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Fundamentos matemáticos y tensores

Maestrı́a en Ingenierı́a, BUAP

Dr. Jaime Retama Velasco

– p. 1/36

Mecánica

En términos generales, la MECÁNICA es la rama de la FÍSICA que estudia

el comportamiento de un cuerpo bajo la acción de un sistema de fuerzas, o

deformaciones, y su evolución en el tiempo. Se clasifica como:

Mecánica del Medio Continuo (MMC)

Mecánica Teórica

Mecánica Aplicada

Mecánica Computacional

Mecánica Teórica. Establece las leyes que gobiernan un problema físico

particular basada en principios fundamentales.

Mecánica Aplicada. Transfiere los conocimientos teóricos para su uso en

problemas de la ciencia y la ingeniería.

Mecánica Computacional. Resuelve problemas por medio de

simulaciones y herramientas numéricas implementadas en programas de

computadora.

– p. 2/36

Tensores cartesianos

El lenguaje de la Mecánica del Medio Continuo (MMC) es el álgebra y

cálculo tensorial. Los tensores son cantidades matemáticas que sirven para

representar cantidades físicas de la MMC.

Dentro de las cantidades físicas, existe una clase que puede ser definida

complementamente mediante su magnitud, un valor numérico. Por ejemplo:

la densidad, la temperatura, la gravedad, entre otras. Este tipo de

cantidades se les conoce como escalares, tensores de orden cero.

Muchas otras cantidades de la mecánica; como son: fuerza, velocidad,

posición; es necesario dar una dirección además de su magnitud para poder

quedar definidas. Este tipo de cantidades se les conoce comúnmente como

vectores, tensores de orden uno.

Dentro de la mecánica, existe otro tipo de cantidades para las cuales, no

basta definir su magnitud y dirección. Los esfuerzos y deformaciones son un

ejemplo de este tipo de cantidades; son arreglos que se conocen como

matrices, tensores de orden dos.

– p. 3/36

Notación indicial

Considere la suma

s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · ·+ anxn

Podemos reescribir esta ecuación como

s =

n∑

i=1

aixi

Utilizando el convenio de suma de Einstein

s = aixi

El convenio de suma se puede utilizar una doble o triple suma, por ejemplo

3∑

i=1

3∑

j=1

aijxixj , aijxixj

– p. 4/36

Notación indicial

Expandiendo esta última ecuación,

aijxixj =a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3 + a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3+

a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3

De igual forma para el triple producto

3∑

i=1

3∑

j=1

3∑

k=1

aijkxixjxk, aijkxixjxk

aijkxixjxk =a111x1x1x1 + a112x1x1x2 + a113x1x1x3 + a121x1x2x1 + a122x1x2x2+

a123x1x2x3 + a131x1x3x1 + a132x1x3x2 + a133x1x3x3 + a211x2x1x1+




a332x3x3x2 + a333x3x3x3

– p. 5/36

Notación indicial

Esto significa que en total se tendrían ijk términos en la suma

• ÍNDICES LIBRES Considere el siguiente sistema de tres ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3

Reescribiendola en forma más compacta

a1mxm = y1

a2mxm = y2

a3mxm = y3

, aimxm = yi, con i,m = 1, 2, 3

Donde el índice libre es i. Por aparecer una sola vez dentro de la ecuación.

– p. 6/36

Notación indicial

Otro ejemplo con dos índices libres

Tij = AimBjm, i, j = 1, 2, 3

Desarrollando esta ecuación

T11 = A1mB1m = A11B11 +A12B12 +A13B13

T12 = A1mB2m = A11B21 +A12B22 +A13B23

T13 = A1mB3m = A11B31 +A12B32 +A13B33

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

T33 = A3mB3m = A31B31 +A32B32 +A33B33

– p. 7/36

Notación indicial

A11 A12 A13 · · · A1n

A21 A22 A23 · · · A2n

.... . .

...

Am1 Am2 Am3 · · · Amn

x1

x2

· · ·

xn

=

b1

b2

· · ·

bn

relizando la multiplicación matricial

A11x1 +A12x2 + · · ·+A1nxn = b1

A21x1 +A22x2 + · · ·+A2nxn = b2

· · ·+ · · ·+ · · ·+ · · · = · · ·

An1x1 +An2x2 + · · ·+Annxn = bn

o en forma más compacta

Ai1x1 +Ai2x2 + · · ·+Ainxn = bi, con i = 1, 2, . . . , n

– p. 8/36

Notación indicial

z

y

x

P

a

ez

ey

ex

ax

ay

az P

⇔

a

x3

x2

x1

e3

e2

e1

a1

a2

a3

Considere el punto P (x1, x2, x3) localizado en el sistema cartesiano,

P (xi), con i = 1, 2, 3

donde xi denota x1, x2, x3

– p. 9/36

Notación indicial

Otro ejemplo de notación indicial es

m∑

j=1

aijxj = bj , i = 1, 2, . . . , n

Esta ecuación, para m = n = 3, se expande como

i = 1 :3

∑

j=1

a1jxj = b1, a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1,

i = 2 :

3∑

j=1

a2jxj = b2, a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2,

i = 3 :3

∑

j=1

a3jxj = b3, a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3,

– p. 10/36

Notación indicial

Usando el convenio de suma de Einstein, aijxj = bi

• TENSORES

Tensores de primer orden. Únicamente tienen un índice libre; ejemplo

ai =

a1

a2

a3

, i = 1, 2, 3

Otros ejemplos son: aijbj , Fikk, ǫijkujvk

Tensores de segundo orden. Tienen dos índices libres; ejemplo

Aij =

D11 D12 D13

D21 D22 D23

D31 D32 D33

– p. 11/36

Notación indicial

Otros ejemplos son: Bijip, δijukvk

Tensores de orden cuatro. Tienen cuatro índices libres. Por ejemplo el

tensor constitutivo.

Dijkl :

D1111 D1112 D1113

D1121 D1122 D1123

D1131 D1132 D1133

D12kl D13kl

D21kl D22kl D23kl

D31kl D32kl D33kl

,

i = 1, 2, 3

j = 1, 2, 3

k = 1, 2, 3

l = 1, 2, 3

Las derivadas parciales de un tensor con respecto a xi se escribe como , i

∂Φ

∂xi

= Φ,i

∂vi

∂xi

= vi,i∂σij

∂xj

= σij,j

– p. 12/36

Notación para derivadas parciales

La derivada parcial con respecto a la variable xi se representa mediante la

convención de la coma; es decir

∂φ

∂xi

= φ,i

∂vi

∂xi

= vi,i

∂vi

∂xj

= vi,j

∂2vi

∂xj∂xk

= vi,jk

∂σij

∂xj

= σij,j

– p. 13/36

Delta de Kronecker

La delta de Kronecker, δij, se define como

δij =

1, ∀ i = j

0, ∀ i 6= j

Es decir

δ11 = δ22 = δ33 = 1

δ12 = δ13 = δ21 = δ23 = δ31 = δ32 = 0

Además, la matriz identidad I es la matriz de la delta de Kronecker

δij =

δ11 δ12 δ13

δ21 δ22 δ23

δ31 δ32 δ33

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

– p. 14/36

Delta de Kronecker

Se puede observar lo siguiente

a) δii = δ11 + δ22 + δ33 = 3

b) δ1mam = δ11a1 + δ12a2 + δ13a3 = a1

δ2mam = δ21a1 + δ22a2 + δ23a3 = a2

δ3mam = δ31a1 + δ32a2 + δ33a3 = a3

O de forma general

δimam = ai

c) δ1mTmj = δ11T1j + δ12T2j + δ13T3j = T1j

δ2mTmj = T2j

δ3mTmj = T3j

De forma general

δimTmj = Tij

– p. 15/36

Delta de Kronecker

De forma especial tenemos

δimδmj = δij

δimδmnδnj = δij

d) Si e1, e2, e3 son vectores mutuamente perpendiculares, entonces

ei · ej = δij

– p. 16/36

Símbolo de permutación

El símbolo de permutación se define como,

eijk =

0 si dos o más subíndices son iguales,

+1 para (i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2),

−1 para (i, j, k) = (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1)

i

k

j +

+

+

0

0

0

– p. 17/36

Símbolo de permutación

Se puede observar que

eijk = ejki = ekij = −ejik = −eikj = −ekji

Si e1, e2, e3 son vectores que forman una triada a derechas, entonces

e1×e2 = e3, e2×e3 = e1, e3×e1 = e2, e2×e1 = −e3, e1×e1 = 0, · · ·

Que se puede escribir en forma compacta

ei × ej = eijkek = ejkiek = ekijek

Una identidad útil que involucra la delta de Kronecker y el símbolo de

permutación es

eijmeklm = δikδjl − δilδjk

eijk =1

2(i− j)(j − k)(k − i)

– p. 18/36

Ejercicios

1. Expanda, y si es posible, simplifique la expresión Dijxixj para

a) Dij = Dji

b) Dij = −Dji

2. Determine la componente f2 para las siguientes expresiones

a) fi = ci,jbj − cj,ibj

b) fi = Bijf∗

j

3. Evalue la expresión δijδikδjk

4. Considere la función f(x1, x2, · · · , xn) = Aijxixj donde los términos

Aij son constantes. Calcule las derivadas parciales ∂f∂xi

5. Demuestre que eijkSjk = 0, si y solo si Sij es simétrico

– p. 19/36


Un tensor es un operador que transforma un vector en otro vector, o un

tensor en otro tensor. Utilizando la notación indicial, esto se puede escribir

como

Tijvj = ui

Tensores de orden cero . Se especifica en cualquier sistema de

coordenadas por una sola coordenada.

Tensores de orden uno. Tiene tres componentes como coordenadas en

el espacio. Tienen un índice libre. Por ejemplo

ai =

a1

a2

a3

, i = 1, 2, 3

Otros ejemplos son: aijbj , Fikk, ǫijkujvk

– p. 20/36


Tensores de orden dos. Poseen nueve componentes en el espacio 3–D.

Tienen dos índices libres. Por ejemplo

Aij =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

, Bijip, δijukvk

Tensores de orden cuatro . Se definen mediante ochenta y un

componentes. Tienen cuatro índices libres. Por ejemplo

Dijkl =

D1111 D1112 D1113

D1121 D1122 D1123

D1131 D1132 D1133

D12kl D13kl

D21kl D22kl D23kl

D31kl D32kl D33kl

,

i = 1, 2, 3

j = 1, 2, 3

k = 1, 2, 3

l = 1, 2, 3

– p. 21/36


De manera general, el número de componentes de un tensor de orden n está

dado como 3n, y tiene n índices libres.

Notación tensorial

a, b, c, · · · , z =⇒ Tensores de orden cero, escalares

α, β, ν, κ

a,b, c, · · · , z =⇒ Tensores de orden uno, vectores

ε,σ

A,B,C, · · · ,Z =⇒ Tensores de orden dos, matrices

ε,σ

A,B,C, · · · ,Z =⇒ Tensores de orden cuatro

– p. 22/36


Una matriz de m× n es un arreglo de números con m renglones y n

columnas,

A =

A11 A12 A13 · · · A1n

A21 A22 A23 · · · A2n

.... . .

...

Am1 Am2 Am3 · · · Amn

donde el elemento Aij se encuentra localizado en el renglón i, columna j

x =

x1

x2

· · ·

xm

, y ={

y1 y2 · · · yn

}

– p. 23/36


Si todos los elementos de una matriz son ceros, se le conoce como matriz

nula.

Dos matrices de m× n son iguales si

A = B; Aij = Bij ∀i = 1, 2, . . . ,m,

j = 1, 2, . . . , n

La suma de dos matrices de m× n está dada como

C = A+B; Cij = Aij + Bij

Para el caso de multiplicación de matrices, con Ap×q y Bq×r,

C = AB; Cij =

q∑

k=1

AikBkj coni = 1, 2, . . . , p,

j = 1, 2, . . . , r

– p. 24/36


En general el producto de matrices no es conmutativa, esto es

AB 6= BA

Multiplicación de una matriz por un escalar

B = αA, Bij = αAij ∀i = 1, 2, . . . ,m,

j = 1, 2, . . . , n

La traspuesta de una matriz Am×n es otra matriz Bn×m, tal que

AT = B, Bij = Aji para cadai = 1, 2, . . . ,m,

j = 1, 2, . . . ,m

[A+B]T= AT +BT , [AB]

T= BTAT

– p. 25/36


Para el caso de vectores,

xTy = yTx = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn =n∑

i=1

xiyi

xTx = xxT = x2

1+ x2

2+ · · ·+ x2

n =n∑

i=1

x2

i

Una matriz cuadrada An×n es simétrica si

Aij = Aji para cada i, j = 1, 2, . . . , n

y antisimétrica si

Aij = −Aji para cada i, j = 1, 2, . . . , n

– p. 26/36


por lo tanto

AT = A, AT = −A

Otro tipo de matriz especial es la unitaria

I → Iii =

1, ∀ i = j

0, ∀ i 6= j

Un caso especial de operación matricial es la forma cuadrática asociada a

una matriz A, dada por

xTAx

La traza de una matriz cuadrada An×n es

trA =n∑

i=1

Aii

– p. 27/36


De igual forma, el determinante de una matriz se da como

|A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

A11 A12

A21 A22

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= A11A22 −A12A21

|AB| = |A| |B|

Se puede observar que la traza y el determinante de una matriz son

escalares.

Ahora considere el caso de una matriz cuadrada

A : {a}i = {Ai1, Ai2, Ai3, . . . , Ain} tal que

α1 {a}1 + α2 {a}2 + α3 {a}3 + · · ·+ αn {a}n = {0}

Linealmente independiente si para todo αi = 0

Linealmente dependiente si existe al menos un αi 6= 0

– p. 28/36


Si los renglones de A son linealmente independientes, entonces es una

matriz no-singular y su inversa se define como

A−1 = B; tal que BA = AB = I

Para que exista la inversa, es necesario que |A| 6= 0

En el caso particular de que A−1 = AT , entonces se dice que la matriz A es

ortogonal, y se cumple

AAT = ATA = I, |A| = ±1

– p. 29/36

Notación tensorial

Producto escalar entre tensores

u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3

ε : σ = ε11σ11 + ε12σ12 + ε13σ13 + ε21σ21 + ε22σ22 + ε23σ23

+ ε31σ31 + ε32σ32 + ε33σ33

– p. 30/36

Notación tensorial

Producto tensorial entre tensores de orden uno

a⊗ b =

a1b1 a1b2 a1b3

a2b1 a2b2 a2b3

a3b1 a3b2 a3b3

– p. 31/36

Transformación de tensores

Los vectores unitarios e1, e2 y e3 forman una base de coordenadas

cartesianas ortonormal.

v = vxe1 + vye2 + vze3

donde

vx = v · e1 = v cosα

vy = v · e2 = v cosβ

vz = v · e3 = v cos γ

son las proyecciones de v en los

ejes x, y, z

Draft

V

α

β

γ X

Y

Z

– p. 32/36


Un vector unitario en la dirección de v es

ev =v

v= cosαe1 cosβe2 + cos γe3

Operaciones con vectores

Suma, a+ b

Multiplicación por un escalar, αa

Producto punto, a · b = ab cosα(ab) = aibi

Producto cruz, c = a× b

a× b =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a x b

a

b

A(a,b)=||a x b||

– p. 33/36


x′

1= α11x1 + α12x2 + α13x3 = α1jxj

x′

2= α2jxj

x′

3= α3jxj

o de forma general

x′

i = αijxj

x1

x′

1

x2

x′

2

x3x′

3

donde

αij = cos(x′

i, xj) =∂xj

∂x′

i

= cos(e′i, ej) = e′i · ej

– p. 34/36


O en forma matricial

x′ = Rx

donde R es la matriz de rotación. Si J = |R| 6= 0, entonces existe una única

transformación inversa

x′

i = x′

i(xi) x′ = x′(x)

xi = xi(x′

i) x = x(x′)

Siendo J el Jacobiano de la transformación. Para que exista una

transformación inversa, se debe cumplir

a) Tanto la función x′

i(xi) como su primera derivada parcial, deben de ser

continuas, y

b) El Jacobiano debe de ser diferente de cero

– p. 35/36


Las transformaciones de coordenadas que cumplen con estas dos

propiedades, se les conoce como transformaciones admisibles. Si el

Jacobiano es positivo en todo el dominio de la transformación, el sistema

origen es un sistema a derechas y el transformado también es un sistema a

derechas; a esto se le conoce como transformación propia. Si el jacobiano es

negativo, un sistema a derechas da origen a un sistema a izquierdas y se le

comoce como una transformación impropia.

– p. 36/36

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