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METODO DE KRIGING

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INTRODUCCIN

El kriging puede ser entendido como una prediccin lineal o una forma de inferencia

bayesiana. Parte del principio: puntos prximos en el espacio tienden a tener valores ms

parecidos que los puntos ms distantes. La tcnica de kriging asume que los datos

recogidos de una determinada poblacin se encuentran correlacionados en el espacio.

Esto es, si en un vertedero de residuos txicos y peligrosos la concentracin de zinc en un

punto p es x, ser muy probable que se encuentren resultados muy prximos a x cuanto

ms prximos se est del punto p (principio de geoestadstica). Sin embargo, desde una

cierta distancia de p, ciertamente no se encontrarn valores prximos a x porque la

correlacin espacial puede dejar de existir.

Se considera al mtodo de kriging del tipo MELI (Mejor Estimador Lineal Insesgado)

o ELIO (Estimador Lineal Insesgado ptimo): es lineal porque sus estimaciones son

combinaciones lineales ponderadas de los datos existentes; y es insesgado porque

procura que la media de los errores (desviaciones entre el valor real y el valor estimado)

sea nula; es el mejor (ptimo) porque los errores de estimacin tienen

una variancia (variancia de estimacin) mnima. El trmino kriging abarca una serie de

mtodos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Inferencia_bayesianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Inferencia_bayesianahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geoestad%C3%ADstica&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Variancia

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FUNDAMENTO TEORICO

El krigeaje o krigeado (del francs krigeage) es un mtodo geoestadstico de estimacin de

puntos que utiliza un modelo de variograma para la obtencin de datos. Calcula los pesos

que se darn a cada punto de referencias usados en la valoracin. Esta tcnica

de interpolacin se basa en la premisa de que la variacin espacial contina con el mismo

patrn. Fue desarrollada inicialmente por Danie G. Krige a partir del anlisis de regresin

entre muestras y bloques de mena, las cuales fijaron la base de la geoestadstica lineal.

TIPOS DE KRIGING

KRIGING SIMPLES

Asume que las medias locales son relativamente constantes y de valor muy semejante a la

media de la poblacin que es conocida. La media de la poblacin es utilizada para cada

estimacin local, en conjunto con los puntos vecinos establecidos como necesarios para la

estimacin.

KRIGING ORDINARIO

Las medias locales no son necesariamente prximas de la media de la poblacin, usndose

apenas los puntos vecinos para la estimacin. Es el mtodo ms ampliamente utilizado en

los problemas ambientales.

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_franc%C3%A9shttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geoestad%C3%ADstica&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Variogramahttp://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Danie_G._Krigehttp://es.wikipedia.org/wiki/Mena_(miner%C3%ADa)

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COKRIGING

Es una extensin de las situaciones anteriores en las que dos o ms variables tienen una

dependencia espacial y esa variable se estima que no se muestra con la intensidad con la

que otros son variables dependientes, con estos valores y sus dependencias para estimar

la variable requiere.

CONCEPTOS MATEMTICOS

El mtodo de Kriging utiliza diversas teoras explayadas en la estadstica. En tanto, para

que esta teora estadstica se vea ms clara en el mbito de aplicacin; se explican algunos

conceptos.

semivariancia y semivariograma

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Variograma-exemplo.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Variograma-exemplo.png

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Una semivariancia es la medida del grado de dependencia espacial entre dos muestras. La

magnitud de la semivariancia entre dos puntos depende de la distancia entre ellos,

implicando en semivariancias menores para distancias menores y semivariancias mayores

para distancias mayores. El grfico de las semivariancias en funcin de la distancia a un

punto es llamado de semivariograma. A partir de una cierta distancia, la semivariancia no

ms aumentar con la distancia y se estabilizar en un valor igual a la variancia media,

dando a esa regin el nombre de silo o patamar (sill). La distancia entre el inicio del

semivariograma al comienzo del silo recibe el nombre de rango. Al extrapolar la curva del

semivariograma para la distancia cero, podemos llegar a un valor no-nulo de

semivariancia. Ese valor recibe el nombre de efecto pepita (Nugget Effect).

modelos de variograma

En el Mtodo de Kriging normalmente son usados cuatro tipos de variogramas: usadas las

siguientes variables:

: variancia

: nugget

: silo

: variancia asinttica

: distancia de separacin

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Linear

Este modelo no presenta silo y es muy simple. Su curva puede ser representada por:

Esfrico

Una forma esfrica es la ms utilizada en el silo. Su forma es definida por:

Exponencial

La curva de variograma exponencial respeta la siguiente ecuacin:

Gaussiano

Una forma gaussiana es dada por:

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MTODO DE KRIGING

DETERMINACIN DEL SEMIVARIOGRAMA

Tomando como base una simulacin de un sistema de dos dimensiones (2 D) que

contienen un nmero finito de puntos donde es posible una medicin de cualquier

tamao. Luego de la adquisicin de estos datos, se iniciar la interpolacin Kriging

buscando alcanzar una mayor resolucin. El primer paso es construir un semivariograma

experimental. Para tal, se calcula la semivariancia de cada punto en relacin a los dems y

se ve en un grfico de la semivariancia por la distancia.

A partir de ese grfico se estima el modelo de variograma que mejor se aproxima a la

curva obtenida. El efecto pepita puede estar presente en el semivariograma experimental

y debe ser considerado. Determinado el modelo de semivariograma a ser usado, se inicia

la fase de clculos. Siendo el semivariograma una funcin que depende de la direccin, es

natural que presente valores diferentes conforme la direccin, recibiendo este fenmeno

el nombre de anisotropa. Un caso de semivariograma presente una forma semejante en

todas las direcciones del espacio, va a depender de h, dicindose que es una

estructura isotrpica, i. e., sin direcciones privilegiadas de variabilidad.

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CLCULO DE LOS PESOS

Considere, para el clculo del kriging, la siguiente frmula:

donde es el nmero de muestras obtenidas, es el valor obtenido en el

punto y es el peso designado al punto . A fin de obtener los pesos de cada uno de

los puntos, para cada uno de ellos se realiza un clculo de . Tal

procedimento depende del tipo de kriging que est siendo utilizado. Hacemos hincapi en

la siguiente notacin:

: peso del j-simo punto

: valor de la semivariancia de

: variable temporaria

KRIGING ORDINARIO

En ese caso es utilizada la media local de los puntos mostrados. Por consiguiente, debe

normalizarse la media de los pesos. Consecuentemente, se tiene un resultado ms preciso

del Kriging Simple. El uso ser de las siguientes ecuaciones para determinar los valores de

los pesos en el p-simo punto:

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KRIGING SIMPLES

Para este caso, utilizar la media de todos los dados. Implicando, por tanto, que no se

normalice en la ubicacin promedio de los pesos, como en el anterior. As, tenemos casi la

misma ecuacin, excepto por la exclusin de y por la ltima equacin. La caracterstica

principal de este mtodo es la generacin de grficos ms lisos y ms estticamente

suaves. Cabe sealar que este caso es menos exacto que el caso anterior. Los valores de

los pesos para el p-simo punto sern dados por:

Obtencin de Punto Interpolado

Cuando llegamos a los valores de , se calculan los valores de :

De esa manera, se calcula el valor interpolado para todos los puntos deseados. Se resalta

que solamente deben ser utilizados los valores adquiridos arriba.

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PROBLEMA

( ) { [

] ] ]

( )

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GRAFICAMENTE:

P2 (0; 5)

P0 (0; 0) P3 (7; 0)

P3 (-4; -3)

SOLUCIN

P2 (0; 5)

8, 6 8,96

P0 (0; 0) P3 (7; 0)

5 11,4

P1 (-4; -3)

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(

) (

)

( )

( )

( )

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CONCLUSIONES

Como bien lo dijo Matheron la Geoestadistica es una mezcla de matemtica,

estadstica y computacin.

Se consider importante realizar el anlisis estructural poniendo nfasis en la

estimacin del variograma, porque es la herramienta fundamental en el Kriging de

la variable de inters.

En las distintas etapas de un estudio geoestadistico es necesario la interaccin de

los datos con los resultados obtenidos.

Puede ser un mtodo muy til para resolver los problemas de las tcnicas de

interpolacin lineal (especialmente en el caso de distribuciones muy sesgadas).

Mediante este mtodo se pueden calcular leyes y porcentajes por encima de leyes

de corte.