Capítulo 7

TORSIÓN (complemento)

Dr. Fernando Flores

7.1. INTRODUCCIÓN

En este capítulo se estudia la ecuación diferencial (en derivadas parciales), que gobierna elalabeo de una sección cuando la pieza está sometida a torsión uniforme y sin restricción al alabeo.Se presentan las dos posibles aproximaciones: Función de Alabeo y Función de Tensión. Se muestracomo a partir de esta última se plantea la analogía de la membrana. En general la integraciónde las ecuaciones no es posible en forma exacta. Se incluyen y discuten resultados obtenidos contécnicas numéricas para algunos ejemplos de geometrías sencillas y perfiles estructurales. Estosresultados permiten apreciar la precisión de las formulas aproximadas usadas en la Resistencia deMateriales.

Las próximas dos secciones han sido traducidas de Foundations of Solids Mechanics, Y.C. Fung,Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1969. Las notas a pie de página son notas propias para un mejorcomprensión del tema.

7.2. Función de alabeo

El problema de la torsión de un cuerpo prismático ilustra una aplicación de la teoría de laelasticidad. Una pieza prismática con un eje x, está solicitado en su extremos por una distribuciónde tensiones de corte cuyo fuerza resultante es nula, pero cuyo momento resultante es un torqueMt. La superficie lateral de la pieza está libre de tensiones (ver. Figura 7.1).

Si la pieza es un cilindro circular, es muy fácil mostrar que todas las secciones normales aleje x permanecen planas, y que la deformación consiste en rotaciones relativas φ de las seccionestransversales. El cambio de rotación por unidad de longitud dφ/dx es proporcional al momentoMx, con una constante de proporcionalidad igual al producto del módulo de corte transversal Gdel material de la pieza, y al momento polar de inercia J del área transversal de la pieza

GJdφ

dx= Mx. (7.1)

La única componente de tensión no-nula es el corte en la sección transversal perpendicular ax, cuya magnitud es

τ =Mxr

J(7.2)

1

Figura 7.1: Torsión de barras de sección cuadrada y elíptica, como las dibujara Saint Venant

donde r es el radio vector desde el eje baricéntrico x.Si la sección transversal no es circular, la sección transversal originalmente plana no se mantiene

plana; se alabea, como se muestra en la Figura 7.1. El problema es calcular la distribución detensiones y la deformación de la pieza.

Este es un problema importante en ingeniería porque muchas piezas prismáticas son usualmenteusadas para trasmitir momentos torsores. La más famosa solución del problema es debida a Barrede Saint Venant (1855), que usó la aproximación denominada “semi-inversa”, esto es un métodoen el cual se adivina parte de la solución (es decir se hace una hipótesis) y se intenta determinarel resto en forma racional de tal forma que se satisfagan todas las ecuaciones de equilibrio y decontorno del problema. El problema de torsión no es simple. Saint Venant, guiado por la solucióndel eje circular, hizo una hipótesis brillante y mostró que puede obtenerse una solución exacta deun problema bien definido.

Consideremos entonces una pieza prismática con un eje x, con extremos en x = 0 y x = L.Utilizaremos un sistema de ejes cartesianos x, y, z, donde el plano y − z es perpendicular al ejede la pieza. Las componentes de desplazamiento en las direcciones x, y, z, se denominaran por u,v, w respectivamente. Saint Venant supuso que cuando la pieza se retuerce, la sección transversalse alabea pero las proyecciones sobre el plano y − z rotan como un cuerpo rígido; es decir

u (x, y, z) = θ u (y, z)

v (x, y, z) = −θxz (7.3)w (x, y, z) = θxy

donde u (y, z) es alguna función de y y z, denominada la función de alabeo, y θ es el ángulo detorsión por unidad de longitud de la pieza que se supone que es muy pequeño (θL � 1). Seespera que la función u (y, z) pueda satisfacer las ecuaciones diferenciales de equilibrio (sin fuerzasmásicas)

∂σx∂x

+∂τyx∂y

+∂τzx∂z

= 0

∂τxy∂x

+∂σy∂y

+∂τzy∂z

= 0 (7.4)

∂τzx∂x

+∂τzy∂y

+∂σz∂z

= 0

2

las condiciones de borde sobre la superficie lateral de la pieza

τxyνy + τxzνz = 0

σyνy + τyzνz = 0 (7.5)τyzνy + σzνz = 0

y las condiciones de contorno en los extremos x = 0 y x = L:

σx = 0

(7.6)τxy, τxz equivalentes al torsor Mx

Las constantes νy, νz, son los cosenos directores de la normal saliente a la superficie lateral(νx = 0).

A partir de (7.3) se obtienen las tensiones usando la ley de Hooke1

τxy = θG

(∂u

∂y− z

), τxz = θG

(∂u

∂z+ y

)(7.7)

τxy = σx = σy = σz = 0

La sustitución de estos valores en la ecuación (7.4) muestran que las ecuaciones de equilibriose satisfacen si la u (y, z) satisface la ecuación

∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0 (7.8)

en todos los puntos de la sección transversal del cilindro. Para satisfacer las condiciones de borde(7.5), debe tenerse (

∂u

∂y− z

)cos (ν, y) +

(∂u

∂z+ y

)cos (ν, z) = 0 (7.9)

en C, donde C es el contorno de la sección transversal R (ver Figura 7.2). Pero

∂u

∂ycos (ν, y) +

∂u

∂zcos (ν, z) ≡ ∂u

∂ν(7.10)

en consecuencia, la condición de contorno (7.9) puede escribirse como

∂u

∂ν= z cos (ν, y)− y cos (ν, z) (7.11)

en C.Las condiciones de contorno (7.6) se satisfacen si:

ˆ ˆR

τxy dy dz = 0,ˆ ˆ

R

τxz dy dz = 0 (7.12)

1La deformación de corte γ se define en los cursos de elasticidad como

γxy =∂u

∂y+∂v

∂x=

∂

∂y(θ u (y, z)) +

∂

∂x(−θxz) = θ

(∂u

∂y− z

)γxz =

∂u

∂z+∂w

∂x=

∂

∂z(θ u (y, z)) +

∂

∂x(θxy) = θ

(∂u

∂z+ y

)

3

RC

y

z

dydz

ds ν(v,y)=vy

(v,z)=vz

Figura 7.2: notación

ˆ ˆR

(yτxz − zτxy) dy dz = Mx (7.13)

Puede demostrarse que las ecuaciones (7.12) ya se satisfacen idénticamente si u satisface (7.8)y (7.11) porque:

ˆ ˆR

τxy dy dz = θG

ˆ ˆR

(∂u

∂y− z

)dy dz

= θG

ˆ ˆR

{∂

∂y

[y

(∂u

∂y− z

)]+

∂

∂z

[y

(∂u

∂z+ y

)]}dy dz

dado que u satisface (7.8). Aplicando el teorema de Gauss2 a la última integral, se convierte enuna integral de línea sobre el contorno C de la región R:

θG

ˆC

y

{∂u

∂ν− z cos (y, ν) + y cos (z, ν)

}ds

que se anula a partir de (7.11). Similármente se satisface la segunda de las ecuaciones (7.12).Finalmente, la última condición (7.13) requiere que:

Mx = θG

ˆ ˆR

(y2 + z2 +

∂u

∂zy − z∂u

∂y

)dy dz (7.14)

denominando con It a la integral

It =

ˆ ˆR

(y2 + z2 +

∂u

∂zy − z∂u

∂y

)dy dz (7.15)

se tieneMx = θGIt (7.16)

Esto sólo muestra que el momento torsor es proporcional al ángulo específico de torsión, conuna constante de proporcionalidad GIt, la cual se denomina habitualmente rigidez torsional de la

2El teorema de Gauss o de la divergencia (en un dominio plano) expresa que la integral de la divergencia deuna función vectorial f en un área cerrada A es igual a la integral del flujo de la función a través del contorno Γ

del área´Adiv(f) dA =

´Γf · ν ds (ν es la normal al contorno) o escrito en componentes

´A

(∂fy∂y + ∂fz

∂z

)dy dz =´

Γ(fy νy + fzνz) ds

En la expresión utilizada fy = y(∂u∂y − z

)y fz = y

(∂u∂z + y

). Notar además que se ha utilizado (7.10)

4

pieza. El valor de It representa el momento polar de inercia de la sección sólo cuando la seccióntransversal es circular. Sin embargo convencionalmente se suele mantener la notación GJ para larigidez torsional, incluso para secciones no circulares.

En consecuencia, vemos que el problema de torsión se reduce a la solución de las ecuaciones(7.8) y (7.11). La solución conduce a una distribución de tensiones τxy, τxz. Si los extremos de lapieza están libres de alabearse, y si las tensiones prescritas en los caras extremas son exactamentelas mismas dadas por la solución, entonces se ha obtenido la solución exacta y esa solución esúnica. Si la distribución de tensiones actuante sobre las secciones extremas, aunque equivalentesal momento torsorMx , no coinciden exactamente con las dadas por la expresión (7.7), entonces setiene una solución aproximada del problema. De acuerdo al principio propuesto por el mismo SaintVenant, el error en la aproximación es sólo significativo en la vecindad de las secciones extremas.

La ecuación (7.8) es una ecuación potencial ; las soluciones de la misma se denominan funcionesarmónicas. La misma ecuación aparece en hidrodinámica. La condición de contorno (7.11) essimilar al de un flujo potencial en hidrodinámica con velocidad normal prescripta sobre el contorno.En el problema hidrodinámico, la condición para la existencia de una solución es que el flujo totala través del contorno debe anularse. Traducido a nuestro problema, la condición para existenciade una solución u es que la integral de la derivada normal al contorno de la función u calculadasobre todo el contorno C, debe anularse. Esto se deduce de la identidad

ˆC

∂u

∂νds =

ˆ ˆR

div (grad u) dx dy =

ˆ ˆR

∇2u dx dy (7.17)

donde∇2 =

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

y del hecho de que ∇2u = 0. Esta condición se satisface en nuestro caso por (7.11), como puedemostrarse fácilmente. En consecuencia, nuestro problema se reduce a la solución de un problemapotencial (denominado problema de Neumann) sujeto a la condición de contorno (7.11).

7.3. Función de tensiónUna aproximación alternativa fue propuesta por Prandtl, que toma a las componentes de

tensión como las incógnitas principales. Si suponemos que las únicas componentes de tensión nonulas son τxy, τxz, entonces las ecuaciones de equilibrio (7.4) se satisfacen si se cumple que

∂τxy∂y

+∂τxz∂z

= 0 (7.18)

Prandtl observó que esta ecuación es idénticamente satisfecha si τxy y τxz se derivan de unafunción de tensión ψ (y, z) de la forma

τxy =∂ψ

∂zτxz = −∂ψ

∂y(7.19)

Esta ecuación se corresponde con la función de corriente en hidrodinámica si τxy y τxz seidentifican con las componentes de velocidad. Aunque ψ puede ser arbitraria en lo concerniente alequilibrio, el sistema de tensiones (7.19) debe satisfacer las condiciones de contorno (7.5) y (7.6), ycondiciones de compatibilidad. En ausencia de fuerzas másicas las condiciones de compatibilidadrequieren que3:

∇2τxy = 0 ∇2τxz = 0

3Las condiciones de compatibilidad (ver cualquier texto de elasticidad) resultan de exigir igualdad de derivadas

5

es decir∂2τxy∂y2

+∂2τxy∂z2

= 0∂2τxz∂y2

+∂2τxz∂z2

= 0

en consecuencia a partir de (7.19)

∇2τxz =

(∂2τxz∂2y

+∂2τxz∂z2

)= − ∂2

∂y2

∂ψ

∂y− ∂2

∂z2

∂ψ

∂y= − ∂

∂y

(∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2

)= − ∂

∂y∇2ψ = 0

(7.20)

∇2τxy =

(∂2τxy∂2y

+∂2τxy∂z2

)=

∂2

∂y2

∂ψ

∂z+

∂2

∂z2

∂ψ

∂z=

∂

∂z

(∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2

)=

∂

∂z∇2ψ = 0

con lo cual∇2ψ = cte. (7.21)

De las condiciones de borde (7.5) sólo la última no se satisface en forma idéntica. Si notamosa partir de la Figura 7.2 que:

νy = cos (ν, y) =dz

dsνz = cos (ν, z) = −dy

ds(7.22)

podemos escribir la última de las (7.5) como

∂ψ

∂z

dz

ds+∂ψ

∂y

dy

ds=dψ

ds= 0 en C (7.23)

En consecuencia ψ debe ser constante a lo largo de la curva de contorno C. Para una secciónsimplemente conexa, sin perdida de generalidad puede establecerse

ψ = 0 en C (7.24)

Si la sección transversal ocupa una región R que es multiplemente conexa, deben imponersecondiciones de compatibilidad adicionales (ψ = cte. sobre cada curva cerrada del contorno).

Resta examinar las condiciones de contorno en los extremos (7.6). La primera σx = 0, resultade las hipótesis iniciales. Las otras condiciones están definidas en (7.12) y (7.13). Ahoraˆ ˆ

R

σxy dx dy =

ˆ ˆR

∂ψ

∂zdx dy

Por el teorema de Gauss, esta es´Cψνy ds y se anula de acuerdo con (7.24). En forma similar

se anula la resultante de fuerzas en la dirección z. Por lo tanto las ecuaciones (7.12) se anulan.Finalmente la ecuación (7.13) requiere que:

Mx = −ˆ ˆ

R

(y∂ψ

∂y+ z

∂ψ

∂z

)dy dz

que usando el teorema de Gauss puede transformarse en:

Mx = −ˆ ˆ

R

{∂

∂y(yψ) +

∂

∂z(zψ)− 2ψ

}dy dz

= −ˆC

{yψ cos (ν, y) + zψ cos (ν, z)} ds+

ˆ ˆR

2ψ dy dz (7.25)

segundas cruzadas de componentes de deformaciones(por ejemplo ∂2γxy

∂y∂z =∂2γxy

∂z∂y

), y a partir de su definición en

función de los desplazamientos establecer condiciones de la forma

εij,kl + εkl,ij − εik,jl − εjl,ik = 0

que usando la ley de Hooke pueden escribirse en función de tensiones

6

Si R es una región simplemente conexa, la integral de línea se anula debido a la condición (7.24).En consecuencia

Mx =

ˆ ˆR

2ψ dy dz

Entonces, todas las ecuaciones diferenciales y las condiciones de contorno referidas a tensionesse satisfacen si ψ obedece las ecuaciones (7.21), (7.24) y (7.25). Pero permanece indeterminada laconstante de la expresión (7.21). Esta constante tiene que ser determinada por las condiciones decontorno de desplazamientos. De las ecuaciones (7.3) y (7.7) se tiene

∂u

∂y=τxyG

+ θz∂u

∂z=τxzG− θy (7.26)

derivando con respecto a z y a y respectivamente, y haciendo la diferencia, se obtiene

1

G

(∂τxy∂z− ∂τxz

∂y

)= −2θ

usando (7.19) da∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2= −2Gθ (7.27)

De esta forma, el problema de torsión de reduce a la solución de la ecuación de Laplace (7.27) concondiciones de borde (7.24).4

Con cualquiera de las dos aproximaciones bosquejadas arriba, el problema de torsión se reducea un problema estándar de la teoría de potenciales en dos dimensiones. Tales problemas potencialestambién ocurren en los campos hidrodinámico, gravitacional, electricidad estática, flujo de calorestacionario, etc. Mucho se ha trabajado sobre estos problemas potenciales y muchas solucionesespeciales han sido obtenidas y están disponibles. La herramienta más poderosa5 para la teoríade potenciales en dos dimensiones viene de la teoría de funciones en variable compleja. (fin de latraducción)

7.4. Analogía de la membranaLa analogía de la membrana elástica, también conocida como la analogía de la película de jabón,

fue inicialmente publicada por un pionero de la aerodinámica Ludwing Prandlt en 1903. Describela distribución de tensiones en barras largas sometidas a torsión. La sección transversal de la barraes constante a lo largo de su longitud y no es necesariamente circular. La ecuación diferencial quegobierna la distribución de tensiones en la barra en torsión es de la misma forma que la ecuaciónque gobierna la forma de la membrana bajo una presión diferencial. En consecuencia, a los finesde “descubrir” la distribución de tensiones sobre la barra, todo lo que hay que hacer es calaruna plancha de madera con la forma de la sección, cubrirla con una película de jabón y aplicaruna presión diferencial entre ambas caras. Luego la pendiente de la película en cualquier puntode la sección es directamente proporcional a la tensión en la barra en el punto correspondiente(traducido de wikipedia).

4A la expresión 7.27 se puede llegar a partir de:∂ψ∂z = τxy = θG

(∂u∂y − z

), − ∂ψ

∂y = τxz = θG(∂u∂z + y

)derivando la primera respecto de z la segunda respecto de y y restando miembro a miembro

∂2ψ

∂z2+∂2ψ

∂y2=

∂

∂z

[θG

(∂u

∂y− z

)]− ∂

∂y

[θG

(∂u

∂z+ y

)]∂2ψ

∂z2+∂2ψ

∂y2= θG

{[∂2u

∂z∂y− ∂2u

∂z∂y

]−

[∂z

∂z+∂y

∂y

]}= −2Gθ

5desde el punto de vista analítico

7

7.4.1. Ecuación de equilibrio de una membrana traccionada

Supongamos que una membrana, de espesor e y fija en su contorno, esté sometida a unatracción uniforme en ambas direcciones cartesianas (ver Figura 7.3a), de tal forma que el tensorde tensiones, correspondiente a un estado de tensión plana, tiene la forma (este estado tensionales uniforme en toda la membrana):

T =

[σ 00 σ

]La fuerza másica, de existir, se considera normal al plano de la membrana. Luego en dicho

plano (x− y) se cumplen en forma trivial las ecuaciones de equilibrio.

σ

σ

σ

σ

σ

σp

du/dy

(a) (b)

Figura 7.3: Membrana traccionada sometida a una presión lateral

Si se aplica una presión lateral p (uniforme) sobre la membrana (la fuerza másica se puedeincluir como parte de esta presión lateral), esta se desplaza lateralmente u (y, z) (dejando de serplana) a los fines de restablecer el equilibrio. Se supone que σe es suficientemente alta y p esrelativamente baja, de tal forma que los desplazamientos son suficientemente pequeños con lo cualla presión no modifica sustancialmente las tensiones en la membrana. Como la membrana no puededesarrollar momentos flectores (ni esfuerzos de corte transversal en forma análoga a un cable), aldesplazarse transversalmente es a través de la componente vertical de sus esfuerzos en el planocomo puede equilibrar fuerzas normales. La ecuación de equilibrio transversal a la membrana,debida a la presión lateral es (ver Figura 7.3b):

∂

∂y

[σe

(∂u

∂y

)]+

∂

∂z

[σe

(∂u

∂z

)]+ p = 0

Siendo σ constante, la expresión anterior resulta

∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= − p

σe

Con lo que resulta una ecuación diferencial de equilibrio en función del desplazamiento trans-versal u. Las condiciones de contorno para este problema son todas cinemáticas (desplazamientos).Como se dijo antes la membrana está impedida de desplazarse en el contorno, lo cual implica quela membrana tiene un desplazamiento uniforme (o nulo) en el contorno u =cte. (o 0).

7.4.2. Torsión de Saint Venant usando la función de tensión

En la Sección 7.3 se ha visto que si se definen las tensiones debidas a torsión mediante unafunción de tensión ψ

τxz = −∂ψ∂y

τxy = +∂ψ

∂z

8

puede mostrarse que la ecuación diferencial a resolver es

∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2= −2θG

y la condición sobre el contorno es ψ = cte.

7.4.3. Uso de la analogía

De los dos subapartados anteriores se puede ver que la ecuación diferencial y la condición decontorno son matemáticamente idénticas en ambos. Por lo cual la solución de una permite, usandoel factor de escala apropiado, conocer la solución de la otra. Por supuesto que matemáticamente nohay ninguna ventaja, la dificultad de resolver una u otra es exactamente la misma. La ventaja estáen que el problema de la membrana es más sencillo de visualizar o de establecer experimentalmente.

Entonces a los fines de aplicar la analogía para una sección dada se realizan los siguientes pasos:1) se analiza el comportamiento que tendría una membrana tensionada con la forma de la sección.Esto puede hacerse cuantitativamente (experimentalmente o numéricamente con un programa) ocualitativamente a partir de consideraciones estructurales; 2) Con este análisis se observan:

Las tangentes a las líneas de nivel (igual desplazamiento en z) de la membrana correspondena las direcciones que tienen las tensiones de corte en cada punto. En el contorno trivialmentecoinciden con la tangente el mismo.

El gradiente (pendiente en la dirección normal a la línea de nivel) es proporcional a latensión tangencial, a mayor pendiente mayor tensión de corte. Si las líneas de nivel estánmuy separadas la tensión es baja si están muy apretadas la tensión es alta. Observar que ladirección de la tensión de corte es ortogonal al gradiente es decir en la dirección de la líneade nivel.

Si se tiene un análisis cuantitativo (numérico u experimental) las tensiones de corte resultan,en direcciones cartesianas y en la dirección de mayor valor (n es la dirección normal a lalínea de nivel)

τy =∂u

∂z

(σe

p

)(2Gθ) =

∂u

∂zα

τz = −∂u∂y

(σe

p

)(2Gθ) = −∂u

∂yα

τ = −∂u∂n

(σe

p

)(2Gθ) = −∂u

∂nα

donde el coeficiente de escala α es el cociente entre los términos independientes de las ecua-ciones diferenciales

α =2Gθpσe

=σe

p2Gθ

Además, de ser de interés, el momento torsor se puede calcular como dos veces el volumenbajo la membrana deformada multiplicado por el factor de escala α

Mt = 2× V ol × α

9

7.5. Ejemplos usando la función de alabeoLa solución de la ecuación biarmónica (7.8) o (7.27) puede realizarse en forma cerrada (ana-

líticamente) sólo para secciones de geometría sencilla y en general limitadas a ser de un únicomaterial (homogéneas). Una segunda posibilidad es obtener soluciones aproximadas utilizandotécnicas numéricas. Una de las más versátiles es el Método de Elementos Finitos, que permitetratar geometrías arbitrarias, simple y multiplemente conexas e incluso compuestas por diferentesmateriales. Operativamente el método de elementos finitos requiere dividir la sección en un núme-ro finito de partes (los elementos) que ocupan toda la sección y no se superponen. En problemasbi-dimensionales como el que nos ocupa los elementos pueden ser triángulos o cuadriláteros. Estadivisión se denomina discretización y lo que resulta se denomina malla de elementos finitos. Laprecisión de los resultados depende de la malla, una malla más refinada conduce en general a unamejor aproximación. A continuación veremos unos pocos ejemplos utilizando la primera de lasposibilidades de la ecuación biarmónica. Notar que utilizar la función de alabeo tiene la ventajade que permite no sólo calcular las tensiones de corte sino que permite visualizar como es el alabeode la sección. Para lo segundo, se requiere conocer el centro de corte o torsión, el que tambiénpuede determinarse usando el Método de Elementos Finitos (en los ejemplos considerados se tratade secciones con doble simetría por lo cual el centro de gravedad y el centro de corte coinciden).

7.5.1. Torsión de una sección cuadrada

En la figura 7.4 se muestran los resultados obtenidos para una sección cuadrada. Deben notarselos siguientes aspectos.

Y

Z

0 0.5 10

0.5

1

0.110.060.01

-0.05-0.10-0.15

(b)Y0.2

0.4

0.6

0.8

1

Z

0.2

0.4

0.6

0.8

(a)

(c)

0.0E+00-1.5E+05-3.0E+05-4.5E+05-6.0E+05-7.5E+05-9.0E+05-1.1E+06-1.2E+06-1.4E+06-1.5E+06

(d)

Figura 7.4: torsión de una sección cuadrada

Se ha graficado sólo un cuarto de la sección por razones de simetría.

10

El alabeo sobre las líneas de simetría es nulo. La diagonal es además línea de simetría y porlo tanto el alabeo es nulo sobre esta línea. En la figura 7.4.a se muestra la sección alabeada,la Figura 7.4.b muestra este alabeo como líneas de nivel, observar que el alabeo es máximosobre los contornos aproximadamente en los puntos (1; 0,6) y (0,6; 1)

En la Figura 7.4.c se muestran las direcciones de las tensiones de corte magnificadas por suvalor. La tensiones de corte son normales a las líneas de simetría y tangentes a los contornos.Los valores máximos se alcanzan a la mitad de los lados (1;0) (0,1). En la Figura 7.4.d seha graficado la componente τzx.

El lado del cuadrado es 2, el momento polar de inercia es J = 2,67. El valor equivalente que seobtiene es It = 2,25

7.5.2. Torsión de una sección doble T

Un segundo ejemplo, donde una solución exacta es imposible, es un perfil doble T. Se con-sideraron dos perfiles de la misma altura, un IPN200 (utilizado principalmente como viga) y unHEA200(utilizado habitualmente como columna) En la Figuras 7.5 y 7.6 se muestran la secciónalabeada y un mapeo del mismo así como los valores de ambas componentes de tensiones de corte.La mayores tensiones de corte se concentran en las alas, donde hay una variación cuasi lineal entrela parte superior e inferior de la misma. Esto es particularmente cierto en el perfil de alas anchasya que el de alas estrechas no tiene espesor uniforme.

Y0 0.2 0.4

Z

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

4.203.402.601.801.000.20

1.4E+051.0E+056.0E+042.0E+04

-2.0E+04-6.0E+04-1.0E+05-1.4E+05

τxy

1.2E+051.0E+058.0E+046.0E+044.0E+042.0E+040.0E+00

τxz

Figura 7.5: torsión de una sección IPN200

Del modelo numérico puede obtenerse también la rigidez a torsión. En la versión simplificadaesta se escribe como GIt. La tabla de perfiles provee los valores IIPNt = 14,6 y IHEAt = 63,4 entanto que los valores equivalentes provistos por el modelo numérico son IIPNt = 12,8 y IHEAt = 60,2

7.5.3. Torsión de un tubo cuadrado

Este tercer ejemplo corresponde a un tubo cuadrado (Lado B = 200 mm y espesor t = 10mm) donde habitualmente se utiliza la fórmula de Bredt. En la Figura 7.7 se muestran los resultadosobtenido por elementos finitos. En este caso se ha ampliado los resultados en las esquinas donde

11

Y0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Z

0

0.5

1

1.5

u

8.506.504.502.500.50

1800001400001000006000020000

-20000-60000-100000-140000-180000

τxy

180000160000140000120000100000800006000040000200000

τxz

Figura 7.6: torsión de una sección HEA200

las tensiones no son uniformes en el espesor y la fórmula de Bredt no aproxima correctamentelas tensiones de corte . En la Figura 7.7.c, puede verse que el flujo de las fuerzas de corte esbastante uniforme a poco que nos alejemos de la esquina, pero allí hay una mayor tensión en laparte interna. En la Figura 7.7.d se ha graficado el módulo de la tensión de corte para acentuarlo expresado antes.

La rigidez a torsión que resulta de la 2da fórmula de Bredt (suponiendo una sección conesquinas a 90o) es

(JG)Bredtequiv = G(2Sm)2´

dst

= G× 6859[cm4

]en tanto que del modelo numérico resulta

(JG)Numequiv = G× 7067[cm4

]Según la primera fórmula de Bredt, el valor de la tensión de corte (uniforme) vale:

τ =q

t=

Mt

2Smt= θ

G (2Sm)2´dst

2Smt= θ

G (2Sm)

perim=θG (B − t)

2= θG× 9,5 [cm]

Un análisis detallado en este ejemplo muestra que en las partes rectas las tensiones de corte en lapared externa son 20% mayores que en la pared interna en tanto que la máxima tensión de corteen la parte curva excede en un 30% el valor de la tensión media de corte τmedia = 9,81θG

τexterna = 10,81θG

τinterna = 8,81θG

τmaxima = 12,85θG

7.6. Ejemplos usando la analogía de la membrana

7.6.1. Sección circular

Veamos el ejemplo más sencillo del cual tenemos una solución exacta: la sección circular.Resolvamos el problema en forma numérica con los siguientes parámetros: diámetro D = 15cm,p = 1Pa y σe = 100N/m. Supongamos que el módulo de elasticidad del material esG = 8×104MPay que el giro por unidad de longitud es θ = 0,01rad/m. El factor de escala resulta

α =

(σe

p

)(2Gθ) = 160000 [Mpa]

12

YZ

(a) Y

Z

20 40 60 80 100 120 1400

20

40

60

80

100

600.000450.000300.000150.000

0.000-150.000-300.000-450.000-600.000

(b)

(c)

1.3E+081.2E+081.2E+081.1E+081.1E+081.1E+081.0E+089.8E+079.4E+079.0E+078.6E+078.2E+07

(d)

Figura 7.7: torsión de un tubo cuadrado

En este caso las tensiones de corte se calculan:

τ = −∂u∂sα = −∂u

∂s× 160000 [Mpa]

la tensión de corte exacta vale para un radio cualquiera r

τ = Gθr

En la Figura 7.8 se observan en la parte izquierda (a) las líneas de nivel del desplazamientotransversal sobre un cuarto de la sección y a la derecha (b) las tensiones de corte a lo largo decualquier linea radial. En está última la línea continua es el valor exacto en tanto que los círculosindican el valor obtenido numéricamente

7.6.2. Sección anular cerrada

Un segundo caso del que se conoce la solución exacta es el de un tubo de sección circular.Resolvamos el caso rm = 10cm y t = 1cm con las mismos valores de p, σe, G y θ del ejemploanterior.

Para resolver este problema debe notarse que el contorno de la sección está formado pordos líneas: la descripta por el radio externo y la descripta por el radio interno. Las condicionesde contorno del problema requieren que u sea constante en el contorno. Cuando hay un únicocontorno basta con suponer que allí u vale 0. Cuando hay más de un contorno, en este ejemplo yen general en secciones multicelulares, se supone que u = 0 sobre el contorno externo, en tanto

13

r [mm]

r[m

m]

0 20 40 600

20

40

60

80

r[mm]τ[

MP

a]

0 20 40 60 800

10

20

30

40

50

60

ExactaNumerica

(a) (b)

Figura 7.8: Sección circular maciza

que en los otros contornos debe asegurarse un valor constante en cada uno de ellos, cuyo valordebe determinarse como parte de la solución.

Por otro lado la presión normal p debe aplicarse sobre todo la superficie delimitada por elcontorno externo. Es decir que la presión no solo se aplica sobre la membrana sino también sobrelas zonas delimitadas por los contornos interiores.

Para el ejemplo sencillo que nos ocupa entonces:

Sobre el contorno externo (re = 105mm) se impone la condición u = 0

Sobre el contorno interno (ri = 95mm) se impone la condición u = cte. cuyo valor saldrá delanálisis

la presión lateral se aplica sobre la membrana y sobre la superficie circular interna de radiori

Debido a la simetría del problema, el resultado es idéntico a lo largo de cualquier radio, lo cualpermite resolver el problema como unidimensional

En la Figura 7.9a se muestra el desplazamiento de la membrana entre un valor máximo en elborde interno hasta el valor nulo impuesto en el borde externo. En la Figura 7.9b se comparan lassoluciones exacta (lineal) y numérica.

7.6.3. Sección rectangular h/b=4

Consideremos ahora una sección rectangular de dimensiones b = 5cm y h = 20cm, con lasmismos valores de p, σe, G y θ del ejemplo anterior. Utilizando las condiciones de doble simetría,numéricamente alcanza con analizar un cuarto de la sección

En la parte superior derecha de la Figura 7.10 se ven las líneas de nivel de los desplazamientosde la membrana. En la parte inferior de la Figura 7.10 se ha graficado las tensiones de corte a lo

14

r[cm]

u[m

m]

9.5 10 10.50

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

r[cm]

τ[M

pa]

9.5 10 10.576

78

80

82

84

ExactaNumerica

(a) (b)

Figura 7.9: Sección anular cerrada

largo de las líneas de simetría horizontal y en la parte superior derecha de la figura a lo largo deleje vertical. Puede observarse que:

en la menor dirección de la sección la tensión de corte τxz crecen en forma prácticamentelineal entre el centro y el borde (como indicaría la teoría de Coulomb)

en la dirección mayor las tensiones de corte τyz es prácticamente nula en toda la parte centraly luego crece en forma parabólica

la tensión de corte máxima τxz a la mitad del lado más largo es aproximadamente un 50%mayor que la máxima tensión τyz a lo largo del lado más corto

la tensión de corte se anula en el centro y también en las esquinas

El momento torsor se puede calcular como dos veces el volumen bajo la membrana deformadamultiplicado por el factor α

Mt = 2× V ol × σe

p2Gθ = V ol × 32× 1010

en este caso debe tenerse en cuenta que debido a la simetría se ha trabajado con un cuarto de lasección, por lo cual hay que incluir un factor 4 si el cálculo del volumen se realiza sobre el cuartode sección utilizado. Evaluando numéricamente el volumen resulta

M = 16823Nm

con lo cual la rigidez equivalente es

GJρ =M

θ= 1, 6823MNm2 It = 2103cm4

este último valor se puede comparar con el momento de inercia polar de la sección J = bh12

(b2 + h2) =3542cm3y con la aproximación a secciones delgadas abiertas It = 1

3hb3 = 833cm4. La primera re-

sulta por supuesto más alta y la segunda más baja (la sección no califica como de pared delgada).

15

XY

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

X[cm]

τ[M

Pa]

0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

τ [MPa]

Y[c

m]

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 7.10: Sección rectangular

La relación entre el valor de It y el momento polar de inercia es

ρ =ItJ

= 0,594

7.6.4. Sección anular abierta

Consideremos la misma geometría de la sección anular cerrada vista antes, pero ahora abierta,es decir cortada a lo largo de un meridiano. La expresión que se utiliza para determinar lastensiones de corte en el caso de secciones abiertas de pequeño espesor es la siguiente:

Mx = GJρθ Jρ =

ˆs

e3

3ds = πDe3 τ = 2Gθy

donde en la última expresión y es la distancia del punto donde se evalúa la tensión de corte alpunto medio del espesor.

En la Figura 7.11 se muestran los resultados obtenidos. Por un lado se incluyen los desplaza-mientos de la membrana en toda la sección. En este caso todo el contorno de la sección (exterior,interior y el corte) tiene desplazamiento nulo para la membrana. La membrana entonces alcanzasu máximo desplazamiento aproximadamente en la línea media de la pared. Estos desplazamientosson prácticamente uniforme en todo el desarrollo de la sección salvo naturalmente en la zona delcorte.

A los efectos de visualizar los detalles se muestran ampliadas las líneas de nivel asociadas ala zona donde la sección está abierta (derecha) y el punto opuesto de la sección (izquierda). Laasimetría que puede notarse se debe a la aproximación numérica y a la forma en que el graficadorinterpreta los resultados pero no es una cuestión física.

Finalmente en el cuadro superior del gráfico se muestran las tensiones de corte en el espesor dela pared utilizando la expresión aproximada y la obtenida numéricamente en base a la analogía.Puede notarse que los resultados son prácticamente coincidentes.

7.6.5. Sección multicelular

En la Figura 7.12 se ve una sección cuadrada con dos paredes internas. Las paredes externasson de espesor uniforme, en tanto que la interna vertical tiene el doble que las externas y la interna

16

r [cm]

τ[M

Pa]

9.6 9.8 10 10.2 10.4-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

AproximadaNumerica

Figura 7.11: Sección anular abierta

horizontal el mismo espesor que las externas. En la solución numérica de la membrana todo elcontorno está impedido de desplazarse, en tanto que cada uno de los contornos internos tendrá unvalor único de desplazamiento que resulta del análisis.

Los desplazamientos de cada uno de los contornos internos resultan (en mm):

u1 = 4,96× 10−3 u2 = 5,33× 10−3 u3 = 5,17× 10−3

los cuales son relativamente similares con una diferencia máxima menor al 8%. (entre las celdas 1y 2). Debe notarse que las tensiones de corte son proporcionales al gradiente del desplazamiento,por lo que si dos celdas adyacentes se elevan valores similares el gradiente promedio en la paredcomún será muy bajo. En la figura se han incluido las curvas de nivel de los desplazamientos.Claramente en las paredes internas están muy espaciadas en tanto que en las paredes externasestán muy apretadas y en forma prácticamente uniformes salvo en las esquinas donde aparecensingularidades.

Para esta sección en particular podría decirse que las paredes internas tienen una contribucióndespreciable a la torsión y que podrían analizare la pieza coma un tubo cuadrado sin paredesinternas usando las expresiones de Bredt.

7.7. Sobre la segunda fórmula de BredtLa segunda fórmula de Bredt se puede obtener en base al principio de conservación de la

energía que postula que el trabajo desarrollado por las fuerzas externas (TE) debe ser igual a la

17

1

2

3

Figura 7.12: Sección multicelular

energía de deformación (ED) almacenada en el sólido (este tema se aborda en forma un poco másamplia en el curso de Análisis Estructural y en forma detallada en el curso de Mecánica de lasEstructuras II ). Consideremos una viga recta de longitud L de sección constante restringida degirar en un extremo y sometida a un momento torsor M en el otro. Utilizando la hipótesis delinealidad, el trabajo realizado por el momento desde que se empieza a aplicar hasta su valor finalvale

TE =1

2Mφ =

1

2MLθ

en tanto que la energía de deformación almacenada se escribe en función de la tensión de corte τy la distorsión asociada γ

ED =1

2

ˆV

τγ dV

reemplazando la relación constitutiva γ = τG

en ésta última y descomponiendo la integral devolumen en la integral a lo largo de la viga x, la integral en la línea media de la sección s y en ladirección del espesor e :

ED =1

2

ˆV

τ 2

GdV =

1

2

ˆL

˛s

ˆe

τ 2

Gde ds dx

siendo la viga de material homogéneo el módulo de corte G se pueden sacar fuera de todas laintegrales, usando la hipótesis de que las tensiones τ son constantes en el espesor, la integral en

18

dicha dirección es directa, quedando:

ED =1

2G

ˆL

˛s

eτ 2 ds dx

reemplazando ahora las tensiones en función del flujo de corte τ = qey siendo q constante se lo

puede sacar fuera de la integral e integrar en x:

ED =1

2G

ˆL

˛s

e(qe

)2

ds dx =q2

2G

ˆL

˛s

1

eds dx =

1

2

q2L

G

˛s

1

eds

En base al postulado mencionado, igualando TE y ED se tiene

1

2MLθ =

1

2

q2L

G

˛s

1

eds

reemplazando la primera fórmula de Bredt (q = M/2Sm)

MLθ =M2L

4GS2m

˛s

1

eds

se puede despejar el ángulo específico de torsión

θ =M

4GS2m

˛s

1

eds

y definir la rigidez equivalente a torsión:

GIt = G4S2

m¸s

1eds

It =4S2

m¸s

1eds

19