TI19 ITULO DE LA TESISjupiter.utm.mx/~tesis_dig/13160.pdf · 2019. 6. 12. · X Bola unitaria...

Universidad Tecnológica de la Mixteca

Compacidad de la bola unitariacerrada en espacios de Banach de

dimensión infinita

Tesis

para obtener el t́ıtulo de:

LICENCIADA EN MATEMÁTICAS APLICADAS

presenta:

Sonia Venancio Guzmán

DIRECTOR DE TESIS:

Dr. SALVADOR SÁNCHEZ PERALES

CODIRECTOR DE TESIS:

Dr. SERGIO PALAFOX DELGADO

HUAJUAPAN DE LEÓN, OAXACA 2017

Compacidad de la bola unitaria cerrada en

espacios de Banach de dimensión infinita

Venancio Guzmán Sonia

Dedicatoria

A mis padres, Esperanza y Albinopor todo el apoyo que me han dado.

A mis 7 hermanos,Flor, Eduardo, Leticia,Jesús, Julieta, Marisol,

Albino

iii

Agradecimientos

”Vive como si fueras a morir mañanay aprende como si el mundo fuera a durar para siempre”

Mahatma Gandhi.

Primero que nada le doy gracias a DIOS por haber puesto en mi camino a todasesas personas maravillosas que he conocido hasta ahora, le doy gracias por que encada etapa de mi vida supo darme el control y la tranquilidad que buscaba.

A mis padres por haberme apoyado de todas las formas posibles, especialmentea la mujer que más amo en la vida, mi madre, por haberme mostrado el amor mássincero y puro que estoy segura he de conocer en toda la vida y sobre todo por haberenseñado que todo se trata de AMOR Y RESPETO hacia uno mismo y para conlos demás.

A cada uno de mis hermanos por haber estado siempre a mi lado y apoyarme encada paso que daba, en particular a mi hermana Julieta por haberme apoyado enlos momentos más dif́ıciles, por haber sido mi gúıa en este mi último año de carreray sobre todo por haberme ayudado a encontrar el verdadero propósito en mi vida. Ami hermano Jesús porque aunque él no lo sepa gran parte de mi persona es debidoa sus enseñanzas e infinita bondad.

A cada uno de mis amigos que conoćı estando en esta universidad principalmen-te a mi amigo y hermano Luis Edgar Padilla Abidán no solo por haberme ofrecidouna de las amistades más sinceras que poseo si no por haberme enseñado el verda-dero significado de lo que ello implicaba. “Gracias...Sigo sin saber cuál es el nombre”.

A Diana Citlalli Castañeda por haberme ayudado a modificar muchos aspectosde mi persona de forma positiva y sobre todo por haber formado parte de tan agra-dable etapa en mi vida.

A Elide Luna López amiga inigualable que encontré iniciando la universidad,por haber sido para mı́ una de las mujeres que más ha marcado mi vida por suindependencia, cordura y bondad para con los demás.

A Adriana Santiago Herrera y Rocio Velasco Velásquez por haber sido para mı́la viva imagen de firmeza, rectitud, responsabilidad y de amor en mi vida ademáspor la gran paciencia y el apoyo que siempre me ofrecieron sin esperar nada a cambio.

A mi maestro y bailaŕın favorito, Michel López Bravo por haberme devuelto loque el algún momento hab́ıa perdido. . . Mi pasión por hacer cada una de las cosas

v

vi

que hago. . . Sobre todo por enseñarme a poner en práctica lo que ahora se ha vueltouna de mis grandes pasiones en la vida.

Al Dr. Salvador Sánchez Perales y Dr. Sergio Palafox Delgado por haber dirigidoesta tesis y por su infinita paciencia y apoyo durante todo el trabajo de investigación.

A cada uno de mis revisores M.M. Vulfrano Tochihuilt Bueno, Dr. Franco Ba-rragán Mendoza, M.C. José Luis Carrasco Pacheco por haber formado parte de estetrabajo de investigación ofreciéndome un gran apoyo.

A la M.M. Luz del Carmen Álvarez Maŕın, L.F.M. Juan Carlos Mendoza Santos,Dra. Silvia Reyes Mora, M.E. Ana Delia Olvera Cervantes por haberme apoyadocon mis estancias profesionales.

A cada uno de los profesores de este Instituto por haber formado parte de miformación y por que sin ellos nada de esto hubiera sido posible.

Introducción

La temática principal de este trabajo de tesis es del tipo topológico. Esta tesis seha escrito con el propósito de presentar variados elementos básicos que nos permitanintroducirnos al estudio de lo que es “La compacidad de la bola unitaria cerrada enespacios normados de dimensión infinita”.

Se sabe que la bola unitaria cerrada en Rn es un conjunto compacto, este resulta-do se sigue preservando en cualquier espacio normado de dimensión algebraica finita(vea corolario 2.1.9). Sin embargo, cuando X es un espacio normado de dimensióninfinita el resultado anterior ya no se cumple (vea ejemplo 2.1.10). Con esto surgeel problema de encontrar una topoloǵıa que haga que la bola unitaria cerrada seacompacta. Pero además, se le pide que proporcione “buenas” propiedades a X, comopor ejemplo que los funcionales que son continuos con la topoloǵıa generada por lanorma sigan siendo continuos con esta nueva topoloǵıa, ésta es una de las principalesrazones por las cuales resulta interesante debilitar las topoloǵıas. En esta direcciónAlaoglu, en [1], muestra usando el teorema de Tychonoff que para todo espacio nor-mado X la bola unitaria cerrada del espacio dual X∗ es compacta en la topoloǵıa∗−débil σ(X∗, X) (esta topoloǵıa se da en la definición 5.4.1), el resultado anteriorse conoce usualmente como teorema de Alaoglu. En la presente tesis se expone adetalle la prueba de este teorema.

La topoloǵıa débil σ(X,X∗) para X, definida como la mińıma topoloǵıa que hacecontinua a los funcionales de X∗, será la base de nuestro trabajo para el estudio dela compacidad de la bola unitaria cerrada, cuando X es de dimensión infinita. Enparticular, se hará evidente que la reflexividad está estrechamente ligada con lageometŕıa de la bola, por tanto nos enfocamos en probar este hecho mostrando queun espacio es reflexivo si y sólo si la bola unitaria cerrada del espacio es compactacon la topoloǵıa débil, auxiliándonos del teorema de Alaoglu.

Aśı mismo, otros puntos muy importantes a resaltar en este trabajo de inves-tigación es la teoŕıa fundamental que se presenta para abordar nuestro objetivoprincipal, como el estudio de nociones acerca de lo que hoy conocemos como uno delos tres principios fundamentales del análisis funcional, el teorema de Hahn-Banachsobre las extensiones de funcionales presentándola en su forma geométrica y formaanaĺıtica. Estos teoremas nos ayudan a probar que la clausura de un conjunto conve-xo con la topoloǵıa fuerte y la débil coinciden. Por otro lado, también se introduciránnociones acerca de los espacios reflexivos.

Se da a continuación una descripción un tanto más detallada de lo que se abor-dará en cada uno de los caṕıtulos.

i) Los espacios normados.La motivación más sencilla para introducir el concepto de norma sobre un

vii

viii

espacio vectorial no es otra que la generalización de los conceptos de valorabsoluto y módulo en R y C, respectivamente. Las desigualdades de Hölder yMinkowski permiten generalizar estos conceptos para el caso de los espacios`p(K) y Lp(X,S, µ), como puede ver en [22].

ii) Compacidad de la bola unitaria cerrada en espacios normados dedimensión finita.En el caṕıtulo 2 mostramos el teorema de Bolzano-Weierstrass para espaciosnormados de dimensión finita y con ello se ve que la bola unitaria cerrada enun espacio normado de dimensión finita es compacta. También se da un ejem-plo en donde se muestra que este resultado falla para espacios de dimensióninfinita. Se destaca el resultado de F. Riesz, el cual muestra la equivalencia dela compacidad de la bola unitaria cerrada y la dimensión finita del espacio.Mostrándonos con ello que en espacios de dimensión infinito las bolas cerradasestán muy lejos de ser conjuntos compactos.

iii) El teorema de Hahn-Banach.En el caṕıtulo 3 presentamos uno de los teoremas más significativos del análisisfuncional, el famoso teorema de extensión de “Hahn-Banach” (puede ver [18]y [12]) para el caso real, complejo y sus versiones geométricas y anaĺıticas.

iv) Dualidad.En el caṕıtulo 4 se da el concepto de espacio dual. Nos permitimos la opor-tunidad de presentar y describir el dual de algunos de los espacios normadosclásicos. Cabe aclarar que para ciertos espacios normados arbitrarios es bas-tante complejo determinar de manera expĺıcita a su espacio dual. Además,se muestra un resultado el cual garantiza la no trivialidad del dual de unespacio normado arbitrario (consecuencia que se desprende del teorema deHahn-Banach versión anaĺıtica).

v) Topoloǵıas débiles.Finalmente en el caṕıtulo 5 definimos a la topoloǵıa débil de un espacio nor-mado X, la cual es la topoloǵıa inicial en X para los elementos de X∗, esdecir, la mı́nima topoloǵıa en X que hace continuos a los elementos de X∗.Análogamente, se define a la topoloǵıa ∗−débil para el dual X∗, la cual es latopoloǵıa inicial en X∗ para los elementos de X. Se estudian las caracteŕısti-cas y propiedades de estas topoloǵıas, aśı como la relación que mantiene conla topoloǵıa fuerte. Se prueba el teorema de Alaoglu (como en [1]); uno delos resultados más importantes que podemos encontrar en este caṕıtulo. Condicho teorema se muestra que un espacio normado X es reflexivo si y sólo siBX es compacto bajo la topoloǵıa débil, el cual es nuestro objetivo principal.

Notación

SÍMBOLO DESCRIPCIÓN PÁGINA

BX(x0, r) Bola abierta en X centrada en x0 y radio r > 0 20

BX [x0, r] Bola cerrada en X centrada en x0 y radio r > 0 20

BX Bola unitaria cerrada en X 20

BX∗ Bola unitaria cerrada en X∗ 51

BX∗∗ Bola unitaria cerrada en X∗∗ 51

K Campo de los números reales o complejos 2

ℵ0 Cardinalidad del conjunto de los números naturales 13

Uτ

Cerradura de U con la topoloǵıa τ 52

dim(X) Dimensión de X 83

d(x,A) Distancia de x al conjunto A ⊂ X 23d(x,A) = ı́nf{d(x, y) : y ∈ A}

X∗ Espacio dual de X; X∗ = B(X,K) 39

X∗∗ Espacio bidual de X; espacio dual de X∗ 39

SX Esfera unidad de X; SX = {x ∈ X : ‖x‖ = 1} 59

B(X, Y ) Espacio de operadores lineales acotados de X en Y 79

C([a, b]) Espacio de funciones continuas sobre [a, b]; 3C([a, b]) = {f : [a, b]→ K| f es continua }

ix

x

`p(K) Espacio de las sucesiones en K; 10

`p(K) = {(xn)n∈N ∈ KN :∞∑n=1

|xn|p

Índice general

Introducción VII

1. Espacios de Banach 1

1.1. Nota Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1. Desigualdad de Hölder y Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Los espacios `p(K) y Lp(X,S, µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.1. Nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2. Los espacios `p(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.3. Los espacios Lp(X,S, µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Compacidad de BX [0, 1]; X de dimensión finita 19

2.1. El teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. El teorema de F. Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. El teorema de Hahn-Banach 25

3.1. Nota Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3. Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4. Consecuencias del teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1. Versión anaĺıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.2. Versión geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Espacios duales 39

4.1. Espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2. Identificación de algunos espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Espacios reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5. Topoloǵıas débiles 51

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2. Topoloǵıa menos fina que hace continua a una familia de aplicaciones 52

5.3. Topoloǵıa débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.4. Topoloǵıa ?−débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5. Compacidad en espacios reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Conclusión 75

xi

xii ÍNDICE GENERAL

A. Relación de orden 77A.1. Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

B. Operadores 79

Apéndice 79B.1. Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79B.2. Dimensión de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

B.2.1. Existencia de una base para un espacio vectorial . . . . . . . . 83

C. Topoloǵıa 85C.1. Compacidad y conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85C.2. Teoremas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

D. Teoŕıa de la medida 89D.1. Teoŕıa de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Bibliograf́ıa 92

Caṕıtulo 1

Espacios de Banach

“En las matemáticas es en donde el esṕıritu encuentralos elementos que más anśıa: la continuidad y la perseverancia.”

Anatole France

1.1. Nota Histórica

Stephan Banach nació el 30 de marzo de 1892 en Cracovia, ciudad pertenecienteal Imperio Austro-Húngaro, actualmente Polonia y murió tras la Segunda GuerraMundial de un cáncer de pulmón el 31 de agosto de 1945 en Lwów, actualmenteUcraina, fue un matemático destacado en la escuela de Matemática de Lwów [19].

En primavera de 1916, un encuentro casual con Hugo Steinhaus cambia su fu-turo. Steinhaus propone al joven Banach un problema en el que estaba trabajandosin éxito. A los pocos d́ıas Banach ya teńıa la idea principal para la construcción delrequerido contraejemplo y la publicación de su primer trabajo conjunto. En su tesisdoctoral de 1920 presentó la definición axiomática de los espacios que hoy llevan sunombre (dado por M. Fréchet), momento en el que para muchos se marca el naci-miento del Análisis Funcional moderno. En la Introducción, de su trabajo Banachafirma [4]:

“El objetivo de este trabajo es demostrar algunos teoremas que son ciertos paradiferentes espacios de funcionales (champs fonctionneles). En lugar de probar losresultados para cada espacios de funcionales particular, he optado por un enfoquediferente: considero en general un conjunto de elementos abstractos, para los quepostulo una serie de propiedades y demuestro los teoremas de esos conjuntos. En-tonces pruebo que los distintos espacios de funcionales particulares en los que estoyinteresado, satisfacen los axiomas postulados...”

Los principales teoremas que aparecen en la tesis de Banach son el “principio deacotación uniforme” (vea 4.3.3) y la forma general del “principio de contracción” enun espacio métrico completo. Estos teoremas le permiten obtener demostracionessimples y elegantes de varios resultados importantes. No obstante, probablemente lacontribución más importante que hace Banach en su tesis, es sacar a la luz la nocióncorrecta de lo que hoy conocemos como espacio normado, que de modo más o menosimpĺıcito, estaba subyacente en gran parte de los art́ıculos previamente aparecidossobre análisis abstracto o funcional.

1

2 CAPÍTULO 1. ESPACIOS DE BANACH

A modo de curiosidad señalamos su particular estilo de trabajo. Banach soĺıapasar horas y horas en los cafés de Lwów, tanto en compañ́ıa de sus colaborado-res como en solitario. El ruido y la música nunca perturbaban su concentración.Además, cuando los cafés cerraban, él se marchaba a la estación de tren donde lacafeteŕıa permanećıa abierta. Alĺı, con un vaso de cerveza, continuaba pensando ensus problemas por un largo tiempo.

1.2. Introducción

En este primer caṕıtulo comenzamos dando la definición de espacio normado. Apartir de esto se busca dar algunos ejemplos de dichos espacios, con lo cual a suvez surge la necesidad de probar algunos resultados que nos ayudan a probar losaxiomas de espacio de Banach, por lo cual se prueban las desigualdades de Young,Hölder y Monkowski.

Finalmente dedicamos una sección especial al estudio de los espacios `p(K) yLp(X,S, µ) con 1 ≤ p

1.3. ESPACIOS NORMADOS 3

Ejemplo 1.3.3. Sea (Ω, τ) un espacio topológico. Considere el espacio

C(Ω) = {f : Ω→ K| f es continua sobre Ω}.

La aplicación

‖f‖∞ = sup {|f(w)| : w ∈ Ω} , f ∈ C(Ω),

define una norma sobre el espacio C(Ω).

Ejemplo 1.3.4. Considérese el espacio Kn. Las aplicaciones siguientes son normaspara este espacio:

‖(x1, x2, ..., xn)‖1 =n∑k=1

|xk|,

‖(x1, x2, ..., xn)‖2 =

(n∑k=1

|xk|2) 1

2

,

‖(x1, x2, ..., xn)‖∞ = sup1≤k≤n

|xk|.

Más aún, podemos ver que para p ∈ R, con p > 1

‖(x1, x2, ..., xn)‖p =

(n∑k=1

|xk|p) 1

p

es una norma sobre dicho espacio. Para verificar ésto, es necesario hacer uso delas desigualdades de Hölder y Minkowski, las cuales se introducen y prueban acontinuación.

1.3.1. Desigualdad de Hölder y Minkowski

La desigualdad de Hölder, llamada aśı debido a Otto Ludwing Hölder (1859 −1937) es una herramienta indispensable para el estudio de desigualdades entre inte-grales. Hölder trabajó en covergencia de series de Fourier y en 1884 descubrió dichadesigualdad, ahora conocida con su nombre. Con la desigualdad de Hölder tambiénse prueba la famosa desigualdad de Minkowski y cuya relevancia recae en el estudiode los espacios `p(K) y Lp(X,S, µ) (vea [19]), pues con ella se prueba la desigualdadtriangular.

Para probar las desigualdades de Hölder y Minkowski haremos uso del siguientelema (desigualdad de Young), el cual apareció cuando se buscaban otras manerasde normar al espacio vectorial Rn.

Lema 1.3.5. (Desigualdad de Young) Si p, q ∈ R son tales que p, q > 1 y1p

+ 1q

= 1, entonces

ab ≤ ap

p+bq

q,

para cualesquiera a, b ≥ 0.


Demostración: Considérese la función f : R → R, definida por f(x) = ex. Estafunción satisface que f

′′(x) > 0, para toda x ∈ R, entonces f es convexa en R (vea

[9]). Por lo tanto, para cualesquiera x, y ∈ R y α ≥ 0, β ≥ 0 tales que α+ β = 1, secumple:

f(αx+ βy) ≤ αf(x) + βf(y),

esto es,eαx+βy ≤ αex + βey. (1.1)

Obsérvese que si a = 0 o bien b = 0 la desigualdad es trivial. Supóngase aśı quea > 0 y b > 0, llamemos

α =1

p, β =

1

q, x = p log(a), e y = q log(b).

Sustituyendo en el primer miembro de la desigualdad en (1.1) obtenemos

elog a+log b = elog aelog b = ab

y en el segundo miembro se tiene:

1

pep log a +

1

qeq log b =

1

pelog a

p

+1

qelog b

q

=ap

p+bq

q.

Lo cual prueba que

ab ≤ ap

p+bq

q,

obteniendose la conclusión del lema. �

Al par de números p y q en la desigualdad de Young se llaman exponentesconjugados. Este lema nos sirve para demostrar la siguiente desigualdad.

Desigualdad de Hölder

Lema 1.3.6. (Desigualdad de Hölder) Sean p, q ∈ R tales que p, q > 1 y1p

+ 1q

= 1. Si x = (x1, x2, x3, . . . , xn) e y = (y1, y2, y3, . . . , yn) son elementos de Kn,entonces:

n∑k=1

|xk||yk| ≤

(n∑k=1

|xk|p) 1

p(

n∑k=1

|yk|q) 1

q

.

Esto es,n∑k=1

|xk||yk| ≤ ‖x‖p‖y‖q.

Demostración: Si ‖x‖p = 0 o bien ‖y‖q = 0 la desigualdad es trivial.Podemos suponer entonces que ‖x‖p > 0 y ‖y‖q > 0, esto es ‖x‖p‖y‖q > 0. Definimosx′

k =xk‖x‖p e y

′

k =yk‖y‖q , para cada 1 ≤ k ≤ n. Se tiene:(

n∑k=1

|x′k|p) 1

p

=

(n∑k=1

|y′k|q) 1

q

= 1.


De la desigualdad de Young se sigue

|x′k||y′

k| ≤|x′k|p

p+|y′k|q

q, para toda 1 ≤ k ≤ n.

Luego, sumando sobre k y usando la hipótesis, obtenemos:

n∑k=1

|x′k||y′

k| ≤

n∑k=1

|x′k|p

p+

n∑k=1

|y′k|q

q=

1

p+

1

q= 1.

Por lo tanto:n∑k=1

|xk||yk| ≤∥∥x‖p‖y‖q

y la desigualdad se cumple. �

Introducimos ahora la desigualdad de Hölder para el caso de las integrales, sudemostración es similar al lema anterior.

Teorema 1.3.7. (Desigualdad de Hölder para integrales). Sean (X,S, µ) unespacio de medida (vea definición D.1.4), y p, q ∈ R tales que p, q > 1 y 1

p+ 1

q= 1.

Si f, g : X → K son funciones S-medibles, entonces∫X

|fg| dµ ≤(∫

X

|f |pdµ) 1

p(∫

X

|g|qdµ) 1

q

.

En el caso particular p = q = 2 la desigualdad de Hölder se conoce como desigualdadde Schwarz.

Demostración: Llamemos a A =(∫

Xfpdµ

) 1p y B =

(∫Xgqdµ

) 1q . Se tienen los

siguientes casos:

Caso (i): A = 0 o B = 0. Supóngase que A = 0. Dado que |f | ≥ 0, se tiene |f |p = 0c.t.p.1, de modo que |f | = 0 c.t.p., lo cual a su vez implica que |fg| = 0 c.t.p. Aśı∫X|fg|dµ = 0.

Caso(ii): A =∞ o B =∞. Claramente∫X|fg|dµ ≤ ∞.

Caso(iii): 0 < A,B < ∞. Debemos de probar que∫X|fg|dµ ≤ A · B, o de forma

equivalente que: ∫X

f

A· gBdµ ≤ 1.

Aplicando la desigualdad de Young a

|f(x)|A

y|g(x)|B

, para cada x ∈ X,

se tiene que

|f(x)|A· |g(x)|

B≤ 1p· |f(x)|

p

Ap+

1

q· |g(x)|

q

Bq, para toda x ∈ X.

Aśı, integrando∫X

|f(x)|A· |g(x)|B

dµ(x) ≤ 1pAp·Ap+ 1

qBq·Bq = 1. �

1c.t.p. es la abreviación de casi en todas partes.


Desigualdad de Minkowski

Lema 1.3.8. (Desigualdad de Minkowski) Si p ∈ R, p > 1 y x = (x1, x2, x3, ..., xn),y = (y1, y2, y3, ..., yn) son vectores en Kn, entonces(

n∑k=1

|xk + yk|p) 1

p

≤

(n∑k=1

|xk|p) 1

p

+

(n∑k=1

|yk|p) 1

p

,

es decir:‖x+ y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p.

Demostración: Estimando del siguiente modo obtenemos:

n∑k=1

|xk + yk|p =n∑k=1

|xk + yk||xk + yk|p−1

≤n∑k=1

(|xk|+ |yk|) |xk + yk|p−1

=n∑k=1

|xk||xk + yk|p−1 +n∑k=1

|yk||xk + yk|p−1.

De donden∑k=1

|xk + yk|p ≤n∑k=1

|xk||xk + yk|p−1 +n∑k=1

|yk||xk + yk|p−1.

Por otra parte, de esta desigualdad y de la desigualdad de Hölder para q = pp−1 ,

podemos escribir lo siguiente

n∑k=1

|xk + yk|p ≤

(n∑k=1

|xk|p) 1

p(

n∑k=1

|xk + yk|(p−1)q) 1

q

+

(n∑k=1

|yk|p) 1

p(

n∑k=1

|xk + yk|(p−1)q) 1

q

=

(n∑k=1

|xk + yk|p) 1

q

( n∑k=1

|xk|p) 1

p

+

(n∑k=1

|yk|p) 1

p

.Sin pérdida de generalidad podemos suponer que

n∑k=1

|xk + yk|p > 0. Despejando,

obtenemos: (n∑k=1

|xk + yk|p)1− 1

q

≤

(n∑k=1

|xk|p) 1

p

+

(n∑k=1

|yk|p) 1

p

,

de modo que:(n∑k=1

|xk + yk|p) 1

p

≤

(n∑k=1

|xk|p) 1

p

+

(n∑k=1

|yk|p) 1

p

. �


Haciendo uso del lema 1.3.8, se puede ver que en efecto (Kn, ‖ · ‖p) es un espacionormado para p > 1.

Teorema 1.3.9. Para n ∈ N, el espacio (Kn, ‖ · ‖p), es un espacio normado paratodo p ∈ R y p > 1.

Demostración: Las propiedades (i), (ii), (iii) de la definición 1.3.1 son inmediatasy la desigualdad triangular se sigue de la desigualdad de Minkowski. �

Teorema 1.3.10. (Desigualdad de Minkowski para integrales). Sea (X,S, µ)un espacio de medida y sea p ∈ R tal que p > 1. Si f, g : X → K son funcionesS-medibles, entonces:(∫

X

|f + g|p dµ) 1

p

≤(∫

X

|f |pdµ) 1

p

+

(∫X

|g|pdµ) 1

p

.

Demostración: Observe que:

|f + g|p = |f + g||f + g|p−1 ≤ |f | · |f + g|p−1 + |g| · |f + g|p−1.

Aplicando la desigualdad de Hölder para integrales a cada uno de los sumandosque están a la derecha de la desigualdad anterior para q = p

p−1 , obtenemos:∫X

|f | · |f + g|p−1dµ ≤(∫

X

|f |pdµ) 1

p(∫

X

|f + g|q(p−1)dµ) 1

q

,

∫X

|g| · |f + g|p−1dµ ≤(∫

X

|g|pdµ) 1

p(∫

X

|f + g|q(p−1)dµ) 1

q

.

De donde, podemos escribir lo siguiente:∫X

|f + g|pdµ ≤

[(∫X

|f |pdµ) 1

p

+

(∫X

|g|pdµ) 1

p

]·(∫

X

|f + g|pdµ) 1

q

.

Ahora, si llamamos C = (∫X|f + g|pdµ)

1q , se tienen los siguientes casos:

Caso (i): C = 0. En este caso la desigualdad es trivial.

Caso(ii): C = ∞. Se tiene que∫X|f + g|pdµ = ∞. Por otra parte, como la función

yp es convexa sobre (0,∞), se sigue que para cada x ∈ X,(|f(x)|

2+|g(x)|

2

)p≤ |f(x)|

p

2+|g(x)|p

2,

de donde:1

2p|f(x) + g(x)|p ≤ 1

2(|f(x)|p + |g(x)|p)

para toda x ∈ X. Integrando obtenemos:1

2p

∫X

|f + g|pdµ ≤ 12

[∫X

|f |pdµ+∫X

|g|pdµ].

Aśı∫X|f |pdµ =∞ o bien

∫X|g|pdµ =∞.

Caso (iii): 0 < C


1.4. Espacios de Banach

Se puede decir que la teoŕıa de los espacios de Banach comienza con la publicaciónen 1922 de la tesis doctoral de Stefan Banach (vea [4]), “Sur les opérations dans lesensembles abstraits et leur application aux équations intégrales” en FundamentaMathematicae, seguida por la publicación del libro Théorie des opérations linéares(1932). Todo esto significó el comienzo del estudio de los espacios vectoriales queson dotados de una norma. Desde entonces muchos problemas han sido resueltos,áreas nuevas se han desarrollado y muchas otras áreas en matemáticas se han idoestableciendo (vea [7]).

Al preguntarnos qué consecuencias se pueden desprender del hecho de que unespacio vectorial sea dotado de una norma. Puede verse que si X es un espacionormado, entonces se puede definir una distancia en dicho espacio. Concretamente,podemos ver que la aplicación d : X × X → R definida por d(x, y) := ‖x − y‖es una distancia en X (llamada distancia inducida por la norma). A partir de estadistancia d se puede definir conjuntos, por ejemplo, los que juegan un papel similara los intervalos en R, como es el caso de las bolas abiertas definidas como;

BX(x0, r) = {y ∈ X : ‖y − x0‖ < r},

con x0 ∈ X y r > 0. Con esta colección de conjuntos podemos generar una topo-loǵıa, llamada topoloǵıa de la norma. Sin embargo, cabe aclarar que en esta tesisnos referimos a la topoloǵıa de la norma como topoloǵıa fuerte, esto es debido a quede toda sucesión acotada se puede extraerse una subsucesión convergente si y sólosi la dimensión del espacio es finita.

Para definir a los espacios de Banach, introducimos algunas definiciones necesa-rias de conocer (puede ver también [8]).

Definición 1.4.1. Un espacio normado (X, ‖ · ‖) se dice que es completo si todasucesión de Cauchy es convergente en X.

Definición 1.4.2. Sea X un espacio vectorial normado. Diremos que (X, ‖·‖) es unespacio de Banach si (X, d) es un espacio métrico completo, donde d es la distanciainducida por la norma, es decir, d(x, y) = ‖x− y‖.

Algunos ejemplos de espacios de Banach son:

1. C con la norma usual.

2. Rn = {(x1, x2, ..., xn) : xj ∈ R, j = 1, ..., n} con la norma:

‖(x1, x2, ..., xn)‖ =

(n∑j=1

|xj|2) 1

2

.

3. Rn con la norma

‖(x1, x2, ..., xn)‖∞ = máx{|x1|, |x2|, ..., |xn|}.

1.4. ESPACIOS DE BANACH 9

4. El espacio de las sucesiones acotadas sobre K,

`∞(K) = {(xn)n∈N ∈ KN : sup |xn|n∈N

1. El espacio Rn con la norma:

‖(x1, x2, ..., xn)‖p =

(n∑i=1

|xi|p) 1

p

es un espacio de Banach.

Demostración: Por el teorema 1.3.9, ‖ · ‖p es una norma para el espacio, aśı sóloresta probar que Rn es completo. Sean (xk)k∈N, donde xk = (xk1, ..., xkn), una suce-sión de Cauchy en X y ε > 0. Existe N ∈ N tal que para cualesquiera k,m ≥ N , setiene:

‖xk − xm‖p < ε.

De esto se deduce:

|xki − xmi| ≤ ‖xk − xm‖p < ε,

para cualesquiera k,m ≥ N e 1 ≤ i ≤ n. Dada la completitud de R, existe yi ∈ Rtal que ĺımxki = yi para toda 1 ≤ i ≤ n.

Si llamamos y = (y1, y2, ..., yn), resulta que ĺımk→∞

xk = y. En efecto, para cada

i = 1, · · · , n, existe Ni ∈ N tal que para cada k ≥ Ni, |xki − yi| < ( �n)1p . Sean

N = máx{N1, · · · , Nn} y k ≥ N , luego:

‖xk − y‖pp =n∑i=1

|xki − yi|p < nε

n= ε.

Por lo tanto ĺımk→∞

xk = y. �

Observación 1.4.4. La prueba para Cn, es similar salvo que | | representa el módu-lo.


1.5. Los espacios `p(K) y Lp(X,S, µ)

1.5.1. Nota histórica

A finales del siglo XIX nacen los primeros espacios de funcionales “abstractos”.Entre 1904 y 1910, David Hilbert publica una serie de art́ıculos sobre ecuacionesintegrales [14, 15] en el Göttingen Nachrichten (posteriormente recopilados en ellibro Elementos de una teoŕıa general de las ecuaciones integrales lineales, 1912),motivados por los resultados de I. Fredholm. Estos trabajos, junto con la tesis doc-toral (1905) de su alumno E. Schmidt, suponen el nacimiento de la teoŕıa actual deespacios de Hilbert. En el transcurso del desarrollo de toda esta teoŕıa, el espacio desucesiones de cuadrado sumable `2(R) (espacio que será definido posteriormente) ibaquedando establecida de manera impĺıcita [22]. Un aspecto importante que Hilbertnotó sobre `2(R) es que en este espacio no se cumple el análogo al teorema de lacompacidad de Bolzano-Weierstrass en la bola cerrada unitaria [14], pues para queen toda sucesión acotada se pueda extraer una subsucesión convergente es necesarioy suficiente que la dimensión del espacio sea finita (vea el caṕıtulo 2 de esta tesis),lo cual no ocurre en el espacio de sucesiones `2(R). Esto hace que Hilbert considerela noción de lo que actualmente se conoce como “topoloǵıa débil” en `2(R).

Paralelamente a todo esto en 1906, M. Fréchet desarrolla en su tesis doctoral lasnociones de espacio métrico, completitud, compacidad y separabilidad. Sin embargo,no es hasta en 1908 que al aplicar estas ideas a los descubrimientos de Hilbert,E. Schmidt en un art́ıculo define expĺıcitamente el espacio de dimensión infinita`2(R) [14], con las nociones actuales de distancia eucĺıdea, norma, producto escalar,ortogonalidad e incluso el lenguaje geométrico moderno, probándose el teorema de laproyección ortogonal y el método de ortonormalización de Gram-Schmidt. Otros dosjóvenes matemáticos, E. Fischer y F. Riesz descubren el llamado teorema de Riesz-Fischer, según el cual el espacio métrico L2([a, b]) es completo (nosotros probamosestos hechos en la subsección 1.5.3). Esta última conclusión de isomorfismos entrelos espacios permitió traspasar al ambiente de las funciones de cuadrado integrable(L2([a, b])) todos los resultados que hab́ıa encontrado Hilbert en los espacios `2(R),permitiendo con ello resolver problemas sobre ecuaciones integrales [20].

En 1910 Riesz, como una generalización de L2([a, b]) y `2(R), introduce en sulibro Les Systèmes d’équations linéaires à un infinité d’inconnues los espacios Lp(R)

y `p(R), para p ∈ [1,∞), con la p−norma ‖f‖p =(∫ b

a|f |p)1/p

y ||x||p =(∞∑n=1

|xn|p) 1

p

respectivamente, limitándose al caso p ≥ 1 para poder aplicar las desigualdades deHölder y Minkowski. Más tarde se demuestra que el dual topológico de `p(R) es`q(R) con la relación 1p +

1q

= 1, obteniendo con ello el primer ejemplo de espacio

reflexivo no isomorfo a su dual [6, 10, 22].

1.5.2. Los espacios `p(K)Consideremos ahora un caso particular de los espacios de Banach. Considerando

el espacio vectorial KN, espacio cuyos elementos son sucesiones de escalares. Se definepara cada p ∈ R con p ≥ 1 el siguiente conjunto

`p(K) =

{(xn)n∈N ∈ KN :

∞∑i=1

|xi|p

1.5. LOS ESPACIOS `P (K) Y LP (X,S, µ) 11

que se llama espacio de sucesiones. Para demostrar que estos conjuntos son espa-cios vectoriales necesitaremos de las desigualdad de Minkowski. De hecho, con estadesigualdad se prueba que la aplicación ‖ · ‖p : `p(K)→ R dada por:

‖x‖p =

(∞∑n=1

|xn|p) 1

p

, donde x = (xn)n∈N ∈ `p(K),

es una norma sobre el espacio `p(K). Obsérvese que para p = 1, `1(K) está forma-do por las series absolutamente convergentes. De esta forma la prueba de que laaplicación ‖ · ‖p es una norma para p = 1 es inmediata.

Teorema 1.5.1. Sea p ∈ R con p ≥ 1. El espacio de sucesiones en K, `p(K), essubespacio vectorial de KN.

Demostración: Sean x = (xn)n∈N e y = (yn)n∈N dos elementos de `p(K) y α ∈ K.Es claro que

∞∑k=1

|αxk|p =∞∑k=1

|α|p|xk|p = |α|p∞∑k=1

|xk|p


Demostración: Claramente se cumplen los axiomas (i) y (ii) de la definición denorma, definición 1.3.1. Demostremos que se cumplen los axiomas (iii) y (iv). Seanα ∈ K y x = (xn)n∈N e y = (yn)n∈N en `p(K). Luego:

‖αx‖p =

(∞∑k=1

|αxk|p) 1

p

=

(∞∑k=1

|α|p|xk|p) 1

p

=

(|α|p

∞∑k=1

|xk|p) 1

p

= |α|

(∞∑k=1

|xk|p) 1

p

= |α|‖x‖p.

Por otra parte, por el teorema 1.5.1, x + y ∈ `p(K), aśı∑∞

k=1 |xk + yk|p < ∞.Luego por la desigualdad de Minkowski:

‖x+ y‖p =

(∞∑k=1

|xk + yk|p) 1

p

≤

(∞∑k=1

|xk|p) 1

p

+

(∞∑k=1

|yk|p) 1

p

= ‖x‖p + ‖y‖p.

Por lo tanto se afirma que `p(K) es un espacio normado. �

Ahora, para ver que en efecto los espacios `p(K) con p > 1 son de espacios deBanach sólo resta probar la completitud.

Teorema 1.5.3. Para cada p ∈ R con p > 1, el espacio `p(K) es completo y portanto de Banach.

Demostración: Sea (xn)n∈N una sucesión de Cauchy en `p(K). Expresemos cadaxn como xn = (xn1 , xn2 , xn3 , ...). Para k ∈ N fijo y para cualesquiera xm, xn de lasucesión (xn)n∈N se tiene que:

|xnk − xmk | ≤

(∞∑i=1

|xni − xmi |p) 1

p

= ‖xn − xm‖p.

Aśı, la sucesión (xnk)n∈N es de Cauchy en K y puesto que K es un espaciocompleto, se tiene que la sucesión es convergente. Para cada k ∈ N, definimosak = ĺım

n→∞xnk y pongamos a = (a1, a2, a3, · · · ) la sucesión de los ĺımites. Hay que

probar que a está en `p(K) y además que es el ĺımite de la sucesión dada. Al ser(xn)n∈N de Cauchy, fijado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que para cualesquiera n,m ≥ n0y para todo N ∈ N:

N∑k=1

|xnk − xmk |p ≤ ‖xn − xm‖pp < εp.

Por otro lado, podemos hacer que n→∞ en la suma finita y obtener:N∑k=1

|ak − xmk |p = ĺımn→∞

N∑k=1

|xnk − xmk |p ≤ εp

para cualesquiera m ≥ n0 y N ∈ N. Por tanto cuando N →∞, obtenemos:∞∑k=1

|ak − xmk |p ≤ εp. (1.3)


De esta forma, hemos probado que a − xm ∈ `p(K) cuando m ≥ n0. Pero dadoque xm ∈ `p(K), tenemos que a ∈ `p(K). Más aún, de la desigualdad (1.3), se obtieneque ‖a− xm‖p ≤ ε. �

Observación 1.5.4. El espacio `p(K) es claramente una generalización del espa-cio (Rn, ‖ · ‖p). Una distinción principal entre estos espacios es que (Rn, ‖ · ‖p) esde dimensión finita (vea apéndice B.2.3) y `p(K) de dimensión infinita. Para vereste hecho, cabe notar que con ℵ0 nos referimos a la cardinalidad de los númerosnaturales.

En efecto, para cada n ∈ N considérese la sucesión en = (δnk)k∈N, donde

δnk =

{1, si n = k

0, si n 6= k.(1.4)

LuegoS = {en : n ∈ N} (1.5)

es un subconjunto linealmente independiente de `p(K). Aśı por el teorema B.2.4,existe una base β de `p(K) tal que S ⊆ β. Por lo tanto, ℵ0 = |S| ≤ |β| = dim(`p(K)).

El conjunto S no es una base para `p(K), sin embargo, se cumple que para cadax = (xn)n∈N ∈ `p(K),

x =∞∑n=1

xnen.

Esta representación es única. En efecto, dado x = (xn)n∈N ∈ `p(K) y � > 0, existen0 ∈ N tal que para todo n > n0, tenemos que∥∥∥∥∥x−

n∑k=1

xkek

∥∥∥∥∥p

p

= ‖(x1, x2, . . . )− (x1, . . . , xn, . . . )‖pp

=∞∑

k=n+1

|xk|p < �,

por tanto, x =∞∑n=1

xnen.

Ahora veamos que la representación es única. Supongamos que {βn}n∈N es otra

sucesión de escalares tal que x =∞∑n=1

βnen. Aśı, dado � > 0 existe N ∈ N tal que

∥∥∥∥∥x−n∑k=1

xkek

∥∥∥∥∥p

<�

2y

∥∥∥∥∥x−n∑k=1

βkek

∥∥∥∥∥p

<�

2

siempre que n > N . Sumando estas desigualdades y tomando el ĺımite cuandon→∞ obtenemos

0 ≤

(∞∑k=1

|xk − βk|p) 1

p

≤ �,


para cada � > 0, de donde, xk = βk para todo k ∈ N.

Consideremos ahora una relación que existe entre los espacios `p(K) para distin-tos valores de p, la cual se puede ver en el siguiente teorema.

Teorema 1.5.5. Si p, q ∈ R son tales que 1 ≤ p < q, entonces

`1(K) ⊂ `p(K) ⊂ `q(K).

Además, si x ∈ `1(K), entonces

‖x‖q ≤ ‖x‖p ≤ ‖x‖1.

Demostración: Sea x = (xn)n∈N ∈ `p(K), con la condición de que ‖x‖p = 1. Luego,para todo n ∈ N se cumple que |xn| ≤ ‖x‖p = 1, con lo cual

|xn|q ≤ |xn|p.

Sumando sobre todo n ∈ N,∞∑n=1

|xn|q ≤∞∑n=1

|xn|p,

aśı x ∈ `q(K) y en consecuencia ‖x‖q ≤ ‖x‖p. Por otra parte, para el caso generalsupóngase que x 6= 0. Pongamos la sucesión y = (yn)n∈N, donde yn = xn‖x‖p , yaplicando lo anterior, es claro que:

‖y‖q ≤ ‖y‖p,

esto es, (∑∞n=1 |xn|q

‖x‖qp

) 1q

≤(∑∞

n=1 |xn|p

‖x‖pp

) 1p

,

equivalentemente:

(∑∞

n=1 |xn|q)1q

‖x‖p≤ (∑∞

n=1 |xn|p)1p

‖x‖p.

Por lo tanto, ‖x‖q ≤ ‖x‖p. �

Con la proposición anterior, se tiene que el espacio `p(K) con p ≥ 1 se hace másgrande conforme el valor de p aumenta. Además, cabe resaltar que la contención

contraria no se da, lo cual es claro de ver al considerar la sucesión { 1n

1p}n∈N, que está

en `q(K) pero no está en `p(K).


1.5.3. Los espacios Lp(X,S, µ)Los ejemplos más importantes de los espacios vectoriales normados en el contex-

to de la teoŕıa de la medida y de la integral de Lebesgue son los que corresponden alos llamados espacios Lp(X,S, µ) (vea [11]) con 1 ≤ p ≤ ∞. Estos espacios ademásdieron un gran impulso al desarrollo de la teoŕıa de espacios de Hilbert y espaciosnormados.

En esta subsección supondremos que (X,S, µ) es un espacio de medida (veaapéndice D.1.4). Para p ∈ R con 1 ≤ p


entonces para cada n ∈ N, fn ∈ C([a, b]), y

‖fn − f‖pp =∫ ba

|fn(x)− f(x)|pdm(x)

=

∫ ba

|fn(x)|pdm(x)

=

∫ ba

(x− ab− a

)npdm(x)

=b− anp+ 1

n→∞→ 0,

Por lo tanto, ĺımn→∞

fn = f , de modo que (fn)n∈N es una sucesión de Cauchy en

(C([a, b]), ‖ · ‖p) cuyo ĺımite f no está en C([a, b]).Para obtener un espacio normado del espacio Lp(X,S, µ) se define la relación

de equivalencia: dados f, g ∈ Lp(X,S, µ), f ∼ g si y sólo si f = g c.t.p. El espaciocociente Lp(X,S, µ)/ ∼ con la aplicación

‖[f ]‖ =(∫

X

|f |pdµ) 1

p

es un espacio normado. Este espacio cociente se puede identificar como el mismoLp(X,S, µ) debido a que podemos pensar que dos funciones que son iguales salvoen un conjunto de medida nula son la misma función.

Por último, al igual que en los espacios `p(K), se puede ver que también se da lacompletitud de los espacios recién definidos. Este resultado fue obtenido de formasimultánea e independiente por F. Riesz y E. Fischer en 1907.

Teorema 1.5.8. (Riesz-Fischer). Si p ∈ R con p ≥ 1, entonces el espacio(Lp(X,S, µ), ‖ · ‖p) es de Banach.Demostración: Sea (fn)n∈N una sucesión de Cauchy en Lp(X,S, µ). Para ε = 1/2icon i ∈ N, existe ni ∈ N tal que para cualesquiera n,m ≥ ni, se tiene

‖fn − fm‖p <1

2i

Aśı, ésto nos permite extraer la subsucesión (fni)i∈N tal que

‖fni+1 − fni‖p <1

2i

para toda i ∈ N.

Llamemos, ahora gk =k∑i=1

|fni+1 − fni | y g =∞∑i=1

|fni+1 − fni |. Dado que, para cada

i ∈ N, |fni+1 − fni | ∈ Lp(X,S, µ), se tiene que gk ∈ Lp(X,S, µ). Aśı

‖gk‖p =∥∥∥ k∑i=1

|fni+1 − fni |∥∥∥p

≤k∑i=1

‖fni+1 − fni‖p

<k∑i=1

1

2i< 1.


Por otro lado, como ĺımk→∞

gk = g, se tiene también que ĺımk→∞|gk|p = |g|p, con lo

cual: ∫X

|g|pdµ =∫X

ĺımk|gk|pdµ ≤ ĺım ı́nf

k

∫X

|gk|pdµ ≤ 1,

donde la penúltima desigualdad se debe al lema de Fatou (vea [11]). Luego g es finita

c.t.p. Ésto nos indica que la serie∞∑i=1

(fni+1−fni) es absolutamente convergente c.t.p.,

es decir, existe A ⊆ X con µ(A) = 0 tal que para cada x ∈ X\A,∞∑i=1

|fni+1(x)−fni(x)|

converge. Definamos la función:

f(x) =

{fn1(x) +

∑∞i=1(fni+1(x)− fni(x)), si x ∈ X\A;

0, si x ∈ A.

Obsérvese que fn1 +k−1∑i=1

(fni+1 − fni) = fnk . Resulta que f(x) = ĺımk→∞

fnk(x) c.t.p.

Probemos que fn → f y que f ∈ Lp(X,S, µ).Dado ε > 0, exite N ∈ N tal que para cualesquiera n,m ≥ N , se tiene que

‖fn − fm‖p < ε. Tomando m ≥ N , se tiene

‖f − fm‖pp =∫X

|f − fm|pdµ =∫X

| ĺımk→∞

fnk − fm|pdµ =∫X

ĺımk→∞|fnk − fm|pdµ

≤ ĺım ı́nf∫X

|fnk − fm|pdµ = ĺım ı́nf ‖fnk − fm‖pp ≤ εp.

De esto, f − fm ∈ Lp(X,S, µ) y en consecuencia f ∈ Lp(X,S, µ). Por otro lado,al tener ‖f − fm‖p ≤ ε, para toda m ≥ N , la sucesión dada originalmente convergea f . �

Observación 1.5.9. Al igual que los espacios `p(K), los espacios Lp(X,S, µ) sonde dimensión infinita (vea definición B.2.3).

Ejemplo 1.5.10. El espacio L2([a, b]) es de dimensión infinita. En efecto, considerela familia de polinomios S = {

(x−ab−a

)n: n ∈ N}, el cual es un subconjunto linealmen-

te independiente de L2([a, b]), puesto que si p(x) =k∑

n=1

αn(x−ab−a

)n= 0, para k ∈ N

entonces para cualquier l ∈ N

p(l)(a) = 0⇒ αl = 0

con este proceso se pude ver que αi = 0, para todo i = 1, 2, . . . , k. Aśı, por el teoremaB.2.4, existe una base β de L2([a, b]) tal que S ⊆ β. Por lo tanto, ℵ0 = |S| ≤ |β| =dim(L2([a, b])).

Caṕıtulo 2

Compacidad de la bola unitariacerrada en espacios normados dedimensión finita

“Era fŕıa, es cierto, pero también era tranquila,maravillosamente tranquila y grande,

como el tranquilo espacio fŕıo en que se mueven las estrellas.”Hermann Hesse

La compacidad en espacios normados tiene consecuencias muy importantes. Dehecho, que la dimensión del espacio sea finita da lugar a algunas caracteŕısticasespeciales. Por ejemplo, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra que, en unespacio de dimensión finita X, cualquier bola cerrada BX [z, r] de X, es compacta.

Sin embargo, a la hora de tratar con espacios normados de dimensión infinitase encuentra con la dificultad de que la bola cerrada BX [z, r] nunca es compacta.En este caṕıtulo se prueba esta afirmación. En primer lugar se enuncia uno de losteoremas más importantes del análisis, el teorema de Bolzano-Weierstrass. Poste-riormente, se dedica una sección a el teorema de F. Riesz sobre la compacidad de labola cerrada, el cual asegura que, incluso dejando aún lado la estructura del espaciovectorial, la topoloǵıa de un espacio normado es capaz por si sola de decirnos si elespacio tiene o no dimensión infinita. Con esto, se llega a establecer la equivalenciaentre una propiedad puramente topológica y una propiedad algebraica.

2.1. El teorema de Bolzano-Weierstrass

Bernhard Placidus Johann Bolzano (1781 − 1848) era un solitario sacerdote enBohemia, éste fue uno de los matemáticos más brillantes y profundos de su épocay sin embargo, por su aislamiento, la mayoŕıa de sus resultados tuvieron que serredescubiertos posteriormente, de hecho son muy pocos los teoremas que llevan sunombre. Pasaron alrededor de 50 años para que Weierstrass redescubriera el trabajode Bolzano (teorema 2.1.2) como un lema en la demostración del teorema de valorintermedio. El resultado fue identificado como significativo por derecho propio, ydemostrado una vez más por Weierstrass, pasando a ser desde entonces un teoremafundamental del análisis, convirtiéndose en el famoso teorema que lleva el nombre

19

20 CAPÍTULO 2. COMPACIDAD DE BX [0, 1]; X DE DIMENSIÓN FINITA

de ambos hombres: el teorema de Bolzano-Weierstrass.

Se definen a continuación algunos conjuntos que serán utilizados en la tesis.

Definición 2.1.1. Sean X un espacio normado, x0 ∈ X un punto y r > 0. La bolacerrada con centro en x0 y radio r es:

B[x0, r] = {x ∈ X : ‖x0 − x‖ ≤ r}.

Cuando x0 = 0 denotamos B[x0, r] como

BX = {x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1}.

Por otro lado, definimos también las bolas abiertas con centro en x0 y radio rcomo sigue:

B(x0, r) = {x ∈ X : ‖x0 − x‖ < r}.

Teorema 2.1.2. (Bolzano-Weierstrass) Todo subconjunto infinito y acotado deK tiene algún punto de acumulación.

El teorema de Bolzano-Weierstrass tiene una interesante consecuencia en térmi-nos de sucesiones.

Teorema 2.1.3. (Bolzano-Weierstrass) Toda sucesión acotada (αn)n∈N en Ktiene una subsucesión convergente en K.

Este teorema se puede extender a espacios normados de dimensión finita, comomostramos a continuación. Antes probaremos un lema que nos será de ayuda en laprueba del teorema de Bolzano-Weierstrass para el caso de los espacios normados.

Lema 2.1.4. Sean X un espacio normado y n ∈ N. Si {e1, . . . , en} es un subconjuntolinealmente independiente de X, entonces existe c > 0 tal que para cualesquieraα1, α2, . . . , αn ∈ K, se tiene que:

c

n∑i=1

|αi| ≤

∥∥∥∥∥n∑i=1

αiei

∥∥∥∥∥ . (2.1)Demostración: Sean α1, α2, . . . , αn ∈ K. Pongamos s = |α1|+ |α2|+ · · ·+ |αn|.

Si s = 0, entonces αi = 0, para todo i = 1, 2, . . . , n y la desigualdad es cierta paratodo c. Supongamos que s > 0 y pongamos βi = αi/s para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}.Probemos que existe c > 0 tal que ‖β1e1 + β2e2 + · · ·+ βnen‖ ≥ c, con

n∑i=1

βi = 1.

Supongamos que esto no ocurre, es decir,

‖β1e1 + β2e2 + · · ·+ βnen‖ < c,

para cada c > 0 y donden∑i=1

βi = 1. Aśı, existe una sucesión (ym)m∈N de X tal que

ĺımm→∞

‖ym‖ = 0 y

ym = β(m)1 e1 + β

(m)2 e2 + · · ·+ β(m)n en con

n∑i=1

|β(m)i | = 1.

2.1. EL TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS 21

Por otra parte, note que las sucesiones (β(m)i )m∈N para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}

están acotadas, puesto que |β(m)i | ≤n∑i=1

|β(m)i | = 1 para cada m ∈ N. Tomemos la

sucesión (β(m)1 )m∈N. Por el teorema de Bolzano-Weiertrass ésta sucesión posee una

subsucesión convergente, digamos a β1, es decir ĺımj1→∞

β(mj1 )

1 = β1. Además, note que

a esta subsucesión le corresponde la subsucesión (ymj1 )j1∈N de (ym)m.De manera análoga, aplicando este mismo argumento a (ymj1 )j1∈N, por el teorema

de Bolzano-Weiertrass la sucesión (β(mj1 )

2 )j1∈N posee una subsucesión convergente,

digamos (β(mj2 )

2 )j2∈N, el cual converge a β2. A esta subsucesión le corresponde lasubsucesión (ymj2 )j2∈N de (ymj1 )j1∈N.

Por otra parte observe también que ĺımj2→∞

β(mj2 )

1 = β1 (puesto que cada subsuce-

sión de una sucesión convergente, converge al mismo ĺımite). De modo que despuésde n pasos se obtiene una subsucesión (ymjn )jn∈N de (ym)m∈N tal que

ymjn =n∑k=1

β(mjn )k ek, donde

n∑k=1

|β(mjn )k | = 1,

y ĺımjn→∞

β(mjn )i = βi, para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}. Con todo ésto, observe que

ĺımjn→∞

ymjn =n∑k=1

(ĺımjn→∞

β(mjn )k

)ek =

n∑k=1

βkek := y, y

n∑k=1

|βk| =n∑k=1

∣∣∣∣ ĺımjn→∞ β(mjn )k∣∣∣∣ = ĺımjn→∞

n∑k=1

∣∣∣β(mjn )k ∣∣∣ = 1.Esto es, para y =

n∑k=1

βkek se tiene quen∑k=1

|βk| = 1. Aśı, con esto último, se

obtiene que no todos los βk = 0, al mismo tiempo y dado que los e1, e2, . . . , en sonlinealmente independientes se tiene que y 6= 0 (pues de lo contrario βk = 0 paratodo k = 1, 2, . . . , n). Por otra parte, como la norma es una aplicación continua sesigue que

ĺımjn→∞

‖ymjn‖ = ‖y‖,

pero como ĺımm→∞

‖ym‖ = 0, se obtiene que ĺımjn→∞

‖ymjn‖ = 0 y en consecuencia ‖y‖ = 0.Por lo tanto y = 0, lo cual no puede ocurrir. �

Teorema 2.1.5. (Bolzano-Weierstrass) Si X es un espacio normado de di-mensión finita, entonces toda sucesión acotada (xn)n∈N en X tiene una subsucesiónconvergente en X.

Demostración: Sean {e1, e2, . . . , ep} una base de X y (xn)n∈N una sucesión acotadaen X. Para cada n ∈ N, sean α1n, α2n, . . . , αpn ∈ K tales que xn = α1ne1 + α2ne2 +· · ·+ αpnep. Por el lema 2.1.4, existe c > 0 tal que para cada n ∈ N:

c|αin| ≤ cp∑i=1

|αin| ≤

∥∥∥∥∥p∑i=1

αinei

∥∥∥∥∥ = ‖xn‖ ≤M.


Esto implica que para cada i ∈ {1, . . . , p}, (αin)n∈N es una sucesión acotada enK. Por el teorema 2.1.3, para cada i ∈ {1, . . . , p}, existen una subsucesión (αink)k∈Nde (αin)n∈N y αi ∈ K tales que ĺım

k→∞αink = αi. Pongamos x =

∑pi=1 αiei, luego

‖xnk − x‖ =

∥∥∥∥∥p∑i=1

αinkei −p∑i=1

αiei

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥p∑i=1

(αink − αi)ei

∥∥∥∥∥≤

p∑i=1

|αink − αi|k→∞→ 0.

Por lo tanto, (xnk)k∈N es una subsucesión convergente de (xn)n∈N. �

Definición 2.1.6. Un subconjunto A de un espacio topológico X es secuencialmentecompacto, si toda sucesión de A contiene una subsucesión que converge a un puntode A.

Exiten diversos conjuntos que no son secuencialmente compactos, por ejem-plo, el intervalo (0, 1) no es secuencialmente compacto si consideramos la sucesión{1/n}n∈N.

Por otra parte, en espacios métricos, la compacidad es equivalente a la compaci-dad secuencial, como se muestra en el siguiente teorema.

Teorema 2.1.7. Sean (X, d) un espacio métrico y A un subconjunto de X. Luego,A es compacto si y solo si A es secuencialmente compacto.

Sabemos que en Kn, un subconjunto A de Kn es compacto si y solo si A escerrado y acotado. La generalización de esta proposición a espacios de dimensiónfinita sigue siendo válida.

Teorema 2.1.8. Sea X un espacio normado de dimensión finita. Luego un subcon-junto A de X es compacto si y solo si A es cerrado y acotado.

Demostración: Se sabe que todo subconjunto compacto en un espacio métrico escerrado y acotado, por tanto, sólo queda probar que si A ⊆ X es cerrado y acotadoentonces A es compacto. En efecto, sea A ⊆ X cerrado y acotado, si (xn)n∈N es unasucesión en A entonces (xn)n∈N es acotada y, por el teorema Bolzano-Weierstrass,teorema 2.1.5, (xn)n∈N tiene una subsucesión (xnk)k∈N convergente en X, digamos ax. Dado que A es cerrado, x ∈ A. Por lo tanto, A es secuencialente compacto, aśıpor el teorema 2.1.7, A es compacto. �

Corolario 2.1.9. Si X es un espacio normado de dimensión finita, entonces elconjunto BX es compacto.

La conclusión del corolario anterior deja de ser válida en espacios normados dedimensión infinita. El ejemplo siguiente es una prueba de ésto.

2.2. EL TEOREMA DE F. RIESZ 23

Ejemplo 2.1.10. En el espacio X = `p(K) el conjunto

BX = {x ∈ X : ‖x‖p ≤ 1}

con p ≥ 1, es cerrado y acotado, pero no es compacto. En efecto, consideremos la

sucesión (xk)k∈N, donde para todo k ∈ N se tiene que xk = (0, 0, . . . ,k︷︸︸︷1 , 0, . . . ).

Claramente ‖xk‖p = 1, luego (xk)k∈N es una sucesión en BX . Para cualesquierak, j ∈ N con k 6= j, se tiene que:

‖xk − xj‖p = 21p . (2.2)

Supongamos que BX es compacto, luego por el teorema 2.1.7, BX es secuencial-mente compacto. Aśı existe una subsucesión (xnk)k∈N de (xk)k∈N tal que (xnk)k∈Nconverge en BX . Por lo tanto, al ser (xnk)k∈N convergente, se tiene que (xnk)k∈Nes una sucesión de Cauchy. Esto es, para ε = 1 existe n0 ∈ N tal que para cadan,m ≥ n0, se tiene que:

‖xn − xm‖p < 1,lo cual para n 6= m con n,m ≥ n0 no puede ocurrir debido a (2.2).

2.2. El teorema de F. Riesz sobre la compacidad

de la bola cerrada

Para introducirnos a la demostración del teorema de Riesz, se enuncia y pruebael lema 2.2.1, que nos permitirá verificar que en efecto en el caso de un espacio dedimensión infinita la bola unitaria cerrada nunca es compacta.

Lema 2.2.1. (Riesz) Sean X un espacio normado e Y un subespacio vectorialcerrado propio de X. Luego, para cada θ ∈ (0, 1), existe xθ ∈ X \Y tal que ‖xθ‖ = 1y

θ ≤ d(xθ, Y ) = ı́nf{d(xθ, y) : y ∈ Y } = ı́nf{‖xθ − y‖ : y ∈ Y } ≤ 1.

Demostración: Sea v ∈ X \ Y . Llamemos:

a = d(v, Y ) = ı́nf{d(v, y) : y ∈ Y } = ı́nf{‖v − y‖ : y ∈ Y }.

Como Y es cerrado, se tiene a > 0. Por definición de ı́nfimo, para cada θ ∈ (0, 1),existe yθ ∈ Y tal que a ≤ ‖v − yθ‖ < aθ . Pongamos xθ =

v−yθ‖v−yθ‖

, luego xθ ∈ X \ Y ,‖xθ‖ = 1 y para cada y ∈ Y se cumple,

‖xθ − y‖ =∥∥∥∥ v − yθ‖v − yθ‖ − y

∥∥∥∥=

1

‖v − yθ‖

∥∥∥v − yθ − ‖v − yθ‖y∥∥∥=

1

‖v − yθ‖‖v − y1‖,

con y1 = yθ + ‖v − yθ‖y. Por otra parte, como y1 ∈ Y , se tiene:

a ≤ ‖v − y1‖,


con lo cual a su vez:

a

‖v − yθ‖≤ ‖v − y1‖‖v − yθ‖

= ‖xθ − y‖.

Pero:

θ <a

‖v − yθ‖,

de donde θ < ‖xθ − y‖ para toda y ∈ Y y, por tanto, θ ≤ d(xθ, Y ). Más aún, noteque ‖xθ − y‖ = ‖v−y1‖‖v−yθ‖ ≤

d(v,Y )‖v−yθ‖

≤ 1. Aśı d(xθ, Y ) ≤ 1. �

Ahora consideremos el lema 2.2.1, para demostrar la siguiente caracterización delos espacios de dimensión finita.

Teorema 2.2.2. (F. Riesz) En un espacio normado X, las siguientes afirmacionesson equivalentes:

i) La bola unitaria cerrada BX es compacta.

ii) X tiene dimensión finita.

Demostración: i) ⇒ ii). Supongamos que dimX es infinita. Sea x1 ∈ X talque ‖x1‖ = 1 y consideremos a M1 como el subespacio generado por x1, es decir,M1 = gen({x1}). Se tiene que dimM1 = 1 y como dimX ≥ ℵ0 entonces M1 6= X.

Por el lema de Riesz, lema 2.2.1, existe x2 ∈ X\M1 tal que

‖x2‖ = 1 y d(x2,M1) ≥1

2.

Luego {x1, x2} es un conjunto linealmente independiente y

‖x2 − x1‖ ≥1

2.

Sea M2 = gen({x1, x2}). Se tiene que dimM2 = 2. Como dimX ≥ ℵ0, M2 6= X.Por el lema de Riesz, existe x3 ∈ X \M2 tal que

‖x3‖ = 1 y d(x3,M2) ≥1

2.

Luego {x1, x2, x3} es un conjunto linealmente independiente y además

‖x3 − x1‖ ≥1

2y ‖x3 − x2‖ ≥

1

2.

Continuando con este proceso se construye una sucesión (xn)n∈N en BX tal que

‖xm − xn‖ ≥1

2,

si m ≥ n. Por lo tanto, (xn)n∈N no tiene alguna subsucesión convergente, de modoque BX no es secuencialmente compacto, asi por teorema 2.1.7, BX no es compacto.

ii)⇒ i) Esta implicación corresponde al corolario 2.1.9. �

Obsérvese que este último resultado pone de manifiesto la “escasez” de los con-juntos compactos en espacios de dimensión infinita (he aqúı la gran importancia detratar con las topoloǵıas débiles). Se comprueba por tanto, que en los espacios dedimensión infinita la bola unitaria cerrada no es compacta.

Caṕıtulo 3

El teorema de Hahn-Banach

Las proposiciones matemáticas,en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas;

y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad.Albert Einstein (1879-1955)

3.1. Nota Histórica

Dados un espacio normado X, un subespacio normado Y de X y una aplicaciónlineal continua f : Y → K, es natural preguntarse si existe la posibilidad de pro-longar a f de forma continua a todo el espacio vectorial X, es decir, si podemosencontrar un funcional lineal continuo g : X → K tal que

g(y) = f(y), para cada y ∈ Y.

Más aún, para un espacio normado abstracto X arbitrario, ¿se puede asegurarla existencia de funcionales lineales continuos no nulos?.

El famoso teorema sobre extensión de funcionales es el que hoy llamamos el teore-ma de Hahn-Banach (vea [12]), y el cual se debe independientemente al matemáticoaustŕıaco Hans Hahn (1927) y al polonés Stefan Banach (1929) (vea [17]), quienprácticamente con los mismos argumentos de Hahn, obtuvo una versión más generalpara un espacio vectorial real, demostrando que todo funcional lineal definido en unsubespacio de un espacio vectorial real y dominado por un funcional sublineal, puedeser extendido sobre el espacio total, manteniendo la dominación. Por otro lado, caberesaltar que la versión compleja es debida a Bohnenblust y Sobczyck (1938).

Una de las consecuencias más significativas de dicho teorema es precisamente elteorema 3.4.2, que asegura la existencia funcionales lineales continuos en espaciosnormados no triviales 1. Este es un enunciando crucial en extensión de funcionaleslineales pues han contribuido al desarrollo de la teoŕıa de la dualidad.

3.2. Introducción

Dedicamos este caṕıtulo al estudio del primero de los llamados “Tres principiosfundamentales del análisis funcional”, nos referimos al teorema de Hahn-Banach.

1La extensión no es única y la demostración, que utiliza el lema de Zorn, no da ningún métodopara encontrar dicha extensión.

25

26 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE HAHN-BANACH

En este caṕıtulo se enuncian y prueban las dos versiones anaĺıticas más comunes delteorema, el teorema de extensión mayorada que es el teorema 3.3.2 y el teorema deextensión equinórmica 3.4.1. Ambos teoremas hacen referencia a la extensión de unfuncional lineal definido sobre un subespacio de un espacio vectorial (en el segundocaso, de un espacio normado) a un funcional lineal definido sobre todo el espacio.

También nos centramos en probar la interpretación geométrica del teorema deHahn-Banach, que consistirá en encontrar condiciones suficientes para separar dossubconjuntos de un espacio vectorial, obteniéndose un teorema general de separaciónde conjuntos convexos en espacios vectoriales. Finalmente, deducimos consecuenciasinteresantes que se desprenden tanto de la versión geométrica como de la versiónanaĺıtica del teorema.

3.3. Teorema de Hahn-Banach

Es necesario recordar un instrumento fundamental en la teoŕıa de conjuntos,el famoso lema de Zorn, lema A.1.8,el cual afirma que todo conjunto parcialmenteordenado no vaćıo X en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado)tiene una cota superior en X, contiene al menos un elemento maximal. Además, sepresentan algunas definiciones importantes antes de abordar el teorema principal.

Definición 3.3.1. Sea E un espacio vectorial sobre el campo K.

1. Una función p : E → R es un funcional sublineal o subnorma sobre E, si essubaditiva:

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), (3.1)

para cualesquiera x, y ∈ E, y positivamente homogénea si:

p(αx) = αp(x), (3.2)

para cada x ∈ E y para todo α ∈ R+.

2. Una función p : E → R es una seminorma sobre E, si es subaditiva (se cumplela desigualdad (3.1)), no negativa y absolutamente homogénea si:

p(αx) = |α|p(x), (3.3)

para cada x ∈ E y para todo α ∈ K.

3. Se dice que un funcional lineal f : E → R está dominado por p, si

f(x) ≤ p(x)

para cada x ∈ E.

Note que toda norma es una seminorma y toda seminorma es un funcional su-blineal. Presentamos a continuación el teorema de Hahn-Banach para el caso real.

Teorema 3.3.2. (Hahn-Banach caso real) Sean E un espacio vectorial real,p : E → R un funcional sublineal sobre E, M un subespacio vectorial de E yf : M → R un funcional lineal tal que f está dominado por p. Entonces, existe unaaplicación lineal g : E → R tal que:

3.3. TEOREMA DE HAHN-BANACH 27

1. g(x) = f(x) para todo x ∈M , y

2. g(x) ≤ p(x) para cada x ∈ E.

Demostración: Consideremos la familia A de todas las aplicaciones lineales h devalores reales definidas sobre algún subespacio D(h) de E tales que cumplen

M ⊆ D(h), h|M = f y h(x) ≤ p(x) para todo x ∈ D(h).

Podemos asegurar que A es no vaćıo puesto que f ∈ A. Aśı, hagamos de Aun conjunto parcialmente ordenado (vea definición A.2), definiendo un orden de lasiguiente manera: dados h1, h2 ∈ A,

h1 � h2 ↔ D(h1) ⊆ D(h2) y h2 extiende a h1.

Buscamos aplicar el teorema de Zorn a la familia A dotado del orden parcialanterior. Para ello fijemos una cadena (vea definición A.1.7) C de A y pongamosD =

⋃h∈C

D(h). Ya que C es totalmente ordenado (vea apéndice A.1) se tiene que D

es un subespacio vectorial de E y la aplicación u : D → R dada por

u(x) = h(x), si x ∈ D(h) y h ∈ C,

está bien definida y es lineal puesto que cada h ∈ C lo es. Por otro lado, es claro queu ∈ A y h � u para toda aplicación h ∈ C, de modo que C tiene una cota superioren A. Consecuentemente por el lema de Zorn, A tiene algún elemento maximal (veadefinión A.1.6), llámese g. Entonces g es lineal, M ⊆ D(g), g|M = f y g(x) ≤ p(x)para todo x ∈ D(g).

Ahora veamos que D(g) = E. Supóngase, que existe algún y ∈ E\D(g). Consi-deremos el conjunto

H = {x+ αy : x ∈ D(g), α ∈ R} = D(g) + gen({y}).

Claramente H es un subespacio vectorial de E con D ⊆ H y D(g) 6= H. Exten-damos g a H con la aplicación lineal h : H → R definida por:

h(x+ αy) = g(x) + αβ, x ∈ D(g) y α ∈ R,

donde β es un número real diferente de cero que a continuación determinaremos.Dado que h 6= g, M ⊆ H y h|M = f basta elegir β de tal forma que h(z) ≤ p(z)para todo z ∈ H, para llegar a una contradicción pues g es el elemento maximal enA. De esta forma, se necesita que para z = x+ αy ∈ H,

h(z) = g(x) + αβ ≤ p(x+ αy),

lo cual equivale, en el caso en que α > 0, a:

β ≤ p(xα

+ y)− g

(xα

),

y en el caso en que α < 0, equivale a:

−p(xα− y)

+ g(xα

)≤ β.


Aśı, β debe cumplir que:

−p(u− y) + g(u) ≤ β ≤ p(w + y)− g(w),

para cualesquiera u,w ∈ D(g). Por otra parte, se sabe que al ser p sublineal se tieneque

g(u) + g(w) = g(u+ w) ≤ p(u+ w) ≤ p(u− y) + p(w + y),

para cada u,w ∈ D(g). De donde:

g(u)− p(u− y) ≤ p(y + w)− g(w),

para cualesquiera u,w ∈ D(g). Por lo tanto, si

a := sup{g(u)− p(u− y) : u ∈ D(g)}, b := ı́nf{p(w + y)− g(w) : w ∈ D(g)}

y tomando β ∈ [a, b] se obtiene el resultado. �

Teorema 3.3.3. Sean X un espacio vectorial sobre el campo K, M un subespaciovectorial de X y p : X → R una seminorma. Si f : M → K es un funcional linealtal que

|f(x)| ≤ p(x)

para todo x ∈ M , entonces existe una extensión lineal f ′ : X → K de f tal que|f ′(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ X.

Demostración: Caso (i): K = R. Dado que p es un funcional sublineal tal quef(x) ≤ |f(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ M , por el teorema de Hahn-Banach caso real,teorema 3.3.2, existe una extensión lineal f ′ : X → R de f tal que

f ′(x) ≤ p(x)

para todo x ∈ X. Obsérvese además que

−f ′(x) = f ′(−x) ≤ p(−x) = | − 1|p(x) = p(x),

de modo que f ′(x) ≥ −p(x). Por lo tanto, |f ′(x)| ≤ p(x) para toda x ∈ X.Caso (ii): K = C. Note que si X es un espacio vetorial sobre C, entonces X esun espacio vectorial sobre R. Usaremos la notación (X,R), (X,C) para indicar queel conjunto X es un espacio vectorial, sobre el campo R, respectivamente sobre elcampo C. Sean g, h dos funciones de valores reales definidas sobre (M,C) tales quef(x) = g(x) + ih(x) para todo x ∈M . Dado que f es lineal es posible expresar a funicamente en términos de g. En efecto

f(ix) = if(x) = ig(x)− h(x)

yf(ix) = g(ix) + ih(ix).

Aśı, h(x) = −g(ix), por lo tanto,

f(x) = g(x)− ig(ix).

3.3. TEOREMA DE HAHN-BANACH 29

La función g : (M,R)→ R es lineal, dado que si α ∈ R y x, y ∈M , entonces:

g(x+ αy)− ig(i(x+ αy)) = f(x+ αy)= f(x) + αf(y)

= g(x)− ig(ix) + α [g(y)− ig(iy)]= g(x) + αg(y)− i (g(ix) + αg(iy)) .

Por lo tanto, g(x+ αy) = g(x) + αg(y). Más aún g cumple:

g(x) ≤ |g(x)| ≤ |f(x)| ≤ p(x),

para todo x ∈M .Ahora, dado que (M,R) es un subespcio vectorial de (X,R), por el teorema de

Hahn-Banach caso real, teorema 3.3.2, existe una extensión lineal g′ : (X,R) → Rde g tal que g′(x) ≤ p(x) para todo x ∈ X.

Se define f ′ : (X,C)→ C como

f ′(x) = g′(x)− ig′(ix).

Verifiquemos que f ′ es lineal. Sean x, y ∈ X y α, β ∈ R, luego

f ′(x(α + iβ) + y) = g′(xα + iβx+ y)− ig′(i(xα + iβx+ y))= g′(xα) + g′(iβx) + g′(y)− i[g′(ixα) + g′(−βx) + g′(iy)]= αg′(x) + βg′(ix) + g′(y)− iαg′(ix) + iβg′(x)− ig′(iy)= α(g′(x)− ig′(ix)) + βi(g′(x)− ig′(ix)) + g′(y)− ig′(iy)= (α + βi)(g′(x)− ig′(ix)) + g′(y)− ig′(iy)= (α + βi)f ′(x) + f ′(y).

Obsérve que, para cada x ∈M :

f ′(x) = g′(x)− ig′(ix)= g(x)− ig′(ix)= g(x)− ig(ix), dado que ix ∈M= f(x).

Aśı f ′ es una extensión lineal de f . Por último veamos que para cada x ∈ X,|f ′(x)| ≤ p(x). Sea x ∈ X, expresemos f ′(x) en su forma polar, es decir, f ′(x) =rxe

iθx . Luego,

rx = e−iθxf ′(x)

= f ′(e−iθxx)

= g′(e−iθxx)− ig′(ie−iθxx)

de modo que, rx = g′(e−iθxx). Por lo tanto,

|f ′(x)| = rx = g′(e−iθxx) ≤ p(e−iθxx) = |e−iθx|p(x) = p(x),

esto es, |f ′(x)| ≤ p(x). �


Cabe resaltar que la existencia de la extensión lineal en el teorema anterior seda sólo a nivel puramente algebraico y que en realidad la verdadera relevancia delteorema de Hahn-Banach (vea [12]), reside en que la extensión que proporcionacontinúa siendo dominada por el funcional sublineal.

Observación 3.3.4. De la prueba del teorema anterior obtenemos lo siguiente: sif : (X,C) → C es un funcional lineal continuo, entonces g : (X,R) → R, definidopor

g(x) = Ref(x)

para cada x ∈ X, es un funcional continuo y lineal con respecto al campo R. Además,

f(x) = g(x)− ig(ix)

para cada x ∈ X. Por otra parte, si g : (X,R) → R es un funcional lineal continuoentonces f : (X,C) → C, definido por f(x) = g(x) − ig(ix) para cada x ∈ X, escontinuo y lineal con respecto al campo C.

Se presentan a continuación la versión anaĺıtica y geométrica del teorema.

3.4. Consecuencias del teorema de Hahn-Banach

3.4.1. Versión anaĺıtica

La primera consecuencia del teorema de Hahn-Banach nos asegura que es posibleextender formas lineales continuas de manera que se siga manteniendo la norma 2.Este resultado se conoce como extensión equinórmica y es uno de los más impor-tantes dentro de la sección.

Teorema 3.4.1. (Extensión equinórmica) Si X es un espacio normado sobreel campo K, M un subespacio vectorial de X y f : M → K una aplicación linealy continua, entonces existe una aplicación lineal g : X → K tal que g|M = f y‖g‖ = ‖f‖.

Demostración: Sea f : M → K una aplicación lineal y continua. Definamos lafunción p : X → R como p(x) = ‖f‖‖x‖. Dado que la norma es una seminorma ypuesto que

|f(x)| ≤ ‖f‖‖x‖ = p(x), para todo x ∈M,por el teorema de Hahn-Banach, existe una aplicación lineal g : X → K tal queextiende a f y satisface:

|g(x)| ≤ p(x) = ‖f‖‖x‖para todo x ∈ X. Con esto se obtiene que

|g(x)|‖x‖

≤ ‖f‖,

para todo x ∈ X. Por lo tanto,

‖g‖ = sup{|g(x)|‖x‖

: x ∈ X, x 6= 0}≤ ‖f‖.

2La norma de una aplicación lineal continua se define en el apéndice A.

3.4. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE HAHN-BANACH 31

Por otra parte, al ser g una extensión lineal de f se tiene

‖f‖ = sup{|f(x)| : x ∈M, ‖x‖ = 1}= sup{|g(x)| : x ∈M, ‖x‖ = 1}≤ sup{|g(x)| : x ∈ X, ‖x‖ = 1}= ‖g‖

y por lo tanto ‖f‖ = ‖g‖. �

El hecho de que todo funcional lineal continuo en un subespacio M de un espacionormado X se extienda a un funcional lineal continuo sobre todo el espacio X esimportante, ya que ésto nos garantiza, por ejemplo, la abundancia de funcionalescontinuos no nulos en cualquier espacio normado X que sea no trivial, ya que siemprees posible tomar un subespacio M de X de dimensión finita y funcionales linealescontinuos sobre dicho subespacio, garantizando la existencia de funcionales sobretodo el espacio. Además, por el teorema 3.4.1, se garantiza que podemos hacerdicha extensión manteniendo la norma.

Teorema 3.4.2. Si X es un espacio normado sobre el campo K y x0 ∈ X, conx0 6= 0, entonces existe un funcional lineal continuo f : X → K con ‖f‖ = 1 tal quef(x0) = ‖x0‖.

Demostración: Considere el subespacio de X M = {αx0 : α ∈ K} y definamos lafunción g : M → K como g(αx0) = α‖x0‖. Observe que g es lineal y continua sobreM y es tal que:

‖g‖ = sup{|g(x)| : ‖x‖ = 1 y x ∈M}= sup{|α|‖x0‖ : α ∈ K y ‖αx0‖ = 1}= 1.

Por el teorema 3.4.1, podemos extender a g a un funcional lineal f : X → Kcontinuo tal que f |M = g y ‖f‖ = ‖g‖. Por lo tanto se tiene que ‖f‖ = 1 yf(x0) = g(x0) = ‖x0‖. �

Comúnmente suele decirse que si f cumple con las condiciones del teorema 3.4.2,entonces la aplicación f está alineado con el punto x0. Como consecuencia de esteteorema 3.4.2 se obtiene que si X 6= {0}, entonces se garantiza que el espacio deBanach B(X,K) (vea definición B.1.4 del apéndice) también es no trivial. Por otraparte, de este teorema también podemos decir que el espacio B(X,K) separa puntosde X, esto es, para cualesquiera x1, x2 ∈ X con x1 6= x2, existe f ∈ B(X,K) talque f(x1) 6= f(x2) (esto nos ayudará a verificar algunos teoremas que se presentanen el estudio de a las topoloǵıas débiles). Esta propiedad puede verificarse con elsiguiente corolario.

Corolario 3.4.3. Dados un espacio normado X sobre el campo K y puntos x, y ∈ Xcon x 6= y, existe f ∈ B(X,K) tal que f(x) 6= f(y).


Demostración: Sea X un espacio normado. Veamos que para x ∈ X\{0}, existef ∈ B(X,K) tal que f(x) 6= 0. Pues si se asume este último resultado como cierto,se tiene que para cualesquiera x, y ∈ X con x 6= y se tendrá que x − y 6= 0, porlo que existirá f ∈ B(X,K) tal que f(x − y) 6= 0, es decir, f(x) − f(y) 6= 0, oequivalentemente f(x) 6= f(y).

Sea x ∈ X\{0}. Pongamos x0 = x‖x‖ , por el teorema 3.4.2, existe f ∈ B(X,K)tal que

f(x0) = ‖x0‖.

De donde:1

‖x‖f(x) = f

(x

‖x‖

)= f(x0) = 1,

lo cual nos permite concluir que en efecto f(x) = ‖x‖ 6= 0. �

3.4.2. Versión geométrica

En esta sección se prueba la primera y segunda forma geométrica del teoremade Hahn-Banach, para empezar, introducimos algunas nociones acerca de la teoŕıade los hiperplanos en espacios normados sobre el campo R, las cuales serán de granayuda para comprender el concepto de separación de dos conjuntos. Las condicionespara llevar a cabo esta separación están dadas en la versión geométrica del teoremade Hahn-Banach, el cual se muestra en el teorema 3.4.9, estos teoremas de separaciónserán necesarios para verificar algunas propiedades con respecto a las topoloǵıasdébiles que se abordarán en la sección 5.4, por ejemplo, con estos teoremas se pruebaque la topoloǵıa ?−débil coincide con la topoloǵıa débil del dual (vea teorema 5.4.9).

Definición 3.4.4. Sea X un espacio vectorial sobre el campo R.

1. Un hiperplano M de X es un subespacio vectorial propio maximal de X.

2. Un subconjunto no vaćıo H de X es un hiperplano af́ın, si H = M+{x0} paraalgún x0 ∈ X y M un hiperplano de X.

Observación 3.4.5. Sean X un espacio normado sobre el campo R y M un subes-pacio vectorial de X. Luego, M es un hiperplano de X si y sólo si existe v ∈ X \Mtal que

X = M ⊕ gen({v}),

(vea definición B.1.8). En efecto, si M es un hiperplano entonces existe v ∈ Xtal que v 6∈ M , aśı M ⊂ M + gen({v}), luego por ser M un subespacio vectorialpropio maximal, X = M + gen({v}), pero M ∩ gen({v}) = {0}, por lo tanto,X = M ⊕ gen({v}).

Para la rećıproca, supongamos que existe v ∈ X \M tal que X = M ⊕gen({v}),luego M es un subespacio propio de X. Sea D un subespacio vectorial de X.Caso 1: D ⊆M . En este caso D = M .Caso 2: D 6⊆ M . Existe d ∈ D tal que d 6∈ M , por otra parte, existen m ∈ M yα ∈ R tales que d = m+αv. Note que α 6= 0 puesto que d 6∈M , aśı v = d

α− m

α∈ D.

Por lo tanto, X = M + gen({v}) ⊆ D, luego D = X.En consecuencia, M es maximal y, por tanto, M es un hiperplano de X.


Proposición 3.4.1. Sean X un espacio vectorial sobre el campo R y M un sub-conjunto de X. Luego, M es un hiperplano de X si y sólo si existe una funcionallineal f : X → R no idénticamente nula tal que N(f) = M . La función f es únicasalvo un factor constante, es decir, si existe otra función lineal g : X → R tal queN(g) = M , entonces existe β ∈ R tal que f = βg.

Demostración: Sea M un subconjunto de X. Supongamos que f : X → R es unafuncional lineal no idénticamente nula tal que N(f) = M . Probemos que M es unhiperplano de X. Sea y ∈ X \ {0} tal que f(y) 6= 0. Veamos que

N(f)⊕ gen({y}) = X. (3.4)

Tomemos x ∈ X y pongamos h = x − f(x)f(y)

y, luego f(h) = f(x) − f(x) = 0,por tanto h ∈ N(f). Aśı, x = h + f(x)

f(y)y ∈ N(f) + gen({y}). Todav́ıa más, dado

que f(y) 6= 0, N(f) ∩ gen({y}) = {0}. Por lo tanto, la igualdad en (3.4) se cumple.En consecuencia, M ⊕ gen({y}) = X. Luego, por la observación 3.4.5, M es unhiperplano de X.

Demostremos ahora la rećıproca, supongamos que M es un hiperplano de X. Porla observación 3.4.5, existe v ∈ X \M tal que X = M ⊕gen({v}). Para cada x ∈ X,existen mx ∈M y βx ∈ R únicos tales que x = mx+βxv. Se define f : X → R comof(x) = βx. Luego, f es una función lineal no identicamente nula tal que N(f) = M ,puesto que, para m ∈M , f(m) = f(m+0v) = 0. Para la contención contraria, dadox ∈ N(f) existen mx ∈M y βx ∈ R tales que x = mx +βxv, además βx = f(x) = 0,de modo que x = mx ∈M . �

Como consecuencia inmediata de la anterior proposición se tiene el siguienteresultado.

Proposición 3.4.2. Sean X un espacio vectorial sobre el campo R y H un subcon-junto no vaćıo de X. Luego, H es un hiperplano af́ın de X si y sólo si existen α ∈ Ry una funcional lineal f : X → R no idénticamente nula tal que

H = {x ∈ X : f(x) = α}.

Demostración: Existen v0 ∈ X y un hiperplano M de X tal que H = M + {v0}.Por la proposición 3.4.1, existe f : X → R lineal y no idénticamente nula tal queN(f) = M , de donde H = N(f) + {v0}. Sea α = f(v0). Si x ∈ H, entonces existem ∈ M tal que x = m+ v0, luego f(x) = f(m+ v0) = f(v0) = α. Rećıprocamente,si x ∈ {x ∈ X : f(x) = α}, entonces f(x) = α, aśı f(x − v0) = 0 de modo quex− v0 ∈ N(f). Por lo tanto, x = (x− v0) + v0 ∈ N(f) + {v0}. �

Bajo las hipótesis de la proposición 3.4.2, se dice que H es el hiperplano deecuación {f = α}. A continuación se muestra una propiedad muy importante de loshiperplanos cuando X es un espacio normado.

Teorema 3.4.6. Sean X un espacio normado sobre el campo R y f : X → R unaaplicación lineal. El hiperplano H de ecuación {f = α} es cerrado si y sólo si laaplicación lineal f es continua.


Demostración: La prueba de este teorema se da por la igualdad siguiente:

H = {x ∈ X : f(x) = α} = N(f) + {x0},

donde x0 ∈ X es tal que f(x0) = α. �

Una importante cuestión a tratar cuando X es un espacio vectorial sobre elcampo R es la siguiente: dados dos subconjuntos no vaćıos y ajenos A y B de X,¿es posible encontrar una función lineal no nula f : X → R y α ∈ R tales quef(a) ≤ α ≤ f(b), para cada a ∈ A y para cada b ∈ B? La interpretación geométicade ésto es clara: el hiperplano af́ın de ecuación {f = α} deja al conjunto A a unlado y el conjunto B al otro. Esto es una separación de A y B en (X,R). Buscamoscondiciones sobre los conjuntos A y B que nos permitan separarlos. Con ejemplosmuy sencillos observamos que debemos suponer que A y B son convexos.

Antes de discutir la respuesta a la pregunta recién planteada, conviene conside-rar también el caso complejo. Si (X,C) es un espacio vectorial, entonces (X,R) estambién un espacio vectorial. Puesto que la noción de convexidad solo involucra elproducto por escalares reales, podemos ver A y B como subconjuntos convexos de(X,R). Si conseguimos separarlos en (X,R), tendremos α ∈ R y una función linealf : X → R con f 6= 0 tal que f(a) ≤ α ≤ f(b), para cada a ∈ A y para cada b ∈ B.Tomando f ′ : X → C como en la observación 3.3.4, esto es

f ′(x) = f(x)− if(ix), (3.5)

para cada x ∈ X, obtenemos una función lineal f ′ 6= 0 verificando que

Ref(a) ≤ α ≤ Ref(b)

para cada a ∈ A y b ∈ B. La interpretación geométrica de ésto es como sigue: pode-mos pensar que la función lineal f ′ : X → C nos da una imagen de X en el plano,con los conjuntos f ′(A) y f ′(B) a distinto lado de una recta vertical. Esto es, unaseparación de A y B en (X,C).

Ahora, supongamos que tenemos una separación de A y B en (X,C), es decir,existen α ∈ R y g : X → C una función lineal y no nula tal que

Re g(a) ≤ α ≤ Re g(b)

para cada a ∈ A y para cada b ∈ B, luego la función f : (X,R) → R definida porf(x) = Re g(x) es lineal no nula tal que f(a) ≤ α ≤ f(b) para cada a ∈ A y paracada b ∈ B. Esto es obtenemos una separación de A y B en (X,R).

En lo que sigue daremos condisiones suficientes para separar dos conjuntos aje-nos en el caso complejo. Empecemos dando algunas caracteŕısticas y propiedadesfundamentales del funcional de Minkowski sobre un conjunto convexo y el cual nosayudará a probar la primera forma geométrica del teorema de Hahn-Banach.

Lema 3.4.7. (Funcional de Minkowski de un conjunto convexo) Sean Xun espacio normado sobre el campo K y C un subconjunto convexo y abierto de Xcon 0 ∈ C. Se define la aplicación µ : X → R+ ∪ {0} como

µ(x) = ı́nf{α > 0 : α−1x ∈ C}.


Luego, µ es una función sublineal. Además existe M > 0 tal que

µ(x) ≤M‖x‖, (3.6)

para toda x ∈ X, yC = {x ∈ X : µ(x) < 1}. (3.7)

Demostración: Como C es abierto y 0 ∈ C, existe r > 0 tal que B(0, r) ⊆ C. Sean0 < γ < r y x ∈ X. Si x 6= 0 entonces

∥∥∥ γ‖x‖x∥∥∥ = γ < r. Por lo tanto, γ‖x‖x ∈ C,luego ‖x‖

γ∈ {α > 0 : α−1x ∈ C}. De esta forma, µ(x) existe y además µ(x) ≤ ‖x‖

γ.

Si x = 0, entonces µ(x) = 0 y, por tanto, µ(x) ≤ 1γ‖x‖. En consecuencia, µ está bien

definida sobre X y se cumple (3.6).

Claramente la propiedad (3.2) se cumple. Para verificar la propiedad (3.1), pri-mero veamos que se satisface (3.7). Sea x ∈ C, como C es abierto se afirma que(1 + ε)x ∈ C para ε > 0 suficientemente pequeño.

En efecto, para x ∈ C − {0}, existe s > 0 tal que B(x, s) ⊆ C. Aśı, tomando0 < ε < s‖x‖ se tiene que:

‖x− (1 + ε)x‖ = ‖ − εx‖ = ε‖x‖ < s,

con lo cual se garantiza que (1 + ε)x ∈ C.De esto, 1

1+ε∈ {α > 0 : α−1x ∈ C} y, consecuentemente:

µ(x) ≤ 11 + ε

< 1.

Ahora, si µ(x) < 1, existe 0 < α < 1 de tal forma que α−1x ∈ C. Luego, dadoque C es convexo se sigue

x = α(α−1x) + (1− α)0 ∈ C.

y por tanto se cumple (3.7).Ahora, mostremos que la propiedad (3.1) se satisface. Sean x, y ∈ X y ε > 0. De

las ecuaciones (3.7) y (3.2), se tiene que xµ(x)+ε

∈ C y yµ(y)+ε

∈ C, ya que:

µ

(x

µ(x) + ε

)=

1

µ(x) + εµ(x) <

(1

µ(x)

)µ(x) = 1.

Luego, para cada t ∈ [0, 1], se tiene que:

t

(x

µ(x) + ε

)+ (1− t)

(y

µ(y) + ε

)∈ C,

en particular para t = µ(x)+εµ(x)+µ(y)+2ε

se tiene:

C 3(

µ(x) + ε

µ(x) + µ(y) + 2ε

)(x

µ(x) + ε

)+

(1− µ(x) + ε

µ(x) + µ(y) + 2ε

)(y

µ(y) + ε

)=

1

µ(x) + µ(y) + 2ε

(x(µ(x) + ε)

µ(x) + ε+y(µ(y) + ε)

µ(y) + ε

)=

x+ y

µ(x) + µ(y) + 2ε.


Por (3.2) y (3.7), obtenemos:

1

µ(x) + µ(y) + 2εµ(x+ y) = µ

(x+ y

µ(x) + µ(y) + 2ε

)< 1.

Por lo tanto:

µ(x+ y) < µ(x) + µ(y) + 2ε

para toda ε > 0. Luego (3.1) se cumple. �

La función sublineal µ definida en el lema 3.4.7 se llama funcional de Minkowskidel conjunto C.

Lema 3.4.8. Sean X un espacio de Banach sobre el campo K y C un subconjuntoconvexo no vaćıo y abierto de X. Si x0 6∈ C, entonces existe una función f : X → Klineal, continua, sobreyectiva y no nula, tal que

Ref(x0) > Ref(x)

para todo x ∈ C.

Demostración: Supongamos primero que X es un espacio normado real. Sea x′ ∈ Cy consideremos el conjunto D = C − {x′}, luego D es abierto, convexo y 0 ∈ D. Lademostración se basa en considerar el funcional de Minkowski µ : X → R+ ∪ {0} deD. Considérense el subespacio G = gen({x0−x′}) de X y la forma lineal g : G→ Rdefinida por

g(t(x0 − x′)) = t, para cada t ∈ R.

Puesto que x0 − x′ 6∈ D, se tiene que µ(x0 − x′) ≥ 1. Aśı para cada t > 0,g(t(x0 − x′)) = t ≤ tµ(x0 − x′) = µ(t(x0 − x′)). Más aún, si t ≤ 0 entonces g(t(x0 −x′)) = t ≤ 0 ≤ µ(t(x0 − x′)). Es decir, g está dominada por µ sobre G. Luego,por el teorema de Hahn-Banach caso real, teorema 3.3.2, existe una función lineal fdefinida sobre X, que extiende a g y tal que

f(x) ≤ µ(x) (3.8)

para cada x ∈ X. En virtud de las desigualdades (3.8) y (3.6), f es continua. Noteque

f(x0 − x′) = g(x0 − x′) = 1. (3.9)

Esto implica que f es sobreyectiva. Más aún, de (3.8) y (3.7) se deduce que f(x) < 1,para cada x ∈ D. Aśı por la igualdad 3.9, f(x) < f(x0−x′), para todo x ∈ D. Luegof(x) < f(x0) para todo x ∈ C.

Para el caso complejo, se considera X como un espacio normado real y una vezobtenida la extensión f , basta tomar la función lineal f ′ : (X,C)→ C definida comoen (3.5), esto es, dada por f ′(x) = f(x)− if(ix), x ∈ X. �

Con lo expuesto hasta aqúı, se deducen resultados más generales de separación deconjuntos convexos, como se muestra a continuación con la primera forma geométricade Hahn-Banach.


Teorema

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