MAYO 24 DE 2011 ________________________________________________________________________________ DISTRIBUCIN DE TIEMPOS DE RESIDENCIA Una traza es inyectada como un pulso en una corriente de alimentacin a un reactor continuo. Las concentraciones fueron medidas en funcin del tiempo en la corriente de salida, los datos estn reportados en la tabla 1. Tabla 1. Datos concentracin de la corriente de salida con el tiempo. t(min) 0 3 C(g/m ) 0 1 1 2 5 3 8 4 10 5 8 6 6 7 4 8 3 9 2,2 10 1,5 12 0,6 14 0

Se pide calcular la cantidad de traza inyectada en el sistema en funcin del flujo volumtrico de entrada al reactor. Se debe calcular tambin el tiempo promedio de residencia y graficar la curva E(t). Finalmente se pide determinar la fraccin de material que abandona el reactor antes de 0,2 veces el tiempo promedio. Desarrollo Para determinar la cantidad de traza que se inyecta se usa ecuacin (1) que relaciona la cantidad de traza con la el flujo volumtrico inicial y la integral de la concentracin en funcin del tiempo. (1)

Para el caso de este ejercicio, la integral que se usa tiene un lmite superior diferente donde en el cual para ese tiempo la concentracin es cero. (2)

El clculo de esta integral puede hacer grficamente, trazando una lnea de tendencia para la curva e integrando la ecuacin de dicha lnea de tendencia, pero debido a que la grafica tiene forma de campana no hay una lnea de tendencia que describa bien los datos, es por esto que se divide la lnea en dos partes como se ve en la graficas 1 y 2 y descritas por la ecuacin (3). (3)

12 10 8 C (g/m3) 6 4 2 0 0 -2

y = -0.3333x3 + 2.0714x2 - 0.4524x - 0.0571 R = 0.9969

1

2 t(min)

3

4

5

Figura 1. Grafica para el clculo de la primera parte de la integral de la ecuacin (3).

12 10 8 C (g/m3) 6 4 2 0 0 2 4 6 8 t (min) 10 12 14 16 y = -0.0085x3 + 0.3464x2 - 4.9771x + 25.056 R = 0.9979

Figura 2. Grfica para el clculo de la segunda parte de la integral de la ecuacin (3).

En cada una de las graficas (1 y 2), se presenta la ecuacin de la curva y debido a que es un polinomio se integra fcilmente, el polinomio presentado en la grafica 1 se integra de 0 a 4 y se obtiene el resultado presentado en la ecuacin 4. El polinomio de la grfica 2 se integra y el resultado se presenta en la ecuacin (4). Todos los clculos y las graficas fueron realizadas en la hoja de clculo de Excel.

(4)

De aqu conocemos el primer dato que el ejercicio nos peda, la cantidad inicial de traza en funcin del tiempo No=(50,45 g min/m3)v Ahora con este dato y con ayuda de la ecuacin (5) se calcula E en funcin de tiempo, los datos son reportados en la tabla 2 y graficados en la figura 3. (5) Tabla 2. Resultados del clculo de E en funcin del tiempo. t(min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 E(t) 0 0,01982179 0,09910894 0,15857431 0,19821789 0,15857431 0,11893073 0,07928716 0,05946537 0,04360794 0,02973268 0,01189307 0

0.25 0.2 0.15 E(t) 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 t(min) 10 12 14 16

Figura 3. Grafica de los datos reportados en la tabla 2.

Ahora se debe calcular el tiempo promedio ( ) usando las ecuacin (6), donde la integral que se encuentra en el denominador ya est calculada por la ecuacin (4). Para la integral del numerador se hace una nueva tabla de datos mostrada en la tabla 3 y se grafica para calcular la integral del mismo modo que se hizo para la integral del denominador.

(6)

Tabla 3. Tabla resultados para el clculo del tiempo promedio. t(min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 tC(t) 0 1 10 24 40 40 36 28 24 19,8 15 7,2 0

Como se mencion la integral se realiza del mismo modo que se realiz la del denominador dividiendo la grfica en dos partes y haciendo pasar una lnea de tendencia que genera un polinomio sencillo de integrar entre los lmites dados.45 y = -5.0000E-01x3 + 5.5000E+00x2 - 4.0000E+00x + 2.4443E-12 40 R = 1.0000E+00 35 30 25 t C(t) 20 15 10 5 0 -5 0 1 2 t (min) 3 4 5

Figura 4. Grfico para le clculo de la primera parte de la integral mostrada en el numerados de la ecuacin (6)

45 40 35 30 tC(t) 25 20 15 10 5 y = 0.0051x5 - 0.2419x4 + 4.4292x3 - 39.045x2 + 159.96x - 201.91 R = 0.9985 0 0 2 4 6 8 10 12 14 t(min)

16

Figura 5. Grfica para el clculo de la segunda parte de la ecuacin presentada en el numerador de la ecuacin (6) Con ayuda de las grficas 5 y 6 y la ecuacin 7 se determina la integral faltante para la ecuacin (6) y con esta ya se puede calcular el tiempo promedio.

Teniendo el tiempo promedio ya se puede calcular la cantidad de material que sale del reactor cuando ha transcurrido 0,2 veces el tiempo promedio. Este tiempo est calculado ms abajo y es el lmite superior de la integral presentada en la ecuacin (7) y con la cual se calcula la cantidad de material que sale antes de este tiempo (F). (7)

Tomamos la primera parte de la grafica 3, anta un punto donde se cubra el lmite superior (puede ser 4) y se hace el mismo mtodo que para calcular la integrales anteriores, se hace pasar una lnea de tendencia y se calcula integral del polinomio correspondiente a esta curva.

0.25 0.2 0.15 E(t) 0.1 0.05 0 0 -0.05 1 2 t(min) 3 4 5 y = -0.0066x3 + 0.0411x2 - 0.009x - 0.0011 R = 0.9969

Figura 6. Grfica para calcularla integral de la ecuacin (7). Se integra el polinomio entre o y el limite hallado anteriormente y se calcula la cantidad de material sale del reactor antes de 0,2 veces el tiempo promedio.