TotalidadII

204 / Lecciones de Mecanica Cuantica

13 Partculas identicas

En este captulo se hara una introduccion al estudio de un sistemacuantico formado por n partculas identicas, las cuales no interactuanentre s (n electrones por ejemplo) y que son indistinguibles[13-1], tantodesde el punto de vista de la mecanica clasica como de la mecanicacuantica. Como se vera, el tratamiento fsico es diferente en los doscasos.

13.1 Trigesima leccion

En mecanica clasica se describe el movimiento de un sistema fsicode varias partculas especicando sus orbitas individuales, las cualesse obtienen de las ecuaciones de movimiento y de las condiciones ini-ciales de frontera, y aunque las partculas son indistinguibles unas deotras, tiene sentido decir que, en un instante de tiempo determinado lapartcula a se mueve en la orbita A, la partcula b se mueve en la orbitaB, la partcula c se mueve en la orbita C, etc., y cualquier permuta-cion de las orbitas de un par de partculas (como por ejemplo que lapartcula a se mueva en la orbita B y la partcula b en la orbita A, conla partcula c moviendose en la orbita C, etc.), constituira una soluciondiferente al problema clasico; ya que, dicho arreglo corresponde a unconjunto de condiciones de frontera iniciales diferentes.

205


13.1.1 Partculas identicas

En mecanica cuantica el sistema de partculas identicas esta ca-racterizado por una unica funcion de onda (vector de estado), la cualdepende de las variables de posicion qj de todas y cada una de laspartculas y del tiempo. En lugar de especicar las orbitas de cadapartcula individual, la informacion que nos da la funcion de onda espuramente probabilstica acerca de la distribucion de las partculas so-bre los estados individuales; es decir, para dos partculas identicas solonos informa sobre la probabilidad de hallar una de esas partculas (sinespecicar cual), en la posicion qa y la otra en la posicion qb, sin quetenga sentido hablar de orbitas; ya que, el concepto de trayectoria clasi-ca desaparece por completo en mecanica cuantica. As pues, contrarioa lo que ocurre en la mecanica clasica, el intercambio de dos partcu-las identicas no puede afectar el problema dinamico desde el punto devista cuantico y la informacion probabilstica que del estado se puedatener. Se necesita entonces introducir un nuevo postulado en la teoraque permita manejar la informacion probabilstica que da la mecanicacuantica para un sistema de partculas identicas.

13.1.2 Caso de dos partculas identicas

Para iniciar el estudio del problema, se empienza por considerar unsistema fsico formado por dos partculas identicas a y b, las cuales nointeractuan entre s. Se describe este sistema por dos conjuntos inde-pendienets de variables qa y qb (las cuales incluyen tanto los gradosmacroscopicos de libertad como las coordenadas intrnsecas del sistemacomo por ejemplo el espn). Los posibles estados cuanticos individualesde cada una de esas partculas identicas se denotan por las letras grie-gas ; ; : : : ; ! (por simplicidad, se asume que el numero de estadoscuanticos es discreto y nito). Cada letra griega representa el conjuntode todos los numeros cuanticos de un conjunto maximo de operadoresdel sistema fsico en consideracion (operadores que deben conmutar to-dos entre s). En la representacion q, el conjunto de todos los estados

Partculas identicas / 207

matematicos sera entonces:

f(qa);(qa); : : : ;!(qa)g; (13.1a)f(qb);(qb); : : : ;!(qb)g: (13.1b)

En el desarrollo que sigue es necesario tener en cuenta que debido ala indistinguibilidad de las dos partculas, todas las magnitudes fsicas

y sus operadores cuanticos asociados (observables) ^, incluyendo elHamiltoniano H^ del sistema, son simetricos con respecto al intercambiode las coordenadas de las dos partculas; es decir,

^(qa; qb) = ^(qb; qa); H^(qa; qb) = H^(qb; qa): (13.2)

Utilizando ahora los estados de las partculas individuales explcitos en(13.1a) y (13.1b), es posible construir el conjunto de todos los estadoscuanticos disponibles para el conjunto de las dos partculas individuales,el cual es

f(qa)(qb);(qa)(qb); : : : ;(qa)!(qb);(q

a)(qb);(q

a)(qb); : : : ;(q

a)!(qb);

: : : : : : ;

!(qa)(q

b);!(qa)(q

b); : : : ;!(qa)!(q

b)g;en donde el estado (q

a)(qb) tiene por signicado que la partcula

a se encuentra en el estado y la partcula b se encuentra en el estado, el cual es matematicamente diferente al estado (q

a)(qb) el que

tiene por signicado que la partcula a se encuentra en el estado y lapartcula b se encuentra en el estado .

Debido al principio de superposicion lineal, el estado matematicomas general que describe el sistema fsico de dos partculas identicasesta dado por la combinacion lineal de todos los estados posibles y esde la forma

(qa; qb) =!X

;=

c(qa)(q

b): (13.3)

De los postulados de la mecanica cuantica se tiene que si (qa; qb) en(13.3) es la funcion de onda para las dos partculas identicas, entonces


jcj2 es la probabilidad de hallar la partcula a en el estado y lapartcula b en el estado ;

P!= jcj2 es la probabilidad de hallar la

partcula a en el estado independiente del estado en que se encuentrela partcula b, y

P!= jcj2 es la probabilidad de hallar la partcula b en

el estado independiente del estado en que se encuentre la partcula a.De igual manera, jcj2 es la probabilidad de hallar la partcula a en elestado y la partcula b en el estado . Las unicas restricciones que danlos postulados de la teora hasta ahora enunciados sobre los coecientesde la expansion (13.3), son que 0 jcj2 1; ; = ; beta; : : : ; ! yP!

=

P!= jcj2 = 1.

Lo anterior esta en franca contradiccion con el hecho que el con-cepto de orbita carece de sentido en mecanica cuantica y que la unicainformacion que da la teora es la probabilidad de hallar una de laspartculas en un estado y la otra en otro estado, sin especicar cualpartcula esta en cual estado.

La unica manera de remediar la situacion es imponer sobre los coe-cientes en (13.3) la nueva condicion matematica c = c; lo cualpuede ocurrir si se impone una de las dos siguientes restricciones sobrela funcion de onda que representa el sistema fsico:

(qa; qb) debe ser simetrica en las variables qa; qb.

(qa; qb) debe ser antisimetrica en las variables qa; qb,

restricciones que implican respectivamente que c = c y c = c.Para lograr esta situacion es necesario introducir en la teora un nuevopostulado, independiente de los cuatro ya enunciados en la segundaleccion.

Postulado No. 5

Para un sistema de partculas identicas, solo son posibles aquellosestados cuanticos para los cuales la funcion de onda es, o completamentesimetrica, o completamente antisimetrica con respecto al intercambiode cualquier par de partculas del sistema.


Operador permutacion

El desarrollo matematico del postulado anterior requiere la intro-duccion del operador permutacion Pâb entre las partculas que tienengrados de libertad qa y qb de un conjunto cualquiera de partculas identi-cas, el cual esta denido como:

PâbF (qa; qb) = F (qb; qa);

donde F (qa; qb) es cualquier magnitud fsica o funcion de onda, funcionde las coordenadas generalizadas qa y qb de las dos partculas.

Notese que P^ 2ab = I^, lo cual puede verse inmediatamente; ya que,

P^ 2abF (qa; qb) = PâbPâbF (q

a; qb) = PâbF (qb; qa) = F (qa; qb);

en cuyo caso los autovalores del operador Pâb son solo 1. Efectivamen-te, si f(qa; qb) y p son las autofunciones y los autovalores del operadorPâb, entonces

P^ 2abf(qa; qb) = Pâbpf(q

a; qb) = p2f(qa; qb) = f(qa; qb);

lo cual tiene como consecuencia que los autovalores p del operador Pâbson solo p = 1, donde el autovalor +1 esta asociado a las funcionessimetricas respecto al intercambio de las dos partculas y el autovalor1 esta asociado a las autofunciones antisimetricas respecto al mismointercambio.

Teorema

La simetra bajo el intercambio de un par de partculas, que puedatener la funcion de onda que representa un sistema fsico, no cambiacon el tiempo. Para la demostracion del teorema es suciente mostrarque

d

dthPâbi = h i~ [H^; Pâb] +

@

@tPâbi = 0:

Como el operador Pâb no depende explicitamente del tiempo (@Pâb=@t =0), basta entonces con mostrar que el operador Pâb conmuta con elHamiltoniano del sistema fsico.


Que [H^; Pâb] = 0, es una consecuencia inmediata de la indistingui-bilidad de las dos partculas la cual implica un Hamiltoniano simetricobajo el intercambio de las coordenadas de las dos partculas; es decir,se tiene que

PâbH^ = Pâb ^H(qa; qb)(qa; qb) = ^H(qb; qa)(qb; qa)

= ^H(qa; qb)(qb; qa) = ^H(qa; qb)Pâb(qa; qb) = H^Pâb:

Lo anterior tiene como consecuencia que una funcion de onda simetrica(antisimetrica) bajo el intercambio de dos partculas en un instantecualquiera de tiempo, permanecera siempre simetrica (antisimetrica)bajo el intercambio de esas partculas, en todo instante de tiempo;condicion indispensable para que el postulado 5 tenga sentido fsico.

13.1.3 Teorema de espn y estadsticas

Aunque no es el objeto de este curso hacer una demostracion delllamado teorema de espn y estadsticas [13-2, 13-3], es importantsimomencionar que en teora cuantica de campos se puede mostrar que lafuncion de onda total de un sistema de partculas identicas de espnentero (Bosones), debe ser totalmente simetrica bajo el intercambio decualquier par de partculas (y se debe satisfacer la llamada estadsticade Bose-Einstein), y la funcion de onda de un sistema de partculasidenticas de espn semi impar (Fermiones), debe ser completamenteantisimetrica bajo el intercambio de cualquier par de partculas (y sedebe satisfacer la llamada estadsitica de Fermi-Dirac).

Un estudio detallado de las estadsticas clasicas y cuanticas es eltema de un curso de fsica estadsitica [13-4]. A manera de introduccionveamos cual es la situacion estadstica de dos partculas identicas quepueden ocupar solo dos estados posibles y , con qa; qb los grados delibertad para las dos partculas las que suponemos no interactuan entres:

Desde el punto de vista clasico, hay cuatro estados posibles, todosigualmente probables:

(qa)(q

b); (qa)(q

b); (qa)(q

b); (qa)(q

b):


La probabilidad de cada estado es 1/4.

Si las partculas son Fermiones cuanticos, hay un solo estado po-sible dado por

[(qa)(q

b) (qa)(qb)]=p2:

La probabilidad que el sistema este en este estado es uno.

Si las partculas son Bosones cuanticos, hay tres estados posibles,igualmente probables:

(qa)(q

b); [(qa)(q

b)+(qa)(q

b)]=p2; (q

a)(qb):

La probabilidad de cada estado es ahora 1/3.

Generalizar este analisis a un conjunto muy grande de n partculas(n 1023) es el objeto de la fsica estadstica.

13.1.4 Determinante de Slater

Para el caso de dos partculas identicas que se encuentran una en elestado y la otra en el estado , la funcion de onda antisimetrica sepuede escribir como el siguiente determinante (conocido en la literaturacomo determinante de Slater [13-5]):

(qa; qb) =

1p2

(qa) (qa)(qb) (qb) (13.4)

=1p2[(q

a)(qb) (qa)(qb)];

donde el factor 1=p2 es un factor de normalizacion. Notese que para

= , el determinante es cero (las dos columnas son iguales), lo cualno es mas que el principio de exclusion de Pauli para Fermiones.

Desafortunadamente, para una funcion de onda de dos partculasidenticas totalmente simetrica de la forma

(qa; qb) =

1p2[(q

a)(qb) + (q

a)(qb)]; (13.5)


no existe una forma matematica cerrada similar al determinante deSlater. Una manera simbolica de escribir esta funcion de onda podraser

(qa; qb) =

1p2

XP=ab

(qa)(q

b); (13.6)

dondeP

P=ab se reere a sumar sobre todas las permutaciones posiblesde los ndices a y b. De igual manera se podra escribir el determinantede Slater de manera simbolica como

(qa; qb) =

1p2

XP=ab

(1)P(qa)(qb); (13.7)

donde (1)P = 1 para una permutacion par de los ndices a y b, e iguala 1 para una permutacion impar de esos mismos ndices.

13.1.5 Tres partculas identicas

Las formulas anteriores se pueden extender para el caso de trespartculas identicas que se encuentran: una en el estado , otra en elestado y la tercera en el estado .

La funcion de onda totalmente antisimetrica se podra escribir comoel siguiente determinante de Slater:

a(qa; qb; qc) =

1p3!

(q

a) (qa) (q

a)(q

b) (qb) (q

b)(q

c) (qc) (q

c)

=

1p3![(q

a)(qb)(q

c) + (qb)(q

c)(qa)

+(qc)(q

a)(qb) (qc)(qb)(qa)

(qa)(qc)(qb) (qb)(qa)(qc)]=

1p3!

XP=abc

(1)P(qa)(qb)(qc);

donde (1)P = 1 para una permutacion par de los ndices a; b y c,e igual a 1 para una permutacion impar de los mismos tres ndices.


Notese que de nuevo se satisface el principio de exclusion de Pauli paralos casos = , = y = .

Para el caso de una funcion de onda totalmente simetrica de trespartculas en estados diferentes, se tiene:

s(qa; qb; qc) =

1p3![(q

a)(qb)(q

c) + (qb)(q

c)(qa)

+(qc)(q

a)(qb) + (q

c)(qb)(q

a)

+(qa)(q

c)(qb) + (q

b)(qa)(q

c)]

=1p3!

XP=abc

(qa)(q

b)(qc);

dondeP

P=abc se reere a sumar sobre todas las permutaciones posiblesde los ndices a; b y c. Claro que la anterior no es la unica funcionde onda simetrica que se puede construir para 3 partculas identicas.Existen otras mas de entre las cuales se tienen por ejemplo las siguientestres:

(qa)(q

b)(qc); (q

a)(qb)(q

c); (qa)(q

b)(qc):

13.1.6 n partculas identicas

Todo lo anteriores se puede generalizar para el caso de n partculasidenticas que se encuentran una en el estado , otra en el estado ,etc. [13-6], y la enesima en el estado !. La funcion de onda totalmenteantisimetrica se puede escribir entonces para este caso como el siguientedeterminante de Slater:

a:::!(qa; qb; : : : ; qz) =

1pn!

(q

a) (qa) : : : !(q

a)(q

b) (qb) : : : !(q

b): : : : : : : : : : : :

(qz) (q

z) : : : !(qz)

=

1pn!

XP=ab:::z

(1)P(qa)(qb) : : :!(qz);

donde (1)P = 1 para una permutacion par de los ndices a; b; : : : z,e igual a 1 para una permutacion impar de los mismos n ndices.


Para el caso de una funcion de onda totalmente simetrica de npartculas en estados diferentes se tendra:

s:::!(qa; qb; : : : ; qz) =

1pn!

XP=ab:::z

(qa)(q

b) : : :!(qz);

dondeP

P=ab:::z se reere a sumar sobre todas las permutaciones posi-bles de los ndices a; b : : : z.

Problemas

1. Escriba todas las funciones de onda simetricas que se pueden ob-tener para tres partculas identicas en 3 estados cuanticos.

2. Desarrolle el determinante de slater para el caso de 4 partculasidenticas.

3. Escriba todas las funciones de onda simetricas que se pueden ob-tener para cuatro partculas identicas en 4 estados cuanticos.

Bibliografa

[13-1] Ver Ref. [1] al nal del texto, pp. 362-368.

[13-2] F. Ramond y A. S. Wightman, \PCT, Spin and Statistics, andAll That", (Princeton University press, New Jersey, 2000).


[13-4] Vease por ejemplo: K. Huang, \Statistical Mechanics", captulonoveno (Wiley, New York, 1963).

[13-5] J. Slater y H. C. Verma, \The Theory of Complex Spectra",Physical Review 34-2, (1929), pp. 1293-1295.

[13-6] Ver Ref. [1] al nal del texto, p. 368.

215

18 Dispersion cuantica

Este captulo esta dedicado al estudio de la teora cuantica de ladispersion, una de las herramientas de mayor relevancia en la mecanicacuantica, ya que son las colisiones elasticas, inelasticas y reactivas entrepartculas, una de las pocas maneras que hay para obtener informaciondel micromundo. Igualmente, son las colisiones una ventana que nospermite mirar el mundo atomico y subatomico, constituyendose de estamanera en una de las formas posibles de comprobar experimentalmenteel modelo teorico de la mecanica cuantica [18-1, 18-2, 18-3].

En la practica, las colisiones entre partculas han sido el metodoexperimental por excelencia utilizado por los fsicos para obtener in-formacion sobre el micromundo. Vale la pena mencionar que, la visionque se tiene hoy en da de los atomos, surgio de un experimento decolisiones entre nucleos de helio (partculas ) y una lamina de oro, enel hoy famoso experimento de Rutherford, llevado a cabo en 1909 en laUniversidad de Manchester por Hans Geiger y Ernest Mardsen [18-4],en ese entonces estudiantes de Ernest Rutherford. De igual manera, esmediante los resultados experimentales obtenidos en los grandes colisio-nadores de partculas que se ha llegado al estado de conocimiento actualsobre los constituyentes elementales de la materia y sus interaccionesfundamentales.

Es tambien importante resaltar el impacto cientco obtenido porlos aceleradores lineales y circulares de partculas (linac, betatron, ci-clotron, sincrotron y sincrociclotron) y los colisionadores circulares [18-5].En la actualidad hay colisionadores circulares de electrones e contrapositrones e+ en varios pases del mundo. Igualmente, funciono hastael a~no 2000 en el laboratorio CERN, en la frontera entre Francia y

301


Suiza, el colisionador e; e+ mas energetico que se ha construido a lafecha, en los experimentos llamados LEP-I y LEP-II, donde se lograroncolisiones hasta energas de 114 GeV (114 109 electron voltios) enel centro de masa. Igualmente, funciono en Alemania (DESY) un coli-sionador de electrones y protones, al igual que en los Estados Unidosfunciono el llamado Tevatron en Fermilab (Chicago), el cual estudiabalas colisiones entre protones p+ y antiprotones p a energas del ordende 1000 GeV (1 TeV). De especial relevancia hoy en da es el llamadoLHC (por Large Hadron Collider), aparato ubicado en el CERN y quereemplazo al LEP, el cual entro en funcionamiento en el 2009 y queestudia las colisiones proton-proton a energas del orden de 7000 GeV(7 TeV) en un anillo circular de unos 27 kilometros de circunferencia.

El presente captulo se limita a estudiar solo las colisiones elasticasentre partculas; se haran dos aproximaciones teoricas al problema: pri-mero se analizaran las soluciones a la ecuacion integral de Schrodingerdel problema de dispersion, lo que llevara a la expansion perturbativade la teora, produciendo de esta manera las llamadas aproximacionesde Born; se estudiara luego la llamada expansion en ondas parciales, lacual esta basada en la formula de Bahuer que es la expansion de unaonda plana en sus componentes angulares o esfericos armonicos.

18.1 Cuadragesima tercera leccion

Se introduce en esta leccion el concepto de seccion ecaz y otrosconceptos fsicos necesarios para estudiar el problema de las colisionesen mecanica cuantica. Luego, partiendo de la ecuacion diferencial deautovalores del Hamiltoniano (ecuacion de Schrodinger independientedel tiempo), se halla una ecuacion integral equivalente y se proponensoluciones perturbativas para ese tipo de ecuaciones [18-6].

18.1.1 Dispersion por un potencial

Se estudia a continuacion la dispersion de una partcula de masa mpor un potencial V (~r) estatico; es decir, independiente del tiempo. Elproblema directo a resolver es: conocido el potencial, predecir, mediante

Dispersion cuantica / 303

la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo, el comportamien-to de las partculas dispersadas.

Un problema mas interesante en fsica es el conocido problema in-verso de la dispersion [18-7], en el cual se desconoce la forma del poten-cial dispersor y mediante el conocimiento de las partculas incidentesy sus propiedades fsicas (energa, momentum lineal, espn, etc.) y lasmedidas experimentales del comportamiento de las partculas dispersa-das, tratar de obtener la maxima informacion posible sobre el potencialdispersor.

Funcion de onda

El problema a considerar es el de una partcula de masa m inciden-te, descrita por una funcion de onda 0i solucion de partcula libre, lacual se mueve desde menos innito hacia el origen del sistema de coor-denadas, donde hay un centro dispersor de masa M y rango R0 nito[V (r > R0) = 0]. Luego de la colision, la partcula incidente sera dis-persada en una direccion cualquiera del espacio tridimensional. A unadistancia r muy grande del centro dispersor, donde este ya no afectalas partculas presentes, se coloca un detector que cubre un elementode angulo solido d, el cual medira la probabilidad que la partcula seadispersada en ese elemento de angulo solido.

Como puede verse de la gura (18.1), el vector de propagacion de lapartcula incidente dene el eje z del sistema de referencia del problemay el sistema dispersado se debe tomar como una onda en coordenadasesfericas (r), con origen de estas coordenadas en el centro dispersor.

La funcion de ondas del sistema fsico descrito por la gura se puedeescribir entonces, como la superposicion de una onda plana incidente yuna onda esferica dispersada, de la forma

(~r) eikz + f(; )eikr

r 0i (z) + (r; ; )f ;

(18.1)

donde k =p2mE=~2 es el numero de onda; el cual, para r >> R0,

es el mismo para la partcula incidente y para la partcula dispersada


Figura 18.1: Dispersion cuantica en el sistema de laboratorio.

(la primera es una onda plana libre y la segunda es una onda esfericaigualmente libre), magnitud fsica que sirve para denir los vectores de

onda ~ki = ~uzk de la partcula incidente en el eje z y ~kf = ~urk de la

partcula dispersada en la direccion radial ~ur.

Que la funcion de onda (~r) solucion a la ecuacion de Schrodingerpara el problema de la dispersion es de la forma dada en la ecuacion(18.1), es algo que se va a demostrar en los desarrollos matematicos deeste captulo.

Corrientes de probabilidad

El problema siguiente es calcular las corrientes de probabilidad pro-ducidas por las ondas incidentes y dispersadas respectivamente (lasunidades fsicas de una corriente de probabilidad son T1L2, corrien-tes de probabilidad que se interpretan como un ujo de partculas porunidad de tiempo y por unidad de area). La forma matematica delvector corriente de probabilidad ~j, para un sistema descrito por unafuncion de onda (~r), esta dada por la expresion (3.9) en la seccion


(3.1.2); la cual es

~j =~

2mi[(~r)~r(~r)(~r)~r(~r)]: (18.2)

Utilizando para la onda inciente 0i (z) = eikz, el calculo de su co-

rriente de probabilidad es

~jiz =~uz~2mi

[ 0i (z)d

dz 0i (z) 0i (z)

d

dz 0i (z)] = ~uz~k=m: (18.3)

Haciendo uso ahora del vector gradiente en coordenadas esfericas

~r = ~ur @@r

+~ur

@

@+

~ur sin

@

@;

se puede calcular la corriente radial de probabilidad asociada con la on-da dispersada (r; ; )f f(; )eikr=r saliendo en la direccion (; ),la cual estara dada por

~jfr =~ur~2mi

[ f(r; ; )@

@r f (r; ; ) i(r; ; ) @

@r i(r; ; )]

=~ur~kmr2

jf(; )j2; (18.4)

(las componentes jf y jf son proporcionales a 1=r

3 y por lo tanto des-preciables en el lmite en que r tiende a innito; ademas, no son necesa-rias en el desarrollo matematico que sigue, ya que: ~ur:~u = ~ur:~u = 0).

Seccion ecaz

Sea dn el numero de partculas dispersadas por unidad de tiempo enel angulo solido d en la direccion polar (; ); es decir, dn = j~jf :d~Sj =j~jf :~urr2jd(; ) = jfr r2d(; ), con d~S el vector correspondiente alarea del angulo solido que abarca al detector. Este numero de partculases obviamente proporcional a j~jij, el ujo de partculas incidentes porunidad de area, por unidad de tiempo. A la constante de proporciona-lidad entre esas dos cantidades es a lo que se le llama la seccion ecazdiferencial d(; ); es decir,

jfr r2d(; ) = j~jijd(; ) = dn; (18.5)


de donde se obtiene que la seccion ecaz diferencial esta dada por

d(; ) =r2jfr

j~jij d(; ): (18.6)

Notese que las unidades de una seccion ecaz son L2. La seccion ecaztotal esta dada por la integral sobre todo el angulo solido de la seccionecaz diferencial; es decir:

=

Zd(; ) =

Z 20

d

Z 0

d sin r2jfr

j~jij =Z

djf(; )j2: (18.7)

Haciendo uso de las ecuaciones (18.3) y (18.4) se obtiene para laseccion ecaz diferencial de un sistema fsico descrito por la funcion deonda (~r) en (18.1), la expresion

d(; ) = jf(; )j2d; (18.8)

donde para calcularla es necesario conocer f(; ), la llamada amplitudde dispersion.

18.1.2 Ecuacion integral

La ecuacion de autovalores del Hamiltoniano tambien conocida co-mo la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo, para el proble-ma de una partcula de masa m que incide sobre un potencial dispersorV (~r) de masa M , es:

~2

2r2 + V (~r)

(~r) = E (~r); (18.9)

donde es la masa reducida entre la partcula incidente y el centrodispersor; es decir,

1

=

1

m+

1

M;

( m para el caso de un potencial dispersor jo muy masivo). Seasumira primero que el potencial dispersor tiene un alcance nito y


que decrece mas rapido que 1=j~rj en el lmite en que j~rj ! 1 (elpotencial Culombiano puro queda excluido de este tratamiento; ya que,no satisface este lmite y por lo tanto requiere de un tratamiento especialen los problemas de dispersion en mecanica cuantica).

Se denen ahora las siguientes magnitudes:

k =

r2E

~2; U(~r) =

2V (~r)

~2:

Con estas deniciones y luego de algunos arreglos, la ecuacion (18.9)queda de la siguiente manera:

(r2r + k2) (~r) = U(~r) (~r): (18.10)

Funcion de Green

Se supone ahora que existe una funcion G(~r ~r0), la cual satisfacela ecuacion

(r2r + k2)G(~r ~r0) = 3(~r ~r0); (18.11)[G(~r ~r0) es llamada la funcion de Green del operador (r2r + k2)]. Unalgebra simple permite mostrar que una solucion general a la ecuacion(18.10) se puede escribir como

(~r) = (~r)0 +

Zd3r0G(~r ~r0)U(~r0) (~r0); (18.12)

donde la funcion (~r)0 es solucion de partcula libre; es decir, satisface(r2r + k2) (~r)0 = 0. La demostracion que (~r) en (18.12) satisface(18.10) es simple y consiste en aplicar el operador (r2r + k2) sobre lafuncion de onda (~r), lo cual produce:

(r2r + k2) (~r) = (r2r + k2) (~r)0 + (r2r + k2)Z

d3r0G(~r ~r0)U(~r0) (~r0)

=

Zd3r0[(r2r + k2)G(~r ~r0)]U(~r0) (~r0)

=

Zd3r03(~r ~r0)U(~r0) (~r0) = U(~r) (~r);


donde en el ultimo paso se ha hecho uso de una de las propiedades de ladistribucion delta de Dirac. Como puede verse, el desarrollo anterior hamostrado que la funcion (~r) en (18.12) satisface la ecuacion (18.10).

La funcion (~r) en la expresion (18.12) no es una solucion a la ecua-cion (18.10) en el sentido estricto de la palabra; ya que, la funcion (~r)esta presente en ambos lados de la ecuacion. Por el contrario, la expre-sion (18.12) es una ecuacion integral para la funcion (~r), equivalentea la ecuacion diferencial de Schrodinger (18.10).

A una ecuacion integral como la que aparece en (18.12) se le conoceen la literatura matematica como una ecuacion de Volterra de segundaclase y la manera ordinaria de resolverlas es por el metodo de expansionperturbativa, como se vera a continuacion.

18.1.3 Solucion por series

Para resolver la ecuacion integral (18.12) se supone que tanto (~r)0

como la funcion de Green G(~r~r0) G~r~r0 son conocidas, ambas funcio-nes dadas por las condiciones de frontera del problema como se vera enla proxima leccion. Conocidas estas dos funciones, la solucion en seriesde la ecuacion integral [18-8] procede por repetidas iteraciones de lafuncion (~r) del lado izquierdo, en el lado derecho; donde lo que se ob-tiene es una serie en la perturbacion U(~r) y se van a guardar terminosen la serie hasta el orden que se desee. Se tiene entonces:

(~r) = (~r)0 +

Zd3r0G~r~r0U(~r0) (~r0)

= (~r)0 +

Zd3r0G~r~r0U(~r0) (~r0)0

+

Zd3r0

Zd3r00G~r~r0U(~r0)G~r0~r00U(~r00) (~r00)

= (~r)0 +

Zd3r0G~r~r0U(~r0) (~r0)0

+

Zd3r0

Zd3r00G~r~r0U(~r0)G~r0~r00U(~r00) (~r00)0

+

Zd3r0

Zd3r00

Zd3r000G~r~r0U(~r0)G~r0~r00U(~r00)G~r00~r000U(~r000) (~r000);


donde en la ultima igualdad el primer termino representa el orden ceroen la perturbacion, el segundo es el primer orden en la perturbacionU(~r), el tercero es el segundo orden en la perturbacion y el cuartoproducira el tercer orden en la perturbacion, al remplazar (~r000) por (~r000)0 en la triple integral; etc..

18.2 Cuadragesima cuarta leccion

En esta leccion se hallaran las diferentes funciones de Green [18-9]del operador (r2r+k2) y se encontrara la funcion de onda para el proble-ma de la dispersion cuantica, con las condiciones de frontera adecuadas.

18.2.1 Funciones de Green

Se comienza por suponer que de la funcion de Green G(~x~y) = G~x~ydenida en (18.11), existe una transformada de Fourier g~z~y con respectoa la primera variable ~x; es decir, se tiene

G~x~y =1

(2)3

Z 11

g~z~yei~z:~xd3z; (18.13)

donde ~z:~x = z1x1 + z2x2 + z3x3. Igualmente, del apendice (B) se puedeleer la transformada de Fourier para la distribucion delta de Dirac lacual es

3(~x ~y) = 1(2)3

Z 11

ei~z:(~x~y)d3z: (18.14)

Reemplazando (18.13) y (18.14) en la ecuacion diferencial (18.11) setiene

(r2x + k2)G~x~y =(r2x + k2)(2)3

Z 11

g~z~yei~z:~xd3z

=1

(2)3

Z 11

g~z~y[(r2x + k2)ei~z:~x]d3z

=1

(2)3

Z 11

g~z~y[(z2 + k2)ei~z:~x]d3z

=1

(2)3

Z 11

ei~z:(~x~y)d3z;


expresion de la cual se obtiene

g~z~y =ei~z:~y

(k2 z2) ; (18.15)

la que reemplazada en la ecuacion (18.13) produce

G~x~y =1

(2)3

Z 11

ei~z:(~x~y)

(k2 z2)d3z =

1

(2)3

Zdzz

2dzei~z:(~x~y)

(k2 z2) ; (18.16)

integrales que hay que evaluar. Para comenzar se dene ~w = ~x~y comoel eje polar del sistema coordenado, lo cual implica ~z:(~x ~y) = ~z:~w =zw cos z, con w = j~x ~yj, obteniendose de esta manera

G~x~y =1

(2)3

Z 10

dzz2

(k2 z2)Z 20

dz

Z 0

dz sin zeizw cos z :

La integral sobre dz es inmediata y da 2. Introduciendo ahora elcambio de variable = cos z, el cual implica que d = sin zdz, laotra integral angular se puede evaluar inmediatamente obteniendoseZ

0

dz sin zeizw cos z =

Z 11deizw =

eizw

izw

11

=eizw eizw

izw;

quedando por evaluar la integral sobre z = j~zj. Hasta aqu se tiene:

G~x~y =1

iw(2)2

Z 10

dzzeizw eizw(k2 z2) =

1

iw(2)2

Z 11

dzzeizw

(k2 z2)=

i

w(2)2

Z 11

dzzeizw

(z k)(z + k) ; (18.17)

donde la integral desde 0 a 1 con exponente negativo se convierte enla integral desde 1 a 0 con exponente positivo luego del cambio devariable z = z. La integral que queda no existe en el sentido extrictode la palabra; ya que, tiene dos polos, uno en z = k y el otro en z = k.Para obviar esta dicultad se considera que z es una variable complejay se procede a evaluar la integral remanente por el metodo de polos,


G

zR

G

+

zR

G

zR

Figura 18.2: Trayectorias para calcular la funcion de Green.

para lo cual se divide z en una parte real y en otra parte imaginara,z = zR + izI , lo que tiene como consecuencia

eizw = ei(zR+izI)w = eizRwezIw;

lo cual implica que se debe tomar zI > 0; es decir, cerrar el contornoen la integracion por polos en el plano superior, ya que

lm

zI !1(ezIw) = 0;

de tal manera que el semicrculo imaginario de la integral no contribuyea la misma.

Para hacer la integral, hay tres maneras posibles de tomar el con-torno cerrado en el plano superior. Estrctamente hablando, hay tresfunciones de Green, las cuales corresponden a condiciones de fronetradiferentes. En la gura se muestran esos tres contornos posibles y elnombre de la funcion de Green asociada con cada uno de ellos.

Se hace uso luego del teorema de Cauchy de la variable complejapara los residuos, el cual arma que para una variable compleja z yf(z) una funcion de dicha variable, analtica en el punto z0, se cumple:

f(z0) =1

2i

Idz

f(z)

(z z0) ;


donde el contorno de integracion se debe tomar positivo; es decir, en elsentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

Calculo de las funciones de Green

Se evaluara a continuacion la integral (18.17) para cada uno de lostres contornos mostrados en la gura.

G, con polo en z = k como lo muestra la gura.La funcion analtica en el polo es f(z) = zeizw=(z k).El valor de la integral es

G~x~y =1

iw(2)2

Z 11

dzzeizw

(z k)(z + k) =2ii4w2

eikw

2= e

ikw

4w:

(18.18)

G+, con polo en z = k como lo muestra la gura.La funcion analtica en el polo es f(z) = zeizw=(z + k).El valor de la integral es

G+~x~y =1

iw(2)2

Z 11

dzzeizw

(z k)(z + k) =2ii4w2

eikw

2= e

ikw

4w:

(18.19)

G, el llamado valor principal de Cauchy. Se demuestra en los librosde variable compleja que esta funcion de Green esta relacionadaa G+ y G de la siguiente manera: G = (G+ +G)=2; es decir,

G~x~y = (G+~x~y +G

~x~y)=2 =

eikw + eikw

8w= cos kw

4w: (18.20)

El signicado fsico de estas funciones de Green es el siguiente: G+~x~yrepresenta una onda explosiva; es decir, teniendo como fuente el origeny propagandose hacia el innito. G~x~y representa una onda implosiva;es decir, originandose en el innito y propagandose hacia un sumiderosituado en el origen. Finalmente, G~x~y representa una onda estacionaria.


Amplitud de dispersion f()

Conocidas las funciones de Green, esta claro que la funcion asociadaal problema que nos ocupa es G+~x~y, la que representa una onda esfericapropagandose del origen hacia el innito. Ahora, soluciones de partculalibre moviendose en el eje z son: eikz; eikz; cos kz; y sin kz. Denuevo, cos kz y sin kz representan ondas estacionarias, eikz representauna onda viajera plana moviendose de menos innito a mas innito yeikz representa igualmente una onda viajera plana, moviendose desdemas innito hacia menos innito. De esta manera la funcion de ondaen la ecuacion (18.12) asociada al problema de la dispersion es:

(~r) = (~r)0 +

Zd3r0G(~r ~r0)U(~r0) (~r0)

= eikz +

Zd3r0G+(~r ~r0)U(~r0) (~r0)

= eikz 14

Zd3r0

eikj~r~r0j

j~r ~r0jU(~r0) (~r0) (~r)+; (18.21)

donde se ha normalizado (~r)0 a uno, lo cual no es problema siemprey cuando se normalice (~r)+ de la misma manera. Se debe mostrarnalmente que la solucion (18.21) es de la forma dada en (18.1). Loanterior se puede ver de inmediato si se hace la expansion de j~r~r0j enpotencias de r = j~rj; es decir,

j~r ~r0j =pr2 2(~r:~r0) + r02 = r(1 2r

0 cos 0

r+r02

r2)1=2; (18.22)

donde 0 es el angulo entre la variable de integracion ~r0 y la direccionradial ~ur del vector ~k

f = ~urk, direccion que se tomara como el ejeazimutal en la integracion de la variable d3r0. El algebra muestra que

j~r ~r0j r ~r0:~ur + j~ur ~r0j2

2r+ : : : : (18.23)

Como el potencial V (~r) tiene rango nito se pueden despreciar losterminos de orden 1=r y superiores en el exponencial; es decir,

eikj~r~r0j eik(r~r0:~ur) eikreik(~r0:~ur) eikrei~kf :~r0 :


De manera similar se puede escribir en el denominador

j~r ~r0j (r ~r0:~ur) r(1 ~r0:~ur=r) r:

De esta manera la funcion de onda en (18.21) se puede escribir como

(~r)+ eikz 14

Zd3r0

eikrei~kf :~r0

rU(~r0) +(~r0)

eikz + eikr

r

14

Zd3r0ei

~kf :~r0U(~r0) +(~r0); (18.24)

de donde se puede leer inmediatamente

f() = 14

Zd3r0ei

~kf :~r0U(~r0) +(~r0) = 14h 0~kf jU j +~k i; (18.25)

con 0~kf (~r) = ei~kf :~r una onda libre plana moviendose en la direccion ~kf =

~urk y +~k(~r) es la funcion de onda total correspondiente al propagador

G+ en la ecuacion (18.12).

18.3 Cuadragesima quinta leccion

Se estudiara en esta leccion la llamada aproximacion de Born [18-10]para el problema de la dispersion en mecanica cuantica y se aplicara aun problema fsico de interes.

18.3.1 Aproximaciones de Born

Se pretende enseguida evaluar la integral en (18.25), para lo cual esnecesario manipular primero la funcion de onda (~r0) = (~r0)+ asociadaal propagador G+(~r ~r0), funcion que se puede trabajar de maneraperturbativa utilizando parametros de la energa potencial para hacerla expansion correspondiente.


Reemplazando (18.21) en (18.25) se obtiene

f() =14

Zd3r0ei

~kf :~r0U(~r0)eikz

0 14

Zd3r00

eikj~r0~r00j

j~r0 ~r00jU(~r00) +(~r00)

= f()(1)

+1

162

Zd3r0ei

~kf :~r0U(~r0)Z

dr00eikj~r

0~r00j

j~r0 ~r00jU(~r00) +(~r00); (18.26)

con f()(1) la aproximacion en primer orden en la perturbacion U(~r)de la amplitud de dispersion, la cual esta dada por

f()(1) = 14

Zd3r0ei

~kf :~r0U(~r0)eikz0; (18.27)

llamada en la literatura la primera aproximacion de Born para la am-plitud de dispersion. Conocida la forma del potencial, el problema sereduce a evaluar la integral en (18.27).

Iterar el procedimiento anterior dara las otras aproximaciones lla-madas aproximaciones de Born de orden superior. Un algebra simplemuestra por ejemplo que

f()(2) =1

162

Zd3r0

Zd3r00ei

~kf :~r0U(~r0)eikj~r

0~r00j

j~r0 ~r00jU(~r00)eikz

00:

(18.28)

Primera aproximacion de Born

Haciendo uso del vector numero de onda incidente el cual esta dadopor ~ki = ~uzk = (0; 0; k), se puede escribir la ecuacion (18.27) como

f()(1) = 14

Zd3r0ei(

~ki~kf ):~r0U(~r0): (18.29)

Deniendo ahora ~K = (~ki ~kf ), la ecuacion (18.29) se puede escribircomo

f()(1) = 14

Zd3r0ei

~K:~r0U(~r0) = f()(1)~k ; (18.30)


segun la cual, la primera aproximacion de Born toma la forma ma-tematica de una transformada de Fourier para el potencial dispersorU(~r), donde el vector ~K = (~ki ~kf ) juega el papel de la variable de latransformada.

La primera aproximacion de Born se simplica considerablemen-te cuando se trabaja con un potencial central V (~r) = V (r); es decir,cuando el potencial depende solo de la coordenada radial r y no delas variables angulares y . Ya que, la mayora de los problemas deinteres practico corresponden a fuerzas centrales, vale la pena estudiareste caso con mas detalle. Como ahora U(r0) no depende de la direccionde integracion en d3r0, la integral en (18.30) se puede hacer de maneraparcial de la siguiente manera: se escoge la direccion del vector ~K comoel eje polar en la integracion d3r0, lo cual implica que

ei~K:~r0 = eiKr

0 cos0 y d3r0 = r02 sin0d0d0:

La integral sobre d0 da inmediatamente 2 y deniendo de nuevola variable de integracion = Kr0 cos0 con d = Kr0 sin0d0, sepuede hacer de inmediato la integral sobre el angulo 0 y obtener

f()(1) = 1K

Z 10

dr0r0 sin (Kr0)U(~r0); (18.31)

que como puede verse es independiente del angulo azimutal denidoen la gura (18.1). Igualmente y para el caso de la dispersion elastica,

la gura (18.1) implica que la forma de los vectores ~ki = ~uzk y ~kf = ~urk

permiten escribir

K2 = ~K: ~K = ~ki:~ki 2~ki:~kf + ~kf :~kf = k2 2~ki:~kf + k2= 2k2(1 cos ) = 4k2 sin2(=2); (18.32)

de donde se puede obtener K = 2k sin(=2), lo cual da la dependenciaen de la amplitud de dispersion f(), la que para un potencial centrales independiente del angulo . Notese que es el angulo del haz salienterespecto al eje de incidencia z en el sistema de laboratorio, como semuestra en la gura (18.1).


18.3.2 Aplicacion

Como aplicacion de la primera aproximacion de Born se estudiala dispersion elastica de un electron por un atomo neutro. Para esteproblema la energa potencial se puede representar como un potencialcentral, de la forma

V (r) = Ze2

rer=a;

potencial Coulombiano apantallado de un nucleo de numero atomico Zcuando el radio r es peque~no, pero que decae exponencialmente cuandor es mayor que el radio a del atomo. Reemplazando este potencial enla expresion (18.31) da:

f()(1) =2Ze2

K~2

Z 10

dr0 sin (Kr0)er0=a =

2Ze2

~2(K2 + a2): (18.33)

Notese que

lm

a!1jf()(1)j2 = lm

a!142Z2e4

~4(K2 + a2)2

=42Z2e4

~4K4 m

2eZ

2e4

4p4 sin4(=2);

donde se ha hecho uso de la expresion (18.32), del hecho que me esla masa del electron para este problema y p = ~k. Notese que en estelmite la seccion ecaz diferencial coincide con el resultado clasico deRutherford.

Para calcular la seccion ecaz total para este problema se tiene

=

Zdjf()(1)j2 = 2

Z 0

d sin jf()(1)j2

=82Z2e4

~4

Z 0

dsin

(K2 + a2)2; (18.34)

integral que se puede evaluar haciendo el cambio de variable =2k sin(=2), en cuyo caso sin d se reemplaza por d=k2, obteniendosenalmente el valor

=162Z2e4a4

~4(1 + 4k2a2): (18.35)


18.3.3 La matriz S

En mecanica cuantica se dene la matriz S (o matriz de dispersion),como la proyeccion de la funcion de onda (~r)+ en (18.21), o ecuacionintegral de Scrhodinger, sobre una onda plana libre de numero de onda~k; es decir, sobre ei

~k:~r. De esta manera se obtiene

S~k = hei~k:~rj (~r)+i =

Zd3rei

~k:~r (~r)+ (18.36)

=

Zd3rei

~k:~r

eikz 1

4

Zd3r0

eikj~r~r0j

j~r ~r0jU(~r0) (~r0)+

= (2)3(~ki ~k) 1

4

Zd3rd3r0ei

~k:~r eikj~r~r0j

j~r ~r0jU(~r0) (~r0)+;

expresion teorica de mucha utilidad, la cual se trabaja igualmente enforma perturbativa iterando (~r0)+ en la ultima expresion.

18.4 Cuadragesima sexta leccion

En las dos lecciones siguientes se estudiara el metodo de expan-sion en ondas parciales y la teora del corrimiento de fase, aplicados alproblema de la dispersion en mecanica cuantica [18-11].

18.4.1 Corrimiento de fase

Como se estudio en la leccion anterior, la primera aproximacionde Born es una tecnica muy conveniente para tratar con el problemade la dispersion cuantica, pero suele tener limitaciones en algunas desus aplicaciones. Es entonces deseable mirar otras aproximaciones paramanejar el problema, en especial cuando el sistema fsico esta caracte-rizado por un potencial central; es decir, depende solo de la distanciaradial al origen, en cuyo caso la seccion ecaz diferencial no dependedel angulo azimutal como ya se vio.


Introduccion matematica

Para el problema de un potencial central, la funcion de ondas solu-cion a la ecuacion de Schrodinger puede escribirse como

(~r) = R(r)Ylm(; );

donde Ylm(; ) son los esfericos armonicos. Si por algun motivo lafuncion de onda no depende del angulo (como es el caso para elpotencial central), entonces la forma de la funcion se simplica a

(~r) = R(r)Pl(cos );

donde Pl son los polinomios de Legendre de orden l debidamente nor-malizados. La solucion as dada representa una autofuncion simultaneade la energa y el momentum angular, asociada a un valor l de estaultima magnitud fsica.

Utilizando el Laplaciano en coordenadas esfericas

r2 = 1r2

@

@r(r2

@

@r) L

2

~2r2;

y haciendo uso de la propiedad L2Pl(cos ) = l(l + 1)~2Pl(cos ), laecuacion radial toma la forma

~2

2m

1

r2@

@r(r2

@R

@r) l(l + 1)

r2R

+ V (r)R = ER: (18.37)

Deniendo de nuevo k2 = 2mE=~2 y U(r) = 2mV (r)=~2, se tiene

1

r2@

@r(r2

@R

@r) +

k2 U(r) l(l + 1)

r2

R = 0: (18.38)

Haciendo igual que antes ul;k(r) = rR(r), se obtiene para la funcionul;k la ecuacion diferencial

d2

dr2ul;k(r) +

k2 U(r) l(l + 1)

r2

ul;k(r) = 0; (18.39)

donde los subndices l y k estan relacionados a valores del momentumangular y la energa respectivamente. Las condiciones de frontera para


la funcion ul;k(r) en el origen son ul;k(r = 0) = 0, funcion que se puedesuponer real y que debe normalizarse de manera conveniente.

Para la region r > R0 donde R0 es el rango del potencial, la ecuaciondiferencial anterior toma la forma

d2

dr2ul;k(r) +

k2 l(l + 1)

r2

ul;k(r) = 0; r > R0; (18.40)

ecuacion conocida como esferica de Besel y que tiene por solucion masgeneral

ul;k(r) = Blrjl(kr) + Clrl(kr); (18.41)

donde jl(kr) y l(kr) son las funciones esfericas de Besel y de Newmanrespectivamente, las cuales estan denidas por

jl() = (1)ll(1

d

d)lsen

;

l() = (1)ll(1

d

d)lcos

:

(18.42)

Relacionadas con estas soluciones existen igualmente las funciones esferi-cas de Haenkel de primera y segunda clase dadas por

h(1)l () = jl() + il() = i(1)ll(

1

d

d)lei

;

h(2)l () = jl() il() = i(1)ll(

1

d

d)lei

:

(18.43)

Es facil ver que en el lmite en que = kr tiende a innito, lasfunciones esfericas de Besel y de Newman satisfacen:

jl(kr) 1kr

sen(kr l2); (18.44)

l(kr) 1kr

cos(kr l2); (18.45)

las cuales reemplazadas en (18.41) producen en el lmite kr 1ul;k(r)

r Bl sen(kr l=2)

kr Cl cos(kr l=2)

kr; (18.46)


la cual se puede escribir de manera conveniente como

ul;k(r)

r Al sen(kr l=2 + l)

kr(18.47)

=Alkr

[sen(kr l=2) cos l + sen l cos(kr l=2)] ;

comparando esta expresion con la anterior se obtiene Bl = Al cos l yCl = Al sen l. La constante de normalizacion Al se escoge igual a 1por conveniencia, lo cual implica una normalizacion de las funciones deonda ul;k(r) de la formaZ 1

0

r2drRl(kr)Rl(k0r) =

Z 10

drul;k(r)ul;k0(r)

=1

2kk0

Z 11

dr sen(kr l=2 + l) sen(k0r l=2 + l)

=

2k2(k k0):

Se puede entonces escribir la solucion radial para el problema de ladispersion cuantica, en el lmite kr 1 como

Rl;k(r) ul;k(r)r

sen(kr l=2 + l)kr

; (18.48)

donde la constante de integracion l es llamada el corrimiento de fasede la dispersion, nomenclatura que se aclarara en la siguiente leccion.

18.4.2 Relacion entre el potencial U(r) y la fase l

Es ahora conveniente tener una expresion matematica que relacioneel potencial de dispersion U(r) con el corrimiento de fase l. Para ellonotese que la funcion radial, solucion a la ecuacion de Schrodinger departcula libre en todo el intervalo 0 r


(aunque rl(kr) es tambien solucion, esta no satisface la condicion defrontera en el origen). Multiplicando a izquierda la ecuacion anteriorpor ul;k y restandola de la ecuacion (18.39), multiplicada previamentea izquierda por rjl(kr), produce la relacion

ul;k[rjl(kr)]00 rjl(kr)u00l;k =

d

dr

ul;k[rjl(kr)]

0 rjl(kr)u0l;k]

= jlU(r)rul;k: (18.49)

Integrando ahora esta expresion entre cero e innito y haciendo usodel hecho que tanto ul;k como jl(kr) se anulan en r = 0, se obtiene laexpresion

(rjl(kr))0ul;k rjl(kr)u0l;k

10= (rjl(kr))

0ul;k rjl(kr)u0l;k1

=k

k2[cos(kr l=2) sen(kr l=2 + l)

sen(kr l=2) cos(kr l=2 + l)]=

sen lk

= Z 10

drjlU(r)rul;k;

donde se ha hecho uso de las formas asintoticas de rjl(kr) en la primerade las ecuaciones en (18.44) y de ul;k(r) en (18.48). De la expresionanterior se concluye que

sen l = kZ 10

drrjl(kr)U(r)ul;k(r); (18.50)

ecuacion integral bastante compleja [ya que bajo el integrando se tienela funcion ul;k(r) la cual depende de la forma del potencial y en ellmite kr >> 1 tiene una dependencia en l], pero de mucha utilidaden la expansion en ondas parciales de la amplitud de dispersion, comose vera en la proxima leccion.

Notese de esta ultima expresion que l depende del potencial U(r),no solo por que aparece en forma explcita en la integral, sino tambienpor la dependencia en el potencial que debe tener la funcion uk;l(r).


18.5 Cuadragesima septima leccion

Para hacer la expansion en ondas parciales de la funcion (~r)+ quedescribe la dispersion de una partcula por un potencial central, sehara uso de la formula de Bauer la cual se introdujo en la vigesimoquinta leccion. La expresion, asociada a la funcion de onda de unapartcula libre, representa la expansion en ondas esfericas y en valoresdel momento angular l, de una onda plana de la forma eikz = eikr cos .En forma explcita se tiene:

eikz = eikr cos =1Xl=0

il(2l + 1)jl(kr)Pl(cos ): (18.51)

18.5.1 Expansion de +(~r)

La funcion de onda que describe un sistema fsico en el caso masgeneral, es una combinacion lineal de un conjunto completo de autofun-ciones de un conjunto maximo de operadores. Con base en los resultadosobtenidos en la leccion anterior y debido a que para un potencial cen-tral el Hamiltoniano conmuta con el momentum angular total y por lotanto las funciones estan rotuladas por los numeros cuanticos k y l, sepropone la siguiente expansion para la funcion de ondas +(~r), solucional problema de la dispersion cuantica:

+(~r) =1Xl=0

alPl(cos )ul;k(r)

r; (18.52)

donde los al son los coecientes de la expansion a ser calculados a con-tinuacion, los que no dependen del ndice k pues la energa es constanteen los problemas de dispersion elastica. En lugar de trabajar con las so-luciones exactas de la ecuacion radial ul;k(r), las cuales no se conocen, sehara el analisis en el lmite asintotico, para valores de kr 1, haciendouso de la expresion (18.48) segun la cual ul;k(r) sen(kr l=2+l)=k;es decir, se usara

+(~r) 1Xl=0

alPl(cos )sen(kr l=2 + l)

kr: (18.53)


Para ser consistentes se debe, de igual manera, hacer uso en la formulade Bauer (18.51) de la forma asintotica de jl(kr) para valores kr 1dada en la expresion (18.44); es decir, jl(kr) sen(kr l=2)=(kr), lacual implica

eikz = eikr cos 1Xl=0

il(2l + 1)Pl(cos )sen(kr l=2)

kr: (18.54)

Comparando las expresiones (18.53) y (18.54) se puede ver que, elefecto del potencial dispersor sobre una onda incidente de momentoangular l, es desfasar dicha onda en un valor l.

Las expansiones anteriores se van a remplazar en la expresion (18.24),segun la cual, para r R0, se tiene

(~r)+ eikz + f(; )eikr

r; (18.55)

con f(; ) la amplitud de dispersion, la que para un potencial centralU(r) no depende de y esta dada por (18.25); es decir,

f() = 14

Zd3r0ei

~kf :~r0U(r0) (~r0)+

= 14

Zr02dr0U(r0)

Zd0ei

~kf :~r0 (~r0)+: (18.56)

Reemplazando las expresiones (18.53) y (18.54) en (18.55), se obtienela siguiente ecuacion valida en el lmite kr 1

+(~r) 1Xl=0


kr(18.57)

1Xl=0


kr+eikr

rf();

la cual es de gran utilidad en el analisis que sigue.


18.5.2 Amplitud de dispersion

Haciendo uso de la expansion (18.52) en la amplitud de dispersion(18.56) se tiene

f() = 14

1Xl=0

al

Zr0dr0U(r0)ul;k(r0)

Zd0eikr

0 cosPl(cos 0);

de la cual se puede evaluar la integral angular haciendo uso de la formulade Bauer en la forma

ei~kf :~r0 = eikr

0 cos =1Xl0=0

1

il0(2l0 + 1)jl0(kr0)Pl0(cos);

lo que implica

f() = 14

1Xl=0

1Xl0=0

al(2l0 + 1)il0

Zr0dr0U(r0)ul;k(r0)jl0(kr0)Ill0 ;

donde la integral angular toma la forma

Ill0 =

Zd0Pl0(cos)Pl(cos 0);

la cual se puede evaluar haciendo uso del teorema de adicion de losmomentos angulares

Pl0(cos) =4

(2l0 + 1)

+l0Xm0=l0

Y l0m0(00)Yl0m0();

donde el signicado de los angulos es el siguiente: es el angulo entrelas direcciones ~r(~kf ) y ~r0; 0 y 0 son los angulos polares de la variablede integracion ~r0 y y son los angulos del vector ~r para el sistema delaboratorio bosquejado en la gura (18.1). Haciendo uso de la relacionpara los polinomios de Legendre

Pl(cos 0) =

r4

2l + 1Yl0(

0; 0);


y de la ortonormalidad de los esfericos armonicos, se obtiene nalmente

Ill0 =4p

(2l0 + 1)(2l + 1)Pl0(cos )ll0 ; (18.58)

expresion que reemplazada en la amplitud de dispersion produce

f() = 1Xl=0

al1

ilPl(cos )

Z 10

r0dr0jl(kr0)U(r0)ul;k(r0); (18.59)

en la cual se puede hacer uso de la relacion (18.50) para llegar nalmentea la expresion

f() =1Xl=0

al1

ilPl(cos )

sin lk

: (18.60)

18.5.3 Coecientes de la expansion

Reemplazando (18.60) en (18.57) se tiene

1Xl=0


kr

=1Xl=0


kr+eikr

r

1Xl=0

al1

ilPl(cos )

sen lk

;

eliminando la dependencia en (multiplicando por sen Pl0(cos ) e in-tegrando sobre d) y haciendo uso del hecho que 1=(i)l = eil=2 seobtiene la expresion

alsen(kr l=2 + l)

kr= il(2l + 1)

sen(kr l=2)kr

+ alei(krl=2)

r

sen lk

:

Multilicando por kr, expandiendo el exponencial en senos y cosenos yusando la identidad sen(krl=2+l) = sen(krl=2) cos l+cos(krl=2) sen l se llega a la ecuacion

al cos l = il(2l + 1) + ial sen l;


la cual tiene por solucion

al = il(2l + 1)eil : (18.61)

Haciendo uso de este resultado se puede escribir la funcion de ondas en(18.53) como

+(~r) 1Xl=0

il(2l + 1)eilPl(cos )sen(kr l=2 + l)

kr: (18.62)

y la amplitud de dispersion en (18.60) como

f() =1

k

1Xl=0

(2l + 1)eilPl(cos ) sen l =1Xl=0

f()l: (18.63)

Esta expresion es la formula central del metodo de expansion enondas parciales, ya que, ella permite calcular la seccion ecaz diferencial(y de ella la seccion ecaz total), una vez se conozca el corrimiento defase l el cual esta relacionado a la forma del potencial mediante laexpresion (18.50).

18.5.4 Calculo de la seccion ecaz

Para el analisis se comienza por suponer que la sumatoria en (18.63)converge, para lo cual es necesario que los primeros terminos dominensobre los restantes. Se supone primero que solamente la dispersion delas ondas S (l = 0) es importante. En este caso solo es necesario teneren cuanta el primer termino con l = 0 en la sumatoria en (18.63).Debido a que P0(cos ) = 1 se tiene que

f s() =1

kei0 sen 0; (18.64)

lo cual permite hallar la seccion ecaz diferencial

ds() = jf s()j2d = sen2 0k2

d; (18.65)


la cual es independiente del angulo . En otras palabras, la dispersionde las ondas s (l = 0) se caracteriza por ser isotropica.

Para el caso en que tanto las ondas s como las p (l = 1) contribuyande manera apreciable, se tiene de acuerdo con (18.63) que

f s+p() =1

k[ei0 sen 0 + 3e

i1 sen 1 cos ; ] (18.66)

de la cual se obtiene

ds+p() =1

k2(A+B cos + C cos2 )d; (18.67)

donde A = sen2 0; B = 6 cos(0 1) sen 0 sen 1 y C = 9 sen2 1.Como la convergencia de la sumatoria en (18.63) requiere que 1


De esta expresion se puede ver que cada onda parcial contribuye demanera incoherente a la seccion ecaz total, con un valor maximo dadopor

lmax =4

k2(2l + 1) (18.69)

18.5.6 Teorema optico

Se conoce con este nombre a la relacion que hay entre la seccionecaz total y la amplitud de dispersion en la direccion de incidencia.Para hallar la relacion se toma el valor = 0 en la expresion (18.63) yse hace uso del hecho que Pl(0) = 1. Se tiene entonces

f(0) =1

k

1Xl=0

(2l + 1)eil sin l:

Tomando la parte imaginaria de esta ultima expresion se obtiene

Im:f(0) =1

k

1Xl=0

(2l + 1) sin2 l;

lo que comparado con la expresion (18.68) permite escribir el siguienteresultado, simple pero importante

T =4

kIm:f(0); (18.70)

conocido en la literatura como el teorema optico para la seccion ecaztotal, llamado as debido a la similitud que tiene con la relacion quehay en optica entre la parte imaginaria del ndice de refraccion y elcoeciente de absorcion [18-12].

Problemas

1. Calcule Jf y Jf para la funcion de onda en (18.1).


2. Derive la ecuacion en (18.61).

3. Haciendo uso de la primera aproximacion de Born, calcule la sec-cion ecaz diferencial y total para los siguientes potenciales:

a)

V (r) =

V0 : 0 r a0 : r > a

b)V (r) = er; > 0; > 0

c)

V (r) = er

r; > 0; > 0:

4. Utilizando ul;k(r) r cos ljl(kr) en (18.50), halle la amplitudde dispersion f s(), la seccion ecaz diferencial d(s) y la seccion

ecaz total (s)t correspondientes al valor del momento angular

l = 0, para los 3 potenciales del problema anterior.

Bibliografa

Nota. Los tres primeros textos citados corresponden a tratados avan-zados, dedicados en su totalidad a la teora cuantica de la disper-sion, altamente recomendados a aquellos estudiosos que pretendanprofundizar en el tema.

[18-1] John R. Taylor, \Scattering Theory: The Quantum Theory ofNonrelativistic Collisions" (Dover books on engineering and tech-nology, 2006).

[18-2] Roger G. Newton, \Scattering Theory of Waves and Particles"(Dover books on physics, second edition 2002).

[18-3] Ta-you Wu y Takashi Ohmura, \Quantum Theory of Scattering(Dover books on physics, 2011).

[18-4] H. Geiger y E. Marsden, \On a Diuse Reection of the Par-ticles", Proceedings of the Royal Society A82 (1909) pp. 495-500.

[18-5] Edmund Wilson, \An Introduction to Particle Accelerators"(Oxford University Press, 2001).


[18-7] Fioralba Cakoni y David Colton, \A Qualitative Approach to In-verse Scattering Theory" (Springer books on applied mathematicalsciences, 2014)

[18-8] F. G. Tricomi, \Integral Equations" (Dover Books on Mathema-tics, New York, 1985).

331


[18-9] Ivar Stakgold y Michael Holst, \Green's Functions and BoundaryValue Problems" (Pure and Applied Mathematical Series, Wiley,Third Edition, 2013).



[18-12] Max Born, Emil Wolf et al, \Principles of Optics: Electromag-netic Theory of Propagation, Interference and Diraction of Light"(Cambridge University Press; 7th edition, 1999), p. 732.

19 Topicos avanzados

En este captulo se estudiaran los rudimentos de tres topicos avan-zados de la mecanica cuantica: primero la formulacion de la teora enintegrales de trayectoria, luego se introducira el formalismo de la matrizdensidad y nalmente se hara una breve introduccion a dos ecuacionesde onda relativistas conocidas como las ecuaciones de Klein-Gordon yde Dirac.

19.1 Cuadragesima octava leccion

En esta leccion se introduce el concepto de integrales de trayectoriay se aplica al caso simple de la partcula libre.

19.1.1 Integrales de trayectoria

La formulacion de la mecanica cuantica conocida como \integralesde trayectoria" fue desarrollada por el fsico estadounidense RichardFeynman como parte de su trabajo doctoral y luego posdoctoral enPrinceton [19-1]. Aunque la formulacion requiere de herramientas ma-tematicas avanzadas, lo que se pretende en esta leccion es hacer enfasisen los aspectos conceptuales y fsicos que dan soporte a esta formula-cion novedosa de la teora, la cual se ha convertido en la favorita delos fsicos que trabajan en teoras de campos cuanticos; ya que, es launica manera consistente conocida de cuantizar las teoras de campo,que tienen como soporte grupos continuos de simetra no Abelianos.

333


En esta formulacion, el elemento matematico del espacio de con-guracion conocido como la amplitud de transicion o propagador, y nola funcion de onda, es el elemento central de la teora, y su calculomatematico, en la mayora de los casos, requiere tecnicas avanzadas deintegracion (utilizar la llamada integral de Wiener [19-2]).

19.1.2 Conceptos basicos

Las formulaciones de Heisenberg y de Schrodinger de la mecanicacuantica hechas en el espacio de representaciones, tienen como nali-dad determinar el conjunto completo de autovalores y autofuncionesdel operador Hamiltoniano del sistema fsico. Sin embargo, se sabe queen mecanica clasica la formulacion Lagrangiana de la teora es comple-tamente equivalente a la formulacion Hamiltoniana.

En 1933 Dirac se pregunto si podra existir la misma equivalenciaen mecanica cuantica, dejando de paso un problema propuesto el cualconsista en hallar la forma de la \Amplitud de la transicion"de unsistema fsico que se mueve del punto inicial ~r0 y tiempo t0, al puntonal ~rf y tiempo tf ; amplitud que se denota como

K(~rf ; tf ;~r0; t0) h~rf ; tf j~r0; t0i; (19.1)elemento matematico conocido tambien como el propagador, el cual adiferencia de la funcion de onda, es un elemento del espacio de con-guraciones del sistema fsico. Si el Hamiltoniano es independiente deltiempo, es posible hacer t0 = 0 sin perder generalidad y trabajar solocon la variable t = tf t0 = tf .

Richard Feynman resolvio en 1948 el problema planteado original-mente por Dirac [5], desarrollando el siguiente programa: [19-1]:

Enumerar todas las trayectorias matematicamente posibles entrelos puntos inicial y nal.

Dividir cada trayectoria en segmentos rectilneos peque~nsimos(innitesimales).

Calcular la accion clasica S =RLdt de cada segmento en cada

trayectoria, donde L se reere al Lagrangiano clasico del sistema.

Topicos avanzados / 335

Asignar a cada segmento una amplitud de transicion, la cual esproporcional a eiS[~r(t)]=~, con la constante de proporcionalidad cal-culada al nal como una constante global de normalizacion.

Sumar las amplitudes sobre todos los segmentos de una trayecto-ria y luego sobre todas las trayectorias matematicamente posibles(suma que se convierte en una integral con un numero innito nocontable de integrales, llamada integral de trayectoria).

La suma total resultante es la amplitud de transicion buscada ysu modulo cuadrado es la probabilidad de transicion del punto(~r0; t0) al punto (~rf ; tf ) del sistema fsico.

De conformidad a este programa, se debe evaluar la siguiente suma-toria:

K(~rf ; t;~r0) = A(t)Xtodas

eiS[~r(t)]=~; (19.2)

donde la sumatoria se debe hacer sobre todas las trayectorias matemati-camente posibles.

Por que la sumatoria innita en (19.2) no diverge? Por la presenciadel factor 1=~ en el exponencial, como puede verse al tomar el lmi-te clasico cuando ~ ! 0. En dicho lmite, solo la trayectoria para lacual S = 0 contribuye (la trayectoria clasica). Para trayectorias cuyaaccion diere en S ~, o valores mayores, las contribuciones al pro-pagador sufren de interferencia destructiva y cancelan; de esta manera,contribuciones al propagador de trayectorias alejadas de la trayectoriaclasica de mnima accion, sufren de interferencia destructiva y cancelanen el agregado.

Si se denota la trayectoria clasica por ~rcl(t), la cual es la trayec-toria correspondiente al valor mnimo de la accion S[~rcl], esta debeser estacionaria hasta primer orden en la variacion y para el sistemamacroscopico debe ser la trayectoria observada con muy poca incerti-dumbre. De esta manera, las trayectorias cercanas a la accion clasica notienen variaciones de primer orden y contribuyen con fases coherentesa la sumatoria innita. Trayectorias con una accion ~ mayores quela accion clasica estan fuera de fase e intereren destructivamente unascon otras. Integrar sobre mas y mas de esas trayectorias que estan fuera


de fase, tiene como resultado que sus contribuciones a la sumatoria dancero en el agregado.

19.1.3 Partcula libre unidimensional

Para el caso de una partcula libre que se mueve en una sola di-mension, el Lagrangiano clasico contiene solo el termino de energacinetica. El primer paso es discretizar cada una de las trayectorias po-sibles al dividir el tiempo en intervalos muy peque~nos (innitesimales)t (tf t0)=N , de tal manera que los puntos intermedios de cadatrayectoria son (x1; t1); (x2; t2); : : : (xN1; tN1), con tN = tf . De estamanera se espera recuperar la trayectoria continua al tomar el lmiteN !1.

Asumiendo ahora que para cada segmento de una trayectoria entretj y tj+1 = tj + t la energa cinetica se puede suponer constante, laaccion clasica para ese segmento tomara entonces la forma:

Sj =

Z tj+1tj

m

2_x(t)2dt m

2

xj+1 xjtj+1 tj

2(tj+1tj) = m

2t(xj+1xj)2:

(19.3)El tomar todas las trayectorias matematicamente posibles entre

(x0; t0) y (xN ; tN) es simplemente integrar cada variable xj; j =1; 2; : : : ; N 1 en cada instante de tiempo tj, entre 1 < xj


tomar el lmite N ! 1, en cuyo caso la integral se convierte en unnumero innito no contable de integrales, elemento matematico cono-cido como integral de Wiener.

El paso siguiente es dise~nar una estrategia para evaluar las integra-les. Haciendo uso de la propiedad

j=NXj=1

(xj xj1)2 =j=NXj=3

(xj xj1)2 + (x2 x1)2 + (x1 x0)2;

y utilizando el valor de la integralR11 dye

y2 =p, se puede proceder

a hacer primero la integracion sobre la variable x1, tal queZ 11

dx1 expfk[(x2 x1)2 + (x1 x0)2]g (19.5)

= exp[k(x22 + x20)]Z 11

dx1 exp[2k(x21 x1x0 x2x1)]

=

pp2k

exp

k2(x2 x0)2

;

En el resultado anterior, los terminos constantes pueden incluirse en elfactor de normalizacion A(t).

Haciendo a continuacion la integracion sobre la variable x2 se tieneZ 11

dx2 expfk2[2(x3 x2)2 + (x2 x0)2]g (19.6)

=

pp3k

exp

k3(x3 x0)2

;

Iterando este proceso y continuando con la integracion sobre lasvariables x3; x4; : : : ; xN1, se obtiene el factor k(xN x0)=N en elexponente. Finalmente, haciendo uso del hecho que Nt = (tN t0) =t, se llega al resultado nal

K(xN ; tN ;x0; t0) = A(tN t0) exp kN(xN x0)2

(19.7a)

K(x; t;x0) = A(t) exp

im

2t~(x x0)2

: (19.7b)


Interpretando K(x; t;x0) como la amplitud de transicion del puntox0; t0 = 0 al punto x en el tiempo t, entonces, jK(x; t;x0)j2 correspon-dera a la probabilidad de la transicion y el valor para A(t) se obtendraal normalizar esta amplitud de transicion para un valor de t constante;es decir, haciendo

R11 dxK(x; t;x0) = 1; lo que produce nalmente la

expresion:

K(x; t; x0) =

rm

2i~texp

im

2t~(x x0)2

; (19.8)

el cual es el propagador de una partcula libre moviendose en una di-mension; que como puede verse para este caso en particular, recibecontribuciones solamente de la trayectoria clasica.

El procedimiento anterior se puede generalizar de inmediato al mo-vimiento en tres dimensiones y a otros problemas fsicos con un La-grangiano mas complejo, como es el caso para el oscilador armonicounidimensional para el cual L = m

2( _x2 !2x2).

19.1.4 Propagadores

Para resolver el problema planteado originalmente por Dirac en 1933en el marco de la formulacion de Schrodinger de la mecanica cuantica,es necesario introducir el concepto del propagador [19-3]. Veamoslo parael caso del movimiento unidimensional de la partcula libre.

Partiendo de la ecuacion de Schrodinger

i~@

dtj (x; t)i = H^j (x; t)i; (19.9)

la cual, para el caso en que el Hamiltoniano H^ es independiente deltiempo, se puede integrar de la forma

j (x; t)i = eiH^(tt0)=~j (x; t0)i; (19.10)

donde se le llama propagador al operador exponencial que genera ladependencia temporal del vector de estado, el que como puede verse


esta dado por U^(t t0) = exp [iH^(t t0)=~], el cual es un operadorunitario debido a la hermiticidad del Hamiltoniano H^. Se tiene entonces

j (x; t)i = U^(t t0)j (x; t0)i: (19.11)

Para la partcula libre unidimensional y tomando t0 = 0, se tiene

U^(t) = eiH^t=~ =Z 11

dkeiH^t=~jkihkj =Z 11

dkei~k2t=2mjkihkj;

(19.12)donde se ha hecho uso de la completez en el espacio de los momen-tums: 1 =

Rdkjkihkj (en notacion de Dirac) y de la relacion H^jki =

(~2k2=2m)jki para la partcula libre en una dimension. De esta ultimaecuacion es posible obtener

hxjU^(t; 0)jx0i =Z 11

dkei~k2t=2mhxjkihkjx0i

=

Z 11

dk

2ei~k

2t=2meik(x0x) (19.13)

=

rm

2i~texp

im

2t~(x x0)2

= K(x; t;x0);

donde se ha hecho uso de la relacion hkjxi = exp (ikx)=p2 parapartcula libre y se ha usado de nuevo la integral

R11 dye

y2 =p.

19.1.5 Principio de Huyghens

Haciendo uso de los resultados anteriores es posible escribir

(x; t) = hx; tj i =Z 11

dx0hx; tjx0; t0ihx0; t0j i

=

Z 11

dx0hx; tjx0; t0i (x0; t0) (19.14)

=

Z 11

dx0K(x; t; x0; t0) (x0; t0);


lo que no es mas que el principio de Huyghens aplicado a la ondadescrita por la funcion (x; t)!

De esta manera, es posible mirar la formulacion de la mecanicacuantica en integrales de trayectoria y equivalentemente la teora de lospropagadores, como una formulacion que tiene como soporte fsico, eluso del principio de Huyghens de la optica ondulatoria.

19.2 Cuadragesima novena leccion

En esta leccion se introduce el concepto de la matriz de densidaden mecanica cuantica y se estudian algunas de sus propiedades. Esteconcepto, considerado por muchos como una nueva formulacion de lateora al mismo nivel que la formulacion matricial de Heissenberg o laformulacion de la funcion de onda de Schrodinger, es de particular re-levancia cuando se esta trabajando con estados cuanticos que son unamezcla estadstica de varios estados puros con probabilidades (facto-res de peso estadsticos) bien denidas. La matriz densidad tiene sumaxima aplicacion en problemas cuanticos relacionados con la fsicaestadstica [19-4].

19.2.1 Introduccion

Sea jii; i = 1; 2; : : : ; j un conjunto de j estados puros ortonor-males (hjjii = ij), los cuales son necesarios para caracterizar unsistema fsico dado, donde cada estado jii tiene un factor de peso es-tadstico !(i), con 0 < !(i) 1 y Pi !(i) = 1 . De conformidad con elformalismo de la mecanica cuantica, cada estado jii se puede expandiren un conjunto completo de vectores jni, autovectores de un conjuntomaximo de operadores del sistema fsico en consideracion; es decir,

jii =Xn

c(i)n jni; (19.15)


con c(i)n = hnjii y con jc(i)n j2 la probabilidad con la cual el autoestado

jni ocurre en el estado puro jii. Ademas, se debe cumplir que

hnjmi = nm;Xn

jc(i)n j2 = 1; i = 1; 2; : : : ; j:

En mecanica cuantica, el problema basico es calcular el valor espe-rado de un operador (observable) arbitrario ^ asociado con la magnitudfsica , el cual para uno de los estados puros jii esta dado por

hîi = hij^jiihijii =

Xn;m

c(i)n c(i)m hnj^jmi =

Xn;m

c(i)n c(i)mnm: (19.16)

El gran promedio del valor esperado del observable ^ para el sistemadescrito por los j estados puros estara dado entonces por

hî =jX

i=1

!(i)hî(i) =Xn;m

nm

jXi=1

!(i)c(i)n c(i)m

!: (19.17)

Este valor promedio de la superposicion incoherente de los j estadospuros, puede escribirse de una manera mucho mas conveniente si seintroduce el concepto de la matriz densidad , la cual se dene como:

mn jX

i=1

!(i)c(i)n c(i)m ; (19.18)

con lo cual es posible escribir el gran valor promedio en la ecuacion(19.17) como

=Xn;m

mnnm =Xm

()mm = Tr:(); (19.19)

donde Tr: signica la traza (la suma de los elementos de la diagonal)de la matrix en consideracion.

Haciedo uso de la expresion (19.18) se tiene para los elementos enla diagonal de que

nn =Xi

!(i)jc(i)n j2; (19.20)


los que de acuerdo con la ecuacion (19.15) tienen el signicado fsicode la probabilidad con la cual el estado de la base jni ocurren en elensamble estadstico completo formado por la totalidad de los estadospuros jii; i = 1; 2; : : : ; j.

Utilizando notacion de Dirac se tiene que

c(i)n = hnjii = hnjii;lo cual implica que la matriz densidad en (19.18) se puede escribir como

mn =Xi

hmjii!(i)hijni; (19.21)

lo cual permite escribir como un operador de la forma

^ =Xi

jii!(i)hij =Xi

jii!(i)hij: (19.22)

Esta representacion del operador ^ en la forma de suma sobre opera-dores de proyeccion resulta a menudo muy conveniente. En particular sepuede observar de inmediato que los autovectores de son precisamentelos posibles estados puros que pueda tener el sistema y los autovalo-res corresponden a los pesos estadsticos de cada uno de esos estados.De esta manera, la expresion (19.22) es la representacion expectral deloperador ^.

Notese que si el sistema se encuentra en un estado puro ji = ji,entonces !(i) = i, de tal manera que la matriz densidad para un estadopuro adquiere la forma

^P = jihj = jihj: (19.23)Entonces para un estado puro, el operador de densidad ^P se convierteen un operador de proyeccion, el cual satisface la relacion de idempo-tencia (^P )2 = (jihj)(jihj) = jihj = ^P . Ahora, paraun estado puro normalizado, los valores esperados del observable ^ sepueden escribir, de conformidad con (19.19), como

h^i =Xm

(^P)mm =Xm

hmjihj^jmi =Xm

c()m hj^jmi = hj^ji;(19.24)


como debiera serlo (donde la expansion ji = Pm c()m jmi ha sido uti-lizada). De esta manera el formalismo de calcular valores esperados deobservables utilizando la matriz densidad es valido tanto para estadospuros como para estados mixtos. Para estados puros la matriz densidad^P se reduce simplemente a un operador de proyeccion.

De este punto en adelante, es mas conveniente pensar que la ecua-cion (19.19) es la denicion de la matriz densidad del sistema fsico enconsideracion, con lo cual se puede pensar que se ha logrado una nuevaformulacion de la mecanica cuantica.

19.2.2 La matriz densidad

En este punto es conveniente denir el operador ^, el cual caracterizaun sistema fsico (puro o mixto), como

h^i Tr:(^^); (19.25)

para todo observable ^ del sistema fsico.De esta manera, para calcular la matriz densidad de un sistema

caracterizado por n parametros, se deben tomar n observables inde-pendientes del sistema fsico ^r; r = 1; 2; : : : ; n y resolver el conjuntode n ecuaciones Tr:(^^r) = h^ri. Una vez que ^ ha sido determinadode esta manera, el valor esperado de cualquier otro observable se puedecalcular utilizando la ecuacion (19.25). Como consecuencia de esto, ^puede mirarse como un objeto el cual permite calcular cualquier valoresperado particular h^i, partiendo del conocimiento inicial de un con-junto especial de valores h^ri. As, el formalismo de la matriz densidadse convierte en una forma alterna de manejar un sistema fsico y sepuede mirar como una nueva formulacion de la teora, en el sentidoque un sistema fsico queda exhaustivamente caracterizado cuando seconoce su matriz densidad ^.

19.2.3 Propiedades de ^

A continuacion se demuestran algunas propiedades que debe tenerla matriz densidad ^ que caracteriza un sistema fsico.


1. ^ es un operador Hermtico

Lo cual se sigue de su denicion (19.25), ya que para cada observable

^ (operador lineal acotado y hermtico), hî es necesariamente un valorreal. Por lo tanto,

hîy = hî = Tr:() = [Tr:()]y= Tr:[()y] = Tr:(yy) = Tr:(y) = Tr:(y);

donde en el ultimo paso se ha utilizado la ciclicidad de la traza. De loanterior se puede concluir que ^y = ^.

2. Tr:^ =P

n nn = 1.

Lo cual puede verse de la denicion del operador ^ en (19.25) uti-lizada para el caso particular del operador ^ = I^, con I^ el operadoridentidad el cual tiene por valor esperado 1.

3. ^ es un operador positivo, denido

Para mostrar esta propiedad se considera un operador ^P que tienesolo los autovalores 0 y 1 (cualquier operador de proyeccion por ejem-plo). En la base en que ^P es diagonal se tiene Pnm = nkmk, k unvalor jo arbitrario asociado con uno de los autovalores iguales a uno.Entonces

h^P i = Tr:(^^P ) =Xn

(P )nn =Xn

Xm

nm

Pmn

=Xn

Xm

nmmkkm = kk:

Pero el valor esperado de un operador de autovalores no negativos essiempre no negativo, lo cual implica que h^P i 0, de donde se puedeconcluir que ^ es un operador positivo ya que

kk 0; (19.26)


resultado que es valido en cualquier base del sistema fsico en conside-racion. Combinando este resultado con el hecho que Tr:^ = 1 se tieneque para todos los elementos diagonales de ^ se satisface

0 kk 1: (19.27)

4. Tr:(^2) 1:Considere un sistema en el cual ^ es diagonal. Utilizando entonces

las dos propiedades anteriores se tiene que

Tr:(^2) =Xn

(2)nn (X

nn)2 = (Tr:)2 = 1; (19.28)

pero por la ciclicidad de la traza, esta no cambia bajo una transforma-cion de similitud (un cambio de base), entonces en general es posibleescribir

Tr:(^2) 1: (19.29)Utilizando ahora la hermiticidad de ^; es decir, mn =

nm, esta ultima

relacion se puede escribir como

Tr:(^2) =Xm

()mm =Xmn

mnnm =Xmn

jnmj2 1; (19.30)

de donde es posible concluir que jnmj2 1, condicion que pone fuerteslimitaciones en cada uno de los elementos de la matriz .

19.2.4 Evolucion temporal de ^

De acuerdo al teorema de Ehrenfest, para un observable ^ que nodependa explcitamente del tiempo, se tiene que

d

dth^i = h i

~[H^; ^]i = d

dtTr:(^^) = Tr:(

d^

dt

^):

De la denicion de la matriz densidad se tiene igualmente que

h i~[H^; ^]i = i

~Tr:(^[H^; ^]) =

i

~Tr:(^H^^ ^^H^)

= Tr:(^H^^ H^^^) = Tr:( i~[^; H^]^);


donde se ha hecho uso de la ciclicidad de la traza.Comparando las dos expresiones anteriores se puede concluir que

d^

dt=

i

~[^; H^]; (19.31)

ecuacion que da la forma de la evolucion temporal del operador densi-dad ^.

19.3 Quincuagesima leccion

La ecuacion de Schrodinger de la mecanica cuantica no es covariantey por lo tanto no es invariante bajo una transformacion de coordenadasde Lorentz (un calculo detallado muestra que la ecuacion si es invariantebajo las transformaciones de Galileo de la mecanica clasica). Para re-mediar esta situacion se propusieron, en la segunda mitad de la decadade 1920, dos ecuaciones las cuales si eran invariantes bajo las transfor-maciones de Lorentz. Estas ecuaciones son la base de la hoy llamadamecanica cuantica relativista [19-5].

19.3.1 Introduccion

La ecuacion de Schrodinger se puede obtener al hacer en el Hamil-toniano clasico de un sistema fsico las siguientes asignaciones

H ! H^ ! i~ @@t; ~p! ~^p! i~~r; ~r ! ~^r ! ~r; (19.32)

donde ~^r es el operador multiplicacion; de esta manera, la ecuacion parael Hamiltoniano clasico

H =p2

2m+ V (~r)

se puede escribir como la siguiente relacion entre operadores

i~@

@t= ~

2

2m~r2 + V (~r);


la cual, al operar sobre la funcion de onda del sistema fsico, producede inmediato la ecuacion de Schrodinger.

Para una partcula libre se tiene V (~r) = 0 y entonces la ecuacionde Schrodinger toma la forma

i~@

@t= ~

2

2mr2 ; (19.33)

la cual incluye el tiempo como una primera derivada y el espacio comouna segunda derivada y evidentemente no puede ser invariante bajo lastransformaciones de Lorentz, las cuales tratan el espacio y el tiempo demanera equivalente.

La expresion relativista de la energa para una partcula libre demasa m y momentum lineal vectorial ~p es

E = cpp2 +m2c2; (19.34)

la cual con las sustituciones asignadas en (19.32) produce un Hamilto-niano de la forma

H^ = cp~2r2 +m2c2; (19.35)

el cual tiene el inconveniente de no estar denido de manera unica comose vera a continuacion. Una expansion en series de Maclaurin de laraz cuadrada producira un numero innito de terminos con derivadasparciales a todos los ordenes pares y por lo tanto sera equivalente auna ecuacion y a una teora no local; lo anterior, sin abordar siquierael problema de la convergencia de esa posible expansion.

19.3.2 Ecuacion de Klein-Gordon.

Una forma de evitar el tener que sacar la raz cuadrada a la expre-sion (19.35), es elevar al cuadrado la ecuacion (3.22), para obtener larelacion [19-6]:

H2 ! p2c2 +m2c4 = E2; (19.36)igualdad que luego de los reemplazos sugeridos en (19.32), produce laecuacion diferencial

~2@2

@t2= ~2c2r2+m2c4; (19.37)


la cual se puede escribir de la forma

1

c2@2

@t2r2+ (mc

~)2 = 0; (19.38)

conocida en la literatura como la ecuacion de Klein-Gordon. Deniendoel operador D' Alambertiano como

1c2

@2

@t2r2;

la ecuacion (19.38) toma la formah+ (mc

~)2i(x; t) = 0: (19.39)

Formulacion covariante.

Para formular la teora de manera covariante, es conveniente de-nir los siguientes elementos matematicos, conocidos en la literaturacomo cuadrivectores contravariantes y denotados con un ndice griegosuperior el cual toma valores (0; 1; 2; 3):

x = (x0; x1; x2; x3) = (ct; ~r); p = (p0; p1; p2; p3) = (E

c; ~p): (19.40)

Para subir y bajar ndices se dene el tensor metrico fundamental

g g

0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA ; (19.41)el cual permite denir los respectivos cuadrivectores covariantes, deno-tados con un ndice griego inferior

x =X

gx gx = (x0; x1; x2; x3) = (ct;~r) (19.42a)

p =X

gp gp = (p0; p1; p2; p3) = (E

c;~p); (19.42b)


donde se uso la convencion de Einstein de suprimir el smbolo de lasumatoria cuando esta aparece en una expresion donde hay un ndicerepetido arriba (contravariante) y abajo (covariante). Lo anterior per-mite escribir invariantes relativistas (magnitudes que no cambian bajotransformaciones de Lorentz), como el intervalo

S2 =3X

=0

xx = x0x0 + x

1x1 + x2x2 + x

3x3 = c2t2 ~r:~r;

o el cuadrado del cuadrimomentum

3X=0

pp = p0p0 + p

1p1 + p2p2 + p

3p3 =E2

c2 ~p:~p = m2c2;

expresion esta ultima equivalente a la relacion (19.36) para la energatotal relativista de una partcula libre.

Introduciendo ahora el cuadrivector derivada espacial covariante co-mo

@ @@x

= (@

@x0;@

@x1;@

@x2;@

@x3) = (

1

c

@

@t; ~r); (19.43)

que con la ayuda del tensor metrico permite hallar el respectivo cua-drivector contravariante

@ @@x

= (1

c

@

@t;~r); (19.44)

el cual puede ser usado para asociarle al cuadrimomentum p el opera-dor cuantico p^ = i~@; es decir,

p^0 =E

c= i~

1

c

@

@t; ~^p = i~~r; =) p^ = i~@;

de donde se obtiene

3X=0

p^p^ p^p^ = ~2@@ = ~22 = m2c2; (19.45)

donde se hizo uso del operador D' Alambertiano ahora en la forma2 = @@.


Con la ayuda de (19.45) se obtiene de nuevo la ecuacion de Klein-Gordon al aplicar los operadores sobre la funcion de onda de partculalibre ; es decir, se obtiene:h

2+ (mc

~)2i =

1

c2@

@t2r2 + (mc

~)2 = 0: (19.46)

19.3.3 Ecuacion de Dirac.

Una manera alterna de sacar la raz cuadrada al Hamiltoniano en(19.35) fue propuesta por P.A.M. Dirac en 1928, para lo cual postulo unaexpresion de la forma [19-7]:

H^ = cp~2r2 +m2c2 ! ic~

1

@

@x1+ 2

@

@x2+ 3

@

@x3

+ mc2;

= ic~3X

l=1

l@

@xl+ mc2; (19.47)

donde i; i = 1; 2; 3 y son numeros hipercomplejos (matrices) cuyaalgebra y propiedades se determinan de condiciones fsicas.

Para estudiar las propiedades de estos numeros hipercomplejos seevalua primero el operador H^2

H^2 =

i~c

3Xl=1

l@

@xl+ mc2

! i~c

3Xk=1

k@

@xk+ mc2

!

= c2~23X

l=1

3Xk=1

1

2(lk + kl)

@2

@xl@xk

imc3~3X

l=1

(l + l)@

@xl+m2c42;

donde se ha simetrizado el coeciente del operador segunda derivada yse ha hecho uso de la propiedad

@2=(@xl)(@xk) = @2=(@xk)(@xl):


La expresion anterior debe ser igual a c2~2r2+m2c4, para lo cuallas matrices j y deben satisfacer el algebra siguiente:

lk + kl = 2lk (19.48a)

l + l = 0; (19.48b)

2 = 1; (19.48c)

llamada en la literatura el algebra de Cliord de las cuatro matrices ~y de Dirac. Notese, de (19.48a), que 2l = 1; l = 1; 2; 3.

Propiedades de las matrices de Dirac.

Las siguientes son algunas de las propiedades mas importantes delas matrices j; j = 1; 2; 3 y .

j; j = 1; 2; 3 y son matrices Hermticas. Esto se sigue del

hecho que el Hamiltoniano H^ debe ser hermtico y que el operadorp^j = i~@=@xj = i~@=@xj es tambien Hermtico.Los autovalores de j; j = 1; 2; 3 y son solo 1. Lo cual sesigue inmediatamente de las ecuaciones (19.48a) para k = l y(19.48c).

La traza de las cuatro matrices j; j = 1; 2; 3 y es nula. Seprueba haciendo uso de la ecuacion (19.48b), ya que de ella sepuede escribir l = l, la que multiplicada por a izquierdaproduce l = l. Tomando ahora la traza a ambos lados yutilizando la propiedad de ciclicidad de la traza se obtiene Tr:l =Tr:(l) = Tr:(l) = Tr:l = 0.Las dos propiedades anteriores permiten armar que la dimensio-nalidad de las matrices j; j = 1; 2; 3 y es par, ya que comosu traza es nula, el numero de veces que aparece el autovalor +1es igual al numero de veces que aparece el autovalor 1, cuandoestas se to

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