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Topología

ContenidosArtículos

Espacio topológico 1Topología 3Banda de Möbius 12Botella de Klein 15

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 19Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 20

Licencias de artículosLicencia 21

Espacio topológico 1

Espacio topológico

Cuatro ejemplos y dos anti-ejemplos de topologías en el conjunto de tres puntos{1,2,3}. El ejemplo inferior izquierdo no es una topología porque la unión {2,3} de{2} y {3} no está definida; el ejemplo inferior derecho no es una topología porque

la intersección {2} de {1,2} y {2,3} no está definida. En el espacio topológico,F2L predomina.

Un espacio topológico es una estructuramatemática que permite la definición formalde conceptos como convergencia,conectividad, y continuidad. La rama de lasmatemáticas que estudia los espaciostopológicos se llama topología.

Definición

Un espacio topológico es un conjunto E deelementos junto con T, una colección desubconjuntos de E que satisfacen lassiguientes propiedades:

1. El conjunto vacío y E están en T.

2. La intersección de cualquier colección finita de conjuntos de T está también en T.

3. La unión de toda colección de conjuntos de T está también en T.

Esta condición también se puede escribir:

Los conjuntos en T son los conjuntos abiertos, y sus complementos en E son llamados conjuntos cerrados.La colección T es llamada "topología" en E. Los elementos de E suelen llamarse puntos, aunque pueden sercualquiera de los objetos matemáticos. Un espacio topológico en el cual los puntos son funciones es llamado unespacio funcional.Al conjunto E se le llama substrato del espacio topológico.

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Ejemplos• Topología trivial o indiscreta: es la formada por y .• Topología discreta: es la formada por el conjunto de las partes de .• Topología de los complementos finitos: es la formada por y los conjuntos de , cuyos complementarios

son finitos.• Topología de los complementos numerables: es la formada por y los conjuntos de , cuyos

complementarios son numerables.• R, conjunto de los reales, y T el conjunto de los intervalos abiertos en el sentido usual, y de las reuniones

(cualesquiera) de intervalos abiertos.• Recta de Sorgenfrey: la recta real junto con la topología del límite inferior

Espacios metrizablesToda métrica permite definir de manera natural en un espacio la topología formada por las uniones arbitrarias debolas de centro y radio :

Esta topología se aproxima a la noción intuitiva de conjunto abierto, permitiendo una aproximación de carácter locala la topología.En vez de considerar todo el conjunto, el punto de vista local consiste en preguntarse: ¿qué relación tiene que haberentre un punto a cualquiera de A, y A para que A sea un abierto?Si se considera el ejemplo más conocido, el de los intervalos, uno se dacuenta de que los intervalos abiertos son los que no contienen puntosen su frontera o borde, que son puntos en contacto al la vez con A ycon su complementario R - A.

En otras palabras, un punto de un abierto no está directamente encontacto con el "exterior".No estar en contacto significa intuitivamente que hay una ciertadistancia entre el punto y el exterior; llamémosla d. Entonces la bola B(a, d/2), de radio d/2 y de centro a está incluida en A y no toca elcomplementario. En la figura, a está en el interior de A, mientras que b está en su frontera, porque cualquiervecindad de b encuentra R - A.

Al hablar de distancia, utilizamos un concepto de los espacios métricos, que son más intuitivos pues corresponden almundo real (asimilable a R³). En topología, tenemos que cambiar el concepto de bola por el, más general, devecindad o entorno. Una vecindad de un punto x es este punto con algo de su alrededor. Tenemos entera libertad paradefinir el significado de "alrededor" y "vecindad" con tal de satisfacer los axiomas siguientes:1. x pertenece a todas sus vecindades.2. Un conjunto que contiene una vecindad de x es una vecindad de x.3. La intersección de dos vecindades de x es también una vecindad de x.4. En toda vecindad V de x existe otra vecindad U de x tal que V es una vecindad de todos los puntos de U.Llamamos abierto un conjunto que es una vecindad para todos sus puntos.

Los axiomas expuestos en el punto de vista global están verificados:1. E es obviamente una vecindad para todos sus puntos, y ∅ también porque no contiene punto. (Una propiedad

universal: para todo x ... es forzosamente cierta en el conjunto vacío.)2. Una unión de abiertos Oi es un superconjunto de cada Oi, y Oi es una vecindad de todos sus puntos, por lo tanto,

la unión es una vecindad de todos sus puntos, gracias a la propiedad (2).

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3. Sea x un punto de la intersección de los abiertos O1 y O2. O1 y O2 son abiertos que contienen x y por lo tantovecindades de él. Una intersección de vecindades de x es una vecindad de x (propiedad 3), lo que implica que O1

O2 es una vecindad de todos sus puntos, y por lo tanto un abierto.

Propiedades de un espacio topológico• Compacidad• Conectividad• Axiomas de separación

Véase también• Glosario de topología• Topología

Bibliografía• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.

Topología

Ilustración del Teorema de los cuatro colores.

La Topología es el estudio de aquellas propiedades de los cuerposgeométricos que permanecen inalteradas por transformacionescontinuas.[1] Es una disciplina matemática que estudia laspropiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas.La Topología se interesa por conceptos como proximidad, númerode agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta unobjeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiplesatributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad ometrizabilidad, etcétera.

Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos:informalmente es el sentido arriba especificado, y de maneraformal se refieren a una cierta familia de subconjuntos de unconjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y laintersección. Este segundo sentido puede verse desarrollado en elartículo espacio topológico.

Idea intuitiva

Particularmente se presenta a la Topología como la "Geometría de la página de goma (chicle)". Esto hace referenciaa que en la Geometría euclídea dos objetos serán equivalentes mientras podamos transformar uno en otro medianteisometrías (rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc), es decir, mediante transformaciones que conservan las medidasde ángulo, longitud, área, volumen y otras.

En topología, dos objetos son equivalentes en un sentido mucho más amplio. Han de tener el mismo número de trozos, huecos, intersecciones, etc. En topología está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., los objetos, pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido, ni pegar lo que estaba separado. Por ejemplo, un triángulo es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma

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continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla (opegarla) por algún punto.Ésta es la razón de que se la llame la "Geometría de la página de goma", porque es como si estuviéramos estudiandoGeometría sobre un papel de goma que pudiera contraerse, estirarse, etc.

Una taza transformándose en una rosquilla (toro).

Un chiste habitual entre los topólogos (los matemáticos que se dedicana la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz dedistinguir una taza de una rosquilla». Pero esta visión, aunque muyintuitiva e ingeniosa, es sesgada y parcial. Por un lado, puede llevar apensar que la topología trata sólo de objetos y conceptos geométricos,siendo más bien al contrario, es la geometría la que trata con un ciertotipo de objetos topológicos. Por otro lado, en muchos casos esimposible dar una imagen o interpretación intuitiva de problemastopológicos o incluso de algunos conceptos. El intentar visualizar losconceptos es un error frecuente entre los principiantes en la topología,que les hace avanzar muy lentamente cuando no pueden encontrar unejemplo gráfico, tener una visión parcial de algunos conceptos, eincluso incurrir en errores. Es frecuente entre los estudiantesprimerizos escuchar que "no entienden la topología" y que no les gusta esa rama; generalmente se debe a que semantienen en esta actitud gráfica. Por último, la topología se nutre también en buena medida de conceptos cuyainspiración se encuentra en el Análisis matemático. Se puede decir que casi la totalidad de los conceptos e ideas deesta rama son conceptos e ideas topológicos.

Un ejemplo clarificador

Plano del metro de Madrid.

Observemos un antiguo plano del metro de Madrid. En él estánrepresentadas las estaciones y las líneas de metro que las unen, pero noes geométricamente exacto. La curvatura de las líneas de metro nocoincide, ni su longitud a escala, ni la posición relativa de lasestaciones... Pero aun así es un plano perfectamente útil. Sin embargo,este plano es exacto en cierto sentido pues representa fielmente ciertotipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestrocamino por la red de metro: información topológica.

Historia de la Topología

Históricamente, las primeras ideas topológicas conciernen al conceptode límite y al de completitud de un espacio métrico, y se manifestaronprincipalmente en la crisis de los inconmesurables de los pitagóricos,ante la aparición de números reales no racionales. El primeracercamiento concreto al concepto de límite y también al de integralaparece en el método de exhaución de Arquímedes. La aparición delAnálisis Matemático en el siglo XVII puso en evidencia la necesidadde formalizar el concepto de proximidad y continuidad, y la incapacidad de la Geometría para tratar este tema. Fueprecisamente la fundamentación del Cálculo Infinitesimal, así como los intentos de formalizar el concepto devariedad en Geometría lo que llevó a la aparición de la Topología, a finales del siglo XIX y principios del XX.

Se suele fechar el origen de la Topología con la resolución por parte de Euler del problema de los puentes de Königsberg, en 1735. Ciertamente, la resolución de Euler del problema utiliza una forma de pensar totalmente

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topológica, y la solución del problema nos lleva a la característica de Euler, el primer invariante de la TopologíaAlgebraica, pero sería muy arriesgado y arbitrario fechar en ese momento la aparición de la Topología. La situaciónes exactamente análoga a la del cálculo del área de la elipse por Arquímedes.El término topología fue usado por primera vez por J. B. Listing, en 1836 en una carta a su antiguo profesor de laescuela primaria, Müller, y posteriormente en su libro Vorstudien zur Topologie (Estudios previos a la topología),publicado en 1847. Anteriormente se la denominaba analysis situs. Maurice Fréchet introdujo el concepto de espaciométrico en 1906.

Algo de desarrollo formalEn el artículo Glosario de topología se encuentra una colección de términos topológicos con su significado. Aquí yahora nos limitaremos a dar algunas nociones básicas.Como hemos dicho, el concepto fundamental de la Topología es la "relación de proximidad", que puede parecerambigua y subjetiva. El gran logro de la Topología es dar una formulación precisa, objetiva y útil de este concepto.Para ello tomamos un conjunto de referencia , que será el ambiente en el que nos moveremos, y al quellamaremos espacio. Tomaremos un elemento cualquiera de . A los elementos del espacio se les llama puntos,así que será llamado punto, independientemente de que sea una función, un vector, un conjunto, un idealmaximal en un anillo conmutativo y unitario... Un subconjunto de será un entorno de si es elemento de

y existe un conjunto abierto de manera que esté incluido en . ¿Qué entenderemos por conjunto abierto?Aquí está el quid de la cuestión: una colección de subconjuntos de se dirá que es una topología sobre si

es uno de los elementos de esa colección, si es un elemento de la colección, si la unión de elementos de lacolección da como resultado un elemento de la colección y si la intersección finita de elementos de la coleccióntambién es un elemento de la colección. A los elementos de la colección se les denomina abiertos de la topología

, y al par se le denomina espacio topológico.Las condiciones para que sea topología sobre son entonces estas:

Puede parecer extraño que de una definición tan altamente formal y conjuntista se obtenga una formulación precisadel concepto de proximidad. Lo primero que se observa es que sobre un mismo espacio se pueden definirdistintas topologías, generando entonces distintos espacios topológicos. Por otra parte, precisamente la manera enque quede determinada una topología sobre un conjunto (es decir, la elección del criterio que nos permita decidir siun conjunto dado es o no abierto) es lo que va a dar carácter "visualizable" o no a ese espacio topológico.Una de las maneras más sencillas de determinar una topología es mediante una distancia o métrica, método que sóloes aplicable en algunos casos (si bien es cierto que muchos de los casos más intersantes de topologías en laGeometría y del Análisis Matemático pueden determinarse mediante alguna distancia). Una distancia sobre unconjunto es una aplicación que verifica las siguientes propiedades:

;

si y sólo si ;

cualesquiera que sean .Si tenemos definida una distancia sobre , diremos que la pareja

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es un espacio métrico. Dado un espacio métrico , queda determinada una topología sobre en la que losconjuntos abiertos son los subconjuntos de tales que cualquiera que sea el punto de existe un número

de tal manera que el conjunto está totalmente incluido en . Al conjuntose le denomina bola abierta de centro y radio , y será precisamente un entorno del

punto .Como se ha apuntado antes, por desgracia no toda topología proviene de una distancia, es decir, existen espaciostopológicos que no son espacios métricos. Cuando un espacio topológico es además espacio métrico (esto es, cuandodada una topología sobre un conjunto, puede definirse en ese conjunto una distancia de manera que la topologíagenerada por la distancia coincida con la topología dada) se dice que el espacio topológico es metrizable. Unproblema clásico en Topología es el de determinar qué condiciones debe satisfacer un espacio topológico para quesea metrizable.

Ramas de la TopologíaSe suelen considerar principalmente tres ramas:• la Topología General o Conjuntista,• la Topología Algebraica y• la Topología Diferencial.Además de estas tres ramas, que podríamos decir propiamente topológicas, la implicación en mayor o menor medidaen otras disciplinas matemáticas hacen que muchos consideren parte de la Topología al Análisis Funcional, la Teoríade la Medida, la Teoría de Nudos (parte de la Topología de dimensiones baja), la Teoría de Grupos Topológicos, etc.Es fundamental su contribución a la Teoría de Grafos, Análisis Matemático, Ecuaciones Diferenciales, EcuacionesFuncionales, Variable Compleja, Geometría Diferencial, Geometría Algebraica, Álgebra Conmutativa, Estadística,Teoría del Caos, Geometría Fractal... Incluso tiene aplicaciones directas en Biología, Sociología, etc.

Topología General o ConjuntistaConstituye la base de los estudios en Topología. En ella se desarrollan tópicos como lo que es un espacio topológicoo los entornos de un punto.

Conceptos fundamentales referidos a la topología de un conjunto

Topología, espacio topológico, abiertos, cerrados, subespacios

Sea un conjunto cualquiera y el conjunto de sus partes. Una topología sobre es un conjuntoque cumpla que , , si entonces , y que si

entonces . A los elementos de se les denomina conjuntos abiertos. Al par se ledenomina espacio topológico. A los elementos de se les suele denominar puntos.Nótese que desde un primer momento hemos especificado que el conjunto es cualquiera, no necesariamente unconjunto de naturaleza geométrica. La denominación de espacio (topológico) y de punto se mantiene aun cuando sea un conjunto de números, de funciones, de ecuaciones diferenciales, de figuras geométricas, de vectores, deconjuntos...Como puede observarse, la definición es muy formal y general, y lo primero que se observa es que sobre un mismo conjunto pueden darse multitud de topologías distintas. Así es. Pero de momento, los conceptos de conjunto abierto en o en o cumplen las condiciones exigibles a una topología. Es precisamente el comprobar que otras familias de conjuntos en otros conjuntos de naturaleza no geométrica que comparten estas mismas propiedades (como en el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial, o el conjunto de los ceros de los polinomios con coeficientes en los ideales en un anillo conmutativo, por ejemplo) lo que motiva esta definición. Así podremos

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aplicar a estos conjuntos las mismas (o parecidas) técnicas topológicas que aplicamos a los abiertos del plano, porejemplo. La situación es análoga a la que se da en Álgebra Lineal cuando se pasa de trabajar en o a trabajar enespacios vectoriales arbitrarios.En lo que sigue, representará siempre un espacio topológico.Ligado al concepto de conjunto abierto está el de conjunto cerrado. Un conjunto se dice que es cerrado sisu complementario es un conjunto abierto. Es importante observar que un conjunto que no es abierto nonecesariamente ha de ser cerrado, y un conjunto que no sea cerrado no necesariamente ha de ser abierto. Así, existenconjuntos que son abiertos y cerrados a la vez, como , y pueden existir conjuntos que no sean ni abiertos nicerrados.Es inmediato comprobar que la intersección de cerrados es un conjunto cerrado, que la unión de una cantidad finitade conjuntos cerrados es un conjunto cerrado, y que tanto como son conjuntos cerrados.

Si , el conjunto es una topología para . Se dirá entonces que el espacioes subespacio topológico del .

La noción de subespacio topológico se presenta de manera natural, y es el concepto análogo al de subgrupo enTeoría de Grupos o al de subespacio vectorial en Álgebra Lineal.Una propiedad relativa a espacios topológicos se dice que es hereditaria cuando si un espacio la tiene, entoncestambién la tiene cualquiera de sus subespacios.

Base de una topología, entornos, bases locales, axiomas de numerabilidad

Una familia se dice que es base (de la topología ) si para cualquiera que sea el existe unconjunto de manera que .No siempre es cómodo trabajar con una topología. A veces resulta más complicado establecer una topología que unabase de topología (como en espacios métricos). En cualquier caso, una base es una manera muy cómoda deestablecer una topología. Aún más sencillo es establecer una subbase, que es una familia de conjuntos para la que elconjunto de sus intersecciones finitas forma una base de topología. Uno de los casos más importantes de topología,la de los espacios métricos, viene dado por una base, la del conjunto de bolas abiertas del espacio.Un espacio topológico se dice que cumple el Segundo Axioma de Numerabilidad (IIAN) si existe alguna base de sutopología que tenga cardinalidad numerable.Sea un conjunto cualquiera y sea un punto arbitrario. Se dice que es entorno de si existeun conjunto abierto de manera que . Todo conjunto abierto es entorno de todos sus puntos. Alconjunto de todos los entornos de un punto se le denomina sistema de entornos de .Obsérvese que no se ha exigido que un entorno sea un conjunto abierto. Los entornos abiertos son un tipo deentornos muy útiles (sobre todo en Geometría y Análisis) y muy usados, tanto que en muchas ocasiones se omite elcalificativo abierto. Esto es un abuso de lenguaje y debe evitarse.

Una colección de entornos de un mismo punto x se dice que es una base de entornos (o base local) de sidado cualquier entorno de existe un de manera que .Se dice que un espacio topológico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad (IAN) si cada punto del espacio tienealguna base local de cardinal numerable.

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Subconjuntos notables asociados a un conjunto

Ahora podemos establecer una serie de definiciones de gran importancia, pues serán las piezas básicas del estudio dela topología y constituirán la materia prima de los conceptos posteriores.

Interior, exterior, frontera

Un punto se dirá que es un punto interior de si es entorno de . Así, el conjunto de los puntosinteriores a A es un conjunto abierto, denominado Interior de A, denotado por Int (A) o también como . Es elmayor conjunto abierto incluido en A.Un punto se dirá que es un punto exterior a si es entorno de . Así mismo, el conjunto delos puntos exteriores a es otro conjunto abierto, denominado Exterior de A y denotado por Ext (A).Un punto se dice que es un punto frontera de si todo entorno de es tal que y

. Al conjunto de los punto frontera de se le denomina Frontera de A y se denota porFr(A). En otras palabras, todo entorno con centro en z tendrá elementos pertenecientes al conjunto y otroselementos fuera del conjunto . La frontera de es un conjunto cerrado.

Adherencia, acumulación, puntos aislados

Un punto se dice que es un punto de adherencia de si todo entorno de es tal que . Se hace pues evidente que todo punto interior y todo punto frontera es punto de adherencia. Al conjunto de lospuntos de adherencia del conjunto se le denomina adherencia o clausura de , y se denota por o por

. La clausura de un conjunto es un conjunto cerrado, y es el menor conjunto cerrado que contiene al conjunto.Un punto se dice que es un punto de acumulación de si todo entorno de es tal que

. Al conjunto de los puntos de acumulación de un conjunto se le denomina acumulación

del conjunto, o conjunto derivado, y se le denota por o por .Un punto se dice que es un punto de -acumulación de si todo entorno de es tal que

es un conjunto infinito. Al conjunto de los puntos de -acumulación de un conjunto se ledenomina -acumulación del conjunto, o conjunto -derivado, y se le denota por o por . Todo puntode -acumulación es punto de acumulación, y todo punto de acumulación es punto de adherencia del mismoconjunto.Un punto se dice que es un punto aislado de si existe algún entorno perforado de (es decir, unconjunto de manera que es un entorno de ) de manera que . Al conjunto delos puntos aislados de se le denomina conjunto de los puntos aislados de , y se le denota por . Todopunto aislado es punto frontera y también es punto de adherencia del mismo conjunto.En Topología son de una importancia capital los conjuntos interior y clausura de un conjunto. Su importancia radicaen ser, respectivamente, el mayor abierto contenido en el conjunto y el menor cerrado que contiene al conjunto. Elinterior puede obtenerse también como la unión de todos los abiertos contenidos en el conjunto, y la clausura comola intersección de todos los cerrados que contienen al conjunto. Sin tanta importancia en Topología pero de mucha enotras áreas de la Matemática son los conjuntos de acumulación, frontera y de los puntos aislados de un conjunto.

Conceptos fundamentales referidos a aplicaciones continuas y convergencia

Convergencia

La idea de la convergencia es la de "aproximar" un objeto por otro, es decir, sustituir un objeto por otro que estápróximo a él. Evidentemente, al hacerlo así se está cometiendo un error, error que en general dependerá de lopróximo que se encuentre el objeto sustituido del objeto sustituto. Para hacer esta sustitución de una manerasistemática, de forma que el error pueda ser elegido arbitrariamente pequeño, aparecen distintos tipos de conjuntos.Se obtiene así un proceso de sucesivas aproximaciones que, si todo va bien, terminarían llevándonos al objeto,

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aunque fuese después de un número infinito de aproximaciones. El más sencillo de estos conjuntos es una sucesión,es decir, una colección infinita (numerable) y ordenada de objetos, aunque con el mismo carácter de orden hay otrosconjuntos que reflejan mejor el concepto de convergencia.Es importante observar que la Topología no trabaja con errores ni con aproximaciones. Eso entra en el ámbito delAnálisis Numérico e incluso del Análisis Matemático. La Topología lo que hace en este problema es aportar lasherramientas básicas y los conceptos teóricos para afrontar correctamente el problema, siempre desde un punto devista conceptual y cualitativo. Estudia qué es lo que debe entenderse cuando decimos que un conjunto (como puedeser una sucesión) se acerca a un objeto (que puede ser un punto, un conjunto, etcétera).

Convergencia de sucesiones

Una sucesión es una aplicación en un conjunto cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. En particular,una sucesión en un espacio topológico es una aplicación .Una sucesión es el caso más sencillo de aplicación de dominio infinito.

Se dice que es un punto límite de la sucesión , o bien que converge al punto , si secumple que, cualquiera que sea el entorno de existe un número natural de tal manera que si es otronúmero natural mayor o igual que (o sea, ) entonces se cumple que .Hay que hacer dos observaciones sobre esto:• En primer lugar, puede darse el caso de que la sucesión no tenga puntos límites, o incluso que tenga más de un

punto límite. Al conjunto de puntos límites de una sucesión se le denomina límite de (y se ledenota por , o también por ).

• En segundo lugar, la interpretación de este concepto es la siguiente: tan cerca como queramos de un punto límitepodemos encontrar a todos los puntos de la sucesión, excepto a lo más a una cantidad finita de ellos (que podrá ono ser muy grande, pero no deja de ser finita).

Un punto es punto de aglomeración de la sucesión si cualquiera que sea el entorno de secumple que el conjunto es infinito. Todo punto límite es punto de aglomeración, pero elrecíproco no es cierto. Por ejemplo, los límites de oscilación de una sucesión no convergente de números reales(como por ejemplo la sucesión ) son puntos de aglomeración, pero no son puntos límites (no existe

límite para dicha sucesión, mientras que 1 y -1 son puntos de acumulación).

Continuidad de aplicaciones

Otro concepto totalmente fundamental estudiado en esta rama es el de aplicación continua. Una aplicaciónentre dos espacios topológicos se dice que es continua si dado cualquier conjunto abierto en ,

el conjunto es un conjunto abierto en .Con la misma notación, si , diremos que es continua en cuando se obtiene que es unentorno de , cualquiera que sea el entorno de .Es inmediato entonces comprobar que es continua cuando y sólo cuando es continua en , cualquiera quesea éste, es decir, cuando y sólo cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.Informalmente hablando, una aplicación es continua si transforma puntos que están cerca en puntos que están cerca,es decir, si respeta la "relación de cercanía". Esto además quiere decir que una función continua no "rompe" los queestá unido y no "pega" lo que está separado.

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Conjuntos conexos, conexos por caminos y arco-conexosUn conjunto se dice que es conexo si no puede expresarse como unión de dos abiertos disjuntos no vacíos.Un conjunto se dice que es conexo por caminos si todo par de puntos puede unirse mediante un camino, esto es,

continua de tal manera que y . Todo conjunto conexopor caminos es conexo, pero no todo conjunto conexo es conexo por caminos.Estos conjuntos están "hechos de una pieza" (los conexos) o "hechos de manera que no tienen piezas totalmentesueltas" (los conexos por caminos). Naturalmente esto es sólo una manera de interpretarlos. Las piezas de unconjunto (los mayores subconjuntos conexos que contiene el conjunto) se denominan "componentes conexas". Porejemplo, un puñado de arena sería un conjunto en el que las componentes conexas son cada granito de arena. Unespejo roto sería un conjunto en el que cada trozo de espejo es una componente conexa. Una bola de hierro es unconjunto con una sola componente conexa, es decir, un conjunto conexo. Una rejilla también es un conjunto conexo,formado por una sola componente conexa.Existe otra noción de conexión, la conexión por arcos o arco conexión ligeramente más restrictiva que la conexiónpor caminos. Se exige que el camino sea un homeomorfismo sobre su imagen. Aun así, la conexión por arcos y porcaminos coinciden sobre los espacios de Haudorff.

CompacidadLos conjuntos compactos son un tipo de conjunto mucho más difíciles de definir. En el espacio euclidiano unconjunto es compacto si cumple dos condiciones: es "cerrado", es decir contiene a todos sus puntos frontera; y es"acotado", es decir es posible trazar una bola que lo contenga. La compacidad es una propiedad muy importante enTopología, así como en Geometría y en Análisis Matemático.

MetrizaciónUna topología sobre un conjunto es metrizable si es posible encontrar una distancia de forma que los abiertos paraesa distancia sean exactamente los abiertos de la topología de partida. La metrizabilidad es también una propiedadmuy deseable en un espacio topológico, pues nos permite dar una caracterización muy sencilla de los abiertos de latopología, además de implicar otras ciertas propiedades.

SeparaciónLas propiedades de separación son ciertas propiedades, cada una un grado más restrictiva que la anterior, que nosindican la "resolución" o "finura del grano" de una topología. Por ejemplo, la propiedad de separación T2 significaque para dos puntos distintos siempre pueden encontrarse entornos disjuntos (es decir que no se cortan).

DensidadUn conjunto es denso en el espacio si está "cerca de todos los puntos" de ese espacio. De manera más precisa, unconjunto es denso si su clausura es todo el espacio. Un conjunto se dice que es separable si tiene algún subconjuntodenso y numerable.

Topología producto y Topología cocienteLa topología producto nos proporciona una manera de dotar de una topología al producto cartesiano de variosespacios topológicos, de tal manera que se conserven buenas propiedades, en particular que las proyecciones sobrecada factor sean aplicaciones continuas y abiertas. La topología cociente nos proporciona una manera de dotar de unatopología al cociente (espacio de clases) de un espacio por una relación de equivalencia, de manera que tenga elmayor número posible de conjuntos abiertos y sin embargo la proyección sea continua (es decir la imagen recíprocade cada abierto sea un abierto).

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Topología AlgebraicaLa Topología Algebraica estudia ciertas propiedades relacionadas con la conexión de un espacio, propiedades quepodríamos describir como la "porosidad" de un espacio, la cantidad de boquetes que presenta. Para ello se vale deinstrumentos algebraicos, fundamentalmente la Teoría de Grupos y el Álgebra Homológica, hasta tal punto que sudesarrollo es totalmente algebraico.En la Topología Algebraica se consideran una gran diversidad de problemas incluidos en la Teoría de nudos porejemplo, o en la Teoría de Homotopías y la Teoría de Homología.Para comprender sucintamente estas cuestiones, volvamos a los ejemplos de conjuntos conexos. Según hemos dicho,una rejilla, una bola de hierro o una esponja son conjuntos conexos. Sin embargo todos entendemos que parece queno tienen el mismo "grado de conexión", por expresarlo de alguna manera. Mientras que una bola de hierro esmaciza, una esponja y una rejilla tienen agujeros, e incluso parece claro que entre estos hay también una ciertadiferencia. La Homotopía y la Homología tratan estas cuestiones.

Notas[1] Stewart, Ian: Conceptos de matemática moderna. Alianza Universidad, 1988. p. 171.

Véase también• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.• Espacio topológico• Banda de Möbius• Botella de Kaluza-Klein• Nudo borromeo• Problema de los puentes de Königsberg• Topología cociente• Topología diferencial• Topología geométrica• Topología cuántica• Glosario de topología• Matemáticas del origami

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Topología.Commons• Wikcionario tiene definiciones para topología.Wikcionario• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre los Topólogos. Wikiquote

• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Topología.Wikiversidad• http:/ / www. ehu. es/ ~mtwmastm/ sigma20. pdf Macho Stadler, Marta: ¿Qué es la topología?• http:/ / rinconmatematico. com/ chamizo/ APtopo. pdf La Topología... no es tan difícil.• http:/ / topologia. wordpress. com Juegos topológicos.

Banda de Möbius 12

Banda de MöbiusLa banda de Moebius o cinta de Moebius (pronunciado /ˈmøbiʊs/ o en español a menudo "moebius") es unasuperficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser unobjeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por losmatemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

Banda de Moebius conformada con una cinta depapel, cuyos extremos se han unido girándolos.

Construcción de una cinta de Möbius

Para construirla, se toma una cinta de papel y se pegan los extremosdando media vuelta a uno de ellos.Se parte de una cinta cerrada de dos componentes en la frontera (uncilindro ), se hace un corte (entre las dos fronteras), se gira180° uno de los extremos y se vuelve a pegar.

PropiedadesLa banda de Möbius posee las siguientes propiedades:

Banda de Moebius.

Plot paramétrico de una banda de Möbius.

• Tiene sólo una cara:Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la"aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta,por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interiory cara exterior (véase en la imagen).• Tiene sólo un borde:Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando quese alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", portanto, sólo tiene un borde.• Esta superficie no es orientable:Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius,mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerámirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejesperpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo dela cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.

• Otras propiedades:Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte. Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.[1]

Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta sino a cualquier otra distancia fija del borde, entonces se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una idéntica a la original pero más angosta y la otra con el

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doble de longitud y una vuelta completa.Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

GeometríaUna forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de es mediante laparametrización:

donde y .Representa una banda de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia central tiene radio unitario y se encuentra enel plano coordenado x-y centrada en . El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v sedesplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

En coordenadas cilíndricas , se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbiusmediante la ecuación:

TopologíaTopológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado que tiene sus aristas superior einferior identificadas (topología cociente) por la relación para , como en el diagrama que semuestra en la figura de la derecha.

Para transformar un cuadrado en una banda deMöbius, unir las aristas etiquetadas con A de

manera tal que las direcciones en que las flechasapuntan sea la misma.

La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, unasuperficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. Labanda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar elconcepto matemático de fibrado topológico.

Precisamente, como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el espacio total de unfibrado no trivial teniendo como base la 1-esfera y fibra un intervalo, i.e.

<mathI-fibrados sobre la circunferencia.

Banda de Möbius 14

Objetos relacionadosAnáloga a la banda de Möbius es la botella de Klein, pues también tiene sólo una superficie, donde no se puedediferenciar "fuera" de "dentro".Esto último significa que mientras la banda se encaja (embedding) en , la botella no.

La Banda de Möbius en el arte

Pintura mural.

El 17 de octubre de 1996, se estrenó la película Moebius,[2] [3]

realizada en Argentina. Dicha película hace referencia a la teoría de lacinta que lleva el mismo nombre, aplicada a una supuesta red desubterráneos de la Ciudad de Buenos Aires ampliada. Se basa en uncuento de A. J. Deutsch, A Subway Named Moebius (1950).

Johan Sebastian Bach compuso un canon cuya partitura, al ejecutarse,guarda semejanza con la forma de una Banda de Möbius.[4]

El libro de cuentos Queremos tanto a Glenda, del escritor argentinoJulio Cortázar, publicado en 1980, cuenta con una composición tituladaAnillo de Moebius.[5]

Véase también• Topología• Botella de Klein

Referencias no matemáticas[1] http:/ / www. youtube. com/ watch?v=JHSfKwhSOos[2] Ficha técnica de Moebius la Pelicula (http:/ / www. cinenacional. com/ peliculas/ index. php?pelicula=2168)

• Ficha de Moebius en inglés (http:/ / www. imdb. com/ title/ tt0117069) y en español (http:/ / www. imdb. es/ title/ tt0117069) en InternetMovie Database.

[4] http:/ / www. youtube. com/ v/ xUHQ2ybTejU& color1=0xb1b1b1& color2=0xcfcfcf& feature=player_embedded& fs=1[5] Obras de Julio Cortázar (http:/ / www. sololiteratura. com/ cor/ obrasdecortazar. html)

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Banda de Möbius. Commons• El rincón de la Ciencia: La banda de Moebius (Möbius) (http:/ / centros5. pntic. mec. es/ ies. victoria. kent/

Rincon-C/ Curiosid2/ rc-100/ Moebius/ rc-100h. htm)• YouTube alberga contenido multimedia sobre Banda de Möbius: Experimentos con la banda de Möbius

(http:/ / www. youtube. com/ watch?v=JHSfKwhSOos).• Banda de Möbius como un paralelepipedo (http:/ / www. doctormugrabi. com. ar/ simbanda. doc)

Botella de Klein 15

Botella de Klein

Una representación bidimensional de la Botellade Klein inmersa en el espacio tridimensional.

En topología, una botella de Klein es una superficie no orientablecerrada de Característica de Euler igual a 0 que no tiene interior niexterior. Otros objetos no-orientables relacionados son la banda deMöbius y el plano proyectivo real. Mientras que una banda de Möbiuses una superficie con borde, una botella de Klein no tiene borde.Tampoco lo tiene una esfera, aunque ésta sí es orientable.

La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por elmatemático alemán Felix Klein. El nombre original del objeto no fue elde botella de Klein (en alemán Kleins Flasche), sino el de superficiede Klein (en alemán Kleins Fläche). El traductor de la primerareferencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Comola apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella,casi nadie se dio cuenta del error.

Construcción

Comenzamos con un cuadrado, y pegamos los bordes coloreados en eldiagrama siguiente, de modo que las flechas coincidan. Másformalmente, la botella de Klein es el cociente del cuadrado [0,1] ×[0,1] con sus bordes identificados por la relación (0, y) ~ (1, y) para 0 ≤y ≤ 1, y (x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1:

Este cuadrado es el polígono fundamental de la botella de Klein.Nótese que éste es un pegado "abstracto" en el sentido de que al tratar de hacerlo en tres dimensiones resulta unabotella de Klein que se autointersecta. La botella de Klein, propiamente dicha, no tiene autointersecciones. Noobstante, hay un modo de visualizar la botella de Klein como figura en cuatro dimensiones.

Botella de Klein 16

Para ello, pegamos las flechas rojas del cuadrado, (lados derecho e izquierdo) resultando un cilindro. Para pegar losextremos de manera que las flechas de los círculos coincidan, pasamos un extremo por el lado del cilindro. Nóteseque esto crea una autointersección circular. Esta es una inmersión de la botella de Klein en tres dimensiones.

Añadiendo una cuarta dimensión al espacio tridimensional, conseguimos que la botella pase a través de sí misma sinnecesidad de un agujero. Para ello empujamos suavemente un trozo de tubo que contenga la intersección fuera delespacio tridimensional original. Una analogía útil es considerar una curva que se autointerseca en el plano; lasintersecciones se pueden eliminar levantando una línea fuera del mismo.Esta inmersión es útil para visualizar muchas propiedades de la botella de Klein. Por ejemplo, no tiene borde (dondela superficie se detenga abruptamente), y no es orientable, al tener su inmersión una sola cara.

Una botella de Klein soplada a mano

Botella de Klein 17

Como fibradoEsta superficie (simbolizada por ) puede considerarse como el espacio total de un fibrado (no trivial) sobre elcírculo donde la fibra es también un círculo, i.e. . En contraste el toro también es un fibrado, peroes trivial, esto es .

Sección

La sección de una botella de Klein en bandas deMöbius.

Seccionando una botella de Klein en dos mitades a lo largo de su planode simetría resultan dos bandas de Möbius, cada una imagen especularde la otra. Una de ellas es la imagen de la derecha. Recuerde que laintersección de la imagen no está realmente allí. De hecho, también esposible cortar la botella de Klein en una única banda de Möbius.

Otro concepto con el mismo nombre

En la geometría algebraica, una superficie de Klein, que se diferenciade la botella de Klein, es el similar de una superficie de Riemann en elsentido de que una superficie de Klein admite una estructuradi-analítica, es decir una estructura analítica que adiciona una posiblefunción de transición a una estructura analítica -consistente en laconjugación compleja- determina una que es anti-analítica.

Véase también• Topología• Topología algebraica• Topología cociente• Banda de Möbius• Toro

ReferenciasPara el concepto de Klein surfaces [1]

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Botella de Klein. Commons• Ejemplos de Botellas de Klein construidas en vidrio [2]

• video de la Botella de Klein [3] [4]• Torus Games [5] Juegos de descarga gratuita para Windows y Mac OS sobre las topologías del toro y de la botella

de Klein (en español)

Botella de Klein 18

Referencias[1] http:/ / www. zentralblatt-math. org/ zmath/ en/ search/ scans. html?volume_=225& count_=158[2] http:/ / www. kleinbottle. com/ index. htm[3] http:/ / www. youtube. com/ watch?v=sRTKSzAOBr4& fmt=22[4] http:/ / www. klein-bottle. com/[5] http:/ / www. geometrygames. org/ TorusGames/ index. html. es

Fuentes y contribuyentes del artículo 19

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Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 20

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Topological space examples.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Topological_space_examples.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes:User:DcoetzeeArchivo:topología abierto 1.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Topología_abierto_1.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Yrithinnd,1 ediciones anónimasArchivo:Four Colour Map Example.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Four_Colour_Map_Example.svg  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:InductiveloadArchivo:Mug and Torus morph.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Mug_and_Torus_morph.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Abnormaal, Durova,Howcheng, Kieff, Manco Capac, Maximaximax, Rovnet, SharkD, Takabeg, 12 ediciones anónimasArchivo:Madrid-metro-map.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Madrid-metro-map.png  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5  Contribuyentes:User:MontrealaisImagen:Nuvola apps edu mathematics-p.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg  Licencia: GNU Lesser General Public License Contribuyentes: user:FlamuraiImagen:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: User:3247, User:GruntArchivo:Wiktionary-logo-es.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wiktionary-logo-es.png  Licencia: logo  Contribuyentes: es:Usuario:PybaloArchivo:Spanish Wikiquote.SVG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spanish_Wikiquote.SVG  Licencia: desconocido  Contribuyentes: User:James.mcd.nzImagen:Wikiversity-logo-Snorky.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wikiversity-logo-Snorky.svg  Licencia: desconocido  Contribuyentes: -Archivo:Möbius strip.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Möbius_strip.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.0  Contribuyentes: User:DbenbennArchivo:MobiusStereoParallele.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:MobiusStereoParallele.gif  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: TheonArchivo:MobiusStrip-01.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:MobiusStrip-01.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:FropuffArchivo:MöbiusStripAsSquare.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:MöbiusStripAsSquare.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Ilmari Karonen,WikipediaMasterArchivo:Praha Narodni trida Moebiova paska s tanky a buldozery.jpg  Fuente:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Praha_Narodni_trida_Moebiova_paska_s_tanky_a_buldozery.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5  Contribuyentes:User:LudekArchivo:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: User:3247, User:GruntArchivo:Logo YouTube por Hernando.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Logo_YouTube_por_Hernando.svg  Licencia: Trademarked  Contribuyentes: Avron,HernandoJoseAJ, Jameslwoodward, Leyo, Sertion, Vinicius LimaImagen:Klein bottle.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Klein_bottle.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5  Contribuyentes: User:TttrungImage:Klein Bottle Folding 1.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Klein_Bottle_Folding_1.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:InductiveloadImage:Klein Bottle Folding 2.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Klein_Bottle_Folding_2.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:InductiveloadImage:Klein Bottle Folding 3.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Klein_Bottle_Folding_3.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:InductiveloadImage:Klein Bottle Folding 4.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Klein_Bottle_Folding_4.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:InductiveloadImage:Klein Bottle Folding 5.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Klein_Bottle_Folding_5.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:InductiveloadImage:Klein Bottle Folding 6.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Klein_Bottle_Folding_6.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:InductiveloadImage:Acme klein bottle.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Acme_klein_bottle.jpg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Darapti, 4ediciones anónimasImage:KleinBottle-02.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:KleinBottle-02.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Darapti, Dbenbenn, Fropuff

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