Unidad 3Matemáticas Para Computadoras

TEMA

CONJUNTOS

Alumno: José Manuel Bautista Santiago.

Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales.

Oaxaca de Juárez, Oax. A 4 de noviembre del 2010

1.- CONJUNTOS.

1.1.- DEFINICIÓN Y TIPOS DE CONJUNTOS.

1.1.1.- Un conjunto es la reunión en un todo de objetos de nuestra intuición o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables los unos de los otros.

El concepto de conjunto es de fundamental importancia en las matemáticas modernas. La mayoría de los matemáticos creen que es posible expresar todas las matemáticas en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Nuestro interés en los conjuntos se debe tanto al papel que representan en las matemáticas como a su utilidad en la modelización e investigación de problemas en la informática.

Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por Georg Cantor

Después de que la teoría de conjuntos se estableciera como un área bien definida de las matemáticas, aparecieron contradicciones o paradojas en la misma. Para eliminar tales paradojas, s e des arrollaron aproximaciones más sofisticadas que las que hizo Cantor. Un tratamiento introductorio de la teoría de conjuntos s e ocupa, generalmente, de la teoría elemental, la cual es bastante similar al trabajo original de Cantor. Utilizaremos esta aproximación más simple y desarrollaremos una teoría de conjuntos de la cual es posible

Georg Cantor. Matemático alemán de origen ruso (San Petes burgo 1845 -Halle 1 918). Después de estudia r en Alemania, fue profesor de la universidad de Halle (1879). Escribió numerosas memorias, pero es especialmente conocido por ser el creador de la Teoría de los conjuntos

Conjuntos y Elementos

Intuitivamente, un con junto es cualquier colección de objetos que pueda tratarse como una entidad. A cada objeto de la colección lo llamaremos elemento o miembro del conjunto.

A los conjuntos los designaremos con letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas. La afirmación “el elemento a pertenecer al conjunto A” se escribe

a ∈ A

y la negación de este hecho, ¬(a ∈ A), se escribe

a /∈ ALa definición de un conjunto no debe ser ambigua en e l sentido de que pueda decidirse cuando un objeto particular pertenece, o no, aun conjunto.

1.1.2.- TIPOS DE CONJUNTOS.

1.1.2.1 Conjunto Universal

En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos en consideración pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal. Lo notaremos por U.

1.1.2.2 Conjunto Vacío

Al conjunto único que no contiene elementos, lo llamaremos conjunto vacío. Lo notaremos con el símbolo Ø que proviene del alfabeto noruego.

1.1.2.2a Axioma de Extensión

Dos conjuntos A y B son iguales si, y solo si tienen los mismos elementos. Es decir, cada elemento del conjunto A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A.

Su expresión formal en notación lógica es:

A = B ⇐⇒ ∀x [(x ∈ A =⇒ x ∈ B ) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]

o bien, A = B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B )

Nota.- El axioma de extensión asegura que si dos conjuntos tienen los mismos elementos, ambos son iguales, independientemente de cómo estén definidos.

1.2 PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

Asociativa:

Conmutativa:

Distributiva:

Identidad:

Complementariedad:

Involutiva:

Ley de Morgan:

Para cualquier conjunto A y B

1.3 OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: La intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B.

En la teoría de conjuntos, la intersección es una operación binaria en el conjunto de todos los

subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Por la cual a cada par de

conjuntos A yB de U sele asocia otro conjunto:   de U.

Si A y B son dos de ellos entonces su intersección se simboliza y se define como:

La intersección de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, y

que, x pertenezca a B.

Esta operación es conmutativa, asociativa, tiene neutro y tiene inverso:

donde:

 es el complemento de A.

Por lo tanto el conjunto potencia de nuestro universo U y la operación   forman una estructura

algebraica tipo grupo abeliano.

UNIÓN DE CONJUNTOS: La unión de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.

En la teoría de conjuntos, la unión de conjuntos es una operación binaria en el conjunto de todos los

subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Mediante la cual a cada par de

conjuntos A y B de U se le asocia otro conjunto:   de U.

Si A y B son dos conjuntos, entonces su unión es:

La unión de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, o que, x pertenezca

a B.

Esta operación es conmutativa, asociativa y tiene Elemento neutro.

donde:

 es el complemento de A.

DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO: La diferencia de A y B, es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a su vez a B.

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. En teoría de conjuntos, se denomina conjunto diferencia de A y B, y se representa por A-B o por A\B, al conjunto formado por todos los elementos que están en A, pero no están en B, y que representaremos A - B.

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de conjuntos A - B es:

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos A − B son aquellos elementos que

pertenecen a A y no pertenecen a B.

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: Es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A.

Llamamos conjunto complementario de un conjunto   y lo representamos por   al conjunto

diferencia:   siendo U elconjunto universal. Esto es:

El conjunto complemento de A es el conjunto los elementos x, que cumplen

que, x pertenece a U, y que, x no pertenece a A.

Por ejemplo, si tenemos que:

entonces:

1.4 FORMA DE REPRESENTACIÓN DE LOS CONJUNTOS