PROPIEDAD BASICA DEL TETRAEDRO :

Es difícil indicar cual es la propiedad “ básica” de un tetraedro , pero nosotros hemos elegido una inicial , que no suele aparecer en los libros .

Sabemos que un tetraedro A,B,C,D está integrado por cuatro lados triangulares . A cada lado le corresponde un CENTROIDE de AREA . Este punto es la intersección de las tres MEDIANAS ó Baricentro .

A ese mismo tetraedro , considerado sólido ( ó volumen ) , le corresponde un CENTROIDE de VOLUMEN . Punto en el que se cortan las rectas que unen esos Centroides de área con el vertice opuesto . Puede considerarse una extensión por tanto de los centroides de área y estos a su vez del centro de aristas , en 1D , 2D y 3D . Es decir :

1D………….. Centro ( punto medio ) de aristas . 2D………….. Centroide de área ( ó superficie ) . 3D………….. Centroide de Volumen ( ó sólido ) .

En cualquiera de los casos , esta implicado en el siguiente escalón , los vértices opuestos en las caras ( medanas ) y los vértices opuestos a las caras ( medianas 3D ) .

Estas correspondencias .. no han sido estudiadas debidamente y tienen que estar relacionadas entre si evidentemente .

Igualmente ocurre con las esferas inscritas y circunscritas .

En el caso de la inscrita , hay que considerar el concepto de la bisectriz de un triedro .Puede hacerse como extensión también de la bisectriz de un Angulo 2D . Para

el trazado de esa bisectriz del triedro , bastará con trazar dos planos ( de los tres ) bisectores del los diedros que integran el triedro .

La intersección ( siempre un punto ) de las cuatro bisectrices de los cuatro triedros , evidentemente darán el centro de esa esfera inscrita , tetra tangente a los cuatro lados del tetraedro . Solo son necesarias DOS bisectrices , ya que forzosamente , las otras dos CONCURRIRAN en el centro .EL pié de cualquiera de esas perpendiculares desde el centro a las caras , DETERMINARA EL RADIO .

ESTOS PUNTOS NO SON LOS MISMOS QUE LOS ANTERIORES ( SOLO COINCIDIRIAN EN EL TETRAEDRO REGULAR ) , pero evidentemente DEBEN ETAR RELACIONADOS ENTRE SI , pero estas relaciones NO HAN SIDO EN GENERAL INVESTIGADAS ( ó por lo menos yo no las conozco )

Siempre he tenido la impresión , de que cuando vayamos entrando en estos temas , iremos descubriendo la realidad geométrica de estos mundos en que vivimos .

Lector , como puedes ver , expongo caminos a andar . En estos momentos tenemos herramientas nuevas que nos lo permiten . Sin abandonar las reglas , escuadras , cartabones ,compases … etc que cumplieron sobradamente con sus obligaciones , tomemos estas maravillosas herramientas y comencemos a reandar el camino .

Igualmente ocurre con la esfera CIRCUNSCRITA , que se determinaría como pasando por los cuatro VERTICES . Cada tres de ellos determinan un circulo de esa esfera y las perpendiculares por los centros de ellas PASAN POR EL CENTRO . Evidentemente también existirán relaciones entra ambas esferas . MEJOR DICHO , TODO DEBE ESTAR RELACIONADO CON TODO . Pero todo esto está por investigar . Lo que conocemos es solo una infinitésima parte del TODO .

Estas propiedades comienzan en los lados triangulares , se extienden al tetraedro y probablemente a us extensiones 4D y superiores .

Algunas de ellas ya las hemos expuesto en anteriores trabajos , pero será conveniente recordarlas .

Recordemos que se pueden alojar en cada cara triangular TRES UNICAS parábolas , cuyos puntos de control serna los vértices . Según el orden de elección , darán lugar a TRES . Dividen al área del triangulo en tres partes iguale , otras tres iguales y mitad y una central igual al doble . Se cortan en puntos qie estan en sus respectivas medianas

y van sucesivamente formando triángulos semejantes al primero ( invertidos ) pero con sus áreas iguales a la cuarta parte del anterior . Su centro es el CENTROIDE DE AREA SIEMPRE y en cada caso .

El circulo inscrito al triangulo , tiene un centro y en general no coincidirá con el centroide . SOLO EN EL TRIANGULO EQUILÁTRO CONCURREN ESTAS COINCIDENCIAS .

Algo debe tener al agua “ cuando la bendicen “ , dice un antiguo dicho bien conocido . Algo tendrá ese triangulo , cuando esto ocurre . PERO ESTOS ELEMENTOS ESTAN RELACIONADOS IGUALMENTE AUNQUE EL TRIANGULO SEA ESCALENO .

Según sabemos TODO TRIANGULO ES TRANSFORMABLE EN UNO EQUILÁTERO , por tanto también la inversa será cierta . TODO TRIANGULO ESCALENO ES TRANSFORMABLE EN UNO EQUILATERO . Lo que ocurre es que otras figuras alojadas en este ( por ejemplo un circulo ó circunferencia , SE TRANSFORMARÍA A SU VEZ EN UNA ELIPSE ( CÓNICA ) en esa transformación . Pero el caso de circulo ó circunferencia interior al escaleno , sería una mezcla de dos transformaciones , que ya es más complejo ( pero relacionable ) .

Este proceso , queda representado en la anterior lámina . Hemos supuesto primero , un triangulo ABC regular equilátero y hemos trazado en su interior , su circulo ó circunferencia inscrita 1,2,3 . Lo hemos deformado mediante un alargamiento . El triangulo ha pasado a ser el A1,B1, C1 ( escaleno ) y el circulo a una elipse 4,5,6 .Tomando este ahora y deformando lo inversamente , para convertirlo en equilátero nuevamente , esa elipse NO SE RECUPERA en el circulo inicial , pero si estará

relacionada con el . ??????

Este tipo de transformaciones , no está estudiado en completo .

En una figura completa hemos incluido todos los pasos .

Parece que hay tema interesante … verdad .

Bien … sigamos nuestro camino y nunca estuvo mejor dicho ….ni aplicado …

Caminante ..SI …hay camino ….Se hace camino al andarlo …..

Si volvemos a la figura del tetraedro en línea con la esfera inscrita ( en azul ) , podremos plantearnos la siguiente construcción :

Trazamos los segmentos desde el punto de contacto de esfera y cara a los vértices ( blanco ) en cada una de las caras . ATRAEMOS ( ortogonalmente a la esfera ) , todos estos segmentos ( 12 ) , que nos dan trozos de arcos máximos sobre esta , CERRANDO UNA CURVA MIXTA DE ELLOS ( como un balón de futbol ).

Estos arcos , con los segmentos anteriores , pueden definir superficies alabeadas , que CIERRAN módulos ( 4 ) Y POR TANTO PUEDEN CONJUNTAR UN SÓLIDO ( 4 ) estrellado( verdes ) ó bien uno cerrado en el centro ( morado ) .

En la ejecución de estas formas , hemos partido del tetraedro evidentemente y sus elementos anteriormente expuestos . Después hemos tomado decisiones de definición de formas y finalmente las vamos a utilizar en tramas espaciales .

NO TENEMOS OBJETIVO , SOLO EXPERIMENTAMOS como la propia naturaleza parece hacer . Cmo muchas veces hemos repetido , el proceso natural no necesita tiempo ,objetivos … solo reglas que la geometría impone . Elser humano , si necesita objetivos y tinene limitado su tiempo . Claramente es diferente . Nosotros vamos a distanciarnos del ser humano y aproximarnos al natural para al final asignar un cristalización , objetivo y dar por concluida la evolución . Eso nos caracterizaría otra vez como humanos .

Multiplicando esos módulos en el espacio , crearíamos formas . Les aplicariamos utilidades y sería un proceso racional natural .

Los resultados los mostramos a continuación . Ponemos formas , luces , colores … etc y dan estos resultados …. Que van de lo más simple a lo de mayor complejidad

………………………..…………..

Este módulo simple , puede repetirse en el espacio con cualquier ley , formula ó libremente . Puede parecer el caos , pero evidentemente nunca lo es .

Imponiendo texturas , coloraciones , luces de todo tipo y el juego luz sombra consiguiente , obtendremos los siguientes ejemplos de cristalizaciones , TODAS RELACIONADAS EVIDENTEMNTE CON EL TETRAEDO ORIGEN .

Finalmente ( por decisión de cristalización ) , no por término , lo dejamos en estas dos últimas expresiones . Por duplicado …. Ó multiplicado ….. Quien sabe .

Quien lo hubiera dicho … pero todo esta relacionado con todo … verdad…

Manuel Hidalgo Herrera Arquitecto y Geómetra .