torques física

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Curso: FISICA I CB 302U 2010 II Profesor: Lic. JOAQUIN SALCEDO [email protected] Tema: momentum angular

Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky, Benson http://es.wikipedia.org

Repaso

C AxB Significado Las tres versiones de la md “vamos” “salud” “mano amiga”

Imagina. Andando por una carretera, con tu auto, te encuentras con una roca y empujando no puedes mover ¿Qué hacer? Si aplicamos una fuerza a un CR ¿cómo es el movimiento?

¿Quiénes intervienen? ¿Solo la fuerza? ¿Por qué la manija de la puerta esta allí? ¿Podría estar en el centro?

Torque. Su definición vectorial

ˆrxF r F sen n

Donde n̂ es el vector unitario perpendicular a los vectores posición y fuerza Su sentido esta dado por la regla de la mano derecha.



?

Exprese el torque en función del “brazo del torque”

Una fuerza 2 3F i j N actúa sobre un cuerpo en el 5r i k m

punto. Halla el torque.

1 0 5 15 10 3

2 3 0

i j k

rxF i j k

Ímpetu angular (momentum angular)

Se una partícula de ímpetu lineal p situada en la posición r respecto al origen. Su ímpetu angular se define

ˆrp seL rx p n n

Exprese el ímpetu angular en función del “brazo del impetu”

ˆL r p n

Halle L de una partícula de masa 2kg situado a 15m del origen en dirección a 37 SO y con velocidad 10 m/s en la dirección 53 NO



Movimiento circular Una partícula se mueve en un circulo de radio r velocidad constante v y velocidad angular w. Halle su ímpetu angular respecto al centro

290 ( )L rmv sen rm r mr w Iw

Para este caso L y w son paralelos. Una partícula se mueve en un círculo de radio R a velocidad constante v y velocidad angular w.

a) Halle el momentum angular respecto al punto O y eje que pasa por el centro

Verifique b) L y w ya no son paralelos.

c) La componente paralela al eje z es 2

zL mR w

Nota. Este resultado es muy usado en física moderna



Sistema de partículas. El ímpetu angular total de un sistema de partículas respecto a un punto dado es la suma vectorial de los ímpetus angulares

i i iL L rxp

La suma adquiera una forma simple para un cr que gira alrededor de un eje fijo. Demuestre que la componente z del ímpetu angular total de un CR que gira alrededor de un eje fijo es

2

z iz i iL L m R I

Cual es su análogo? * Un disco de masa M y radio R gira con velocidad angular w alrededor de un eje perpendicular a su plano a una distancia de R/2 del centro? Halle el ímpetu angular.

Necesitas el momento de inercia respecto del eje y como dista R/2 del eje en forma paralela aplicamos Steiner.

2 2 21 3( )

2 2 4

RI MR M MR

Luego su ímpetu angular es

23

4L I MR



Ejercicio torque – ímpetu angular a) Demuestre que “el torque que actúa sobre una partícula es igual a la cantidad de cambio en el tiempo de su ímpetu angular” Medimos ambos cantidades respecto al mismo punto.

d L d p drrx x p rxF mvxv

dt dt dt

Como el último término (why?) se anula tenemos

d L

dt

Esta expresión es análoga a ….? b) ¿y para un sistema de partículas? Las fuerzas internas se cancelan (IIILN) luego solo actuad las fuerzas externas. Es decir el movimiento viene determinado por las torques externas. Si i-esima partícula experimenta una fuerza externa Fi y tienen un ímpetu lineal

pi soporta el torque i i ir xF y su ímpetu angular es. i i iL rxp

Luego para todo el sistema tenemos

ext

d L

dt (*)

Donde ext i s el torque externo meto sobre el sistema

Y iL L es la suma vectorial de todos los ímpetus angulares

Esta relación es válida si el torque y el ímpetu angular se toman

a) respecto al mismo origen en un marco inercial b) respecto al centro de masa del sistema.

Esta expresión es análoga a ….?

Dos bloques de 1m =3kg y 2m =1kg se unen por una cuerda que pasa por una

polea de radio 0.2m y masa 4kg. Halle la aceleración de los bloques. No hay fricción



Suponer que la línea del CM de la masa m2 se encuentra a una distancia R del centro de la polea.

Respecto al centro de la polea

2 1L m vR I m vR

Si la cuerda no resbala v R

1( )ext r xF R m g

Recordando que

,dv d a

adt dt R

Derivamos y aplicamos (*)

1 1 2( )a

Rm g m m Ra IR

Recordando el valor del momento de inercia del disco

1

1 2

4.9

2

m g ma

M sm m

Aplica otro método y compara



Conservación del ímpetu angular Muestre que si el torque externo neto sobre un sistema es nulo, el ímpetu angular total es constante en magnitud y dirección

extsi o L cte

Para cuerpos rígidos que giran alrededor de un eje fijo. L I La conservación del ímpetu angular total implica

i i f fI I

Si un cuerpo (atleta, gato …) redistribuye su masa de modo que cambia su momento de inercia cambia también su velocidad angular de manera inversa.



Un niño, m=25kg, corre con una velocidad de 2,5m/s de forma que su trayectoria es tangente al borde de un tiovivo de radio 2m y de I=500 kg-m2, que está detenido.

El niño salta sobre el tiovivo y lo pone en movimiento Halla la velocidad angular final del niño y del tiovivo

En el sistema niño y tiovivo no hay torque externo entonces L se conserva El momentun angular inicial del niño respecto de centro del tiovivo

iL mRv

El momentun angular final del niño y el tiovivo

2( )i tv fL mR I w

0.208 /i f fw r dL sL a

La K aumenta o disminuye .explique Un hombre se encuentra sobre una plataforma que gira a 0.5 rev/s. con los brazos extendidos mantiene 2 bloques de 4 kg cada uno a una distancia de 1m del eje de dotación que pasa a través de el. Luego reduce la distancia a 0.5 m. Si que el momento de inercia de la plataforma hombre es constante 4 kg m2

a) ¿Cual es la nueva velocidad angular



2 2

2 2

4 2 12

4 2 6

0.5 / /

6 12(0.5) 2 /1 /

i i

f f

i

f f i i f

I mr kgm

I mr kgm

rev s r

w rev

ad s

I I rads s

b) Cual es el cambio de la energía cinética y como se explica?

2 2

2 2

2

16

2

112

2

6 60

i i i

f f f

f i

K I J

K I J

K K JK

El trabajo que es necesario hacer para acercar las masas

Una estrella del tamaño del sol (57 10 )R x km y con masa el doble gira con

una rapidez de 1 revolución cada 10 días Si sufre una explosión, luego de la cual su núcleo colapsa en una estrella de neutrones de 10 km de radio. Suponiendo que su masa se mantiene constante y permanece esférica. Estime su nuevo periodo. La estrella esta aislada luego momentum angular se conserva

2 22

2 2

2

2

2

5

i i i i

f f f f

i ii i f f f i i

f f

I M R RI MR

I M R R

I RI I

I R

Preguntas. Imagine a una persona sobre una plataforma que esta girando para bajar ¿debe extender o juntar sus brazos? Genere alguna pregunta -respuesta relacionada al ímpetu angular.



Segunda ley de Kepler

Demuestre “la línea que une al sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales”



. La fuerza gravitatoria es una fuerza central (actúa a lo largo de la línea que une los cuerpos) luego es torque es nulo.

ˆ 0rxF rxrF L cte Luego el ímpetu angular es constante. Dirección constante implica que el movimiento es en un plano. Magnitud constante implica la ley de áreas.

En un intervalo t el planeta se mueve una distancia igual a vdt

La altura del es

h v dt sen

El área del en función de r, v y

1 1 1

2 2 2

dAdA rh r v dt sen r v sen

dt (*)

El ímpetu del planeta.

L r p sen r mv sen (*)

De las ultimas relaciones (*)

2

A Lcte

t m

Luego podemos comparar áreas y tiempos en el movimiento de los planetas. Kepler lo dedujo a partir de datos experimentales tomadas por … ¿Cómo?

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