

La primer pregunta es: ¿Que son los sistemas dinamicos? Para empezar a

dar respuesta a esta pregunta considerese el siguiente ejemplo: Se quiere sa-

ber que tan rapido se pudre una manzana, para resolver el problema se puede

realizar una medicion, en el laboratorio, de la cantidad de bacterias que pro-

vocan la pudricion de las manzanas, y observar como aumenta y en cuanto

tiempo. Si en un tiempo inicial hay x bacterias (x representa la cantidad de

bacterias) y despues de 5 horas la cantidad de bacterias ha aumentado, apro-

ximadamente el doble. Se puede hacer un modelo matematico para describir

la situacion, mediante una regla que asigne cada x a doble de este, es decir,

con la funcion f(x) = 2x. Esta regla expresa que la cantidad de bacterias au-

menta el doble cada 5 horas. Entonces si se conoce el valor de x se puede saber

cuantas mas habra en un determinado tiempo y ası saber cuando se pudre la

manzana. Es decir, si la cantidad inicial de bacterias es x = 10, 000, entonces

despues de 5 horas se tendra una poblacion de bacterias de 20, 000. Esto es:

1.1. SISTEMAS DINAMICOS 7

f(10, 000) = 2(10, 000) = 20, 000, esto quiere decir, que aumento el doble

y diez horas despues tendra 40, 000 f(f(10, 000)) = f(20, 000) = 40, 000, y

ası sucesivamente.

El sistema dinamico consiste de un conjunto de posibles estados, junto

con una regla que determina el estado presente en terminos de los estados

pasados ([12]). Es decir, el estudio de modelos matematicos que consideran

la evolucion en el tiempo. En el ejemplo anterior se ha empezado a discutir

un sistema dinamico simple cuyos estados son las cantidades de bacterias

en un determinado tiempo. El sistema cambia con el tiempo bajo la regla

xn = f(xn−1) = 2xn−1, el estado actual (xn) depende del anterior (xn−1).

En este caso, n denota el tiempo y xn la cantidad de bacterias al tiempo

n. Otra definicion de sistema dinamico es: el estudio de una funcion que se

mapea (Def. 1.1.1) en sı misma, puede depender de una o varias variables,

y el objetivo del estudio es predecir su comportamiento cuando cambian

los parametros (valores), que involucra la funcion. El objetivo principal de

sistemas dinamicos es conocer la estructura de las orbitas (ver la seccion

(1.1.1)).

Existen dos clases de sistemas dinamicos: unidimesionales y de varias di-

mensiones ([12]). Dentro de los primeros se encuentran sistemas dinamicos

lineales, cuadraticos etc., y dentro de los sistemas dinamicos de dos dimen-

siones se encuentran, los sistemas dinamicos complejos.

1.1.1. Definiciones elementales de sistemas dinamicos

El objetivo principal en el estudio de un sistema dinamico como se men-

ciono en la seccion anterior, es conocer la estructura de las orbitas. Una forma

para ayudar a entender el concepto de orbita de una manera intuitiva es la

siguiente. Con ayuda de una calculadora de bolsillo siga los siguientes pasos:

1. Escoja cualquier numero ( por ejemplo, 1).

2. Tome como referencia alguna funcion (podrıa ser x2 − 0,2).

3. Con la ayuda de alguna calculadora, aplique la funcion, es decir sustituir

el numero que escogio por la x (en el ejemplo 12 − 0,2).

4. Del paso anterior se obtuvo un numero (en el ejemplo 0,8), entonces a

este nuevo numero se le vuelve aplicar la funcion (en el ejemplo (0,8)2−0,2).


5. Repetir el mismo procedimiento muchas veces.

Observar los resultados y comentarlos, se propone hacer varios ejercicios de

esta ındole, con diferentes funciones conocidas y diferentes numeros, por

ejemplo, la funcion exponencial, Despues de seguir este procedimiento se

obtendra una sucesion de numeros x, ex, eex

, eeex

, ha este procedimiento se le

llama iterar una funcion, es decir, se ha iterado la funcion exponencial y a

los numeros de la sucesion forman una orbita. Realizando este proceso para

algun valor inicial x, puede observar en algunas cuantas iteraciones aparece

el mensaje de desbordamiento (overflow) en la calculadora, en el caso de la

funcion exponencial e quiere decir que para cualquier eleccion de x las ite-

raciones sucesivas de la exponencial tienden (se van) al infinito. De manera

similar se puede tomar alguna otra funcion para observar que pasa con algu-

nas de sus orbitas. En general, existe un definicion de orbita para cualquier

funcion y se define a continuacion.

Definicion 7 Orbitas

Sea f : R → R. La orbita de x es el conjunto de puntos x, f(x), f 2(x), ...

y se denota por O(x).

Ademas del concepto de orbita, en sistemas dinamicos es importante con-

siderar el concepto de punto fijos y el de punto periodico, pues en terminos

de ellos se describe la .estructura”de los sistemas dinamicos.

Definicion 8 Punto periodico

Sea f:R → R el punto x es un punto periodico de periodo n de f(x) si

existe n, tal que fn(x) = x. Pero f i(x) 6= x para 0 < i < n.

El menor entero positivo n para el que fn(x) = x es llamado periodo

principal de x y es de periodo n si y solo si, x es punto fijo de fn.

Definicion 9 Orbita periodica

Sea f:R → R y x un punto periodico de periodo n, al conjunto de iteracio-

nes de x se le llama orbita periodica de periodo n. El numero de elementos

de una orbita periodica es n.

Definicion 10 Punto eventualmente periodico

Sea f : R → R un punto x es un punto eventualmente periodico de

periodo n, si no es periodico y ∃ m > 0 tal que fn+i(x) = f i(x) para todo

i ≥ m, donde f i(x) es periodico para i ≥ m.

1.1. SISTEMAS DINAMICOS 9

Definicion 11 Mapeo Sea f : I → J, tal que, I pertenece a R y J pertenece

R, se dice que f es un mapeo de I en J .

Para conocer las orbitas periodicas de un sistema dinamico, como en

el caso de los puntos fijos, es necesario resolver ciertas ecuaciones, que en

muchas veces tienen un alto grado de dificultad, en el ejemplo (ejemplo 2)

se puede notar la diferencia, entre resolver la ecuacion analıticamente, es

decir, de manera algebraica y analizar graficamente las mismas, con la ayuda

de la computadora y algun programa computacional, como por ejemplo, el

“kmplot”, del software libre, con el que se pueden visualizar las graficas de

funciones. Las dificultades que se presentan mediante el metodo analıtico, que

van desde equivocarse en un signo en el despeje, hasta saber de que tipo de

soluciones tiene la ecuacion (reales o complejas), sin embargo observando la

grafica de la funcion, el trabajo laborioso se reduce y es muy simple observar

los puntos de interseccion entre la recta y = x y f(x) que seran en este caso

los puntos fijos de f(x). Para ilustrar lo anterior, considerese el siguiente

ejemplo.

Ejemplo 2 La funcion f(x) = x3 tiene al 0, 1 y al -1 como puntos fijos.

Para probar esto, primero se procede de forma algebraica. Utilizando la

definicion de puntos fijos se tiene que:

f(x) = x,

por lo tanto x3 = x,

y factorizando, x3 − x = 0,

se obtiene: x(x2 − 1) = 0.

De aquı x = 0, o x2 − 1 = 0.

Resolviendo x2 − 1 = 0, se obtiene, x = 1, y x = −1. Por lo tanto,

f(x) = x3 tiene tres puntos fijos los que tambien son puntos periodicos, pues

las unicas soluciones de la ecuacion fn(x) = x son: 0, 1 y −1. Mediante una

grafica se pueden observar los puntos en donde f(x) = x, es decir, los puntos

de interseccion de las graficas y = x y f(x) (figura 1.4).


y=x

y=x3

Figura 1.4: Puntos fijos: Los puntos de la interseccion que se muestran en lagrafica corresponden a los puntos fijos.

Capıtulo 2

Dinamica de la funcion

cuadratica

El objetivo del capıtulo es mostrar que estudiar la dinamica de una fun-

cion sencilla conduce a un problema muy interesante y bastante complicado.

La funcion que se ha elegido, en este caso, es la funcion cuadratica, esto es,

sea fc : R → R, donde fc(x) = x2 + c; donde c un numero real o dicho de

otra forma, es un parametro real. La eleccion de esta funcion como punto

de partida, es una de las propuestas principales del presente trabajo. En pri-

mera instancia, se considera que la funcion cuadratica es lo suficientemente

familiar para los estudiantes de los ultimos semestres de nivel medio supe-

rior, dado que es parte del material que se incluye en los primeros cursos de

matematicas, (el plan curricular se encuentra dentro de la justificacion). Por

otro lado, la funcion cuadratica es util cuando se modela matematicamente,

por ejemplo, el movimiento parabolico, esto es, el movimiento que resulta de

lanzar una piedra o patear un balon de futbol. Este tema se aborda en el cur-

so de Fısica I de cualquier bachillerato. En segunda instancia, esta funcion

es el ejemplo mas sencillo desde el que se pueden explorar las estructuras

matematicas propias del caos. Su origen se describe en el siguiente ejemplo:

En biologıa, comunmente se requiere conocer la evolucion de una cierta

especie. Supongase que se desea saber como evoluciona la poblacion de peces

en un criadero, por lo cual, un problema importante es construir un modelo

matematico que permita predecir la conducta de la poblacion en un tiempo

determinado. Para esto, considerese el modelo biologico mas sencillo de cre-

cimiento de una poblacion, cuya razon de cambio en el tiempo, que se denota

pordP

dt, es directamente proporcional a la poblacion presente en un tiempo

11

12 CAPITULO 2. DINAMICA DE LA FUNCION CUADRATICA

determinado, siendo k la constante de proporcion que depende del caso en

consideracion. Si P (t) denota la poblacion en un cierto tiempo t, entonces,

el modelo matematico se expresa:

dP

dt= kP.

La solucion de esta ecuacion diferencial 1 es P (t) = P0ekt, y representa

la poblacion en cualquier tiempo t, donde P0 = P (0) es el valor inicial de

la poblacion y se supone conocida. Este modelo implica un crecimiento o

decrecimiento exponencial de la poblacion. De esta forma, si k > 0 enton-

ces, la poblacion crecerıa indefinidamente a traves del tiempo, en lenguaje

matematico, esto se escribirıa ası P (t) → ∞ cuando t → ∞, pero si k < 0,

entonces la poblacion disminuirıa y a traves del tiempo se extinguirıa, es

decir, P (t) → 0, cuando t → ∞.

Este modelo simple puede tambien ser estudiado matematicamente, como

una ecuacion de diferencias de la siguiente manera. Sea Pn, la poblacion

despues de n generaciones, donde n es un numero natural. Supongase que

la poblacion de la generacion siguiente, es directamente proporcional a la

generacion presente, similar al caso anterior. Esto es:

Pn+1 = kPn donde k es una constante

Se tiene entonces:

P1 = kP0

P2 = kP1 = k2P0

P3 = kP2 = k3P0

:

:

Pn = kPn−1 = knP0

En este caso, realizando el analisis, si k > 1, Pn → ∞ mientras que si

0 < k < 1, entonces Pn → 0.

Esta ecuacion de diferencias se puede expresar en terminos de una fun-

cion. Sea x = P0 y sea f(x) = kx, por lo cual se nota que, f(x) = P1,

f(f(x)) = k2x = P2, f(f(f(x))) = P3, etc. Por lo que, el comportamiento

1Basicamente, el estudio de sistemas dinamicos ha evolucionado a razon de entender elcomportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Intuitivamente,una ecuacion diferencial ordinaria es una ecuacion en donde la incognita se encuentra enterminos de su derivada.

13

de la poblacion se relacionara con el comportamiento de las iteraciones de la

funcion, es decir, de su dinamica.

En cuanto a los modelos anteriores para predecir el crecimiento de una

poblacion, se puede decir que son demasiado simples, porque solo se puede

llegar a dos posibilidades, crecimiento ilimitado o extincion. La experiencia

obtenida en el campo de la biologıa sugiere que la evolucion de la poblacion

de alguna especie es mucho mas complicada, debido a ello se han considerado

modelos mas plausibles, pero mas complicados, como suponer que existe un

lımite L, para el crecimiento de la poblacion P (t) de la especie. Si P (t) excede

a L, la poblacion deberıa decrecer, por factores tales como, escasez de comida.

Por otra parte, si P (t) < L, entonces P (t) tenderıa a crecer hasta alcanzar el

lımite L. Un modelo matematico que es consistente con este comportamiento

es:dP

dt= kP (L − P ) (2.1)

Notese que este modelo difiere en el anterior por el factor (L − P ).

Cualitativamente, suponiendo que k > 0 se observa que:

Ejemplo 3 Si P = L, dPdt

= 0, esto es, si la poblacion ha tomado el

valor lımite, entonces no habrıa cambio en la poblacion.

Si P > L, dPdt

< 0, es decir si P ha excedido a L, la poblacion tendera a

decrecer.

Si P < L, dPdt

> 0, entonces la poblacion tenderıa a crecer.

No es difıcil solucionar la ecuacion (2.1), se resuelve de manera explıcitadPdt

= kP (L − P )

Integrando la ecuacion∫

dPP (L−P )

=∫

kdt

Por fracciones parciales se obtiene1

P (L−P )= 1

LP+ 1

L(L−P )

∫

dPP (L−P )

=∫

(

1LP

+ 1L(L−P )

)

dP =1

L

∫

dPP

+ 1L

∫

dPL−P

= 1L

(ln P − ln (P − L))

Por lo tanto,1L

(ln P − ln (P − L)) = kt + c

Despejando P (t), con la condicion inicial P (t = 0) = P0, finalmente se

obtiene

P (t) =LP0e

Lkt

L − P0 + P0eLkt=

LP0

(L − P0)e−Lkt + P0


Desde este punto de vista, el modelo planteado quedara completamente

determinado, porque se pueden estudiar las distintas soluciones de acuerdo

a los distintos valores de L, P0 y k, que dependen del caso analizado.

De la misma manera que el caso anterior, se puede considerar el mode-

lo usando ecuaciones de diferencias y se esperarıa encontrar resultados muy

similares con el modelo de la ecuacion diferencial. Sin embargo, sorprenden-

temente, se encuentra que la ecuacion de diferencias conduce a uno de los

sistemas dinamicos mas complejos que se pueda imaginar. Para plantear el

modelo de la ecuacion de diferencias, se considera primero una simplificacion.

Se supone que L = 1 es el valor lımite. Esto es, en lugar de poblacion, se

considera porcentajes de la misma. Sea Pn el porcentaje de la poblacion en

la generacion n, en este caso la ecuacion de diferencias se escribe como:

Pn+1 = kPn(1 − Pn) donde k es constante

De igual manera que en el caso anterior, sea x = P0 y f(x) = kx(1 − x) que

a diferencia de la funcion anterior que era lineal, es una funcion cuadratica

de donde se tiene que:

P1 = f(x)

P2 = f(f(x))

P3 = f(f(f(x)))

:

:

Esta funcion f es conocida como funcion logıstica, mapa logıstico, mapa

cuadratico, mapa de Feigenbaum, parabola logıstica de Robert May o fun-

cion de Verhulst, cuya dinamica ha sido objeto de estudio de la matematica

contemporanea. Actualmente el caos esta empezando a tener una posicion

importante para la explicacion de fenomenos incluso en ciencias sociales. En

referencia al mapa logıstico, desde una vision antropologica se propone ([11]):

”Conjeturo que sera mas motivador realizar la ejemplificacion en base a ella

y no mediante fenomenos alejados de la semantica de la sociedad y la cul-

tura, como las pistas de esquı, las palanganas vibrantes, los pendulos con

rozamiento, las reacciones autocatalıticas o la transformacion del panadero,

con las que los cientıficos dados a la divulgacion acostumbran poblar sus pe-

dagogıas”. Este punto de vista es consistente con el modelo constructivista.

En el presente trabajo no se estudiara la dinamica de la funcion cuadratica

escrita en la forma f(x) = kx(1 − x), si no de la funcion fc(x) = x2 + c por

2.1. ANALISIS GRAFICO 15

razones didacticas, ademas que desde el punto de vista de sistemas dinamicos

son equivalentes ([3]). Como se ha estado mencionando, el estudio desde el

punto de vista de sistemas dinamicos, se realizara al analizar el comporta-

miento y estructura de las orbitas, es decir, de los puntos x, fc(x), f 2c (x), etc.,

para diferentes valores del parametro real c, los calculos de fnc (x) se realizan

mediante la composicion de funciones, que como ya se ha mencionado, antes

se entiende como la aplicacion sucesiva de alguna funcion empezando con

un valor inicial. Existen diversas maneras en las que se pueden estudiar las

orbitas de alguna funcion, por ejemplo, se puede simplemente tomar algun

numero y con ala ayuda de una calculadora de bolsillo se empezaran estudiar

las orbitas y lo que sucede con estas. De la misma manera, pero ahora, con la

ayuda de una computadora, se puede usar alguna hoja de calculo. No es difıcil

darse cuenta de que este no es para nada un trabajo sencillo, pues se tendrıa

que decir que pasa para cualquier valor de x y para cada valor de c. Por lo

cual, implica una gran cantidad calculos y de tiempo, incluso con la ayuda de

las computadoras. En estos casos es de mucha utilidad y es sencillo observar

el comportamiento de las orbitas mediante un graficador computacional. Con

el uso de un graficador se considera un metodo cualitativo alternativo para

estudiar las orbitas que es llamado analisis grafico.

2.1. Analisis grafico

Una forma cualitativa de observar el comportamiento de las orbitas de

una funcion es mediante el analisis grafico, donde se puede observar paso a

paso, lo que va sucediendo con los elementos de las orbitas, ademas de ser

un metodo sencillo de manejar. Antes de iniciar la explicacion del metodo

grafico que intuitivamente sirve para observar el comportamiento de una

orbita,se analizara la grafica de la funcion cuadratica, para observar como

se comporta cuando cambia el valor de c. En la grafica correspondiente a la

funcion cuadratica fc(x); figuras (4.5, 2.2 y 2.3) respectivamente, se muestra

su comportamiento.

Para c > 0, la grafica se encuentra por encima del eje X, ver figura (4.5).

Para c = 0, la grafica se encuentra sobre el eje X, ver figura (2.2) y

para c < 0, la grafica se encuentra por debajo del eje X, ver figura (2.3).


x

y

f(x)=x2

Figura 2.1: Grafica de fc(x) = x2 + c cuando c = 0

Y

x

f(x)=x +c2

Figura 2.2: Grafica de fc(x) = x2 + c cuando c > 0

x

y

f(x)=x +c2

Figura 2.3: Grafica de fc(x) = x2 + c cuandoc < 0


El analisis grafico (ver [3]) se hace de la siguiente forma:

1. Se grafica la funcion que se quiere analizar, en este caso, se toma como

ejemplo, f(x) = x2.

x

y

f(x)=x 2

Figura 2.4: Grafica de la funcion f(x) = x2, primer paso.

2. Luego se grafica la funcion identidad y = x.

x

yf(x)=x

f(x)=x

2

Figura 2.5: f(x) = x2 y y = x, segundo paso.


3. Se toma un punto x0 sobre el eje ′′x′′ y se le asocia con un segmento de

recta paralela al eje ′′y′′, que comienza en x0 y termina donde se inter-

secta con la grafica correspondiente a f(x), en el punto de coordenadas

(x0, f(x0)), obteniendo ası la primera iteracion f(x0).

(x , f(x ))

x

y

f(x)=x

f(x)=x

00

2

��

q1

x0

Figura 2.6: Se une x0 con q1 un segmento, tercer paso.

4. Despues se asocia este punto q1 a la recta con otro segmento de recta

paralelo al eje ′′x′′ que comienza en q1 y termina en la recta corres-

pondiente a la grafica de la funcion lineal, en el punto de coordenadas

q2 = (f(x0), f(x0)).

(x , f(x ))

x

y

f(x)=x

f(x)=x

00

2

(f(x ), f(x ))

2��

��

��

��

q1

x0

0 0

q

Figura 2.7: Se obtiene q2, cuarto paso.

5. Asociando el punto q2 del paso anterior, con un segmento de recta para-

lelo al eje ′′y′′ con la grafica de f(x), obteniendo el punto (f(x0), f(f(x0))) =

(f(x0), f2(x0)) = q3.


(x , f(x ))

x

y

f(x)=x

f(x)=x

00

2

(f(x ), f(x ))

2

(f(x ), f(f(x )))

��

��

��

��

��

��

��

1

x0

0 0q

q3

q

0 0

Figura 2.8: Se obtiene de q3, quinto paso.

6. Se repiten los dos pasos anteriores, una y otra vez, obteniendo los puntos

q4, q5, q6, etc.

(f 2(x0), (f2(x0)) = q4,

(f 2(x0), f(f 2(x0))) = (f 2(x0), f3(x0)) = q5,

(f 3(x0), f3(x0)) = q6

(f 3(x0), f(f 3(x0))) = (f 3(x0), f4(x0)) = q7,

(f 4(x0), f4(x0)) = q8

(f 4(x0), f(f 4(x0))) = (f 4(x0), f5(x0)) = q9,

(f 5(x0), f5(x0)) = q10 ,

(f 5(x0), f(f 5(x0))) = (f 5(x0), f6(x0)) = q11,

(f 6(x0), f6(x0)) = q12, ...

Con este procedimiento se pueden ir obteniendo los puntos qi de la orbita

de cualquier x0 en f(x), que son todos las ordenadas (xi) de los puntos de

coordenadas (xi, yi) = qi, i > 0, iǫZ.


x

y

f(x)=x

f(x)=x 2

(x , f(x )

(f(x ), f(f(x )))

0 )0(f(x ), f(x ))2��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

q

0 0

4

0

q

0

q

q

q

q

q

q

q 1

q3

5

q6

7

i x0

Figura 2.9: Grafica de como se obtienen los qi, paso n.

2.2. ORBITAS DE LA FUNCION CUADRATICA 21

La ordenada (xi) de los puntos qiǫR2 de la recta correspondiente, a la

grafica de la funcion lineal y = x, que a la vez son los puntos de las iteracio-

nes de f(x), se van relacionando con los puntos de la grafica de la funcion

cuadratica y ası, se puede observar facilmente, al menos cualitativamente, en

donde se encuentran los puntos y su patron de comportamiento para cada

valor de x0. Para llevar a cabo este proceso, es conveniente utilizar algun

software dinamico de geometrıa, como el Cabri en Windows o el Kig, del

software libre, con los cuales se pueden crear algunos programas simples, (ver

practicas propuestas I) que puedan simular el comportamiento de los pun-

tos de las orbitas. Existen trabajos en donde se ha propuesto la utilizacion

del Cabri.en la ensenanza de la funcion cuadratica (ver por ejemplo [2]). El

analisis grafico, es un metodo practico que puede ser analizado como una

herramienta mas, para ayudar a que el aprendizaje sea significativo en la

ensenanza del tema de sistemas dinamicos.

2.2. Orbitas de la funcion cuadratica

En esta seccion se estudiaran las orbitas de la funcion f(x) = x2 + c, para

algunos valores de c mediante el metodo del analisis grafico.

Ejemplo 4 Analisis de la orbita de f(x) = x2+c tomando como valor inicial

x0 = 1, cuando c = 1.

Sea el punto (1, 0) ǫ R2 y aplicando el metodo grafico, se empieza con un

segmento de recta paralelo al eje ′′y′′ desde el punto (1, 0), hasta el punto

de interseccion con la grafica de la funcion f(x) = x2 + 1, el cual correspon-

dera al punto de coordenadas (1, f(1))=(1, 2), y este nuevo punto se asocia

con un segmento de recta paralelo al eje ′′x′′ con la recta y = x, estando

ahora en el punto de coordenadas (2, 2), ahora se vuelve asociar el punto

de coordenadas (2, 2), con un segmento de recta paralelo al eje ′′y′′ hasta el

punto de interseccion con la grafica de la funcion f(x) = x2 + 1, que es el

punto en el plano (2, f 2(1))=(2, 5), se repite el procedimiento de unir con un

segmento de recta paralelo al eje ′′x′′ con el punto anterior a la recta y = x

obteniendo las coordenadas del punto (5, 5), el procedimiento que se repite

una y otra vez es: Del punto inicial a la grafica cuadratica, de la grafica de

la funcion cuadratica a la grafica de la funcion identidad, es decir, a la rec-

ta (x0-parabola-recta-parabola, etc.), obteniendo el punto (5, f 3(1))=(5, 26)

y ası sucesivamente, es decir, se pueden obtener los xi que son los elementos


que forman las orbitas, en este caso, los puntos de la orbita son cada vez mas

grandes(ver la figura 2.10), es decir, tienden al infinito.

y=xy

x(1,0)

f(x)=x2+1

(2,5)

(5,26)

(1,2)(2,2)

(5,5)

(26,26)

1

0

Figura 2.10: Obtencion de los puntos de la orbita de x2 + 1 mediante elmetodo del analisis grafico, con x0 = 1 y c = 1.

Los puntos de la orbita se pueden obtener con una calculadora de bolsillo,

aplicando repetidamente la funcion:

x0 = 1

f(x0) = f(1) = (1)2 + 1 = 1 + 1 = 2

f(f(x0)) = f(f(1)) = f(2) = (2)2 + 1 = 4 + 1 = 5

f(f(f(x0))) = f(f 2(x0)) = f(f 2(1)) = f(5) = (5)2 + 1 = 25 + 1 = 26

f(f(f(f(x0)))) = f(f 3(x0)) = f(f 3(1)) = f(26) = (26)2 + 1 = 676 + 1 = 677

f(f(f(f(f(x0))))) = f(f 4(x0)) = f(f 4(1)) = f(677) = (677)2 + 1 = 458330

f(f(f(f(f(f(x0)))))) = f(f 5(x0)) = f(f 5(1)) = f(458330) = (458330)2 +

1 = 2,1006638 × 1011

etc. etc. ...


De esta manera, se llega a la misma conclusion que con el metodo grafico.

P1 x0 1P2 f(x0) 2P3 f 2(x0) 5P4 f 3(x0) 26P5 f 4(x0) 677P6 f 5(x0) 45558330P7 f 6(x0) 2,1006638 × 1011

: : :: : :Pn fn(x0) :: : :: : ∞

Ejemplo 5 Analizar la orbita de f(x) = x2 + c, con x0 = −1 y c = 1, de

forma numerica y con el metodo del analisis grafico.

Analisis grafico

y=xy

x

f(x)=x2+1

(2,5)

(5,26)

(2,2)

(5,5)

(26,26)

1

0(−1,0)

(−1,2)

Figura 2.11: Metodo grafico para analizar los puntos qi.


Numericamente, si x0 = −1 y c = 1, entonces:

x0 = −1

f(x0) = f(−1) = (−1)2 + 1 = 1 + 1 = 2

f(f(x0)) = f(f(−1)) = f(2) = (2)2 + 1 = 4 + 1 = 5

f(f(f(x0))) = f(f 2(x0)) = f(f 2(−1)) = f(5) = (5)2 + 1 = 25 + 1 = 26

f(f(f(f(x0)))) = f(f 3(x0)) = f(f 3(−1)) = f(26) = (26)2 + 1 = 676 + 1 =

677

f(f(f(f(f(x0))))) = f(f 4(x0)) = f(f 4(−1)) = f(677) = (677)2+1 = 458330

f(f(f(f(f(f(x0)))))) = f(f 5(x0)) = f(f 5(−1)) = f(458330) = (458330)2 +

1 = 2,1006638 × 1011

etc. etc. ...

De aquı se obtiene la misma conclusion que con el metodo grafico.

P1 x0 -1P2 f(x0) 2P3 f 2(x0) 5P4 f 3(x0) 26P5 f 4(x0) 677P6 f 5(x0) 45558330P7 f 6(x0) 2,1006638 × 1011

: : :: : :Pn fn(x0) :: : :: : ∞

Este mismo analisis se puede hacer para fc(x) = x2 + c, con diferentes

valores de los parametro c y x0, pero como se puede apreciar es un trabajo

bastante arduo.

2.2.1. Analisis de los puntos fijos

En primera instancia, de manera grafica es posible saber si una funcion

tiene puntos fijos, o no, observando en donde se intersecta la grafica de la

funcion, con la grafica de la recta y = x; por definicion f(x) = x (puntos

fijos), ademas de que, con ayuda de los graficadores se pueden observar varios

de los comportamientos a la vez, como se vera mas adelante. En la figura

(2.12) se observa que las graficas pueden y no intersectarse, esto dependiendo


del valor que tome c, para el caso de la funcion cuadratica puede tener dos,

uno o ningun punto fijo.

y=x

f(x)=x + c2

f(x)=x + c2

y=x

y=x

f(x)=x + c2

x

y

x

y

x

y

Figura 2.12: Las intersecciones de las graficas muestran los puntos fijos.

Para encontrar de manera algebraica los puntos fijos de la funcion fc(x) =

x2 + c, se debe resolver la ecuacion x2 + c = x, recordando la definicion de

punto fijo.

Por lo tanto, partiendo de la ecuacion x2 + c = x y resolviendo para x

por medio de bien conocida, formula general para la resolucion de ecuaciones

cuadraticas,

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a.

De donde se obtiene que: x = 1±√

1−4c

2.

Para que las raıces sean reales, se debe cumplir la siguiente desigualdad:

0 ≤ 1 − 4c.


Por lo tanto

1 ≤ 4c

y

c ≤ 1

4.

Por lo cual, el parametro c debe ser menor que 14

y graficamente puede

observarse lo pasa con las graficas y las orbitas cuando c > 14, c = 1

4y c < 1

4.

y=xy=x

y=xy=x

f(x)=x + c2f(x)=x + c

f(x)=x + cf(x)=x + c

2

22

c>1/4c>1/4

c>1/4 c>1/4

Figura 2.13: Cuando c es mayor que 14, las graficas nunca se intersectan y

todas sus orbitas tienden al infinito.

Cuando c > 14, la grafica que corresponde a la funcion cuadratica no toca

en ningun momento la grafica de y = x, sino que se encuentra por encima

de la recta, lo cual quiere decir, que no tiene raıces reales, es por ello, que

no tienen puntos en comun. Si no tienen puntos en comun estas dos graficas,

implica que la funcion cuadratica, no tiene puntos fijos para c > 14

y todas

las orbitas de fc tienden al infinito como es el caso de f1(x) = x2 + 1 (ver la

figura del ejemplo (2.11)).


Cuando c = 14, las graficas se intersectan en x = 1

2por lo tanto, tiene un

punto fijo unico. En este caso, las orbitas de fc para puntos muy cercanos al

punto fijo tienden a acercarse (para valores que se encuentran entre -12≤ x ≤

12), y las orbitas de puntos lejanos al punto fijo tienden a alejarse (para valores

de x > −12

y x < 12). Las orbitas de los puntos que se encuentran entre 0.5 y

-0.5, son las orbitas que tienden al punto fijo Pf = 14, las demas orbitas que

no se encuentran en este intervalo tiende al infinito.

y=x

f(x)=x + c2

c=0.25

X=0.5c=0.25

X=0.5

y=x

f(x)=x + c2

c=0.25

X=0.5

y=x

f(x)=x + c2

X=0.5

y=x

f(x)=x + c2

c=0.25

x

y

x

y

x

y

x

y

Figura 2.14: Cuando c = 14

se tiene un unico punto fijo en x = 12

y las orbitasde los puntos muy cercanos a 0 y menores que 1

4tienden al punto fijo.

Cuando c < 14, la grafica toca en dos puntos a la recta y = x. Aquı las

orbitas ya no son tan predecibles como en los casos anteriores, pues aparecen

dos puntos fijos, uno por la derecha y otro por la izquierda. Sea P+ el punto

fijo mas grande(derecha) y P− el punto fijo mas pequeno (izquierda) ([4]).


Del analisis grafico, parece ser que si 0 < c < 14, las orbitas que se encuentran

entre P− < x0 < P+ tienden al punto P− y para las orbitas de los puntos

que se encuentran entre P− > x0 > P+ tienden al infinito. Pero si se sigue

variando el valor de c, no es para nada facil predecir que pasa con las orbitas

pues son muy variables dependiendo de la posicion del punto inicial x0.



y=xy=x

y=xy=x

c<1/4c<1/4

c<1/4 c<1/4

22

2

Figura 2.15: Cuando c es menor que 14

se tienen dos puntos fijos y el com-portamiento de las orbitas ya no es predecible.

2.2.2. Puntos especiales

Dentro del conjunto de los puntos fijos existen otros subtipos de puntos

como son:

Definicion 12 Punto crıtico

Un punto x es un punto crıtico de f si f ′(x) = 0. El punto crıtico es no

degenerado si f ′′(x) 6= 0. El punto critico es degenerado si f ′′(x) = 0.

Ejemplo, fc(x) = x2 + c

f ′c(x) = 2x;


f ′′c (x) = 2

Esto quiere decir que x = 0 es un punto crıtico de fc y es no degenerado

para toda x.

Definicion 13 Puntos fijos atractores

Sea f:R → R, x es un punto fijo atractor de f , si existe un entorno abierto

I de x, tal que, para todo xǫI el limn→∞ fn(x) = x. Intuitivamente, que x sea

un punto fijo atractor quiere decir que atrae las orbitas de todos los puntos

de su entorno.

El conjunto {xǫI tal que limn→∞ fn(x) = x} es el conjunto de atraccion

de x, (x atrae las orbitas de los puntos de su entorno).

��

f(x)=x − 0.25

f(x)=x +.02

f(x)=x − 0.25

f(x)=x + 02

2

2

2

x x

xx

��

��

��

��

��

puntos atractores

Figura 2.16: Puntos fijos atractores.

Definicion 14 Puntos fijos repulsivos

Sea f:R → R x0 es un punto fijo repulsivo de f , si existe un entorno

abierto I de x0, tal que, para todo x 6= x0ǫI el fn(x) 6= I. Intuitivamente

quiere decir que x repele las orbitas de los puntos del entorno.


xx

x x

f(x)= x − 0.2 f(x)=x − 0.2

f(x)= x − 0.6

f(x)= x + 0.25

22

2

2

Figura 2.17: Puntos fijos repulsivos, los puntos de las orbitas tienden a ale-jarse.

Definicion 15 Punto eventualmente fijo

Sea f:R → R los puntos eventualmente fijos de f , son todos los puntos

que cumplen con lo siguiente: fn+1(x) = fn(x).

x

x

x

x

f(x)=x − 0.9f(x)=x − 0.8

f(x)=x − 0.9 f(x)=x − 1.2

22

22

Figura 2.18: Punto eventualmente fijo.

El comportamiento de las orbitas no es tan predecible a simple vista

cuando 14

> c > −2. Como se puede ver en las graficas, existen orbitas que

2.3. ANALISIS DE LA FUNCION FC(X0) 31

se van hacia un punto fijo para ciertos valores de c, pero para otros valores

diferentes de c la orbita tiende al infinito; y para otros valores no se acerca a

algun punto en especial. Tambien cuando se toman valores diferentes de x0 los

puntos de las orbitas no son predecibles a simple vista. Los puntos especiales

a los que tienden las orbitas son: puntos atractores, puntos repelentes, puntos

periodicos, puntos eventualmente periodicos, etcetera.

f(x)=x + c


y=xy=x

y=xy=x

f(x)=x + c2

2

2 2

c<1/4 c<1/4

c<1/4 c<1/4

Figura 2.19: Cuando c es menor que 14

existe una variedad de puntos fijos:Atractores, repelentes, periodicos, eventualmente periodicos, etcetera.

2.3. Analisis de la funcion fc(x0)

A continuacion se muestra un estudio simple de la dinamica de fc(x) =

x2+c , especıficamente para cuando c = 0. Se muestran los puntos especiales,

el comportamiento de sus orbitas; de forma grafica y haciendo los calculos,

tambien se muestra, como hacer los calculos mas facilmente con ayuda de

la computadora. Uno de los casos mas simple en la dinamica de la funcion

cuadratica es cuando c = 0.


f(x) = x2 x0 = 0 x0 = 0.1 x0 = 0.01 x0 = −0.1x0 0 0.1 0.01 -0.1f(x0) 0 0.01 0.0001 0.01

f2(x0) 0 0.0001 1,0 × 10−8 .000 1

f3(x0) 0 1,0 × 10−8 1,0 × 10−16 1,0 × 10−8

f4(x0) 0 1,0 × 10−16 1,0 × 10−32 1,0 × 10−16

f5(x0) 0 1,0 × 10−32 1,0 × 10−64 1,0 × 10−32

f6(x0) 0 1,0 × 10−64 1,0 × 10−128 1,0 × 10−64

f7(x0) 0 1,0 × 10−128 1,0 × 10−256 1,0 × 10−128

f8(x0) 0 1,0 × 10−256 1,0 × 10−512 1,0 × 10−256

f9(x0) 0 1,0 × 10−512 1,0 × 10−1024 1,0 × 10−512

: : : : :↓ ↓ ↓ ↓

limn→∞fn(x0) 0 0 0 0

Cuadro 2.1: Orbitas de f(x) = x2 para algunos valores de x0 muy cercanosa 0.

En el cuadro (2.1), se muestran algunos puntos de las orbitas para la

funcion f(x) = x2. Los puntos fueron calculados con ayuda de una compu-

tadora, mediante un programa computacional, que realiza los calculos de las

iteraciones para cuando c = 0 y tomando x0 muy cercanos a 0, los calculos

tambien se pueden realizar en una hoja de calculo. 2. Al observar, tanto los

datos del cuadro (2.1) como el analisis grafico de la figura (2.20), se puede

inferir que: Para valores de x0 cercanos a cero la orbita tiende a cero.

Figura 2.20: Analisis grafico de f(x) = x2, cuando x0 esta muy cerca de x = 0

2Los programas que se utilizaron para obtener los puntos de las orbitas, se encuentranen el apendice A pagina 85

2.3. ANALISIS DE LA FUNCION FC(X0) 33

f(x) = x2 x = 1 x = 0.9 x = 0.5x0 1 9 . 5f(x0) 1 . 81 . 25

f2(x0) 1 . 656 1 ,0 625

f3(x0) 1 . 430 47 3. 906 3 × 10−3

f4(x0) 1 . 185 3 1. 525 9 × 10−5

f5(x0) 1 3. 433 7 × 10−2 2. 328 3 × 10−10

f6(x0) 1 1. 179 × 10−3 5. 421 × 10−20

f7(x0) 1 1. 390 1 × 10−6 2. 938 7 × 10−39

f8(x0) 1 1. 932 3 × 10−12 8. 636 2 × 10−78

f9(x0) 1 3. 733 9 × 10−24 7. 458 3 × 10−155

f10(x0) 1 1. 394 2 × 10−47 5. 562 7 × 10−309

: : : :↓ ↓ ↓

limn→∞fn(x0) 1 0 0

Cuadro 2.2: Los datos corresponden a los primeros puntos de la orbita def(x) = x2 con x0 < 1.

Del cuadro (2.2) donde se itera la funcion f(x) = x2, para 0 ≤ x ≤ 1 y

de la figura (2.21) se puede inferir que los puntos de la orbita tienden a cero.

Figura 2.21: Analisis grafico de f(x) = x2 cuando x0 es menor que uno.

En el cuadro (2.3), se puede observar que para valores de x0 mas grandes

que uno (x0 > 1) las orbitas tienden al infinito.


f(x) = x2 x = 1,1 x = 1,5x0 1. 1 1. 9f(x0) 1. 21 3. 61

f2(x0) 1. 464 1 13. 032

f3(x0) 2. 143 6 169. 84

f4(x0) 4. 595 28844.

f5(x0) 21. 114 8. 319 8 × 108

f6(x0) 445. 79 6. 922 × 1017

f7(x0) 1. 987 3 × 105 4. 791 4 × 1035

f8(x0) 3. 949 4 × 1010 2. 295 7 × 1071

f9(x0) 1. 559 7 × 1021 5. 270 4 × 10142

f10(x0) 2. 432 8 × 1042 2. 777 7 × 10285

. . .

. . .

. . .

. ↓ ↓

limn→∞fn(x0) ∞ ∞

Cuadro 2.3: Primeros puntos de las orbitas de f(x) = x2 cuando x0 > 1.

1x

y

Figura 2.22: Analisis grafico de f(x) = x2 cuando x0 es mayor que uno. Conel analisis grafico se observa que efectivamente, las orbitas de f(x) = x2

tienden al infinito cuando x0 es mayor que uno.

2.4. ORBITAS PERIODICAS 35

En conclusion sobre la dinamica de la funcion f(x) = x2, graficamente se

infiere:

fn(x) → ∞ si |x| > 1,

fn(x) → 0 si |x| < 1,

fn(1) → 1 para todo n,

fn(−1) → 1 si n ≥ 1.

Ver las figuras (2.20, 2.21 y 2.22).

Comparando el analisis grafico, con los datos de los cuadros, se puede

decir que:

Todas las orbitas tienden a ∞ o a 0, excepto en 1 y en −1.

El 1 y el 0 son puntos fijos, y el −1 es un punto eventualmente fijo.

Se puede observar que existen dos puntos fijos, un punto fijo atractor

y un punto fijo repelente, el punto fijo atractor es P− y el punto fijo

repelente P+. El 0 es un punto fijo atractor, subsecuentemente los pun-

tos cercanos tienen orbitas que tienden a 0, por otro lado, el 1 es un

punto repelente, ya que las orbitas tienden a alejarse del el.

2.4. Orbitas periodicas

En el analisis grafico, se puede observar lo que ocurre con los puntos

especiales, a partir de analizar el comportamiento de los puntos de las ite-

raciones, hasta esta seccion se han mostrado los puntos fijos de fc(x), grafi-

camente y haciendo los calculos para obtener los puntos de forma numerica,

pero ¿que pasa? con los puntos fijos periodicos, es decir, las soluciones de las

siguientes ecuaciones:f(x) = x, f 2(x) = x, f 3(x) = x, f 4(x) = x, f 5(x) = x,

etc., (ver definicion de puntos periodicos en la seccion 1.1.1), para cono-

cer los puntos fijos de fc(x), basta con resolver algebraicamente la ecuacion

cuadratica y analizar sus raıces, para encontrar los puntos fijos periodicos

de fnc (x) = x (o puntos periodicos de periodo n); (n ≥ 3 n es un entero

positivo), es complicado, porque las ecuaciones que se tendrıan que resolver

son las siguientes:

f 2(x) = x

f(f(x)) = f(x2 + c) = (x2 + c)2 + c

x4 + 2x2c + c2 + c = x


x4 + 2x2c + −x + c2 + c = 0

f 3(x) = x

f(f(f(x))) = f(f(x2 + c)) = f(x4 + 2x2c + c2 + c)

(x4 + 2x2c + c2 + c)2 + c = x8 + 2(2x4x2c) + (c2 + c)2

x8 + 4x6c + (c2 + c)2 = x

x8 + 4x6c − x + (c2 + c)2 = 0

f 4(x) = x

x16 + ax14 + bx12 + ... − x + f = 0

f 5(x) = x

x32 + ... − x + g = 0

El asunto se complicarıa mas, si la funcion bajo estudio fuera trigo-

nometrica, logarıtmica, exponencial, etc., o si se tomara una ecuacion que

fuese alguna combinacion entre ellas, porque implicarıa la resolucion de ecua-

ciones de esa naturaleza, como por ejemplo, ax sen(bx) = 0, lnx − 3 = 0,

ex = a, ax3 + bx2 + cx + d = 0 para resolver este tipo de ecuaciones se tiene

que usar un metodo iterativo ver por ejemplo ([1]).

Regresando al caso en consideracion, es decir; la ecuacion cuadratica ele-

vada a una potencia n, para resolver una ecuacion de cuarto grado, no es una

cosa sencilla y para resolver una ecuacion de quinto grado o mayor no existe

un metodo analıtico para encontrar una solucion. Sin embargo, mediante un

analisis grafico se puede saber a priori si alguna ecuacion de ese tipo tiene

raıces o no, es decir puntos periodicos de periodo n.

Por medio de una grafica, se puede saber si una ecuacion tiene soluciones

o no, en caso de la grafica de la figura (2.23) corresponde a una funcion de

cuarto grado la cual puede intersectar a la recta y = x, de cero hasta cuatro

veces, lo cual quiere decir que una funcion de cuarto grado puede tener hasta

cuatro raıces reales y por lo tanto, f 2c (x) puede tener hasta cuatro puntos

periodicos de periodo 2.


f(x)= ax + bx +cx + dx + e4 3 2

Figura 2.23: Una funcion de cuarto grado puede llegar a tener hasta cuatropuntos fijos (puntos de interccion), es decir, puntos de periodo dos de fc(x).

De igual forma, con la grafica de una funcion de octavo grado f 3(x) =

x8 + ax6 + ... en la grafica de la figura (2.24) se puede observar que f 3(x)

puede intersectar a la recta y = x, de cero hasta ocho veces, lo cual quiere

decir que f 3c (x) puede tener hasta ocho puntos periodicos de periodo 3, los

cuales corresponden a los puntos fijos de la ecuacion de octavo grado, que es

la solucion de la ecuacion f 3c (x) = x.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

x

y

Figura 2.24: f(x) = ax8 + bx7 + cx6 + dx5 + ex4 + fx3 + gx2 + hx + i: Unafuncion de octavo grado puede llegar a tener hasta ocho puntos fijos o puntosperiodicos.


Definicion 16 Puntos periodicos repulsores

Sea f : R → R, un punto x periodico de periodo n es repulsor si,

|(fn)′(x)| > 1. x es un punto de periodo n repulsor de f(x), si y solo si,

x es un punto repulsor de fn(x). Si f es continua, todos los puntos {x, f(x),

f 2(x), fn−1(x)} son simultaneamente repulsores.

Definicion 17 Puntos periodicos atractores

Sea f:R → R, un punto periodico de periodo n es atractor si, |(fn)′(x)| <

1. x es un punto de periodo n atractor de f(x), si y solo si, x es un pun-

to atractor de fn(x). Si f(x) es continua, todos los puntos {x, f(x), f 2(x),

fn−1(x)} son simultaneamente atractores.

Ejemplo 6 Orbitas periodicas atractoras

Sea la funcion fc(x), con c = −1, es decir, f−1 = x2−1. Se puede mostrar

que tiene orbitas periodicas de periodo dos en -1 y 0. Tambien que sus orbitas

son atractoras y tiene cuatros puntos periodicos.

Para encontrar los puntos fijos y puntos periodicos, se tienen que resolver

las ecuaciones:

1. x2 − 1 = x (para encontrar los puntos fijos).

2. (x2 − 1)2 − 1 = x4 − 2x2 = x (para encontrar los puntos periodicos).

La primera ecuacion corresponde a una ecuacion cuadratica, que se puede

resolver, por medio de la formula general, p± = −b±√

b2−4c2

, obteniendo P− y

P+. Para resolver la segunda ecuacion que es una ecuacion de cuarto grado,

no es un caso simple, pero observando la grafica (2.25), se pueden observar

los cuatro puntos periodicos que tiene; son los puntos de interseccion que

muestra la grafica.

Mediante el analisis grafico, se puede observar e inferir el comportamiento

de los puntos periodicos, en la figura (2.25) se observan las intersecciones que

corresponden a los puntos fijos y a los puntos periodicos. Las graficas que

corresponden a las funciones f−1 = x2 − 1, la cual tiene dos puntos fijos

P+− = 1±

√1+4

2y f 2

−1(x) = (x2 − 1)2 − 1; que tiene cuatro puntos periodicos.


Puntos fijos

Puntos periodicos’

��

��

��

��

y

x

Figura 2.25: Los puntos de interseccion muestran los puntos fijos y puntosperiodicos. La interseccion de las graficas de las funciones f(x) = x (lınearecta inclinada a 45 grados) y f(x) = x2 − 1 (parabola), muestra los dospuntos fijos. La interseccion de las graficas de las funciones f(x) = x yf(x) = (x2 − 1)2 − 1 = f 2

−1 muestra los cuatro puntos periodicos.

P+

P −

0−1

��

��

��

x

y

P

P

−1 0

−

+

Figura 2.26: Orbitas periodicas de periodo dos de la funcion f−1 = x2 − 1;mediante el analisis grafico. Las orbitas de −1 y el 0 son orbitas periodicas ylas orbitas que se encuentran entre los puntos P− y P+ oscilan entre −1 y 0.


En la grafica de la figura (2.26), se muestran la tendencias de los puntos

que conforman las orbitas para x0, y se observa que si el valor absoluto de x0

es mayor al punto fijo mayor (lado derecho) |x0| > P+ entonces las orbitas

tienden al infinito. Pero las orbitas que se encuentran entre los puntos fijos

P− (lado izquierdo) y P+, oscilan entre −1 y 0. Dentro de los cuatro puntos

periodicos estan el −1, el 0 y 1±√

1+42

pero el −1 y el 0 tienen la peculiaridad

de que f(−1) = 0 y f(0) = −1, lo cual quiere decir, que las orbitas del −1 y

0 son orbitas periodicas u orbitas cıclicas de periodo dos.

Del analisis grafico, se pueden inferir los comportamientos de las orbitas,

pero eso no es suficiente para afirmar que se cumple para cualquier valor

que se le asigne al parametro c. Formalmente en terminos matematicos, pa-

ra afirmar dicho comportamiento, se tendrıa que realizar la demostracion

matematica correspondiente.

De acuerdo con la definicion de punto periodico y de orbita periodica, las

orbitas de segundo periodo solamente pueden ser los conjuntos formados por

{x0, fc(x0)} (el conjunto solamente contienen dos elementos), es decir, orbita

periodica de periodo 2, analogamente la orbita periodica de tercer periodo

es el conjunto: {x0, fc(x0), f 2c (x0)}, (la orbita de tercer periodo solamente

contiene tres elementos). La orbita periodica de fnc esta formada por el con-

junto de puntos: {x0, fc(x0), f 2c (x0), ...f

n−1c (x0)}, donde n = 1, 2, 3, 4, etc es

un numero entero positivo tambien se cumple que: cada punto de la orbita es

un punto periodico, y el conjunto que forma la orbita contiene n elementos.

Ejemplo 7 Orbitas periodicas

A continuacion se muestran dos ejemplos de orbitas periodicas; los dos

se muestran graficamente (figuras 2.27 y 2.28). Tambien se muestran en el

cuadro (2.4) algunos datos, los cuales fueron obtenidos realizando los calculos

con ayuda de la computadora, los datos corresponde a los puntos que con-

forman las orbitas, es decir, que los puntos de las orbitas se muestran en el

cuadro (2.4). En las graficas de las figuras (2.27 y 2.28) se muestra la tenden-

cia de la orbita periodica de periodo dos formada por el conjunto siguiente:

{-0.661894977, -0.661895037 }. La orbita se obtiene de la ecuacion cuadratica

cuando c = −1,1, es decir, f−1,1(x), y la orbita periodica de periodo cuatro

cuando c = −1,3, {0.241619542, -1.24161994, 0.241620138, -1.24161971}, es

decir, de f−1,3(x), respectivamente.


−0.661895037−0.661894977

Figura 2.27: Orbita periodica cuando c=1.1 y x0 = −0.661894977.O={-0.661894977, -0.661895037 }

−1.3

0.241619542

0.241620138−1.24161971−1.24161994

Figura 2.28: Orbita periodica cuando c=1.3 y x0 = 0.241619542.O={ 0.241619542, -1.24161994, 0.241620138, -1.24161971 }


Para estimar las orbitas periodicas de fc(x), es muy necesaria la ayuda

de la computadora, mediante un programa computacional que realice los

calculos (ver el apendice C pagina 91 ), los datos que se muestran en el cuadro

(2.4) fueron encontrado por el programa que se encuentra en el apendice C.

De acuerdo con la teorıa que se ha venido mencionando, para obtener

los puntos especiales, necesariamente se tendrıan que resolver ecuaciones de

quinto grado y como ya tambien se menciono es muy complicado. Para re-

solver ecuaciones de quinto grado y mayores se debe hacer mediante una

tecnica de aproximacion; los datos que se presentan en el cuadro (2.4), son

aproximaciones numericas de los puntos de las orbitas.

En el cuadro (2.4), se resaltan los puntos periodicos. El programa numeri-

co que se uso, para obtener los daros del cuadro utiliza una de las tecnicas

mas conocidas para aproximar las raıces, (ver el apendice C en la pagina 91).

El programa encuentra los puntos periodicos y cuando encuentra un punto

periodico, entonces realiza los calculos para encontrar los puntos de la orbita.

Ejemplo 8 Puntos periodicos

Supongamos que el programa encuentra un punto periodico de periodo 2

(ver la figura 2.27), donde el punto periodico es x0 = −0.661894977, entonces

el programa procede a encontrar los puntos de la orbita periodica, que en

este caso, es un conjunto de dos elementos distintos, es decir, la orbita: {-0.661894977, -0.661895037 } de igual forma para el caso de la figura 2.28 el

programa encuentra un punto periodico de cuarto periodico x0 = 0.241619542

y el programa calcula la orbita { 0.241619542, -1.24161994, 0.241620138, -

1.24161971 } .3.

3Los datos que se encuentran en el cuadro (2.4) se pueden confirma reproduciendoreproduciendo el programa computacional que se encuentra en el apendice B en la pagina89


n fnc c=-1.1 fn

c c = −1,3 fnc c = −1,38

x0 -0.661894977 0.241619542 0.293725342

1 -0.661895037 -1.24161994 -1.293725372 -0.661894977 0.241620138 0.2937253423 -0.661895037 -1.24161971 -1.293725374 -0.661894977 0.241619542 0.2937253425 -0.661895037 -1.24161994 -1.293725376 -0.661894977 0.241620138 0.2937253427 -0.661895037 -1.24161971 -1.293725378 -0.661894977 0.241619542 0.293725342

9 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253710 -0.661894977 0.241620138 0.29372534211 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253712 -0.661894977 0.241619542 0.29372534213 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253714 -0.661894977 0.241620138 0.29372534215 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253716 -0.661894977 0.241619542 0.293725342

17 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253718 -0.661894977 0.241620138 0.29372534219 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253720 -0.661894977 0.241619542 0.29372534221 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253722 -0.661894977 0.241620138 0.29372534223 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253724 -0.661894977 0.241619542 0.293725342

25 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253726 -0.661894977 0.241620138 0.29372534227 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253728 -0.661894977 0.241619542 0.29372534229 -0.661895037 -1.24161994 -1.2937253730 -0.661894977 0.241620138 0.29372534231 -0.661895037 -1.24161971 -1.2937253732 -0.661894977 0.241619542 0.293725342

Cuadro 2.4: Puntos de las orbitas. Los puntos que resaltan son puntos pe-riodicos.

Capıtulo 3

Diagrama de bifurcacion

En el estudio del sistema dinamico fc(x) = x2 + c existen, varias dificul-

tades, tanto graficas como analıticas. Estas comienzan cuando se requieren

calcular las iteraciones (orbitas) de la funcion para algunos valores de c. Asi-

mismo, para obtener los puntos periodicos, muchas veces el sistema dinamico

se vuelve sumamente complicado, ya que para realizar un estudio completo

se tienen que analizar todas las orbitas para un cierto intervalo de puntos

para observar que es lo que pasa ahı, es decir que tipo de orbitas se producen

para cada valor diferente de c. Como ya se menciono antes, esto requiere de

mucho trabajo, pero que con ayuda de las computadoras se puede minimizar,

al implementar un programa computacional. Una manera clasica de estudiar

las orbitas, al menos de forma intuitiva es: Dado un valor para x0, en este

caso se ha tomado el x0 = 0, se itera la funcion fnc (x0), n-veces (n=1, 2,

3, 4, 5, etc.); es decir la orbita del cero O(0), y tambien se varia el valor

de c en un cierto intervalo; en este caso de 0,25 a −2. Si los puntos forman

una orbita atractora, es decir, que no tienda al infinito, entonces los puntos

obtenidos de las iteraciones se grafican en un sistema de ejes coordenados;

en 2 dimensiones, en donde el eje horizontal representa el valor de c y en

el eje vertical los valores de los puntos de las orbitas. En el apendice D en

la pagina 93, se muestra un programa que calcula los puntos de las orbitas

(atractoras) del cero, y estos puntos reproducen la figura (3.1); las orbitas

del cero cuando se varıa el parametro c, y se deja fijo a x0 = 0. A la figura

(3.1) se le llama diagrama de bifurcacion, y en este caso, las condiciones

que se utilizaron para llevar acabo la grafica son: fc(x0) = x2 + c con x0 = 0,

y variando a c desde c = 14, hasta c = −2. De hecho, se obtiene la misma

grafica para algun x0 en el intervalo (0, 1).

45

46 CAPITULO 3. DIAGRAMA DE BIFURCACION

Diagrama de bifurcacion.

��

��

��

��

��

��

c

orbi

tas

atra

ctor

as d

e f(

x)

Figura 3.1: Esta figura corresponde a la grafica formada por los puntos delas orbitas atractoras (eje ” y ”) de fc(x) = x2 + c, con x0 = 0; contra elparametro c (eje ” x ”) de −2 < c < 1

4.

3.1. ANALISIS PARA −2 < C < 14

47

3.1. Analisis para −2 < c < 14

Para empezar a entender la informacion que provee el diagrama de bifur-

cacion, es necesario, recordar el comportamiento de las orbitas del sistema

dinamico de la funcion cuadratica. Mediante el analisis grafico, se pudo ob-

servar que las orbitas son muy variables, y para c, mayor que 14, todas las

orbitas tienden al infinito. Es por ello, que en el diagrama de bifurcacion no

aparecen estos puntos. Pero, para los valores de c que se encuentran entre -2

y 14, las orbitas tienden a diferentes puntos, dependiendo del valor de c. Es

aquı donde se reproduce el diagrama de bifurcacion (3.2), cuando se calculan

las orbitas de la funcion cuadratica y donde c toma valores del intervalo de

-2 a 14. Para los valores de c < −2, tanto en el analisis grafico, como numeri-

camente o en el diagrama de bifurcacion aparecen, muchas dificultades para

calcular los puntos importantes del sistema. En este caso, la dinamica es

mucho mas complicada y no se dira mucho al respecto, porque requiere de

matematicas mas avanzadas.

Figura 3.2: Diagrama de bifurcacion.


En el diagrama de bifurcacion, se observa un patron de comportamiento

muy especial. Para algunos valores del parametro c la grafica se va separando

en dos partes, y esto tiene que ver con los puntos periodicos de fnc (x) ([4]);

pues los puntos graficados en el diagrama de bifurcacion, son los puntos

periodicos atractores, como se muestra a continuacion en el analisis de −34

<

c < 14.

Analıticamente, para el caso cuando −34

< c < 14, c 6= 0, donde la orbita

tiene dos puntos fijos (P± = 1±√

1−4c

2y f ′(x) = 2x), se puede verificar

facilmente que:

Si c = −34; entonces P+ = 3

2

P+ =1 +

√4

2=

3

2.

Si c = 14; entonces: P+ = 1

2

P+ =1 +

√0

2=

1

2.

Por lo cual, si −34

< c < 14, entonces,

1

2< P+ <

3

2,

a demas

1 < 2P+ < 3,

y como f ′(x) = 2x

1 < |f ′c(P+)| < 3,

por lo tanto,

|f ′c(P+)| > 1 si

1

2< P+ <

3

2. (3.1)

Por otro lado:

Si c = −34; entonces P− = −1

2

P− =1 −

√4

2= −1

2.

Si c = 14; entonces P− = 1

2

P− =1 +

√0

2=

1

2.


49

Por lo cual,

−1

2< P− <

1

2,

entonces

−1 < 2P+ < 1,

−1 < |f ′c(P+)| < 1,

por lo tanto,

|f ′c(P−)| < 1 si − 1

2< P− <

1

2. (3.2)

Recordando la definicion de punto periodico atractor (definicion 2.4), en el

intervalo (−12, 3

2) los puntos tienden al punto periodico atractor (ver 3.1 y

3.2).

Si c < −34, entonces P+ > 3

2

P+ >1 +

√4

2=

3

2.

Por lo tanto,

|f ′c(P+)| > 1 si P+ >

3

2. (3.3)

Entonces para c < −34, los puntos tienden a un punto periodico repelente.

Notar que para todo c < 14, si x ∈ (−P+, P+), y −3

4< c < 1

4entonces

fnc (x) → P−.

Si |x| > P+, entonces

fnc (x) → ∞.

Por esta razon, en el diagrama de bifurcacion solamente aparecen los

puntos de las iteraciones cuando los puntos de la orbita tiende al punto P−.

Para entender el comportamiento del diagrama de bifurcacion, tambien

es util, analizar las graficas de las funciones de fc(x0) y fnc (x0) y sus puntos

periodicos, ya que el numero de puntos periodicos de periodo n depende

directamente del parametro c. Haciendo el analisis, la primera bifurcacion de

fc(x0) aparece para cuando c = 14, donde se determina que la grafica f(x) = x,

es tangente a la grafica de fc(x) en el punto x0 = 12, es ahı donde fc(x0) tiene

un punto fijo, y aparece el primer punto en el diagrama de bifurcacion e


inmediatamente despues cuando c < 14, fc(x0) tiene dos puntos fijos P± (son

las raıces de la ecuacion fc(x) = x), un punto atractor por la izquierda (P−) y

otro repulsor por la derecha(P+), a esta bifurcacion se le llama bifurcacion

de nodo-silla, figura (3.3), del analisis grafico tambien se observa que para

todo c < 14, si |x| > P+, fn

c (x) → ∞. Estas razones indican que la dinamica

interesante de fc(x0) ocurre en el intervalo Ic dado por (-P+, P+).

x

y

x

y

x

y

Figura 3.3: Bifurcacion de nodo-silla.

En las graficas de la figura (3.4), donde fn(x) vara a c desde 14

hasta −34,

se muestra que fc(x) puede tener de cero hasta dos puntos fijos unicamente,

dependiendo del valor que se le otorgue a c. Tambien muestra que los puntos

periodicos de fnc (x) pueden llegar unicamente a ser de periodo 2, sin importar

el valor de n. Por lo cual, se puede deducir, que en el intervalo −34

< c < 14

existe un punto periodico atractor de periodo n. Ası, el diagrama de bifur-

cacion, unicamente grafica a ese punto en ese intervalo (ver figura 3.4), el


51

punto fijo P+ (derecha) y el punto fijo P− (izquierda). Observando el analisis

grafico (seccion 2.1) y el diagrama de bifurcacion (figura 3.2), las orbitas que

se encuentran entre −34

< c < 14, tienden al punto P− y por tal motivo,

solamente aparece una curva en este intervalo.

f(x)

c= 0.25

2 3 nf (x) f (x) f (x)

c=0

c=−0.75

Figura 3.4: Comportamiento de fc y fnc con −3

4< c < 1

4.

La siguiente bifurcacion de fc ocurre cuando c = −34

(ver figura 3.2), en

donde los puntos tienden al punto fijo neutro P−, pues (f ′c(x) = 2x) y

f ′c(P−) = −1, P− = −1

2,

entonces

|f ′c(P−)| = 1.


mientras que P+ es un punto periodico repelente.

|f ′c(P+)| > 1 P+ =

3

2.

Ası, P− es un punto fijo neutro. Ademas, todas las orbitas de los puntos

en el intervalo (-P+, P+) tiende a P−.

Para el intervalo, −54

< c < −34, fn

c (x) las graficas muestran que se tienen

de dos a cuatro puntos fijos (figura 3.5) y porque depende tanto del valor de

n, como el valor de c, se espera que la curva del intervalo −34

< c < −14, se

parta en dos, como se puede ver en el diagrama de bifurcacion..

f(x)2 3 nf (x) f (x) f (x)

c=−1

c=−1.25

c= 4/5

Figura 3.5: Bifurcacion de doble periodo.

3.2. DOBLAMIENTO DEL PERIODO 53

3.2. Doblamiento del periodo

Mediante la observacion del diagrama de bifurcacion, se pueden inferir

ciertos comportamientos, algunos de los cuales se pueden comprobar analıti-

camente, existen tambien comportamientos del diagrama que no se pueden

inferir facilmente, tal es el caso, de cuando c pasa a traves de −34, donde

ocurren dos cosas, la primera es que el punto fijo P− se vuelve repelente para

c < −34

y la segunda es que, una nueva orbita periodica de periodo 2 aparece,

para cuando −54

< c < −34, esta orbita periodica es atractora. Es facil ver,

mediante una grafica de f 2c (x) este comportamiento, figura (3.6).

C = − 0.75 C = −1 C = −1.25

x

y

x

y

x

y

Figura 3.6: Cuando c pasa de −34

a −54, aparece una nueva orbita de periodo

dos.

Cuando el punto fijo P− se vuelve repelente y aparece una nueva orbita

periodica, se dice que ha doblado el periodo. Se puede repetir el proceso para

fnc (x), y se va observando el mismo patron de comportamiento, por ejemplo,

con f 4c (x) y c = −1,5, figura (3.7), donde una orbita de periodo 4 dobla su

periodo, produciendo un nuevo punto atractor de periodo 8. Continuando de

la misma forma, se esperar una sucesion de valores de c0, c1, c2, c3, ..., en los

cuales fnc dobla su periodo, bifurcandose y apareciendo una nueva orbita de

periodo 2n.


En la figura (3.7), se puede observar que aparecen replicas de fc(x) en

los recuadros. Es una forma de saber como aparecen nuevos puntos fijos,

puntos periodicos, etc.; y tambien para notar que para ciertos valores de c

el periodo se dobla. Una pregunta natural en este punto es ¿Que pasa en el

lımite de esta sucesion de doblar el periodo? Antes de intentar responder a

esta pregunta es conveniente responder primero al cuestionamiento ¿Cuantos

puntos periodicos tiene fc(x), cuando c = −2? Ya que en el diagrama no se

ve este comportamiento, del diagrama sı se puede concluir que para c = 14

empieza y que para −34

< c < 14, las orbitas de fc(x) tienden a un unico punto

periodico, para c = −34

ocurre una bifurcacion y que de −54

< c < −34

los

puntos de la orbita tienden a dos puntos periodicos, pero el comportamiento

de los puntos periodicos de −2 < c < −54, es complicado analizarlo porque

cada orbita difiere mucho, para puntos muy cercanos.

Figura 3.7: Cuando c = −1.5 f 4c (x), dobla su periodo.

3.3. ANALISIS PARA C = −2 55

��

��

��

��

��

��

c=−2f

c c

c3

2

2−1 0−2 −2 2

2

−2

2

−2

2

−2

−2 2 −2 2

a)b)

c) d)

c=−2 ff

fnc

Figura 3.8: Las graficas tienen exactamente 2n puntos fijos (intersecciones)para cada n cuando c = −2.

3.3. Analisis para c = −2

Notese que los puntos fijos de fc(x) cuando c = −2 (figura 3.8), son 2

y −1, y que f(0) = −2 (figura 3.8 inciso (a)), f 2−2(0) = 2 (figura 3.8 inciso

(b)), es decir, que el 0 es un punto eventualmente fijo y f−2 mapea los sub-

intervalos [−2, 0] y [0, 2], sobre el intervalo [−2, 2]. Esto es, f−2 dobla Ic sobre

el mismo dos veces. En consecuencia, f 2−2 dobla I−2 sobre el mismo 4 veces.

En la figura (3.8) se muestran varias graficas de fn−2, donde se puede observar

que las graficas de fn−2, tienen exactamente 2n puntos fijos para cada n. En

los cuadros (3.2, 3.3) y en las graficas de la figura (3.8), tambien se muestran

los puntos que se van repitiendo; es decir, los puntos que tienen en comun

fn, con fn−i, i = 1, 2, n − 1 (anteriores). Esto quiere decir que cuando el

valor de c disminuye hasta −2, el numero de puntos periodicos se incrementa

notoriamente.

Por ejemplo, sea f 5−2, la cual tiene 32 puntos fijos, dos de estos son P± y

30 puntos periodicos de periodo 5 ver el cuadro (3.1), y 6 orbitas periodicas,

un cuadro similar se encuentra en por ejemplo, [12].


puntos fijos

puntos fijos

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

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��

��

f(f(f(f(f(x)))))

f(f(f(x))

f(f(f(f(x))))

f](x)

f(f(x))

4

8puntos fijos

2puntosperiodicos

2

2puntos

periodicos

6puntos

periodicos

puntos12

periodicospuntos fijos

16

puntos fijos

32 puntosperiodicos

30

Figura 3.9: Graficas de fnc (x0), que muestran 2n puntos fijos para cada n.


n f2(x) f22 (x) f3

2 (x) f42 (x) f5

2 (x) f62 (x) f7

2 (x) f82 (x) f9

2 (x)

1 2 2 2 2 p+

−2 2 2 2 2

2 2 2 2 23 6 6 64 12 125 306 567 1268 2409 504

Totalde 2 4 8 16 32 64 128 256 512

puntosfijos

Cuadro 3.1: Los numeros de la diagonal, representan los puntos periodicosde fn

c (x).

El cuadro (3.1) muestra los puntos fijos que tiene fnc (x), n =1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8 y 9 (2n ultima fila), los puntos periodicos (numeros de la diagonal),

los puntos que tienen en comun fnc (x) con fn−i

c (x) i =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

y 8, el cuadro se construye a partir de los datos que se encuentran en los

cuadros (3.2 y 3.3) las raıces de fnc (x), de los cuadros se pueden calcular

aproximadamente, usando un software simbolico llamado ” Maxima ”. Una

tabla similar puede encontrarse en ([12]). Los datos del cuadro para f 9c (x) se

calculan de la siguiente manera:

Los puntos fijos de f2(x), se repiten para cualquier fnc (x).

Los puntos periodicos de f 22 (x), se repiten para fn

c (x), solo si n es par.

Los puntos periodicos de f 32 (x), se repiten para todos los multiplos de

n = 3.

Los puntos periodicos de f 42 (x), se repiten para todos los multiplos de

n = 4.

Por lo tanto, para f 9c (x) si tiene 29 puntos fijos, de los cuales 2, coinciden

con los de f 22 (x) y 6, son los mismos que los puntos periodicos de f 3

2 (x), pues

9 es multiplo de 3, por lo tanto, el numero de puntos periodicos de f 9c (x) son

29 − 2 − 6 = 504. Los cuadros (3.2) y (3.3) muestran todos los puntos fijos

de fnc (x) para cuando n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y c = −2, los numeros que se

remarcan, son los puntos que hay en comun entre fn y fn−i.


xn f(x) = x f2(x) = x f3(x) = x f4(x) = x f5(x) = x f6(x) = x f72 (x) xn f7

2 (x)x1 -1.0 -1.0 -1.0 -1.0 -1.0 -1.0 -1.0 x65 0.50587x2 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 x66 -0.51365x3 0.61803 -1.8794 0.61803 -0.50131 0.61803 1.0419 x67 -1.0566x4 -1.618 0.34730 -1.618 1.0579 -1.618 -0.26709 x68 -1.0831x5 1.5321 -0.54733 -0.28463 -1.8794 0.27127 x69 1.0983x6 -0.44504 1.3383 1.1601 0.34730 -0.55284 x70 0.56131x7 x7 -1.8019 0.18454 0.30286 1.5321 1.1238 x71 -1.1393

x8 1.2470 1.478 -1.2242 -0.44504 -7.3044×10−2 x72 -1.1637

x9 -1.2053 -0.65414 -1.8019 7.4194×10−2 x73 1.1796x10 -0.20906 -1.3097 1.2470 0.59948 x74 1.2030x11 -1.7004 1.3779 1.9603 -1.2192 x75 -1.2415x12 0.89148 0.69461 0.97197 1.2580 x76 0.31527x13 1.8271 1.4475 -1.9419 1.2793 x77 -0.32020x14 1.8649 -1.5175 -1.9382 -0.64576 x78 -1.2961

x15 -1.9563 9.5164×10−2 0.24107 0.65555 x79 -1.3164x16 -1.9659 -1.5721 1.9165 1.3527 x80 -0.17027x17 -0.10130 1.9111 -1.3698 x81 0.69166x18 1.6415 1.3965 0.17294 x82 -1.3881x19 0.83083 -1.9977 -0.70209 x83 1.4054x20 1.6825 -1.362 1.4228 x84 -1.4402x21 -1.7487 -0.33671 -0.36327 x85 -1.4566x22 -0.88079 -1.3234 1.4741 x86 -0.73715x23 -1.7777 1.2897 0.36893 x87 1.4895x24 1.8379 0.63697 -1.5071 x88 -1.5216x25 1.8567 1.9627 1.5391 x89 1.5528

x26 0.47152 -1.9975 2.4353×10−2 x90 0.74819x27 -1.9083 -1.2143 0.78221 x91 -1.5703

x28 -1.9190 0.14946 -2.4736×10−2 x92 -1.5830x29 1.9591 -1.1675 -0.79384 x93 1.6004x30 1.9639 -0.14487 1.6123 x94 -1.6296x31 -1.9897 1.1361 -1.6406 x95 0.41106x32 -1.9909 1.0851 -0.8268 x96 1.6578x33 0.54168 1.6680 x97 -0.41744x34 -1.0553 0.839 x98 -1.6849x35 -0.52541 -1.6944 x99 1.7111x36 -0.70921 1.7197 x100 -1.7362x37 1.4312 0.8709 x101 -1.7441x38 0.73068 0.21874 x102 1.7602x39 -1.4661 1.7674 x103 -0.22217x40 -1.497 -1.7831 x104 -1.7897x41 1.9907 1.8050 x105 1.8109

x42 4.8327×10−2 -1.8257 x106 -0.88365x43 1.5593 -0.91448 x107 -1.831x44 -1.5943 -0.45860 x108 1.8454

x45 -4.9861×10−2 1.8501 x109 0.92776x46 0.79873 0.46569 x110 -1.8639x47 1.9901 -1.868 x111 1.8813x48 -0.82257 1.8849 x112 0.12169x49 1.6525 -1.8975 x113 -1.9006x50 1.6729 1.9125 x114 0.95753x51 -1.8866 1.9152 x115 -1.9264x52 -1.9777 -1.9287 x116 1.9391x53 1.8523 1.9410 x117 -0.9713x54 1.8430 -1.9506 x118 -1.9522x55 0.91242 1.9610 x119 1.9622x56 -1.8137 -1.9701 x120 -1.971x57 1.979 -0.12361 x121 1.9976x58 -0.24869 1.978 x122 1.9787x59 -0.88638 -1.9847 x123 -1.9852x60 1.7709 .9902 x124 1.9905x61 1.7564 -1.9945 x125 -1.9947x62 0.43157 1.9976 x126 -1.9994x63 -1.7239 -1.9994 x127 10142x64 -1.7066 -0.60862 x128 1.3334

Cuadro 3.2: Raıces de fnc (x) = x, n = 1, 2, 3, . . . 7


xn f82 (x) xn f8

2 (x) xn f82 (x) xn f8

2 (x)x1 -1.0 x65 0.52359 x129 -1.0141 x193 1.0213x2 2.0 x66 -1.0559 x130 1.0633 x194 -0.13436

x3 0.61803 x67 0.13542 x131 -1.0841 x195 3.6958×10−2

x4 -1.618 x68 1.1175 x132 -1.0971 x196 1.1047x5 -0.54733 x69 -0.28023 x133 -1.1252 x197 0.28241x6 1.3383 x70 -1.1377 x134 0.57098 x198 1.1455x7 0.18454 x71 -1.1656 x135 -0.03667 x199 -1.1775

x8 1.478 x72 -0.59455 x136 1.1972 x200 8.6213×10−2

x9 -0.20906 x73 -0.30678 x137 1.236 x201 1.0766,x10 -1.7004 x74 1.2634 x138 0.15875 x202 0.63661x11 0.89148 x75 -1.2824 x139 -0.64142 x203 -1.2928x12 1.8271 x76 1.3114 x140 -0.32855 x204 -0.65973x13 1.8649 x77 0.33111 x141 0.66471 x205 -1.3298x14 -1.9563 x78 1.3479 x142 -1.3565 x206 0.68276

x15 -1.9659 x79 -8.5543×10−2 x143 1.3745 x207 -0.68790x16 -1.2053 x80 1.3836 x144 -1.3923 x208 -1.4012x17 0.35265 x811 -0.70569 x145 1.4185 x209 0.256x18 -0.25800 x82 1.0351 x146 -0.51961 x210 -1.0424x19 -0.35538 x83 0.71098 x147 -1.4272 x211 -1.4357x20 1.4444 x84 1.4526 x148 0.72851 x212 -1.4613x21 -0.1831 x85 -0.73396 x149 -1.4693 x213 1.1577x22 1.1855 x86 1.4857 x150 -1.4945 x214 -1.5020x23 -0.75123 x87 -0.37668 x151 1.5108 x215 0.75682x24 1.518 x88 0.3796 x152 -1.5268 x216 -1.5338x25 1.5426 x89 0.77383 x153 1.5494 x217 -1.5582

x26 -0.77957 x90 1.2224×10−2 x154 -1.5648 x218 1.5735

x27 -1.2320×10−2 x91 1.5799 x155 -1.5886 x219 -0.79631x28 0.40067 x92 1.6034 x156 0.8022 x220 1.6094x29 0.54318 x93 -1.6238 x157 1.6324 x221 0.81868x30 1.6379 x94 -1.6465 x158 -0.82471 x222 -1.6518x31 0.20744 x95 1.6604 x159 1.6655 x223 -0.61338x32 -1.6740 x96 -1.6789 x160 -0.84093 x224 1.6873x33 1.6921 x97 0.84710 x161 -0.42459 x225 -1.2552x34 -1.7050 x98 0.42787 x162 1.7133 x226 1.7176x35 -1.7259 x99 0.86304 x163 -1.73 x227 1.7382x36 -0.86935 x100 1.7421 x164 -1.7502 x228 -1.754x37 0.10996 x101 1.762 x165 1.7656 x229 -0.88503x38 -0.11082 x102 -1.7735 x166 -1.7770 x230 -0.15999x39 1.7848 x103 1.7881 x167 0.44845 x231 -1.7958x40 -1.7989 x104 1.8065 x168 -0.4519 x232 1.8094x41 0.90689 x105 -1.8169 x169 -1.8197 x233 -0.91347x42 1.3012 x106 1.8297 x170 -1.8370 x234 -1.8395x43 1.8466 x107 1.8489 x171 -0.23174 x235 -1.8559x44 -0.92861 x108 -1.8581 x172 -1.3198 x236 1.867x45 0.23355 x109 0.93532 x173 -1.8737 x237 -1.8756x46 1.8822 x110 1.8840 x174 -0.47224 x238 -1.8904x47 -1.8921 x111 1.8983 x175 1.8998 x239 0.95020x48 0.47587 x112 -1.9059 x176 -1.9073 x240 1.9132x49 -0.95702 x113 1.9145 x177 -1.9202 x241 -1.9215x50 1.9270 x114 1.9281 x178 -1.9334 x242 -1.9345x51 1.9396 x115 1.9405 x179 -0.97164 x243 -1.9455

x52 -1.9463 x116 1.951 x180 1.9518 x244 6.1111×10−2

x53 -0.56666 x117 -1.9570 x181 0.97859 x245 1.9613x54 1.9619 x118 -1.3659 x182 -1.9665 x246 1.9703x55 1.9708 x119 -0.06159 x183 -1.9744 x247 -1.9748x56 1.9782 x120 1.9785 x184 -1.9817 x248 -1.9819x57 0.49596 x121 1.9848 x185 1.9851 x249 0.99293x58 -1.9877 x122 -1.9879 x186 1.9903 x250 1.9904x59 -1.9926 x123 -1.9927 x187 1.9945 x251 1.9946x60 -1.9963 x124 1.9976 x188 1.9976 x252 -1.9962x61 -1.9986 x125 -1.9987 x189 -0.49977 x253 1.9994x62 1.9994 x126 -1.9998 x190 -1.9999 x254 1.4099x63 0.59007 x127 -1.2167 x191 0.30441 x255 1.2248x64 -1.2442 x128 1.274 1 x192 -1.5947 x256 -0.40376

Cuadro 3.3: Raıces de fnc (x) = x, n = 8, 9


En conclusion, lo que se puede inferir del analisis del diagrama de bifur-

cacion (3.10):

El diagrama de bifurcacion comienza a ser visible en c = 14.

En el intervalo −34

< c < 14, fc(0) tiene, unicamente, un punto periodico

atractor.

En el intervalo −54

< c < −34, fc(0), tiene dos punto periodicos atrac-

tores.

Para c = −2, fc(0), tiene una infinidad de puntos periodicos.

��

��

��

��

4

8

48 2

1

Figura 3.10: El diagrama de bifurcacion, esta formado por los puntos periodi-cos atractores.

Capıtulo 4

Autosimilaridad

Volviendo el caso cuando −2 < c < −54

y realizando un acercamiento

en el diagrama de bifurcacion, (ver la figura (4.1)), se puede notar que el

diagrama de bifurcacion se vuelve a ”reproducir”.

Figura 4.1: Autosimilaridad en el diagrama de bifurcacion.

61

62 CAPITULO 4. AUTOSIMILARIDAD

En los acercamientos, tambien se puede observar, muy claramente, que se

repite el patron de las bifurcaciones y el patron de las ventanas del diagrama.

��

��

��

Figura 4.2: Autosimilaridad en el diagrama de bifurcacion.

Al fenomeno de autosimilaridad, como el que se reproduce a partir del

diagrama de bifurcacion, matematicamente se le llama fractal, pero: ¿Que es

un fractal?. La definicion de fractal, aun no esta del todo establecida, pero

la mas aceptada por la ciencia es: Un cuerpo fractal es aquel que tiene la

63

dimension Topologica estrictamente menor que su dimension de Haussdorf-

Besucovic (dimension fractal) ([8]). Una definicion mas intuitiva, puede enun-

ciarse como: Un fractal es un ente geometrico infinito. Para entender la defini-

cion de fractal, a profundidad, es necesario, del conocimiento de matematicas

mas avanzadas y escapa al alcance y los objetivos del presente trabajo. Pero

esto no impide, que se pueda tener como acercamiento inicial, con un trata-

miento intuitivo y mencionar en forma general que los fractales tambien se

encuentra en la naturaleza (figura 4.4), mucha gente se dedica a estudiarlos

para trata reproducirlos mediante un simulador, otras personas tratan a los

fractales como un arte.

Figura 4.3: Autosimilaridad de una hoja de helecho y fractales que se pue-den incontrar en internet, tanto generados por un algoritmo matematico osimplemente que se encuentran en la naturaleza.


Figura 4.4: Fractales encontrados en internet.

4.1. Familia cuadratica de dimension 2

En esta seccion, se mostraran algunos fractales clasicos, los cuales son

consecuencia de estudiar sistemas dinamicos complejos. Antes de mostrar los

fractales clasicos, se ponen a consideracion algunos de los conceptos basicos

de numeros complejos.

Numeros complejos

Son numeros que se representan de la forma z = a + bi, donde a, b ǫ

R (son numeros reales), i =√−1 (se llama numero imaginario). Los

numeros complejos se representan en el plano complejo como puntos

de la forma a + bi = ρ(cosθ + isenθ), donde ρ se le llama el modulo de

z y θ argumento de z.

��

��

��

a

b (a+bi)

0

Figura 4.5: Representacion grafica de los numeros complejos.

4.1. FAMILIA CUADRATICA DE DIMENSION 2 65

Suma de numeros complejos

La suma de numeros complejos se define ası:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6

1

3

5

−1

−2

−3

−4

−5

2

4

a+bi

a

b

c+di

(a+c)+(b+d)i

c

d

Figura 4.6: Suma de numeros complejos.

Producto de numeros complejos

El producto de numeros complejos se define como sigue:

(a + bi)(c + di) = ((ac − bd) + (bc + ad)i),

y en forma polar

(ρ(cosθ + isenθ))(ρ′(cosθ′ + isenθ′)) = ρρ′(cos(θ + θ′) + isen(θ + θ′).

Para multiplicar numeros complejos se multiplican sus modulos y se

suman sus argumentos.

Potencia de numeros complejos

Si z = a + bi = ρ(cosθ + isenθ) entonces:

zn = (a + bi)n = ρn(cos(nθ) + isen(nθ)).


Raıces de numeros complejos

Si z = a + bi = ρ(cosθ + isenθ), entonces una de las raıces n-simas de

z es:n√ρ

(

cosθ

n+ isen

θ

n

)

.

Existen n raıces n-simas de z de la forma:

n√ρ(

cos( θ

n+

2kπ

n

)

+ isen( θ

n+

2kπ

n

))

k = 0, 1, 2, 3, ...n.

4.1.1. Sistemas dinamicos complejos

Dada f : C → C y dado z0 ǫ C, la formula recursiva zn+1 = f(zn) deter-

mina una sucesion de puntos. Esta sucesion es la orbita positiva O+(z0) de

z0. La definicion de orbita negativa se hace tomando todas las preimagenes

se define la orbita negativa de z0 como O−(z0) = {fk(z) = (z0)|z0ǫC kǫN}.

Si zn = z0 para todo nǫN , se dice que z0 es un punto fijo.

Si zn = z0 para algun nǫN se dice que z0 es un punto periodico, y

la orbita O+(z0) es periodica o cıclica. El periodo de la orbita es

el menor n con esta propiedad. z0 es n-periodico para f , si y solo si, es

punto fijo de fn.

4.1.2. Conjunto de Mandelbrot

Si el analisis y calculos de los capıtulos anteriores se hubiesen realizado

para la funcion cuadratica compleja f : C → C, fc(z0) = z20 +c; z0 = 0, c ǫ C,

las graficas que se mostraran analogo al diagrama de bifurcacion, seran las

que se muestran en las figuras (4.7 y 4.8), las cuales representan el conjunto de

Mandelbrot. El conjunto de Mandelbrot se construye de la siguiente manera:

dado un z0 (en este casos z0 = 0) se itera fc(z0) para diferentes valores c,

para el caso de la figuras de esta seccion, el valor de c se toma, seleccionando

una malla rectangular de [−2, 0.9]× [−1.3,1.3] del plano complejo. Entonces,

para cada punto de la malla, se calcula la orbita, hasta un cierto numero de

iteraciones, si la orbita no se escapa, es decir, si su norma es menor que cierto

numero (en esta caso 2), el punto de la malla se pinta de color negro. De la

misma manera, para los puntos que se escapan, dependiendo de la iteracion

en la que se escape se les asigna un color (ver figuras 4.7 y 4.8). 1.


Figura 4.7: Conjunto de Mandelbrot.

Al igual que las graficas que se realizaron para la funcion cuadratica con

numeros reales, aquı tambien las graficas que se reproducen con numeros

complejos son fractales, es decir, tienen la propiedad de autosimilaridad (ver

figura 4.7). Las imagenes tan hermosas generadas por un fractal, las podemos

observar gracias al uso de las computadoras, que son las que ayudan a calcular

los puntos de una forma mas rapida y eficiente, ya que para poder generar una

imagen de este estilo es necesario hacer muchos calculos. Cabe mencionar que

las imagenes generadas por la computadora, no son propiamente fractales,

ya que los fractales son un conjunto de puntos infinitos, y las computadoras

por poderosas que sean no podran hacer calculos infinitas veces.

1El programa que muestra las graficas del conjunto de Mandelbrot (figuras 4.7 y 4.8),se describe en los apendices (ver el apendice F pagina 99)


Figura 4.8: Conjunto de Mandelbrot, cambiando colores.

Figura 4.9: Conjunto de Mandelbrot, cambiando colores y haciendo acerca-mientos.


4.1.3. Conjunto de Julia

Ahora, estudiando el sistema dinamico complejo f(z) = z2 +c y tomando

un numero fijo c complejo y variando a z0, se obtiene el conjunto de Julia,

para generar la grafica que representa el conjunto de Julia, se toma z0 en una

malla del plano complejo, se itera fc(z) y dependiendo de la iteracion en que

se escape la orbita, se le asigna un color. las figuras representan el conjunto

de Julia (4.10, 4.11). 2

f1,1(x)

Figura 4.10: Conjunto de Julia.

2El programa que reproduce las graficas del conjunto de Julia (figuras 4.10, 4.11),esta en los apendices (ver el apendice G en la pagina 103)


Figura 4.11: Conjunto de Julia, cambiando colores.


4.1.4. El metodo de Newton-Raphson

Figura 4.12: Newton-Rapshon

El metodo de Newton-Raphson, es uno de los metodos numericos mas

conocidos y poderosos para la resolucion del problema de busqueda de raıces

de funciones, es decir, encontrar los valores de x, que satisfagan la ecua-

cion, f(x) = 0, dada una aproximacion inicial P0 mediante la sucesion {Pn}definida por(ver por ejemplo, [1]):.

Pn = Pn−1 −f(Pn−1)

f ′(Pn−1)n ≥ 1

En el caso de la figura (4.12), se refiere a una funcion compleja f(z) = z3−1,

cuyas raıces son: zr1 = 1, zr2 = −1+i√

32

y zr3 = −1−i√

32

, partiendo de un

z0 en el rectangulo [−2, 2] × [−2, 2] se itera n veces, usando el metodo de

Newton-Raphson, zi = zi−1 − f(zi−1)f ′(zi−1)

, i = 1, 2, 3, . . . n. Si la sucesion {zn}converge a una de las tres raıces, el punto se pinta de un color en la grafica,

por ejemplo en la figura (4.12) si z0 converge a zr1 , entonces z0 se pinta de


color rojo, pero si z0 converge a zr2 , entonces z0 se pinta de color amarillo, y

si z0 converge a zr3 se pinta de color azul.

Figura 4.13: Newton-Raphson, cambiando colores

Pero como se muestra en la figura (4.13), los colores se pueden cambiar,

obteniendo ası estas hermosas figuras. El programa que realiza las aproxima-

ciones de las raıces, por medio del metodo de Newton-Raphson; para obtener

las graficas, se encuentra descrito, en los apendices (ver el apendice H en la

pagina 107)


4.1.5. Metodo de la secante

El metodo de la secante es un metodo que se utiliza para aproximar raıces,

a partir de P0 y P1 mediante la sucesion de puntos {Pn} definida como (ver

por ejemplo, [1]) :

Pn = Pn−1 −f(Pn−1)(Pn−1 − Pn−2)

f(Pn−1) − f(Pn−2).

Figura 4.14: Metodo de la secante

La figura (4.14), muestra los numeros z que mediante el metodo de la

secante estan mas cerca de las raıces de la funcion compleja f(z) = z3 − 1,

cuyas raıces son: zr1 = 1, zr2 = −1+i√

32

y zr3 = −1−i√

32

, partiendo de z0 y

z0 se itera n veces la sucesion zn = zn−1 − f(zn−1)(zn−1−zn−2)f(zn−1)−f(zn−2)

, y de acuerdo al

criterio anterior (los puntos mas cercanos a zr) se pintan de algun color en el

rectangulo [−2, 2]× [−2, 2], en la figura (4.14), si zn converge a zr1 , entonces

z0 se pinta de color rojo, pero si zn converge a zr2 , entonces z0 se pinta de

color amarillo, y si zn converge a zr3 se pinta de color azul, (ver el apendice

I en la pagina 111).


Figura 4.15: Metodo de la secante, cambiando colores.

Figura 4.16: Metodo de la secante, cambiando colores y acercamientos.


Figura 4.17: FRACTALESEstas figuras fueron generadas por el software libre XaoS

Recomendaciones

Para la aplicacion de esta propuesta, es conveniente que para la pre-

paracion de cada clase el facilitador revise con anticipacion cada resultado

de aprendizaje, con la finalidad de precisar los materiales y equipo que se

utilizaran y para enriquecer y puntualizar las actividades que se realizaran.

Tambien es importante considerar el numero de estudiantes por grupo, tanto

por la cuestiones didacticas y pedagogicas como la de los requerimientos. Un

promedio de 20 alumnos por grupo y una computadora a lo mas por cada 2

estudiantes, el caso ideal una computadora por estudiante. Los conocimien-

tos basicos sobre una computadora y programacion, el manejo de software

elemental (hoja de calculo, procesador de texto y graficador).

Cabe precisar que el desarrollo de los contenidos se debe basar en la

estrategia didactica propuesta por la subdireccion de educacion media supe-

rior y complementar con la experiencia vivencial de cada facilitador, con la

intencion de:

Impulsar la realizacion de la evaluacion diagnostica y de las evaluacio-

nes continuas y de competencia laboral.

Estimular el interes del alumno por el contenido que va a aprender a

traves de la contextualizacion de cada unidad y del elemento o compe-

tencia.

Promover actividades centradas en el aprendizaje para desarrollar los

contenidos establecidos en la unidad de competencia que se va a desa-

rrollar.

Dar seguridad al alumno promoviendo su participacion permanente,

en todo el proceso, a traves de impulsar la solucion de problemas, el

trabajo en equipo y la demostracion grupal.

77

78 RECOMENDACIONES

La aplicacion de la propuesta consiste en que los estudiantes reprogra-

men los algoritmos que se encuentran en las practicas de esta propuesta

(apendices). Y la implementacion de la metodologıa propuesta es un trabajo

a futuro.

Resultados Como resultado de este trabajo de tesis, se pone a disposicion

el material didactico que se presentan en las cuatro unidades y los programas

computacionales en los apendices, los cuales se organizaron de acuerdo a la

secuencia de la teorıa de los capıtulos anteriores.

Conclusiones

Se ha hecho una revision documental, del tema de matematicas avan-

zadas ”Sistemas dinamicos”.

Se elaboro material para un curso introductorio de sistemas dinamicos,

que puede ser impartido en un curso de temas selectos de matematicos

de nivel bachillerato o un curso inicial de matematicas a nivel superior.

El objetivo del material se centro en la busqueda de la motivacion de

los estudiantes, para el estudio de las matematicas.

Debido a que solo se requieren conocimientos de matematicas de ni-

vel bachillerato para abordar el material, se pretende que personas que

incursionan en otras areas del conocimiento, lo puedan revisar sin ma-

yores dificultades.

El material se ha elaborado usando aplicaciones del sistema operativo

Linux, para promover el uso del software libre en el contexto de la

educacion, tanto a nivel medio superior como superior y ası, evitar

las dificultades economicas de licencias al que obedecen la mayorıa de

software educativo, que corre en el sistema operativo Windows.

Como trabajo a futuro se plantea de manera natural la aplicacion de

la metodologıa propuesta y la valoracion de su efectividad. Del mismo

modo, se pretende seguir con la promocion del uso del software libre

educativo para abordar temas especıficos de nivel medio superior y

superior.

Por otra parte, el estudio, reconstruccion y programacion de los algo-

ritmos que sirven para generar las figuras que representan fractales, en

particular, la que considera el metodo de la secante, ha dado lugar a la

generacion de figuras, posiblemente asociadas a algun tipo de fractal,

79

80 CONCLUSIONES

poco o nada exploradas, por lo cual resultarıa interesante un estudio

exploratorio.

Parte I

Apendices

81

Practicas

Los programas computacionales realizados en el presente trabajo, se han

desarrollado usando software libre, en esta ocasion en el sistema operativo

Linux Ubuntu 7.0.4. pero se pueden adaptar a otra plataforma, como pudiese

ser la plataforma de Windows u otros. Todos los programas estan escritos

en el lenguaje en Fortran. El compilador usado es el ”gfortran” que compila

codigos escritos en Fortran 77, Fortran 90 y Fortran 95.

Para realizar las graficas se ha utilizado una librerıa de Fortran llamada

”PGPLOT”.

Para hacer los calculos de los puntos fijos, mostrados en los cuadros (3.2

y 3.3) de la seccion (3.3) se ha usado software de calculo simbolico llamado

”Maxima”, que corre en Linux y es parecido al ”Mathematica” y al ”Mapple”

a deferencia que el ”Maxima” es parte del software libre y es totalmente

gratuito, los calculos simbolicos pueden ser exportados en codigo compatible

para ser compilados en ”Latex”.

83

84 PRACTICAS

A Orbitas de la funcion

cuadratica

Este es un programa que calcula las orbitas de f(x) = x2, para diferentesx0.

program orbx2

implicit none

integer i,j,nc

parameter(nc=9)

real x,y,c,a

print*,’Dame el valor inicial de la orbita’

read(*,*) a

x=a

do i=1,10

y=x**2

x=y

print*,i,x

end do

return

end

Programa que calcula las orbitas de f(x) = x2.

Este apendice contiene, una nocion basica de como realizar y compilar losprogramas numericos, que se utilizaron para obtener los datos que se muestran enlos capıtulos anteriores, este programa se utilizo para calcular los puntos de lasorbitas, es decir, los datos que contienen los cuadros (2.1, 2.2 y 2.3) para obtenerlos puntos, y manejar adecuadamente el programa que se mostro, se puede hacerde la siguiente manera.

85

86 A ORBITAS DE LA FUNCION CUADRATICA

Para escribir dicho programa se utiliza un editor cualquiera como Xemacs,emacs, KDevelop, Gedit, Nedit, etc. editores de software libre.

Para obtener los resultados del programa, primero se tiene que compilar; dela siguiente forma:

• En linea de comandos se escribe

gfortran -o nombre-del-ejecutable nombre-del-programa.f

• Y se ejecuta con

./nombre-del-ejecutable

en linea de comandos de cualquier terminal.

En este caso el programa tiene extension .f (punto f), ya que es un programaen lenguaje de fortran, de haber sido creado en lenguaje c se compilarıa dela siguiente forma:

• gcc -o nombre-del-ejecutable nombre-del-programa.c

• Y se ejecutarıa ası

./nombre.

Los resultados que arroja el programa, corresponden a los primeros 10puntos de la orbita de f(x) = x2 cuando x0 = 0.1

87

Este programa calcula los puntos de la orbita de la funcion cuadratica para unvalor determinado de c y x0.

program orbita

integer i

real x0 ,x, c

print*,’dame el valor inicial x0 y el valor de c’

read(*,*) x0,c

open(unit=2,file=’orb.dat’,status=’unknown’)

do i=1, 100

x=x0**2+c

x0=x

write(2,*)x0,x

print*,x

enddo

close(2)

return

end

Para que el programa calcula las orbitas de f(x) = x2 + c,se debe dar deentrada los valores de x0 y c.

��

��

��

��

��

��

��

��./orbita

0tra opcion para compilarf77

gfortran orbita.f −o orbita

./orbita orbita.f −o orbita

Resultados obtenidos del programa que calcula las orbitas defc(x) = x2 + c, dando de entrada los valores de x0 y c.

88 A ORBITAS DE LA FUNCION CUADRATICA

B Puntos periodicos

Este programa aproxima el punto periodico x0 con cierta precision (precisiontol=−1e−4), para c = −1.1 y en este caso de periodo dos, f2(x) = x, de igual formase calculan los puntos periodicos, para los valores de c = −1.3 y c = −1.38 que sonlos que se encuentran en el cuadro del capıtulo Dinamica de la funcion cuadratica.A este programa se le dan dos numeros Xi y xf , y dentro de ese intervalo, elprograma busca si hay puntos periodicos, es decir, si en la segunda iteracion def(x) el valor que devuelve es x, es decir que vuelva hacer igual, entonces, si esası, el programa pinta ese numero en la pantalla de lo contrario, toma el siguientevalor y realiza las iteraciones. Ası sucesivamente hasta barrer todo el intervalo.

program periodo1

implicit none

integer i,j,nc,nper

parameter(nc=1000000,nper=2)

real x,y,xi,xf, x0, tol

parameter (tol=1.e-4)

xi=-0.5

xf=-1.0

do j=0,nc

x=xi+j*(xf-xi)/nc

x0=x

do i=1,nper

y=x0**2-1.1

x0=y

if(abs(y-x).le.tol.and.i.eq.nper)then

print*,i,x

endif

end do

end do

return

end

Programa que aproxima los puntos periodicos.

89

90 B PUNTOS PERIODICOS

Datos del programa que aproxima los puntos periodicos.

La primera columna representa el valor del periodo (en este caso 2, pero en elprograma se le puede cambiar este valore, en (nper=2)). En la segunda columnaestan los puntos periodicos de periodo 2. El intervalo que vario el programa separtio en 1000000 y de esos, solamente los que se encuentran el la columna doscorresponden a puntos periodicos de periodo 2. Para saber en que intervalo existenpuntos periodicos, se puede apoyar en el analisis grafico.

C Orbitas periodicas

Este programa calcula las orbitas de los puntos periodicos (seccion 2.4, cuadro2.4). Con c = −1.1, c = −1.3 y c = −1.38.

Programa que calcula las orbitas con c = −1.3 y x0 = 0.241619542.

91

92 C ORBITAS PERIODICAS

D Bifurcacion

program bifurcacion

implicit none

integer i, j

integer ncmx, nomx, nmin

parameter (ncmx=200, nomx=80, nmin=10)

real x,y,x0,c0,c

real ci, cf

c0=0.25

cf=-2.0

ci=c0

open(unit=2,file=’func.dat’,status=’unknown’)

do j=1,ncmx

c=c0-(ci-cf)*(j-1)/ncmx

x0=0.0

x=x0

do i=0,nomx

y=x**2+c

x=y

if(i.gt.nmin)then

write(2,*) c, x

print*,c,x

endif

enddo

enddo

close(2)

return

end

93

94 D BIFURCACION

Resultados que se obtienen del programa que calcula los puntos deldiagrama de bifurcacion.

E Diagrama de bifurcacion

Programa que reproduce las graficas de los acercamientos del diagrama debifurcacion.

En este programa y en los siguientes, se utiliza la librerıa de fortran llama-da ”PGPLOT”. Para graficar y para compilarlo se deben escribir las siguientesinstrucciones:

g77 -fno-backslash nobre-del-programa.f -o nombre-del-ejecutable -lpgplot-L/usr/X11R6/lib -lX11 -lpng -lz -lm

program bifurcacion

implicit none

integer igraf, pgopen

integer i, j, k, cont


integer ncmx1, nomx1, nmin1

integer nzoom

parameter (ncmx=1000, nomx=1000, nmin=500)

real x,y,x0,c0,c

real ci, cf

real xc1, yc1, xc2, yc2

real x1, x2, y1 ,y2

CHARACTER*1 CH

CH=’M’

c0=-0.5

cont=0

10 if(cont.eq.0)then

ncmx1=ncmx

nomx1=nomx

nmin1=nmin

cf=-2.0

ci=c0

y1=-2.0

y2=2.0

else

ncmx1=ncmx+2000*cont

95

96 E DIAGRAMA DE BIFURCACION

nomx1=nomx+2000*cont

nmin1=nmin+1900*cont

ci=x1

cf=x2

c0=ci

endif

igraf= pgopen(’/xs’)

call pgask(.false.)

call pgpage

call pgvstd

CALL PGSLW(1)

call pgswin(cf,ci,y1,y2)

call pgbox(’bcnst’,0.0,0,’bcnst’,0.0,0)

call pgsci(1)

call pgsls(2)

call pglab(’c’,’ORBITA DE f(x)’,’DIAGRAMA DE BIFURCACION’)

call pgsci(4)

CALL PGSLS(1)

k=0

do j=1,ncmx1

c=c0-(ci-cf)*(j-1)/ncmx1

x0=0.0d0

x=x0

do i=0,nomx1

y=x**2+c

x=y

if(i.gt.nmin1)then

call pgpt1(c,y,-2)

k=k+1

endif

enddo

enddo

nzoom=1

if(nzoom.eq.1)then

call pgcurs(xc1,yc1,ch)


call pgsfs(2)

call pgsci(1)

call pgsls(2)

if(xc1.lt.xc2.and.yc1.gt.yc2)then

x2=xc1

y2=yc1

x1=xc2

97

y1=yc2

goto 20

endif

if(xc1.gt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then

x2=xc2

y2=yc2

x1=xc1

y1=yc1

goto 20

endif

if(xc1.lt.xc2.and.yc1.lt.yc2)then

x2=xc1

y2=yc2

x1=xc2

y1=yc1

goto 20

else

x2=xc2

y2=yc1

x1=xc1

y1=yc2

goto 20

endif

20 call pgrect(x1, x2, y1, y2)

cont=cont+1

goto 10

endif

call pgclos(igraf)

return

end

Programa que calcula y grafica el diagrama de bifurcacion con acerca-

mientos.

98 E DIAGRAMA DE BIFURCACION

F Conjunto de Mandelbrot

Programa que reproduce las graficas del conjunto de Mandelbrot.

program mandelbrot

implicit none




integer nzoom

integer i, j, nx, ny, niter, k, cont, niter1

parameter (nx=800, ny=800, niter1=200)

real xi, yj, x0, y0, xf, yf, xr1, xr2, xr3, yr1, yr2, yr3

complex z0, zi, z, z1, z2, z3


real x1, x2, y1 ,y2

CHARACTER*1 CH

CH=’M’

xr1=1.

yr1=0.

xr2=-0.5

yr2=0.5*(3)**0.5

xr3=-0.5

yr3=-0.5*(3)**0.5

z1=complex(xr1,yr1)

z2=complex(xr2,yr2)

z3=complex(xr3,yr3)

cont=0


x0=-2.

xf=0.9

y0=-1.3

yf=1.3

niter=niter1

else

x0=x2

99

100 F CONJUNTO DE MANDELBROT

xf=x1

y0=y1

yf=y2

niter=niter1+10*cont

endif


call pgask(.false.)

call pgpage

call pgvstd

CALL PGSLW(1)

call pgwnad(x0,xf,y0,yf)


call pgsci(1)

do i=1,nx

xi=x0+i*(xf-x0)/nx

do j=1,ny

yj=y0+j*(yf-y0)/ny

zi=complex(xi,yj)

z0=complex(0.,0.)

do k=1,niter

z=z0**2+zi

z0=z

if(abs(z).gt.2..and.k.gt.1.and.k.le.5)then

call pgsci(2)

call pgpt1(xi,yj,-4)

goto 5

endif


call pgsci(3)


goto 5

endif


call pgsci(4)


goto 5

endif


call pgsci(5)


goto 5

endif

101

if(abs(z).gt.2..and.k.gt.20)then

call pgsci(6)


goto 5

endif

enddo

if(abs(z).lt.2.)then

call pgsci(0)


endif

5 continue

enddo

enddo

nzoom=1

if(nzoom.eq.1)then



call pgsfs(2)

call pgsci(1)

call pgsls(2)


x2=xc1

y2=yc1

x1=xc2

y1=yc2

goto 20

endif


x2=xc2

y2=yc2

x1=xc1

y1=yc1

goto 20

endif


x2=xc1

y2=yc2

x1=xc2

y1=yc1

goto 20

else

x2=xc2

y2=yc1

x1=xc1

102 F CONJUNTO DE MANDELBROT

y1=yc2

goto 20

endif


cont=cont+1

goto 10

endif

call pgclos(igraf)

return

end

Programa que calcula y grafica el conjunto de Mandelbrot.

Resultado de correr el programa del conjunto de Mandelbrot. La forma decompilacion es igual que en el diagrama de bifurcacion.

G Conjunto de Julia

Programa que reproduce las graficas del conjunto de Julia.

program julia

implicit none




integer nzoom

integer i, j, nx, ny, niter, k, cont, niter1

parameter (nx=500, ny=500, niter1=200)




real cx, cy

real x1, x2, y1 ,y2

CHARACTER*1 CH

CH=’M’

xr1=1.

yr1=0.

xr2=-0.5

yr2=0.5*(3)**0.5

xr3=-0.5

yr3=-0.5*(3)**0.5

cx=-0.122

cy=0.745

z1=complex(xr1,yr1)

z2=complex(xr2,yr2)

z3=complex(xr3,yr3)

cont=0


x0=-1.5

xf=1.5

y0=-1.5

yf=1.5

103

104 G CONJUNTO DE JULIA

niter=niter1

else

x0=x2

xf=x1

y0=y1

yf=y2

niter=niter1+10*cont

endif


call pgask(.false.)

call pgpage

call pgvstd

CALL PGSLW(1)



do i=1,nx

xi=x0+i*(xf-x0)/nx

z0=complex(cx,cy)

do j=1,ny

yj=y0+j*(yf-y0)/ny

zi=complex(xi,yj)

do k=1,niter

z=zi**2+z0

zi=z


call pgsci(2)


goto 5

endif


call pgsci(3)


goto 5

endif


call pgsci(4)


goto 5

endif


call pgsci(5)

105


goto 5

endif

if(abs(z).gt.2..and.k.gt.20)then

call pgsci(6)


goto 5

endif

enddo

if(abs(z).lt.2.)then

call pgsci(0)


goto 5

endif

5 continue

enddo

enddo

nzoom=1

if(nzoom.eq.1)then



call pgsfs(2)

call pgsci(1)

call pgsls(2)


x2=xc1

y2=yc1

x1=xc2

y1=yc2

goto 20

endif


x2=xc2

y2=yc2

x1=xc1

y1=yc1

goto 20

endif


x2=xc1

y2=yc2

106 G CONJUNTO DE JULIA

x1=xc2

y1=yc1

goto 20

else

x2=xc2

y2=yc1

x1=xc1

y1=yc2

goto 20

endif


cont=cont+1

goto 10

endif

call pgclos(igraf)

return

end

La forma de compilacion es igual que en el diagrama de bifurcacion.

H Metodo de Newton-Raphson

Programa que reproduce las graficas de Newton-Raphson.

program newtonrap

implicit none




integer nzoom

integer i, j, nx, ny, niter, k, cont

parameter (nx=500, ny=500, niter=50)




real x1, x2, y1 ,y2

CHARACTER*1 CH

CH=’M’

xr1=1.

yr1=0.

xr2=-0.5

yr2=0.5*(3)**0.5

xr3=-0.5

yr3=-0.5*(3)**0.5

z0=(0,0)

z1=complex(xr1,yr1)

z2=complex(xr2,yr2)

z3=complex(xr3,yr3)

cont=0


x0=-2.

xf=2.

y0=-2.

yf=2.

else

x0=x2

xf=x1

107

108 H METODO DE NEWTON-RAPHSON

y0=y1

yf=y2

endif


call pgask(.false.)

call pgpage

call pgvstd

CALL PGSLW(1)



call pgsci(1)

do i=1,nx

xi=x0+i*(xf-x0)/nx

do j=1,ny

yj=y0+j*(yf-y0)/ny

zi=complex(xi,yj)

do k=1,niter

z=zi-(zi**3-1)/(3*zi**2)

zi=z

enddo

if(abs(zi-z1).le.1.e-10)then

call pgsci(2)


endif


call pgsci(3)


endif


call pgsci(4)


call pgsci(1)

endif

enddo

enddo

nzoom=1

if(nzoom.eq.1)then



call pgsfs(2)

call pgsci(1)

call pgsls(2)


109

x2=xc1

y2=yc1

x1=xc2

y1=yc2

goto 20

endif


x2=xc2

y2=yc2

x1=xc1

y1=yc1

goto 20

endif


x2=xc1

y2=yc2

x1=xc2

y1=yc1

goto 20

else

x2=xc2

y2=yc1

x1=xc1

y1=yc2

goto 20

endif


cont=cont+1

goto 10

endif

call pgclos(igraf)

return

end

Programa que calcula y grafica el metodo de Newton-Raphson.La forma de compilacion es igual que en el diagrama de bifurcacion.

110 H METODO DE NEWTON-RAPHSON

I Metodo de la secante

Programa que reproduce las graficas por el metodo de la secante.

program secante

implicit none




integer nzoom, csec, nsec

integer i, j, nx, ny, niter, k, cont, l, itp, i2

parameter (nx=200, ny=200, niter=25, nsec=80)


complex z0, zi, z, z1, z2, z3, zsec

real xsec, ysec


real x1, x2, y1 ,y2

CHARACTER*1 CH

character*100 arch

CH=’M’

xr1=1.

yr1=0.

xr2=-0.5

yr2=0.5*(3)**0.5

xr3=-0.5

yr3=-0.5*(3)**0.5

z0=(0,0)

z1=complex(xr1,yr1)

z2=complex(xr2,yr2)

z3=complex(xr3,yr3)

cont=0


x0=-10.

xf=10.

y0=-10.

yf=10.

else

111

112 I METODO DE LA SECANTE

x0=x2

xf=x1

y0=y1

yf=y2

endif

do l=1,nsec

xsec=x0+l*(xf-x0)/nsec

ysec=xsec

print*,xsec,ysec

itp=l+9

IF(ITP.LT.10) THEN

WRITE(arch,1000) ITP

1000 FORMAT(’/home/mauricio/Desktop/figpng/points’,I1,’.png/png’)

endif

IF(ITP.GT.10.and.itp.lt.100) THEN

WRITE(arch,1100) ITP

1100 FORMAT(’/home/mauricio/Desktop/figpng/points’,I2,’.png/png’)

print*,arch

endif

igraf= pgopen(arch)

call pgask(.false.)

call pgpage

call pgvstd

CALL PGSLW(1)



call pgsci(1)

do i=1,nx

xi=x0+i*(xf-x0)/nx

do j=1,ny

yj=y0+j*(yf-y0)/ny

zi=complex(xi,yj)

zsec=complex(xsec,ysec)

do k=1,niter

z=zi-((zi**3-1)/(zi**2+zsec**2+zsec*zi))

zsec=zi

zi=z

enddo

csec=0


113

call pgsci(2)


csec=csec+1

endif


call pgsci(3)


csec=csec+1

endif


call pgsci(4)


call pgsci(1)

csec=csec+1

endif

if(csec.eq.0)then

call pgsci(0)


call pgsci(1)

endif

enddo

enddo

call pgclos(igraf)

enddo

nzoom=1

if(nzoom.eq.1)then



call pgsfs(2)

call pgsci(1)

call pgsls(2)


x2=xc1

y2=yc1

x1=xc2

y1=yc2

goto 20

endif


x2=xc2

y2=yc2

x1=xc1

y1=yc1

goto 20


endif


x2=xc1

y2=yc2

x1=xc2

y1=yc1

goto 20

else

x2=xc2

y2=yc1

x1=xc1

y1=yc2

goto 20

endif


cont=cont+1

endif

return

end

Programa que calcula y grafica el metodo de la secante.

115

Resultado de correr el programa de la secante. La forma de compilacion esigual que en el diagrama de bifurcacion.

Bibliografıa

117

118 BIBLIOGRAFIA

Bibliografıa

[1] Burden, R. L. & Faires, J. D. (1985), Analisis numerico, Iberoamericana.

[2] Castillo-Padilla, Juana (2006), III Congreso Iberoamericano de Cabri

2006, ”Funcion cuadratica con cabri, disenada con base en la estructura

psicologica de la actividad de Leontiev”.

[3] Devaney, Robert L. (1989), An introduction to chaotic dynamical systems,

Addison-Wesley second Edition.

[4] Devaney, Robert L. (1989), Proceedings of symposia in applied mathema-

tics, volume 39.

[5] Hernandez Gallardo Luis Manuel, Gomez Alcaraz Guillermo (2000), Cur-

so Taller de Formacion Superacion y Actualizacion para Profesores de

Matematicas del Bachillerato, valle.fciencias.unam.mx/textos

[6] Haaser, Norman B. (2002), Analisis matematico, Trillas sexta reimpre-

sion.

[7] Medina Molina, Joaquin (2003), Modelado de sistemas dinamicos

y educacion en ciencias, Puerto Rico. http://www.sysdyn.mit.edu,

http://www.std.com, http://www.hps-inc.com

[8] Perez-Plaza, Rodrigo (1998), Fractales: Matematica de belleza infinita.

[9] Garcıa Ramos, Jose Manuel (1994), Bases pedagogicas de la evaluacion,

Sıntesis primera edicion.

[10] Reina, Pedro (2005), disponible en la pagina electronica:

http://es.wikipedia.org/wiki/Software−libre

[11] Reinoso, Carlos (2007), Complejidad y caos: una exploracion antro-

pologica, SB, Buenos Aires, Argentina.

119

120 BIBLIOGRAFIA

[12] Sauer, Tim (1996), Chaos: An introduction to dynamical systems, Se-

caucus: Springer-Verlag New York.

[13] Stallman, Richard (2004), Software libre para una sociedad libre, Madrid,

Espana, Traficantes de Suenos. P. 16-23

[14] Zill, Dennis G. (1985), Calculo con geometrıa analıtica, Iberoamerica.

Tesis: Propuesta metodol´ogica para un curso introductorio...

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