1. Enla siguiente figura describe qué es circunferencia y qué es círculo.

ti. Define los siguientes conceptos relacionados con una circunferencia.

Radio

Diámetro

Cuerda

Arco

Tangente

Secante

111.Calculaen tu cuaderno el área y el perímetro de una circunferencia de radio igual a 10 cm. ConsideraJt= 3.1416.

IV. Relaciona las figuras con el nombre de los ángulos presentados abajo de las circunferencias.

c)

Ánguloexterior

Ángulocentral

Ángulosemiinscrito

Ánguloinscrito

tee~~~@)

- - -~ ~------

"'-

Propiedadesdeloselementosde unacircunferencia

'ce,

,Reactivación

Formen equipos de tres integrantes. Realicena continuación una lista de 10 objetos de la vida cotidia-na que tengan forma de circunferencia.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Ahora reúnanseen equipo y seleccionena los 10 objetos más relevantes.Elaboren un collageque mues-tre a los objetos y sus principales aplicaciones.

Elaboren un escrito de una cuartilla en el que reftexionen sobre cómo sería nuestra vida, si muchasdelas cosasque nos rodean y utilizamos con frecuencia no fueran circulares.Además, qué otra forma po-drían tener esosobjetos para funcionar. Preséntenlofrente al grupo y discutan susconclusiones.

Circunferenciay círculo

Observaa tu alrededor,¿cuántosobjetosposeenla formade unacircunferencia?Enlaescuela,en la cocina,en lacalle,encasitodo,el serhumanoemplealacir-cunferencia.Lanaturalezainclusoha privilegiadoa la circunferenciaen muchosdesuselementos,podemosencontrarladesdeen lasfrutashastaen formacionesnaturalesdetodotipo.

¿Teimaginasla llanta de un automóvil cuadrada o triangular? Seríaun brincoteofenomenal cadavez que girara. La rueda ha sido de los inventos másdestacadosde la humanidad, a partir de ella el hombre descubrióque era másfácil desplazarcosassin la necesidadde fatigarseo que loscarrosde guerra podían avanzarmásrápido que lostrineos. Laagricultura, lasguerras,losviajes,el comercio,casitodoseríaimposible de lograr sin la rueda.

Laindustriaha utilizadola ruedaen lasmáquinasparavolvermáseficientelaproduccióndediversosartículos.Sinembargo,existeun problemaconel quelahumanidadsehaenfrentadodesdeel descubrimientode lacircunferencia.

¿Algunavez has imaginado o preguntado cómo es posible calcular el perímetrode una circunferencia? Lo ideal sería "cortar" la línea del tamaño del círculo yestirarla hasta lograr que quede en una línea recta, de la misma for-

ma que miden el grosor de nuestra cintura cuando nos confeccionan ~.

i'...".

una prendade vestir.Sinembargoesoes imposiblecuandodicha ~..

circunferencia está trazada en una hoja de papel. ¿Cómohacerlo enestoscasos?

.,... '.P.

La rueda es uno de los inventos

más relevantesde la humanidad.

Números racionales. Sonaquellosqueseexpresancomoelcocientededosenteros.Números ¡rracionales sonaquellosquenosepuedenrepresentarporel cocientededosnúmerosúnicamente.

Trashacersemuchas preguntasy realizardiversosejercicios,los mate-máticosdel sigloXVIIobservaronque existeuna relaciónentre el diáme-tro de una circunferenciay su perímetro. Fueasícomo se propusieronque habría que definir si esenúmero se podría representarpor el cocientede dosnúmeros.Entonces,la gran preguntafue: ¿eldiámetro de una circunferenciaesunnúmero racional o sólo es una aproximación?Paracontestarestapregunta,tam-bién fue necesarioplantear si seríafactible construir un cuadrado,utilizando sóloreglaycompás,cuyaáreafuera igual a un círculo dado.

Desdeel papiro de Rhind (1700a. de c.) hastala actualidad,el pro-blema de la relación entre el diámetro y la longitud de la circunfe-rencia ha sido imposible de resolver. Hay quien, por ejemplo, hacreadopolígonos con muchísimos lados pero no ha logrado que lle-guea ensamblarse completamente en una circunferencia.

-

Quizás,con todo lo anterior, al tratar de inscribir una línea recta (el diá-metro de un círculo) en otra línea curva (el perímetro del mismo) el serhumano pretende alterar a la naturaleza. "Enderezar" una curva puedepareceruna alteración imposible, que ni siquiera las computadoras mo-dernasestán en condiciones de realizar.

Definición y elementosLlamamoscircunferencia a la curva cerrada cuyos puntos están en el mismo"planoy a la misma distancia de un punto fijo llamado centro, que estádentrodeella.

1

!11

-1l'

~~~~@

Elcírculo es la superficie plana que limita la circunterencia Ycuyos p\1\\t(tán dentro de ella- f\ diterencia de \a cifOm'erencia, \a cual sólo tiene \Of\~

el círculo es una superficie o área.

DQ>saiíoIndica de qué forma puedes di-

ferenCiar una cuerda de una se-

cante y SI es pasMe seña\ar que

el diámetro es una cuerda-

Justifica tu respuesta y coménta-

la con tus compañeros de salón.

~

Para,.saber

El radio y la cuerda son seg-mentos de recta mientras quela secante y la tangente son lí-neas rectas.

Circunferencia

\..os e\eme\'\,-os de ~a c.i.K\m\eH~{\C.i.a ';,O{\--

Círculo

. Radio. Segmento de recta que une al centro con cualquier ~la circunferencia.

. Diámetro. Línea que pasa por el centro y une a dos puntoscunferencia, la divide simétrica mente y tiene un valor de d(

. Cuerda. Segmento que une a dos puntos de la circunferen<metro es la cuerda de mayor longitud.

- ~

. Secante.Rectaque corta en dos puntos a la circunferencia.

.Tangente.Rectaque sólo toca a la circunferencia en un punto, llama-do punto de tangencia.

Lafórmula para calcular la circunferencia es:C=2nr

y ladelcírculoes:Cr= n r2

Formaequipo con dos compañeros más. Para esta actividad van a ne-cesitarun compás, un octavo de papel ilustración, lápiz adhesivo, cintamétrica, tijeras, lápiz y un metro de alambre delgado de cobre, el cualdebeflexionarse usando con facilidad sólo las manos. Marquen el centroy tracentres circunferencias cuyo radio seade 8, 10 Y12 cm de radio.

Tracenuna circunferencia en el papel cascarón con un radio de 10 cm.Dibujen su diámetro. Sobreesta peguen el alambre, sin deformarlo. Cor-tenel sobrante. Despeguencon cuidado el alambre y estírenlo para medirsu longitud.

¿Cuántomide el alambre?

~e!~~Q

¿Quérelacióntiene la longituddel alambreconel diámetro?

Calculenel perímetrocon la fórmula de la circunferenciay compárenloconla longituddelalambrequesedespegó.Considerenn =3.1416.

Enladirecciónelectrónicahttp://ciencianet.com/pi.txtencontrarásun valormásaproximadodeJt.

¿pabíasEl nombre "pi" fue qUe?estipulado en 1706

por William Jones,

quien utilizó el símbolo Jtbasán-

dose en la palabra periphereia,

nombre que losgriegosdabanal

perímetro de un círculo.

William Jones.

L

11:1!:~.~~@

e RaraInvestigar

Investiga qué valor le daban a ¡¡;

en fa antigua Babílonia, en China

y en Grecia, Además, si íos mayas

manejaban ¡jjáJO WJ)ceplo.

Expón tus observaciones con tus

compafíeros de grupo.

ti'

manoLa persona que ha conseguidomemorizar más decimales es

Akira Haraguchi, un japonés de

59 años, que en julio de 2005 ba-tió el récord del mundo al recitar

83431 dígitos del número TI (pi)

de memoria, para lo que necesi-tó alrededor de 13 horas,

r.(."

Actividad(continuación)

¿Cómosonambaslongitudes?,¿porqué creenque sondiferenteslosvalores?

Sí tú fueras un estudioso de las matemáticas y te preguntaran, con rela-ción al diámetro de una circunferencia, ¿cuántosdecimales puedescalcu-lar en el valor de n?,¿qué responderías?

Discutansusobservacionescon el grupo y obtengan una conclusióngeneral.

Definición de Jt

Enla actividad anterior, dividir el valor de la longitud del alambre cortado entreeldiámetro nos indicó la relaciónque existeentre una circunferenciay sudiámetro.

Elvalor de n estádefinido así y podemos representarlo mediante la relación:

- longitud de la frecuencian-longitud del diámetro

- perímetro del círculon-longitud del diámetro

El resultado es un número irracional, el cual redondeamos como n = 3.1416,

A partir de estopodemosconcluir que es imposible encontrar,de forma exacta,elvalor de una circunferenciadebido a que el racionaln esinfinito.

Circunferencias concéntricas

Cuando dos circunferencias comparten el mismo centro pero tienen diferenteradio, las denominamos concéntricas

OO~Investiga en cualquier medio (Internet, revistas, libros, etcétera) los va-lores de la circunferencia y diámetro que se te piden a continuación ydescubre si la relación entre ellos te da un valor cercano a n,----

,,". ~~y"". ',' "'x",, """_0"', ' Ir'." T",,~," j~: ",,"""" ",,'ft~

JJ

1~@

Balón de futbol

Canast¡¡de básgIJetbolBoca de un cesto de basuracilíndrico

Compara tus observaciones con las de tus compañeros y encuentren unvalor de 10 dígitos para n.

lRectas tangentes a un círculo

Acontinuación,te presentamosdoscircunferenciasen lasque se indica el radio.

Enel punto donde el radio corta a la circunferencia traza una recta perpendi-culara éste.

Respondelassiguientes preguntas:

¿Cuántasvecestoca la rectaa la circunferencia?

¿Cómose llama esta recta?

Comopudiste observar en la actividad anterior, cualquier recta tangente a unacircunferenciaes perpendicular a un radio de la misma.

Asimismo,si prolongas el radio y eliges un punto exterior a la circunferencia, elsegmentoque une el centro con el punto exterior divide exactamente a la mitadalángulo formado por las dos rectastangentes.

~e~~

~@

Comoseobservaen la figura, pueden trazarse dos tangentes a la circunferenciadesdeun punto.

Para.saber~

Dos circunferencias son exac-

tamente iguales cuando tienenel mismo radio, aun cuando notengan el mismo centro.

palabras en el

tiempoEl término tangente proviene

del vocablo latino tangens,ad-

jetivo derivado del verbo tango,

que significa tocar o palpar. Por

este significado, en matemáti-

cas se usa "tangente" para de-

signar la recta que "toca" en un

punto a una curva.

L

;.;f'.,',

Cuando una circunferencia está inscrita en un polígono, los lados de éste sontangentes a la circunferencia.

conexionesInvestiga en Internet el signifi-cado de un mOr/dolo y su rela-ción con el círculo.

Dibuja y colorea un mondolocon toda tu creatividad.

Cuando una circunferencia está circunscrita en un polígono, entonces los ladosde éste son cuerdas de la circunferencia.

Arco en una circunferencia

1

1,

!

H 1I¡ "

Es una parte de la circunferencia. Se simboliza Á. Está limitado por dos puntosllamados extremos del arco y se encuentran cuando se traza una cuerda sobrela circunferencia.

,I i"

Arco menor es aquel cuya longitud esmenor que la longitud de una semicircun-ferencia.

Arco mayor es el que tiene una longitudmayor que la longitud de una semicircun-ferencia.

Observa lasiguientefigura: .

@

""AS = Arco AS

l~JIf@

¿Quécaracterísticasdestacanen la figura anterior? ¿Existenalgunasdiferenciasosemejanzasentre lastres circunferencias?Observaque la medida de un arcoengradosno dependede la longitud del arco,ya que la abertura es la misma en lastrescircunferencias.Encambio, la longituddel arcosívaría. Paraevitar confusiónpodemosdefinir que la medida del arco es en gradosy la longitud del arco seindicaen unidadeslineales(milímetros,centímetroso metros).

Enel ejemplo anterior, un mismo ángulo central nos da diferentes longitudesdearco,cuando setienen circunferencias concéntricas.

Ejemplos:1. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo, si su diáme-

tro es de 20 cm.

Siel radio es la mitad del diámetro, entonces:( = 10 cm

Sustituyendoen la fórmula del perímetro:C=2n(

C= 2(3.1416)(10)C= 62.832 cm

Parael círculo:A = n (2

A = (3.1416)(10)2A = (3.1416)(100)A = 314.16 cm2

2. Calcularel área de un círculo cuya circunferencia vale 24 n m.SiC= 2 n (y C= 24 n.

Paraobtener el radio:24 n = 2 n (

Despejamosa r:

24 n = (2n

12 m = (

Sustituimos en A = n (2

A = n (12)2A = 144 n m2

A = 144(3.1416)= 452.3904 m2

3. Observa la figura y calcula el área sombreada.

ee~~

~

@

"" ::t: I

a la manoEnJuliode 1997,YasumasaKa-nada y Oaisuke Takahashi ob-tuvieron 51539600 000 ,ifrasde 11,utilizando una computa-dora Hitachi SR2201con 1024

procesadores. Sin embargo,declararon que aún les faltancifras por encontrar.

,

L

,>~,-,.",-",-""

Encontremos primero ambas áreas considerando R = 12 cm y r = 8 cm>

A = :Jtr2r

AR= :Jt(12)2 = (3.1416)(144) = 452,39 cm2

Ar = :Jt(8)2= (3,1416)(64) = 201.06 cm2

AR = :JtR2

El área sombreada la encontramos restando ambas áreas:

LÁrea sombreada = AR - Ar

= 452.39 - 201,06 = 25133 cm2

l'

~i

1> Calcula la longitud y el área de las siguientes circunferencias:

a) Si su radio mide 30.5 cm,

b) Si su diámetro mide 4A mm>n'

2. Encuentra el radio de:

a) Una circunferencia cuya longitud esde 124 cm.

b) Un círculo de 62,80 cm2de área.

111 3. Calcula el valor del área sombreada de las siguientes figuras:

~I

I~

I i

¡

R=12u

r= Bu

@

'I

4cmRadio de las circunferencias 2u

------ - - - - . - - -._- --.

logros

Evaluaciónsumativa

1. Elaboraen tu cuaderno un mapa conceptual sobre las líneas notables.

2. Trazaen tu cuaderno una circunferenciade 7 cm de radio y dibuja en ella suslíneasnotables.

3. Enuna circunferencia de 8 cm de radio, traza su diámetro y una cuerda paralela a ella.

4. Enunacircunterenc'lade10 cm dediámetrotrazauna rectatangente uti\izanóoe\ conceptoestudiado.

5. Unclub deportivo deseacolocar una malla de 4 m de alto alrededor de un terreno que contie-ne unascanchasde tenis para que la pelota no salgade susinstalaciones. Dicho terreno tieneforma circular, con un diámetro de 40 m. ¿Cuántogastará la empresa si el costo del metrocuadrado de malla esde $24?

6. Encuentrael áreadelcírculomayorsiel radiodel círculomenoresiguala 4 cm.

Cierre de secuencia

Investigacómo seefectúa el procesode cuatro tiempos en la combustión interna de un automó-vil. Elaboracon cartulina un pistón y lascamisasen donde sedesplazael pistón. Discutan,en gru-po, el procesoque siguieron para determinar las medidas del diámetro del pistón y el diámetrode la camisa. Indiquen cuál es la importancia del número pi en este proceso.

/.-1

11

...--

Característicasy propiedadesdelosángulosen unacircunferencia

"- .Reactivación

Trazaun octágonoregular en el círculo que aparecea continuación.

Contesta las siguientes preguntas:

¿Cuántosgrados mide cada ángulo central? Ayúdate trazando losradios correspondientes a cada vértice del octágono.

2!~~81@

¿Cómoson los arcosformados por la circunferencia y los vértices decada lado del octágono?

~

'~...~..

Mediciónde ángulos y arcos en una circunferencia

Unaparte importante en el estudio de la circunferencia se refiere a la medicióndeángulosdentro de ella. Sudenominación se basaen la posición de los ángu-losen la circunferencia.

.Ángulocentral. Estáformado por dos radios, por tanto, su vértice se loca-liza en el centro de la circunferencia. La medida de un ángulo central engradoses igual a la del arcocorrespondiente. Eláreaque se produceentrelosdos radiosy el círculo se llama sector circular.

(!)

- /.

Circunferencia inscrita. Esaquella quetocatodoslosladosdel polígono.Circunferencia circunscrita. Esaquellaquetocatodoslosvérticesdel polígono.

Sector circular

.Ánguloinscrito.Estáformado por dos secantesy tiene su vértice sobre lacircunferencia. Todo ángulo inscrito forma la mitad del arco comprendi-do entre sus lados. Existenlos siguientes casos:

a) Uno de sus lados esel diámetro.

b) Elcentrode la circunferenciaestáentre losladosdel ángulo.

c) Elcentroesexterioral ángulo.~

~

~~ij

e ~araInvestigar

Investigaen la biblioteca la cuál

es la referencia m;js antígua la

palabra Cll"cunferenCla.

~e~~91@

¿Quiénfue?

OryTerquemdemostrólaexisten-cia del círculo.CharlesBrianchon

y Jean-Victor poncelet, ambos

matemáticos de origen francés,demostraron en 1820 la existen-

cia de la circunferenciade nueve

puntos.

.'

Actividad

1. Dibuja una circunferencia de 3 cm de radio. Traza el diámetro y,utilizando el punto en donde corta a la circunferencia, dibuja unángulo de 30°.

Respondelas siguientes preguntas:

¿Cuántomide esteángulo?

Comenta tus observacionescon tus compañeros y encuentren una re-lación que involucre ambos ángulos.

. Ángulo exterior. Esel que está formado por dos rectassecantes,so-lamente que el punto de intersección entre ellas (vértice del ángulo)seencuentra fuera de la circunferencia.

B

. Ángulo circunscrito. Se parece al ángulo exterior, ya que su vérticeseencuentrafuera de la circunferencia,sóloque ésteestáformadopor dosrectastangentes,q-uepor definiciónsolamentetocanenunpuntocadauna a la circunferencia.

e

\0"/

B

~¿~.+:;e!tiiJ'!

A

. Ángulosemiinscrito. Suvértice estáen la circunferencia y seencuen-tra formado por una secantey una tangente.

~

. Ángulo interior. Estáformado por dos cuerdas que se cortan en elinterior de la circunferencia.

Definiciones generales

z

/~

L,Cuandoseestudia el tema de la circunferencia existenalgunas definiciones queesimportante conozcas,pues puedes necesitarlas posteriormente en temas degeometríaanalítica, trigonometría o cálculo.

. Semicircunferencia.Arcode longitud igual a la mitad de una circun-ferencia. Estádefinida por el diámetro, por ello también es definidacomo el arco correspondiente al ángulo de 180°.

----------------------------------

. Semicírculo.Superficie del plano limitada por una semicircunferen-cia y el diámetro.

1

f~

. (orona circular. Es la región limitada entre dos circunferencias con-

céntricas.

. Trapecio circular. Región limitada por dos circunferencias concéntri-

cas y dos radios..,,1

!II~I

¡'i

. Segmentocircular. Serefiere a la región limitada por la circunferen-cia y una cuerda.

Ir

'L'f'

@

Prepara una pizza con undiámetro de 45 cm, la (1

se cortará en doce rebari

das. Lo que debes calcular

es el área que correspon-de a cada rebanada.

Adjvidad

{/

Evaluación sumativa

Encuentrael valordex encadaunade lassiguientesfiguras:

1200

x

1700x

Cierrede secuencia

Realiza una encuesta entre tus compañeros de salón acerca de sus tortas preferidas. Llena lasiguiente tabla para después realizar en tu cuaderno una gráfica de pastel que represente susgustos. Puedespreguntar en otros salones para comparar la gráfica de tu salón.

~ii~lJl()sácumulados

JamónMilanesa

Salchicha

Pollo

Cubana